(GV ĐẶNG VIỆT ĐỘNG) 51 câu số PHỨC image marked image marked

0
i
2
2018
+ iC2018
+ i 2C2018
+ ... + i 2018C2018
Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm z biết C2018
.

B. 21009

A. 22018

D. 21008

C. 22017

Đáp án A.
Ta có z = (1 + i )

2018

1009

2
= (1 + i ) 



= ( 2i )

1009

= 21009.i1009 = 2 2019 i

 z = 02 + ( 21009 ) = 21009 .
2

Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 2 . Tìm z lớn
nhất.
A.

5

B.

5+2

C.

5−2

D.

5+4

Đáp án B.
Đặt z = x + yi

( x, y  )

 z − 1 + 2i = 2  x + yi − 1 + 2i = 2  ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4
2

2

 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (1; −2 ) bán kính R = 2 .

 z max = OI + R = 12 + 22 + 2 = 2 + 5 .

Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai số phức z1 = 2 − 3i; z2 = 1 + i thì z1 + z2 là:
A. 13

B.

5

C.

D. 10

2

Đáp án A.
z1 + z2 = 3 − 2i  z1 + z2 = 3 − 2i = 13 .

Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

z − 2 + 3i = 7 là
A. Đường thẳng.

C. Đường tròn.

B. Elip.

D. Hình tròn.

Đáp án C
Giả sử z = x + yi, ( x, y 

) . Khi đó điểm biểu diễn số phức z là

M ( x; y ) .

Từ giả thiết, ta có z − 2 + 3i = 7  ( x − 2 ) + ( y + 3) i = 7



( x − 2) + ( y + 3)
2

2

= 7  ( x − 2 ) + ( y + 3) = 49 .
2

Vậy tập hợp các điểm

( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 3)
2

2

2

M ( x; y ) biểu diễn số phức

z = z + yi

là đường tròn

= 49 có tâm I ( 2; −3) , bán kính R = 7 .

Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm số phức z thỏa mãn (1 + 2i )( z −1) − 5 + 2i = 0


A. z =

12 6
− i.
5 5

B. z =

6 12
+ i.
5 5

C. z =

6 12
− i.
5 5

D. z =

1 12
− i.
5 5

Đáp án C
Cách 1: Tư duy tự luận
Giả sử z = a + bi, (a, b  ) .
Giả thiết tương đương với (1 + 2i ) ( a − 1) + bi  = 5 − 2i

6

a=

a − 2b − 1 = 5
a − 2b = 6

5


 ( a −1 − 2b ) + ( 2a + b − 2) i = 5 − 2i  
2
a
+
b

−
2
=
2
2
a
+
b
=
0


b = − 12

5
Vậy z =

6 12
− i.
5 5

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

(1 + 2i )( z − 1) − 5 + 2i = 0  z =

5 − 2i
6 12
+1 = − i .
1 + 2i
5 5

Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho z1 , z2 là hai số phức thảo mãn 2 z − i = 2 + iz ,
biết z1 − z2 = 1. Tính giá trị của biểu thức P = z1 + z2
A. P =

3
.
2

2
.
2

C. P =

B. P = 2 .

D. P = 3 .

Đáp án D
Giả sử z = x + yi, ( x, y 

) . Từ giả thiết ta có 2 ( x + yi ) − i

= 2 + i ( x + yi )

 2 x + ( 2 y − 1) i = 2 − y + xi  4 x 2 + ( 2 y − 1) = ( y − 2 ) + x 2  x 2 + y 2 = 1 . Suy ra tập hợp
2

2

các điểm A, B biểu diễn hai số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O ( 0;0 ) , bán kính

R = 1 = OA = OB .

) . Khi đó A ( a1; b1 ) , B ( a2 ; b2 ) .

Giả sử z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i , ( a1 , a2 , b1 , b2 
Từ giả thiết z1 − z2 = 1 ta được:

( a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) i

=1

( a1 − a2 ) + (b1 − b2 )
2

2

Từ đó OA = OB = AB  OAB đều cạnh bằng 1.

= 1  AB = 1 .


AB 3
3
 a +b a +b 
=
Gọi M là trung điểm AB thì M  1 1 ; 2 2  và OM =
.

2
2
2 
 2
Khi đó P = z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i =

( a1 + a2 ) + (b1 + b2 )
2

2

3
 a +a  b +b 
= 2  1 2  +  1 2  = 2OM = 2.
= 3.
2
 2   2 
2

2

Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai đường tròn ( O1;5) và ( O2 ;3) cắt nhau tại
hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn ( O2 ) .
Gọi ( D ) là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài
đường tròn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ). Quay ( D ) quanh trục

O1O2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay
được tạo thành
A. V =

14
.
3

B. V =

68
.
3

C. V =

40
.
3

D. V = 36 .

Đáp án C
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với O3  O, O2C  Ox, O2 A  Oy.
Ta có O1O2 = O1 A2 − O2 A2 = 52 − 32 = 4  O1 ( −4;0 ) .
Phương trình đường tròn ( O1 ) : ( x + 4 ) + y 2 = 25.
2

Phương trình đường tròn ( O2 ) : x2 + y 2 = 9.
Kí hiệu ( H1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường ( O1 ) : ( x + 4 ) + y 2 = 25, trục Oy: x = 0
2

khi x  0 .
Kí hiệu ( H 2 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường ( O2 ) : x2 + y 2 = 9, trục Oy: x = 0 khi

x0.
Khi đó thể tích V cần tìm chíình bằng thể tích

V2

khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H 2 )

xung

quanh trục Ox (thể tích nửa khối cầu bán kính
trừ đi thể tích V1 của khối tròn xoay thu được

bằng 3)
khi quay

hình ( H1 ) xung quanh trục Ox.
Ta

có

1 4
V2 = . 33 = 18
2 3

(đvtt);

của

14
2
(đvtt).
V1 =  y 2 dx =   25 − ( x + 4 )  dx =


3
1

1

0

0

Vậy V = V2 − V1 = 18 −

14 40
=
(đvtt).
3
3

1
= 3 . Tổng giá trị
z

Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thảo mãn z +
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là
A. 0.

B. 3.

D. 13 .

C. 2.

Đáp án D

(

)(

)

2
z2 +1 z 2 +1
1
1
1 
1

= 9   z +  z +  = 9 
=9
Ta có z + = 3  z +
z
z
z 
z
z.z



 z 2 .z 2 + z 2 + z 2 + 1 = 9 zz = 9 z  z + ( z + z ) − 2 z + 1 = 9 z
2

2

4

2

2

Do ( z + z )  0 nên − z + 11 z − 1  0  z − 11 z + 1  0
2



4

2

4

2

11 − 3 13
11 + 3 13
−3 + 13
3 + 13

2
 z 

 z 
.
2
2
2
2

Vậy max z + min z =

−3 + 13 3 + 13
+
= 13 .
2
2

Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình lăng trụ
có diện tích đáy bằng 5 (đvdt) và hai đáy là hai tam giác nằm trên hai mặt phẳng (  ) , ( ) có
phương

trình

lần

() : 3x − 6 y + 9z + b = 0(a, b 

lượt
+

(  ) : x − 2 y + 3z − a = 0

là

, b  3a) . Hỏi nếu thể tích khối lăng trụ bằng 5 14 thì

khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3a + b = 14 .

B. a +

b
= 42 .
3

C. 3a + b = 14 .

D. a +

b
= 14 .
3

Đáp án D
Ta có (  ) : x − 2 y + 3z − a = 0  3x − 6 y + 9 z − 3a = 0.
Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ, do (  ) / / () nên h = d ( (  ) ; ( ) ) =
Ta có V = S .h  5 14 = 5.

b + 3a

3 14

và

= 3a + b = 42  a +

b
= 14 .
3

b + 3a
3 14

.


Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn ( 2 + i ) z = 7 − 3i . Tính
tổng phần thực và phần ảo của số phức z .
A.

11
5

B.

13
5

C.

24
5

D. −

12
5

Đáp án C.
z=

7 − 3i 11 13
11 13
= − iz= + i
2+i
5 5
5 5

Vậy tổng của các phần thực và phần ảo của z là:

11 13 24
+ =
.
5 5
5

Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho phương trình 4 x 4 − x 2 − 3 = 0 trên tập số
phức. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương trình có 2 nghiệm phức.

B. Phương trình có 3 nghiệm phức.

C. Phương trình có 4 nghiệm phức.
phức.

D. Phương trình không có nghiệm

Đáp án C.

t = 1
3i
 z = 1, z = 
Đặt t = z  Phương trình: 4t − t − 3 = 0  
3
t = −
2

4
2

2

Câu 12:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm

M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi, x, y 

thỏa mãn z = z − 1 + 2i là

A. Đường thẳng có phương trình 2 x + 4 y + 5 = 0
B. Đường thẳng có phương trình 2 x + 4 y − 5 = 0

C. Đường thẳng có phương trình ( x − 1) + ( y − 2 ) = 1
2

2

D. Đường thẳng có phương trình 2 x − 4 y + 5 = 0
Đáp án B.
z = x + yi; x, y 

 x + yi = ( x − 1) + ( 2 − y ) i

 x 2 + y 2 = ( x − 1) + ( 2 − y )  −2 x − 4 y + 5 = 0
2

2

Câu 13:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và

z1 − z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của P = z1 + z2 .
A. P = 5 + 3 5

P = 34 + 3 2

B. P = 2 26

C. P = 4 6

D.

Đáp án B.
Đặt OA = z1 , OB = z2 , O là gốc tọa độ, A và B là hai điểm biểu diễn của z1 , z2
Dựng hình bình hành OACB, khi đó AB = z1 − z2 = 2

OC = z1 + z2 = 10  OM = 5
OM =
2

2 ( OA2 + OB 2 ) − AB 2

(

4

Ta có: z1  z2  2 z1 + z2
2

2

) =2

 OA2 + OB 2 = 52  z1 + z2 = 52
2

2

26  Pmax = 2 26

Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là
điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây ?

A. z = 1 − 3i.
B. z = −3 + i
C. z = 1 + 3i.
D. z = −3 − i.
Đáp án A.
Câu 15:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương
trình 9 z 2 + 6 z + 4 = 0 . Giá trị của biểu thức

A.

4
.
3

B. 3.

1
1
bằng
+
z1 z2
C.

3
.
2

D.

9

.
2

Đáp án B.
Cách 1 Ta có 9 z 2 + 6 z + 4 = 0  ( 3 z + 1) = −3  z =
2

Do vậy, ta có z1 = z2 =

−1 − i 3
−1 + i 3
hoặc z =
.
3
3

−1 + i 3 2
1
1
3 3
= 
+
= + =3
3
3
z1
z2 2 2

Cách 2 Sử dụng máy tính Casio.

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính đúng mo6dun nhưng lại tính sai


1
1 2 2 4
+
= + = .
z1 z2 3 3 3
Phương án C: Sai do HS giải sai nghiệm của phương trình. Cụ thể:
9z2 + 6z + 4 = 0  z =

Suy ra z1 = z2 =

−6  6 3i −2  2 3i
=
.
9
3

−2 + 2 3i 4
1
1
3 3 3
= 
+
= + = .
3
3
z1

z2 4 4 2

Phương án D: Sai do HS giải đúng nghiệm nhưng tính sai môđun. Cụ thể:
2

2
4
1
1 9
1  3 
z1 = z2 =   + 
+
= .
 = 
z1 z2 2
3  3  9

Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho z là số phức thỏa mãn điều kiện

( 2z −1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i ) = 2 − 2i . Tính tổng bình phương phần thực và

phần ảo của số

phức w = 9 z 2 + 6 z + 1.
A. 25.

B. 1.

C. 49.

D. 41.

Đáp án A.
Đặt z = a + bi , ( a, b 

) . Suy ra z = a − bi .

(

)

Ta có ( 2z − 1)(1+ i ) + z + 1 (1− i ) = 2 − 2i

 ( 2a − 1) + 2bi  (1 + i ) +  a + 1 − bi  (1 − i ) = 2 − 2i
 ( 3a − 3b) + ( a + b − 2) i = 2 − 2i

3a − 3b = 2
1
1

 a = ,b = − .
3
3
a + b − 2 = −2
Suy ra z =

1 1
2
2
− i . Do đó w = ( 3z + 1) = ( 2 − i ) = 3 − 4i .

3 3

Số phức w có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng –4 nên tổng bình phương phần thực và phần
ảo của w là 32 + ( −4) = 25.
2

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS hiểu sai tổng bình phương của phần thực và phần ảo là

(3 + ( −4))

2

= 1.

Phương án C: Sai do HS xác định sai phần ảo và hiểu sai về tổng bình phương. Cụ thể: HS
xác định được w có phần ảo bằng 4 và tổng bình phương của phần thực và phần ảo là

( 3 + 4)

2

= 49.


Phương án D: Sai do HS biến đổi sai w = ( 3z + 1) = ( 2 − i ) = 5 − 4i . Do đó tính được kết quả
2

2

52 + ( −4) = 41.
2

Câu 17:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho các số phức z1 và z2 thỏa mãn điều kiện
z1 = z2 =

3
z
z1 + z2 = 1 . Giả sử 1 = a + bi , với a, b 
3
z2

và b  0 . Tính giá trị của biểu

thức P = 22a − 6 3b + 2018 .
B. P = 8 3 + 2018.

A. P = 2038.

C. P = 2020.

D. P =

4049
2

Đáp án C.
Giả sử z1 = a1 + bi
1 ; z2 = a2 + b2i , ( a1, a2 , b1, b2 

).

Ta có +) z1 = z2 = 1  a12 + b12 = a22 + b22 = 1.
+) z1 + z2 = 3  ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = 3
2

2

1
Kết hợp với kết quả trên ta suy ra được a1a2 + b1b2 = .
2

(

)(

)

Mặt khác ( a1a2 + b1b2 ) + ( a1b2 − a2b1 ) = a12 + b12 a22 + b22 = 1nên
2

2

a1b2 − a2b1 = 

Lại có

3
.
2

z1 z1.z2
1
3
=
= z1.z2 = ( a1a2 + b1b2 ) + ( b1a2 − b2a1 ) i = 
i.
2
z2
2 2
z2

1
3
. Do đó P = 2020.
Theo giả thiết ta có a = ; b =
2
2

Phân tích phương án nhiễu.
3
nên P = 2038.
2

Phương án A: Sai do HS xác định sai b = −
Phương án C: Sai do HS xác định nhầm a =
Phương án D: Sai do HS xác định sai b =

1
3

và b = nên P = 8 3 + 2018.
2
2

4049
3
.
nên P =
2
4

Câu 18:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 1 − i . Kết luận
nào sau đây là sai?
A.

z1
=i.
z2

B. z1 − z2 = 2 .

C. z1 + z2 = 2 .

D. z1 z2 = 2 .


Đáp án B.
1+ i)
(
z1 1 + i

1 + 2i + i 2 2i
=
=
=
= = i . Vậy A đúng.
* Phương án A:
z2 1 − i (1 − i )(1 + i )
1− i2
2
2

* Phương án B: z1 − z2 = (1 + i ) − (1 − i ) = 0 + 2i = 02 + 22 = 2 . Vậy B sai.
* Phương án C: z1 + z2 = (1 + i ) + (1 − i ) = 2 . Vậy C đúng.
* Phương án D: z1 z2 = (1 + i )(1 − i ) = 1 − i 2 = 2 + 0i = 22 + 02 = 2 . Vậy D đúng
Câu 19:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính mô-đun của số phức z thỏa mãn

(1 + i ) z + ( 3 − i ) z = 2 − 6i
C. z = 5 .

B. z = 15 .

A. z = 13 .

D. z = 3 .

Đáp án A.
Gọi z = x + yi, ( x, y 

) → z = x − yi .

Từ giả thiết ta có (1 + i )( x + yi ) + ( 3 − i )( x − yi ) = 2 − 6i

 x − y + ( x + y ) i + 3x − y − ( x + 3 y ) i = 2 − 6i  ( 4x − 2 y ) − 2 y.i = 2 − 6i
4 x − 2 y = 2
x = 2


→ z = 2 + 3i → z = 22 + 32 = 13
 −2 y = −6
y = 3

Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong các số phức z thỏa mãn
z + 4 − 3i + z − 8 − 5i = 2 38 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z − 2 − 4i .
1
.
2

A.

B.

5
.
2

C. 2.

D. 1.

Đáp án D.

Đặt z = x + yi, ( x, y 
Từ giả thiết ta có:



).

( x + 4 ) + ( y − 3) i + ( x − 8 ) + ( y − 5 ) i

( x + 4) + ( y − 3)
2

2

+

( x − 8) + ( y − 5)
2

2

= 2 38

= 2 38 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

1.

( x + 4 ) + ( y − 3)



(1

2

2

2

+ 1.

( x − 8) + ( y − 5)
2

2



2
2
2
2
+ 12 ) ( x + 4 ) + ( y − 3) + ( x − 8 ) + ( y − 5 )  = 2 x 2 − 4 + y 2 − 8 y + 57



 38 

( x − 2) + ( y − 4)
2

2

+ 37  ( x − 2 ) + ( y − 4 )  1 .
2

2


Lại có z − 2 − 4i = ( x − 2 ) + ( y − 4 ) i =

( x − 2) + ( y − 4)
2

2

 1 =1.

Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho các số phức z thỏa mãn z − i = z − 1 + 2i .
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = ( 2 − i ) z + 1 trên mặt phẳng tọa độ là một đường
thẳng. Phương trình đường thẳng đó là
C. x + 7 y + 9 = 0 .

B. x + 7 y − 9 = 0 .

A. x − 7 y − 9 = 0 .

D. x − 7 y + 9 = 0 .

Đáp án C.
Giả sử w = x + yi, ( x, y 
Từ w = ( 2 − i ) z + 1  z =

).
( x − 1) + yi
2−i

( x − 1) + yi  ( 2 + i ) 2 x − y − 2 x + 2 y − 1
z=
=
+
i.
5
5
( 2 − i )( 2 + i )
Từ z − i = z − 1 + 2i 



2x − y − 2 x + 2 y − 6
2x − y − 7 x + 2 y + 9
+
i =
+
i
5
5
5

5

( 2 x − y − 2) + ( x + 2 y − 6)
2

2

=

( 2x − y − 7 ) + ( x + 2 y + 9)
2

2

 5x 2 + 5 y 2 − 20 x − 20 y + 40 = 5x 2 + 5 y 2 − 10 x + 50 y + 130  x + 7 y + 9 = 0 .
Câu 22:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Phần thực của số phức z = ( 2 − i ) bằng:
2

B. −1

A. 3

C. 2

D. 5

Đáp án A.
Ta có z = ( 2 − i ) = 4 − 4i + i 2 = 3 − 4i có phần thực bằng 3.
2

Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z =

m +1
,(m 
1 + m ( 2i − 1)

) . Số các giá

trị nguyên của m để z − i  1 là
A. 0

B. 1

C. 4

Đáp án A.
Ta có z − i =

m + 1 − i (1 + 2mi − m ) 3m + 1 + ( m − 1) i
m +1
−i =
=
1 + m ( 2i − 1)
1 + m ( 2i − 1)
1 − m + 2mi

D. Vô số


 z −i =

3m + 1 + ( m − 1) i 3m + 1 + ( m − 1) i
=
1
1 − m + 2mi
1 − m + 2mi

 3m + 1 + ( m − 1) i  1 − m + 2mi  ( 3m + 1) + ( m − 1)  (1 − m ) + 4m2
2

2

 5m 2 + 6m + 1  0  ( m + 1)( 5m + 1)  0  −1  m  −

2

1
5

Vì m  Không có giá trị của m thỏa mãn.
Câu 24:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết số phức z thỏa mãn điều kiện

3  z − 3i + 1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của
hình phẳng đó bằng
B. 4

A. 16

C. 9

D. 25

Đáp án A.
Đặt z = x + yi, ( x, y 

).

Ta

có

z − 3i − 1 = ( x − 1) + ( y − 3) i =

( x −1) + ( y − 3)
2

Do

2

đó

3  z − 3i + 1  5  9  ( x − 1) + ( y − 3)  25.
2

2

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình

phẳng

nằm

trong đường tròn tâm I (1;3) bán kính R = 5 đồng

thời

nằm

ngoài đường tròn tâm I (1;3) bán kính r = 3 .
Diện tích của hình phẳng đó (phần tô màu) là S = .52 − .32 = 16 (đvdt).
Câu 25:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho A, B, C lần lượt là 3 điểm biểu diễn các số
2 + 6i
−4i
phức z1 =
; z2 = (1 + i)(1 + 2i) ; z3 =
. Biết A, B, C tạo thành một tam giác, diện tích
1− i
3−i
của tam giác đó là:
A. S = 10.

B. S = 5.

C. S = 5 2 .

Đáp án B.
Ta có

−4i

= 2 − 2i  A ( 2; −2 )
1− i

(1 − i )(1 + 2i ) = 3 + i  B ( 3;1) ;

2 + 6i
= 2i  C ( 0; 2 )
3−i

 AB = 10, AC = 20, BC = 10  AC 2 = AB 2 + BC 2
 Tam giác vuông cân tại B  S ABC =

1
BA.BC = 5
2

D. S = 10 2 .


Câu 26:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho z1 , z2 là nghiệm phương trình

6 − 3i + iz = 2 z − 6 − 9i và thỏa mãn z1 − z2 =
A.

56
.
5

B.

8
. Tìm giá trị lớn nhất cảu z1 + z2 .
5

28
.
5

C. 6.

D. 5.

Đáp án A.
; z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i

Đặt z = x + yi với x, y 

+ 6 − 3i + iz = 2 z − 6 + 9i  x2 + y 2 − 6 x + 8 y + 24 = 0  Tập hợp điểm điểm biểu diễn z là
đường tròn (C) tâm I ( 3;4 ) và bán kính R = 1 .
+ Có z1 − z2 =

( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2

2

= M1M 2 với M1 ( x1; y1 ) là điểm biểu diễn số phức z1

, M 2 ( x2 ; y2 ) là điểm biểu diễn số phức z2
 M 1M 2 =

8
( M 1 , M 2 thuộc đường trong ( C ) )
5

+ z1 + z2 =

( x1 + x2 ) ( y1 + y2 )
2

2

= OM1 + OM 2 = 2 OH

với H là

trung điểm của M 1 ; M 2 (hình vẽ)

 z1 + z2 max  OH max mà OH  OI + IH
2

 OH max

28
56
8
= OI + IH = 5 + IH = 5 + 1 −   =
 z1 + z2 max = 2OH max =
5
5

 10 

Câu 27:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 và z 2
là số thuần ảo?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

Đáp án D.
Đặt z = x + yi , x, y 

 z = 2  x 2 + y 2 = 2 (1)

 x 2 − y 2 = 0 (2)
z 2 = x 2 − y 2 + 2 xyi là số thuần ảo  
 xy  0
 x 2 + y 2 = 2
Từ (1) và (2) ta có hệ  2
(ĐK: xy  0 )
2
 x − y = 0

D. 4.


 x = 1

 y = 1

 x = 1


x
=
1

2 x 2 = 2
  y = −1

x
=
−
1
 2


 Có 4 số phức z thỏa mãn.


2
x
=
−
1

 x − y = 0
 2

y =1

  y = 1

  x = −1
  y = −1


(

Câu 28:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn z = i + 2

) (1 − 2i ) .
2

Tìm phần ảo của số phức z.
B. ‒2

A. 2

C. − 2

D.

2

Đáp án C.
Câu 29:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn tập hợp z − 1 = 3 . Biết
rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w với ( 3 − 2i ) w = iz + 2 là một đường tròn. Tìm tọa
độ tâm I và bán kính r của đường tròn đó.

3

8 1
A. I  ;  , r =
13
 13 13 

B. I ( −2;3) , r = 13

3
4 7
C. I  ;  , r =
13
 13 13 

D.

2 1
I  ;− ,r = 3
3 2
Đáp án B.
Phương trình có các nghiệm z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i
 Tổng môđun các nghiệm T = 1 + 3 + 13 = 4 + 13

Câu 30:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn tập hợp z − 1 = 3 . Biết
rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w với ( 3 − 2i ) w = iz + 2 là một đường tròn. Tìm tọa
độ tâm I và bán kính r của đường tròn đó.

3
8 1
A. I  ;  , r =
13

 13 13 

B. I ( −2;3) , r = 13

3
4 7
C. I  ;  , r =
13
 13 13 

2 1
D. I  ; −  , r = 3
3 2

Đáp án C.
Từ giả thiết  w =

i
2
6 4
 2 3 
z+
= − + i z + + i
3 − 2i
3 − 2i  13 13  13 13


4 7
 2 3 
 w =  − + i  ( z − 1) + + i

13 13
 13 13 
2 3
1
3
4 7 
 w −  + i  = − + i . z −1 =
.3 =
13 13
13
13
 13 13 
3
4 7
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w thuộc đường tròn tâm I  ;  , bán kính r =
.
13
 13 13 

Câu 31:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 4 + z + 4 = 10 . Giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là:
A. 10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3

D. 5 và 3

Đáp án D.

Giả sử z = a + bi, a, b 
Ta có 10 = z + 4 + z − 4  z + 4 + z − 4 = 2 z  z  5
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(

100 = ( z + 4 .1 + z − 4 .1)  2 z − 4 + z + 4
2

2

2

)

 ( a + 4 ) + b 2 + ( a − 4 ) + b 2  50  a 2 + b 2  9  z  3
2

2

Vậy max z = 5, min z = 3 .

1
3
i. Tính z .
Câu 32:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho z = − +
2 2
A.

3 −1

.
2

B.

3 +1
.
2

C. 1.

3
D. .
4

Đáp án C.
2

2
1 3
 1  3
z =  −  + 
+ =1
 =
4 4
 2  2 

Câu 33:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa
mãn: z − i = z + 2 + 3i là:
A. Đường tròn

B. Đường thẳng AB với A ( 0;1) , B ( −2; −3) .
C. Đường trung trực của đoạn AB với A ( 0;1) , B ( −2; −3) .
D. Đường tròn đường kính với A ( 0;1) , B ( −2; −3) .


Đáp án C.
Đặt z = x + yi ( x; y 

 x2 + ( y − 1) =
2

)  z −i =

z + 2 + 3i  x + yi − i = x + yi + 2 + 3i

( x + 2 ) + ( y + 3)
2

2

 −2 y + 1 = 4 x + 6 y + 13

 4 x + 8 y + 12 = 0  x + 2 y + 3 = 0 là trung trực của đoạn AB.

Câu 34:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i = 4. Giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là:
A. 9 và 1.

B. 9 và 4.

C. 4 và 1.

D. 3 và

2.

Đáp án A.
Đặt z = x + yi ( x; y 

2
2
) . Từ giả thiết ta có: ( x − 3) + ( y + 4 ) = 16

 z  đường tròn tâm I ( 3; −4) , R = 4.

Viết phương trình đường thẳng  qua O,I cắt đường tròn tại A và B.
Từ đó ta có: max z = 9 vaf min z = 1 .
Câu 35:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z =

i−m
, m  . Tìm giá trị
1 − m ( m − 2i )

nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z − 1  k.
A.

3− 5
.
2

B.

1+ 5
.
2

C.

5 −1
.
2

D.

Đáp án C.
Ta có z =

z −1 =

i−m
−1
1− m + i
=
 z −1 =
2
−i + 2mi − m
i−m
m−i
2

1− m + i
m−i

Xét f ( m ) =

=

k  0
m 2 − 2m + 2

 z − 1  k   m 2 − 2m + 2
2
m +1
 k2

2
 m +1

3− 5
5 −1
m 2 − 2m + 2
k =
. Khảo sát  min f ( m ) =
2
2
2
m +1

Câu 36:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi z1 , z2 lần lượt có điểm biểu
diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy (hình bên). Khi đó số phức z =

1
4

4
5

A. z = − + i

3
2

1
2

B. z = − i

z1
là:
z2

5 +1
.
4


C. z = −

2 7
i
5 10

1 4
− i
10 5

D. z = − −

Đáp án C.

z1 = 3 + 2i; z2 = 2 − 4i


z1 3 + 2i ( 3 + 2i )( 2 + 4i ) −2 + 16i
1 4
=
=
=
=− + i
2
2
z2 2 − 4i
2 +4
20
10 5

Câu 37:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
Khi đó phần thực của số phức w =
A.

1

2

B. −

1 1
1
.
+ =
z1 z2 z1 + z2

z1
là:
z2

1
2

C.

3
2

D. −

3
2

Đáp án B.
Ta có

1 1
1
+ =
 z12 + z1 z2 + z22 = 0
z1 z2 z1 + z2

 z1
1
3
i
 =− +
z
2
2
 z1   z1 
z
1
2
   +   +1 = 0  
 Phần thực của số phức 1 là − .
z
z2
2
1
3
 z2   z2 
 1 =− −
i
2 2
 z2

2

Câu 38:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 2 = 2 và
z2 − 3i = z2 + 1 − 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 − z2 .

A.

−10 + 6 10
5

B.

10 + 6 10
5

C. 0

D.

12
10

Đáp án A.
Đặt z1 = x + yi; z2 = a + bi với x, y, a, b  . Ta có:
+ z1 + 2 = 2  x + 2 + yi = 2  ( x + 2 ) + y 2 = 4
2

 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 là điểm M ( x; y ) thuộc ( C ) có tâm I ( −2;0) và bán

kính R = 2

+ z2 − 3i = z2 + 1 − 6i  a + ( b − 3) i = ( a + 1) + ( b − 6 ) i
a 2 + ( b − 3) = ( a + 1) + ( b − 6 )  a − 3b + 14 = 0
2

2

2

 Điểm biểu diễn số phức z2 là N  d : x − 3 y + 14 = 0

+ Có


z1 − z2 = ( x − a ) + ( y − b ) i =

( x − a) + ( y − b)
2

2

= MN  z1 − z2 min = MN min

 Tìm M, N lần lượt thuộc ( C ) và d sao cho MNmin

Ta có d( I ,d ) =

12
 R  d không cắt ( C )
10

12
−10 + 6 10
−2=
5
10

 MN min = d( I ;d ) − R =

Câu 39:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm môđun của số phức z =
C. z = 29.

B. z = 3 2.

A. z = 3 3.

(

2 +i

) (1 − 2i ).
2

D. z = 24.

Đáp án A

(

)(

)

Ta có z = 1 + 2 2i 1 − 2i = 1 − 2i + 2 2i + 4 = 5 + 2i  z = 5 − 2i
 z = 25 + 2 = 27 = 3 3

Câu 40:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn
các số phức z thỏa mãn z − i = (1 + i ) z .
B. là đường tròn tâm ( 0; −1) , bán kính bằng 2.

A. là đường thẳng.
C. là đường tròn tâm ( 0; −1) , bán
kính bằng

2.

D. là elip

Đáp án C
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

 z − i = x 2 + ( y − 1)

2

và

(1 + i ) z = (1 + i )( x + yi ) = ( x − y ) + ( x + y )
2

2

nên

z − i = (1 + i ) z  x2 + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y )  x 2 + ( y − 1) = 2
2

2

2

2

Vậy quỹ tích là đường tròn tâm ( 0; −1) bán kính R = 2
Câu 41:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z =

i−m
, m  . . Tìm giá
1 − m ( m − 2i )

trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z − 1  k.
A.

5 +1
.
2

Đáp án D

B.

3− 5
.
2

C.

3+ 5
.
2

D.

5 −1
.
2


i−m
−1
1− m + i
=
 z −1 =
2
−i + 2mi − m
i−m
m−i

Ta có z =

z −1 =

2

1− m + i
m−i

k  0
m 2 − 2m + 2

 z − 1  k   m 2 − 2m + 2
2
m +1
 k2

2
 m +1

=

(
(

)

2 m2 − m − 1
m 2 − 2m + 2
 f '(m) =
Xét hàm số f ( m ) =
2
m2 + 1

m2 + 1

 f '(m) = 0  m =

)

1 5
.
2

 1+ 5  3 − 5
Lập bảng biến thiên ta có min f ( m ) = f 
 =
2
 2 
 Yêu cầu bài toán  k 2 

Vậy k =

3− 5
3− 5
5 −1
k
=
.
2
2
2

5 −1

.
2

Câu 42:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức

z = i ( 2 − i )( 3 + i ) . Khi đó a + b là:
A. 8.

C. 2 7.

B. 7.

D. 1 + 7.

Đáp án A

(

)

z = i ( 2 − i )( 3 + i ) = 2i − i 2 ( 3 + i ) = ( 2i + 1)( 3 + i ) = 7i + 2i 2 + 3 = 1 + 7i  a + b = 8.

Câu 43:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho 2 số phức z1 = 1 − i; z2 = 3 + 2i. Phần thực và
phần ảo của số phức z1 + z2 lần lượt là:
A. 4 và 1.

C. 5 và –1.

B. 5 và 1.

D. 4 và i.

Đáp án A.
Vì z1 + z2 = 4 + i nên chọn đáp án A.
Câu 44:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Giả sử z1 ; z2 là nghiệm của phương trình
z 2 + 4 z + 13 = 0. Giá trị của biểu thức A = z1 + z2
2

A. 18.

B. 20.

Đáp án C.
 z = −2 − 3i
Giải phương trình ta được  1
 z2 = −2 + 3i

2

là:

C. 26.

D. 22.


 z1 = z2 = 13  z1 + z2 = 26.
2

2

Câu 45:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z = 1 + i. Tính môđun của số phức
w=

z + 2i
.
z −1

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D.

2.

Đáp án D.
Ta có w =

z + 2i 1 − i + 2i 1 + i
=
=
= 1 − i  w = 2.
z −1 1 + i −1
i

1
3

i. Giá
Câu 46:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho a, b, c là các số thực và z = − +
2 2
trị của ( a + bz + cz 2 )( a + bz 2 + cz ) bằng
A. a + b + c.

B. a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca.

C. a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca.

D. 0.

Đáp án B.

1
3
i  z 3 = 1, z 2 + z + 1 = 0
Ta có z = − +
2 2

 ( a + bz + cz 2 )( a + bz 2 + cz )
= a 2 + b 2 + c 2 + ( ab + bc + ca ) z + ( ab + bc + ca ) z 2
= a 2 + b 2 + c 2 + ( ab + bc + ca ) ( z + z 2 )
= a 2 + b 2 + c 2 − ( ab + bc + ca ) .
Câu 47:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho A, B, C là ba điểm trong mặt phẳng phức
theo thứ tự biểu diễn các số phức 1 + 2i;7 + 10i; −3 + 5i . Tam giác ABC có diện tích là:
A. 25 5 .

B.

25 5
.
2

C. 50.

Đáp án D.
Ta có A (1;2) , B ( 7;10) , C ( −3;5) .
AB = 36 + 64 = 10; BC = 100 + 25 = 5 5; AC = 16 + 9 = 5 .

Ta thấy BC 2 = AB 2 + AC 2  ABC vuông tại A.
SABC =

1
1
AB. AC = .10.5 = 25 .
2
2

D. 25.


m − 1 + 2 ( m − 1) i
. Tất cả các giá
1 − mi
trị của tham số m để z là số thực thì m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

Câu 48:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z =

A. ( −3; 2 ) .

C. ( 6; + ) .

B. ( 0;6 ) .

D. ( −; −3) .

Đáp án A.

z=
=

m − 1 + 2 ( m − 1) i  m − 1 + 2 ( m − 1) i  1 + mi 
=
1 − mi
1 + m2

−2m2 + 3m − 1 m2 + m − 2
+
i.
1 + m2
1 + m2

 m =1
z là số thực  m2 + m − 2 = 0  
.
 m = −2

Câu 49:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính môđun của số phức w =
mãn:

z +i
, biết z thỏa
z −i

z − 11
= z − 3.
z+2

A. w = 1 .

B. w = 2.

C. w = 2.

D. w = 4.

Đáp án A.
Ta có

z − 11
= z − 3  z − 11 = ( z − 3)( z + 2 )  z 2 − 2 z + 5 = 0 .
z+2

 z = 1 − 2i
2
 ' = 1 − 5 = −4 = ( −2i )  Phương trình có 2 nghiệm phức 
.
 z = 1 + 2i

- Với z = 1 − 2i  w =

z + i 1 − 2i + 1 1 − i
=
=
= −i  w = 0 + 1 = 1 .
z − i 1 + 2i − i 1 + i

- Với z = 1 + 2i  w =

z + i 1 + 2i + i 1 + 3i
4 3
16 9
=
=
=− + i w =
+
=1.
5 5
25 25
z − i 1 − 2i − i 1 − 3i

Vậy cả 2 trường hợp thì w = 1 .
Câu 50:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm phần ảo của số phức w = ( 2 − i ) z với z thỏa
8

 2i 
mãn iz = 
 .
 1+ i 

A. 16.

B. 2.

C. 32.

Đáp án C.
2i (1 − i )
2i
8
2 4
4
 2i 
=
= 1+ i  
 = (1 + i ) = (1 + i )  = ( 2i ) = 16 .
i +1
2
1+ i 
8

Ta có

D. 18.


8

16

 2i 
 z = −16i  z = 16i .
Do đó iz = 
 ; iz = 16  z =
i
 1+ i 

Khi đó w = ( 2 − i ) .z = ( 2 − i ) .16i = 16 + 32i  phần ảo là 32.
Câu 51:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa

(

)

mãn: ( 2 − z ) z + i là số thuần ảo:
A. thuộc một đường tròn.

B. thuộc một đường thẳng.

C. thuộc một hình chữ nhật.

D. thuộc một elip.

Đáp án A.
Đặt z = x + yi ( x, y 

)  z = x − yi .

− x 2 − y 2 + 2 x + y = 0
Ta có ( 2 − z ) z + i là số thuần ảo  

 −x − 2 y + 2  0

(

)

2

1
5
2

x
−
1
+
y
−
=
(
)




2
4 .

 ( x; y )  ( 2;0 ) ; ( 0;1)


Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc một đường tròn