(GV ĐẶNG VIỆT ĐỘNG) 68 câu OXYZ image marked image marked

Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

a = ( 0;3; −1) , b = i + 2 j + 2k . Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai:
B. a − b = ( −1;1; −3)

A. a.b = 4

C. a + b = (1;5;1)

D. a = b

Đáp án D.

a = ( 0;3; −1)  a = 10

b = (1; 2; 2 )  b = 3 . Vậy D sai.
Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

( P ) : 2x − 5 y + z −1 = 0

và A (1;2; −1) . Đường thẳng Δ qua A và vuông góc với

( P)

có

phương trình là:

x = 2 + t

A.  y = −5 + 2t

z = 1− t


 x = 3 + 2t

B.  y = −3 − 5t
z = 1+ t


 x = 1 + 2t

C.  y = 2 − 5t
z = 1+ t


D.

 x = 3 − 2t

 y = −3 + 5t
 z = −t

Đáp án D.
Đường thẳng Δ qua A (1;2; −1) nhận nP ( 2; −5;1) làm vecto pháp tuyến

 x = 1 + 2t

  :  y = 2 − 5t trùng với đường thẳng
 z = −1 + t


 x = 3 − 2t

 y = −3 + 5t
 z = −t


Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm A và B biết
2

2

tiếp diện của ( S ) tại A và B vuông góc. Khi đó độ dài AB là:
A.

9
2

B. 3

C. 3 2

D.

3 2
2

Đáp án C.
Cắt mặt cầu và 2 tiếp diện bằng một mặt phẳng qua tâm và đường thẳng d. Thiết diện như
hình vẽ bên.
 ACIB là hình vuông (do IAC = IBC = ACB = 90 và IA = IB = IC = R = 3
)

 AB = 3 2


Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x − 2 y +1 z +1
x − 3 y +1 z + 3
=
=
=
=
thẳng d :
và  :
. Viết phương trình mặt phẳng ( P )
1
1
1
1
−2
2
chứa d và tạo với tam giác một góc 30 . có dạng x + ay + bz + c = 0 với a, b, c  khi đó giá
trị a + b + c là

B. ‒8

A. 8

C. 7

D. ‒7

Đáp án B.
- Gọi vecto pháp tuyến của ( P ) là n = ( a; b; c )  0
- d  ( P )  n.ud = 0  a + b − c = 0  c = a + b (1)
- Δ có vecto chỉ phương u = (1;1; 2 ) , góc giữa Δ và ( P ) là 30° nên
n.u

sin 30 =



n . u

Thế (1) vào (2) 

a + b + 2c
1
=
(2)
2
a 2 + b 2 + c 2 . 12 + 12 + 4

3 a+b

6. 2a 2 + 2b 2 + 2ab

=

1
2

 4.9 ( a 2 + b 2 + 2ab ) = 6 ( 2a 2 + 2b 2 + 2ab )

1

a=− b
b = −2a

 24a + 24b + 60ab = 0 
2 

 a = −2b
 a = −2
2

2

 ( P) : x − 2 y − z − 5 = 0 .
- Với b = −2a  c = a + b = −a . Chọn a = 1  n = (1; −2; −1)

 ( P) : x − 2 y − z − 5 = 0
- Với a = −2b  c = −b . Chọn b = 1  n = ( −2;1; −1)
 ( P ) : 2x − y + z − 2 = 0

Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 và điểm M (1; −2;13) . Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt
phẳng ( P )


A. d =

4
.
3

B. d =

7
.
3

C. d =

10
.
3

4
D. d = − .
3

Đáp án A
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) là:

d ( M ; ( P )) =

2.1 − 2 ( −2 ) − 13 + 3
22 + ( −2 ) + ( −1)
2

2

=

4
.
3

Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 2;1; −1) ,

B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3) và điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích khối tứ diện ABCD bằng
5. Tọa độ điểm D là
A. D ( 0; −7;0) .

B. D ( 0;8;0) .

 D (1; −7;0 )
C. 
.
 D ( 0;8;0 )

 D ( 0;7;0 )
D. 
.

 D ( 0; −8;0 )

Đáp án C
Điểm D  Oy nên D ( 0; y;0 ) . Suy ra AD = ( −2; y − 1;1) .
Ta có AB = (1; −1; 2 ) , AC = ( 0; −2; 4 )   AB, AC  = ( 0; −4; −2 ) .
Khi đó VABCD =

2 y −1
1
 . AD = 1 −4 y + 2 =
.
AB
,
AC

6
6
3

Từ giả thiết ta có VABCD = 5 

2 y −1
3

y = 8
=5 
. Vậy
 y = −7

 D ( 0; −7;0 )

.

 D ( 0;8;0 )

Tính tích có hướng  AB, AC  bằng MTCT:

Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có
phương trình là x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 9 = 0 . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu
A. I ( −1; 2;3) , R = 5 .

B. I (1; −2;3) , R = 5 .

C. I (1; −2;3) , R = 5 .

D. I ( −1;2; −3) , R = 5 .

Đáp án B


Mặt

cầu

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4 y − 6 z + 9 = 0

có

tâm

I (1; −2;3) ,

bán

kính

R = 12 + ( −2 ) + 32 − 9 = 5 .
2

Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt
phẳng có phương trình

( P ) : x − y + 4z − 2 = 0

và ( Q ) : 2 x − 2 z + 7 = 0 . Góc giữa hai mặt

phẳng ( P ) và ( Q ) là
A. 900 .

D. 300 .

C. 600 .

B. 450 .

Đáp án C
Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến là n( P ) = (1; −1; 4 ) . Mặt phẳng

( Q ) có vectơ pháp tuyến

là n( Q ) = ( 2;0; −2 ) .

Cách 1: Tư duy tự luận
Góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) được tính theo công thức:

)

(

(

)

cos ( P ) , ( Q ) = cos n( P ) , n( Q ) =

(

)

 cos ( P ) , ( Q ) =

1
. Vậy
2

n( P ) .n( Q )

1.2 + ( −1) .0 + 4. ( −2 )

=

12 + ( −1) + 42 . 22 + 02 + ( −2 )

2

n( P ) . n( Q )

2

(( P ) , (Q )) = 60 .
0

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Nhập vào máy tính các vectơ: VctA = 1; −2;4 , VctB =  2;0; −2 .

Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương
trình mặt cầu tâm I ( 3;2;4) và tiếp xúc với trục Oy
A. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8z + 3 = 0 .

B. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8z + 1 = 0 .

C. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8z + 2 = 0 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8z + 4 = 0 .

Đáp án D
Gọi M là hình chiếu của điểm I ( 3;2;4) trên Oy, suy ra M ( 0; 2;0 ) . Khi đó IM = ( −3;0; −4 ) .
Mặt cầu tâm I ( 3;2;4) tiếp xúc với trục Oy nên bán kính mặt cầu là R = IM = 5 .
Phương trình mặt cầu ( S ) là ( x − 3) + ( y − 2 ) + ( z − 4 ) = 25
2

2

2


 x2 + y 2 + z 2 − 6x − 4 y − 8z + 4 = 0 .
Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
x y z
phẳng ( P ) : + + = 1 . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của ( P ) ?
3 2 1
A. n = ( 6;3;2) .

B. n = ( 2;3;6) .

 1 1
C. n = 1; ;  .
 2 3

D. n = ( 3;2;1) .

Đáp án B
x y z
Ta có mặt phẳng ( P ) : + + = 1  2x + 2 y + 6z − 6 = 0 . Suy ra mặt phẳng
3 2 1

( P)

có vectơ

pháp tuyến là n = ( 2;3;6) .
Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
điểm A ( −2;0;0) , B ( 0;4;2 ) , C ( 2;2; −2 ) . Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt

phẳng

( ABC ) ,

S là điểm di động trên đường thẳng d, G và H lần lượt là trọng tâm của

ABC , trực tâm của SBC . Đường thẳng GH cắt đường thẳng d tại S ' . Tính tích SA.S ' A
A. SA.S ' A =

3
.
2

B. SA.S ' A =

9
.
2

C. SA.S ' A = 12 .

D. SA.S ' A = 6 .

Đáp án C
Nhận thấy AB = BC = CA = 2 6 nên ABC đều. Do G là trọng tâm của

CG ⊥ AB , mà CG ⊥ SA  CG ⊥ ( SAB )  CG ⊥ SB . Lại có CH ⊥ SB (H
là trực tâm của SBC ) nên SB ⊥ ( CHG ) . Suy ra SB ⊥ GH .
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có BC ⊥ SA, BC ⊥ AM  BC ⊥ ( SAM )  BC ⊥ GH .

Như vậy GH ⊥ ( SBC )  GH ⊥ SM hay S ' H ⊥ SM  SS ' H = SMA.
Suy ra AS ' G ∽ AMS 

AS ' AG
=
AM
AS
2

2
2  AB 3 
2  2 6. 3 
 AS '. AS = AM . AG = AM . AM = . 
 = . 
 = 12.
3
3  2 
3 
2 

‘

ABC nên


Câu 12( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

A ( 0;0;0) , B ( 0;1;1) , C (1;0;1) . Xét điểm D thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ diện ABCD là
một tứ diện đều. Kí hiệu D ( x0 ; y0 ; z0 ) là tọa độ của điểm D. Tổng x0 + y0 bằng
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án C.
Tính được AB = BC = CA = 2 .
Do D  ( Oxy )  D ( x0 ; y0 ;0)

 DA = 2

Yêu cầu bài toán  DA = DB = DC = 2   DB = 2

 DC = 2
 x2 + y 2 = 2
 x02 + y02 = 2
0
 0
 x0 = 1
2
2


  x02 + ( y0 − 1) + 1 = 2   x02 + ( y0 − 1) = 1  
 x0 + y0 = 2 .
y0 = 1




2
2
2
( x0 − 1) + y0 = 1
 ( x0 − 1) + y02 + 1 = 2


Câu 13( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương
trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2; −3) và

B ( 3; −1;1) ?
A.

x +1 y + 2 z − 3
=
=
2
−3
4

B.

x + 3 y −1 z +1
=
=
2
−3
4

C.

x −1 y − 2 z + 3
=
=
2
−3
4

D.

x +1 y + 2 z − 3
=
=
−2
3
−4

Đáp án C.
Đường thẳng AB đi qua điểm A (1; 2; −3) và có một VTCP là AB = ( 2; −3; 4 )
Do đó có phương trình

x −1 y − 2 z + 3
=
=
.
2
−3
4

Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A ( 2; −1;1) . Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy, Oz. Mặt
phẳng đi qua A và song song với ( MNP ) có phương trình:
A. − x + 2 y − 2 z − 2 = 0

B. x − 2 y + 2 z − 6 = 0

x + 2 y + 2z − 4 = 0

Đáp án B.
Ta có M ( 2;0;0) , N ( 0; −1;0) , P ( 0;0;1)

C. x − 2 y − z = 0

D.


 Phương trình mặt phẳng ( MNP ) :

x y z
− + = 1  x − 2 y + 2z − 2 = 0
2 1 1

Vậy phương trình mặt phẳng qua A và song song với ( MNP ) là:
x − 2 y + 2z − 6 = 0

Câu 15:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết

 x = −t


phương trình đường thẳng (  ) đi qua A ( 2;1; −1) và cắt cả hai đường thẳng d1 :  y = t và
 z = 2t

d2 :

x −1 y + 2 z + 3
=
=
.
3
4
5

x = 2 − t

A.  y = 1 − 3t
 z = −1 − 2t


x = 1+ t

B.  y = 2 − t
 z = 1 − 2t


 x = 2 − 3t

C.  y = 1 − t
 z = −1 − 2t



x = 2 − t

 y = 1 − 2t
 z = −1 − 3t

Đáp án A.
Gọi B =   d1  B ( −b; b;2b )

C =   d2  C (1 + 3c; −2 + 4c; −3 + 5c )
−b − 2 = 3kc − k
5


b = −
Vì A, B, C thẳng hàng  AB = k AC  b − 1 = 4kc − 3k  
4
2b + 1 = 5kc − 2k

c = 0

 AC = ( −1; −3; −2 )

x = 2 − t

Vậy phương trình đường thẳng (  ) :  y = 1 − 3t
 z = −1 − 2t


D.


Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A ( 2;11; −5) và mặt phẳng ( P ) : 2mx + ( m2 + 1) y + ( m 2 − 1) z − 10 = 0 . Biết rằng khi m thay

đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với ( P ) và cùng đi qua A. Tìm tổng bán kính của hai
mặt cầu đó.
A. 2 2

B. 5 2

C. 7 2

D. 12 2

Đáp án D.
Gọi I ( a; b; c ) , r lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu

( b − c ) m2 + 2ma + b − c − 10

 r = d ( I ; ( P )) =

(
(

(m

2

+ 1) 2

)
)

 b + c − r 2 m 2 + 2ma + b − c − r 2 − 10 = 0 (1)

 b + c + r 2 m 2 + 2ma + b − c + r 2 − 10 = 0 2
( )


- Xét phương trình (1):
Do ( P ) luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định với mọi m nên

b + c − r 2 = 0
b = r 2 + 5


 a = 0
 ( S ) : x2 + y − 5 − r 2
a = 0

c = −5
b − c − r 2 − 10 = 0


(

(

Do A  ( S )  4 + −11 − 5 − r 2

)

2

)

2

+ ( z + 5) = r 2
2

r = 2 2
= r 2  r 2 − 12 2r + 40 = 0  
 r = 10 2

- Xét phương trình (2): ta làm tương tự như trên  không thỏa đề bài.
Vậy tổng bán kính 2 mặt cầu là 12 2 .
Câu 17( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A ( 2; −1;1) và B (1;1;3) . Đường thẳng AB nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ
phương?
A. u1 = (1; −2; −2 ) .

B. u2 = ( 3;0; 4 ) .

C. u3 = ( −1;0; 2 ) .

D. u4 = ( −1; −2; 2 ) .

Đáp án A.
Đường thẳng AB nhận vectơ AB = ( −1;2;2) làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng
AB nhận vectơ u1 = − AB = (1; −2; −2) làm vectơ chỉ phương.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS tìm sai tọa độ của vectơ AB = ( 3;0;4) .


Phương án C: Sai do HS tìm sai tọa độ của vectơ AB = ( −1;0;2) .
Phương án B: Sai do HS tìm sai tọa độ của vectơ AB = ( −1; −2;2) .
Câu 18:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình
chóp có đỉnh S ( 2;3;5) và đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z − 3 = 0 ,
có diện tích bằng 12. Tính thể tích của khối chóp đó.
A. 4.

B. 24.

C. 8.

D. 72.

Đáp án C.
Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng d ( S , ( P ) ) = 2 .
1
Suy ra thể tích khối chóp đã cho là V = .12.2 = 8 .
3

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp. Cụ thể:

h = d ( S , ( P )) =

2.2 + 3 − 2.5 − 3
22 + 12 + ( −2 )

2

=1

1
Suy ra thể tích khối chóp bằng V = .12.1 = 4
3

Phương án B: Sai do HS tính đúng độ dài chiều cao nhưng thiếu

1
trong công thức tính thể
3

tích của khối chóp.
Phương án D: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp và thiếu

1
trong công thức
3

tính thể tích của khối chóp.Cụ thể:
h = d ( S , ( P )) =

2.2 + 3 − 2.5 − 3

= 6 và V = S.h = 72 .
22 + 12 − 22

Câu 19:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
x +1 y − 2 z
=
= . Đường thẳng  vuông góc
điểm A ( 2;1; −3) , B (1;0; −1) và đường thẳng d :
2
−1
1
với cả hai đường thẳng AB và d thì có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong các vectơ dưới
đây?
A. u1 = (1; −5;3) .

B. u2 = (1;5;3) .

C. u3 = ( 4; 2;3) .

D. u4 = ( 3;11;5) .

Đáp án B.
Ta có AB = ( −1; −1; 2 ) và đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u = ( 2; −1;1) .


Ta có  AB, u  = (1;5;3) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai  AB, u  = (1; −5;3) do sắp xếp sai thứ tự trong
công thức tính tích có hướng của hai vectơ.
Phương án C: Sai do HS xác định sai vectơ chỉ phương của d nên tính sai tọa độ vectơ chỉ

phương của  . Cụ thể : u = ( −1; 2;0 ) là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra  nhận vectơ

−  AB, u  = ( 4; 2;3) làm một vectơ chỉ phương.
Phương án D: Sai do HS xác định sai tọa độ của vecto AB = ( 3;1; −4 ) nên tính sai tọa độ
vectơ chỉ phương của  . Cụ thể  nhận vecto

−  AB, u  = ( 3;11;5) làm một vectơ chỉ

phương.
Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z − 3 = 0 và ba điểm A ( 0;1;2) , B ( 2; −2;1) , C ( −2;0;1) . Biết rằng tồn tại
điểm M ( a; b; c ) thuộc mặt phẳng ( P ) và cách đều ba điểm A,B,C. Tính giá trị của biểu thức
T = a 3 + b3 + c 3 .

A. T = 308.

B. T = 378.

C. T = −308.

D. T = 27.

Đáp án C
Ta có M  ( P)  2a + 2b + c − 3 = 0
a 2 + ( b − 1)2 + ( c − 2 )2 = ( a − 2 )2 + ( b + 2 )2 + ( c − 1)2
MA = MB = MC  
2
2
2
2

2
2
a + ( b − 1) + ( c − 2 ) = ( a + 2 ) + b + ( c − 1)

2a − 3b − c = 2

.
 2a + b + c = 0

2a + 2b + c = 3 a = 2


Do đó có hệ phương trình 2a − 3b − c = 2  b = 3 . Suy ra T = −308.
 2a + b + c = 0
c = −7



Phân tích phương án nhiễu
Phương án A: Sai do HS giải sai nghiệm của hệ phương trình a = −2, b = −3, c = 7.
Phương án B: Sai do HS tính sai giá trị của T = 23 + 33 + 73 = 378 .
Phương án D: Sai do HS biến đổi sai dẫn đến hệ phương trình


2a + 2b + c = 3

2 2 
 ( a; b; c ) =  ; − ;3  .
a − 2b = 2
3 3 

a + b = 0

Suy ra T = 27.
Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam
giác ABC có A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0) , C (1;1; −2) . Đường thẳng d đi qua trực tâm của tam giác
ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) có phương trình là
A.

x −1 y + 5 z − 4
=
=
.
1
−8
5

B.

x − 2 y + 13 z − 9
=
=
.
1
−8
5

C.

x + 1 y − 11 z + 6
=

=
.
1
−8
5

D.

x − 3 y + 21 z − 14
=
=
.
1
−8
5

Đáp án B.
Ta có AB = ( −3; −1; −1) , AC = ( −1; −2; −3) nên mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là

 AB, AC = (1; −8;5) .


Suy ra (ABC) có phương trình là x − 8y + 5z + 17 = 0.
Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC. Ta có:

CH = ( x − 1; y − 1; z + 2) ; BH = ( x + 1; y − 2; z) .
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên

 BH. AC = 0  x + 2y + 3z = 3
 BH ⊥ AC




 2 29 1 
 ( x; y; z) =  ; ; −  .
CH ⊥ AB  CH.AB = 0  3x + y + z = 2
 15 15 3 
 H  ABC
 H  ABC
 x − 8y + 5z = −17
(
)
(
)



 2 29 1 
Suy ra H  ; ; −  .
 15 15 3 

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên nhận  AB, AC = (1; −8;5) làm một
2
29
1
x−
y−
z+
15 =
15 =

3.
vectơ chỉ phương. Suy ra phương trình đường thẳng d là
1
−8
5
Dễ thấy điểm M(2; − 13;9) thuộc đường thẳng d nên phương án đúng là B.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A, C và D: Sai do HS tìm tọa độ trực tâm H thiếu điều kiện H  ( ABC) và chỉ
kiểm tra hai điều kiện BH ⊥ AC; CH ⊥ AB.


Câu 22:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
 59 32 2 
M  ; − ;  và mặt cầu ( S ) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0 . Từ
9 9
 9
điểm M kẻ các tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu ( S ) , trong đó A,B,C là các tiếp điểm.
Mặt phẳng ( ABC ) có phương trình px + qy + z + r = 0 . Giá trị của biểu thức p + q + r
A. −4 .

B. 4.

C. 1.

D. 36.

Đáp án B.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R = 5.
25
 50 50 25 

Ta có IM =  ; − ; −   IM = .
9
9
3
 9

Do đó MA = MB = MC = IM 2 − R2 =

20
.
3

Suy ra tọa độ của A, B, C thỏa mãn phương trình
2

2

2

59  
32  
2
400

 x − 9  +  y + 9  +  z− 9  = 9

 
 

118

64
4 101
 x2 + y2 + z2 −
x+
y − z+
= 0.
9
9
9
9

Do vậy tọa độ của A, B, C thỏa mãn hệ phương trình

118
64
4 101
 2
2
2
x + y − z+
=0
x + y + z −
9
9
9
9

 x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0

−2x + 2y + z + 4 = 0

 2
.
2
2
 x + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = 0
Như vậy tọa độ của A, B, C thỏa mãn phương trình −2x + 2y + z + 4 = 0 nên mặt phẳng
(ABC) có phương trình là −2x + 2y + z + 4 = 0.
Suy ra p = −2; q = 2; r = 4. Vậy q + p + r = 4.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS viết được phương trình 2x − 2y − z − 4 = 0 nên suy ra
p = 2; q = −2; r = −4.

Phương án C: Sai do HS xác định p = −2; q = 2; r = 1.
Phương án D: Sai do HS xác định sai hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (ABC).
Cụ thể H được xác định dựa vào hệ thức vectơ IH = −

R2
 91 64 14 
IM nên H  ; − ; −  .
9
9
IM
 9

Do đó viết được phương trình mặt phẳng (ABC) là −2x + 2y + z + 36 = 0.


Suy ra p = −2; q = 2; r = 36.
Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tam giác ABC có A (1;2) , B (5;4 ) , C (3; −2 ) .
Gọi A ', B ', C ' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm I (1;5) , tỉ số k = −3 . Bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác A ' B ' C ' bằng
A. 3 10 .

B. 6 10 .

D. 3 5 .

C. 2 5 .

Đáp án A.
Gọi K ( a; b ) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Ta có: AK 2 = ( a − 1) + ( b − 2 ) ; BK 2 = ( a − 5 ) + ( b − 4 ) và
2

2

2

2

CK 2 = ( a − 3) + ( b + 2 ) .
2

2

( a − 1)2 + ( b − 2 )2 = ( a − 5 )2 + ( b − 4 )2
Từ AK = BK = CK , ta có 
2
2
2

2
( a − 1) + ( b − 2 ) = ( a − 3) + ( b + 2 )
2

2

2

−2a − 4b + 5 = −10a − 8b + 41 2a + b = 9
a = 4



→ K ( 4;1) .
 −2a − 4b + 5 = −6a + 4b + 13
a − 2b = 2
b =1
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R = AK =

( 4 − 1) + (1 − 2)
2

2

= 10 .

Gọi K ' là tâm đường tròn ngoại tiếp A ' B ' C ' , do V(1,−3) ( ABC ) = A ' B ' C ' nên
V(1,−3) ( K ) = K ' → IK ' = −3IK . Mà V(1;−3) ( A ) = A ' → IA ' = −3.IA .

(

)

Suy ra IA ' − IK ' = −3 IA − IK  K ' A ' = −3.KA . Bán kính đường tròn ngoại tiếp A ' B ' C '
là R ' = K ' A ' = 3KA = 3R = 3 10 .
.
Câu 24:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho u = ( −1;3; 2 )
và v = ( −3; −1; 2 ) . Khi đó u.v bằng
A. 10.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án D.
Ta có u.v = ( −1) . ( −3) + 3. ( −1) + 2.2 = 4 .
Câu 25:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
x +1 y − 2 z
=
= . Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?
đường thẳng d :
1
−1
3
A. Q (1;0; 2 ) .
Đáp án D.

B. N (1; −2;0) .

C. P (1; −1;3) .

D. M ( −1;2;0 ) .


Câu 26:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong khôn gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt
cầu ( S ) : x  + ( y − 4 ) + z 2 = 5 . Tìm tọa độ điểm A thuộc trục Oy, biết rằng ba mặt phẳng
2

phân biệt qua A có các vec-tơ pháp tuyến lần lượt là các vec-tơ đơn vị của các trục tọa độ cắt
mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là 11
 A ( 0;0;0 )
B. 
.
 A ( 0;8;0 )

 A ( 0; 2;0 )
A. 
.
 A ( 0;6;0 )

 A ( 0;0;0 )
C. 
.
 A ( 0;6;0 )

 A ( 0; 2;0 )
D. 
.

 A ( 0;8;0 )

Đáp án A.
Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0;4;0) và bán kính R = 5 .Điểm A  Oy → A ( 0; b;0) . Khi đó ba
mặt phẳng theo giả thiết đi qua A và có phương trình tổng quát lần lượt là

(1 ) : x = 0, (2 ) : y − b = 0

và (3 ) : z = 0 .

Nhận thấy d ( I ; (1 ) ) = d ( I ; (2 ) ) = d ( I ; (3 ) ) = 0 nên mặt cầu

(1 ) , (3 ) theo giao tuyến là đường tròn lớn có tâm I, bán kính

(S )

cắt các mặt phẳng

R = 5 . Tổng diện tích của

hai hình tròn đó là S1 + S3 = 2 R 2 = 10 .
Suy ra mặt cầu

(S )

cắt

(2 )

theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là

S3 = 11 − ( S1 + S2 ) = 11 −10 =  . Bán kính đường tròn này là r =
b = 2
→ d ( I ; ( 3 ) ) = R 2 − r 2 = 2 = 4 − b  
. Vậy
b = 6

S3

= 1.



 A ( 0; 2;0 )
.

 A ( 0;6;0 )

Câu 27:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

( P ) : ax + by + cz + d = 0, ( a 2 + b 2 + c 2  0 )

đi qua điểm B (1;0;2) , C ( −1; −1;0 ) và cách

A ( 2;5;3) một khoảng lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức M =
A. M = 1 .

B. M =

3

.
4

C. M = −

2
.
7

a+c
là
b+d

D. M = −

3
.
2

Đáp án C.

 x = 1 − 2t

Ta có BC = ( −2; −1; −2 ) nên phương trình đường thẳng BC là  y = −t ( t 
 z = 2 − 2t


).

Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng

( P ) . Khi đó AH = d ( A; ( P ))  AI
( P ) qua I và vuông góc với AI.

và AH đạt giá trị lớn nhất khi H  I . Suy ra mặt phẳng


I  BC  I (1 − 2t; −t;2 − 2t )

Từ

và

AI = ( −1 − 2t; −t − 5; −1 − 2t ) .
Lại

có

AI ⊥ BC  AI .BC = 0  2 (1 + 2t ) + ( t + 5) + 2 (1 + 2t ) = 0  t = −1 .
Mặt phẳng ( P ) đi qua I ( 3;1; 4 ) và nhận VTPT là AI = (1; −4;1) nên có phương trình tổng
quát là: x − 4 y + z − 3 = 0 .
Vậy a = 1, b = −4, c = 1, d = −3 → M =

1+1
2
=− .
−4 − 3
7

Câu 28:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho

( P ) : x − z −1 = 0 . Vectơ nào sau đây không là vectơ pháp tuyến của ( P )
B. n = (1;0; −1)

A. n = ( −1;0;1)

D. n = ( 2;0; −2 )

C. n = (1; −1;1)

Đáp án C.
Mặt phẳng

( P ) : x − z −1 = 0

có VTPT là n ( P ) = (1;0; −1) không cùng phương với vec-tơ

n = (1; −1;1) .
Câu 29:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường
thẳng

x = t

d :  y = −1
 z = −t


và

2

mặt

phẳng

( P ) , (Q)

lần

lượt

có

phương

trình

x + 2 y + 2 z + 3 = 0; x + 2 y + 2 z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc đường

thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
A. ( x + 3) + ( y + 1) + ( z − 3) =

4
9

B. ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) =

4
9

C. ( x + 3) + ( y + 1) + ( z + 3) =

4
9

D. ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 3) =

4
9

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Đáp án B.
Ta có I  d → I ( t; −1; −t ) . Do mặt cầu ( S ) tiếp xúc với hai mặt phẳng ( P ) và
có d ( I ; ( P ) ) = d ( I ; ( Q ) )

(Q)

nên ta




t − 2 − 2t + 3 t − 2 − 2t + 7
=
 1 − t = 5 − t  t = 3 → I ( 3; −1; −3) .
3
3

Mặt cầu

(S )

có bán kính là

( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3)
2

2

2

R = d ( I ; ( P )) =

2
. Vậy phương trình mặt cầu
3

(S )

là

4
= .
9

Câu 30:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết
phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M (1; 2;3) và cắt trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại ba
điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức

1
1
1
+
+
có đạt giá trị nhỏ
2
2

OA OB OC 2

nhất
A. ( P ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0

B. ( P ) : x + 2 y + 3z −11 = 0

C. ( P ) : x + 2 y + z − 14 = 0

D. ( P ) : x + y + 3z − 14 = 0

Đáp án D.
Xét tứ diện vuông OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nên hình chiếu của O lên mặt
phẳng ( ABC ) chính là trực tâm H của tam giác ABC và d ( O; ( ABC ) ) = h

1
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
, nên
có giá trị nhỏ nhất khi d ( O; ( ABC ) )
2

2
2
2
2
2
h
OA OB OC
OA OB OC 2
lớn nhất.

Ta có

Mặt khác d ( O; ( ABC ) )  OM , M  ( P ) . Dấu " = " xảy ra khi H  M hay mặt phẳng ( P )
đi qua M (1; 2;3) và có vectơ pháp tuyến là OM = (1; 2;3) .
Vậy ( P ) :1( x −1) + 2 ( y − 2) + 3 ( z − 3) = 0  x + 2 y + 3z − 14 = 0.
Câu 31:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba
điểm A ( 0;1;1) , B ( 3;0; −1) , C ( 0;21; −19) và hai mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 1 .
2

2

2

M ( a, b, c ) là điểm thuộc mặt cầu ( S ) sao cho biểu thức T = 3MA2 + 2MB 2 + MC 2 đạt giá trị
nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c
A. a + b + c =

14
5

B. a + b + c = 0

C. a + b + c =

12
5

D. a + b + c = 12

Đáp án A.
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) và bán kính R = 1 . Gọi E là điểm thỏa mãn hệ thức

3EA + 2 EB + EC = 0 → E (1; 4; −3) .

(

)

2

(

) (
2

Ta có T = 3MA2 + 2MB2 + MC 2 = 3 ME + EA + 2 ME + EB + ME + EC

)

2

(

= 6ME 2 + 3EA2 + 2 EB 2 + EC 2 + 2ME 3EA + 2 EB + EC

)

→ T = 6ME 2 + 3EA2 + 2 EB 2 + EC 2 . Do EA, EB, EC không đổi nên T nhỏ nhất khi ME nhở

nhất  M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu ( S ) .
x = 1

Ta có IE = ( 0;3; −4 ) → Phương trình IE :  y = 1 + 3t ( t 
 z = 1 − 4t


)

. Giao điểm của IE và mặt cầu

( S ) thỏa mãn phương trình:
  8 1
 M 1 1; ; 
1   5 5
2
2
2
2
(1 − 1) + (1 + 3t − 1) + (1 − 4t − 1) = 1  25t = 1  t =  →

5   2 9
 M 2 1; ; 
  5 5

 8 1
 2 9
Ta có M 1 1; ;  → M 1 E = 4 và M 2 1; ;  → M 2 E = 6 . Vậy M1 E  M 2 E và biểu thức
 5 5
 5 5

 8 1
T = 3MA2 + 2MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi M  1; ; 
 5 5
8
1
14
→ a = 1, b = , c = → a + b + c = .
5
5
5

Câu 32:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
a = (−3;5; 2) , b = (0; −1;3) , c = (1; −1;1) thì tọa độ v = 2a − 3b + 15c là:

A. v = (9; 2;10) .

B. v = (9; −2;10) .

C. v = (−9; 2;10) .

D. v = (9; −1;10) .

Đáp án B.
Câu 33:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A(3; −1; −3) , B(−3;0; −1) , C (−1; −3;1) và mặt phẳng ( P) : 2 x + 4 y + 3z − 19 = 0 . Tọa độ
M (a, b, c) thuộc (P) sao cho MA + 2MB + 5MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a + b + c bằng:

A. 4.

B. 5.

C. 6.

Đáp án C.

3 + 2.(−3) + 5.(−1)

x
=
= −1

8

−1 + 2.0 + 5.(−3)

Gọi I ( x; y; z ) thỏa mãn IA + 2 IB + 5IC = 0   y =
= −2
8

−3 + 2.(−1) + 5.1


=0
z =
8

 I = (−1; −2;0)

D. 7.


Ta có MA + 2MB + 5MC = MI + IA + 2MI + 2IB + 5MI + 5IC

= 8MI + IA + 2IB + 5IC = 8MI

 MA + 2MB + 5MC min  8 MI min  M là hình chiếu của I lên (P)
Gọi  là đường thẳng đi qua I ( −1;2;0) và vuông góc với

 x = −1 + 2t

(P) : 2 x + 4 y + 3z − 19 = 0 có vectơ chỉ phương là ( 2;4;3)   :  y = −2 + 4t
 z = 3t

Thế vào (P)  2(−1 + 2t ) + 4(−2 + 4 t) + 3(3 t) − 19  t = 1

x = 1

  y = 2  M (1; 2;3)  a + b + c = 6
z = 3

Câu 34:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

(a) : 2 x − 2 y − z + 14 = 0 , mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0 . Mặt phẳng (P)//(a)

cắt (S) theo thiết diện là một hình tròn có diện tích 16 . Khi đó phương trình mặt phẳng (P)
là:
A. 2 x − 2 y − z + 14 = 0 .

B. 2 x − 2 y − z + 4 = 0 .

C. 2 x − 2 y − z + 16 = 0 .

D. 2 x − 2 y − z − 4 = 0 .

Đáp án D.
(P )//(  )  ( P) : 2 x − 2 y − z + c = 0 (c  14)
(S) có tâ, I (1; 2;3) , bán kính R = 5
Hình tròn thiết diện (C) có S = 16  Bán kính r = 4
Gọi H là hình chiếu của I lên (P)  H là tâm của (C)
 IH = d( I ;( P )) = R2 − r 2 = 3



2.1 − 2.2 − 3 + c
22 + 22 + 12

c = 14 (1)
= 3  c −5 = 9  
 ( P) : 2 x − 2 y − z − 4 = 0
c = −4

Câu 35:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường

x −1 3 − y
=
= z + 1 . Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình
thẳng d :
2
−1
tham số của đường thẳng d?


 x = 1 + 2t

A.  y = 3 − t
 z = −1


 x = 1 + 2t

B.  y = −3 + t
 z = −1 + t


 x = 1 + 2t

C.  y = −3 − t
 z = −1 + t


D.

 x = −1 + 2t


y = 2 +t
 z = −2 + t

Đáp án D.
Chọn t = −1  Đường thẳng d đi qua điểm ( −1;2; −2) và có vecto chỉ phương u = ( 2;1;1)
Câu 36:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm

A ( 6;0;0) , B ( 0;6;0) , C ( 2;1;0 ) và D ( 4;3; −2 ) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai điểm
A, B và cách đều hai điểm C, D.
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án B.
Kiểm tra ta được 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng nên tạo nên tứ diện.
- Một mặt phẳng đi qua A, B và song song với CD.
- Một mặt phẳng đi qua A, B và trung điểm CD.
Câu 37:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x+2 y−2 z
=
=
thẳng  :
và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3z + 4 = 0 . Đường thẳng d nằm trong
1
1

−1

( P ) sao cho d cắt và vuông góc với

 có phương trình là:

A.

x + 3 y −1 z −1
=
=
1
−1
2

B.

x +1 y − 3 z +1
=
=
−1
2
1

C.

x − 3 y +1 z +1
=
=
1

−1
2

D.

x + 3 y −1 z −1
=
=
−1
2
1

Đáp án D.
Đường thẳng  có vecto chỉ phương u = (1;1; −1) .
Một mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến nP = (1; 2;3)
Gọi I =   ( P ) , tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

x+2 y −2 z
=
=

1
−1  I ( −3;1;1)
 1
 x + 2 y − 3z + 4 = 0
 d  ( P )
 d  ( P )
 I  d và 
Do 
 d    

 d ⊥ 


 Đường thẳng d có một vecto chỉ phương ud = u , nP  = ( −1; 2;1)

Vậy d :

x + 3 y −1 z −1
=
=
.
−1
2
1

Câu 38:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt
phẳng ( ) : 2 x + 4 y − 5z + 2 = 0 , (  ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 và ( ) : 4 x − my + z + n = 0 . Để ba
mặt phẳng đó có chung giao tuyến thì tổng m + n bằng
A. −4

C. −8

B. 8

D. 4

Đáp án A.
Nhìn vào phương trình ( ) , để tính m + n ta cần có y = −1 .

x = 1

( ) : 2 x − 5 z − 2 = 0
Cho y = −1  

z = 0

(  ) : x − 2 z − 1 = 0

Thay vào ( ) , ta được m + n = −4 .
Câu 39:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm

A ( 3;0;0) , B ( 0;2;0) , C ( 0;0;6) , D (1;1;1) . Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng
khoảng cách từ các điểm A, B, C đến d là lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới
đây?
A. M ( −1; −2;1)

C. P ( 3;4;3)

B. N ( 5;7;3)

D.

Q ( 7;13;5)
Đáp án B.
Ta thấy D  ( ABC ) : 2 x + 3 y + z − 6 = 0

d  A, d   AD

Ta có: d  B, d   BD  d  A, d  + d  B, d  + d C , d   AD + BD + CD

d C , d   CD

 x = 1 + 2t

Dấu “=” xảy ra khi d ⊥ ( ABC ) tại điểm D  d :  y = 1 + 3t  N ( 5;7;3)  d
z = z + t


Câu 40:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai vectơ u = ( 3; m;0 ) , v = (1;7 − 2m;0 ) lần
lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song khi đó giá trị của m là:
A. 2.
Đáp án D.

B. 1.

C. 0.

D. 3.


Thỏa mãn đề bài suy ra hai vectơ u và v phải cùng phương


3
m
=
 21 − 6m = m  7 m = 21  m = 3
1 7 − 2m

Câu 41:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường
x y −1 z +1

=
?
thẳng  : =
2
3
−1
C. u3 = ( 0; −1;1) .

B. u2 = ( 0;1; −1) .

A. u1 = ( 2;3; −1) .

D. u4 = ( −2;3; −1) .

Đáp án A.
Câu 42:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường
thẳng  :

x+2 y−2 z
=
=
và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3z + 4 = 0. Đường thẳng d nằm trong
1
1
−1

mặt phẳng ( P ) sao cho d cắt và vuông góc với  thì d có phương trình là:
A.

x + 3 y −1 z −1

=
=
.
1
−1
2

B.

x +1 y − 3 z +1
=
=
.
−1
2
2

C.

x − 3 y +1 z +1
=
=
.
1
−1
2

D.

x + 3 y −1 z −1

=
=
.
−1
2
1

Đáp án D.

I =   ( P ) thì I ( −3;1;1)
Gọi u = ( a; b; c ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d . Ta có:

d  ( P ) u ⊥ n p
−3 + at + 2 (1 + bt ) − 3 (1 + ct ) + 4 = 0t



d ⊥ 
a + b − c = 0
u ⊥ n
a + 2b − 3c = 0
 a = −c

 u = ( −c; 2c; c ) hay u = ( −1; 2;1)

a + b − c = 0
b = 2c
Phương trình d :

x + 3 y −1 z −1

=
=
−1
2
1

Câu 43:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường
thẳng  :

x −1 y z + 2
= =
và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z = 0. Gọi C là giao điểm của  và
2
1
−1

( P ) , M là điểm thuộc

 . Tính khoảng cách từ M đến ( P ) , biết MC = 6.

A. d ( M , ( P ) ) = 6.
Đáp án B.

B. d ( M , ( P ) ) =

1
.
6

C. d ( M , ( P ) ) = 3.

D. d ( M , ( P ) ) =

1
.
3


 x = 1 + 2t

Phương trình  :  y = t
. Tọa độ điểm C =   ( P ) là C ( −1; −1; −1)
 z = −2 − t

Lấy điểm M (1 + 2t; t; −2 − t )  MC = 6  ( 2t + 2 ) + ( t + 1) + ( t + 1) = 6
2

2

2

1

t = 0  M (1;0; −2 )  d ( M ; ( P ) ) = 6

1

t = −2  M ( −3; −2;0 )  d ( M ; ( P ) ) = 6

Câu 44:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các

điểm A (1;0;0) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) ( b.c  0 ) , mặt phẳng ( P ) có phương trình: y − z + 1 = 0.
Biết mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) và khoảng cách từ gốc O đến mặt
phẳng ( ABC ) bằng
A.

1
.
2

1
. Tính b + c.
3

B. 2.

C. 1.

D.

3
.
2

Đáp án C.
x y z
Mặt phẳng ( ABC ) : + + = 1 và ( ABC ) ⊥ ( P )
1 b c


1 1

− = 0  b = c  ( ABC ) : bx + y + z − b = 0
b c

d ( O; ( ABC ) ) =

b
1
1
1
1

=  b = (b  0)  b = c =  b + c = 1
3
2
2
b2 + 2 3

Câu 45:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A ( −1;0;2 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2; −1;0 ) . Điểm M thỏa mãn 3MA + 4MB − MC = 0 thì điểm M có tọa

độ là:
A. M  − ; ; 
 6 2 3
5 1 5

 5 1 5
M  − ;− ;− 
 6 2 3

Đáp án B.

B. M  − ; − ; 
 6 2 3
5

1 5

C. M  ; − ; 
 6 2 3
5

1 5

D.


3. ( −1) + 4.0 + 2 ( −1)

5

x =
x = − 6
3
+
4
−
1


3.0 + 4. ( −1) − 1. ( −1) 


1
 5 1 5
 y = −  M − ;− ; 
Gọi M ( x; y; z )   y =
3 + 4 −1
2
 6 2 3


5
3.2 + 4.1 − 1.0


z = 3 + 4 −1
z = 3


Câu 46:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x = 1+ t
x + 3 y −1 z + 4

và d2 :
. Viết phương trình mặt phẳng
d1 :  y = −3
=
=
1
−2
3

 z = 2 − 2t


( P ) cách đều hai

đường thẳng d1 và d 2 .
A. ( P ) : 2 x − 2 y + z + 1 = 0

B. ( P ) : 4 x + 5 y + 2 z + 11 = 0

C. ( P ) : 3x − 2 y + z + 2 = 0

D. ( P ) : 3x + 2 y + z + 6 = 0

Đáp án B.
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương u1 = (1;0; −2 ) và M (1; −3;2)  d1
Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương u2 = (1; −2;3) và N ( −3;1; −4 )  d2
Trung điểm MN là I ( −1; −1; −1) ; u1  u2 = ( −4; −5; −2 )
Mặt phẳng ( P ) cách đều 2 đường thẳng d1 , d2 khi ( P ) qua I ( −1; −1; −1) và có vecto pháp
tuyến n = n1  u2

 ( P ) : −4 ( x + 1) − 5 ( y + 1) − 2 z ( z + 1) = 0  4 x + 5 y + 2 z + 11 = 0

Câu 47:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng
d:

( P ) : 2 x − 2 y + z + 3 = 0 và mặt cầu ( S ) : ( x − 1)2 + ( y + 3)2 + z 2 = 9 và đường thẳng

x y + 2 z +1

. Cho các phát biểu sau đây:
=
=
−2
1
2

I. Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại 2 điểm phân biệt.
II. Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S )


III. Mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) không có điểm chung
IV. Đường thẳng d cắt mặt phẳng ( P ) tại 1 điểm
Số phát biểu đúng là:
A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án D.
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −3;0 ) và bán kính R = 3

d ( I ,( P ) ) =

2+6+3
2 + 2 +1
2

2

=

11
 R nên B sai.
3

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u = ( −2;1; 2 ) và M ( 0; −2; −1)  d

 IM = ( −1;1; −1)  d( I ;d )

u , IM 


=
=
u

( −3) + 02 + ( −1)
2
( −2 ) + 12 + 22
2

2

=

10

R
3

 d cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt.

Vecto chỉ phương của ( P ) là n = ( 2; −2;1)  ku  d cắt ( P )
Vậy I, III, IV đúng.
Câu 48:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M ( 8;1;1) . Mặt phẳng ( P ) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn
OA2 + OB2 + OC 2 đạt giá trị nhỏ nhất có dạng là ( P ) : ax + by + cz − 12 = 0 . Khi đó a + b + c là:

B. −9

A. 9

C. 11

Đáp án A.
Giả sử ( P ) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại a, b, c  0
 ( P) :

8 1 1
x y z
+ + = 1 qua M ( 8;1;1)  + + = 1
a b c
a b c

8 1 1
OA2 + OB 2 + OC 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 x  + +  − 2 x
a b c

= a2 +

8x 8x
x x
x x
2
+ + b 2 + + + c 2 + +  3 3 ( 8 x ) + 3 3 x 2 + 3 3 x 2 (Cô – si) (*)
a
a
b b
c c

D. −11


 2 8x
a = a
a = 2 3 x

3 x = 6

3
b 2 = x

b = x


a = 12
b
 c = 3 x


Dấu “=” xảy ra khi 
c 2 = x

b = 6
4
1
1


c = 6
c
8 1 1
 3 x + 3 x + 3 x = 1 
 + + =0
a b c
 ( P) :

x y z
+ + = 1  x + 2 y + 2 z − 12 = 0
12 6 6

Bạn có thể thế x vào (*) để tìm min.
Câu 49:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng ( P ) : 3x + y − 3z + 6 = 0 và mặt cầu ( S ) : ( x − 4 ) + ( y + 5 ) + ( z + 2 ) = 25 . Mặt phẳng
2

( P)

2

2

cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có bán

kính r bằng:
C. r = 6.

B. r = 5.

A. r = 6.

D. r = 5.

Đáp án C
Mặt cầu ( S) có tâm I ( 4; −5; −2) , bán kính R = 5
Ta có d ( I ; ( P ) ) =

3.4 + ( −5) − 3. ( −2 ) + 6
32 + 12 + ( −3)

2

= 19

Bán kính đường tròn giao tuyến là: r = R 2 − d 2 ( I ; ( P ) ) = 25 − 19 = 6
Câu 50:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A ( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc

( P ) sao cho

2MA − MB có giá trị nhỏ nhất.

A. M ( −4; −1;0 ) .

B. M ( −1; −4;0 ) .

C. M ( 4;1;0) .

D. M (1; −4;0) .

Đáp án D
Gọi I ( a; b; c ) là điểm thỏa mãn 2IA − IB = 0 , suy ra I ( 4; −1; −3) .
Ta có 2MA − MB = 2MI + 2 IA − MI − IB = MI  2MA − MB = MI = MI .
Do đó 2MA − MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên ( P )
Đường thẳng đi qua I và vuông góc với ( P ) là d :

x − 4 y +1 z + 3
=
=
1
1
−1