Chuyên đề nâng cao phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (811.84 KB, 132 trang )
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững -------------------------------------------------------------------------- 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản -------------------------------------------------------------------- 5
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------- 8
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác --------------------------- 32
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------- 35
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ----------------------------------------------------------- 59
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------- 62
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp ---------------------------------------------------------------- 84
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------- 87
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng ----------------------------------------------------------------- 93
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 94
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ------------------------------------ 97
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 97
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ------------------------------------------------------ 101
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 102
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ---------- 106
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 106
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 112
I – Hệ phương trình lượng giác -------------------------------------------------------------------------- 116
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác ---------------------------------------- 121
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 122
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 125
Page 1
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
Công thức cơ bản
● tanx.cot x = 1
● sin2 x + cos2 x = 1
● cot x =
cosx
sinx
● 1 + tan2 x =
1
cos2x
● tanx =
sinx
cosx
● 1+ cot2 x =
1
sin2 x
Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
● sin2x = 2sinx.cosx
1- cos2x
2
● sin3x = 3sinx - 4sin3 x
● sin2 x =
écos2 x - sin2 x
● cos2x = ê
ê2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x
ê
ë
1+ cos2x
● cos2x =
2
● cos3x = 4cos3 x - 3cosx
Công thức cộng cung
● sin( a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb
● cos ( a ± b) = cosa.cosb msina.sinb
tana + tanb
1- tana.tanb
æπ
ö 1+ tanx
÷
÷
+
x
=
ç
● tanç
÷
ç
÷
è4
ø 1- tanx
● tan( a - b) =
● tan( a + b) =
tana - tanb
1+ tana.tanb
æπ
ö
1- tanx
÷
÷
x
=
ç
● tanç
÷
ç
÷ 1+ tanx
è4
ø
Công thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a- b
.cos
2
2
a+b
a- b
● sina + sinb = 2sin
.cos
2
2
sin( a + b)
● tana + tanb =
cosa.cosb
● cosa + cosb = 2cos
a+b
a- b
.sin
2
2
a+b
a- b
● sina - sinb = 2cos
.sin
2
2
sin( a - b)
● tana - tanb =
cosa.cosb
● cosa - cosb = - 2sin
Công thức biến đổi tích thành tổng
● cosa.cosb =
● sina.sinb =
cos( a + b) + cos( a - b)
2
cos( a - b) - cos( a + b)
● sina.cosb =
sin( a + b) + sin( a - b)
2
2
Một số công thức thông dụng khác
æ πö
æ πö
æ πö
æ π÷
ö
ççx - ÷
ççx - ÷
ççx + ÷
÷
÷
÷
=
2cos
sinx
cosx
=
2sin
=
2cos
çx + ÷
● sinx + cosx = 2sinç
●
÷
÷
÷
çè 4ø
÷
÷
÷
÷
çè 4ø
ç 4ø
ç
4÷
è
è
ø
● cos4 x + sin4 x = 1Page 2
1 2
3 + 1cos4x
sin 2x =
2
4
● cos6 x + sin6 x = 1-
3 2
5 + 3cos4x
sin 2x =
4
8
ờ giai c phng trinh lng giac cung nh cac ng
dung cua no, cac ban hoc sinh cõn nm vng tõt ca
nhng cụng thc lng giac. o la hanh trang, la cụng
cu cõn thiờt nhõt ờ chinh phuc thờ gii mang tờn:
"Phng trinh lng giac"
Mụt sụ lu y:
ộ
iờu kiờn co nghiờm cua phng trinh ờsinx = a la:
.
1
Ê
a
Ê
1
ờ
cosx = a
ờ
ở
Khi giai phng trinh co cha cac ham sụ
hoc
, co mõu sụ hoc cn bõc chn thi nhõt thiờt
tan
cot
phai t iờu kiờn ờ phng trinh xac inh.
p
Phng trinh cha tanx , iờu kiờn:
.
cosx ạ 0 x ạ
+ kp ( k ẻ Â )
2
Phng trinh cha cot x , iờu kiờn: sinx ạ 0 x ạ kp k ẻ Â .
(
)
p
Phng trinh cha ca tanx va cot x , iờu kiờn:
.
x ạ k. ( k ẻ Â )
2
Khi tim c nghiờm phai kiờm tra (so) vi iờu kiờn. Ta thng dung mụt trong cac cach sau õy ờ
kiờm tra iờu kiờn:
Kiờm tra trc tiờp bng cach thay gia tri cua x vao biờu thc iờu kiờn. Nờu khi thờ vao, gia tri
õy lam ng thc ung thi nhõn nghiờm, nờu sai thi loai nghiờm.
Dung ng tron lng giac, nghia la biờu diờn cac ngon cung cua iờu kiờn va cung cua
nghiờm. Nờu cac ngon cung nay trung nhau thi ta loai nghiờm, nờu khụng trung thi ta nhõn
nghiờm.
ẳ co
Cach biờu diờn cung goc lng giac trờn ng tron: " Nờu cung hoc goc lng giac AM
ử
k.3600 ữ
k2p ổ
0
ỗ
ữ
hay
a
+
ỗ
sụ o la a +
vi k ẻ Â,n ẻ Ơ + thi co n iờm M trờn ng tron
ữ
ỗ
ữ
n ứ
n ỗ
ố
lng giac cach ờu nhau".
ẳ = p + k2p thi co mụt iờm M tai vi tri p (ta chon k = 0 ).
Vi du 1: Nờu s AM
3
3
ẳ = p + kp thi co 2 iờm M tai vi tri p va 7p (ta chon k = 0,k = 1).
Vi du 2: Nờu s AM
6
6
6
ẳ = p + k. 2p thi co 3 iờm M tai cac vi tri p ; 11p va 19p , ( k = 0;1;2) .
Vi du 3: Nờu s AM
4
3
4 12
12
ẳ = p + k. p = p + k2p thi co 4 iờm M tai cac vi tri p , 3p , 5p ; 7p
Vi du 4: Nờu s AM
4
2 4
4
4 4 4 4
(ng vi cac vi tri k = 0,1,2,3 ).
p
p
Vi du 5: Tụng hp hai cung x = + kp va x = + kp
6
3
Page 3
p
p
5p
và
+ kp trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: 6
6
6
p
p
4p
Biểu diễn cung x = + kp trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
và
.
3
3
3
Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
p
p
cung tổng hợp là: x = + k
3
2
π/3
5π/6
é 2
é
êcos x = 1
êcosx = ± 1
Đối với phương trình ê
2Û ê
2 ta không nên giải
ê
ê
êsin2 x = 1
êsinx = ± 1
O
ê
ê
2
2
ë
ë
–π/6
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện
rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:
4π/3
é 2
1
êcos x =
é2cos2 x - 1 = 0 écos2x = 0
ê
ê
2
Û
Û ê
ê
ê
2
êcos2x = 0. Tương tự đối với phương trình
2sin x - 1 = 0
êsin2 x = 1
ê
ê
ë
ë
ê
2
ë
ésin2 x = 1
ésinx = ±1
ê
ê
Û
êcos2 x = 1 êcosx = ±1 ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức
ê
ê
ë
ë
ésin2 x = 1
écos2 x = 0 écosx = 0
ê
ê
2
2
Û ê
sin x + cos x = 1. Lúc đó: ê 2
êsin2 x = 0 Û êsin x = 0
cos
x
=
1
ê
ê
ê
ë
ë
ë
Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''
Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là
một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.
Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là cos - a = cosa , còn các cung
( )
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
sin( - a ) = - sin a, tan( - a ) = - tan a, cot ( - a ) = - tan a
Biểu diễn cung x = -
Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là sin p - a = sin a , còn các cung
(
)
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
cos( p - a ) = - cosa, tan( p - a ) = - tan a, cot ( p - a ) = - tan a
Page 4
Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và
ngược lại, tức là:
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
p
p
p
p
÷
÷
÷
÷
sinç
= cosa, cosç
= sin a, tanç
= cot a, cot ç
= tan a
ç - a÷
ç - a÷
ç - a÷
ç - a÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç2
ç2
ç2
è2
ø
è
ø
è
ø
è
ø
Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:
Giải phương trình lượng giác: sinu = cosv
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình
sinu = sinv , vậy còn phương trình sinu = cosv thì sao ?
æ
ö
p
÷
÷
v
ç
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sinu = cosv Û sinu = sinç
÷
ç
÷
è2
ø
u=
p
p
.
- v + k2p u = + v + k2p , ( k ẻ Â )
2
2
ổ
ử
2p
ữ
- xữ
ỗ
Qua vi du nay, chc hn nờu trong bai gp nhng phng trinh dang nh sinx = cosỗ
ữ
ỗ
ữ
ố3
ứ
thi cac ban hoc sinh se khụng con cam thõy lung tung na.
Mụt sụ cung goc hay dung khac:
ỡù sin( x + k2p) = sinx
ỡù
ù
va ù sin( x + p + k2p) = - sinx
ớ
ớ
ùù cos( x + k2p) = cosx
ùù cos( x + p + k2p) = - cosx
ùợ
ùợ
( k ẻ Â) .
A PHNG TRINH LNG GIAC C BAN
ộu = v + k2p
Dang: sinu = sinv ờ
ờu = p - v + k2p
ờ
ở
c biờt:
ộu = v + k2p
Dang: cosu = cosv ờ
ờu = - v + k2p
ờ
ở
c biờt:
tanu = tanv u = v + kp
Dang:
p
ék : u,v ạ
+ kp
2
c biờt:
Dang:
cot u = cot v u = v + kp
ék : u,v ạ kp
c biờt:
ỡù
ùù sinx = 0 ị x = kp
ùù
ùù
p
ớ sinx = 1 ị x = + k2p
ùù
2
ùù
p
ùù sinx = - 1 ị x = - + k2p
2
ùợ
ỡù
ùù cosx = 0 ị x = p + kp
ùù
2
ùớ cosx = 1 ị x = k2p
ùù
ùù cosx = - 1 ị x = p + k2p
ùù
ợ
ỡù tanx = 0 x = kp
ùù
ớ
ùù tanx = 1 x = p + kp
ùùợ
4
ỡù
ùù cot x = 0 x = p + kp
ù
2
ớ
ùù
p
ùù cot x = 1 x = + kp
4
ùợ
BAI TP AP DUNG
Bai 1.
ự
Giai phng trinh: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 ( *) , " x ẻ ộ
ờ0;14ỷ
ỳ
ở
Bai 2.
Giai phng trinh: ( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) = sin2x - sinx
Bai 3.
Giai phng trinh: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0
Bai 4.
Giai phng trinh: sinx + cosx + 1 + sin2x + cos2x = 0
Bai 5.
Giai phng trinh: sinx ( 1+ cos2x) + sin2x = 1+ cosx
( *)
Page 5
( *)
( *)
( *)
Bài 6.
Bài 7.
Bài 8.
Bài 9.
Bài 10.
Bài 11.
Bài 12.
Bài 13.
æ
ö
1
7p
÷
= 4sinç
- x÷
ç
( *)
÷
ç
æ 3pö
÷
è4
ø
÷
ç
÷
sinçx ÷
÷
ç
2ø
è
æ
ö
7 æ pö
p
4
4
÷
÷
cot ç
çx + ÷
ç - x÷
Giải phương trình: sin x + cos x = cot ç
( *)
÷
÷
÷ è
÷
ç6
8 ç
3ø
è
ø
1
+
Giải phương trình: sinx
sin4 2x + cos4 2x
= cos4 4x ( *)
æ
ö
æ
ö
Giải phương trình:
p
p
÷
÷
tanç
tanç
ç - x÷
ç + x÷
÷
÷
÷ è
÷
ç
ç4
è4
ø
ø
æ
3p x ö
1 æ
p 3x ö
ç
÷
÷
- ÷
=
sin
+ ÷
ç
ç
Giải phương trình: sinç
( 1)
÷
÷
ç
ç
÷
÷
10
2
2
10
2ø
è
ø
è
æ
æ pö
pö
ç
÷
÷
3x - ÷
=
sin2x
sin
x+ ÷
ç
ç
Giải phương trình: sinç
( 1)
÷
÷
ç
ç
÷
÷
4
4ø
è
ø
è
æ pö
÷
8cos3 ç
x+ ÷
= cos3x ( 1)
ç
÷
ç
÷
3ø
è
æ pö
÷
2sin3 ç
x+ ÷
= 2sinx ( 1)
ç
Giải phương trình:
÷
ç
÷
4ø
è
æ pö
3
÷
x- ÷
= 2sinx ( 1)
ç
Giải phương trình: sin ç
÷
ç
÷
4ø
è
( *)
Bài 14. Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
3
2
2
2
2
Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2
Bài 15. Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x =
( *) .
( *) .
2
2
2
2
Bài 17. Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x
2
2
2
2
Bài 18. Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x
( *)
( *)
æ 5x ö
9x
2 p
÷
- 2cos2
ç + ÷
Bài 19. Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2sin ç
÷
÷
ç
2ø
2
è4
2
2
2
Bài 20. Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x
( *)
( *)
2
Bài 21. Giải phương trình: 2sin 2x + sin7x - 1 = sinx
( *)
Bài 22. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x
3
3
3
Bài 23. Giải phương trình: sin xcos3x + cos x sin3x = sin 4x
( *)
( *)
2
3
Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2cos 4x + 6cos3x cosx = cosx + 8cosx cos 3x ( *)
3
3
2
Bài 25. Giải phương trình: 4sin x + 3cos x - 3sinx - sin xcosx = 0 ( *)
2
Bài 26. Giải phương trình: ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos x = 3
(
( *)
) ( *)
6
6
8
8
Bài 27. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
5
Bài 28. Giải phương trình: sin8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + cos2x
4
(
Page 6
)
( *)
(
)
( *)
( *)
3
3
5
5
Bài 29. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
4
2
2
4
Bài 30. Giải phương trình: 3cos x - 4cos x sin x + sin x = 0
Bài 31. Giải phương trình: cos3x cos3 x - sin3x sin3 x = 2 - 3 2 ( *)
8
1
Bài 32. Giải phương trình: cosxcos2x cos4x cos8x =
( *)
16
3
Bài 33. Giải phương trình: 4sin3x cos2x = 1+ 6sinx - 8sin x ( *)
Bài 34. Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = -
1
2
( *)
sin2x + 2cosx - sinx - 1
= 0 ( *)
tanx + 3
1+ sin2x + cos2x
= 2sinx sin2x ( *)
Bài 36. Giải phương trình:
1+ cot2 x
Bài 37. Giải phương trình: tanx + cot x = 2( sin2x + cos2x) ( *)
Bài 35. Giải phương trình:
( *)
2
Bài 38. Giải phương trình: tan x - tanx tan3x = 2
Bài 39. Giải phương trình: tan2 x + cot2 x + cot2 2x =
11
3
( *)
æ p÷
ö 2
x
2 x
- ÷
tan x - cos2 = 0
ç
Bài 40. Giải phương trình: sin ç
÷
ç
2
è2 4÷
ø
2
Bài 41. Giải phương trình: sin2x ( cot x + tan2x) = 4cos x
( *)
( *)
cot2 x - tan2 x
= 16( 1+ cos4x)
( *)
cos2x
1
Bài 43. Giải phương trình: 2tanx + cot2x = 2sin2x +
( *)
2sin2x
3( sinx + tanx)
Bài 44. Giải phương trình:
- 2( 1+ cosx) = 0
( *)
tanx - sinx
Bài 42. Giải phương trình:
Bài 45. Giải phương trình:
( 1-
2
cosx) + ( 1+ cosx)
4( 1- sinx)
Bài 46. Giải phương trình: cos3x tan5x = sin7x
2
- tan2 x sinx =
1
1+ sinx) + tan2 x ( *)
(
2
( *)
1
1
= 2cot x
( *)
2sinx sin2x
sin4 x + cos4 x 1
Bài 48. Giải phương trình:
= ( tanx + cot2x)
( *)
sin2x
2
2
2
2
2
Bài 49. Giải phương trình: tan x.cot 2x.cot 3x = tan x - cot 2x + cot 3x
Bài 47. Giải phương trình: sin2x + sinx -
æ
xö
÷
1+ tanx tan ÷
=4
ç
Bài 50. Giải phương trình: cot x + sinx ç
÷
ç
÷
2ø
è
Page 7
( *)
( *)
HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC C BAN
ự
Bai 1. Giai phng trinh: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 ( *) , " x ẻ ộ
ờ0;14ỷ
ỳ
ở
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2002
Li binh: T viờc xuõt hiờn ba cung x,2x,3x , giup ta liờn tng ờn viờc a chung vờ cung mụt
cung. Nhng a vờ cung x hay cung 2x ? Cac ban co thờ tra li cõu hoi o da vao quan
niờm sau: " Trong phng trinh lng giac tụn tai ba cung x,2x,3x , ta nờn a vờ cung
trung gian 2x nờu trong biờu thc co cha sin2x (hoc cos2x). Con khụng cha sin2x (hoc
cos2x), nờn a vờ cung x ".
Bai giai tham khao
( *) ( 4cos
3
)
(
)
x - 3cosx - 4 2cos2 x - 1 + 3cosx - 4 = 0 4cos3 x - 8cos2 x = 0
ộcosx = 0 ( N)
p
4cos x ( cosx - 2) = 0 ờ
ờcosx = 2 L x = 2 + kp , ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
ỡùù p 3p 5p 7pỹ
ùỡ - 0,5 Ê k Ê ằ 3,9
ùù
ự,k ẻ Â 0 Ê p + kp Ê 14 ùớ
Do x ẻ ộ
0;14
ị
x
ẻ
;
;
;
ớ
ý.
ờ
ỳ
ở ỷ
ùù k ẻ Â
ùùợ 2 2 2 2 ỵ
ùù
2
ợ
2
Bai 2. Giai phng trinh: ( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) = sin2x - sinx
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2004
Bai giai tham khao
( *) ( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) = 2sinx cosx - sinx
( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) - sinx ( 2cosx - 1) = 0
ự= 0 ( 2cosx - 1) ( sinx + cosx) = 0
( 2cosx - 1) ộ
ờ( 2sinx + cosx) - sinxỷ
ỳ
ở
ộ2cosx - 1 = 0
ờ
ờsinx + cosx = 0
ờ
ở
ộ
ờcosx = cos p
ờ
3
ờ
tanx = - 1
ờ
ở
ộ
ờx = p + k2p
ờ
3
( k;l ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = - + lp
ờ
4
ở
( *)
Bai 3. Giai phng trinh: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2006
Li binh: T viờc xuõt hiờn cac cung 3x va 2x , chung ta nghi ngay ờn viờc a chung vờ cung
mụt
cung x bng cụng thc nhõn ba va cụng thc nhõn ụi cua ham cos
Bai giai tham khao
( *)
4cos3 x - 3cosx + 2cos2 x - 1- cosx - 1 = 0 2cos3 x + cos2 x - 2cosx - 1 = 0
(
)
cos2 x ( 2cosx + 1) - ( 2cosx + 1) = 0 ( 2cosx + 1) cos2 x - 1 = 0
Page 8
ésin x = 0
ê
Û - ( 2cosx + 1) sin x = 0 Û ê
Û
êcosx = - 1
ê
2
ë
2
éx = kp
ê
ê
( k;l Î ¢ ) .
êx = ± 2p + l2p
ê
3
ë
( *)
Bài 4. Giải phương trình: sin x + cosx + 1 + sin2x + cos2x = 0
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
Bài giải tham khảo
( *) Û ( sinx + cosx) + 2sinx cosx + 2cos x = 0
Û ( sinx + cosx) + 2cosx ( sinx + cosx) = 0
Û ( sinx + cosx) ( 1 + 2cosx) = 0
2
é
ésinx = - cosx
étanx = - 1
êx = - p + kp
ê
ê
ê
4
Û ê
Û ê
Û ê
( k;l Î ¢ ) .
1
2
p
êcosx = êcosx = cos
2p
ê
ê
ê
êx = ± + l2p
2
3
ë
ë
3
ë
Bài 5. Giải phương trình: sinx ( 1+ cos2x) + sin2x = 1+ cosx
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008
Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
( *) Û
(
)
sinx 1+ 2cos2 x - 1 + 2sinx cosx = 1 + cosx
Û 2sinx cos2 x + 2sinx cosx = 1 + cosx Û 2sinx cosx ( cosx + 1) - ( 1 + cosx) = 0
é
êcosx = - 1
Û ( cosx + 1) ( sin2x - 1) = 0 Û ê
2Û
ê
sin2x
=
1
ê
ë
1
+
Bài 6. Giải phương trình: sinx
é
êx = ± 2p + k2p
ê
3
( k,l Î ¢ ) .
ê
p
êx = + lp
ê
4
ë
æ
ö
1
7p
÷
÷
= 4sinç
x
ç
( *)
÷
ç
æ 3p÷
ö
÷
è4
ø
ç
÷
sinçx ÷
ç
2÷
è
ø
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008
3p
7p
và
- x giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
2
4
khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây
Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung x -
Bài giải tham khảo
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: sin( a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb
Page 9
( *)
1
+
sinx
1
ổ 7p
ử
7pữ
ữ
= 4ỗ
sin
cosx
sinx
cos
ỗ
ỗ
ữ
4
4ữ
ố
ứ
3p
3p
- sin cosx
2
2
ộ
ự
1
1
2
ờ
+
= 4. ờ( sinx + cosx) ỳỳ
sinx cosx
2
ờ
ỳ
ở
ỷ
sinx + cosx
= - 2 2( sinx + cosx)
sinx cosx
sinxcos
iờu kiờn: sinx cosx ạ 0 sin2x ạ 0.
(
)
( sinx + cosx) + 2 2sinx cosx ( sinx + cosx) = 0 ( sinx + cosx) 1+ 2sin2x = 0
ộ
ờx = - p + kp
ờ
4
ộtanx = - 1
ộsinx + cosx = 0
ờ
ờ
p
ờ
ờ
ờ
x = - + lp ( k,l,m ẻ Â ) .
ờ
ờ
2
8
1+ 2sin2x = 0 ờ
ờ
ờ
ờsin2x = ở
ờ
5p
2
ở
ờx =
+ mp
ờ
8
ở
Cach giai 2. S dung "cos ụi sin bu phu cheo''
ỡù
ộổ
ử
ửự
3pữ
p
ùù sinổ
ữ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ= cosx
ữ
ữ
x
=
sin
2
p
x
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ùù
ờố
ỳ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2
2
ố
ứ
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
Ta co: ùớ
ộ
ự
ổ
ử
ổ
ử
ổ pử
ùù
7p
pữỳ
1
ỗ
ờ2p - ỗ
ữ
ữ
ữ
- xữ
=
sin
x
+
=
sin
x+ ữ
=ùù sinỗ
ỗ
ỗ
ỗ
( sinx + cosx)
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữỳ
ữ
4ứ
4ứ
ố4
ứ
ố
ố
ùùợ
2
ờ
ở
ỷ
ộ 1
ự
1
1
( *) sinx + cosx = 4. ờờ- ( sinx + cosx) ỳỳ. Giai tng t nh cach giai 1.
ở 2
ỷ
ử
7 ổ
pử ổ
p
ữ
ỗ
ữ
ữ
cot ỗ
cot
x
ỗx + ữ
ỗ
( *)
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
8 ố
3ứ ố6
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp. HCM nm 1999
4
4
Bai 7. Giai phng trinh: sin x + cos x =
p p
p
+ - x = giup ta liờn tng ờn cõu ''phu cheo'' , thõt võy:
3 6
2
ự
ổ pữ
ử ổ
ử
ổ pữ
ử ộp ổ
ử
ổ pử
ổ pử
p
p
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ờ - ỗ
ỳ= cot ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
cot ỗ
x
+
cot
x
=
cot
x
+
cot
+
x
x
+
tan
x+ ữ
= 1.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
3
6
3
2
3
3
3
ố
ứ ố
ứ
ố
ứ ờ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ỳ
ở
ỷ
1
Cụng viờc con lai cua chung ta la dung cụng thc: sin4 x + cos4 x = 1- sin2 2x . Nờu
2
cos
khụng co nhõn xet nay, ma ta tiờn hanh biờn ụi tan cot =
, rụi qui ụng thi bai toan
sin
tr nờn rõt phc tap, cha tinh ờn viờc ụi chiờu nghiờm vi iờu kiờn.
Li binh: T tụng hai cung x +
Bai giai tham khao
ổ pử
ùỡù
ữ
x+ ữ
ạ 0
ùù sinỗ
ỗ
ữ
ỗ
ổ pử
ổ
ử
ổ
ữ
p
1 ổ
pử
pử
3ứ
ố
ù
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
sinỗ
x+ ữ
sin
x
ạ
0
cos
2x
ạ
0
cos
2x
ạ 0.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
K: ớ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ổ
ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ùù
p
3ứ ố6
2 ố
6ứ
6ứ
ố
ứ
ố
ữ
ỗ
- xữ
ạ 0
ùù sinỗ
ữ
ỗ
ữ
6
ố
ứ
ùùợ
Page 10
( *)
1-
1 2
7
1
1
p kp
sin 2x = sin2 2x = 1- cos4x = x =
+
, ( k ẻ Â) .
2
8
4
2
12
2
sin4 2x + cos4 2x
= cos4 4x ( *)
ổ
ử ổ
ử
Bai 8. Giai phng trinh:
p
p
ữ
ỗ
ữ
ữ
tanỗ
- xữ
tan
+
x
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ố4
ứ ố4
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Xõy Dng nm 1997
Bai giai tham khao
ỡù
ổ
ử
p
ùù cosỗ
ữ
- xữ
ạ 0
ỗ
ữ
ù
ổ
ử ổ
ử
ữ
ỗ
p
p
1ổ
pử
ố4
ứ
ù
ữ
ữ
ữ
cosỗ
- xữ
cosỗ
+ xữ
ạ 0 ỗ
cos2x + cos ữ
ạ 0 cos2x ạ 0 .
ỗ
ỗ
ỗ
K: ớ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ổ
ử
ữ
ữ
ữ
ùù
p
4
4
2
2
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ữ
+ xữ
ạ 0
ỗ
ùù cosỗ
ữ
ỗ
ữ
4
ố
ứ
ùùợ
ộp ổ
ự
ổ
ử ổ
ử
ổ
ử
ử
ổ
ử
ổ
ử
p
p
p
p
p
p
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ= tanỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
tan
x
tan
+
x
=
tan
x
tan
+
x
x
cot
x
= 1.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
Ta co:
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
2
4
4
4
ố4
ứ ố4
ứ
ố4
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
1 2
1
sin 4x = cos4 4x 11- cos2 4x = cos4 4x 2cos4 x - cos2 4x - 1 = 0
2
2
ỡù ột = 1
( N)
ùù ờ
ỡù 2t2 - t - 1 = 0
ù
ờ
ù
ù
ớ
ớ ờt = - 1 ( L )
cos2 4x = 1 sin2 4x = 0 sin4x = 0
2
ờ
ùù t = cos 4x 0 ùù ở
2
ùợ
ùù
2
t
=
cos
4x 0
ùùợ
ỡù sin2x = 0 ( N)
kp
ù
ớ
x=
, ( k ẻ Â) .
ùù cos2x = 0 ( L )
2
ùợ
( *)
(
1-
)
Lu y, ta co thờ thc hiờn biờn ụi mõu sụ bng cụng thc cụng theo tan nh sau
p
p
tan - tanx tan + tanx
ổ
ử
ổ
ử
p
p
1- tanx 1+ tanx
4
4
ữ
ữ
tanỗ
- xữ
.tanỗ
+ xữ
=
.
=
.
= 1.
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ố4
ữ
p
p
1+ tanx 1- tanx
ố4
ứ
ứ
1+ tan tanx 1- tan tanx
4
4
ổ3p x ữ
ử 1 ổp 3x ử
ữ
= sinỗ
ỗ - ữ
ỗ + ữ
Bai 9. Giai phng trinh: sinỗ
( 1)
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ10 2 ứ
ố10 2ứ 2 ố
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Thuy Li nm 2001
Li binh: Nhin vao phng trinh nay, ta nghi dung cụng thc cụng cung theo sin, hoc xet tụng
cung cua chung, . nhng ng vụi lam nh thờ, no se kho i ờn kờt qua. Ta hay xem
3p x
p 3x
gia hai cung
va
co mụi liờn hờ gi hay khụng ? Thõt võy:
+
10 2
10
2
ộ ổp 3x ửự
ổp 3x ử
ổ
ổ3p x ử
9p 3x ử
ữ
ữ
ỗ
ờp - ỗ
ỳ= sinỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
sinỗ
+ ữ
=
sin
+
=
sin3
- ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
. T o, ta se
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
10
2
10
2
10
2
ố10 2 ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
t t =
3p x
va s dung cụng thc nhõn ba la tụi u nhõt.
10 2
Bai giai tham khao
Page 11
ộ
ổp 3x ử
ờp ữ
=
sin
ỗ + ữ
Ta co: sinỗ
ữ
ờ
ữ
ỗ
ố10 2 ứ
ờ
ở
ự
ổp 3x ử
ổ
ổ3p x ử
9p 3x ử
ữ
ỗ
ỗ
ỳ= sinỗ
ữ
ữ
ữ
+ ữ
=
sin3
ỗ
ỗ
ỗ - ữ
.
ữ
ữ
ữ
ỳ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ10 2ứ
10
2
ố10 2 ứỳ
ố
ứ
ố
ỷ
ổ
ổ
3p x ử 1
3p x ử
ữ
ữ
= sin3ỗ
ỗ - ữ
( 1) sinỗỗỗ10 - 2ữ
( 2) .
ữ
ữ
ữ 2
ữ
ỗ10 2ứ
ố
ứ
ố
3p x
1
1
- . Va ( 2) sint = sin3t sint = 3sint - 4sin3 t sint 1- sin2 t = 0
10 2
2
2
ộ
ộ
3p x
ột = kp
ờ
ờx = 3p - k2p
=
k
p
ộsint = 0
ờ
ờ
ờ
5
ờ
ờ10 2
ờ
( k,l ẻ Â ) .
p
ờcost = 0 ờ
ờ
3
p
x
p
2
p
t
=
+
l
p
ờ
ờ
ờ
ở
= + lp
- l2p
ờ
ờ ờx =
ở 2
5
ở10 2 2
ở
(
t t =
)
(
)
ổ
ổ pữ
ử
pử
ỗ
ữ
ữ
3x - ữ
=
sin2xsin
x
+
ỗ
ỗ
Bai 10. Giai phng trinh: sinỗ
( 1)
ỗ
ỗ
ữ
ữ
4ữ
4ữ
ố
ứ
ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Hoc Viờn Bu Chinh Viờn Thụng nm 1999
Bai giai tham khao
ộ
ổ
ổ
ử
pử
p
ữ
ỗ
ờp ữ
ữ
3x - ữ
=
sin
3x
=
sin
ỗ
ỗ
Ta co: sinỗ
ữ
ữ
ờ
ỗ
ỗ4
ữ
ữ
4ứ
ố
ố
ứ
ờ
ở
ổ
ửự
ộ
ự
ổ pử
p
ỗ
ỳ= - sin ờ3p + 3xỳ= - sin3ỗ
ữ
ữ
- 3xữ
x+ ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỳ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ
ữ
ữ
4
4
ố4
ứỷ
ố
ứ
ỳ
ở
ỷ
ổ pử
p
p
ữ
2t - ữ
.sint
ỗ
t t = x + ị x = t . Luc o ( 1) - sin3t = sinỗ
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố
4
4
ộsint = 0
ộsint = 0
ờ
4sin3 t - 3sint + cos2t sint = 0 ờ
ờ4sin2 t - 3 + 1- 2sin2 t = 0 ờsin2 t = 1
ờ
ờ
ở
ở
ộ
ột = kp
ờx = - p + kp
ộsint = 0
ờ
p
p
ờ
4
ờ
ờ
x = - + m , ( k,l,m ẻ Â ) .
p
ờcost = 0 ờ
ờt = + lp
4
2
ờx = p + lp
ờ
ở
ờ
ờ
ở 2
4
ở
ổ pử
3
ữ
x+ ữ
= cos3x ( 1)
ỗ
Bai 11. Giai phng trinh: 8cos ỗ
ữ
ỗ
ữ
3ứ
ố
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1999
Bai giai tham khao
ộ ổ pửự
ờ3ỗ
ỳ.
ữ
cos3x
=
cos
p
+
3x
=
cos
x+ ữ
Ta co:
(
)
ữ
ờỗ
ỳ
ữ
ỗ
3
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
ộ ổ p ửự
ổ pử
3
ờ3ỗ
ỳ ( 2) .
ữ
ữ
x+ ữ
=
cos
x+ ữ
ỗ
ỗ
Phng trinh: ( 1) 8cos ỗ
ữ
ữ
ờ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
3
3
ố
ứ
ứỳ
ờ
ỳ
ởố
ỷ
p
3
3
3
t t = x + . Luc o: ( 2) 8cos t = - cos3t 8cos t = - 4cos t + 3cost
3
12cos3 t - 3cost = 0 cos3t 4cos2 t - 1 = 0 cos3t ( 2cos2t + 1) = 0
(
Page 12
)
ộ p
ờt = + kp
ờ 2
ộcos3t = 0
ờ
ờ
p
ờ
ờ
t = + lp
1
ờ
ờcos2t = 3
ờ
ờ
2
ờ
ở
p
ờt = - + mp
ờ
3
ở
ộ
ờx = p + kp
ờ
6
ờ
ờx = lp
( k;l;m ẻ Â ) .
ờ
2p
ờ
+ mp
ờx =
ờ
3
ở
ổ pữ
ử
ữ
2sin3 ỗ
x
+
= 2sinx ( 1)
ỗ
ỗ
ữ
4ữ
ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Phõn Viờn Bao Chi Truyờn Thụng nm 1998
Bai 12. Giai phng trinh:
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
t t = x +
ổ pữ
ử
p
p
3
sin3 t = sint - cost
ỗt - ữ
. Luc o: ( 1) sin t = 2sinỗ
ị x = tữ
ữ
ỗ
ố 4ứ
4
4
(
)
sin3 t = sint - cost sin3 t = sin2 t + cos2 t ( sint - cost)
(
(ã )
)
cost - sin2 t + sint cost - cos2 t = 0
ộcost = 0 ( N)
p
p
ờ
ờsin2t = 2 L t = 2 + kp x = 4 + kp, ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
Li binh: Trong ( ã ) , tụi a s dung ki thuõt ghep cụng thc 1 = sin2 t + cos2 t . Võy trong giai
ổ
1
cost ỗ
sin2t ỗ
ỗ
ố2
ử
ữ
1ữ
= 0
ữ
ữ
ứ
phng trinh lng giac, dõu hiờu nh thờ nao ờ biờt ghep nh thờ ? Cõu tra li rõt n
gian: " Khi bõc cua sin va cos khụng ụng bõc va hn kem nhau hai bõc, ta nờn ghep
1 = sin2 t + cos2 t ờ phng trinh tr nờn n gian hn ".
Cach giai 2.
3
ộ1
ự
ổ pử
ữ
ỗ
ỳ = 2sinx
ữ
2ờ
.
2sin
x
+
ỗ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ữ
4
ố
ứ
ờ2
ỳ
ở
ỷ
( 1)
3
ộ1
ự
2 ờ ( sinx + cosx) ỳ = 2sinx
ờ
ỳ
ở2
ỷ
3
2
( sinx + cosx) = 4sin x ( sinx + cosx) ( sin x + cosx) = 4sinx
( sinx + cosx) ( 1+ 2sinx cosx) = 4sinx
- 3sinx + 2cos2 x sinx + 2sin2 x cosx + cosx = 0
sinx ( - 3 + 2cos2 x) + cosx ( 2sin2 x + 1) = 0
(
)
(
)
- sinx 2sin2 x + 1 + cosx 2sin2 x + 1 = 0
ộ0 = 2sin2 x + 1 > 0 ( VN )
2sin x + 1 ( cosx - sinx) = 0 ờ
ờcosx - sinx = 0
ờ
ở
p
tanx = 1 x = + kp , ( k ẻ Â ) .
4
Cach giai 3.
(
2
)
3
( 1)
ộ1
ự
ổ pử
ữ
ỗ
ỳ = 2sinx
ữ
2ờ
.
2sin
x
+
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ữ
4ứỳ
ố
ờ
ỳ
ở2
ỷ
3
ộ1
ự
2 ờ ( sinx + cosx) ỳ = 2sinx
ờ
ỳ
ở2
ỷ
Page 13
3
( sinx + cosx) = 4sinx
( 2)
Vi cosx = 0 ( hay sinx = 1) khụng phai la nghiờm cua phng trinh ( 2) nờn chia hai vờ cua
phng trinh ( 2) cho cos3 x , ta c: ( 2) ( tanx + 1) = 4tanx. 1+ tan2 x
(
3
Giai phng trinh theo tanx ta c nghiờm: tanx = 1 x =
)
p
+ kp , ( k ẻ Â ) .
4
ổ pử
3
ữ
x- ữ
= 2sinx ( 1)
ỗ
Bai 13. Giai phng trinh: sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
4ứ
ố
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Tp.HCM nm 1998
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
(
)
p
p
3
3
ị x = t + . Luc o: ( 1) sin t = 2sin t + 4 sin t = sint + cost
4
4
3
sin t = ( sint + cost) sin2 t + cos2 t
t t = x -
(
)
sin3 t = sin3 t + sint cos2 t + cost sin2 t + cos3 t cost ( sint cost + 1) = 0
ộcost = 0
p
3p
p
ờ
ờsin2t = - 2 L t = 2 + kp x = 4 + kp - 4 + kp , ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
Cach giai 2 va cach giai 3 (tng t vi du 13). Ban oc t giai
Bai 14. Giai phng trinh: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
( *)
Li binh: Bai toan co cac cung khac nhau theo mụt ham bõc nhõt lng giac cos (hoc sin hoc ca
sin va cos) dang tụng (hoc hiờu). Ta nờn ghep cac sụ hang nay thanh cp sao cho hiờu
(hoc tụng) cac cung cua chung bng nhau, tc la trong trng hp nay ờ y
( x + 4x) = 5x va ( 2x + 3x) = 5x . Tai sao phai ghep nh võy ? Ly do rõt n gian,
chung ta cõn nhng "tha sụ chung" ờ nhom ra ngoai, a bai toan vờ dang phng trinh
tich sụ.
Bai giai tham khao
5x
3x
5x
x
cos + 2cos cos = 0
2
2
2
2
ổ
ử
5x
3x
x
5x
x
ữ
2cos ỗ
= 0 4cos cosxcos = 0
ỗcos + cos ữ
ữ
ữ
2ỗ
2
2ứ
2
2
ố
( *) ( cosx + cos4x) + ( cos2x + cos3x) = 0
ộ 5x
ờcos = 0
ờ 2
ờ
ờcosx = 0
ờ
ờ x
ờcos = 0
ờ
ở 2
Page 14
ộ5x p
ờ = + kp
ờ2
2
ờ
ờx = p + lp
ờ
2
ờ
ờx p
ờ = + mp
ờ
ở2 2
2cos
ộ
ờx = p + k2p
ờ
5
5
ờ
ờx = p + lp
( k;l;m ẻ Â ) .
ờ
2
ờ
ờx = p + 2mp
ờ
ờ
ở
3
( *) .
2
Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000
Bài 15. Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x =
Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công
thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
1
1
1
3
( *) Û 2( 1- cos2x) + 2( 1- cos4x) + 2( 1- cos6x) = 2 Û ( cos2x + cos6x) + cos4x = 0
Û 2cos4x cos2x + cos4x = 0 Û cos4x ( 2cos2x + 1) = 0
é
écos4x = 0
ê4x = p + kp
ê
ê
2
Û ê
Û ê
Û
êcos2x = cos 2p
2p
ê
ê
ê2x = ± + l2p
3
ë
3
ë
é
êx = p + kp
ê
8
4
ê
p
êx = ± + lp
ê
3
ë
2
2
2
Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2
( k,l Î ¢ ) .
( *) .
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001
Bài giải tham khảo
1
1
1
( *) Û 2( 1- cos2x) + 2( 1- cos4x) + 2( 1- cos6x) = 2
1
1
Û - ( cos2x + cos4x + cos6x) = Û ( cos2x + cos6x) + ( cos4x + 1) = 0
2
2
2
Û 2cos4x cos2x + 2cos 2x = 0 Û 2cos2x ( cos4x + cos2x) = 0
é
êx = p + kp
ê
écosx = 0
2
ê
ê
p
p
ê
ê
Û 4cos2x cos3xcosx = 0 Û êcos2x = 0 Û êx = + l
4
2
ê
ê
cos3x = 0 ê
ê
p
p
ë
êx = + m
ê
6
3
ë
2
2
2
2
Bài 17. Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x
( k,l,m Î ¢ ) .
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999
Bài giải tham khảo
1
1
1
1
( *) Û 2( 1- cos2x) + 2( 1- cos6x) = 2( 1+ cos4x) + 2( 1+ cos8x)
Û - ( cos2x + cos6x) = cos4x + cos8x Û - 2cos4x cos2x = 2cos6xcos2x
Û 2cos2x ( cos6x + cos4x) = 0 Û 4cos2x cos5x cosx = 0
écosx = 0
ê
æ
ö
æ
æp mpö
p
p
pö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
Û ê
cos2x
=
0
Û
x
=
+
k
p
Ú
x
=
+
l
Ú
x
=
; ( k,l,m Î ¢ ) .
ç
ç
ç +
ê
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
2ø
5ø
è2
ø
è4
è10
ê
cos5x = 0
ê
ë
Page 15
2
2
2
2
Bài 18. Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002
Bài giải tham khảo
1
1
1
1
1+ cos8x) = ( 1- cos10x) - ( 1+ cos12x)
(
2
2
2
Û cos6x + cos8x = cos10x + cos12x Û 2cos7x cosx = 2cos11x cosx
é
êx = p + kp
ê
2
ê
écosx = 0
lp
ê
Û cosx ( cos7x - cos11x) = 0 Û ê
( k,l,m Î ¢ ) .
êcos7x = cos11x Û êx = - 2
ê
ê
ë
ê
mp
êx =
ê
9
ë
( *) Û 2( 1-
cos6x) -
æ 5x ö
9x
2 p
÷
- 2cos2
ç + ÷
Bài 19. Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2sin ç
( *)
÷
÷
ç
2ø
2
è4
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001
Bài giải tham khảo
æ
ö
p
÷
cos3x + sin7x = 1- cosç
+ 5x÷
- 1- cos9x Û cos3x + sin7x = sin5x - cos9x
ç
÷
ç
÷
è2
ø
Û cos3x + cos9x + sin7x - sin5x = 0 Û 2cos6x cos3x + 2cos6x sinx = 0
é
êx = p + k p
ê 12
écos6x = 0
6
ê
ê
p
ê
æ
ö
Û cos6x ( cos3x + sinx) = 0 Û ê
Û êx = + lp
p
( k,l,m Î ¢ ) .
÷
êcos3x = cosç
÷
+
x
4
ç
ê
÷
ê
÷ ê
ç
è2
ø
p mp
ê
ë
êx = - +
ê
8
2
ë
( *) Û
2
2
2
Bài 20. Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998
Bài giải tham khảo
1- cos2x 1+ cos4x 1+ cos6x
=
+
Û ( cos2x + cos4x) + ( 1+ cos6x) = 0
2
2
2
Û 2cos3x cosx + 2cos2 3x = 0 Û 2cos3x ( cosx + cos3x) = 0
( *) Û
é
êx = p + kp
ê
écosx = 0
6
3
ê
ê
p lp
ê
ê
Û 4cos3x cos2x cosx = 0 Û êcos2x = 0 Û êx = +
Û
4 2
ê
ê
cos3x = 0 ê
ê
p
ë
êx = + mp
ê
2
ë
2
Bài 21. Giải phương trình: 2sin 2x + sin7x - 1 = sinx
Page 16
é
êx = p + kp
ê
6
3 ( k,l,m Î ¢ ) .
ê
êx = p + lp
ê
4 2
ë
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007
7x + x
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung ( x) ,( 2x) ,( 7x) và nhận xét
= 4x , ta có thể định
2
2
hướng nhóm ( sin7x - sinx) , 2sin 2x - 1 lại với nhau, để sau khi dùng công thức
(
)
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
( *) Û ( sin7x -
(
)
sinx) - 1- 2sin2 2x = 0 Û 2cos4x sin3x - cos4x = 0
écos4x = 0
ê
Û cos4x ( 2sin3x - 1) = 0 Û ê
Û
êsin3x = 1
ê
2
ë
é
êx = p + k2p
ê 18
3 ( k,l Î ¢ ) .
ê
êx = 5p + l2p
ê
18
3
ë
Bài 22. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x
( *)
Bài giải tham khảo
( *) Û ( sinx + sin3x) + sin2x = ( 1+ cos2x) + cosx
Û 2sin2xcosx + sin2x = 2cos2 x + cosx Û sin2x ( 2cosx + 1) - cosx ( 2cosx + 1) = 0
Û ( 2cosx + 1) ( sin2x - cosx) = 0 Û ( 2cosx + 1) ( 2sinx cosx - cosx) = 0
é
êx = p + kp
é
ê
êcosx = 0
êé 2
p
ê
êê
x
=
+ l2p
ê
ê
1
ê
6
ê
ê
Û cosx ( 2sinx - 1) ( 2cosx + 1) = 0 Û sinx =
Û ê
( k,l,m,n Î ¢ ) .
ê
êê
5p
2
ê
êêx =
+ m2p
êcosx = - 1
êë
6
ê
ê
2
ë
êx = ± 2p + n2p
ê
3
ë
( *)
3
3
3
Bài 23. Giải phương trình: sin xcos3x + cos x sin3x = sin 4x
Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
Bài giải tham khảo
( *) Û
(
)
(
)
sin3 x 4cos3 x - 3cosx + cos3 x 3sinx - 4sin3 x = sin3 4x
Û 4sin3 x cos3 x - 3sin3 x3cosx + 3cos3 xsinx - 4cos3 x sin3 x = sin3 4x
Û 3sinx cosx ( cos2 x - sin2 x) = sin3 4x
Û
3
3
sin2x cos2x = sin3 4x Û sin4x = sin3 4x
2
4
Û 3sin4x - 4sin3 4x = 0 Û sin12x = 0 Û 12x = kp Û x =
Page 17
kp
, ( k Î ¢) .
12
2
3
Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2cos 4x + 6cos3x cosx = cosx + 8cosx cos 3x ( *)
Bài giải tham khảo
( *) Û
(
)
cos10x + ( 1+ cos8x) = cosx + 2cosx 4cos3 3x - 3cos3x
Û ( cos10x + cos8x) + 1 = cosx + 2cosx cos9x
Û 2cos9x cosx + 1 = cosx + 2cosxcos9x
Û cosx = 1 Û x = k2p, ( k Î ¢ ) .
3
3
2
Bài 25. Giải phương trình: 4sin x + 3cos x - 3sinx - sin xcosx = 0 ( *)
Bài giải tham khảo
( *) Û
Û
Û
(
)
(
)
sinx ( 4sin x - 3) - cosx é
sin x - 3( 1- sin x) ù
=0
ê
ú
ë
û
( 4sin x - 3) ( sin x - cosx) = 0
sinx 4sin2 x - 3 - cosx sin2 x - 3cos2 x = 0
2
2
2
2
ù( sinx - cosx) = 0
Û é
ê2( 1- cos2x) - 3ú
ë
û
é
é
êcos2x = - 1 = cos 2p
ê2x = ± 2p + k2p
Û ê
Û
2
3 Û ê
3
ê
ê
sinx = cosx
tanx = 1
ê
ê
ë
ë
é
êx = ± 2p + kp
ê
3
( k;l Î ¢ ) .
ê
p
êx = + lp
ê
4
ë
2
Bài 26. Giải phương trình: ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos x = 3
( *)
Bài giải tham khảo
( *) Û ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4) + 4( 1- sin x) - 3 = 0
Û ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4) + ( 1- 2sinx) ( 1 + 2sinx) = 0
Û ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4 + 1- 2sinx) = 0
Û 3( cos4x - 1) ( 2sinx + 1) = 0
2
é
ê4x = k2p
ê
écos4x = 1
ê
ê
êx = - p + l2p Û
Û ê
Û
1
ê
êsin2x = 6
ê
ê
2
ë
êx = 7p + m2p
ê
6
ë
é
êx = kp
ê
2
ê
êx = - p + l2p
ê
6
ê
ê
7p
+ m2p
êx =
ê
6
ë
(
( k;l;m Î ¢ ) .
) ( *)
6
6
8
8
Bài 27. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999
Bài giải tham khảo
Page 18
( *) Û
(
)
(
)
sin6 x - 2sin8 x + cos6 x - 2cos8 x = 0 Û sin6 x 1- 2sin2 x - cos6 x 2cos2 x - 1 = 0
(
)
Û sin6 x cos2x - cos6 x cos2x = 0 Û cos2x sin6 x - cos6 x = 0
écos2x = 0
Û ê
êsin6 x = cos6 x Û
ê
ë
écos2x = 0
ê
êtanx = ±1 Û
ê
ë
é
êx = p + kp
ê
4
2 Û x = p + kp ,( k Î ¢ ) .
ê
4
2
êx = ± p + kp
ê
4
ë
5
Bài 28. Giải phương trình: sin8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + cos2x ( *)
4
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000
(
)
Bài giải tham khảo
5
x - cos8 x - sin8 x - 2sin10 x + cos2x = 0
4
5
Û cos8 x 2cos2 x - 1 - sin8 x 1- 2cos2 x + cos2x = 0
4
æ 8
5
5ö
8
÷
Û cos8 x.cos2x - sin8 x cos2x + cos2x = 0 Û cos2x ç
=0
çcos x - sin x + ÷
÷
÷
ç
4
4ø
è
( *) Û ( 2cos
) (
10
(
)
)
(
écos2x = 0
ê
Û ê 8
Û
êcos x - sin8 x + 5 = 0
ê
4
ë
)
é
ê2x = p + kp
p kp
ê
2
Û x = + ,( k Î ¢ ) .
ê
4
2
êsin8 x = cos8 x + 5 > 1 VN
(
)
ê
4
ë
(
)
3
3
5
5
Bài 29. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998
Bài giải tham khảo
Cách giải 1
( *) Û ( sin
3
) (
)
2sin x) - cos x ( 2cos x - 1) = 0 Û
x - 2sin5 x - 2cos5 x + cos3 x = 0
(
Û sin3 x 1-
2
3
2
sin3 x cos2x - cos3 x cos2x = 0
écos2x = 0
p mp
Û cos2x sin x - cos x = 0 Û ê
êtan3 x = 1 Û x = 4 + 2 , ( m Î ¢ ) .
ê
ë
Cách giải 2
(
( *) Û ( sin
3
3
3
)
)(
)
x + cos3 x sin2 x + cos2 x - 2sin5 x - 2cos5 x = 0
(
) (
x) - cos x ( cos x -
)
Û sin3 x cos2 x - sin5 x - cos5 x - cos3 sin2 x = 0
(
Û sin3 x cos2 x - sin2
écos2x = 0
Û ê
êsin3 x - cos3 x = 0 Û
ê
ë
3
2
)
(
)
sin2 x = 0 Û cos2x sin3 x - cos3 x = 0
écos2x = 0
p mp
ê
êtan3 x = 1 Û x = 4 + 2 , ( m Î ¢ ) .
ê
ë
4
2
2
4
Bài 30. Giải phương trình: 3cos x - 4cos x sin x + sin x = 0
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1
Page 19
Bai giai tham khao
2
2
ổ
ổ
ử
1+ cos2x ử
1- cos2x ữ
2
ỗ
ữ
ữ
sin
2x
+
=0
ỗ
( *) 3ỗỗỗ 2 ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
2
ố
ứ
ố
ứ
(
)
(
) (
)
3 1+ 2cos2x + cos2 2x - 4 1- cos2 2x + 1- 2cos2x + cos2 2x = 0
8cos2 2x + 4cos2x = 0 4cos2x ( 2cos2x + 1) = 0
ộcos2x = 0
ờ
ờ
ờcos2x = - 1
ờ
2
ở
ộ
ờx = p + kp p + kp
ờ
4
2
4
ờ
ờx = p + mp
ờ
3
ở
( k,m ẻ Â ) .
Cach khac
Do cosx = 0 hay sinx = 1 khụng la nghiờm cua phng trinh ( *)
Chia hai vờ cua ( *) cho cos4 x , ta c:
ùỡù t2 - 4t + 3 = 0
2
4
( *) 3- 4tan x + tan x = 0 ớù t = tan2 x 0
ùùợ
ùỡù ột = 1
ộtanx = 1
ộtan2 x = 1
ùù ờ
ờ
ờ
ớ ờt = 3
ờ 2
ờ
ờ
ở
ùù
tan x = 3 ờtanx = 3
ờ
2
ở
ở
ùù t = tan x
ợ
ộ
ờx = p + kp
ờ
4
( k,m ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = + mp
ờ
3
ở
Bai 31. Giai phng trinh: cos3x cos3 x - sin3x sin3 x = 2 - 3 2
8
( *)
Bai giai tham khao
Li binh: Ta nhõn thõy trong phng trinh co cha cos3x lõn sin3x , nờu ta s dung cụng thc
nhõn ba ờ khai triờn cung i ờn kờt qua cuụi cung, nhng no tng ụi phc tap.
Chinh vi thờ, õy ta kheo leo phõn tich ờ ap dung cụng thc tich thanh tụng co xuõt
hiờn sụ
1
nhm tụi gian c vi sụ 2 - 3 2 phc tap bờn vờ phai cua phng trinh.
2
8
( *) ( cos3x cosx) cos x - ( sin3x sinx) sin
2
2
x=
2- 3 2
8
1
1
2- 3 2
cos4x + cos2x) cos2 x - ( cos2x - cos4x) sin2 x =
(
2
2
8
cos4x cos2 x + cos2x cos2 x - cos2xsin2 x + cos4x sin2 x =
(
)
(
)
cos4x cos2 x + sin2 x + cos2x cos2 x - sin2 x =
cos4x + cos2 2x =
Page 20
2- 3 2
4
2- 3 2
4
2- 3 2
1
2- 3 2
cos4x + ( 1+ cos4x) =
4
2
4
4cos2x + 2( 1+ cos4x) = 2 - 3 2 cos4x = -
2
p kp
x = + ,( k ẻ Â ) .
2
16
2
1
( *)
16
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Kinh tờ Quục Dõn nm 1998
Bai 32. Giai phng trinh: cosxcos2x cos4x cos8x =
Bai giai tham khao
Li binh: Trong bai toan xuõt hiờn bụn cung x,2x,4x,8x khac nhau, giup ta liờn tng ờn viờc
a chung vờ cung mụt cung. ờ lam viờc nay ta se suy nghi ờn viờc dung cụng thc
cos2x = 2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x , nhng no thi khụng kha quan cho mõy, bi thờ
phng trinh se tr thanh phng trinh bõc cao, viờc giai se gõy kho khn. Nhng ờ y
rng, cac cung nay lõn lt gõp ụi nhau, ta cht nh ờn cụng thc nhõn ụi cua sin ,
bng cach nhõn thờm hai vờ cua ( *) cho sinx . ờ am trong phep nhõn, ta nờn kiờm
tra xem sinx = 0 co phai la nghiờm hay khụng trc khi nhõn.
Nhõn thõy: sinx = 0 x = kp ( hay cosx = 1) cos2x = cos4x = cos8x = 1 nờn
1
(vụ nghiờm) nờn sinx = 0 x = kp khụng la nghiờm cua ( *)
16
Nhõn ca 2 vờ cua phng trinh ( *) cho 16sinx ạ 0 , ta c:
( *)
1 =
ỡù 16sinx cosxcos2xcos4x cos8x = sinx
ỡù 8sin2x cos2x cos4x cos8x = sinx
ù
ùớ
( *) ớù sinx ạ 0
ùù sinx ạ 0
ùợ
ợ
ỡù 4sin4x cos4xcos8x = sinx
ỡù 2sin8x cos8x = sinx
ỡù sin16x = sinx
ù
ù
ớ
ớ
ùớ
ùù sinx ạ 0
ùù sinx ạ 0
ùù sinx ạ 0
ợ
ợ
ợ
ỡù ộ
ùù ờx = k2p
ộ
ùù ờ
ờx = k2p
15
ờ
17p - 1
15
p
lp ờ
ùớ ờ
vi k ạ 15n; l ạ
; ( k,l,m,n,p ẻ Â ) .
ờ
+
ùù ờx =
p
lp
ờ
2
+
ùù ở 17 17
ờx =
ở 17 17
ùù x ạ mp
ùợ
3
Bai 33. Giai phng trinh: 4sin3x cos2x = 1+ 6sinx - 8sin x
( *)
Bai giai tham khao
( *)
(
)
4sin3x cos2x = 1+ 2 3sinx - 4sin3 x 4sin3x cos2x = 1 + 2sin3x
(
)
2sin3x ( 2cos2x - 1) = 1 2sin3x 4cos2 x - 3 = 1
( o)
p
+ kp,( k ẻ Â ) khụng la nghiờm phng trinh ( o) , nờn nhõn hai vờ ( o) cho
2
3
cosx ạ 0 , ta c: ( o) 2sin3x 4cos x - 3cosx = cosx 2sin3xcos3x = cosx
Do cosx = 0 x =
(
ổ
ử
p
ữ
sin6x = cosx cosx = cosỗ
ỗ - 6xữ
ữ
ữ
ỗ
ố2
ứ
)
ộ
ờx = p + l2p
ờ 14
7
ờ
p
m2
p
ờx =
+
ờ
5
ở 10
( l,k ẻ Â ) .
Bai 34. Giai phng trinh: cosx + cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = Page 21
1
2
( *)
Bai giai tham khao
1
Khi x = k2p,( k ẻ Â ) thi ( *) 5 = - ị ( *) khụng co nghiờm x = k2p,( k ẻ Â ) .
2
x
x
Khi x ạ k2p,( k ẻ Â ) ị sin ạ 0 . Nhõn hai vờ cua ( *) cho 2sin ạ 0 , ta c:
2
2
( *) 2sin x2 cosx + 2sin x2 cos2x + 2sin x2 cos3x + 2sin x2 cos4x + 2sin x2 cos5x = - sin x2
3x
x
5x
3x
7x
5x
9x
7x
11x
9x
x
sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin
- sin = - sin .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11x
11x
2mp
sin
= 0
= mp x =
, ( m ạ 11, m ẻ Â ) .
2
2
11
Bai 35. Giai phng trinh:
sin2x + 2cosx - sinx - 1
= 0 ( *)
tan x + 3
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2011
Bai giai tham khao
Li binh: Khi giai phng trinh lng giac co cha tan hoc cot, co õn mõu hay cn bõc chn,
ta phai c iờu kiờn ờ phng trinh xac inh. c biờt ụi vi nhng bai toan co
sin ổ
cosử
ữ
ữ
,ỗ
ỗ
cha tan (hoc cot), ta hay thay thờ chung bng
nhm muc ich " n
ữ
ỗ
ữ
cos ốsin ứ
gian hoa " va chi con lai hai gia tri lng giac la sin va cos ma thụi.
Ta se dung cac cach sau õy ờ kiờm tra xem co nhõn nghiờm hay khụng
Thay cac gia tri x tim c vao iờu kiờn xem co thoa khụng. Nờu thoa thi ghi nhõn
nghiờm õy, nờu khụng thoa thi loai.
Hoc biờu diờn cac ngon cung iờu kiờn va ngon cung nghiờm trờn cung mụt ng
tron lng giac. Ta se loai bo ngon cung cua nghiờm khi co trung vi ngon cung
cua iờu kiờn.
Hoc so vi iờu kiờn trong qua trinh giai phng trinh.
ỡù tanx ạ - 3
ù
iờu kiờn: ớ
ùù cosx ạ 0
ùợ
( *) sin2x + 2cosx - sinx - 1 = 0 2cosx ( sinx + 1) - ( sinx + 1) = 0
ộ
ờx = p + k2p
ờ
3
( k,l ẻ Â ) .
ờ
ờx = - p + l2p
ờ
2
ở
p
So vi iờu kiờn, ho nghiờm cua phng trinh la x = + k2p , ( k ẻ Â ) .
3
ộ
ờcosx = 1
( sinx + 1) ( 2cosx - 1) = 0 ờ
2
ờ
sinx = - 1
ờ
ở
Bai 36. Giai phng trinh:
Page 22
1+ sin2x + cos2x
= 2sinxsin2x ( *)
1+ cot2 x
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2011
Bai giai tham khao
iờu kiờn: sinx ạ 0
( *)
sin2 x(1+ sin2x + cos2x) = 2 2sin2 x cosx 1+ sin2x + cos2x = 2 2cosx
(
2cos2 x + 2cosx sinx - 2 2cosx = 0 2cosx cosx + sinx -
)
2 =0
ộ
ờx = p + kp
ờ
2
( k,l ẻ Â ) .
ờ
ờx = p + l2p
ờ
4
ở
p
p
So vi iờu kiờn, ho nghiờm phng trinh la x = + kp x = + l2p, ( k,l ẻ Â ) .
2
4
ộcosx = 0
ờ
ờ
cosx
+
sinx
=
2
ờ
ở
ộcosx = 0
ờ
ờ ổ pử
ữ
ờcosỗ
ữ
x
=
1
ỗ
ờ ỗ
ữ
4ữ
ứ
ờ
ở ố
Bai 37. Giai phng trinh: tanx + cot x = 2( sin2x + cos2x)
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp.HCM nm 1998
Bai giai tham khao
ỡù sinx ạ 0
p
ù
2sinxcosx ạ 0 sin2x ạ 0 2x ạ kp x ạ k , ( k ẻ Â ) .
iờu kiờn: ớ
ùù cosx ạ 0
2
ợ
sinx cosx
sin2 x + cos2 x
*
+
=
2
sin2x
+
cos2x
= 2( sin2x + cos2x)
( ) cosx sinx (
)
sinx cosx
1
1
= 2( sin2x + cos2x)
= ( sin2x + cos2x)
sinx cosx
sin2x
sin2x ( sin2x + cos2x) = 1 sin2 2x + sin2x cos2x - 1 = 0
sin2x cos2x - cos2 2x = 0 cos2x ( sin2x - cos2x) = 0
ộ
ờx = p + kp
ờ
4
( k,l ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = + l p
ờ
8
2
ở
p
p
p
Kờt hp vi iờu kiờn, phng trinh co 2 ho nghiờm: x = + kp x = + l , ( k,l ẻ Â ) .
4
8
2
ổ
pử
ữ
ữ
2cos2x sinỗ
2x
= 0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
4
ố
ứ
ộcos2x = 0
ờ
ờ ổ
pử
ữ
ờsinỗ
ữ
2x
=0
ỗ
ữ
ờ ỗ
ữ
4ứ
ờ
ở ố
2
Bai 38. Giai phng trinh: tan x + tanx tan3x = 2
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1996
Bai giai tham khao
ỡù cosx ạ 0
p kp
ù
cos3x ạ 0 x ạ
+
,( k ẻ Â ) .
iờu kiờn: ớ
3
ùù cos3x = 4cos x - 3cosx ạ 0
6
3
ùợ
sinx ổsinx sin3x ử
ữ
=2
( *) tanx( tanx + tan3x) = 2 cosx ỗỗỗcosx + cos3xữ
ữ
ữ
ố
ứ
sin x ( sinx cos3x + cosx sin3x) = 2cos2 x cos3x
sinx sin( - 2x) = 2cos2 x cos3x
Page 23
Û - 2sin2 xcosx = 2cos2 xcos3x
Û - sin2 x = cosx cos3x ( do cosx ¹ 0)
1
1
1- cos2x) = ( cos4x + cos2x)
(
2
2
p lp
Û cos4x = - 1 Û x = +
,( l Î ¢ )
4 2
● So nghiệm với điều kiện:
Û -
æ3p l3pö
2
p lp
÷
÷
thì cos3x = cosç
+
=±
¹ 0 (nhận).
+
ç
÷
ç
÷
2 ø
2
4 2
è4
Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung
p lp
nào trùng nhau. Do đó: x = +
là nghiệm
π/2
4 2
3π/4
π/4
của
π/6
5π/6
phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).
3p l3p p
Cách 3: Nếu 3x =
+
= + kp thì
4
2
2
7π/6
11π/6
3 + 6l = 2 + 4k Û 2k - 3l = 0,5
5π/4
7π/4
(vô lí vì k,l Î ¢ ).
Cách 1: Khi x =
3π/2
p lp
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = + ,( l Î ¢ ) .
4 2
Bài 39. Giải phương trình: tan2 x + cot2 x + cot2 2x =
11
3
( *)
Bài giải tham khảo
ìï cosx ¹ 0
ïï
ï
● Điều kiện: í sinx ¹ 0 Û sin2x ¹ 0.
ïï
ïï sin2x ¹ 0
î
æ 1
ö æ 1
ö æ 1
÷
ç
÷
÷
+
1
+ç
ç
ç 2 ( *) Û çççcos2 x - 1÷
÷
÷
2
÷
÷
ç
çsin 2x
è
ø èsin x
ø è
ö 11
1
1
1
20
÷
1÷
=
Û
+ 2 +
=
÷
2
2
2
÷ 3
3
cos x sin x 4sin x cos x
ø
4sin2 x + 4cos2 x + 1 20
5
20
3
1
3
=
Û
=
Û sin2 2x = Û ( 1- cos4x) =
2
2
2
3
3
4
2
4
4sin x cos x
sin 2x
æ
ö
1
2p
p kp
÷
Û cos4x = - = cosç
Û x=± +
,( k Î ¢ ) .
ç ÷
÷
÷
ç
2
6
2
è3 ø
● Thay vào nghiệm vào điều kiện, thỏa. Vậy họ nghiệm của phương trình là
p kp
x=± +
, ( k Î ¢) .
6
2
Û
æ p÷
ö 2
x
2 x
÷
tan x - cos2 = 0 ( *)
ç
Bài 40. Giải phương trình: sin ç
÷
ç
2
è2 4÷
ø
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2003
Bài giải tham khảo
Page 24
iờu kiờn: cosx ạ 0 sinx ạ 1.
ựsin2 x 1
ổ pử
( 1- sinx) 1- cos2 x
1ộ
ữ
ỗ
ờ
ỳ
- ( 1+ cosx) = 0
- ( 1+ cosx) = 0
( *) 2 ờ1- cosỗỗx - 2ữ
ữ
2
2
ữỳ
2
cos
x
1
sin
x
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
2
ổ
ử
1- cos x
1- cosx
ữ
- ( 1+ cosx) = 0 ( 1 + cosx) ỗ
- 1ữ
=0
ỗ
ữ
ữ
ỗ
1+ sinx
ố1+ sinx
ứ
(
)
ộx = p + k2p
ộcosx = - 1 ( N)
ờ
ờ
( 1+ cosx) ( - cosx - sinx) = 0 ờ
ờ
( k;l ẻ Â ) .
ờx = - p + l2p
tanx = - 1 ( N)
ờ
ờ
ở
4
ở
2
Bai 41. Giai phng trinh: sin2x ( cot x + tan2x) = 4cos x
( *)
Trich ờ thi Tuyờn Sinh ai hoc Mo ia chõt nm 2000
Bai giai tham khao
ỡù cosx ạ 1
ù
ùớù
ùù cosx ạ 2
ùùợ
2
cosx sin2x cos2x cosx + sin2x sin x
cosx
Ta co: cot x + tan2x =
.
+
=
=
sinx cos2x
sinx cos2x
sin x cos2x
ổ 2
ử
sin2x cosx
2cos2 x
ữ
= 4cos2 x
- 4cos2 x = 0 cos2 x ỗ
- 4ữ
=0
ỗ
Luc o: ( *)
ữ
ữ
ỗ
sinxcos2x
cos2x
ốcos2x
ứ
ỡù sinx ạ 0
ù
iờu kiờn: ớ
ùù cos2x ạ 0
ợ
ộcosx = 0
ờ
ờ 1
ờ
=
2
ờ
ởcos2x
ỡù sinx ạ 0
ớù
ùù 2cos2 x - 1 ạ 0
ùợ
ộ
ộcosx = 0 ( N)
ờx = p + kp
ờ
ờ
2
ờ
ờ
ờcos2x = 1 ( N)
ờx = p + lp
ờ
ờ
2
ở
6
ở
Bai 42. Giai phng trinh:
( k;l ẻ Â ) .
cot2 x - tan2 x
= 16( 1+ cos4x)
cos2x
( *)
Bai giai tham khao
ỡù sin2x ạ 0
ù
sin4x ạ 0.
iờu kiờn: ớ
ùù cos2x ạ 0
ợ
cos2 x sin2 x cos4 x - sin4 x 4cos2x
Ta co: cot2 x - tan2 x =
.
=
=
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
sin2 2x
4
( *) sin2 2x = 16( 1+ cos4x) 1 = 4( 1+ cos4x) sin2 2x 1 = 2( 1+ cos4x) ( 1- cos4x)
1
(Nhõn do sin4x ạ 0)
1 = 2 1- cos2 4x 1 = 2sin2 4x sin2 4x =
2
1
1
p kp
( 1- cos8x) = cos8x = 0 x =
+
,( k ẻ Â ) .
2
2
16
8
(
)
1
( *)
sin2x
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Tp.HCM nm 1998 1999
Bai 43. Giai phng trinh: 2tanx + cot2x = 2sin2x +
Page 25
