(phần bonus) 28 câu số mũ và logarit image marked image marked

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Tổng giá trị tất cả các

Câu 1:

nghiệm của phương trình log 3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x =
A.

82
9

B.

80
9

2
bằng
3

C. 9

D. 0

Đáp án A
Điều kiện: x  0. Ta có

log3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x =

2
1
 1

 1
 2
 log 3 x.  log 3 x  .  log 3 x  .  log 3 x  =
3
2
 3
 4
 3

x = 9
log3 x = 2
1
2
82
4
4
 log 3 x =  log 3 x = 16  

 S = x1 + x 2 =
1
x =
24
3
9
log3 x = −2
9

Câu 2

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Với a là số thực dương bất

kì,mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log ( 3a ) = 3log a

1
B. log a 3 = log a
3

C. log a 3 = 3log a

1
D. log ( 3a ) = log a
3

Đáp án C
Ta có log ( 3a ) = log3 + loga ,log a 3 = 3log a.
Câu 3 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để phương trình 16x − 2.12x + ( m − 2) .9x = 0 có nghiệm dương?
A. 1

B. 2

C. 4

Đáp án B
2x

x

4

4
Ta có PT    − 2   + m − 2 = 0
3
3
x

4
Đặt t =    0  t 2 − 2t + m − 2 = 0  t 2 − 2t − 2 = −m
3

Khi đó PT có nghiệm dương  PT có nghiệm lớn hơn 1.
Xét hàm số g ( t ) = t 2 − 2t − 2 ( t  0 ) và đường thẳng y = − m

D. 3


Dựa vào đồ thị ta thấy PT có nghiệm lớn hơn 1  −m  −3  m  3
Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m là m = 1; m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018): Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn
log u1 + 2 + log u1 − 2log u10 = 2log u10 và u n +1 = 2u n với mọi n  1. Giá trị nhỏ nhất của n

để u n  5100 bằng
B. 248

A. 247

D. 290

C. 229

Đáp án B
Đặt t = 2 + log u1 − 2log u10  0  log u1 − 2log u10 = t 2 − 2, khi đó giả thiết trở thành:
t = 1
log u1 − 2 log u10 + 2 log u1 − 2 log u10 = 0  t 2 + t − 2 = 0  
.
 t = −2
 log u1 − 2 log u10 = −1  log u1 + 1 = 2 log u10  log (10u1 ) = log ( u10 )  10u1 = ( u10 )
2

Từ (1) , ( 2 ) suy ra 10u1 = ( 29 u1 )  218 u 21 = 10u1  u1 =
2

Do đó u n  5100 

10
2n.10
n −1 10

u
=
2
.
=
.
n
218
218
219

 5100.219 

2n.10 100

5

n

log
 = − log 2 10 + 100log 2 5 + 19  247,87.
2
219
 10 

Vậy giá trị n nhỏ nhất thỏa mãn là n = 248.

Câu 5 (ĐỀ THI THỬ 2018)Tập giá trị của m thỏa mãn bất phương trình
2.9x − 3.6x
 2(x 
6x − 4x

A. 3.
Đáp án D

2

)

là ( −;a )  ( b;c ) . Khi đó a + b + c bằng
B. 1

C. 2

D. 0

(1) .


Điều kiện: x  0 . Ta có

2.9x − 3.6x
2.9x − 5.6x + 2.4x

2

0
6x − 4x
6x − 4x

Chia cả tử và mẫu của vế trái cho 4 x  0 , bấ t phương trình tương đương với
2x

x

3
3
2.   − 5   + 2
x
3
2
2
 0 . Đặt t =   , t  0 bất phương trình trở thành

x
2
3
  −1
2

1

x

2t 2 − 5t + 2
0
2

t −1
1  t  2
x

Với t 

1
1
1
3
ta có     x  log 3  x  − log 3 2
2
2
2
2 2
2

x

3
Với 1  t  2 ta có 1     2  0  x  log 3 2
2
2

 

Vâ ̣y tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương triǹ h đã cho là S =  −; − log 3 2   0;log 3 2

2 

2 

Câu 6

(ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau
2

có đúng 3 nghiệm thực phân biệt 9x − 2.3x
A. m =

10
3

B. 2  m 

10
3

2

+1

+ 3m − 1 = 0

D. m  2

C. m = 2

Đáp án C
Đặt t = 3x , t  1  pt  t 2 − 6t + 3m −1 = 0 (*) . Đặt f ( t ) = t 2 − 6t + 3m −1
2

3x2 = a
 x 2 = log3 a
 2
Giả sử phương trình f ( t ) có 2 nghiệm là a và b thì  2
3x = b
 x = log3 b
log a = 0
a = 0
Vậy ta có nhận xét rằng để (*) có 3 nghiệm thì  3

b  1
log3 b  0

Khi đó f (1) = 1 − 6 + 3m −1 = 0  m = 2
t = 1

Với m = 2  f ( t ) = t 2 − 6t + 5 = 0  
( tm )
t = 5  0

Câu 7 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho a = log 4 3, b = log 25 2 . Hãy tính log60 150 theo a, b
1 2 + 2b + ab
A. log 60 150 = .
2 1 + 4b + 2ab

B. log 60 150 =

1 + b + 2ab
1 + 4b + 4ab


1 1 + b + 2ab
C. log 60 150 = .
4 1 + 4b + 2ab

D. log 60 150 = 4.

1 + b + 2ab
1 + 4b + 4ab

Đáp án B
Ta có b = log 25 2 = log 52 2  2b = log 5 2  4b = log 5 4  log 4 5 =

1
4b

Khi đó

log 60

1
1
1
2
+a+
log 3 + 2.log 4 5
1
1 log 4 ( 2.3.5 ) 1 2 4
1 2
2b = 1 + b + 2ab
150 = .log 60 150 = .
= .
= .
2
2 log 4 ( 4.3.4 ) 2 1 + log 4 3 + log 4 5 2 1 + a + 1
1 + 4b + 4ab
4b
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Với hai số thực dương a, b tùy ý và

Câu 8

log 3 5log 5 a
− log 6 b = 2 . Khẳng định nào là khẳng định đúng?
1 + log 3 2
A. a = b log 6 2

B. a = 36b

C. 2a + 3b = 0

D. a = b log 6 3

Đáp án B
Ta có

log 3 5log 5 a
log 3 a
− log 6 b = 2 
− log 6 b = 2  log 6 a − log 6 b = 2
1 + log 3 2
log 3 6

 log 6

a
a
= 2  = 36  a = 36b
b
b

Câu 9 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều
kiện log9 x = log6 y = log4 ( x + y ) và

x −a + b
, với a, b là hai số nguyên dương. Tính
=

y
2

a+b
A. a + b = 6

B. a + b = 11

C. a + b = 4

D. a + b = 8

Đáp án A
Đặt log9 x = t

(1)
( 2)
( 3)

 x = 9t

t
y ' = 6
log 9 x = log 6 y = t

 x + y = 4t
Theo đề ra ta có 
log 9 x = log 4 ( x + y ) = t 
t
x  3 

=
y  2
 

Từ (1), (2) và (3) ta có 9 + 6 = 4  ( 3
t

t

t

)

t 2

( 4)
2t

t

3
3
+ ( 3.2 ) − 4 = 0    +   − 1 = 0
2
2
t

t

 3  t
−1 + 5
( TM )
  = −
2
2



 3 t −1 − 5
  =
( L)
2
 2 
x  3  −1 + 5 −a + b
=
 a = 1; b = 5
(4) ta được =   =
y 2
2
2
t

Thế vào

Câu 10 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Tìm các giá trị thực của tham số m để bất

(

))

(

phương trình log 0,02 log 2 3x + 1  log 0,02 m có nghiệm với mọi x  ( −;0 )
B. m  2

A. m  9

D. m  1

C. 0  m  1

Đáp án D
TXĐ: D =
ĐK tham số m: m  0

(

(

))

(

)

Ta có log 0,02 log 2 3x + 1  log0,02 m  log 2 3x + 1  m
Xét hàm số f ( x ) = log 2 ( 3x + 1) , x  ( −;0 ) có f ' =

3x.ln 3

 0, x  ( −;0 )
( 3x + 1) ln 2

Bảng biến thiên f ( x ) :
x

−

0
+

f'
f

1
0

Khi đó với yêu cầu bài toán thì m  1
Câu 11: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) Biết x1 , x 2 , là hai nghiệm của phương trình
 4x 2 − 4x + 1 
1
2
log 7 
 + 4x + 1 = 6x và x1 + 2x 2 = a + b với a, b là hai số nguyên dương.
4
2x



(

)

Tính a + b
A. a + b = 16
Đáp án C

x  0

Điều kiện 
1
 x  2

B. a + b = 11

C. a + b = 14

D. a + b = 13


 ( 2x − 1)2 
 4x 2 − 4x + 1 
2
Ta có log 7 
+
4x
+
1
=
6x


log
 + 4x 2 − 4x + 1 = 2x

7


2x


 2x 
 log 7 ( 2x − 1) + ( 2x − 1) = log 7 2x + 2x
2

2

Xét hàm số f ( t ) = log 7 t + t  f ' ( t ) =

(1)

1
+ 1  0 với t  0
t ln 7

Vậy hàm số đồng biến

Phương trình

(1) có dạng f

(( 2x − t ) )
2


3+ 5
x=

2
4
= f ( 2x )  ( 2x − 1) = 2x  

3− 5
x =

4

9 − 5
( l)

4
 a = 9;b = 5  a + b = 9 + 5 = 14
Vậy x1 + 2x 2 = 
9 + 5
( tm )

 4
Cách 2: Bấm Casio
Câu 12

(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

alog2 5 = 4, blog4 6 = 16, clog7 3 = 49 . Tính giá trị của T = alog2 5 + blog4 6 + clog7 3 .
2

B. T = 5 + 2 3 .

A. T = 126.

2

2

D. T = 3 − 2 3 .

C. T = 88 .

Đáp án C

T = ( alog2 5 )

log2 5

+ ( blog4 6 )

og4 6

(

+ 3 clog7 3

)

log7 3

= 4log2 5 + 16log4 6 + 3.49log7 3 = 52 + 62 + 32 = 88.

Câu 13 (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
A. Với mọi a  b  1 , ta có a b  b a .

B. Với mọi a  b  1 , ta có log a b  logb a .

C. Với mọi a  b  1 , ta có a a −b  bb − a .

D. Với mọi a  b  1 , ta có log a

a+b
 1.
2

Đáp án A
Khẳng định: với mọi a  b  1 , ta có a b  b a là sai ví dụ ta thử a = 31, b = 3 thì sẽ thấy.
Câu 14: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho phương trình: 8 x +1 + 8 ( 0,5 ) + 3.2 x +3 = 125 − 24. ( 0,5 )
3x

.

x


Khi đặt t = 2 x +

1
, phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
2x

A. 8t 3 − 3t − 12 = 0.

B. 8t 3 + 3t 2 − t − 10 = 0.

C. 8t 3 − 125 = 0.

D. 8t 3 + t − 36 = 0.

Đáp án C

1

Phương trình đã cho viết lại: 8  8 x + x
8



 x 1
 + 24  2 + x
2




 − 125 = 0 .



3

1
1 
1

Đặt t = 2 + x  t 3 =  2 x + x  = 8 x + x + 3t
2
2 
8

x

Từ đó cho ta 8t 3 − 125 = 0
Câu 15: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tập nghiệm của bất phương trình
2.7 x + 2 + 7.2 x + 2  351. 14 x có dạng là đoạn S =  a; b . Giá trị b − 2a thuộc khoảng nào dưới

đây?

(

A. 3; 10

)

B. ( −4;2 )

C.

(

7; 4 10

)

 2 49 
D.  ; 
9 5 

Đáp án C
x

2
2
BPT đã cho tương đương với 98 + 28    351  
7
7

x

x

2
Đặt t =   , t  0 thì bất phương trình trên trở thành
7
2

28t 2 − 351t + 98  0 

Từ đó b − 2a = 2 − 2 ( −4 ) = 10 
Câu 16
3

14

a >

x

−4

2
49
2 2 2
t 
          −4  x  2.
7
4
7 7 7

(

)

7; 4 10 .

(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho các số thực a,b thỏa mãn
4

(

)

a 7 , log b 2 a + 1 < log b

(

a+

A. a > 1, b > 1 B. 0 < a < 1 < b
Đáp án C

)

a + 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

C. 0 < b < 1 < a

D. 0 < a < 1, 0 < b < 1


Vì 3 a14 > 4 a7 nên a > 1. Với a > 1 thì 2 a + 1 >
( luôn đúng )

(

)

Mặt khác logb 2 a + 1 < logb

(

a+

a + a + 2 Û a + 1>

a 2 + 2a Û 1> 0

)

a + 1 nên 0 < b < 1

Câu 17: (Toán Học Tuổi Trẻ) Từ phương trình:
x

(3 + 2 2 ) - 2(
Đặt t =

(

x

)

2- 1 = 3

x

)

2 - 1 ta thu được phương trình nào sau đây

A. t 3 - 3t - 2 = 0

B. 2t 3 + 3t - 1 = 0

C. 2t 3 + 3t - 1 = 0

D. 2t 3 + 3t - 1 = 0

Đáp án A
Câu 18: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm tất cả các giá trị của m , để phương trình 812 xcó nghiệm
A. m ³

1
3

B. m ³ 0

C. m ³ 1

D. m ³ -

x

=m

1

8

Đáp án C
Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên không dương của
m để phương trình log 1 (x + m)+ log 5 (2 - x) = 0 có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con?
5

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án D
Tập S = {- 1;0} có 4 tập con
Câu 20: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
ép ö
y = 8cot x + (m - 3).2cot x + 3m - 2 đồng biến trên ê ; p ÷
÷
êë4 ÷
ø
A. - 9 £ m < 3

B. m £ 3

C. m £ - 9

D. m < - 9

Đáp án C

ép ö
Đặt t = 2cot x thì t = t (x)= 2cot x nghịch biến trên ê ; p ÷
÷ và tập giá trị của t là (0;2]
êë4 ÷
ø
Bài toán trở thành tìm m để hàm số f (t )= t 3 + (m - 3)t + 3m - 2, t Î (0;2]


Câu 21 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn
a
log 4 a = log6 b = log9 (a + b) . Tính
b
A.

1
2

B.

−1 + 5
2

C.

−1 − 5
2

D.

1+ 5
2

Đáp án B
Đặt log 4 a = log6 b = log9 (a + b) = t

a = 4t
4t + 6t = 9t (*)


 b = 6t
  a  2 t

 = 
t
b  3 
a + b = 9
Vì 9  0, t 
t

2t

nên chia hai vế phương trình

t

2
2

(*) cho 9 ta có:   +   − 1 = 0
3
3
t

 2 t −1 + 5
  =
2
a −1 + 5
3
 
 =
t
b
2
 2  = −1 − 5 (loai )
 3 
2

Câu 22 (Toán Học Tuổi Trẻ): Bất phương trình 2

x2 −3 x + 4

1
 
2

2 x −10

có bao nhiêu nghiệm

nguyên dương?
A. 2

B. 4

C. 6

D. 3

Đáp án D
Bất phương trình: 2 x
 2x

2

−3 x + 4

2

−3 x + 4

1
 
2

2 x −10

 2−2 x+10

 x 2 − 3x + 4  −2 x + 10 vì 2  1
 x2 − x − 6  0
 −2  x  3

Vậy

Câu 23 (Toán Học Tuổi Trẻ)Số nghiệm của phương trình log3 ( x 2 − 6) = log3 ( x − 2) + 1 là


A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

bất phương trình có 3 nghiệm nguyên dương
Đáp án B
TXĐ: D =

(

6; +

)

Phương trình: log3 ( x 2 − 6) = log3 ( x − 2) + 1
 log 3 ( x 2 − 6) = log 3 (3 x − 6)
 x 2 − 3x = 0

x = 0 D

x = 3 D

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất.
Câu 24

(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho log a x = 2,logb x = 3 với a , b là các số thực lớn hơn 1.

Tính P = log a x
b2

B. −6

A. 6

C.

1
6

D. −

Đáp án B.
Ta có: loga x = 2  a = x ;logb x = 3  b = 3 x
Thay vào biểu thức, ta được:

log a x = log
b

2

x
3

x = −6

x2

Câu 25 (Toán Học Tuổi Trẻ)Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:
x
log 2
2
2 − log 2 x  1
log 2 x log 2 x − 1

(

 1
A.  0;   1, 2   ( 2; + )
 2

 1
C.  0;    2; +
 2
Đáp án A.

)

(

 1
B.  0;   1, 2 
 2

 1
D.  0;   1; + )
 2

1
6


Điều kiện: x  ( 0; + ) \ 1;2 (*).
x
2
2 − log 2 x  1  log 2 x − 1 − 2 log 2 x  1.
log 2 x log 2 x − 1
log 2 x
log 2 x − 1

log 2

Đặt t = log 2 x



t − 1 2t
 1
−

 1  t  ( −; −1   0;   (1; + )
t
t −1
 2

(

(

1

 1
 x   −;   1; 2   ( 2; + ) . Kết hợp điều kiện (*) x   0;   1; 2   ( 2; + ) .
2

 2
Câu 26: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
log 32 x − 3log 3 x + 2m − 7 = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn: ( x1 + 3)( x2 + 3) = 72
A. m =

61
2

B. m = 3

C. Không tồn tại

D. m =

9

2

Đáp án D.
 x1 = 3t1
. Ta có:
Đặt t = log 3 x  
t
 x2 = 3 2

t1 + t2 = 3

t1.t2 = 2m − 7

Ta có: ( x1 + 3)( x2 + 3) = 72  3t1 +t2 + 3 ( 3t1 + 3t2 ) + 9 = 72
 3t1 + 3t2 = 12

(1)

Thế t2 = 3 − t1 vào (1) ta có:
3t1 + 33−t1 = 12  32t1 − 12.3t1 + 27 = 0

3t1 = 3
t = 1
 t
1
1
t1 = 2
3 = 9
9
9

 t1.t2 = 2  2m − 7 = 2  m = . Thử lại ta thấy m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
2

Câu 27: (Toán Học Tuổi Trẻ) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn
log
P=

3

x+ y
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của
x + y 2 + xy + 2
2

3x + 2 y + 1
x+ y+6


A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Đáp án C.
Ta có: log
 log

3

3

x+ y
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy
x + y 2 + xy + 2
2

( 3x + 3 y ) + ( 3x + 3 y ) = log

3

(x

2

Xét hàm số f ( t ) = log 3 t + t có f  ( t ) =

+ y 2 + xy + 2 ) + ( x 2 + y 2 + xy + 2 )

1
+ 1  0 với mọi t  0. Từ đó ta có
t ln 3

f ( 3x + 3 y ) = f ( x 2 + y 2 + xy + 2 )

 3x + 3 y = x 2 + y 2 + xy + 2
Khi đó P =

3x + 2 y + 1
có giá trị lớn nhất là 1.
x+ y+6

Câu 28: (Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 10m
và phương trình: 2 log mx −5 ( 2 x 2 − 5 x + 4 ) = log

mx −5

(x

2

+ 2 x − 6 ) có nghiệm duy nhất. Tìm số

phần tử của S
A. 15

B. 14

C. 13

D. 16

Đáp án A.
Phương trình tương đương với:
log

mx −5

( 2x

2

− 5 x + 4 ) = log

mx −5

(x

2

+ 2x − 6)

0  mx − 5  1
0  mx − 5  1
 2

 2 x − 5 x + 4  0
  x = 2
2 x 2 − 5 x + 4 = x 2 + 2 x − 6

 x = 5


kx

0  10 − 5  1


. Để phương trình có nghiệm duy nhất thì có 2 trường
Đặt 10m = k  , ta có: 
x=2

  x = 5

hợp sau:


  2k
  10 − 5  0

 2k
•   − 5 = 1  k  11;13;14;...; 25;30
  10

5k
−5 1
0 
10


  5k
  10 − 5  0

 5k
•  − 5 = 1
(vô nghiệm)
  10


2k
−5 1
0 
10


Vậy có tất cả 15 số nguyen k tương ứng với 15 giá trị của m.