đề thi môn phương pháp tính đại học bách khoa

Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

Trường Đại học ........................
THI HẾT MÔN
Phương pháp tính – Thời gian: 90 phút (Không kể giao đề)
(Dành cho các lớp ........................ – Năm học 2007 – 2008)

Đề số 1
Câu 1: (3 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình sau với
sai số không quá10 -3 :
f(x)  x 4  2 x 3  x  1  0

Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
xi
0
1
f(xi)
4
3
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x). Tính f(5).
Câu 3: (2 điểm)
Cho hàm y  f x  dưới dạng bảng sau:
x
0
1
y
12,3 11,1
Tính tích phân:

2
7,2

3
4,1

4
6,3

2
-2

5
8,8

4
0

6
9,2

8

I   f ( x )dx
0

theo công thức hình thang và công thức Simson.
Câu 4: (3 điểm)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
4 x1  0,24 x2  0,08 x3  8


0,09 x1  3x2  0,15 x3  9
0,04 x  0,08 x  4 x  20
1
2
3


(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)

7
10,8

8
13,1


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

Trường Đại học ........................
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - ........................– Năm học 2007 – 2008
Đề số 1
Câu
Lời giải
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x  0;1
1
- Chính xác hoá nghiệm: f(0)=-1; f(1)=1.
Bảng kết quả:
 a n  bn 

n
an
bn
f


0
1
2
3
4
5
6

2

0
0,5
0,75
0,75
0,8125
0,8438
0,8594
Vậy x  0,867 .
W(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)

1
1
1
0,875

0,875
0,875
0,875

2




0,5
1,0



f(5) =(5-4)(25-5-1) =1.19 =19.
3

2,0

f(0,5)=-1,19
f(0,75)=-0,59
f(0,875)=0,05
f(0,8125)=-0,304
f(0,8438)=-0,135
f(0,8594)=0,043
f(0,867)=0,001

 4
3
2 

L3  x   x x  1 x  2  x  4



 x  8 3 x  1 4 x  2  
 x  4 x 2  x  1 .



Điểm
0,5
0,5

Tính tích phân I theo công thức hình thang:

0,5
1,0

8

I   f ( x )dx
0

1
 12,3  2.11,1  2.7,2  2.4,1  2.6,3  2.8,8  2.9,2  2.10,8  13,1
2
 70,2

Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.
8

I   f ( x )dx
0
8

I   f ( x )dx
0

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

1
12,3  4.11,1  2.7,2  4.4,1  2.6,3  4.8,8  2.9,2  4.10,8  13,1
3
 70,0 .


Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
4

 x1  0,06 x 2  0,02 x3  2

 x 2  0,03 x1  0,05 x3  3
 x  0,01x  0,02 x  5
1
2
 3

0,5

Ta có: x = Bx + g, với:
- 0,06
0

B    0,03 0
  0,01 0,02


0,02 
 2

 
0,05  , g   3  .
5 
0 
 

0,5

Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
3

3

j 1

j 1

 b1 j  0  0,06  0,02  0,08 ;  b2 j  0,03  0  0,05  0,08 ;
3

b

3j

 0,01  0,02  0  0,03 .

j 1

0,5

3

Max  bij  Max{0,08;0,08;0,03}  0,08  1
i

j 1

thoả mãn điều kiện hội tụ.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel

Chọn x0  0;0;0  ta có bảng kết quả sau:

xi

x1

x2


x3

x4

x1
x2
x3
2
3
5
1,92
3,19
5,04
1,9094
3,1944
5,0446
1,90923
3,19495
5,04485
Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x1=1,90923; x2=3,19495; x3=5,04485.

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

Trường Đại học ............

THI HẾT MÔN

Phương pháp tính – Thời gian: 90 phút (Không kể giao đề)
(Dành cho các ..............– Năm học 2007 – 2008)

Đề số 2
Câu 1: (3 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình sau với
sai số không quá10 -3 :
f(x)  x 3  x  1  0

Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
xi
0
1
f(xi)
8
6
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x). Tính f(5).
Câu 3: (2 điểm)
Cho hàm y  f x  dưới dạng bảng sau:
x
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
1
1
1
1
1

1
y
1
1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2
-4

4
0

0,7

0,8

0,9

1,0

1

1,7

1
1,8

1
1,9

1
2

Tính tích phân:
1

I   f ( x)dx
0

theo công thức hình thang và công thức Simson.
Câu 4: (3 điểm)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
10 x1  x 2  x3  15

2 x1  10 x 2  x 3  25
2 x  2 x  10 x  36
2
3
 1

(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)

Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

Trường Đại học ........................
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - ........................– Năm học 2007 – 2008
Đề số 2
Câu
Lời giải
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x  1;2
1
- Chính xác hoá nghiệm: f(1)=-1<0; f(2)=5>0.
Bảng kết quả:
 a n  bn 
n
an
bn
f


0
1
2
3
4
5
6
7

2

1
1
1,25
1,25
1,313
1,313
1,313
1,321
Vậy x  1,325 .
W(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)

2
1,5
1,5
1,375
1,375
1,344
1,329
1,329

2




0,5
1,0



f(5) =2(5-4)(25-5-1) =2.1.19 =38.
3

2,0

f(1,5)=0,875
f(1,25)=-0,297
f(1,375)=0,225
f(1,313)=-0,052
f(1,344)=0,084
f(1,329)=0,016
f(1,321)=-0,016
f(1,325)=0,001

 8
6
4 
L3  x   x  x  1 x  2  x  4 



 x  8 3 x  1 4 x  2  
 2 x  4  x 2  x  1 .



Điểm
0,5
0,5

0,5
1,0

Tính tích phân I theo công thức hình thang:
1

I   f ( x )dx
0



0,1 
1
1
1
1
1
1
1
1
1  1






  
1  2 

2 
 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9  2 

0,694 .

Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.
1

I   f ( x)dx
0

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

0,1  1   1
1
1
1  1
1
1
1
1 


   4 


 

1    2
3  2   1,2 1,4 1,6 1,8   1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 



4

 0,693 .

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
 x1  0,1x2  0,1x3  1,5

 x2  0,2 x1  0,1x3  2,5
 x  0,2 x  0,2 x  3,6
1
2
 3

0,5

Ta có: x = Bx + g, với:
 0

B    0,2
  0,2


- 0,1
0
- 0,2

- 0,1 
1,5 

 
- 0,1 , g   2,5  .
 3,6 
0 
 

0,5

Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
3

3

j 1

j 1

 b1 j  0  0,1  0,1  0,2 ;  b2 j  0,2  0  0,1  0,3 ;
3

b

3j

 0,2  0,2  0  0,4 .

0,5

j 1

3

Max  bij  Max{0,2;0,3;0,4}  0,4  1
i

j 1

thoả mãn điều kiện hội tụ.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel

Chọn x0  0;0;0  ta có bảng kết quả sau:

xi

x1

x2

x3

x4

x5

x6


x7

x8

x1
x2
1,5
2,5
0,89
1,84
1,036
2,042
0,990
1,987
1,003
2,004
0,999
1,999
1,000
2,000
1,000
2,000
Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x1=1,000; x2=2,000; x3=3,000.

x3
3,6
2,8
3,054
2,984

3,005
2,999
3,000
3,000

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

TRƯỜNG ĐH .........................

ĐỀ THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 1)
Dùng cho các lớp: ......................
Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề)

Câu 1: (2 điểm)
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương gần đúng phương trình:
f(x)  x 4  2 x  4  0

biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 1,7), với sai số không quá 10 -2 .
Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn:
xi
0
2
3
5
f(xi)

1
3
2
5
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x); tính f(4).
Câu 3: (2 điểm)
Cho bảng giá trò hàm
xi
7
8
9
10
11
12
13
f(xi)
7,4
8,4
9,1
9,4
9,5
9,5
9,4
Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y và
x là: y  f(x)  a  bx  cx 2 .
Câu 4: (2 điểm)
Cho hàm y  f x  dưới dạng bảng sau:
x
0
0,1

0,2
0,3
0,4
0,5
y
1
0,990
0,962
0,917
0,862
0,800
0,6
0,735

0,7
0,671

0,8
0,609

0,9
0,555

Tính tích phân:
1

I   f ( x)dx
0

theo công thức hình thang và công thức Simson.

Câu 5: (2 điểm)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
5x1  x 2  x 3  10

 x 1  5x 2  x 3  14
 x  x  5x  18
2
3
 1

1
0,500


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)
TRƯỜNG ĐH .........................
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 1, .........................- Năm học 2008 – 2009
Câu
Lời giải
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm dương x  1; 1,7 
1
f(1) = - 5 < 0;
f(1,7) = 0,952 > 0.
- Chính xác hoá nghiệm:
Bảng kết quả:
b  a i f a i 
f x i 

an
bn
xi  ai  i
f b i   f a i 

2

3

1

1,7

1,588

1,7

1,639

1,7

1,642

1,7

1,7  1f 1  1,588
f 1,7   f 1
1,7  1,588f 1,588  1,639
x 2  1,588 
f 1,7   f 1,588

f 1,588  0,817  0

1,7  1,639f 1,639  1,642
f 1,7   f 1,639
1,7  1,642f 1,642  1,643
x 3  1,642 
f 1,7   f 1,642

f 1,642  0,016  0

x1  1 

x 3  1,639 

0,1
2

0,5

f 1,639  0,051  0

1,5

f 1,643  0,004 > 0

Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10-2 là: x  1,64 .
W(x)=x(x-2)(x-3)(x-5)
 1


3
2
5
L3 x   x x  2x  3x  5




 x  30 6x  2  (6)x  3 30x  5 
3
13
62
 x3  x 2  x  1 .
10
6
15
3
13
62
31
f(4)  .4 3  .4 2  .4  1  .
10
6
15
15
Tính tích phân I theo công thức hình thang:
1
h
I   f (x )dx  y 0  2y1  y 2  y 3  y 4  y 5  y 6  y 7  y8  y 9   y10 
2

0


Điểm

0,5
1,0

0,5

1  20,99  0,962  0,917  0,862  0,8  0,735  0,671  0,609  0,555  0,5

 0,785 .
Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.

1,0

1

I   f ( x)dx
0




h
y0  y10   2y 2  y 4  y6  y8   4y1  y3  y5  y7  y9 
3
0,1
3

1  0,5  20,962  0,862  0,735  0,609  40,99  0,917  0,8  0,671  0,555 1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

4

5

 0,786 .
Lập bảng số:
k
xk
(xk)2
(xk)3
(xk)4
yk
xk yk
1
7
49
343
2401
7,4
51,8
2
8
64
512

4196
8,4
67,2
3
9
81
729
6561
9,1
81,9
4
10
100
1000
10000
9,4
94,0
5
11
121
1331
14641
9,5
104,5
6
12
144
1728
20736
9,5

114,0
7
13
169
2197
28561
9,4
122,2
∑ 70
728
7840
87096
62,7
635,6
Từ đó ta có hệ phương trình sau:
7a  70b  728c  62,7

 70a  728b  7840c  635,6
 728a  7840b  87096  6683,4


(xk)2 yk
362,6
537,6
737,1
940,0
1149,5
1368,0
1588,6
6683,4

Giải hệ phương trình trên ta thu được:
a = 2,12;
b = 1,10
c = - 0,04
Vậy hàm bậc hai cần tìm có dạng:
f x   2,12  1,10 x  0,04x 2 .
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
 0,2x 2  0,2x 3  2,0
x 1 

 0,2 x 3  2,8
x 2  0,2 x1
x  0,2x  0,2x
 3,6
1
2
 3
Ta có: x = Bx + g, với:
 0

B    0,2
  0,2


- 0,2

1,0

1,0

0,5

- 0,2 
 2,0 

 
- 0,2  , g   2,8  .
 3,6 
0 
 

0
- 0,2

Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
3

3

 b1 j  0  0,2  0,2  0,4 ;  b 2 j  0,2  0  0,2  0,4 ;
j1

j1

3

3

 b3 j  0,2  0,2  0  0,4 ; Max  bij  Max{0,4; 0,4; 0,4}  0,4  1 (thoả

j1

i

0,5

j1

mãn điều kiện hội tu)ï. p dụng phương pháp Gauss - Siedel

Chọn x0  0;0;0  ta có bảng kết quả sau:

xi
x1
x2
x3

x1
2,00
2,80
3,60

x2
0,72
1,68
2,64

x3
1,136
2,128

3,120

x4
0,950
1,949
2,947

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV
Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x1 = 0,950; x2 =1,949; x3 = 2,947.

TRƯỜNG ĐH .............................................ĐỀ THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 2)
Dùng cho các lớp: .........................
Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề)

Câu 1: (2 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình:
f(x)  x 3  2x  7  0

biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 2), với sai số không quá10 -3 .
Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
xi
1
2
3

4
f(xi)
2
3
4
5
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x), tính f(5).
Câu 3: (2 điểm)
Cho bảng giá trò hàm
xi
19
22
25
28
32
35
f(xi)
0,660
0,367
0,223
0,140
0,084
0,060
Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y và
x là: y  f(x)  a  bx .
Câu 4: (2 điểm)
Cho hàm y  f x  dưới dạng bảng sau:
x
0
0,2

0,4
0,6
0,8
y
1,0000
0,9801
0,9211
0,8253
0,6967
Tính tích phân:
0 ,8

I   f (x )dx
0

theo công thức hình thang và công thức Simson.
Câu 5: (2 điểm)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel:
10 x1  x 2  x 3  33

 2x1  10x 2  x 3  27
 2x  2 x  10x  20
1
2
3



Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)

TRƯỜNG ĐH .........................
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 2, Lớp .........................- Năm học 2008-2009
Câu

1

2

3

Lời giải

-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x  1;2
f(1) = - 4 < 0;
f(2) = 5 > 0.
- Chính xác hoá nghiệm:
Bảng kết quả:
n
an
bn
 a  bn 
f n

 2 
0

1,0

2,0

f(1,5) =3,375+3-7= - 0,625 < 0

1

1,5

2,0

f(1,75) = 5,359+3,5-7=1,859 > 0

2

1,5

1,75

f(1,625)=4,291+3,25-7=0,541> 0

3

1,5

1,625

f(1,563)=3,818+4,689-7=- 0,056 < 0

4

1,563

1,625

f(1,594)= 4,050+3,188-7=0,238> 0

5

1,563

1,594

f(1,579)= 3,937+3,158-7=0,095> 0

6

1,563

1,579

f(1,571)=3,877+3,142-7=0,019> 0

7

1,563

1,571

f(1,567)=3,848+3,134-7=-0,018<0

8

1,567

1,571

f(1,569)=3,863+3,138-7=0,001

Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10-3 là: x  1,569 .
W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

2
3
4
5
L 3 x   x  1x  2 x  3x  4 



 x  1 6  2x  2   2x  3 6x  4
 x  1.
f(5) = 5+1 = 6.
Lập bảng số:
k
xk
(xk)2
yk
xk yk
1

19
361
0,660
12,5
2
22
484
0,367
8,1
3
25
625
0,223
5,6
4
28
784
0,140
3,9
5
32
1024
0,084
2,7
6
35
1225
0,060
2,1
∑

161
4503
1,500
34,9
Từ đó ta có hệ phương trình sau:

Điểm

0,5

1,5

0,5
1,0
0,5

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

4

 6a  161b  1,534

 161a  4503b  34,897
Giải hệ phương trình trên ta thu được:
a = 1,176;
b = - 0,034
Vậy hàm bậc nhất cần tìm có dạng: f x   1,176  0,034 x .

Tính tích phân I theo công thức hình thang:
0 ,8
h
I   f ( x )dx  y 0  2y1  y 2  y 3   y 4 
2
0
0,2



1,0

1  20,9801  0,9211  0,8253  0,6967  0,715 .

2

Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.
0 ,8
h
I   f (x )dx  y 0  y 4   2y 2   4y1  y 3 
3
0

5

1,0

0,2

1  0,6967  20,9211  40,9801  0,8253  0,717 .

3
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
 0,1x 2  0,1x 3  3,3
x 1 

 0,1x 3  2,7
x 2  0,2x1
x  0,2x  0,2 x
 2,0
1
2
 3
Ta có: x = Bx + g, với:
- 0,1
- 0,1 
 0
 3,3 


 
B    0,2
0
- 0,1 , g   2,7  .
  0,2 - 0,2
 2,0 
0 

 
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
3

1,0

0,5

3

b

 0  0,1  0,1  0,2 ;  b2 j  0,2  0  0,1  0,3 ;

1j

j 1

0,5

j 1

3

b

3j

 0,2  0,2  0  0,4 .

j 1

3

Max  bij  Max{0,2;0,3;0,4}  0,4  1
i

j 1

thoả mãn điều kiện hội tụ.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel

Chọn x0  0;0;0  ta có bảng kết quả sau:

xi
x1
x2

x1
3,3
2,7

x2
2,83
1,84

x3
3,036
2,054

x4
2,998
1,986


x5
3,003
2,002

x3
2,0
0,8
1,066
0,982
1,003

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

x6

x7

x8

3,000

1,999

0,999

3,000

2,000

1,000

3,000

2,000

1,000

Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình:
x1=3,000; x2=2,000; x3=1,000.


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV
TRƯỜNG ĐH .........................

ĐỀ THI HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 1)
Dùng cho các lớp:.........................
Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề)

Câu 1: (2 điểm)
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương gần đúng phương trình:
f(x)  x 3  x  1  0

biết khoảng cách ly nghiệm là: [1; 2], với sai số không quá10 -3 .
Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn

xi
0
2
3
5
f(xi)
1
3
2
5
a/ Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x).
b/ Xây dựng bảng nội suy Ayken, tính f(4).
Câu 3: (2 điểm)
Cho bảng giá trò hàm
xi
7
8
9
10
11
12
13
f(xi)
7,4
8,4
9,1
9,4
9,5
9,5
9,4

Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y
và x là: y  f(x)  a  bx  cx 2 .
Câu 4: (2 điểm)
Cho hàm y  f x  dưới dạng bảng sau:
x 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y 1 0,990099 0,96158846
0,91743119
0,86206896
0,8
0,6
0,73529411
Tính tích phân:

0,7
0,67114093

0,8
0,60975609

0,9
0,555248618

1

I   f ( x)dx

0

theo công thức hình thang và công thức Simson.
Câu 5: (2 điểm)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
5x1  x 2  x 3  10

x 1  5x 2  x 3  14
x  x  5x  18
2
3
 1

1
0,5


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)
TRƯỜNG ĐH .........................
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 1, Lớp ......................... - Năm học 2009 – 2010

Câu
Lời giải
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x  1;2
1
- Chính xác hoá nghiệm: f(1)=-1; f(2)=5.
Bảng kết quả:

af (b)  bf (a )
n
an
bn
f x k 
x 
k

2

0 1
2
1 1,167
2
2 1,253
2
3 1,293
2
4 1,311
2
5 1,319
2
6 1,322
2
7 1,324
2
Vậy x  1,324 .
W(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)

1,167

1,253
1,293
1,311
1,319
1,322
1,324
1,324

-0,578
-0,286
-0,131
-0,058
-0,024
-0,012
-0,003
0
0,5
1,0



f(5) =(5-4)(25-5-1) =1.19 =19.
3

1,0

f (b)  f (a )

 4
3

2 
L3  x   x x  1 x  2  x  4



 x  8 3 x  1 4 x  2  
 x  4 x 2  x  1 .



Điểm
0,5
0,5

Tính tích phân I theo công thức hình thang:
1

0,5
1,0

I   f ( x )dx
0



0,1 
1
1
1
1

1
1
1
1
1  1






  
1  2 
2 
 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9  2 

0,694 .

Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.
1

I   f ( x)dx
0



0,1  1   1
1
1
1  1

1
1
1
1 


   4 


 
1    2
3  2   1,2 1,4 1,6 1,8   1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 

 0,693 .

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV
 x1  0,06 x 2  0,02 x3  2

 x 2  0,03 x1  0,05 x3  3
 x  0,01x  0,02 x  5
1
2
 3

4

Ta có: x = Bx + g, với:
- 0,06
0

B    0,03 0
  0,01 0,02


0,02 
 2

 
0,05  , g   3  .
5 
0 
 

Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
3

3

0,5

0,5

 0  0,06  0,02  0,08 ;  b2 j  0,03  0  0,05  0,08 ;

b

1j

j 1

j 1

3

b

3j

 0,01  0,02  0  0,03 .

j 1

3

Max  bij  Max{0,08;0,08;0,03}  0,08  1
i

j 1

thoả mãn điều kiện hội tụ.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel

Chọn x0  0;0;0  ta có bảng kết quả sau:

xi


x1

x2

x3

x4

x1
x2
x3
2
3
5
1,92
3,19
5,04
1,9094
3,1944
5,0446
1,90923
3,19495
5,04485
Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x1=1,90923; x2=3,19495; x3=5,04485.

0,5

1,0

Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

TRƯỜNG ĐH .........................

ĐỀ THI HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 2)
Dùng cho các lớp: .........................
Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề)

Câu 1: (3 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình:
f(x)  x 3  2x  7  0

biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 2), với sai số không quá10 -2 .
Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
xi
0
1
2
4
f(xi)
8
6
-4
0
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x). Tính f(5).
Câu 3: (2 điểm)

Cho bảng giá trò hàm
xi
7
8
9
10
11
12
13
f(xi)
7,4
8,4
9,1
9,4
9,5
9,5
9,4
Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y
và x là: y  f(x)  a  bx  cx 2
Câu 4: (2 điểm)
Cho hàm y  f x  dưới dạng bảng sau:
x
0
0,1
y
1,0
11,1
Tính tích phân:

0,2

7,2

0,3
4,1

0,4
6,3

0,5
8,8

0,6
9,2

0,7
10,8

8

I   f ( x )dx
0

theo công thức hình thang và công thức Simson.
Câu 5: (2 điểm)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
10 x1  x 2  x3  15

2 x1  10 x 2  x 3  25
2 x  2 x  10 x  36
2

3
 1

0,8
13,1


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)

TRƯỜNG ĐH .........................
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 2, Lớp ......................... - Năm học 2009-2010

Câu
Lời giải
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x  1;2
1
- Chính xác hoá nghiệm: f(1)=-1<0; f(2)=5>0.
Bảng kết quả:
 a  bn 
n
an
bn
f n



0

1
2
3
4
5
6
7

2

1
1
1,25
1,25
1,313
1,313
1,313
1,321
Vậy x  1,325 .
W(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)

2
1,5
1,5
1,375
1,375
1,344
1,329
1,329

2

0,5
1,0



f(5) =2(5-4)(25-5-1) =2.1.19 =38.
3

2,0

f(1,5)=0,875
f(1,25)=-0,297
f(1,375)=0,225
f(1,313)=-0,052
f(1,344)=0,084
f(1,329)=0,016
f(1,321)=-0,016
f(1,325)=0,001

 8
6
4 
L3  x   x  x  1 x  2  x  4 



 x  8 3 x  1 4 x  2  
 2 x  4  x 2  x  1 .






Điểm
0,5
0,5

Tính tích phân I theo công thức hình thang:

0,5
1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV
8

I   f ( x )dx

1,0

0

1
12,3  2.11,1  2.7,2  2.4,1  2.6,3  2.8,8  2.9,2  2.10,8  13,1
2
 70,2


Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.
8

I   f ( x )dx
0
8

4

I   f ( x )dx
0

1
12,3  4.11,1  2.7,2  4.4,1  2.6,3  4.8,8  2.9,2  4.10,8  13,1
3
 70,0 .


Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
 x1  0,1x2  0,1x3  1,5

 x2  0,2 x1  0,1x3  2,5
 x  0,2 x  0,2 x  3,6
1
2
 3

0,5

Ta có: x = Bx + g, với:
 0

B    0,2
  0,2


- 0,1
0
- 0,2

0,5

- 0,1 
1,5 

 
- 0,1 , g   2,5  .
 3,6 
0 
 

Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
3

3

0,5

 0  0,1  0,1  0,2 ;  b2 j  0,2  0  0,1  0,3 ;

b

1j

j 1

j 1

3

b

3j

 0,2  0,2  0  0,4 .

j 1

3

Max  bij  Max{0,2;0,3;0,4}  0,4  1
i

j 1

thoả mãn điều kiện hội tụ.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel

Chọn x0  0;0;0  ta có bảng kết quả sau:


xi

x1

x2

x3

x4

x5

x1
1,5
0,89
1,036
0,990
1,003

x2
2,5
1,84
2,042
1,987
2,004

x3
3,6
2,8

3,054
2,984
3,005

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

x6

x7

x8

0,999
1,999
1,000
2,000
1,000
2,000
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình:
x1=1,000; x2=2,000; x3=3,000.

2,999
3,000
3,000


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

Trường Đại học ................................
THI HẾT MÔN
Phương pháp tính – Thời gian: 90 phút (Không kể giao đề)
(Dành cho các lớp ................................ – Năm học 2007 – 2008)

Đề số 1
Câu 1: (3 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình sau với
sai số không quá10 -3 :
f(x)  x 4  2 x 3  x  1  0

Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
xi
0
1
f(xi)
4
3
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x). Tính f(5).
Câu 3: (2 điểm)
Cho hàm y  f x  dưới dạng bảng sau:
x
0
1
y
12,3 11,1
Tính tích phân:

2
7,2

3
4,1

4
6,3

2
-2

5
8,8

4
0

6
9,2

8

I   f ( x )dx
0

theo công thức hình thang và công thức Simson.
Câu 4: (3 điểm)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
4 x1  0,24 x2  0,08 x3  8


0,09 x1  3x2  0,15 x3  9
0,04 x  0,08 x  4 x  20
1
2
3


(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)

7
10,8

8
13,1


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

Trường Đại học ................................
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lớp ........................– Năm học 2007 – 2008
Đề số 1
Câu
Lời giải
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x  0;1
1
- Chính xác hoá nghiệm: f(0)=-1; f(1)=1.
Bảng kết quả:
 a  bn 

n
an
bn
f n



0
1
2
3
4
5
6

2

0
0,5
0,75
0,75
0,8125
0,8438
0,8594
Vậy x  0,867 .
W(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)

1
1
1

0,875
0,875
0,875
0,875

2




0,5
1,0



f(5) =(5-4)(25-5-1) =1.19 =19.
3

2,0

f(0,5)=-1,19
f(0,75)=-0,59
f(0,875)=0,05
f(0,8125)=-0,304
f(0,8438)=-0,135
f(0,8594)=0,043
f(0,867)=0,001

 4
3

2 
L3  x   x x  1 x  2  x  4



 x  8 3 x  1 4 x  2  
 x  4 x 2  x  1 .



Điểm
0,5
0,5

Tính tích phân I theo công thức hình thang:

0,5
1,0

8

I   f ( x )dx
0

1
12,3  2.11,1  2.7,2  2.4,1  2.6,3  2.8,8  2.9,2  2.10,8  13,1
2
 70,2


Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

8

I   f ( x )dx
0
8

I   f ( x )dx
0

1
12,3  4.11,1  2.7,2  4.4,1  2.6,3  4.8,8  2.9,2  4.10,8  13,1
3
 70,0 .


4

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
 x1  0,06 x 2  0,02 x3  2

 x 2  0,03 x1  0,05 x3  3
 x  0,01x  0,02 x  5
1

2
 3

0,5

Ta có: x = Bx + g, với:
- 0,06
0

B    0,03 0
  0,01 0,02


0,02 
 2

 
0,05  , g   3  .
5 
0 
 

0,5

Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
3

3

j 1

j 1

 b1 j  0  0,06  0,02  0,08 ;  b2 j  0,03  0  0,05  0,08 ;
3

b

3j

 0,01  0,02  0  0,03 .

0,5

j 1

3

Max  bij  Max{0,08;0,08;0,03}  0,08  1
i

j 1

thoả mãn điều kiện hội tụ.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel

Chọn x0  0;0;0  ta có bảng kết quả sau:

xi


x1

x2

x3

x4

x1
x2
x3
2
3
5
1,92
3,19
5,04
1,9094
3,1944
5,0446
1,90923
3,19495
5,04485
Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x1=1,90923; x2=3,19495; x3=5,04485.

1,0


Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

Trường Đại học ................................
THI HẾT MÔN
Phương pháp tính – Thời gian: 90 phút (Không kể giao đề)
(Dành cho các lớp ................................ – Năm học 2007 – 2008)

Đề số 2
Câu 1: (3 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình sau với
sai số không quá10 -3 :
f(x)  x 3  x  1  0

Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
xi
0
1
f(xi)
8
6
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x). Tính f(5).
Câu 3: (2 điểm)
Cho hàm y  f x  dưới dạng bảng sau:
x
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
1
1
1
1

1
1
y
1
1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2
-4

4
0

0,7

0,8

0,9

1,0

1
1,7

1
1,8

1
1,9

1
2

Tính tích phân:
1

I   f ( x)dx
0

theo công thức hình thang và công thức Simson.
Câu 4: (3 điểm)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
10 x1  x 2  x3  15

2 x1  10 x 2  x 3  25
2 x  2 x  10 x  36
2
3
 1

(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)

Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

Trường Đại học ................................
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lớp .......................– Năm học 2007 – 2008
Đề số 2
Câu
Lời giải
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x  1;2
1
- Chính xác hoá nghiệm: f(1)=-1<0; f(2)=5>0.
Bảng kết quả:
 a  bn 
n
an
bn
f n



0
1
2
3
4
5
6
7

2

1
1
1,25
1,25
1,313
1,313
1,313
1,321
Vậy x  1,325 .
W(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)

2
1,5
1,5
1,375
1,375
1,344
1,329
1,329

2




0,5
1,0



f(5) =2(5-4)(25-5-1) =2.1.19 =38.
3

2,0

f(1,5)=0,875
f(1,25)=-0,297
f(1,375)=0,225
f(1,313)=-0,052
f(1,344)=0,084
f(1,329)=0,016
f(1,321)=-0,016
f(1,325)=0,001

 8
6
4 
L3  x   x  x  1 x  2  x  4 



 x  8 3 x  1 4 x  2  
 2 x  4  x 2  x  1 .



Điểm

0,5
0,5

0,5
1,0

Tính tích phân I theo công thức hình thang:
1

I   f ( x )dx
0



0,1 
1
1
1
1
1
1
1
1
1  1







  
1  2 
2 
 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9  2 

0,694 .

Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.
1

I   f ( x)dx
0

1,0