Giáo án ôn thi đại học môn toán bài giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số

BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

§1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau
đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử xác định trên . Ta có

D⊂
f ¡
⇔
;
max
 ff (M
M
mD ∀
∀fxfx(∈
(∈xx)DD
)
(mxx))=≤≥min
xx∈
∈D

∈D

D[ a::;ffbf (]( xx00)) == M
m
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, ∃∃xx00 ∈
GTNN của hàm số trên một
đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số xác định trên đoạn , ta làm như sau:
• B1 Tìm các điểm , , …, thuộc
khoảng mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng
0
f
x
x
( a;m12b )
hoặc khơng có đạo hàm.
• B2 Tính , , …, , , .
• B3 So sánh các giá trị tìm được ở fff ( (xxbam12)) bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó
chính là GTLN của trên đoạn ; [ a;f b ] số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là
GTNN của trên đoạn .
max f ( x ) = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) , K , f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) }
x∈[ a ;b]

.
min f ( x ) = min { f ( x1 ) , f ( x2 ) , K , f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) }

x∈[ a ;b]

.
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm f số mà khơng chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập
nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của .

B. Một số ví dụ

2
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN
2[x0;
+2]3 x + 3
y=
của hàm số trên đoạn .
x +1

Giải. Ta có . Lại có , .
17
min
y(x2(2∈0xy)2(y=0;
=
−∀
+=17
323x) + 3 ) 2 x 2 + 4 x
( 4 x + 3) ( x + 1) max
xy∈[(0;2
] =
)
y
'
=
=
>0
x
∈
0;2
[
]

Suy ra , .
2
2
33
( x + 1)
( x + 1)
Nhận xét.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84

DĐ:

1


BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

;fxb) ] = f ( a )
 min f[ a(⇒
 x∈[ a ;b]

nghịch biến trên .
f (⇒
x) = f ( b)
•
 xmax
∈[ a ;b ] f[ a

;fxb) ] = f ( b )
min
(
 x∈[ a ;b]
Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN  y = x + 4 − x 2
f ( x) = f ( a)
 xmax
∈[ a ;b ]
của hàm số .
•

đồng biến trên ;

TXĐ = [ −2; 2]

Giải.. Ta có
y ' = 1−

Với mọi , ta có

x x∈ ( −2; 2 ) 4 − x 2 − x
=
4x −∈x( 2−2; 2 ) 4 − x 2
⇔2 02
4x−
4x≥y−x='20x=−
=
x =x 0

2

2
4 − x = x

Vậy

().

.

{

( ) } = min { −2; 2; 2 2} = −2

{

( ) } = min { −2; 2; 2 2} = 2

⇔
min y = min y ( −2 ) ; y ( 2 ) ;xy= −22

.

, đạt được max y = max y ( −2 ) ; y ( 2 ) ; y ⇔2 2

,
đạt
được ;

2

Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN [ −1;x2+] 1
y=
của hàm số trên đoạn .
x2 + 1
Giải. Ta có

y'=

Với mọi ta có

x 2 + 1 − ( x + 1)

.

x

1− x
x +1
x ∈ ( −1; 2 ) = 2
x +1
( x + 1) x 2 + 1
yx⇔
' = 10
2

2

.

Vậy

x⇔
= −1
 3 5

min y = min { y ( −1) ; y ( 2 ) ; y ( 1) } = min 0;
; 2 = 0
5


x⇔
=1
, đạt được
 3 5

max y = max { y ( −1) ; y ( 2 ) ; y ( 1) } = max 0;
; 2 = 2
.
5


Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của 1;eln3 2 x
y = 
hàm số trên đoạn .
x
, đạt được ;

Giải. Ta có
 ln x 
2
2

÷.x − ln x 2 ln x − ln 2 x
x 
y'= 
=
2
x
x2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744

website: violet.vn/phphong84

.
DĐ:

2


BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

x ∈ ( 1; e3 )

Với mọi ta có

x' ln
==2002x = 0
2 ln xlny−⇔

hoặc

=e123 )
1 ∉xx⇔
(=1;e

hoặc

().

x⇔
=1
 9 4
min y = min y ( 1) ; y ( e3 ) ; y ( e 2 ) = min 0; 3 ; 2  = 0
 e e 
⇔2
, đạt được .
 9 4 4
3 x =e
max y = max y ( 1) ; y ( e ) ; y ( e ) = max 0; 3 ; 2  = 2
 e e  e
Ví dụ 5. [ĐHD10]
y = − x 2 + 4 x + 21 − − x 2 + 3x + 10
Tìm GTNN của hàm số .
Vậy

Giải.

, đạt được .

{
{

, suy ra . Ta có

}

}

2−
x2+3∈≤4⇔
57 ≥
≤TXĐ
2;5
−
] 0
x−
xx[x−
+≤≤
21
 TXĐ=
 2−2 ≤ x ≤ 5
 − x + 3 x + 10 ≥ 0

y'= −

x−2
− x 2 + 4 x + 21

+

2x − 3
2 − x 2 + 3 x + 10

.
⇒
' = 04 x 2 −212
x −x3+ 9
x 2 −x 4−x2+ 4 y ⇔
=
=
22
2 2
−−xx ++44xx++21
21 42( − −
x x+ +3x3x+ +
1010
)
4 ( − x 2 + 3 x + 10 ) ( x 2 − 4 x + 4 ) ⇔
= ( − x 2 + 4 x + 21) ( 4 x 2 − 12 x + 9 )
⇔29
1
51x 2 − 104
xx==x + 29 = 0
17
3
y '1
Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của .
x=

3
⇒
yy( (1x−5⇔
2=) )==1=432
min
y
y  ÷= 2
3 3
hoặc .

, , , đạt được .

C. Bài tập

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) .
2) trên đoạn .
3) trên đoạn .
4) trên đoạn .
5) trên đoạn .
6) trên đoạn .
7) trên đoạn .
8) trên đoạn .
9) trên khoảng .
10) trên khoảng .
11) trên nửa khoảng .
12) trên nửa khoảng .

y = 4 − x2
y = [x−2 2;3

+ 2]x − 5
2
y = −[x2;+4]2 x + 4
y = x 3 − 3 x + 3
−3; 
1 3[ −4;0
y = x3 + 2 x22 2]+ 3x − 4
y =3x [+−34;x 4]− 9 x + 1
y = x[ −3 3;1
+ 5]x − 4
4
y = x [ 1;3
− 8]x 2 + 16
1
y( 0;
= x+∞
+)
1x
y =( 1;x +∞
+ )
x 1− 1
y (=0;x2−]
xx
y( =−2; 4]
x+2

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84

DĐ:

3


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

13) trên đoạn .
14) .
15) .
16) .
17) .
18) .
19)

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG
2
2 x[ 0;1
+]5 x + 4
y= 4
4
y = sin x + cos
2 x
y = 2sin 2 x + 2sin x − 1
y = cos 2 2 x − sin x cos x + 4
y = cos3 x − 6 cos 2 x + 9 cos x + 5
y = sin 3 x − cos 2 x + sin x + 2
y = − sin 3 x − 3sin 3 x

y=

2 cos 2 + cos x + 1
cos + 1

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84

DĐ:

4


BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

§2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
A. Nguyên tắc chung
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:
Xác định ẩn phụ .
•
t
Từ giả thiết, tìm miền giá trị của .
•
t
Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một
•
t
hàm biến trên miền giá trị của .

B. Một số ví dụ
Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN,
Ví dụ 1.
GTNN của .
Giải. Đặt , suy ra . Ta có

x1 =0 4y 3 − 1
S = ( xx3+y−y≥
)(
)

0≤t ≤

t = xy 2
( x + y)
4

=4

.

Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên
f '((tt)∀
33⇒
+42t0;)12
t] −>63
0
) t==t∈[t∈f0;
[t([0;

]+44]12
. Do đó
, đạt được khi và chỉ khi
•
min S = min f ( t ) = f ( 0 ) = −63

( xy )

3

= 63
3
23 2
+−
12
 + 1
3Stt −
− ( x + y ) ( tx +− 4y )t 4−
3xy



hoặc .

t∈[ 0;4]

•

, đạt được khi và chỉ khi

max S = max f ( t ) = f ( 4 ) = 49

Cho , thỏa mãn . Tìm
Ví dụ 2.
GTLN, GTNN của .

x 2y0=− 2xy
S x=2 +
xy +y≥
t =t ⇒
>x +0 y

Giải. Đặt . Ta có

2 ≤ 2 2
t 2 = ( x + y ) t≤⇒
2 ( x + y2 ) = 4

,

2
2 2 xy ≥ x 2 + y 2 = 2
t 2 = ( x + y ) = x 2 t+≥⇒
y2 +

Suy ra . Lại có

t ∈  2; 2 
2
x−2 1+ty2 2+) t + 1 2

(Sx =+ yf )( t )−=(⇒
xy =
= t −1
2
2
,, . Do
3
f ' ( tt ∈
t==+211 > 0 2
f)f =
(( 12−))2;
2

(

Ta có với mọi
đó
, đạt được

.

.

)

y=f=1( 2 ) = 1
min
=x⇔
 xS+
 2 2

, đạt được hoặc .
 x +y y= 1= 2
•
y1 −+
=13 3
xS+=⇔
max
f
( 1) =
x
=
 2
2
2

x + y 2= 2
+
3
− XÂY
 y = 1ĐH
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG
DỰNG


2
0983070744 website: violet.vn/phphong84
•


 xy = 0

24)
( x; y x) =+ (y2;=⇔

 xy = 4

.

t∈[ 0;4 ]

.

DĐ:

=⇔
4;0
44)
( x; y x) =+ (y0;

5


BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN,
Ví dụ 3.
GTNN của .

2 y ≥
x x 20 y
S =x + y += 8
y +1 x +1

t = x+ y

Giải. Đặt , ta có
,
.
Suy ra . Lại có

Ta có biến đổi sau đây

( x + y)
( x + y)

≤+4y 2 ) = 2 ×8 = 16
≤ 2 ( xt2⇒

2+ 22xy ≥ x 2 + y 2 = 8
= x 2 +t y≥2⇒
2 2 ≤t ≤4

2

x ×y =

2

( x + y)

2

− ( x2 + y2 )
2

S(t+x(+ty+28( −yy)8+−) 12) xy
x+(tyx2) + 1+t )−
x
(
=
2
×
2
= ==
− 16
x8t +
(xy+t+ty12++) −(2txy
++48+11)
2
2
≤
t
≤
t
+
f ( t ) = 22

.

.

t2 − 8
=
2

2

Xét hàm với . Ta có

t + 2t − 6

f '( t )

(t
=

2

+ 2t − 6 ) − ( t + 8 ) ( 2t + 2 )

(t

2

+ 2t − 6 )

2

=

2 t 2− ≤
−t∀2 t−:16
22t ≤ 4
<0
2
2
t
+
2
t
−
6
(
)

,.

(

)

Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . max f ( t ) 2= ff2; 42  2 = 22
min f ( t ) = f ( 4 ) =
t∈ 2 2 ;4
3
2 2
x2=+⇔
yy=

+) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt
48 4

x
=
S ≥ 2×min
minS =f ( t ) =
được .
t∈ 2 2;4 3
3
x
 +y=4
2 ⇔2
+) , dấu bằng xảy ra hoặc .
S ≤ 2 × xmax
=y02f =( 2t8) = 4 2
 xx+=
t∈2 2;4
y=⇔=20 22 2
 x+xxy =
Vậy , đạt được hoặc .
 =S02= 24
max

3
x20xy
 yyy=+≥
0 2= 3
Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, x +
Ví dụ 4.

GTNN của
.
2

x
y
1
+
−
y +1 x +1 x + y + 3

S=

Giải. Đặt

2

=
=
=⇒
3x −+3 t−y≥t 0
txy
 xy

  2 ≤ t t≤2 3
3 ≤ t +

4

Ta có

.

=
3
3
3
22
y 2 S 11
( x + y ) − 3xy ( x + y ) x+ (+x y+ y+) x −+2 xy
=
−
−
t − 3 ( t3 − t )2t + 7t t − 2 (13 − t )3 1
+ yy +
+ 33
+t − −
− −
xy + ( .x + y )( +x 1+ 1) ( y + 1)
xx +
4( 3 − t ) +4t + 1t + 3 2 t + 3
3

3

2

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84

DĐ:

6


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Xét hàm , .
Ta có ,

•

đồng biến trên .

=
x =y⇔
= 1= 3 4
x+
+y xy
S = f ( t ) ≥ f ( 2 ) =
5
x + y = 2

. Dấu “” xảy ra

. Dấu “” xảy ra

t 3 t ∈2 [ 2;3
7t]

1
3
+t − −
−
4
4 t +3 2
⇒
f2;3
12;3
3t 2 ∀t[∈
7] ]
1
(
)
[
f '( t ) =
+ 2t − +
>0
4
4 ( t + 3) 2
f ( t) =

Do đó
•

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

hoặc .

=

x + yx⇔
+= xy
30 = 3 35
S = f ( t) ≤ f ( 3) =
6
 x +yy ==303

, Đạt được .

⇒
x =⇔
y = 14
min S =
5

, Đạt được hoặc .

⇒
= 3035
 x⇔
max
S= 6
 y = 03

2 x
Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, Sx 2=+xxy
−y+xyy 2+=y12

Ví dụ 5.
GTNN của .

Giải.

Cách 1. Từ giả thiết
t =32(t 2x32≤+ 1y2() x3+y ) 2 3 ( x + y ) 2
2
t
∈
=
suy ra . Do đó, nếu đặt 1 = ( x + y ) − xy ≥ ( x−+4 y3) ;− 3 
4
4

thì , hay .
xy = ( x + y ) − 1 = t 2 − 1

Ta có , suy ra

2

S = ( x + y ) − 3 xy = t 2 − 3 ( t 2 − 1) = −2t 2 + 3
2

.
Xét hàm với . Ta có , có nghiệm
f (ft') (2f=t )2'−(=
t 224+t233 3 
3t2)3−
t =t ∈
0∈
 − − ; ;  ÷

duy nhất .
÷
  3 3 3 3 
Ta có , .
 2 3  f ( 0 )= 32 3  1
f 
÷
÷ = f  − 3 ÷
÷= 3
3




Do đó
, đạt được chẳng hạn khi
•
1
min S =
3
⇔
.
 
 221233 31 
( xx;xy+x+) +yy==y= = ; ÷
33 3 3 
  maxS =
32
, đạt được khi và chỉ khi
2

2

( xx ++ yxy) 1+− yxy
•
==11

 xy =

3
hoặc .
= ( 1;
−1;1
−1)
( x; y ) ⇔

0⇔y = 0
xx++yy==x0+
 x 2 + xyxy
2 = −
y 2 1= 1
− xy
( + y) +

Cách 2. Ta có .

x 2 − xy + y 2
S= 2
x + xy + y 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84

DĐ:

7


BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

Sy = 10

•

Xét . Khi đó .

•

Xét . Chia cả tử và mẫu của cho và

đặt , ta được
y yS≠2 x0
t=
y
2
t − t +1
2t
S= 2
= 1t−2 2−t21

2
) t +1
t + t +1 ( t +
ff '(( tt)) ==1f −( tt)2 + t + 12
( t 2 + t + 1)

Xét hàm , ta có .
Bảng biến thiên của hàm :

.

2


t
lim f ( t ) = lim 1 −
t →±∞
t →±∞
1
 1 + + 12
t t



÷
÷= 1
÷


.

Suy ra:
+) , đạt được khi và chỉ khi
1
hoặc .
min⇔
S=
+) . Đạt được khi và chỉ khi
x   1 3 1 1 
=)==
( x(;xy; )ymax
1−S = ;3− ÷ ÷
hoặc .
 3 3 3 
y  ⇔
[ĐHB09] Cho , thỏa mãn . ( xx2; y ) = ( 1;
−1;1
−2 1)
31x
y+ y = 1
 xy =+ −xy
Ví dụ 6.
( x + y ) + 4 xy ≥ 2
Tìm GTNN của
 x 2 + xy + y 2 = 1


A = 3 ( x4 + y 4 + x2 y 2 ) − 2 ( x2 + y 2 ) + 1

.

2
Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , 2
3
2
a + b2 + baab=) yx≥ ( a + b )
(
ta được
4

⇒ 3 22 22 2
49
42
22 22
A
x
≥
+
y
x
+
+
x
y
y
(
(
)
)−≥24( x( x ++y y) +) 1
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng
4

2
thức , ta có
4xy ≤ ( x + y )

( x + y)

2

2
y
+ 2 ( x + y ) +∀2x = ( x + y + 1) + 1 > 0

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84

.

⇔

( x + y − 1) ( x + y( )x ++ y2)( x++(xxy+)++yy2≥) 1≥ 02
3

2

DĐ:

8

2

BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

(do , ).
Đặt .
22
Xét hàm , . Ta có
đồng biến trên  ( xt+=yx⇒
+ y12
)
9t211=
1
t ≥
1f9⇒
9
.
ff (' t( )t )≥=
∀
=t tf;≥(≥
t t) −÷22=t>+01
+∞
2


Như vậy , dấu “” xảy ra khi và chỉ
 242 222 16
 A ≥ f t == 99t 2 − 2t + 1

( S) ≥
khi

4
16
Vậy , đạt được hoặc .
⇔
[ĐHB12] Cho các số thực , ,
S =1 91 1 
x(;x2xymin
; )+y=)y52=
− =2; −0 ÷5 ÷
(
Ví dụ 7.
x =+xy +zxy+zy2z516
P
+=2z12 
thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ
+ −y (+xz+=y0)
zx =
hai của giả thiết, ta được

Biến đổi

x = 1y 1 ⇔
1
÷
 2 2 22 21

 x + y = 2

( x; y( x) ;=y) −=  ; −;

1 = x 2 +t y=2 x++( xy+ y ) = 2 ( x + y ) − 2 xy ≥ 2 ( x + y ) −
2

Do đó, nếu đặt thì ta có

hoặc .

2

t≤2 1− 16 
226
 3 t⇔
xy
=
t ∈ 2
−
;

 3 2 3 

2

1
3
2
2

( x + y) = ( x + y)
2
2

,.

5
5
5P 2 2
= ( x 3 + y 3 ) ( x=2 x+5 y+2 )y−
−x ( yx +( xy )+ y ) − ( x + y )
3
2
5
= ( x + y ) − 3 xy ( x + y )  ( x + y ) − 2 xy  − x 2 y 2 ( x + y ) − ( x + y )



2
2
2
.
3
2t − 1  = −2 5 ( 2t23t− −t )1   2t 2 − 1 
5
= t 3 ì
ìt t 4 2 ì

ữ t −t


2
   5 232    2 
Xét hàm , với . Ta có 
f
f
t ) 6=−∈− 6−( ;26t66−
−t1)6
t = ±'t( ∈
;


 
có hai nghiệm là
6 344 33  3 
.

Ta có , , , .

 666 555666
f ff−− ÷
÷÷
÷=÷
÷==−−36
3
6
3
36
  65636
Vậy , đạt được chẳng hạn khi , .
6

min
x
z
=
P
=
y
=
−
=
−
Cho , , thỏa mãn . Tìm
z >xy 03636
3
Ví dụ 8.
x+ y+z ≤
2
GTNN của biểu thức
.
1
1
1
S = x 2 + y 2 + z 2t +>
0x 2 y + y 2 z + z 2 x
Giải. Đặt . Ta có và
t = 3 xyz

Suy ra .

⇒1

3
≥ x + yt +
≤ z ≥ 3 3 xyz
2
2
 1
t ∈  0; 
 2

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84

.

DĐ:

9


BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

Lại có
,

1
1 x 2 + 1y 2 + z 2 ≥ 31 3 x 2 1y 2 z 2 1= 3t 2 3
3

+
+ 2 ≥ 33 2 × 2 × 2 =
= 3
2
2
x y y z z x
x y y z z x xyz t
⇒2 1 
S ≥ 3 t + 3 ÷
t 


.

Xét hàm với . Ta có , suy ra
12t15 −99
 =3f 1t211+
3
f
(
)
min
S
∀
t
=
t
∈
∈
3

0;
f
0;
0;
f ' t = 2 − 4 = ÷ 3=4 < 0
nghịch biến trên . Vậy , đạt được ( )
t
 t 2222 t 4
khi và chỉ khi
x =⇔y = z 1
x= y = z =
 xy 12
y >+ 0z=≤ 1
[ĐHA03] Cho , , thỏa mãn . x+3 zxyz

2
Ví dụ 9.
Chứng minh rằng:
x2 +

.

( 1)
1
1
2
+
y
+
+ z 2 + 2 ≥ 82

2
2
x
y
z

.

r r r  rr 1  1 1 1 
a + b + c =  bxac+
 yxzy; + ÷z; + + ÷
r r r xyzr xr ry z 
a + b + c ≥ a +b +c

Giải. Xét , , , ta có .
Từ suy ra

1
1
1
x + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥
x
y
z

( x + y + z)

2

2

2

1 1 1
+ + + ÷
x y z

Đến đây ta có
hai cách đi tiếp:
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:

Do đó

1x + 1y + z1 ≥ 3 3 xyz
1
+ + ≥ 33
x y z
xyz

Ta có

9
3
VTt (=1) ≥ xyz
9t +
t

(

)

2

,.

, với .

.

2

Xét với . Ta có
nghịch biến trên .

 x+ y+z 1
0÷ ≤
  3 1  9 9
f t( ∈
t ) =0;9t +
⇒ 9  t
1)19
f

f ' (∀t )t∈
=0;9( t0;
− 2 <0
 9 t9 

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG

0983070744 website: violet.vn/phphong84

DĐ:

10


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

(ĐPCM).
Cách 2.

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

VTf ( 1t) ≥≥ f⇒f (1t ) ≥= 8282
( )  ÷
= 9  2
2
 1 2 1  11  1 1 
2
2
81( x + y +( xz )+ y++ z )+ + + +÷ −+80 (÷x + y + z )
 x y  xz  y z 
2
≥
1 1
21
2
2 81( x + y + z )  + + ÷ − 80 ( x + y + z )

18.9
80 =1 82
 1 –1≥

x y z
2
≥ 18 ( x + y + z )  + + ÷− 80 ( x + y + z )
.
x y z

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

C. Bài tập
Bài 1. [ĐHD09] Cho ,
GTLN, GTNN của

thỏa mãn . Tìm

xy 0= 1
x+
y≥
.

Bài 2. Cho , thỏa mãn . Tìm S = ( 4 x 2 + 3 y ) ( 4 y 2 + 3x ) + 25 xy
xy 0= 1
x+
y≥
GTLN, GTNN của
.

x
y
Bài 3. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN,
S =x+
+1
xy 0=
y
≥
y +1 x +1
GTNN của

S = ( x 2 − 1) ( y 2 − 1) − x 2 + y 2 + 1
Bài 4. Cho ,
GTNN của

.
thỏa mãn . Tìm GTLN,

S=
Bài 5. Cho , thỏa mãn . Tìm
GTLN, GTNN của biểu thức

x xy
x + yy+≥
0 =3
.

x
y
6

+
+
x + 22 y2 xy+ 2 x + y + 1
x + y = 1 + xy
.

Bài 6. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, S = x 4 + y 4 − x 2 y 2
x 2 + xyy 2 = 1
GTNN của biểu thức
.
Bài 7. [ĐHD12] Cho ,
mãn . Tìm GTNN của

thỏa

S = 1+ x + 1+ y

2
xy 2
( x − 4 ) + ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32

A = x 3 + y 3 + 3 ( xy − 1) ( x + y − 2 )
.
Bài 8. [ĐHA06] Cho , thỏa mãn .
yx 1≠ 02 1 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . ( x + y )Axy
= = 3x+ + 3y − xy
x
y
Bài 9. [ĐHB08] Cho , thỏa mãn .

2
2
x
y
x + y =1
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
.
P=
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84

DĐ:

11

2 ( x 2 + 6 xy )
1 + 2 xy + 2 y 2


BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG

Bài 10. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, x 2 + y 2 xy+ xy = 1
GTNN của biểu thức
.

Bài 11. Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN S = x 2 + 2 xy − y 2
2 x 2 + y 2xy+ xy ≥ 1

của biểu thức

.
Bài 12. Cho , , thỏa mãn . Tìm GTNN
z >xy 0 3
của biểu thức
x+ y+z ≤
2
Bài 13. [ĐHB10] Cho , , thỏa mãn . Tìm
a + cb ≥
ba+ 0c = 1
GTNN của biểu thức

.
S = x+ y+z+

M = 3 ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) + 3 ( ab + bc + ca ) + 2 a 2 + b 2 + a 2

Bài 14. Cho , ,
thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức

S = x2 + y2
1 1 1
+ +
x y z

.

z >xy 0 3
x+ y+z ≤

2
P=

x
y
x
x5 y 5 z 5
+
+
+
+ +
y2 z z 2 x x2 y y
z
x

.

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0983070744 website: violet.vn/phphong84

DĐ:

12