DAY HOC MOT SO DINH LI TOAN THPT BANG CON DUONG SUY DOAN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 73 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC su PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
NGUYỄN THỊ THẢO
DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG
MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG
CÓ KHÂU SUY ĐOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI
HỌC • • • •
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán
HÀ NỘI - 2015
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ để em có điều kiện tốt
nhất trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đối với cô giáo Dương Thị Hà đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ
bảo giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, nên khóa luận không tránh khỏi nhũng
hạn chế và còn có nhiều thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng
góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn
thiện hơn.
Em xỉn chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 5 thảng 5 năm 2015 Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo
Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên
cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo Dương Thị Hà.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như ở
mục tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của
riêng em và nó không trùng với bất kì tác giả nào khác.
Hà Nội, ngày 5 thảng 5 năm 2015 Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cún ...................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên CÚ11 ..................................................................................... 2
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
6. Cấu trúc khóa luận.......................................................................................... 2
NỘI DUNG ........................................................................................................ 3
CHƯƠNG 1. Cơ SỞ LÍ LUẬN ........................................................................ 3
1.1. Dạy học định lí ........................................................................................... 3
1.1.1. Thế nào là định lí? ..................................................................................... 3
1.1.2 Yêu cầu dạy học định lí ............................................................................. 5
1.1.3 Các con đường dạy học định lí .................................................................. 5
1.2. Con đường có khâu suy đoán ..................................................................... 6
1.2.1. Các định nghĩa, các cách hiểu về con đường này ...................................... 6
1.2.2. Ư’u điểm, nhược điểm và điều kiện sử dụng của con đường có khâu suy
đoán .....................................................................................................................7
1.3. Các bước dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán ................... 8
1.3.1. Gợi động cơ và phát biểu vấn đề ............................................................... 8
1.3.2 Dự đoán và phát biểu định lí ...................................................................... 9
1.3.3. Chứng minh định lí .................................................................................. 10
1.3.4. Vận dụng định lí ...................................................................................... 19
1.3.5. Củng cố định lí ......................................................................................... 19
1.4. Các định lí trong chương trình toán THPT .............................................. 24
1.4.1. Một số định lí được thừa nhận ................................................................. 24
1.4.2. Một số định lí được chứng minh .............................................................. 25
CHƯƠNG 2. DẠY HỌC MỘT SÓ ĐỊNH LÍ TRONG MÔN TOÁN THPT
BẲNG CON ĐƯỜNG CÓ KHÂU SUY ĐOÁN............................................ 28
2.1. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất .......................................................... 28
2.2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai.......................................................... 31
2.3. Định lí sin ................................................................................................. 37
2.4. Định lí số hạng tổng quát của cấp số cộng ............................................... 41
2.5. Định lí chỉnh họp “ Ạ* = n(n - X)...(n -k + X) với \
2.7. Định lí điều kiện để 2 mặt phang vuông góc ............................................. 50
2.8. Định lí ba đường vuông góc....................................................................... 52
2.9. Định lí Logarit .......................................................................................... 54
2.10. .......................................................................................................... Đ
ịnh lí về phương trình mặt cầu........................................................................... 59
2.11. .......................................................................................................... Đ
ịnh lí về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phang ...................................... 62
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 66
NHỮNG CỤM TỪ VIÉT TẮT TRONG LUẬN VĂN
STT
VIET TAT
VIET ĐAY ĐU
1
GV
Giáo viên
2
HS
Học sinh
3
THPT
Trung học phô thông
4
pp
Phương pháp
5
Đpcm
Điêu phải chứng minh
6
(c.g.c)
Cạnh - góc - cạnh
7
SGK
Sách giáo khoa
8
NXB
Nhà xuât bản
9
VD
Ví dụ
10
TH
Trường hợp
11
PPDH
Phương pháp dạy học
12
Mp
Mặt phăng
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việc tổ chức học sinh hoạt động học tập để từ đó học sinh lĩnh hội và vận
dụng kiến thức tốt là một vấn đề đáng quan tâm ở nhà trường phổ thông.
Cùng với khái niệm, định lí là một đối tượng mấu chốt của dạy học toán
học, tạo thành nội dung cơ bản của môn toán cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn,
đặc biệt là khả năng suy luận chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn
luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức.
Con đường hình thành định lí cho học sinh để từ đó học sinh phát hiện nội
dung định lí và chúng minh là một vấn đề quan trọng, những định lí là những
công cụ không thể thiếu được trong hoạt động chứng minh, cũng như giải toán.
Đối với học sinh nói chung, việc lĩnh hội kiến thức định lí còn gặp nhiều khó
khăn và hạn chế.
Sự thành công của việc dạy học phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp dạy
học được giáo viên lựa chọn. Cùng một nội dụng nhung tùy vào phương pháp sử
dụng thì kết quả sẽ khác nhau về mức độ lĩnh hội các tri thức, sự phát triển của trí
tuệ cùng các khả năng tư duy, về giáo dục đạo đức và sự chuyển biến thái độ
hành vi mà học sinh lĩnh hội.
Trong quá trình nghiên cún em thấy một trong nhũng cách dạy học giúp
học sinh phát triển tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn đề,
khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát
triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn là dạy học
định lí bằng con đường có khâu suy đoán.
Vì lí do trên em trọn đề tài nghiên cứu của khóa luận là “Dạy học một số
định lí trong môn toán THPT bằng con đuxmg có khâu suy đoán.”
2. Mục đích nghiên cửu
Vận dụng lí luận về phương pháp dạy học định lí bằng con đường có khâu
suy đoán để dạy học một số định lí, tính chất trong chương trình toán THPT nhằm
2
phát huy tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh từ đó nâng cao hiệu quả
giảng dạy môn toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cún
Nghiên cứu lí luận về dạy học định lí trong môn toán ở THPT.
Hệ thống hóa các định lí trong chương trình môn toán ở THPT.
Tổ chức dạy học một số định lí ở môn toán THPT bằng con đường có khâu
suy đoán.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Một số định lí trong môn toán ở phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Cấu trúc khóa ỉuận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, những danh mục viết tắt,
khóa luận gồm 2 chương:
Chưong 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Dạy học một số định lí trong môn toán THPT bằng con đường
có khâu suy đoán.
NỘI DUNG CHƯƠNG 1. Cơ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Dạy học định lí
1.1.1. Thế nào là định lí?
Trên phương tiện tri thức khoa học, định lí được hiểu là:
- “Một mệnh đề toán học mà chân lí của nó được khẳng định hay phủ định
qua chứng minh.” (Từ điển toán học, NXB khoa học và kĩ thuật 1993)
- “Mệnh đề toán học đã được chúng minh.” (Le Petit larousse, NXB
Larouss - Bordas 1999)
3
Khác với tri thức khoa học, trong dạy học toán ở trường phổ thông định lí
được hiểu là một mệnh đề đã được chúng minh là đúng.
Nói chung trong chương trình toán ở trường phổ thông, các định lí thường
được đưa vào một cách tường minh, nghĩa là xuất hiện rõ ràng dưới một cái nhãn
“định lí”.
VD1: Định lí sin
“Trong tam giác ABC bất kì với BC = a,AC = b,AB = c và R là bán kính
đường tròn ngoại tiếp, ta có:
a _ b _ c „ sinA sin B
sinC
Nhưng cũng có những mệnh đề là một định lí (nghĩa là được chứng minh là
đúng) nhưng lại không được nêu thành định lí.
VD2: Các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức biến đổi
tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng,...
Định lí là một mệnh đề đã được chứng minh dựa trên các tiên đề và quá
trình suy luận, là nhũng cái có thể chứng minh dựa vào lí thuyết đã được công
nhận. (Tiên đề là những điều được công nhận đúng mà không cần chứng minh.)
Định lí gồm có hai phần :
+ Giả thiết là điều đã cho.
+ Ket luận là điều suy ra.
VD3: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng
thứ ba thì chúng song song với nhau.
Giả thiết: tf//c,b//c
Kết luận: al íb
Định lí được đưa ra dưới hai dạng:
Dạng 1: Nhũng định lí được hình thành thông qua các hoạt động đo đạc,
gấp hình, thao tác trực quan và đi đến công nhận định lí mà không cần chứng
4
minh.
VD4: Định lí Pytago, định lí về tính chất ba đường trung tuyến của một
tam giác, định lí về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp,...
Dạng 2: Định lí được hình thành cho học sinh trên cơ sở học sinh hoạt
động xác định định lí và chứng minh định lí hoàn chỉnh.
VD5: Định lí ba đường vuông góc
“Cho đường thắng a không vuông góc với mặt phẳng (p) và đường thẳng b
nằm trong (p). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc
với hình chiếu a' của a trên (p)
Nhưng dù định lí được diễn ra dưới dạng nào thì người giáo viên cần linh
hoạt, áp dụng với từng mức độ yêu cầu của chương trình để phù họp với lứa tuổi
học sinh, tránh sự chán nản trong hoạt động học của học sinh. (Đặc biệt là những
định lí buộc học sinh phải thừa nhận mà không được chứng minh.)
Tóm lại: Mỗi một mệnh đề toán học biểu thị tính chất của đối tượng toán
học mà tính chân thực của nó đã được chứng minh là đúng gọi là định lí.
1.1.2 Yêu cầu dạy học định lí
- Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ
đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các
vấn đề trong thực tiễn.
- Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được
chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh
vực toán học.
- Học sinh hình thành và phát triến năng lực chúng minh toán học, tù’ chỗ
hiểu chúng minh, trình bày lại được chúng minh, nâng lên đến mức độ biết cách
suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông.
- Thông qua học tập những định lí toán học, học sinh biết nhìn nhận nội
dung môn toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề đồng thời rèn luyện
5
khả năng này.
1.1.3 Các con đường dạy học định lí
Trong việc dạy học định lí Toán học người ta phân biệt hai con đường:
con đường có khâu suy đoán và con đường có khâu suy diễn. Hai con đường
này được minh họa bằng sơ đồ:
Con đường có khâu suy đoán
-
Con đường có khâu suy diễn
Con đường có khâu suy đoán gồm năm hoạt động:
+ Gợi động cơ và phát biểu vấn đề: Xuất phát tù’ nhu cầu thực tế hoặc tù’
nội bộ toán học.
+ Dự đoán và phát biểu định lí +
Chứng minh định lí + Vận dụng
định lí + Củng cố định lí
Con đường này được sử dụng một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà học
sinh có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện với mức độ nhất định. Tuy
nhiên điều kiện đó không phải bao giờ cũng thỏa mãn, vì vậy còn phải sử dụng cả
con đường thứ hai dưới đây khi cần thiết.
-
Con đường có khâu suy diễn gồm năm hoạt động:
6
+ Gợi động cơ và phát biếu vấn đề: Xuất phát từ nhu cầu thực tế hoặc từ
nội bộ toán học.
+ Suy diễn dẫn tới định lí: Xuất phát từ những tri thức toán học đã biết
dùng suy diễn dẫn logic dẫn tới định lí.
+ Phát biểu định lí +
Vận dụng định lí +
Củng cố định lí
-
Sự khác biệt giữa hai con đường này là: Theo con đường có khâu
suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ở con
đường có khâu suy diễn hai việc này nhập lại thành một bước. Tùy từng nội dung
cụ thể của tùng định lí mà chúng ta có thể trình bày theo cách này hay cách khác.
Sau đây ta tìm hiểu rõ hơn về con đường có khâu suy đoán.
1.2. Con đường có khâu suy đoán
1.2.1. Các định nghĩa, các cách hiếu về con đường này
Theo phương pháp dạy học của Nguyễn Bá Kim.
- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí: Xuất phát từ một nhu
cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học, từ đó giáo viên dẫn dắt
học sinh dựa vào những phương thức mang tính suy đoán, quy nạp không hoàn
toàn, lật ngược vấn đề,... từ đó đi đến một định lí tường minh hay một sự hiểu biết
về trực giác về định lí đó tùy theo yêu cầu của chương trình.
Theo phương pháp dạy học của Lê Văn Tiến.
- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí được dựa trên quan
điểm cho rằng hoạt động thực nghiệm (quan sát, đo đạc, dự đoán ...) và hoạt động
nghiên cún lí thuyết chỉ là thời điểm khác nhau của hoạt động toán học (trong
nghiên cún cũng như trong dạy học toán). Nghiên cún thực nghiệm và nghiên cứu
lí thuyết có mối quan hệ biện chứng không thể tách rời. Vì vậy, phát triển năng
lực thực nghiệm cũng có vai trò quan trọng như phát triến năng lực tư duy, khả
7
năng suy luận, trí tưởng tượng,...
Vì vậy mà trong chương trình toán THPT các khả năng thực nghiệm, suy
luận, phân tích, tưởng tượng, đánh giá, phải được phát triển đồng thời. Trình bày
một vấn đề, dự đoán về kết quả, thực nghiệm trên các ví dụ, thiết lập một chứng
minh, vận dụng các công cụ lí thuyết, trình bày lời giải, kiểm tra các kết quả đạt
được đánh giá tính thích đáng của chúng so với vấn đề đặt ra chỉ là những thời
điểm khác nhau của cùng một hoạt động toán học.
1.2.2. Ưu điếm, nhược điếm và điều kiện sử dụng của con đường có khâu suy
đoán
* Nhược điểm
- Tốn nhiều thời gian.
* Ưu điểm
- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn
đề. Khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và
phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn.
- Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt về mối liên hệ giữa suy đoán
và chứng minh.
- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp,
trừu tượng hóa, khái quát hóa,...
* Điều kiện sử dụng
- Con đường này được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định
lí mà học sinh có thể hiểu được và tự mình thực hiện được ở mức độ nhất định.
1.3. Các bước dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán
1.3.1.
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
- Học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc
trong nội bộ toán học.
VD1: Định lí cosin
8
Vẽ lên bảng một tam giác AABC vuông tại A, có các cạnh tương ứng là
AB = c, AC = b, BC = a.
GV: Ta đã biết công thức nào tính độ dài cạnh BC theo hai cạnh kia ?
HS: Định lí Pytago a 2 =b 2 +c 2
GV: Như vậy khi biết A là góc vuông, và biết độ dài hai cạnh kề thì ta có
thể tính được cạnh còn lại. Neu, vẫn cho biết độ lớn góc A và độ dài hai cạnh kề
của nó, nhưng góc A là một góc bất kì, liệu có tính được độ dài cạnh thứ ba hay
không?
- Đưa ra một số tình huống có vấn đề bằng tương tự hóa, khái quát hóa, lật
ngược vấn đề,... mà cách giải quyết của nó chính là nội dung định lí.
VD2: Trong mặt phang, đường thẳng có ba dạng phương trình khác nhau
như sau:
, \x = x ữ +at
+ Phương trình tham sô: <
2
2
với a +b ^ 0
{y = y ữ +bt
+ Phương trình chính tắc: ——^-=——với a 2 +b 2 ^ 0
a
b
+ Phương trình tổng quát: Ax + By + c = 0 với A 2 + B 2 ^ 0 Tương tự, trong
không gian phương trình đường phẳng cũng có ba dạng sau đây không?
x = x ữ +at
■ y=y 0 + bt;?—^ s -=^ : ^ l =?—^ L ;Ax+By + Cz + D = 0 với a
b
c
z = z ồ + ct
a 2 +b 2 +c 2 ^0,A 2 + B 2 + c 2 ^0 VD3: Sau khi học xong
định lí: “Nếu hàm số ỵ = f(x) có đạo hàm tại điểm X Q thì nó liên tục tại điểm đó.”
Vậy ngược lại: Neu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm JC0 thì liệu nó có đạo
hàm tại điểm đó không?
1.3.2 Dự đoán và phát biểu định ỉí
- Dựa vào những phương thức mang tính suy đoán như quan sát thực
nghiệm, quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa
9
một định lí đã biết, nghiên cún trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ
thuộc,...
VD1: Quan sát thực nghiệm định lí “ Phép quay là phép dời hình.”
GV: Quan sát chiếc tay lái vô lăng trên tay người lái xe thì ta thấy khi tay
lái xe quay tay lái một góc nào đó thì hai điểm A,B trên tay người lái cũng quay
theo. Khi đó vị trí của hai điểm A,B thay đổi nhung khoảng cách giữa hai điểm
A,B có thay đổi không?
HS: Vị trí hai điểm A,B thay đổi nhung khoảng cách giữa hai điểm không
thay đổi.
GV: Đây cũng chính là nội dung định lí “ Phép quay là phép dời hình.”
VD2: Dự đoán bằng tương tự hóa “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song
song với mặt phang thứ ba thì song song với nhau.”
Định lí “Neu hai đường thắng cùng song song với một đường thắng thứ ba
thì chúng song song.”
Tương tự, nếu hai mặt phang cùng song song với một mặt phang thứ ba thì
chúng song song với nhau hay không?
Khi trình bày xong một dự đoán học sinh đúng trước hai câu hỏi cần trả lời
(hay hai vấn đề cần giải quyết) dự đoán đúng hay sai? Vì sao? Nói cách khác học
sinh đứng trước một bài toán mở cần giải quyết và có một sự không chắc chắn về
mệnh đề dự đoán (không biết nó đúng hay sai). Tính không chắc chắn này là
động cơ đê học sinh hình thành những phép thử những mò mẫm,... Đó chính là cơ
hội để phát triển dần dần ở học sinh các khả năng nghiên cún khoa học.
1.3.3. Chửng minh định lí
-
Gợi động cơ chứng minh
Đe phát huy tính tự giác, tích cực của học sinh trong học tập, cần làm cho
học sinh thấy rõ sự cần thiết phải tiến hành chứng minh.
VD1: Định lí “Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phang (P), có
10
duy nhất một mặt phặng (Q) vuông góc với mặp phẳng (p)
GV: Lấy điểm Oea, dựng đường thắng b đi qua o và vuông góc với (P).
Đe chứng minh có duy nhất một mặt phang (Ổ) vuông góc với mặt phẳng (p) thì
trước tiên GV cần hướng dẫn HS chứng minh mặt phẳng (a,b) chính là mặt
phang (Q). Rồi mới chứng minh có duy nhất một mặt phang (Q) vuông góc với
mặp phang (p).
-
Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng
minh như phân tích, tổng hợp so sánh, trùn tượng hóa, khái quát hóa,...
11
VD2: Chứng minh rằng: sin3;c = 3sin xcos2 Jt-sin3 Jt
- Hướng dẫn cho HS những tri thức phương pháp trong chứng minh.
+ Thứ nhất: Cần tập luyện cho học sinh những tri thức về các quy tắc kết
luận logic thường dùng.
A=>£;A
Quy tắc đoạn luận:
B
Tam đoạn luận bắc cầu:
Các quy tắc phản
X í ,, ,
Một sô quy tăc
A => B;B => c
A^>C
Tam đoạn phủ định:
chứng:
A ~Ã
A => B\B
Ấ = > £ A ^ > B A C Vjc,A(x) 3jc,A(x)
£=>A
A=>z?
khác: = ------------------------------- = ; ------------ —; _ ’
3x,A(x) Vx,A(x)
Các quy tắc không được dạy một cách tường minh vì vậy chúng ta nên
hướng dẫn học sinh phân tích các bước qua phép chứng minh, trình bày các
12
bước đó qua căn cứ suy luận để học sinh nhận biết và hiểu rõ đã dùng các kết
luận quy tắc logic như thế nào? Mỗi lần sử dụng định nghĩa định lí là một lần sử
dụng quy tắc kết luận logic.
VD3: Đinh lí “Neu một đường thẳng d và mặt phang (p) cùng vuông góc
với một đường thẳng À thì đường thẳng d song song với mặt phang (p) hoặc nằm
trong mặt phẳng (p)
Phép chứng minh thường được trình bày tóm tắt như sau: Nếu d và (P) có
một điểm chung D thì ta vẽ thêm một đường thẳng d' nằm trong (P) và đi qua D
. Theo định lí đã biết (Q) trùng (P). Từ đó suy ra d nằm trong (p).
Ta phân tích phép chứng minh thành các bước:
Bước 1: Neu d và (P) không có điểm chung thì theo định nghĩa đường
thẳng song song với mặp phang, d ll(P).
Bước 2: Neu d và (P) có một điểm chung D thì trong mặt phang (P) có ít
nhất một đường thẳng d\ không trùng với đường thẳng d, đi qua D. Theo định lí
về xác định mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng (Q) đi qua d và d'.
Bước 3: Vì d' thuộc mặt phang (p) và mặt phang (p) vuông góc với A nên
theo định nghĩa mặt phang vuông góc với đường thẳng, d' _L A
Bước 4: Đường thẳng À vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau d, d' nằm
trong mặt phang (Q) (theo định lí nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phang thì sẽ vuông góc với mọi đường
thẳng nằm trong mặt phẳng đó và theo định nghĩa đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng), A1(Q)
Bước 5: Hai mặt phang (P) và (Q) đều đi qua D và đều vuông góc với À
(theo định lí qua một điểm cho trước chỉ có một mặt phang vuông góc với đường
thẳng cho trước), (P) trùng (Q). Từ đó suy ra d nằm trong (P).
13
VD4: Tính chất “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt
phang thì song song với nhau”
Ta chứng minh a -L(P), b-L(P) và a không trùng b. Theo quy tắc tam
đoạn luận bắc cầu ta suy ra a / lb.
+ Thứ hai: cần giúp học sinh hình thành những tri thức về phương pháp suy
luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, suy ngược lùi), suy xuôi, quy
nạp toán học, chứng minh bằng phản chúng và chứng minh loại dần,...
Phép suy xuôi là đi từ nhũng đều đã biết, đến mệnh đề cần chứng minh có
sơ đồ sau:
A = A Q A, —».... A n = B Phép suy ngược là đi từ
mệnh đề cần chứng minh đến những điều đã biết, gồm suy ngược tiến và suy
ngược lùi:
B = B 0 —» B { —».... —» B n = A
B n = A (suy ngược lùi)
B = B a <—5,
Nói đúnghơn ta thường
(suy ngược tiến)
dùng phép suy ngược lùi (kết họp
ngược tiến) để tìmra phương pháp chúng minh và dùng phương
với suy
pháp
suy
xuôi để trình bày chứng minh.
Trong ba sơ đồ trên A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề đúng
nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh.
Chú ý: Suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán chứ
không phải là một phép chúng minh như suy xuôi,
suy ngược lùi.
VD5: Chứng minh rằng: “Neu trong tứ diện ABCD
có AB _L CD và AC _L BD thì AD±BCr
* Chủng minh bang phương pháp suy
c
14
xuôi
- Gọi H là trực tâm của AABC ta có:
BH -LAC, theo giả thiết AC_L£D=> AC-LDH
CH _L AB, theo giả thiết AB _L CD => Aổ ± D//
Vì AC-LDH và AB±DH nên BC-LDH Ta
lại có:
_LA// do đó BC _L AD
(đpcm)
* Chứng minh bang phương pháp suy ngược lùi
Muốn chứng minh AD-LBC ta chỉ cần tìm một điểm X sao cho AX _L
BC và DX _L BC.
- Gọi H là trục tâm của AABC ta có: AH _L BC
CH _L AB, theo giả thiết ABLCD^> AB -L DH
BH _LAC, theo giả thiết AC±BD^>AC±DH Từ
đó suy ra DH _L BC (đpcm)
* Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Cho mệnh đề chứa biến P(n) với ne~\ , để chúng minh P(n) đúng với
n > a, ae] , ta làm theo các bước sau:
B1: Chứng minh rằng P(a) đúng.
B2: Giả sử P(k) đúng, với k > a tùy ý, ta chúng minh P(k +1) đúng.
B3: Ket luận P(n) đúng với \/n>a.
VD6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 ta luôn có:
2" >2/1 + 1 (1)
- Với n = 3 ta có: 23 >2.3 + 1 đúng. Vậy (1) đúng với n = 3.
Giả sử (1) đúng với n = k >3,k
là 2 k > 2k + 1 là đúng.
- Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + \
15
tức
Nghĩa là cần chúng minh 2/c+1 > 2(k +1) +1 hay 2 k+] >2k + 3
- Thật vậy ta có: 2*> 2k + \^> 2 k+ ' > 4k + 2 = 2k + 2k + 2 > 2k +
3 (đpcm)
Kết luận 2" >2n + l với n> 3.
* Chứng minh bang phản chứng
Đe chứng minh mệnh đề Л đúng (nghĩa là chứng minh A là sai) thì ta
giả sử ngược lại Л sai (nghĩa là A đúng) và chỉ ra rằng việc A đúng sẽ dẫn tới
mâu thuẫn. Như vậy A phải sai, nghĩa là A đúng, ta làm theo các bước:
В1 : Giả sử A sai (nghĩa là A đúng)
B2: (Suy diễn trực tiếp) Từ các tiên đề в và A ta đi tới mâu thuẫn.
B3: Kết luận A đúng.
Các kiểu suy luận dẫn tới mâu thuẫn có thế là:
+ А л В => А
+ А А в => С А С (С là mệnh đề nào đó)
+ А л В => В
+ Ал В => D (D là mệnh đề đúng đã biết )
VD7: Chúng minh bất đẳng thức cosi: a > -Jab với a,b > 0.
Bước 1 : Giả sử ngược lại a + b > 2\[ãb sai, nghĩa là ta có a + b< 2\[ãb
đúng. Bước 2: a,b>0, a + b<2\fãb ^>(a + b) 2 <4ab => (a -b) 2 < 0
(vô lí)
Bước 3: Giả sử a + b< 2\[ãb là sai, vậy ta có a+b> 2yfãb . (đpcm)
VD8: Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai.
“Cho tam thức bậc hai /(Jt) = 'dx 2 +bx + c,(a ^0)và một số thực a. Neu
a.f (a) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt X|, x 2 ( JC, < JC2 ) và Jt, < a
< x 2 Chứng minh:
16
2 b
c
Ta CÓ /(x) = ax +bx + c=a(x +—X + —)
2
b
aa
b -4ac
= a.
(x + 2.—.X H -- —) —
2a
4 a2
4 a2
= a.
2a'
4a 2
Ta giả sử ngược lại, phương trình không có hai nghiệm phân biệt. Từ đó
suy ra A < 0
A<
0
=>«./(«:)>
0 với
Vjc
. Điều này mâu thuẫn với giả thiết a . f ( a ) < 0 Vậy
phương trình có hai nghiệm Xị,x 2 (x,
với giả thiết.
Vậy jCj < a < x 2 .
* Chứng minh loại dần
VD9: Chứng minh loại dần định lí đảo về dấu tam thức bậc hai Cho tam
thức bậc hai f(x) = ax 2 +bx + c,(a ^0) có ba trường họp xảy ra À > 0, A = 0, A <
0.
TH1: À = 0 => a.f(a) > 0 với Vx.
Nhưng theo giả thiết có a mà a.f(a) < 0 trái với giả thiết. Vậy trường hợp
này không xảy ra.
TH2: A < 0 => a.f(a) > 0 với Vx.
Nhưng theo giả thiết có a mà a.f(a) < 0 trái với giả thiết. Vậy trường họp
này không xảy ra.
Từ các kết quả trên suy ra A > 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt
JCj,JC2 (Xị
f(a) > 0 với Vx thỏa mãn a<x ] hay a > x 2 trái với giả thiết
17
Vậy a.f(a)< 0 với Vx thỏa mãn JC, < a
đủ các trường hợp có thể xảy ra.
+ Thứ ba: Làm cho học sinh thấy rõ ba bộ phận cấu thành (luận đề là một
mệnh đề cần chứng minh; luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết;
luận chúng là những phép suy luận được sử dụng trong chứng minh) và ba yêu
cầu đảm bảo chứng minh là đúng (luận đề không được đánh tráo; luận cứ phải
đúng; luận chứng phải hợp logic).
VD10: Phân tích chứng minh bất đẳng thức cosi.
Tiên đê
Luận chứng
Luận cứ
Hăng đăng thức:
(a-bÝ >0, Va,b > 0 a 2 - 2ab + b 2 > 0, \/a,b>
0
(.A-B) 2 = A 2 -2AB + B 2
a 2 -2ab + b 2 >0,
a 2 + 2ab + b 2 > 4ab,
Tính chất bất đẳng thức: A
\/a,b> 0
> B nên A + C > B + c
a 2 +2ab + b 2 >4ab a + b>2\[ãb, \/a,b> 0 Tính chât: Nêu A,B không
, \/a,b>0
âm và A > B thì
■ỊÃ>4 B
\/a,b > 0
a
a+b> 2^00, Va,b
> 2*Jãb,\/a >0,b>0 2
Tính chât bât đăng thức Nếu
A>B và c>0 thì A.C > B.c
>0
+ Thứ tư: Cần hình thành ở học sinh những tri thức phương pháp về chiến
lược giải toán chứng minh (có tính chất tìm đoán) theo con đường tập luyện
những hoạt động ăn khớp với tri thức này.
VD11: Rèn luyện khả năng chứng minh hình học
Chiến lược cần kết tinh lại ở học sinh như một bộ phận kinh nghiệm mà họ
thu được trong quá trình giải toán, sự kết tinh không nên để diễn ra một cách tự
phát mà cần có những biện pháp thực hiện có mục đích, có ý thức của giáo viên.
18
Cần tập luyện dần để học sinh nắm được các kiến thức trong quá trình dạy học
chứng minh định lí thông qua các câu hỏi.
GV có thể hỏi một cách có dụng ý những chỉ dẫn bằng các câu hỏi:
Hãy vẽ một hình theo dự kiện của bài toán. Những khả năng nào có thể
xảy ra.
Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào?
Từ giả thiết suy ra được điều gì? Những định lí nào có thể giống hoặc gần
giống với giả thiết?
Ket luận nói gì? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào?
Đã có bài toán nào tương tự hay chưa?
Có cần kẻ thêm đường phụ hay không?
- Phân bậc hoạt động chúng minh theo 3 mức độ dựa vào tính độc lập của
hoạt động của học sinh.
+ Hiểu chứng minh.
+ Trình bày lại được chứng minh.
+ Độc lập tiến hành chứng minh.
Sự phân bậc hoạt động có thể được dùng để dạy học phân hóa nội tại (tức
là dạy học phân hóa trong nội bộ một lóp học thống nhất) theo cách cho những
học sinh thuộc những loại trình độ khác nhau đồng thời thực hiện những hoạt
động đó cùng một nội dung nhưng trải qua hoặc ở mức độ yêu cầu khác khác
nhau.
VD12: Phân bậc hoạt động một bài toán quỹ tích dựa vào tính độc lập của
hoạt động của học sinh.
Bậc 1: Các điểm có tính chất a thuộc hình nào? (Học sinh giải có sự gợi ý
của giáo viên.)
Bậc 2: Các điểm có tính chất a thuộc hình nào? (Học sinh giải độc lập.)
19
Bậc 3: Tính quỹ tích các điểm có tính chất a ? (Học sinh giải độc lập.)
1.3.4. Vận dụng định lí
Vận dụng định lí vừa tìm ra để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi
động cơ.
1.3.5. Củng cố định lí
Là một quá trình lâu dài có thể trải qua nhiều giai đoạn và cấp độ tri thức
khác nhau. Ngay cả khi định lí vừa được trình bày ta cũng cần tiến hành củng cố
bước đầu định lí bằng một số hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động
ngôn ngũ’, khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những định lí.
Nhận dạng và thể hiện định lí: Đây là hai hoạt động theo chiều trái ngược
nhau có tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí.
+ Nhận dạng: Xem xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp với định
lí đó hay không?
VD1: Nhận dạng định lí “Nếu một mặt phang chứa một đường thẳng
vuông
góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó
vuông góc với nhau.
Cho hình chóp S.ABCD với đường cao SH, kí
B
hiệu SK là một đường cao của tam giác ASAB.
a)
Phải chăng mặt phẳng (SAH) vuông
góc với mặt phang (ABCD).
b) Phải chăng mặt phang (SAK) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
+ Thể hiện: Tạo ra một tình huống phù họp với nội dung định lí đã cho.
20
VD2: Thể hiện định lí “Nếu mặt phang (p) chứa hai đường thắng a và b cắt
nhau và cùng song song với mp (Q) thì
(P)//(Q).”
Cho hình chóp S.ABCD mà đáy ABCD là
một hình thang (AB//CD) .
B
Hãy dựng mặt phẳng chứa đường thẳng AB
và song song với với (SCD).
-
Hoạt động ngôn ngữ: Có tác dụng
củng cố định lí, góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh.
+ Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết cách phát biểu, diễn đạt
định lí dưới dạng ngôn ngữ khác nhau như: Dạng công thức, dạng mệnh đề có
liên từ “nếu- thì” nhằm phát triến năng lực diễn đạt, cũng như ngôn ngữ toán học
cho học sinh.
+ Phân tích định lí: Phân tích làm rõ đặc trung quan trọng, nêu bật ý nghĩa
quan trọng chứa đựng trong định lí một cách tường minh hay ẩn tàng, làm rõ giả
thiết kết luận, trình bày định lí dưới dạng hình vẽ minh họa.
VD3: Định lí cosin
Phát biểu bằng lời định lí cosin: Trong một
tamgiác bất kì, bình
phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia,trừ hai lần tích
của chúng và cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.
VD4: Định lí về giới hạn hũu hạn
“Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) = M(L,M el ). Khi đó
lim [ f ( x ) + g(x)] = L + M
Ta có thể cho HS phát biểu lại như sau:
21
