( phần bonus) 30 câu số phức image marked image marked

Câu 1 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho hai số phức z1 = 4 − 3i và z2 = 7 + 3i . Tìm số
phức
A. 𝑧 = 3 + 6𝑖 .
B. 𝑧 = 11.
C. 𝑧 = − 1 − 10𝑖 .
D. 𝑧 = − 3 − 6𝑖 .
Đáp án D
Câu 2 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ là điểm 𝑀 như hình bên ?

A. z1 = 1− 2i

B. z2 = 1+ 2i

C. z3 = −2 + i

D. z4 = 2 + i

Đáp án C
Câu 3 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Kí hiệu là hai nghiệm phức của phương trình
3z2 − z + 1 = 0 .Tính P =| z1 | + | z2 |
A. P =

14
3

B. P =

2
3

C. P =

3
3

D. P =

2 3
3

Đáp án D
z1,z2 là nghiệm phức của phương trình 3z2 − z + 1 = 0
 z1 =

1
11
1
11
+
i;z2 = −
i
6
6
6
6

P =| z1 | + | z2 |=

2 3
3

Câu 4 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z = 1− i + i 3 .Tìm phần thực 𝑎 và
phần ảo 𝑏 của 𝑧.
A. 𝑎 = 1, 𝑏 = − 2.
B. 𝑎 = − 2, 𝑏 = 1.
C. 𝑎 = 1, 𝑏 = 0.
D. 𝑎 = 0, 𝑏 = 1.
Đáp án A
z = 1− i + i 3 = 1− 2i
Suy ra a=1;b=-2
Câu 5 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏i ( a,b

)

+ 𝑖 = |𝑧| . Tính 𝑆 = 4𝑎 + 𝑏 .
A. 𝑆 = 4.
Đáp án D

D. 𝑆 = − 4.

B. 𝑆 = 2.

C. 𝑆 = − 2.

thỏa mãn 𝑧 + 2


z + 2 + i =| z |
 a + bi + 2 + i = a2 + b2
a + 2 = a2 + b2


b = −1

−3

a =

4
 b = −1
 S = 4a + b = −4

Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
A. z = −2 + i

B. z = 1 − 2i

C. z = 2 + i

D. z = 1 + 2i

Đáp án A
(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho số phức

Câu 7:

z = a + bi ( a, b 

)

A. P = −1

thỏa mãn z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 và z  1. Tính P = a + b.
B. P = −5

C. P = 3

D. P = 7

Đáp án D
Đặt z = a + bi  a + bi + 2 + i − a 2 + b2 (1 + i ) = 0
a = b − 1
a = b − 1
a + 2 − a 2 + b 2 = 0
a
+
2
=
b
+
1







b


−
1


 b  −1
2
2
2
2
b
+
1
=
a
+
b

b + 1 − a + b = 0
b 2 + 2b + 1 = a 2 + b 2


2

2b + 1 = ( b − 1)

 b = 0;a = −1

. Do z  1  a = 3, b = 4.
 b = 4;a = 3

Câu 8

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Xét các số phức

z = a + bi ( a, b 

)

thỏa mãn điều kiện z − 4 − 3i = 5. Tính P = a + b khi giá trị biểu thức

z + 1 − 3i + z −1 + i đạt giá trị lớn nhất.


B. P = 4

A. P = 10

D. P = 8

C. P = 6

Đáp án A
Gọi M ( x, y ) là điểm biều diễn số phức z.
Từ giả thiết, ta có z − 4 − 3i = 5  ( x − 4 ) + ( y − 3) = 5  M thuộc đường tròn ( C ) tâm
2

2

I ( 4;3) , bán kính R = 5. Khi đó P = MA + MB, với A ( −1;3) , B (1; −1) .

Ta có P 2 = MA 2 + MB2 + 2MA.MB  2 ( MA 2 + MB2 )
Gọi E ( 0;1) là trung điểm của AB  ME 2 =

MA 2 + MB2 AB2
−
.
2
4

(

Do đó P2  4ME2 + AB2 mà ME  CE = 3 5 suy ra P 2  4. 3 5

) + (2 5 )
2

2

= 200.

Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn ( C ) .
MA = MB
Vậy P  10 2. Dấu “=”xảy ra  
 M ( 6; 4 )  a + b = 10.
M  C

Câu 9 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm
phức của phương trình 4z 2 − 4z + 3 = 0. Giá trị của z1 + z2 bằng
B. 2 3

A. 3 2

C. 3

D.

3

Đáp án D
 1 + 2i
z =
2
2
Ta có 4z − 4z + 3 = 0  z = 
 z1 + z 2 = 3

1 − 2i
z = z =

2

Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i ) z −1 − 3i = 0 . Tìm
phần ảo của số phức w = 1 − zi + z
A. − i

B. – 1

C. 2

D. −2i

Đáp án C
giả sử z = x + yi ( x, y 

)  z = x − yi

x = 2
The giả thiết, ta có (1 + i )( x − yi ) − 1 − 3i = 0  ( x + y − 1) + ( x − y − 3) i = 0  
 y = −1

Suy ra z = 2 − i  z = 2 + i
Ta có w = 1 − ( 2 − i ) i + 2 + i = 3 + i 2 − 2i + i = 2 − i . Vậy chọn phần ảo là – 1


Câu 11: (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho hai số phức z1 = 1 − i và z 2 = 2 + 3i . Tính môđun của số
phức z 2 − iz1
A.

3

B. 5

5

C.

D. 13

Đáp án C
Ta có z2 − iz1 = 2 + 3i − i + i 2 = 1 + 2i  z 2 − iz1 = 12 + 22 = 5

Câu 12: (ĐỀ THI THỬ 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b 

) . Tính giá trị biểu thức

thỏa mãn P = a − b
B. P = −2

A. P = 5

D. P = 1

C. P = 3

Đáp án C
Đặt z = a + bi ( a, b 

)  z = a − bi

mà ( 2 − i ) z − 3z = −1 + 3i

Suy ra ( 2 − i )( a − bi ) − 3 ( a + bi ) = −1 + 3i  2a − 2bi − ai − b − 3a − 3bi + 1 − 3i = 0
1 − a − b = 0
a = 2
 1 − a − b − ( a + 5b + 3) i = 0  

a−b =3
a + 5b + 3 = 0 b = −1

Câu 13 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho số phức z và số phức liên hợp của nó z có điểm biểu
diễn là M, M’. Số phức z. ( 4 + 3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N,

N’. Biết rằng 4 điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức z + 4i − 5
A.

1
2

B.

2
5

5
34

C.

D.

4
13

Đáp án A
Giả sử x = a + bi ( a, b 

) . Ta có

M ( a;b ) và M' ( a; −b )

* Khi đó z ( 4 + 3i ) = ( 4a − 3b ) + ( 3aq + 4b ) i

Suy ra N ( 4a − 3b;3a + 4b ) và N' ( 4a − 3b; − 3a − 3b )
* Do 4 điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình thang cân nhận Ox làm trục đối xứng nên 4 điểm
đó lập thành hình chữ nhật  MM ' = NN '  4b = 4 ( 3a + 4b )
2

* Với a = −b , ta có z + 4i − 5 =

( b + 5) + ( b + 4 )
2

2

a = −b

a = − 8 b
3

2

2

9 1
1

= 2 b +  + 
2 2
2


9
9
Dấu bằng xảy ra khi a = , b = −
2
2
2

73 2 104
289
1
8
2
8

b +
b + 41 

* Với a = − , ta có z + 4i − 5 =  b + 5  + ( b + 4 ) =
9
3
73
3
2
3


Vậy min z + 4i − 5 =

1
2

Câu 14 (ĐỀ THI THỬ 2018)Gọi z1 , z 2 , z3 , z 4 là bốn nghiệm phức của phương trình
z 4 − z 2 − 8 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ z gọi A , B , C , D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn

nghiệm z1 , z 2 , z3 , z 4 đó. Tính giá trị của P = OA + OB + OC + OD , trong đó O là gốc tọa độ.
A. P = 4

B. P = 2 + 2 C. P = 2 2

D. P = 4 + 2 2

Đáp án D
 z1 = 2; z 2 = −2
x2 = 4
 z = 2
2
z 4 − 2z 2 − 8 = 0  ( z 2 − 1) = 32   2


 z3 = i 2; z 4 = −i 2
 z = i 2
 z = −2

(

) (

)

Khi đó A ( 2;0 ) , B ( −2;0 ) , C 0; 2 , D 0; − 2  P = OA + OB + OC + OD = 4 + 2 2

Câu 15 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Kí hiệu Z0 là nghiệm phức có phần thực âm
và phần ảo dương của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới
đây là điểm biểu diễn số phức w = i 2017 z 0 ?
A. M ( 3; −1)

B. M ( 3;1)

C. M ( −3;1)

D. M ( −3; −1)

Đáp án C
 z = −1 − 3i
Ta có z 2 + 2z + 10 = 0  
. Suy ra z0 = −1 + 3i
 z = −1 − 3i

w = i2017 x 0 = i ( −1 + 3i ) = −3 − i
Suy ra điểm M ( −3; −1) biểu diễn số phức w
Câu 16 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho số phức z = a + bi ( a, b 
các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn

) . Biết tập hợp

(C) có tâm I (4;3) và bán kính R =

3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F = 4a + 3b −1 . Tính giá trị M + m
A. M + m = 63
Đáp án B

B. M + m = 48

C. M + m = 50

D. M + m = 41


Ta có phương trình đường tròn ( C ) : ( x − 4 ) + ( y − 3) = 9
2

2

Do điểm A nằm trên đường tròn (C) nên ta có ( a − 4 ) + ( b − 3) = 9
2

2

Mặt khác F = 4a + 3b −1 = 4 ( a − 4 ) + 3 ( b − 3) + 24

F − 24 = 4 ( a − 4) + 3 ( b − 3)
2
2
2
Ta có 4 ( a − 4 ) + 3 ( b − 3)  ( 42 + 32 ) ( a − 4 ) + ( b − 3)  = 25.9 = 255



 −15  4 ( a − 4) + 3 ( b − 3)  15  −15  F − 24  15  9  F  39
Khi đó M = 39, m = 9

Vậy M + m = 48
Cách 2:
Ta có F = 4a + 3b − 1  a =

( a − 4 ) + ( b − 3)
2

F + 1 − 3b
4

 F + 1 − 3b

=9
− 4  + b 2 − 6b + 9 = 9
4


2

2

 25b2 − 2 ( 3F + 3) b + F2 + 225 = 0
 ' = ( 3F + 3) − 25F2 − 5625
2

 '  0  −16F2 + 18F − 5625  0  9  F  39

Câu 17 (Toán Học Tuổi Trẻ): Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức z = (1 − 2i )
A.

1
5

B.

5

C.

1
25

D.

1
5

Đáp án D.
Ta có: z = (1 − 2i ) = −3 − 4i 
2

1
3
4
=− + i
z
25 25
2

2

1
3
4
1
 3   4 
= − + i = −  +  = .
Từ đó suy ra
z
25 25
5
 25   25 

Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ): Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = z + z = 1?
A. 0

B. 1

C. 4

D. 3

2


Đáp án C.
2
2
 z = 1
 x + y = 1

 2
 Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm hay
Đặt z = x + yi. Ta có: 
z
+
z
=
1
4
x
=
1



có tất cả bốn số phức z thỏa mãn.

Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

2 z − 1 = z + z + 2 trên mặt phẳng tọa độ là một
A. đường thẳng

B. đường tròn

C. parabol

D. hypebol

Đáp án C.
Đặt z = x + yi. Ta có: 7

Đặt z = x + yi. Ta có: 2 z − 1 = z + z + 2
2

( x − 1)

2

+ y2 =

( 2x + 2)

2

x=

y2
.
4

Câu 20 (Toán Học Tuổi Trẻ)Tìm giá trị lớn nhất của P = z 2 − z + z 2 + z + 1 với z là số
phức thỏa mãn z = 1
A.

3

B. 3

Đáp án C.
Với z = a + bi ( a, b 

),

ta có:


a 2 + b 2 = 1

2
z.z = z = 1  a, b   −1;1

z = 1

z
Do đó biến đổi P , ta được:
1
1

P = z ( z − 1) + z  z + 1 +  = z − 1 + z + 1 +
z
z

= z −1 + z + 1 + z =

( a − 1)

2

+ b 2 + 2a + 1

C.

13
4

D. 5


= 2 (1 − a ) + 2a + 1

Khảo sát hàm f ( a ) = 2 (1 − a ) + 2a + 1 trên đoạn  −1;1 ta được max P =
Câu 21 (Toán Học Tuổi Trẻ): Cho số phức z = a + bi

13
7
a= .
4
8

(trong đó a, b là các số thực) thỏa

mãn 3z − (4 + 5i) z = −17 + 11i . Tính ab
A. 6

B. -3

C. 3

D. -6

Đáp án A

Có 3z − (4 + 5i) z = −17 + 11i
 3(a + bi ) − (4 + 5i )(a − bi ) = −17 + 11i
 a + 5b + (5a − 7b)i = 17 − 11i
a + 5b = 17
a = 2


 ab = 6
5a − 7b = −11 b = 3

Câu 22 (Toán Học Tuổi Trẻ) Tổng các nghiệm phức của phương trình z 3 + z 2 − 2 = 0 là
A. 1

B. -1

C. 1 − i

D. 1 + i

Đáp án B
Phương trình: z 3 + z 2 − 2 = 0
 ( z − 1)( z 2 + 2 z + 2) = 0
z = 1
z = 1
 2
  z = −1 + i
 z + 2z + 2 = 0
 z = −1 − i

Tổng các nghiệm phức của phương trình đã cho là z1 + z2 + z3 = 1 − 1 + i − 1 − i = −1

Câu 23: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trên mặt phẳng phức tập hợp các số phức z = x + yi thỏa
mãn z + 2 − i = z − 3i là đường thẳng có phương trình
A. y = x + 1
Đáp án D

B. y = − x + 1

C. y = − x − 1

D. y = x − 1


z + 2 + i = z − 3i
 ( x + 2) + ( y + 1)i = x − ( y + 3)i
 ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = x 2 + ( y + 3) 2
 y = x −1

Câu 24: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M và m lần
2

2

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 − z − 1 . Tính mô đun của
số phức  = M + mi
A.  = 1258

C.  = 2 314

B.  = 3 137

Đáp án A
Đặt z = x + yi
Có z − 3 − 4i = 5  x − 3 + ( y − 4)i = 5

 ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 5
 ( x − 3) 2 = 5 − ( y − 4) 2
 x = 3 + 5 − ( y − 4) 2


2
 x = 3 − 5 − ( y − 4)
2

2

2

2

P = z + 2 − z − i = ( x + 2) + yi − x + ( y − 1)i = 4 x + 2 y + 3
TH1: x = 3 + 5 − ( y − 4)2
 P = 4 − y 2 + 8 y − 11 + 2 y + 15

Xét hàm số:
Có f '( y) =

f '( y ) = 0 

f ( y) = 4 − y 2 + 8 y − 11 + 2 y + 15 trên  4 − 5; 4 + 5 

−4 y + 16
− y + 8 y − 11
2

+2

−4 y + 16
− y 2 + 8 y − 11

+2=0

 −2 y + 8 = − y 2 + 8 y − 11
y = 5
 y 2 − 8 y + 15 = 0  
y = 3

D.  = 2 309


Ta có: f (4 − 5) = 23 − 2 5

f (4 + 5) = 23 + 2 5
f (5) = 33
f (3) = 29
TH2: x = 3 − 5 − ( y − 4)2
 P = −4 − y 2 + 8 y − 11 + 2 y + 15

Xét hàm số: f ( y) = −4 − y 2 + 8 y − 11 + 2 y + 15 trên  4 − 5; 4 + 5 
Có f '( y) =

f '( y ) = 0 

4 y − 16
− y 2 + 8 y − 11

+2

4 y − 16
− y + 8 y − 11
2

+2=0

 2 y − 8 = − y 2 + 8 y − 11
y = 5
 y 2 − 8 y + 15 = 0  
y = 3
Ta có: f (4 − 5) = 23 − 2 5

f (4 + 5) = 23 + 2 5
f (5) = 23
f (3) = 13

 M = max P = 33
m = min P = 13
  = 33 + 13i   = 1258
Câu 25

(Toán Học Tuổi Trẻ) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:

z- 1
z - 3i
=
= 1?
z- i
z+ i
A. 0
Đáp án B

B. 1

C. 2

D. 4


Gọi A1,A2 là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 (z1 ¹ z2 ) thì tập hợp những điểm M biểu diễn
số phức z thỏa mãn

z - z1
= 1 là đường trung trực của đoạn thẳng A1 A2 . Tìm ra z = 1+ i
z - z2

Câu 26 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho các số phức z1 , z2 với z1 ¹ 0 . Tập hợp các điểm biểu
diễn số phức w = z1.z + z2 là đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1. Tập hợp các
điểm biểu diễn số phức z là đường nào sau đây?
A. đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng z1

z2
1

, bán kính bằng
z1
z1

B. đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức -

C. đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng

D. đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức

1
z1

z2
1
, bán kính bằng
z1
z1

Đáp án B
Ta có

w = 1 Û z1.z + z2 = 1
æ z ö
z
1
÷
Û z1 çççz + 2 ÷
= 1Û z + 2 =
÷

÷
z1 ø
z1
z1
è

Câu 27

(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho số phức z = a + bi ( a, b 

()

 = z2 + z

2

(

)

và xét hai số phức

)

và  = 2.z.z + i z − z . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. α là số thực, β là số thực.

B. α là số ảo, β là số thực.

C. α là số thực, β là số ảo.

D. α là số ảo, β là số ảo.

Đáp án A

 = 2 ( a 2 − b 2 )  ,  = 2 ( a 2 + b 2 ) − 2b 


Câu 28 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho số phức z = a + bi ( a, b 
a + ( b − 1) i =

)

thỏa mãn

1 + 3i
Giá trị nào dưới đây là mô đun của z?
1 − 2i

A. 5.

C. 10.

B. 1.

D.

5.

Đáp án D
a + bi =

1 + 3i
3 + 4i
+i =
= −1 + 2i .
1 − 2i
1 − 2i

Từ đó ta có a = −1, b = 2  z = 5 .
Câu 29 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
z0 , z1 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z02 + z12 = z0 .z1 . Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác
gì?

(O là gốc tọa độ)? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

A. cân tại O.

B. Vuông cân tại O.

C. đều.

D. Vuông tại O.

Đáp án C
Với z0  0 ta có z02 + z12 = z0 z1  z12 = z0 ( z1 − z0 )
 z1

2

z
= z0 z1 − z0  z1 − z0 = 1
z0

2

(1)

Với z1  0 , ta có z02 + z12 = z0 z1  z12 = z0 ( z1 − z0 )
 z0

2

z
= z1 z0 − z1  z0 − z1 = 0
z1

2

(2)

2

z
z
Từ (1), (2), ta có z0 − z1 = 1 = 0
z0
z1

2

 z0 = z1 = z1 − z0  OA = OB = AB  OAB là tam giác đều.
Câu 30: (Toán Học Tuổi Trẻ)Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z +i
P=
, với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z  2 . Tính 2M − m .
z
A. 2M − m =
Đáp án B

3
.
2

B. 2M − m =

5
.
2

C. 2M − m = 10.

D. 2M − m = 6.


Ta có P =

i
z +i

i
i
i
1
1
= 1 + và 1 −  1 +  1 +
nên 1 −  P  1 +
z
z
z
z
z
z
z

Do z  2 

1
1
1 3
 1−  P  1+ 
2
z
z 2

3 1 5
Từ đó 2 M − m = 2   − = .
2 2 2