On thi chuyen de luong giac

chuyên đề lượng giác
BÀI 1.

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.
 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn.

a0
 360  2 (rad) suy ra
(  đơn vị rad).

 1800

0

 1 vòng tròn tương ứng 3600  2 có chu vi là 2 R suy ra cung
aR
tròn bán kính R có số đo a0 0  a  360 thì có độ dài 
.
180
 Đường tròn lượng giác
 OA = sin 
 OB = cos 
 OA2  OB2  OM2  1 .
 sin2   cos2   1

 1  sin   1
 1  cos   1
 sin(  k2)  sin()
 cos(  k2)  cos()

2. CÔNG THỨC CƠ BẢN.
 Lượng giác trong tam giác.
doi
ke
doi
ke
 sin 

; cos 
; tan 
; cot an 
.
huyen
huyen
doi
ke
sin 
cos 
 tan  
;cos   0 . cot  

;sin   0 .
sin 
cos 
 tan .cot   1.
 Công thức cơ bản.
 sin2   cos2   1 ;

1
 1  tan2  
; điều kiện cos   0     k,k  .
2
cos2 

1
 1  cot 2  
; điều kiện sin   0    k,k  .
sin2 
1


 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt:
Hai góc đối nhau (  và  )
sin()   sin 
cos()  cos 
tan()   tan 

cot()   cot 
Hai góc phụ nhau (  và

Hai góc bù nhau (  và    )
sin(  )  sin 
cos(  )   cos 
tan(  )   tan 
cot(  )   cot 


 )
2

Hai góc hơn kém nhau


sin(  )  cos 
2

cos(  )  sin 
2

tan(  )  cot 
2


cot(  )  tan 
2
Hai góc hơn kém nhau  (  và    )
sin(  )   sin 
cos(  )   cos 
tan(  )  tan 
cot(  )  cot 



(  và   )

2
2


sin(  )  cos 
2

cos(  )   sin 
2

tan(  )   cot 
2


cot(  )   tan 
2

 Công thức cộng.
cos(a  b)  cosa.cosb  sina.sinb
cos(a  b)  cosa.cosb  sina.sinb
sin(a  b)  sina.cosb  sinb.cosa
sin(a  b)  sina.cosb  sinb.cosa
tana  tanb
1  tana.tanb
tana  tanb

tan(a  b) 
1  tana.tanb
 Công thức nhân đôi.
tan(a  b) 

cos2a  cos2 a  sin2 a  2cos2 a  1  1  2sin2 a.
sin2a  2.sina.cosa .
2.tana



tan2a 

(a   k,a   k ,k  .)
2
4
2
1  tan2 a
2


cot 2 a  1
cot2a 
2.cot a

Suy ra công thức hạ bậc:
1  cos2a
1  cos2a
; cos2 a 
2
2
3.sina  sin3a
3cosa  cos3a
; cos3 a 
.
sin3 a 
4

4
 Công thức nhân ba.
sin2 a 

cos3a  4.cos3 a  3.cosa

Chú ý:

sin3a  3.sina  4sin3 a
 Công thức biến đổi tổng thành tích.
ab
ab

cosa  cosb  2.cos
.cos
2
2
ab
ab
cosa  cosb  2.sin
.sin
2
2
ab
ab

sina  sinb  2.sin
.cos
2
2
ab
a b
sina  sinb  2.cos
.sin
2
2





sinx  cosx  2sin  x    2cos  x  
4
4








sinx  cosx  2sin  x     2cos  x  
4
4


 Công thức biến đổi tích thành tổng.
1
cosa.cosb  cos  a  b   cos  a  b 
2
1
sina.sinb   cos  a  b   cos  a  b 
2

1
sina.cosb  sin  a  b   sin  a  b 
2
 Công thức chia đôi.
a
Đặt t  tan (a    k2) thì khi đó ta có:
2

sina 

2t
1  t2

;cosa 

3

1  t2
1  t2

; tana 

2t
1  t2

.


BÀI 2.

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hàm số sin
Hàm số y = sinx
 tập xác định là R
 -1 sinx  1 , x R ,

 là hàm số lẻ ,
 tuần hoàn với chu kì 2
 sinx =0 khi x  k,k  Z

 sinx =1 khi x   k2,k  Z
2

 sinx = -1 khi x    k2,k  Z
2

Hàm số cosin
Hàm số y = cosx

 tập xác định là R
 -1 cosx  1 , x R ,
 là hàm số chẵn ,
 tuần hoàn với chu kì 2

 cosx =0 khi x   k,k  Z
2
 cosx =1 khi x  k2,k Z
 cosx = -1 khi x  (2k  1),k  Z

Hàm số tan
Hàm số y= tanx



 tập xác định R \   k,k  Z
2

 là hàm số lẻ
 tuần hoàn với chu kì 
 tanx=0 khi x  k,k  Z

 tanx=1 khi x   k,k  Z
4


 tanx =- 1 khi x    k,k  Z
4

Hàm số cotan
Hàm số y= cotx
 tập xác định R \ k, k  Z
 là hàm số lẻ
 tuần hoàn với chu kì 

 cotx=0 khi x   k,k  Z
2


 cotx=1 khi x   k,k  Z
4

 cotx =- 1 khi x    k,k  Z
4

BÀI 3.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN .

 Phương trình sinx = m (1) m là hằng số.
 Nếu |m| 1 thì phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu |m| 1 Gọi  là một giá trị sao cho sin  =m, thì phương trình (1)
có nghiệm x    k2,k Z và x      k2,k  Z
 Chú ý:
 x    k 2 , k  Z
 sin x  sin   
 x      k 2 , k  Z

4


 f  x   g  x   k 2 , k  Z
 sin f  x   sin g  x   

 f  x     g  x   k 2 , k  Z
 x   0  k 3600 , k  Z
0
 sin x  sin   
0
0
0
 x  180    k 360 , k  Z
 x  arcsin a  k 2 , k  Z

 


 sin x  a  
;      ,sin   a 
2

 x    arcsin a  k 2 , k  Z  2
 Đặc biệt:

 sinx  1  x   k2,k  Z
2

 sinx  1  x    k2,k  Z
2

 sinx  0  x  k,k Z
 Phương trình cosx = m (2) m là hằng số.
 Nếu |m| 1 thì phương trình (2) vô nghiệm
 Nếu |m| 1 Gọi  là một giá trị sao cho cos  =m,thì phương trình (2)
có nghiệm x    k2,k Z và x      k2,k  Z .
 Chú ý:
 x    k 2 , k  Z
 cos x  cos   
 x    k 2 , k  Z
 f  x   g  x   k 2 , k  Z
 cos f  x   cos g  x   
 f  x    g  x   k 2 , k  Z

 x   0  k 3600 , k  Z
0
 cos x  cos   
0
0
 x     k 360 , k  Z

 x  arccos a  k 2 , k  Z
 cos x  a  
,  0  a   ,cos   a 
x



arccos
a

k
2

,
k

Z


 Đặc biệt:
 cosx  1  x  k2,k Z
 cosx  1  x    k2,k Z

 cosx  0  x   k,k  Z
2
 Phương trình tanx=m (3) m là tham số.

 Điều kiện x   k,k  Z .
2

5



 Nếu có số  thỏa     và tan   m thì phương trình (3) có
2
2
nghiệm: x  +k,k 
 Chú ý:
 tanx  tan   x    k,k 
 tanf  x   tang  x   f  x   g  x   k,k 

 tanx  tan 0  x  0  k1800 ,k 
 Phương trình cotx = m (4) m là tham số.
 Điều kiện: x  k,k  Z
 Nếu có số  thỏa mãn 0     và cot=m thì phương trình (4) có
nghiệm x    k,k  .
 Chú ý:
 cot x  cot   x    k,k 
 cot f  x   cot g  x   f  x   g  x   k,k 
 cot x  cot 0  x  0  k1800 ,k 
 Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (5) .
 Dạng: a.sinx  b  0 ; a.cosx  b  0 ; a.tanx  b  0 ; a.cot x  b  0 .
 Tổng quát: at + b = 0, với a,b là hằng số.

 Cách giải: chia 2 vế của phương trình cho a, chuyển về dạng cơ bản
(1),(2),(3),(4) và giải tương tự.
 Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác (6).
 Dạng:
 a.sin2 x  b.sinx  c  0. (a)

a.cos2 x  b.cosx  c  0. (b)

 a.tan2 x  b.tanx  c  0. (c ) a.cot 2 x  b.cot x  c  0. (d)
 Cách giải:
 phương trình (a) đặt t = sinx, ( 1  t  1 )
 phương trình (b) đặt t = cosx, ( 1  t  1 )

 phương trình (c ) đặt t = tanx, ( t  )điều kiện cosx  0.
 phương trình (d ) đặt t = cotx, ( t  )điều kiện sinx  0.
Chuyển về phương trình bậc hai a.t 2  b.t  c  0 ,giải ra t và suy ra x.
 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với hàm số lượng giác.(7)
 Dạng:
 a.sin2x+b.sinx.cosx+c.cos2x =0
 a.sin2x+b.sinx.cosx+c.cos2x =d
 Phương pháp giải:

6

 Kiểm tra cosx = 0 (sinx = 1 ) có phải là nghiệm không?. Nếu
không phải là nghiệm thì chia 2 vế của phương trình cho cos2 x ,
ta được phương trình bậc hai theo tanx, giải như dạng (6).
 Nếu cox = 0 là nghiệm thì ta chi 2 vế của phương trinh cho
sin2 x , ta được phương trình bậc hai theo cotx, giải như (6).
 Chú ý: Có sử dụng công thức:
1
1
 1  tan2  
và
.
1  cot 2  

2
2
sin 
cos 

 Phương trình thuần nhất bậc nhất đối với hàm số lượng giác.
 Dạng a.sinx + b.cosx = c , ( a2+b2  0)
 Điều kiện có nghiệm: a2+b2  c2.
 Cách giải 1:
Biến đổi vế trái về dạng:



a
b
2
2
asinx  bcosx  a  b
sinx 
cosx 
 2 2

2
2
a b

 a b

= a2  b2 sin  x   

trong đó cos  

a
2

2

,sin  

a b

b
2

2

và phương trình trở thành

a b

a2  b2 sin  x     c  sin  x    

c
2

2

là phương trình cơ bản dạng

a b

(1).

 Cách giải 2: Chia hai vế của phương trình cho a2  b2 ta được:
a
b
c
. Gọi  là số đo sao cho :
sinx 
cosx 
2
2
2
2
2

2
a b
a b
a b
a
b
cos  
,sin  
. Phương trình trở thành:
2
2
2

2
a b
a b
sinx.cos   sin .cosx 

c
2

2

a b

hay sin  x    

cơ bản dạng (1).
CÁC DẠNG BÀI TẬP

7

c
2

2

a b

là phương trình


DẠNG 1

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Điền vào chỗ trống:
Số đo độ 600 2400

31000

3
4

Số đo rad

16
3

300

68
5


4

Bài 2. Bánh xe máy có đường kính 55cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40km/h thì trong
một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?.
Bài 3. Một đường tròn có bán kính 15cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn
có số đo




1.
2.
3. 300
4. 400
5.
4
16
2
DẠNG 2

BÀI TẬP ÔN CÔNG THỨC VÀ LÝ THUYẾT CƠ BẢN


 x   . Xác định dấu của các giá trị lượng giác.
2
 3





1. sin   x 
2. cos   x 

3. tan    x 
4. cot  x  
2
 2

2



Bài 1.Cho





21
7
 2 
4

4
9
3
7. cot .sin 

8. cos .sin .tan .cot

5
5
3
3
5
 3 
Bài 2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x nếu:

5. sin500.cos 3000

6. sin2150.tan

3
3
3
và   x 
3. cosx  0,8 và
 x  2 .
2
2
2


1
3
2. tanx  3 và 0  x 
4. sinx   và   x 
.
2
2
2
Bài 3. Xác định dấu của sinx, cosx, tanx biết:
3
3
7

7
5
11
10
x
1.   x 
2.
3.  x  2 4.  x 
5. 3  x 
.
2
2

4
4
2
4
3

4 

Bài 4. Cho sin   ;    . Tính cos ; sin2 ; tan     ; tan .
4
5 2


1. sinx  

1
1
Bài 5. Cho cosa  ,cosb  .Tính giá trị của biểu thức A  cos(a  b).cos(a  b) .
3
4

8



5



 0  a   . Tính cos2a,cos  a   ; cos    
13 
2
3
6



4
cot   tan 
Bài 7. Cho cos   00    900 . Tính A 
.
5
cot   tan 


3  3

Bài 8. Cho cos       2  . Tính sin ; tan  ; cos  2   ;

5 2
3



Bài 6. Cho cosa 








A  sin      tan    3 
2


Bài 9. Cho tan   3 . Tính giá trị của biểu thức A 



2sin   cos 
;B  tan   2  .
sin   2cos 

4


1
3
a
và   a 
. Tính sina, cos , cosa, tana, sin2a.
3
2
2



Bài 11. Cho tana=4 và 00  a  900 . Tính sina, cosa, cos  2a   .
4


Bài 10. Cho sina 


Bài 12. Tính sinx biết   x  0 và
2
 3


 7


5 
cos 5  x   sin   x   3tan   x   cot 3  x   sin2 7  x   sin2  x  
2
 2

 2


 5


Bài 13. Rút gọn biểu thức P  sin   x   cos  x    .
 2

1
1
Khi P  hãy tính giá trị của
2
cos2x
  
    3 
3

7
7
Bài 14. Tính K  cos 
 cos  sin 
 sin     tan tan
4
6
3
 4 
 4   4
Bài 15. Cho tam giác ABC chứng minh rằng sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC.

Bài 16. Chứng minh
sinx
sinx
2


1  cosx 1  cosx sinx


1
cosa  3sina  cos   a 
2

3


 1+sina+cosa+tana=(1+cosa)(1+tana);



 cos360  sin180  sin300 ;

 sin200.sin400.sin600.sin800 

9

3
.
16






1  sin2 x

 1  2tan2 x ;

cos4x  8cos4 x  8cos2 x  1

1  sin2 x
sina
sina
2

;



1  cosa 1  cosa sina

 1

 1  tanx  tan2x

 cos2x



2sina  cos  a  
4




 cosa  3sina  2sin 300  a ;
 tan  a  
4



2cosa  sin  a  
4


sin3x  sinx

 cosx ;



2cos2   x   sin2x  1
4












 G  cosx  cos x  1200  cos x  1200








1
cosa  3sina  cos   a  ; cos4a  8cos4 a  8cos2 a  1 ;
2
3


sinx  cosx 

2







 không phụ thuộc vào biến x.

1

sina  sin3a  sin5a
 tan3a .
cosa  cos3a  cos5a
cot x  sinx.cosx
1
cos480  cos180  4cos150.cos540.cos210 
2

7 1
; cos360  sin180  sin300 ; sin4x  cos4 x   cos2x
cos .cos 

12
12 4


sinb
1  sin2b  cos2b
 tan   b 
 cosb(1  cosb) ;
1  sin2b  cos2b
tanb  sinb
4


Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

 2tan2 x ;

Z  2cos4 x  sin4x  sin2 xcos2 x  3sin2 x
Câu 17. Rút gọn hoặc đơn giản biểu thức
1  cos2x  sin2x
cosa  cos3a  cos5a
A
B
1  cos2x  sin2x
sina  sin3a  sin5a

sin4a  sin2a
1  2sin2 
2cos2   1
C

D
cos   sin  cos   sin 
cos2a  cos4a
1  cosa  cos2a  cos3a
1  cos2x
E

P
5
2
2
2cos a  cosa  1
2cos x
3
3

cos a  sin a
. Tính giá trị của Q khi a  .
Q

1  sina.cosa
3
10




 2sin  x   cosa .
4

tan2 a  1
 5 

 3

cos 7  a  .sin  a    sin 5  a  .cos   a 
2 

 2


T  4sina.cosa.cos2a

M

tan2 a  tana

Z



cot 3  a  .tan  a  
2

sin4a  sin2a
1  cosa  cos2a  cos3a
;

J
N
cos2a  cos4a
2cos2 a  cosa  1

Câu 18. Cho tanx  3 .Tính giá trị của biểu thức A 

4sin2 x  5sinxcosx  cos2 x

sin2x  2
Câu 19. Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa và rút gọn
sin2 2x  4sin2 x

sinx
sinx
2cos2 x  1
;B
; C
A

sinx  cosx
1  cosx 1  cosx
sin2 2x  4sin2 x  4
5
Câu 20. Cho sina  cosa  ; Tính sin2a, cos2a, tan2a.

4
2sinx  cosx
Câu 21. Cho tanx  1 .Tính P 
và Q  cos2x .
sinx  cosx



2 
Câu 22. Chứng minh G  cos2 x  cos2  x    cos2  x   không phụ thuộc vào x.
3
3 




Câu 23. Cho sin2a  

4

3
và  a 
.Tính các giá trị lượng giác của góc a.
5
2

4

Câu 24. Cho tam giác ABC. CM rằng: cos2 A  cos2 B  cos2 C  1  2cosA.cosB.cosC.
 11

 11

Câu 25. Rút gọn A  cos 5  x   2sin 
 x   cos 
 x .
 2


 2

2
3
Câu 26. Biết sina  ;cosb 
. Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi
3
4
số a và b cùng nằm ở góc phần tư thứ II. Hãy tính cot  a  b và cot  a  b .

Câu 27. Cho 0  a 


 3



. Hãy xác định dấu của các số: sin  a   và cos   a  .
4
2

 8


Câu 28. Rút gọn A 

cos200  cos800
0

0

0

0

sin40 .cos10  sin10 .cos40

2

B  cos 100  cos2 200 

 cos2 800.

11

và


Câu 29. Cho sina 



1
.Tính P  cos 2  a  tan    a   tan   a  cot    a  .
3
2


Câu 30. Cho cosa  




3

và  a   . Tính giá sina và A  sin   a   tan  a  3  .
2
5
2


Câu 31. Tính giá trị của biểu thức X  cos150  3sin150 .

Câu 32. Cho cot x  4tanx với  x   . Tính các giá trị lượng giác của x.

2



 



 





Câu 33. Tính giá trị V  cos 170  a .cos 130  a  sin 170  a .sin 130  a .
cosa  cos5a
 2sina .
sin4a  sin2a
sin3a cos3a
Câu 35. Chứng minh
không phụ thuộc vào a.

sina cosa



sin    x  .cos  x   .tan 7  x 
2

Câu 36. Rút gọn A 
.
 3

cos 5  x  .sin   x  .tan 2  x 
 2

Câu 37. SBT-NC Chứng minh

Câu 34. Chứng minh rằng

a.-

tan2 x  sin2 x
2

2

cot x  cos x

 tan6 x

b.

sinx  cosx
3

cos x

 1  tanx  tan2 x  tan3 x

c. sin2 x 1  cot x   cos2 x 1  tanx  |sinx  cosx|

d. sin2 xtan2 x  4sin 2 x  tan 2 x 3cos 2 x 3
1  cosx
1  cosx
2
1  cosx
1  cosx 2cox




f.
1  cosx

1  cosx |sinx |
1  cosx
1  cosx |sinx |
Câu 38. Cho tanx  cot x  m , hãy tính theo m

e.

a. tan2 x  cot 2 x
b.| tanx  cot x|
Câu 39. Cho sinx  cosx  m , hãy tính theo m

c. tan3 x  cot 3 x

a. sin3 x  cos3 x
b. |sinx  cosx|
Câu 40. Đơn giản biểu thức


a. cos  x    sin  x   
2


c. sin6 x  cos6 x



b. cos    x   sin  x  
2










c. cos   x   sin   x   cos   x   sin   x 
2

2

2

2

12

 3

 3



7 
7 
d. cos   x   sin   x   cos  x    sin  x  
2 
2 

 2

 2





 3

e. cos   x   cos    x   cos   x   cos 2  x 
2


 2


 5

 13

f. sin   x   cos 
 x   3sin  x  5   2sinx  cosx
 2


 2

 11

 11

g. cos 5  x   2sin 
 x   sin 
x
 2

 2


Câu 41. Không sử dụng máy tính hãy tính

sin1350 ; cos9300 ; tan4050 ; cos7500 ; sin11400
Câu 42. Tính

2
8

2
a. cos  cos   cos
b. cos  cos 

9
9
9
5
5

DẠNG 3.

9
5

TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. y  cos
4. y  sin

 cos

2x
x 1
1

x2  1

7. y  cosx  1

2. y  tan

x
3

3. y  cot2x

5. y  cosx  1
9. y 

3

sin2 x  cos2 x
2  cosx
12. y 


1  tan  x  
3


6. y  sin

1
x2  1

10. y  tanx  cot x
13. y 

tanx  cot x
1  sin2x

tanx  cot x
1  sin2x

16. y 

tgx
cosx  1

17. y  t gx  cot g2x



18. y  t g  2x  
3



19. y 

2017x
cos2x  1

20. y  3  sinx

21. y 

22. y 

1  sinx
1  cosx

11. y 

14. y 

2
cosx  cos3x
2  cosx



1  tan  x  
3


23. y  sin3x

15. y 

1  cosx
sinx
2

24. y  cos
x
13

25. y  sin x


26. y  sin
29. y 
32. y 
35. y 

1 x
1x

27. y 

tanx
sin2x  3cos2x
sin  x  2
cos2x  cosx

sinx  2
cosx  1



30. y  tan  2x  
3


33. y 

tanx
tanx  1

3sin2x  cosx


2 

cos  4x    cos  3x  
5 
4



28. y  sin

31. y 

1

x2  1
1  cosx

2sinx  2

34. y 

1

3cot2x  1
tanx
36. y 
sin3x  cos3x

DẠNG 4. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. y= 2+3cosx;

2. y= 3  4sinx;

3. y= 2sin2x  3

4. y  4  3|sinx|

5. y  2sin2 x  cos2 x


8. y  2cos  x    3
3


6. y  cos2 x  2cos2x

7. y  3 cosx  2

 

9. y  3sin2x  2cos2 x  4

10. y  1  sin x2  1

11. y  4sin x




12. y  cosx  cos  x  
3


13. y  2  cosx

14. y  sinx  cosx  2

15. y  3sin2x  cos2x

16. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức sin4 x  cos4 x
17. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức sin6 x  cos6 x

DẠNG 5. XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
1. y  x.cos3x

2. y  x2 .sin2x

3. y  x3 .cos4x

4. y  sin2 2x

5. y  cos3 x

6. y  tan3x

7. y  sin2 2x+1

8. y  cos2 x  sin2x

9. y  cos2 x  tan2 x

3

2

10. y  sin 2x  tan x

13. y  sinx  cosx
16. y  2sinx

cosx  cot 2 x
11. y 
sinx
14. y  tg|5x|
17. y  3sinx  2

14

12. y  sinx.cos2x+tgx

15. y  tgx  sin2x
18. y  sinx  cosx


19. y  sinx.cos2 x  tanx



20. y  cos  x  
4


22. y  tan2 x

23. y 

DẠNG 6.

x3  sinx
cos2x

21. y 

1  cosx

1  cosx

24. y 

cosx  cot 2 x
sinx

VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Các bước vẽ đồ thị hàm số:
 Vẽ đồ thị hàm số y  sinx


Vẽ đồ thì hàm số y  sin  x    bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số

y  sinx sang bên trái  đơn vị.
 Vẽ đồ thì hàm số y  sin  x    bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số
y  sinx sang bên phải  đơn vị.
 Vẽ đồ thì hàm số y  sinx  K bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y  sinx
lên trên theo phương trục oy, K đơn vị.
 Vẽ đồ thì hàm số y  sinx  K bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y  sinx
xuống dưới theo phương trục oy, K đơn vị.
 Các dạng khác của hàm số cosx, tanx, cotx thực hiện tương tự.





1. y  sinx
2. y  sin  x  
3. y  sin  x  
4
4


4. y  sin  x   1

5. y  sin  x   1

7. y  2sinx

8. y  sin2x



10. y  sin  2x  
4

13. y  sin| x|

16. y  cosx



9. y  sin  2x  
4






11. y  sin  2x    1 12. y  sin  2x    1
4
4


14. y |sinx|
15. sin|2x| 1




17. y  cos  x  

18. y  cos  x  
4
4



19. y  cos  x   1

20. y  cos  x   1

22. y  2cosx

23. y  cos2x



25. y  cos  2x  
4


6. y   sin  x 

21. y   cos  x 



24. y  cos  2x  
4





26. y  cos  2x    1 27. y  cos  2x    1
4
4



15


28. y  cos| x|

29. y |cosx|

31. y  tanx

32. y  cot x

30. cos|2x| 1


33. y  tan  x  
4


DẠNG 7.

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN + PT BẬC NHẤT

1. sin2x 

3
2

4. sin3x 

 3
2

0





  12
2
5. sin  2x  15  
2
1
8. sin 2x  15   
3
1

11. cos 3x  45  
2
2. sin x  600 

7. cos 2x  150  
10. cos 2x  5  

1
2

0

1
3

0

  13
16. tan 2x  45   1

14. tan 2x  3  2

13. tan x  300  
0

19. 2cosx  3 =0
22. 2sinx.cosx.cos2x=1
24. sin7x  sin3x=cos5x


26. 2cos  3x    3  0
4

28. sinx  cos5x  0
30. sinx 

x
 1
6. sin   100  
2
 2


3
9. cos  3x   
12  2




12. cos  x    1
6






15. cot 2x  150   3



x 


17. cot  x    3
18. tan     tan
3
8

3 4
20. 3 tan3x  3=0
21. sin2x  2cosx=0
23. cos3x  cos4x+cos5x=0

25. cos2x  sinx  1=0

27. sinx  sin3x  0
29. cosx  cos3x  0





1
3

3. sin2x  1

31. sin x  450  

2
32. cosx  sinx
2

DẠNG 8. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. 4sin2 x  7sinx  3  0

2. 2cos2 x  sinx  1  0

3. cot 2 x  4cot x  1  0

4. 2tan4 x  3tan2 x  1  0

5. sin2x  3cosx

6. cos2x  3sinx  1  0

7. cos2x  3cosx  4cos2
9. 2cos2 x  3cosx  1  0

x
2

8. tan2 x  cot 2 x  2 tanx  cot x   6
x
x
10. sin2  2cos  2  0
2
2
16

11. 8cos2 x  2sinx  7  0

12. 4  7sinx  cos2x

13. cos2x  sin2x  2cosx  0
14. 2cos2 x  sin2x  cosx  3  0
x
x
15. cosx  3cos  2  0
16. cos2x  3cosx  4cos2
2
2



 5

17. cos2 x    4cos   x  
18. sin2 x  sinx  0
3

6
 2
DẠNG 9. PT THUẦN NHẤT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. cosx  3sinx  3

3.

3sinx  cosx  3

2. cosx  3sinx  1
4. cosx  sinx  2

5. cosx  sinx  1

6. 2cosx  2sinx  2

7. 3sinx+4cosx=5

8. sin3x  3cos3x  2

9. cos4x  3sin4x  2  0
11. 3cosx-4sinx=5
13. 5sin2x-6cos2x=13


15. 3sinx  cosx  2sin  x  
3


10. sin2x  cos2x  2sinx
12. 2sin2x-2cos2x= 3
14. sin3x - 3 cos3x =2sin2x

DẠNG 10.

16. 4sinx  3cosx  5

PT THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. sin2x  8sinx.cosx  7cos2 x  0 2. cos2 x  3sin2 x  2 3sinx.cosx  1
3. 4sin2 x  3 3sin2x  2cos2 x  1 4. 6sin2 x  7 3sin2x  8cos2 x  6

1
5. 3cos2 x  sin2x  3sin2x  1 6. sinx  sin2x  1
2
7. cos2 x  3sinx.cosx  1  0

8. 2cos2 x  5sinx.cosx  6sin2 x  1  0

DẠNG 11. PT HỔN HỢP ĐỐI XỨNG
1. sinx  cosx  2 2sinx.cosx  0

 


4. 1  2  1  sinx  cosx   sin2x

2. cosx  sinx  3sin2x  1  0



3. 1  2  sinx  cosx   sin2x  1  2  0

5. 8 sinx  cosx   2 2sin2x  5 2  0

6. 6 sina  cosa   sina.cosa  6  0 7. sinx.cosx  2  sinx  cosx   1  0
BÀI TẬP HAY SÁCH GIÁO KHOA

17


1. 2sin2 x  3cosx  2, 00  x  3600 2. tanx  2cot x  3, 1800  x  3600
1
1
2
3. sinx  2sin5x  cosx
4.


sin2x cos2x sin4x

cos2x
1
5. sinx  cosx 
6. sin2x  sin2 x 
1  sin2x
2

1  cos2x
sin2x
2 
7.
8. sin  x    cos2x


3 
cosx
1  cos2x

9. 5tanx  2cot x  3
10. tanx  1  cos2x
11. 3sin4 x  5cos4 x  3  0
x
13. tan cosx  sin2x  0
2

12. sin2x  2cos2x  1  sinx  4cosx
14. sin6 x  3sin2 xcosx  cos6 x  1

15. sin3 xcosx  sinxcos3 x 
17. Giải phương trình

2
8

16. sin2 x  sinxcos4x  cos2 4x 

2sinx  12sin2x  1  3  4cos2 x

3
4

18. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trên khoảng (0 ; 2) :
sin3x  sinx

|sinx |
1
 cosx  ;
sinx
2

1  cos2x

 cos2x  sin2x

ĐỀ THI HỌC KỲ VÀ ÔN TẬP CỦA CÁC TRƯỜNG THPT Ở THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG.
Trường THPT Thái Phiên
1. 2tan2 x  3tanx  1  0

2. sin3x  sin2x  3cos3x  cos2 x

3. |sinx  cosx| 4sin2x  1

4. sin3x  3cos3x  2sinx  0
5
6. sin4 x  cos4 x  3sin4x  sin2 2x  0
2

5. 2sin2 x  2sin2x  4cos2 x  1





7. 3 cosx  3sinx  sin4x  4cos2 x  cos4x  4sin2 x
8. cos2x.cos3x  cos5x  0

9. cot x  2sin2x  1

10. sin3 x  cos3 x  cos2x

11. 3cosx  sinx  4sin2 x  2

12. cos3x  cos5x  sin4x  sin2x

13. 3sinx  sin2x  1  cosx  2sin2 x

cos3 2x
 3  sin4x
14.



cos2  x  
4


15. 2sin2 x  4cosx  sinx  cosx   3  0

18


16. 2  cos2x  2tanx
17. sin2 3x  sin2 5x  cos2 4x  cos2 6x
3sin2x  2sinx
18.
19. 4cos3 5x  3sin15x  2  3cos5x
2
sin2x.cosx
20. 2cosx.cos2x  1  cos2x  cos3x 21. sin2x  12 sinx  cosx  1

22. cot x  tanx  cosx  sinx



23. Tìm GTLN, GTNN của y  sinx  sin  x  
3


24. 4sinx  2 3  0


26. 2sin2  x    2sin2 x  tanx

4


25. sin2x  2cosx  2  0

28. sinx  3cosx  3

29. 2sin17x  sin5x  3cos5x  0

27. sin2x  3cosx  3  0

Trường THPT Trần Phú và Phan Châu Trinh

1. 3cos2 x  2cosx  1  0

2. 2sin2 x  sin2x  2cos2 x  1
2015
3. cos4 x  cos2x  2sin6 x  0
4. Tìm TXĐ của y 
tan2x  3
1  cot gx
5. Tìm nghiệm của phương trình 2cosx 
trên  0; 
tgx  1
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  3sin2x  cos2x  1





7. cos2x  3sinx  2  0
8. sin  x    2cos   x 
3

6

9. cosx  sinx  0

10. cos3x.cosx  cos

11. sin5x  2sinx

12. 2sinx  3  0

5x
3x 1
.cos  2
2
2 2

13. 3sinx  cosx  2
14. 2cos2 2x  3cos2x  1  0
15. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y   sinx  2cosx 2sinx  cosx   1
16. sinx 

1
2

18. Tìm TXĐ của y 

17. cos4x  4sin2x  1  0
tgx

2sinx  1

19. tan2x.sin2x  3 3cot2x.cos2x  0.



20. 2sin  x    3
4


21. 4cos2 x  3sinx.cosx  sin2x  3

22. 1  cosx  cos2x  0







23. cos  x    sin2  x    sin  x  
6
6
6




19


24. Tìm TXĐ y 

2  cosx
1  cosx

25. cos5x  3sin5x  sin3x  3cos3x

26. cos2x  5cosx  3  0
28. Tìm TXĐ y 

27.

1
cot3x

30. Xét tính chẵn lẻ của y 

29. 5  2sin2 x  5cosx  0

cos2x
x





32. sin  2x    sin  3x    0
6
4



34.

cosx  sin2x
 3
cos2x  sinx

3  3cos2x
 cosx
2sinx




31. Tìm GTLN, GTNN y  cosx  cos  x  
3


33. 6cos2 x  5sinx  7  0
35. 2cos2x  sinx  3cosx

36. 4sin2 2x  8cos2 x  9  0

37. 1  3tgx  2sin2x





38. Tìm GTLN, GTNN của y  2cos  x    cos  2x  
6
6


 3

39. Xét tính chẵn lẻ của hàm số f(x)  tan  x   sin   x 
 2




1
1
40.  4  sinx  sinx  3
41. 2 2sin  x   

4  sinx cosx


42. 2cosx  sinx  11  sinx   cos2 x

1
tgx  1




45. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  sin  x    sin  x    sinx
3
3



43. tgx  cot gx  2 sin2x  cos2x  44. Tìm TXĐ y 







3
46. 8 cos4 x  sin4 x sinx.cosx  1 49. 2cosx  cosx  t gx  3
2




BÀI TẬP HỔN HỢP CÁC DẠNG
1. cos2x  sinx  1 = 0
3. 4sinx.cosx.cos2x =  1
1
5. sinxsin2xsin3x = sin4x
4
7. cos2x+cos4x+cos6x = 0

2. cosx.cos2x = 1+sinx.sin2x

4. cos5x. cosx = cos4x;
1
6. sin4 x+cos4 x =  cos22x
2
8. sinx  sin3x+sin5x+sin6x = 0
20


1
9. sin5xcos3x = sin2x+ sin3x
2
2

11. 2cos x  3cosx+1 = 0
13. 2sin2x+5sinx  3 = 0

10. cos2xcos4x = cos6x 

1
sin4x
2

17. 2sin2x  5cosx+1 = 0
19. 3sin2x+2cosx = 0
21. 2tanx-3cotx-2 = 0

23. 3 tan2x-(1+ 3 )tanx+1 = 0
25. 2sin2x-sinxcosx-cos2x = 2
27. cos2x+2sinxcosx+5sin2x = 2
29. 4cos2x-3sinxcosx+3sin2x = 1.
31. cosxcos2x = 1+sinxsin2x
33. tanx = 3cotx

12. cos2x+sinx+1 = 0
14. 3cos2x  2sinx+2 = 0
1
16.  +sin2x = cos4x.
4

18. 2sin22x+3cos2x = 3
20. 4sin2x-cos2x = 2
22. cotx-cot2x = tanx+1
24. 4cos2x+3sinxcosx-sin2x = 3
26. 4sin2x-4sinxcosx+3cos2x = 1
28. 3cos2x-2sin2+sin2x = 1
30. cos2x-sinx-1 = 0
32. 4sinxcosxcos2x = -1
34. sinx+2sin3x = -sin5x

35. cos5xcosx = cos4x

36. sinxsin2xsin3x =

15. 5sin2x+3cosx +3 = 0

37. sin4x+cos4x = -

1
cos22x
2

39. 5sin2x+3cosx+3 = 0
1

4

1
sin4x
4

38. 3cos2x-2sinx+2 = 0
40. sin6x+cos6x = 4cos22x

41.  +sin2x = cos4x

42. 2tanx-3cotx-2 = 0

43.
45.
47.
49.

44.
46.
48.
50.

cos2x =3sin2x+3

cos2x+2sinxcosx+5sin2x =2
4cos2x-3sinxcosx+3sin2x = 1
sin5x+cos5x= -1
1
2

51. sin6x+cos6x+ sin4x=0

cotx-cot2x = tanx+1
3cos2x-2sin2x+sin2x = 1
2cosx-sinx=2
8cos4x-4cos2x+sin4x-4=0

52. sin2x-cos2x=cos4x

53. cos3x-cos5x=sinx
54. 3sin2x+4cosx-2=0
55. sin2x+sin22x=sin23x
56. 2tanx+3cotx=4
57. 2cos2x-3sin2x+sin2x=1
58. 2sin2x+sinxcosx-cos2x=3

 
 3

59. cos4x+sin4x + cos  x   sin  3x     0
4 
4 2

60. 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x = 1
61. cos23xcos2x -cos2x = 0
62. 5sinx-2 =3(1-sinx ) tg2x
63. (2cosx-1)(2sinx+cosx) =sin2x -sinx
x
2
 x 
64. sin 2    tan 2 x  cos2  0

65. cotx -tanx +4sin2x =
sin 2 x
2
2 4
cos 2x
1
66. cot x  1 
 sin 2 x  sin 2x 67. 2sin2x -2(sinx+cosx) + =0
1  tan x
2
21

68. cotgx- tgx = sinx +cosx
69. cos3x+sin3x =cos2x
70. cos2x +2(sinx+cosx)3 -3sin2x – 3 =0; 71. 2sin3x –cos2x +cosx = 0
72.

2 (sinx+cosx) = tgx +cotgx

74. 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0

3
sin2x

2
3
75. 1+sin3x+cos3x = sin2x
2

73. 1+sin3x+cos3x =

76. sin3xcos3x +cos3x.sin3x =sin34x
77. cos3x+cos2x +2sinx-2=0
78. 1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x
79. (2sinx+1)(3cos4x+2sinx-4)+4cos2x =3
80. cos4x + 12sin2x -1 =0

82. cos2x -2sinx +2=0

81. sin3x - 3 cos3x =2sin2x
83. cos4x-sin4x +cos4x =0

84. sin2x +sin22x= sin23x +sin24x

85. sin2xsinx +cos5xcos2x=



86. 2sin2   2x   3cos4x  4cos2 x  1

4

1
88. cosxcos2xsin3x= sin2x
89.
4
90. 1+sinx+cosx+tgx= 0

91.

92. 2sin3x +4cos3x =3sinx
94. cos2x +cos4x -2=0

96. 1  cosx  cos2x  cos3x  0

93.
95.
97.

1  cos8x
2

1
1



 2sin  x  
87.
cosx sinx
4

1
sin4x+cos4x =
sin2x
2

   1  sinx 

3tan2  x    2

2   sinx 

cos4x -2sin2x+2=0
sinx  sin4x  sin7x  0
cos2x  cos6x  cos8x  1

98. sinx  sin2x  sin3x  1  cosx  cos2x 99. sin3x  cos3 x  cos2x
100. tanx  tan2x  tan3x
101. 1  sinx  cosx  sin2x  cos2x  0
ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM

2016 QG

Giải phương trình

2sin2 x  7sinx  4  0

2015 QG

Tính giá trị của

P  1  3cos2a 2  3cos2a  biết sina 

2014 A

Giải phương trình

sinx  4cosx  2  sin2x .

2014 B

Giải phương trình

2013 A

Giải phương trình



1  tanx  2 2sin  x   .
4


2013 B
2013 D

Giải phương trình

Giải phương trình

sin5x  2cos2 x  1 .
sin3x  cos2x  sinx  0.

2012 A

Giải phương trình

2  sinx  2cosx   2  sin2x .

3sin2x  cos2x  2cosx  1

22

2
.
3






2 cosx  3sinx cosx  cosx  3sinx  1 .

2012 B

Giải phương trình

2012 D

sin3x  cos3x  sinx  cosx  2cos2x .
Giải phương trình
sin2x  2cosx  sinx  1
 0.

tanx  3
sin2xcosx  sinxcosx  cos2x  sinx  cosx .
1  sin2x  cos2x
 2sinxsin2x.
1  cot 2 x
(sin2x+cos2x)cosx+2cos2x  sinx=0 .
sin2x  cos2x  3sinx  cosx  1  0 .
1  sin x  cos 2x sin  x   
4 1


cos x .

1  tan x
2
3 cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 .
sinx+cosx.sin2x+ 3 cos3x=2(cos4x+sin3x).
1  2 sin x cos x  3 .
1  2 sin x 1  sin x 
2sinx (1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx.
sin3x  3 cos3x = sinx.cos2x  3 sin2x.cosx.
 7

1
1


 4sin   x  .
sinx

3 
 4

sin  x  
2 


2011 D

2011 B
2011 A
2010 B
2010 D
2010 A
2009 D
2009 B
2009 A
2008 D
2008 B
2008 A

2

2007 D
2007 B
2007 A
2006 D
2006 B

2006 A

2005 D
2005 B


x
x
 sin  cos   3cosx  2 .
2
2

2.sin22x+sin7x  1=sinx.
(1+sin2x )cosx +(1+cos2x)sinx =1 +sin2x .
cos3x +cos2x  cosx  1=0.


x
cotgx +sinx  1  tgx.tg  = 4.
2






2 cos6 x  sin6 x  sinxcosx
2  2sinx

0




 3
cos4 x  sin4 x  cos  x   .sin  3x     0.
4
4 2


1  sinx  cosx  sin2x  cos2x  0.

23


2005 A

cos2 3x.cos2x  cos2 x  0.

2004 A

 ABC không tù, thỏa điều kiện cos2A  2 2cosB  2 2cosC  3. Tính
ba góc của tam giác.

2004 B
2004 D
2003 A
2003 B
2003 D
2002A

5sinx  2  31  sinx .tg2x.

2cosx  12sinx  cosx   sin2x  sinx.

cos2x

1
 sin2 x  sin2x.
1  tgx
2
2
cot gx  tgx  4sin2x 
.
sin2x
x 
x
sin2    tg2x  cos2  0.
2

2 4
cot gx  1 

5( sinx +

cos3x  sin3x
)  cos2x  3 . Tìm nghiệm thuộc  0;2 
1  2sin2x

2002 B
sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x
2002 D

cos3x  4cos2x  3cosx  4  0
ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC CỦA BỘ GIÁO DỤC
2  sin 2x  sin3x

y  1  tan x 
2

1.

4

sin4 x  cos4 x 1

1
2.
 cot2x 
5sin2x
2
8sin2x

cos4 x

x
3. tanx  cosx  cos2 x  sinx  1  tanx.tan 
2



4. 3  tanx  tanx  2sinx   6cosx  0





6. cos2x  cosx 2tan2 x  1  2

2  3 cosx  2sin  2x  4 

5.

1
2

8cos x

 sinx

7. 3cos4x  8cos6 x  2cos2 x  3  0

2

8.

2cosx  1

1

10. 1  sinx  1  cosx  1

9. sin4x.sin7x  cos3x.cos6x

12. 2cosx  12sinx  cosx   sin2x  sinx

13. sinx  sin2x  3  cosx  cos2x 





11. 4 sin3 x  cos3 x  cosx  3sinx

 3

sinx
14. tan   x  

2
 2
 1  cosx

24


15. sin2x  cos2x  3sinx  cosx  2  0
17. 1  tanx 1  sin2x   1  tanx
19.




16. 2 2cos3  x    3cosx  sinx  0
4



18. 2 2sin  x   cosx  1
12 


 5x  
x 

3x
20. sin     cos     2cos
2
 2 4
2 4




2
22. sin  2x    sin  x   
4

4 2



sin2x cos2x

 tanx  cot x
cosx
sinx

21. tanx  cot x  4cos2 2x




 1
23. 2sin  x    sin  2x   
3
6 2



24. 3sinx  cos2x  sin2x  4sinxcos2

25. 4 sin4 x  cos4 x  cos4x  sin2x  0

26. sin2x  sinx 







27. 2cos2 x  2 3sinxcosx  1  3 sinx  3cosx
28. cos3xcos3 x  sin3xsin3 x 







23 2
8





x
2

1
 2cot2x
2sinx



29. 2sin  2x    4sinx  1  0
6



30. 2sin2 x  1 tan2 2x  3 2cos2 x  1  0 31. cos2x  1  2cosx  sinx  cosx   0
32. cos3 x  sin3 x  2sin2 x  1 .


34. 2 2cos3  x    3cosx  sinx  0 .
4


33. 4sin3 x  4sin2 x  3sin2x  6cosx  0

36. cos3 x  cos2 x  2sinx  2  0 .

37. 2sin3x 

35. sin3x  3cos3x  2sin2x .

38. tanxsin2 x  2sin2 x  3 cos2x  sinx.cosx  .

1
1
.
 2cos3x 

sinx
cosx

39. |sinx  cosx|  |sinx  cosx| 2 .

40. 4 sin3x  cos2x   5 sinx  1 .

41. sinx  4sin3 x  cosx  0 .






42. sin  3x    sin2x.sin  x   .
4
4


 7

1
1
44.


 4sin   x  .
sinx

3 
 4

sin  x  
2 


43. sin3 x.cos3x  cos3 x.sin3x  sin3 4x

45. sin3 x  3cos3 x  sinx.cos2 x  3sin2 x.cosx (chia hai vế cho cos3x).
46. 2sinx 1  cos2x   sin2x  1  2cosx .

25