Định Giá Trái Phiếu 02

Định Giá Trái Phiếu – Phần 1
Campbell R. Harvey
1. Giới Thiệu
Bạn muốn nhận được $100 ngay hôm nay hay vào năm tới? Hiển nhiên rằng bạn
muốn nhận được tiền ngay hơm nay rồi. Bạn có thể gửi ngân hàng và năm tới giá
trị tăng vượt mức $100. Do đó thời gian là một nhân tố quan trọng khi ta muốn
đánh giá tiền tệ.
Chúng ta sẽ tìm câu trả lời cho hai vấn đề sau: Giá trị hôm nay của $100 nhận
được vào năm sau và giá trị nhận được vào năm sau của $100 hôm nay? Với câu
hỏi đầu tiên đề cập đến giá trị của ngày hôm nay và được gọi là giá trị hiện tại.
Câu hỏi thứ hai đề cập đến giá trị của năm tới và được gọi là giá trị tương lai.
2. Tính Lãi Kép Liên Tục và Lãi Kép Không Liên Tục.
Trước hết ta cần thiết lập một số quy ước:
V0 = là giá trị hiện tại
Vt = là giá trị tương lai tại thời điểm cuối những giai đoạn t
t = là số lượng giai đoạn
i = là lãi suất thực theo kỳ hạn hay còn gọi là lãi suất thực theo kỳ hạn tính lãi kép
R = là lãi suất năm (APR) hay đơi khi cịn gọi là "lãi suất danh nghĩa"
n = là số giai đoạn tính lãi kép


r = là lãi suất thực hàng năm
Lãi suất thực theo kỳ hạn i bằng với lãi suất danh nghĩa R chia cho số giai đoạn
tính lãi kép hàng năm:

Lãi suất thực hàng năm r là lãi suất kép hàng năm bằng với lãi suất thực theo kỳ
hạn i được tính kép n lần mỗi năm

Chú ý rằng n lớn hơn (được tính lãi suất kép nhiều giai đoạn mỗi năm), thì lãi suất
thực hàng năm trở thành:

trong đó e là số mũ tự nhiên, e xấp xỉ 2.718. Ta sẽ chứng minh công thức này.
Chứng minh
Chúng ta sẽ chứng minh rằng


Trong trường hợp đặc biệt R=0, thì kết quả này quá hiển nhiên. Ta xét những
trường hợp R khác 0. Lấy logarit vế phải của hàm này

Chia và nhân cho R và chú ý rằng logarit của 1 bằng 0, chúng ta có thể viết lại như
sau

Điều quan trọng trong chứng minh công thức này là thương số hiệu của hàm
logarit. Vì thế

Sau khi tính tốn và biết rằng:

và ta lấy trường hợp x=1. Có nghĩa là


và ngược lại:

Ví dụ
Giả sử một ngân hàng trả lãi số tiền gửi của bạn với lãi suất danh nghĩa 4%
(R=.04). Bảng sau đây thể hiện những lãi suất thực khác nhau tuỳ theo số lần tính
lãi mỗi năm
Tính lãi kép theo Công thức Lãi suất thực

1=theo năm

4=theo quý

12=theo tháng

52=theo tuần


365=theo ngày

8760=theo giờ
=liên tục
Vì thế nhà đầu tư nào cũng muốn số lần tính lãi kép càng nhiều. Lãi suất kép liên
tục ln cao hơn lãi suất có kỳ hạn.
3. Giá Trị Tương Lai
Giá trị tương lai được tính theo như ví dụ sau. Giả sử rằng bạn gửi $1000 và được
trả lãi suất hàng năm là 4%. Vậy giá trị của số tiền gửi của bạn vào sau 6 năm là
bao nhiêu?

Giá trị tương lai được tính theo cơng thức của ví dụ này:


Vì thế giá trị tương lai của số tiền gửi V0 hôm nay vào cuối thời điểm T là
(1+R)^TV0. Nếu tiền gửi được trả lãi theo lãi suất liên tục thì cơng thức tính sẽ là

Theo ví dụ trên thì giá trị tương lai của $1000 với lãi suất liên tục là $1271.25.
Lưu ý rằng giá trị tương lai sẽ cao hơn nếu lãi suất được tính kép liên tục bởi vì
như thế thì lãi suất thực sẽ cao hơn.
(1+R)^T hay e^{RT} đơi khi cịn được gọi là nhân tố tích luỹ hay hệ số nhân tiền
tệ.
4. Hệ Số Nhân của Tiền[1]
Như cái tên của nó, hệ số nhân của tiền dùng để đo nhân tố dùng để nhân với số

tiền của bạn trong tương lai theo lãi suất R và thời hạn T cho trước.

Thường thì lợi nhuận từ vốn đầu tư tuỳ thuộc vào thời gian mà số tiền bạn được
giữ. Hãy quan sát bảng phụ lục lãi suất của ngân hàng bên dưới. Các mức lãi suất
từ 1 đến 5 năm do Wachovia quy định.


Chú ý rằng hệ số nhân của thị trường tiền tệ sẽ tăng theo luỹ thừa cùng với kỳ hạn
thanh toán. Hơn nữa, tỉ lệ gia tăng cũng phụ thuộc vào mức lãi suất.
5. Giá Trị Hiện Tại
Giả sử rằng chúng ta biết được giá trị tương lai (V_T) của số vốn đầu tư, thì giá trị
hiện tại của nó cũng dễ dàng tính được. Từ cơng thức tính giá trị tương lai:

Ta chia hai vế cho hệ số nhân của tiền và ta sẽ có cơng thức tính giá trị hiện tại:

Trong trường hợp lãi suất với kỳ hạn liên tục, ta có cơng thức sau:


Ví dụ
Một người cần $200,000 trong 10 năm nửa để có tiền cho con của cơ ta theo học
MBA. Vậy hôm nay cô ta cần đầu tư bao nhiêu để nhận được $200,000 trong
tương lai, biết lãi suất là 8%?

6. Mức Giá Của Trái Phiếu Chiết Khấu
Chúng ta có thể sử dụng những cơng cụ có sẵn tính giá trị hiện tại và giá trị tương
lai để đánh giá trái phiếu chiết khấu. Trái phiếu chiết khấu là loại trái phiếu được
trả $1 vào thời điểm T và lãi suất không được trả trước thời gian này. Loại trái
phiếu này được bán tại Mỹ với những cái tên như zeros, money multipliers, CATs,
TIGRs, và STRIP. CATs là Các Chứng Chỉ Chứng Khốn Kho Bạc Tích Luỹ Của
Salomon Bros. TIGRs là Trái Phiếu Đầu Tư Phát Triển Của Merill Lynch, và

TRIPS là Lãi Và Vốn Cổ Phần Đã Đăng Ký Giao Dịch Độc Lập.
Các loại chứng khoán này được bán với giá chiết khấu so với mệnh giá là $1. Phần
tiền chiết khấu thể hiện số lợi nhuận kiếm được từ phần vốn đầu tư. Và bây giờ ta
sẽ tìm hiểu cơng thức tính lợi nhuận khi biết được mức giá của trái phiếu chiết
khấu (zero). Từ giá trị tại, chúng ta có thể tính được dịng tiền tương lai so với
hiện tại với một lãi suất cho sẵn. Từ giá trị tương lai, ta cũng có thể tính được giá
trị hiện tại (trị giá trái phiếu) và giá trị tương lai (mệnh giá trái phiếu tại thời điểm
đáo hạn) và ta có thể tính được mức lãi suất. Xét cơng thức tính lãi suất sau:

Chia hai vế cho giá trị hiện tại và chia cả hai vế cho giá trị nghịch đảo của hệ số
nhân tiền:


Sau đó chuyển thời gian đáo hạn sang vế bên phải:

Đây là cơng thức tính lãi suất tại thời điểm đáo hạn của trái phiếu chiết khấu.
Trong trường hợp tính lãi liên tục, thì ta có cơng thức:

Ví dụ
Giả sử trái phiếu CAT có kỳ hạn là sáu năm tính từ hiện tại được giao dịch với giá
$55 và giả sử mệnh giá của nó là $100. Thì lãi suất của nó được tính như sau:

Trong trường hợp lãi liên tục:

Chú ý rằng lãi suất liên tục luôn thấp hơn.


Ta hãy xét bảng mức giá của CATs (chứng chỉ trái phiếu thực) đựơc trích từ thời
báo Wall Street.

Chú ý rằng giá của trái phiếu giảm theo thời gian.
7. Mức Giá Của Trái Phiếu Chiết Khấu và Hệ Số Nhân Tiền
Chúng ta có thể dễ dàng liên hệ cơng thức tính hệ số nhân của tiền với trái phiếu.
Ta xét ví dụ sau. Giả sử một trái phiếu chiết khấu kỳ hạn 12 năm được bán với giá
$0.25 (và 12 năm sẽ được trả là $1.00) Nếu ngay bây giờ nhà đầu tư có $1.00 để đi
đầu tư, thì ơng có thể mua được 4 cái trái phiếu. Vì thế với $1.00 đầu tư hiện tại sẽ
lời được $4.00 trong 12 năm. Vậy hệ số nhân tiền là 4.
Trái phiếu chiết khấu và hệ số nhân tiền được thể hiện ở cơng thức sau:

trong đó Z_T là giá trị của trái phiếu chiết khấu vào thời điểm hiện tại và M_T là
hệ số nhân tiền trong T giai đoạn. Chúng ta có cơng thức tính hệ số nhân:


Và kết quả là : lãi suất càng cao thì hệ số nhân càng lớn và mức giá của trái phiếu
càng thấp.
8. Sử Dụng Trái Phiếu Chiết Khấu Để Tính Giá Trị Lưu Lượng Tiền
Giả sử bạn đang đầu tư với mức độ rủi ro bằng 0, với số vốn này trong 5 năm tới
nó sẽ thu về một số lưu lượng tiền sau (phần tiền thu được)
CF_1 = 10
CF_2 = 20
CF_3 = 30
CF_4 = 40
CF_5 = 50
Thế giá trị hiện tại của số vốn đầu tư là bao nhiêu?
Để biết câu trả lời, ta có thể nghĩ ngay đến những lưu lượng tiền trên mà được xem
là danh mục đầu tư vào trái phiếu với kỳ hạn trong suốt từ 1 đến 5 năm. Chúng ta
có thể lập danh mục tái tạo lại bắng cách mua trái phiếu chiết khấu (Zero) với
mệnh giá $1

Giả sử rằng đều có những mức giá khác nhau cho các trái phiếu chiết khấu với kỳ
hạn khác nhau mà ta đang xét:

Vì thế khi bạn bỏ ra số tiền $96.96 vào ngay hôm nay và mua trái phiếu chiết
khấu, số trái phiếu này cũng trả cho bạn số tiền như thế ngay vào thời điểm bạn
bắt đầu đầu tư. Đây là phương pháp tìm giá trị hiện tại khi biết được lưu lượng


tiền. Trước đó, ta đã xét qua một lưu lượng tiền tại thời điểm T và ta cũng đã biết
tính giá trị hiện tại của lưu lượng tiền đó. Rõ ràng rằng ta có thể nghĩ đến phương
pháp mua ngay trái phiếu chiết khấu hôm nay. Rõ ràng là chúng ta có thể dùng đến
phương pháp đó là mua trái phiếu chiết khấu hôm nay để nhận được các lưu lượng
tiền.
9.Trường Hợp Khơng Có Chênh Lệch Giá[2]
Chúng ta có thể định giá các lưu lượng tiền bằng cách lập ra danh mục tài sản giao
dịch được tái tạo lại. Với giả định khơng có chênh lệch giá, danh mục tái tạo phải
có cùng một giá trị như dự án. Những lưu lượng tiền tại các nước khác nhau trên
thế giới phải có cùng một giá trị. Nếu có dịng nào mang giá trị cao hơn thì giá của
nó sẽ giảm xuống vì các nhà đầu tư đều muốn hưởng lợi từ mức chênh lệch giá
như thế. Số vốn đầu tư thấp hơn sẽ bị các nhà đầu tư tìm cách phá giá và đẩy nó
lên cao hơn. Kết quả là các mức giá đều bằng nhau cả.
Nhưng không phải lúc nào cũng có trái phiếu chiết khấu để chúng ta sử dụng đều
cho việc phát triển dự án. Thật ra các mức giá dùng trong phần trước đã được tìm
với giả thuyết lãi suất là 13%. Hãy xét những lưu lượng tiền tương tự:


Chú ý rằng giá trị hiện tại ròng mà chúng ta vừa tìm được ở đây hồn tồn giống
với kết quả mà chúng ta đã tính trước đó, do những mức giá trái phiếu mà chúng ta
sử dụng ở đây có lãi suất là 13%.
10. Hoạch Định Ngân Sách Vốn

Chúng ta có thể dùng lại cách thẩm định dự án đầu tư hay cách định giá những gì
mà cơng ty thu được. Đối với dự án đầu tư, ta đều biết trước chi phí và doanh thu.
Cịn giá trị hiện tại ròng là giá trị số vốn đầu tư mà bạn bỏ ra ngay hôm nay - cũng
đồng nghĩa với chí phí rịng.
NPV= PV(doanh thu) - PV(chi phí)
Xém ví dụ sau. Bạn chủ trì một cuộc họp bàn về một kế hoạch thu mua. Đó là mua
lại một cơng ty, sau hợp thức hố và đưa nó vào hoạt động cùng với công ty của
bạn sau một khoản thời gian là 2 năm rồi bán nó đi. Chi phí phải bỏ ra hôm nay là
$100 triệu. Vào cuối một năm sẽ đạt lợi nhuận là 10 triệu. Cơng ty đó sẽ được bán
với giá là 160 triệu. Tỷ lệ chiết khấu của nó là 10%. Bỏ qua thuế, thì giá trị hiện tại
ròng của dự án này là $41.322 triệu.

Một điểm quan trọng cần chú ý là bất kỳ một dự án nào mà giá trị hiện tại của nó
là một số dương cũng có thể tự thân huy động vốn, tức là tự bản thân của dự án đó
có thể thanh tốn tất cả các chi phí. Hơn nữa, một khi dự án được tiến hành, giá trị
hiện tại rịng -số dương- chính là doanh thu đạt được vào chính ngày hơm nay và
được tính bằng đơla. Để hiểu thêm, ta xét lại ví dụ trên. Giả sử rằng bạn có thể
mượn ngân hàng 100triệu với lãi suất 10% trong 2 năm. Bạn dự tính mua cơng ty
đó. Bạn dùng doanh thu có được từ dự án đó để trả lãi năm đầu tiên. Vào cuối năm
thứ hai, bạn vẫn nợ ngân hàng 110 triệu và bạn phải bán dự án của bạn với giá 160


triệu. Doanh thu của năm thứ 2 là 50 triệu. Do đó giá trị hịên tại của nó là 41.322
triệu.
Hãy nhớ rằng, trong những nghiệp vụ mà chúng ta thực hiện, thì ta khơng cần
đụng đến số vốn của chúng ta. Tuy nhiên, tài sản của chúng ta sẽ tăng lên 41.322
triệu. Rõ ràng rằng:
Quy luật giá trị hiện tại ròng:
(a). Nếu giá trị của dự án là một số dương, thì ta nên tiến hành thực hiện dự án đó,
nếu là số âm thì nên bỏ.

(b). Trong số những dự án mà giá trị của chúng đều dương, thì nên tiến hành thực
hiện dự án nào có NPV cao nhất.
Chúng ta sẽ bàn thêm về thẩm định dự án đầu tư vào khoá sau. Trên trang
www.kinhtehoc.com, đọc phần phân tích chi phí-lợi ích.
11. Động Thái Của Mức Giá Trái Phiếu
Ta nên chú ý đến chiều hướng mà giá trị hiện tại của các lưu lượng tiền thu từ dự
án hay giá trị hiện tại của lưu lượng tiền thu được từ trái phiếu, thay đổi như thế
nào khi lãi suất thay đổi. Bởi vì chúng ta đã biểu diễn cơng thức tính giá trị thực
tại dưới hai dạng là lãi suất và lưu lượng tiền thu vào, nên chiều hướng thay đổi có
thể được xác định bởi đạo hàm bậc nhất:


Tương tự với số hạng của trái phiếu chiết khấu

Chú ý rằng những đạo hàm trên đều mang dấu âm. Điều này nghĩa là giá của trái
phiếu chiết khấu hoặc giá trị hiện tại của dòng tiền thu vào sẽ giảm khi lãi suất
tăng. Hơn nữa, thời điểm đáo hạn T cũng ảnh hưởng đến tỷ lệ tăng giảm. Trái
phiếu chiết khấu dài hạn sẽ giảm nhiều hơn so với ngắn hạn.
Để giải thích thêm điểm này, ta xét đến những động thái biến đổi của trái phiếu
chiết khấu cũng như động thái của trái phiếu thường. Chú ý rằng những mức giá
này luôn giảm khi lãi suất tăng cao. Mức giá giảm với tốc độ rất nhanh trong suốt
một vài năm đầu và sẽ hạ dần khi thời gian đáo hạn tăng lên 30 năm.
Chúng ta cần có ví dụ làm rõ điểm này. Ta hãy xét một trái phiếu thường có kỳ
hạn là 5 năm, lãi suất 12% và được trả lãi hàng năm. Chúng ta sẽ tính trị giá của
trái phiếu này với hai mức lãi suất 12% và 13%.


Do lãi suất tăng nên giá của trái phiếu sẽ giảm. Với lãi suất 12%, giá trái phiếu sẽ
bằng với mệnh giá, nhưng nếu lãi suất 13% thì phần lãi lẫn phần vốn sẽ ít hơn và
do đó giá của nó thấp hơn.

Để đo lừơng mức biến chuyển của trái phiếu này ta dùng cơng thức tính lợi nhuận
được trả theo kỳ hạn nắm giữ trái phiếu. Công thức này cho ta biết được lãi suất
nhận được khi thời gian nắm giữ một khối tài sản trong tay trong một thời gian
nhất định. Cơng thức này cũng có thể tính đến cả sự thay đổi về giá cũng như lãi
suất.
Ví dụ, một trái phiếu kỳ hạn 6 năm lãi suất 12% được bán với mệnh giá $100 và
nó được giữ trong thời gian 1 năm. Biết rằng lãi trả mỗi năm một lần. Giả định vào
cuối thời điểm nắm giữ, lãi suất tăng từ 12 lên 13%. Thì lãi suất hiện giá sẽ được
tính như sau:

Vì thế trong khi nhà đầu tư được hưởng mức lãi suất 12%, thì giá giảm sẽ làm cho
tiền lãi theo kỳ hạn nắm giữ giảm xuống 8.5%