Chuyên đề toán mặt nón
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 31 trang )
Nhóm Tài liệu dạy thêm
MẶT NÓN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng P , cho hai đường thẳng d và cắt nhau
tại O và chúng tạo thành góc với 0 0 90 0 . Khi quay
P
O
xung quanh trục với góc không thay đổi được gọi
là mặt nón tròn xoay (gọi tắt là mặt nón) đỉnh O (hình 1).
Đường thẳng gọi là trục, đường thẳng d được gọi là
đường sinh và góc 2 gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón tròn xoay
Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì
đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón
O
Hình 1.
O
d
tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường
cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm I , bán kính r IM là đáy của hình nón.
I
Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh OM khi
M
quay quanh OI gọi là mặt xung quanh của hình nón.
Hình 2.
Khối nón tròn xoay (gọi tắt là khối nón) là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón
tròn xoay, kể cả hình nón đó.
3. Một số tính chất
a) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng P đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau:
P cắt hình nón theo hai đường sinh giao tuyến là tam giác cân.
P tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh ( P là mặt phẳng tiếp diện của hình nón).
b) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng P không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau:
Nếu P vuông góc với trục hình nón giao tuyến là một đường tròn.
Nếu P song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là một nhánh của hypebol.
Nếu P song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là một đường parabol.
4. Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:
Diện tích xung quanh: Sxq rl .
Diện tích toàn phần hình nón: Stp Sxq Sđáy rl r 2 .
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 1 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
1
1
Thể tích khối nón: Vnón Sđáy .h r 2 h .
3
3
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1: Cho tam giác vuông OIM quanh cạnh góc vuông OI tạo thành một hình nón tròn
30 và cạnh IM a . Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
xoay. Biết góc IOM
và thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay trên.
Giải:
O
Ta có: r IM a .
l OM
IM
2 a , h OI OM 2 IM 2 a 3 .
sin IOM
30
I
Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq rl a.2 a 2 a 2 .
M
3
1
1
a 3
Thể tích của khối nón: V r 2 h a 2 a 3
.
3
3
3
Ví dụ 2: Một hình nón có đường kính đáy là 2a 3 , góc ở đỉnh là 1200 . Tính diện tích toàn
phần của hình nón và thể tích của khối nón trên.
Giải:
O
60 nên
Ta có r IA a 3 , IOA
120
IA
a 3
l OA
2a , h OI OA2 IA2 4a 2 3a 2 a.
sin 60
3
2
A
B
I
Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq rl a 3.2a 2 a 2 3 .
Diện tích đáy của hình nón: Sđáy r 2 3 a2 .
Diện tích toàn phần của hình nón: Stp Sxq Sđáy 2 a 2 3 3 a 2 2 3 3 a 2 .
1
1
Thể tích của khối nón: V Sđáy .h 3 a 2 .a a 3 .
3
3
Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao h 20 cm, bán kính đáy r 25 cm. Mặt phẳng đi qua
đỉnh cắt hai đường sinh của hình nón. Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng
là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.
Giải:
O
Ta có cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân OAB với
A, B là hai điểm nằm trên đường tròn đáy.
Gọi H là trung điểm AB khi đó IH AB .
Mà OI AB suy ra AB OIH 1 .
Kẻ IK OH , K nằm trên OH .
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
h
K
B
I
r
H
A
Trang 2 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Từ 1 suy ra IK AB . Do đó IK OAB . Theo giả thiết IK 12 cm.
Tam giác OIH vuông tại I nên
1
1
1
OI .IK
20.12
2 IH
15 cm.
2
2
IK
IH
OI
OI 2 IK 2
202 12 2
OH OI 2 IH 2 20 2 152 25 cm.
AH IA2 IH 2 252 152 20 cm AB 40 cm.
1
1
Diện tích thiết diện: S OH .AB .25.40 500 cm2.
2
2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình nón đỉnh S có thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân SAB có cạnh
huyền bằng a 2 . Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng.
Đáp án: Stp
a 2 (1 2)
2
;V
a3 2
12
.
Bài 2. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S có O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh
bằng a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính diện tích xung quanh
Sxq của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng.
Đáp án: Sxq a2 ; V
a3 6
12
.
Bài 3. Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có diện tích
bằng 2a 2 . Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tướng ứng.
Đáp án: Sxq 2 a 2 2; V
2 2 a 3
.
3
Bài 4. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABC D có cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a . Biết
rằng O là tâm của ABC D và C là đường tròn nội tiếp đáy ABCD . Tính diện tích xung
quanh của hình nón có đỉnh O và đáy C .
Đáp án: Sxq
Bài 5. Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có
3 a 2
.
2
O
đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy
của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối nón
h
này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 x h .
h
Đáp án: x .
3
x
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. Tính diện tích, thể tích mặt nón đơn thuần.
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 3 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Câu 1:
[2H2-1] (Chuyên Thái Bình, lần 3 năm 2017) Cho hình nón có bán kính đáy là 4a ,
chiều cao là 3a . Diện tích xung quanh hình nón bằng
A. 24 a 2 .
B. 20 a 2 .
C. 40 a 2 .
D. 12 a 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
S xq rl ; l 2 (3a) 2 (4a)2 (5a) 2 l 5a S xq 20 a 2 .
Câu 2:
[2H2-2] (Chuyên Nguyễn Quang Diệu, lần 1 năm 2017) Một hình nón có đường sinh
bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng 9 . Tính đường cao h của
hình nón.
A. h 3 3.
B. h 3.
C. h
3
.
2
D. h
3
.
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có l 2 R và S 9 R 2 9 R 3
h AO 62 32 3 3
Câu 3:
[2H2-2] (THPT Lê Hồng Phong, năm 2017): Một hình nón có thiết diện qua trục là tam
giác đều cạnh a. Thể tích khối nón là
a 3 3
.
12
Hướng dẫn giải:
A.
B.
a 3 3
.
24
C.
a 3 2
.
24
D.
a 3 2
.
12
Chọn B.
Ta có tam giác SAB đều cạnh a , SO
a
a 3
, r OB .
2
2
1
a 2 a 3 3a 3
.
.
Vậy thể tích khối nón là V r 2 .SO
3
12 2
24
Câu 4: [2H2-2] (Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2017): Cho hình nón có chiều cao bằng 3cm , góc
giữa trục và đường sinh bằng 60 . Thể tích của khối nón là
A. 9 cm3 .
B. 3 cm3 .
C. 18 cm3 .
D. 27 cm3 .
Hướng dẫn giải
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 4 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Chọn D.
600 h 3cm
r
Hình nón có chiều cao h 3cm .
Bán kính đáy r h.tan 600 3. 3cm .
2
1
1
Thể tích khối nón là: V r 2 h . 3 3 .3 27 cm3 .
3
3
Câu 5: [2H2-2] (Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2017): Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng
2cm , góc ở đỉnh bằng 60 . Diện tích xung quanh của hình nón là
A. cm 2 .
B. 2 cm2 .
C. 3 cm2 .
D. 6 cm 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
60
l
h
r
Do góc ở đỉnh bằng 60o suy ra thiết diện đi qua trục hình nón là tam giác đều.
Ta có r 1 , l
r
2r 2 .
sin 300
Diện tích xung quanh của hình nón là S xq rl 2 cm2 .
Câu 6: [2H2-1] (Chuyên Phan Bội Châu, lần 1 năm 2017): Một hình nón có chiều cao bằng a 3
và bán kính đáy bằng a . Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón.
A. S xq 2 a 2 .
B. S xq 3 a 2 .
C. S xq a 2 .
D. S xq 2a 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đường sinh: l h 2 r 2 2a . Diện tích xung quanh là S xq rl 2 a 2
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 5 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Câu 7: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Bình Phước, lần 1 năm 2017): Thiết diện qua trục hình nón là
một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích
của khối nón tương ứng có giá trị lần lượt là
A.
2 a 2
và
2
1 2 a
C.
2
2 a 3
.
4
2
và
B.
2 a 3
.
12
D.
1 2 a
2
2
và
2 a 2
và
2
2 a 3
.
4
2 a 3
.
12
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có đường kính đáy là a 2 R
2
a 2
, chiều cao hình nón là
2
a 2 a
a 2
Stp S xq Sd
a
2
2
2
1
a
a2 a2
2
2
2 1
2
2
1
1 a 2 a 2 a3 2
Ta có V B.h
.
3
3 2
2
12
Câu 8: [2H2-2] (Chuyên Thải Bình, lần 1 năm 2017) Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 ,
đường sinh bằng 2a, diện tích xung quanh của hình nón là:
A. S xq 4 a 2
B. S xq 2 a 2
C. S xq a 2
D. S xq 3 a 2
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Góc được gọi là góc ở đỉnh .
Ta tính được r 2a sin 300 a S xq rl 2 a 2
Câu 9: [2H2-1] (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần 1 năm 2017) Cho khối tròn xoay có đường
cao h 15cm và đường sinh l 25cm . Thể tích V của khối nón là:
A. V 2000 cm3
B. V 240 cm3
C. V 500 cm3
D. V 1500 cm3
Hướng dẫn giải:
Chọn A
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 6 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
1
Thể tích khối nón tròn xoay V r 2 h . Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao.
3
Mối quan hệ giữa các đại lượng h, r, l trong hình nón là l h 2 r 2
Bán kính đáy của hình nón là r l2 h 2 252 152 20
1
1
Thể tích khối tròn xoay là V r 2 h ..202.15 2000
3
3
Câu 10: [2H2-3] (Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 1 năm 2017): Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt
phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Gọi BC
là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng SBC tạo với mặt
phẳng đáy một góc 600 . Tính diện tích tam giác SBC
a2 3
3
Hướng dẫn giải:
Đáp án B
A. S
B. S
a2 2
3
C. S
a2
3
D. S
a2 2
2
S
B
O
I
A
C
SAB vuông cân ở S, AB a 2,SA SB a suy ra OB
a 2
SO
2
Gọi I là trung điểm BC, SBC cân ở S suy ra SI BC
Góc (SBC, đáy)=góc SIO 600
SO sin 600 SI a 6
sin SIO
SI
3
a 3
BC 2BI 2 SB2 SI2
3
2
1
a 2
.
SSBC SI.BC
2
3
Câu 11: [2H2-2] Bán kính đáy của hình nón bằng a , diện tích xung quanh bằng hai lần diện
tích đáy. Tính thể tích V của khối nón.
a3 3
a3 3
4 3 a 3
.
.
B. V a 3 3 .
C. V
D. V
.
3
6
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A .
Gọi h, l , R lần lượt là chiều cao, đường sinh và bán kính đáy của hình nón.
A. V
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 7 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Ta có diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy l 2r 2a
1
a3 3
V r 2 h=
π.
h l 2 r 2 a 3 . Vậy thể tích của khối nón là:
3
3
Câu 12: [2H2-1] (THPT Hậu Lộc 4, lần 1 năm 2017): Cho hình nón có đường cao bằng 20cm,
bán kính đáy 25cm. Diện tích xung quanh hình nón đó là:
A. 125π 41 cm 2
B. 120π 41 cm 2
C. 480π 41 cm 2
D. 768π 41 cm 2
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Độ dài đường sinh là: l 202 252 5 41
Diện tích xung quanh hình nón đó là: Sxq πRl π.25.5 41 125π 41 cm 2
1
4
hình tròn giữa 2 bán kính OA, OB rồi ghép 2 bán kính đó lại sao cho thành một hình
Câu 13: [2H2-3] (THPT Hậu Lộc 4, lần 1 năm 2017): Cho hình tròn có bán kính là 6. Cắt bỏ
nón (như hình vẽ).
Thể tích khối nón tương ứng đó là:
81π 7
8
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
A.
B.
9π 7
8
C.
81π 7
4
D.
9π 7
2
Độ dài đường sinh l của hình nón bằng bán kính của hình tròn l 6
Chu vi đáy của hình nón là sau khi bỏ phần tam giác OAB là độ dài cung lớn AB:
3
lAB 2π.6 9π
4
9π 9
Bán kính đáy của hình nón sau khi ghép là: R N
2π 2
2
3 7
9
Độ dài đường cao của hình nón là: h l R 6
2
2
2
2
2
2
1
1
1 9 3 7 81 7π
Thể tích khối nón đó là: V S.h πR 2 h π. .
3
3
3 2
2
8
Câu 14:
[2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa, lần 1 năm 2017): Cho khối nón có thể tích
bằng 4 và chiều cao là 3 . Tính bán kính đường tròn đáy của khối nón .
A. 2.
B. 1.
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
C.
2 3
.
3
D.
4
.
3
Trang 8 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Hướng dẫn giải
Chọn A
3V 3.4
r2
4r 2
h
3
Câu 15: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Tuyên Quang, năm 2017): Một hình nón có bán kính đáy
4R
bằng R , đường cao
. Khi đó góc ở đỉnh của hình nón là 2 thỏa mãn đẳng thức:
3
A. sin
3
5
3
3
B. cos 5
3
C. tan 5
D. cot 5
Hướng dẫn giải:
Chọn A
2
5
4
2
Độ dài đường sinh của hình nón là: l R R R . Vậy:
3
3
sin
R
3
5
R 5
3
Câu 16: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Kiên Giang, năm 2017) Tính thể tích khối nón, biết khối
nón có chu vi đáy là 6 và chiều cao bằng 5.
A. V 30.
B. V 45.
C. V 15.
D. V 10.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có chu vi đáy là C 2 R 6 R 3 .
1
1
Vậy thể tích khối nón là V R 2 .h .32.5 15
3
3
Câu 17: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Long An, năm 2017) Cho hình nón ( N ) có diện tích toàn
phần bằng 24 cm 2 và bán kính mặt đáy bằng 3 cm. Tính thể tích V của khối nón ( N ).
A. V 6 cm3 .
B. V 24 cm3 .
C. V 12 cm3 .
D. V 36 cm3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có Stp S xq Sd R 2 Rl .32 .3.l 24 l 5 cm . Vậy chiều cao h 4cm
1
1
Vậy thể tích khối nón là: V R 2 .h .32.4 12
3
3
Câu 18: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Giang, lần 2 năm 2017): Cắt một hình nón bởi một mặt
phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác vuông có diện tích bằng 9.
Tính diện tích toàn phần của hình nón.
A. 9.
B. 6(1 2).
C. 9(1 2).
D. 9 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Thiết diện với hình nón qua trục là tam giác cân nên theo giả thiết thiết diện là tam giác vuông
1
cân có cạnh là đường sinh l nên ta có S l 2 9 l 3 2 .
2
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 9 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Khi đó bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón là h R
Vậy diện tích toàn phần của hình nón là: Stp R 2 Rl 9 1 2
l
3
2
Câu 19: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Hà Nam, năm 2017): Cho khối nón (N) có bán kính đáy
bằng 3 và thể tích bằng 12 . Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón (N)?
A. S xq 18 .
B. S xq 16 .
C. S xq 24 .
D. S xq 15 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D
1
1
Ta có V R 2 .h .32.h 12 h 4 . Vậy độ dài đường sinh l 5
3
3
Vậy S xq Rl .3.5 15
Câu 20:
[2H2-2] Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 2a và mặt phẳng qua trục cắt hình
nón theo thiết diện là tam giác vuông. Tính thể tích V của khối nón.
2 2 a 3
3 a 3
2 3 a 3
2 a 3
B. V
C. V
D. V
3
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân cạnh 2a nên bán kính qua trục và đường cao đều
A. V
1
bằng a 2 . vậy thể tích là V . a 2
3
3
2 2 3
a
3
Câu 21: [2H2-1] Một hình nón có thể tích bằng
4 a 3
và bán kính của đường tròn đáy bằng 2a.
3
Khi đó, đường cao của hình nón là:
A. a
B. 2a
C.
a
2
D. 3a
Hướng dẫn giải:
Chọn A
1
1
1
4 a 3
2
Ta có Vn .S .h r 2 h . 2a .h
ha.
3
3
3
3
Câu 22: [2H2-3] Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn
đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và SAO 300 ; SAB 600 .
Tính diện tích xung quanh hình nón
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 10 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
A. 4 3
B.
3 2
4
C. 2 3
D. 3 2
Hướng dẫn giải:
Chọn A
I là trung điểm của AB thì OI AB; SI AB; OI 2
3
AO SA.cos SAO SA.
2
Lại có
AI SA.cos SAI SA
2
Từ đó ta có
Mà SA
AI
1
AI
6
2
. Mặt khác
cos IAO sin IAO
OA 6
AO
3
OA
AO
3
OA
2
6.
2 2
0
cos 30
3
Diện tích xung quanh cần tính là: S xq .OA.SA 4 3
Câu 23: [2H2-3] Cho hình nón S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của
300 ,SAB
600 . Tính diện
hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO
tích xung quanh hình nón.
A. Sxq
3a 2
2
B. Sxq
a 2
2
C. Sxq
a 2 3
2
D. Sxq a 2 3
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
S
B
O
I
A
Gọi I là trung điểm của AB thì
OI AB,SI AB, OI a . Ta có OA
SA 3
SA
, AI
2
2
AI 1
AI
, mà
cos IAO
OA 3
OA
6 a OA a 6 , và SA a 2
sin IAO
3
OA
2
2
Vậy Sxq .OA.SA a 3
Từ đó
Câu 24:
[2H2-2] (Chuyên Quốc học Huế, lần 2 năm 2017): Một hình nón có bán kính đáy
bằng 1 và có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Tính diện tích xung quanh
của hình nón.
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 11 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
A.
2
B.
C. 2 2
D.
1
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân, mà bán kính đáy bằng 1 nên độ dài đường sinh của
hình nón là l 2
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: S xq Rl .1. 2 2.
Câu 25: [2H2-2] Một hình nón tròn xoay có độ dài đường sinh bằng độ dài đường kính đáy,
diện tích đáy của hình nón bằng 4 . Tính chiều cao h của hình nón
A. h 3
B. h 2 3
C. h
3
2
D. h 3 3
Hướng dẫn giải:
Chọn B
S r 2 4 r 2 l 4 h 42 22 2 3
Câu 26: [2H2-1] Cho khối nón có bán kính đáy R, đường sinh . Thể tích của khối nón được
tính theo công thức nào sau đây:
1
A. V R 2
3
1
C. V R 2 R 2 2
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D
1
B. V R 2 2 R 2
3
1
D. V R 2 2 R 2
3
1
1
Vì 2 h 2 R 2 nên thể tích của khối nón là V R 2 h R 2 2 R 2
3
3
2
a 3
3 6 2 2
2 3 2 3
S xq .a.
.
R R
2
2
2
2
Câu 27: [2H2-2] Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 900. Thể tích của khối nón xác
định bởi hình nón trên
6 h3
A.
.
3
Hướng dẫn giải:
Chọn B
B.
h3
3
2 h3
C.
.
3
D. 2 h3 .
Do góc ở đỉnh của hình nón bằng 900 nên thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân.
Suy ra bán kính đáy của hình nón là r h
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 12 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
1
h3
Thể tích khối nón là : V r 2 h
.
3
3
Câu 28: [2H2-2] Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, thiết diện qua trục là tam giác
đều cạnh a, thể tích của khối nón là:
1
1
A. a 3 3
B.
a3 3
6
24
Hướng dẫn giải:
Chọn B
C.
1
a3 3
12
D.
1 3
a 3
8
Dựng thiết diện tam giác đi qua trục là tam giác HFG có cạnh bằng a
3
Nên khối chóp có chiều cao h
a
2
2
a
Sđay r
2
1
1 3
a2
1
V hS . .a. . a 3 3
3
3 2
4 24
2
Câu 29: [2H2-3] Cho hình nón có đáy là đường tròn có đường kính 10 . Mặt phẳng vuông góc
với trục cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn như hình vẽ. Thể tích của
khối nón có chiều cao bằng 6 là:
A. 8
B. 24
C.
00
9
D. 96
Hướng dẫn giải:
Chọn A
r
6
6.5
1
r
2 . Vậy V r 2 h 8
R 15
15
3
Câu 30: [2H2-2] Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng 1 và thiết diện qua trục là một
tam giác vuông cân. Tính diện tích xung quanh hình nón.
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 13 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
2 .
A.
C. 2 2 .
B. .
D.
1
.
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A
2
Gọi là độ dài đường sinh của hình nón. Ta có: 2 2 2 R 4 2.
Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq r 2.
Câu 31: [2H2-2] Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông
bằng 2. Tính diện tích của thiết diện đi qua đỉnh và cắt đáy của hình nón theo cung
1200
3
4
Hướng dẫn giải:
Chọn D
A.
B.
C. 15
3
Ta có: AB 2 2 22 2 2 AH HC
AC 2 AH 2 HC 2 2. AH .HC cos1200 2
D.
15
2
AB
2
2
2
2
2 12 6
2
2
AC 6 . Gọi K là trung
điểm của AC
Ta có: KH AH 2 AK 2
2
2
2
6
1
AB
; IH
2
2
2
2
2
2
IK IH KH
2
2
2
5
1
1 5
15
1
2 ; S IAC 2 IK . AC 2 2 . 6 2
2
Câu 32: [2H2-2] Thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân có độ dài cạnh huyền bằng
2a . Thể tích hình nón là:
A.
a3
B.
2 a 3
6
C. a 3
D.
a3
4
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Thiết diện của hình nón với mặt phẳng qua đỉnh của nón là tam giác vuông cân tại đỉnh chóp có
độ dài là 2a nên ta tính được chiều cao và bán kính đáy của hình nón là a (tương ứng là chiều cao
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 14 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
của tam giác vuông cân tại đỉnh O và thiết diện nó là tam giác vuông cân nên cạnh huyền của tam
giác vuông cân sẽ đi qua tâm cua đáy)
Vậy thể tích hình cần tính là V
Câu 33:
a3
3
[2H2-2] (Chuyên Thái Bình, lần 4 năm 2017): Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi
qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Thể tích khối nón
theo a là:
A.
a3 2
12
Hướng dẫn giải:
Chọn A
a3
a3 2
B.
4
C.
4
a3 7
D.
3
Do thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 nên ta có R h
a 2
2
3
1
1 a 2 a3 2
Vậy thể tích cuả khối nón là: V R 2 .h .
.
3
3 2
12
Câu 34: [2H2-3] Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao bằng 40cm.
Người ta cắt vật N1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của
1
nó để được một hình nón nhỏ N2 có thể tích bằng
thể tích
8
N1.Tính chiều cao h của hình nón N2?
A. 5 cm
B. 10 cm
C.20 cm
D. 40 cm
Hướng dẫn giải:
Đáp án C
Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của N1và N2 và r1, r2 lần lượt là bán kính đáy của N1, N2 ta có:
1 2
r .h r 2h
1 V2 3 2
2
8 V1 1 r 2.40 r12.40
1
3
Mặt khác ta có:
r2
h
r1 40
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 15 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Do đó ta có:
1
h
h 1
( )3
h 20 cm
8
40
40 2
Câu 35: [2H2-2] (THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh, lần 1, năm 2017) Cắt hình nón ( N )
bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông
cân có diện tích bằng 3a 2 . Tính diện tích xung quanh của hình nón ( N )
A. 6 a 2
B.
2 a 2
C. 6 2 a 2
D. 3 2 a 2
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
canh
2
3a 2 SA a 6 r h a 3
2
Sxq .a 3.a 6 3a 2
VSAB 3a
2
Câu 36: [2H2-2] (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai, lần 1, năm 2017) Một hình nón có diện
tích đáy bằng 16 dm2 và diện tích xung quanh bằng 20 dm2 . Thể tích của khối nón
là
A. 16 dm3 .
B. 8 dm3 .
C. 32 dm3 .
D.
16
dm3 .
3
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
2
r 4
1
Ta có r 16
h 3. Thể tích khối nón: V h.r2 16 dm3 .
3
l r 20
l 5
2. Quay tam giác
Câu 37: [2H2-2] (THPT Phan Đình Phùng, Hà Nội năm 2017) : Cho tam giác ABC vuông tại
A có AB 6, AC 8. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành khi
quay tam giác ABC quanh cạnh AC.
A. S xq 160 .
B. S xq 80 .
C. S xq 120 .
D. S xq 60 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có S xq Rl . Với l BC AB 2 AC 2 10 , R AB 6
Vậy S xq .6.10 60 .
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 16 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Câu 38: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Thái Bình, năm 2017). Trong không gian, cho tam giác
ABC vuông tại tại A có AB 2, AC 5 quay xung quanh cạnh AC tạo thành hình
nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đó.
A. S xq 2 5
B. S xq 12
C. S xq 6
D. S xq 3 5
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Theo giả thiết thì hình nón đã cho có R AB 2, h AC 5 l BC 3
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:
S xq Rl .2.3 6
Câu 39: [2H2-3]
(THPT
Kim
Liên,
lần
2
năm
2017):
Cho
tam
giác
ABC
có
AB 13 cm , BC 5 cm và AC 2 cm . Thể tích V của khối tròn xoay được tạo
thành khi quay tam giác ABC quanh trục AC.
10
16
A. V
B. V 8 cm3 .
C. V
cm3 .
cm3 .
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn D
D. V
8
cm3 .
3
A
C
B
H
Theo Hê rông, diện tích tam giác ABC là: S 2
1
Mặt khác S BH . AC BH 2
2
Vậy AH AB 2 BH 2 3 CH 1
Vậy thể tích khối nón được sinh ra là:
1
1
8
V .BH 2 . AH .BH 2 .CH
3
3
3
Câu 40: [2H2-2] (THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp, năm 2017) Cho tam giác AOB vuông tại O,
30o và AB = a. Quay tam giác AOB quanh trục AO ta được một hình nón có
có A
diện tích xung quanh bằng:
a 2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A
A.
B.
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
a 2
4
C. a 2
D. 2 a 2
Trang 17 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Ta có sin A
OB
1
OB sin A. AB a R
AB
2
1
1
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: S xq Rl . a.a a 2
2
2
Câu 41:
2
. Quay tam giác
[2H2-3] Cho tam giác ABC có
ABC 45,
ACB 30, AB
2
quanh cạnh BC , ta được khối tròn xoay có thể tích bằng
A. V
1 3
24
.
3 1 3
B. V
72
.
C. V
1 3
3
.
D. V
1 3
8
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
A
2
2
450
B
C
H
Từ A kẻ AH BC . Khi đó tam giác ABH vuông cân tại H , có AB
1
2
nên AH BH
2
2
3
1
nên HC
2
2
Thể tích khối tròn xoay được tính bằng tổng thể tích hai khối nón được sinh ra khi quay bởi tam
giác ABH , ACH .
Tam giác AHC vuông tại H có góc C 300 , AH
1 3
1
1
V BH . . AH 2 CH . AH 2
3
3
24
Câu 42:
[2H2-2] Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 4 cm quay xung quanh đường cao AH tạo
nên một hình nón. Thể tích của khối nón đó là:
4 3
cm3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A.
B.
32 3
cm3
3
C.
8 3
cm3
3
D.
16 3
cm3
3
A
B
C
H
Theo giả thiết ta có h AH
4 3
BC 4
2.
2 3 và r
2
2
2
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 18 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
1
1
8 3
Thể tích của khối nón V r 2 h 22.2 3
3
3
3
Câu 43: [2H2-2] (Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2017): Tam giác ABC vuông tại B có AB 3a ,
BC a . Khi quay hình tam giác đó quanh đường thẳng AB một góc 360 ta được một
khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay đó là:
A. a 3 .
B.
a3
2
.
C.
a3
3
.
D. 3 a3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Theo đề bài ta thu được hình nón có h AB 3a , R BC a .
1
1
V R 2 h a 2 .3a a 3
3
3
Câu 44: [2H2-2] (Chuyên Lương Văn Tụy, lần 1 năm 2017). Tam giác ABC vuông tại A cạnh
AB 6 , cạnh AC 8 , M là trung điểm của cạnh AC . Tính thể tích khối trong xoay
do tam giác BMC qua 1 vòng quanh cạnh AB là:
A. 98
B. 108
C. 96
D. 86
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB ta thấy khối tròn xoay tạo ra sẽ là hình có thể tích bằng thể
tích hình nón có đường cao là cạnh AB và đường sinh là cạnh BC trừ đi hình nón có đường cao là
cạnh AB và đường sinh là cạnh huyền BM của tam giác ABM.
Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo ra là V
Câu 45:
1
1
AB. . AC 2 AB. . AM 2 96
3
3
[2H2-3] (Chuyên Lương Văn Tụy, lần 1 năm 2017). Tam giác ABC vuông tại B ,
AB 10, BC 4 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Thể tích khối tròn xoay
do hình thang vuông BMNC quay một vòng quanh MB là:
40
20
102
A.
B.
C.
3
3
3
Hướng dẫn giải:
D.
140
3
Chọn D
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 19 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Thể tích hình cần tính là hiệu thể tích của hình nón có bán kính đáy là BC, chiều cao là AB và hình
nón có bán kính đáy là MN, chiều cao là AM.
1
140
V 10.42 5.22
3
3
Câu 46: [2H2-2] (Chuyên Vĩnh Phúc, lần 3 năm 2017): Cho hình tam giác ABC vuông tại A có
300 và cạnh góc vuông AC 2a quay quanh cạnh AC tạo thành hình nón tròn
ABC
xoay có diện tích xung quanh bằng:
A. 16a 2 3
B. 8a 2 3
C. 2a 2
D.
4 2
a 3
3
Hướng dẫn giải:
Đáp án B
AC 2a ; Suy ra AB 2 3a; BC 4a
Khi quay quanh cạnh AC ta được một hình nón
Có đường sinh 1 4a và bán kính đáy là 2 3a
Diện tích xung quanh: S rl 2 3a.4 a 8 a 2 3.
Câu 47: [2H2-2] Một tam giác ABC vuông tại A với AB 6, AC 8 . Cho hình tam giác ABC
quay quanh cạnh AC ta được hình nón có diện tích xung quanh và diện tích toàn phần
lần lượt là S1 , S2 . Khi đó
A.
S1 8
S2 5
B.
S1 5
S2 8
C.
S1 5
S 2 13
D.
S1 9
S2 5
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được khối nón có đường cao là AC, bán kính đường
tròn đáy là AB và độ dài đường sinh là BC.
S
rl
l
10
5
Khi đó 1
2
S 2 rl r
r l 10 6 8
Câu 48: [2H2-3] Tam giác ABC vuông tại B . AB 2a, BC a . Cho tam giác ABC quay một
vòng quanh cạnh huyền AC. Gọi V1 là thể tích khối nón có đường sinh AB, V2 là thể
tích khối nón có đường sinh BC. Khi đó tỉ số
A. 3
B. 4
V1
bằng
V2
C. 2
D. 2 2
Hướng dẫn giải:
Chọn B
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 20 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Khi quay hình tam giác ABC quanh cạnh AC thì hình nón có đường sinh là AB thì sẽ nhận BH là
bán kính hình tròn đáy, và hình nón nhận BC là đường sinh sẽ nhận BH là bán kính hình tròn đáy
(với H là chân đường cao từ B xuống AC)
Ta có HB
Ta có
2 5
4 5
5
a AH
, CH
5
5
5
V1 AH
4
V2 CH
Câu 49: [2H2-2] Cho tam giác ABO vuông tại O, có góc BAO 300 , AB a . Quay tam giác ABO
quanh trục AO ta được một hình nón có diện tích xung quanh bằng:
A. a 2
B. 2 a 2
C.
a2
2
D.
a2
4
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Hình nón thu được có đường sinh l AB a; bán kính đáy
xung quanh là
Sxq rl
r OB AB.sin30
a
2 và diện tích
a2
2
Câu 50: [2H2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy SC a 6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo
thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:
4 a 3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A
A.
B.
a 3 2
6
C.
a3 3
3
D.
a3 3
6
Ta có ngay AC a 2 SA SC 2 AC 2 6a 2 2a 2 2a
1
1
1
4 a 3
.
V R 2 h AC 2 .SA .2a 2 .2a
3
3
3
3
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 21 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
Câu 51: [2H2-2] Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao kẻ từ C là
a 3
, CA a . Khi đó đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác
2
ABC qua trục CA là?
h
A. l a
B. l 2a
C. l 3a
D. l 2a
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Đường sinh của hình nón quay được thực chất chính là cạnh huyền AB của tam giác vuông
ABC. Mà tam giác vuông đã có một cạnh bên và đường cao, ta chỉ cần áp dụng công thức hệ
thức lượng trong tam giác:
1
1
1
4
1
1
2 2
2
2
2
h
CA CB
3a
a CB 2
CB a 3 AB 2a (theo định lý Pytago).
Câu 52:
[2H2-2] (Chuyên Phan Bội Châu, lần 1 năm 2017): Trong không gian, cho tam giác
ABC là tam giác vuông cân tại A , gọi I là trung điểm của BC , BC 2 . Tính diện tích
xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AI .
A. S xq 2 .
B. S xq 2 .
D. S xq 4 .
C. S xq 2 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
A
B
I
C
2cm
Hình nón nhận được khi quay ABC quanh trục AI có bán kính IB và đường sinh AB .
ABC vuông cân tại A nên: AI BI 1cm và AB AI . 2 2
S xq .r.l .1. 2 2
Câu 53: [2H2-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên, lần 3, năm 2017) Cho tam giác ABC nội tiếp
75,
trong đường tròn tâm O, bán kính R có BAC
ACB 60. Kẻ BH AC. Quay
ABC quanh AC thì BHC tạo thành hình nón xoay N . Tính diện tích xung quanh
của hình nón tròn xoay N theo R.
3 2 2
R2 .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
A.
B.
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
3 2 3
R2 .
2
3
C.
R .
2 1
4
2
3
D.
R .
3 1
4
2
Trang 22 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
B
O
60°
75°
A
C
H
Hình nón N có đường sinh là đoạn l BC , đường cao h CH và bán kính r BH
Trong ABC ta có BC 2 R sin 750
Trong BHC ta có BH BC.sin 600
3
BC
2
Diện tích xung quanh hình nón (N):
S xq rl .BC.BH
3
3 2 3 2
BC 2
R
2
2
Câu 54: [2H2-3] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An, lần 1, năm 2017) Cho tam giác
ABC vuông tại A , AB 3a , AC 4a . Gọi M là trung điểm của AC . Khi qua
quanh AB, các đường gấp khúc AMB , ACB sinh ra các hình nón có diện tích xung
quanh lần lượt là S1 , S 2 . Tính tỉ số
A.
S1
13
.
S2
10
B.
S1 1
.
S2 4
S1
.
S2
C.
S1
2
.
S2
5
D.
S1 1
.
S2 2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
S1 rl
1 1 .
Do đó
AC
AC
2
2
. AB 2
2 13 ; S2 r2l2 . AC. AB AC 20 .
2
2
S1
13
.
S2
10
3. Mặt nón ngoại tiếp khối đa diện
Câu 55: [2H2-3] Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng 300. Tính diện tích xung quanh mặt nón và thể tích của khối nón có đỉnh S và
đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD.
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 23 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
A. S xq a 2 ;V
C. S xq
2 6 a 3
.
9
B. S xq a 2 ;V
4 3 a 2
a3 6
.
;V
3
12
D. S xq
a3 6
12
.
4 3 a 2
2 6 a 3
.
;V
3
9
Hướng dẫn giải:
Chọn D
S
2a 6
3
a 6
3
300
A
D
a 2
O
B
C
2a
a 6
2a 6
; SD
3
3
2
4 3 a
1
2 6 a 3
S xq SD. .OC
;V SO. .OC 2
3
3
9
Tính được OD=OC a 2, SO
Câu 56: [2H2-3] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt
đáy góc 600 . Hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích
xung quanh là
A. S 2 a 2
B. S
7 a 2
4
C. S a 2
D. S
a2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của hình chóp đi qua
tâm O của đáy.
Gọi O là tâm của đáy ABCD. Ta có
SO ABCD SO OD . Từ đó ta có một trong các góc giữa cạnh bên và đáy là góc SDO 600
SO OD tan 600
a
a 6
tan 600
2
2
l SD SO 2 OD 2 a 2
Diện tích xung quanh hình nón cần tính là
S xq rl .OD.SD a 2
Câu 57:
[2H2-3] Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a, có diện tích xung
quanh là:
A. S xq
a2
3
.
B. S xq
a2 2
3
.
C. S xq
a2 3
3
.
D. S xq
a2 3
6
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
Trang 24 | LTTN
Nhóm Tài liệu dạy thêm
S
a
A
C
O
H
B
Kẻ SO ABC ,SH BC OH BC
2
2 a 3 a 3
AH .
3
3 3
3
2
a 3
a 3
S xq OA.SA .
.a
.
3
3
Ta có OA
Câu 58: [2H2-3] Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ngoại tiếp
đường tròn đáy của hình nón và có AB BC 10a, AC 12a , góc tạo bởi hai mặt
phẳng (SAB) và (ABC) bằng 450 . Tính thể tích khối nón đã cho.
A. 9 a 3
B. 12 a 3
C. 27 a 3
D. 3 a 3
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là tâm đường tròn đáy của hình nón.
Gọi E là trung điểm của AC khi đó BE AB 2 AE 2 8a .
S
AB BC CA
P
16a r ABC 3
2
p
450
Dựng IM AB AB SMI SMI
Mặt khác IM r 3a SI IM tan 450 3a
1
Vậy V N SI . r 2 9 a 3
3
Câu 59: [2H2-3] Cho hình lập phương cạnh a . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó
thể tích của khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A ' B ' C ' D '
bằng:
1
A. a 3 (đvtt)
4
Hướng dẫn giải:
B.
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU
1 3
a (đvtt)
3
C.
1
a3 (đvtt)
12
D.
1 3
a (đvtt)
2
Trang 25 | LTTN
