(phần bonus) 37 câu câu nguyên hàm tích phân image marked image marked

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục

Câu 1

trên đoạn a;b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) , trục hoành và
hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D
quanh trục hoành được tính theo công thức
b

b

A. V =   f 2 ( x ) dx

B. V = 2  f 2 ( x ) dx

a

a

b

C. V = 2  f 2 ( x ) dx

b

D. V = 2  f ( x ) dx
a

a

Đáp án A

Câu 2 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 3x 2 + 1 là
A. x 3 + C

B.

x3
+C
3

D. x 3 + x + C

C. 6x + C

Đáp án D
Ta có  f ( x ) dx =  ( 3x 2 + 1) dx = x 3 + x + C
2

Câu 3: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Tích phân

dx

 x + 3 bằng
0

A.

16
225

B. log

C. ln

5
3

= ln 5 − ln 3 = ln

5
3

5
3

D.

2
15

Đáp án C
d ( x + 3)
dx
0 x + 3 = 0 x + 3 = ln ( x + 3)
2

Ta có

2

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Biết

Câu 4:
2

 ( x + 1)
1

2
0

dx
= a − b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c.
x + x x +1

A. P = 24

D. P = 46

C. P = 18

B. P = 12

Đáp án D
2

Ta có I = 
1

Lại có:

(

dx

x ( x + 1)

x +1 + x

(

)(

x +1 + x

)

)

2

x +1 − x = 1  I = 
1

(

= 2 x − 2 x +1

)

2
1

x +1 − x

1 
 1
dx =  
−
dx
x
x
+
1
x ( x + 1)


1
2

= 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 2  a = 32; b = 12;c = 2


Vậy a + b + c = 46.
Câu 5 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho

(H) là

hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 3x 2 , cung tròn có phương trình

y = 4 − x2

(với 0  x  2 ) và trục hoành

(phần tô đậm trong hình vẽ).

Diện tích của (H) bằng
A.

4 + 3
12

B.

4 − 3
12

C.

4 + 2 3 − 3
6

D.

5 3 − 2
3

Đáp án B
Phương trinh hoành độ giao điểm là:
1

0  x  2
3x 2 = 4 − x 2   4
 x = 1.
2
3x = 4 − x
2

Dựa vào hình vẽ ta có: S =  3x 2dx +  4 − x 2 dx = 3
0

1

x3
3

1
0

+ I1 =

3
+ I1
3

2

Với I1 =  4 − x 2 dx, sử dụng CASIO hoặc đặt x = 2sin t  dx = 2cos tdt
1

Đổi cận

 I1 =


6

x = 2 t =
2

x =1 t =


2


2


6


6

 I1 =  4 − 4sin 2 t.2 cos tdt =  2 (1 + cos2t ) dt = ( 2t − sin 2t )


2

6

4 − 3
1
.
4 − 3 3 . Do đó S =
6
6

(

)

Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018): Cho hàm số f ( x ) xác định
trên

2
1 
, f ( 0 ) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức
\   thỏa mãn f ' ( x ) =
2x − 1
2

f ( −1) + f ( 3) bằng:
A. 4 + ln15

B. 2 + ln15

Đáp án C
Ta có  f ' ( x ) dx = ln 2x − 1 + C

C. 3 + ln15

D. ln15


Hàm số gián đoạn tại điểm x =
Nếu x 

1
2

1
 f ( x ) = ln ( 2x − 1) + C mà f (1) = 2  C = 2
2

Vậy f ( x ) = ln ( 2x − 1) + 2 khi x 

1
2

Tương tự f ( x ) = ln (1 − 2x ) + 1 khi x 

1
2

Do đó f ( −1) + f ( 3) = ln 3 + 1 + ln 5 + 2 = ln15 + 3.
(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo

Câu 7:

1

hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f (1) = 0,  f ' ( x )  dx = 7 và
2

0

1

1

 x f ( x ) dx = 3
2

.Tích

0

1

phân  f ( x ) dx bằng
0

A.

7
5

B. 1

C.

7
4

D. 4

Đáp án A
1
1


u = f ( x )
du = f ' ( x ) dx
2
3
1
3x
f
x
dx
=
x
.f
x
−
x 3f ' ( x ) dx.

,
Đặt 

khi
đó
(
)
(
)

0


2
3

0
0
dv = 3x dx 
v = x

1

1

1

0

0

0

Suy ra 1 = f (1) −  x 3f ' ( x ) dx   x 3f ' ( x ) = −1   14x 3f ' ( x ) dx = −7
Mà
1

1

1

1

1

3
 49x dx = 7 suy ra  f ' ( x ) dx +  7x f ' ( x ) dx +  49x dx = 0   f ' ( x ) + 7x  dx = 0.
2

6

0

0

3

0

2

6

0

0

1

7
7
7
Vậy f ' ( x ) + 7x 3 = 0  f ( x ) = − x 4 + C mà f (1) = 0  f ( x ) = (1 − x 4 )   f ( x ) dx = .
4
4
5
0

Câu 8 (ĐỀ THI THỬ 2018)Giới hạn lim
x →3

a
x + 1 − 5x + 1
bằng
b
x − 4x − 3

(phân số tối giản). Giá

trị của a − b là:
A. 1
Đáp án A

B.

1
9

C. −1

D.

9
8


Ta có

(

)

(

)

x + 4x − 3 ( x − 3) x
x x + 4x − 3
x + 1 − 5x + 1
9
= lim
= lim
=

x →3 x − 4x − 3
x →3
x →3
x + 1 + 5x + 1 ( x − 3)( x − 1)
( x − 1) x + 1 + 5x + 1 8

lim

(

)

(

)

Suy ra a = 9; b = 8  a − b = 1
Câu 9: (ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) = cos3 x
A.  f ( x ) dx =

1  sin 3x

+ 3sin x  + C
B.  f ( x ) dx = 
4 3


cos 4 x
+C
x

cos 4 x.sin x
D.  f ( x ) dx =
+C
4

1
3
C.  f ( x ) dx = sin 3x − sin x + C
12
4

Đáp án B
Ta có  f ( x ) dx =  cos3 xdx =

1
1 sin 3x

+ 3sin x  + C
( cos 3x + 3cos x ) dx = 

4
4 3

4

Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Biết I =  x ln ( 2x + 1) dx =
0

nguyên dương và

a
ln 3 − c , trong đó a, b, c là các số
b

a
là phân số tối giản. Tính S = a + b + c
b

A. S = 60

B. S = 17

C. S = 72

D. S = 68

Đáp án B
2

du =
dx

u = ln ( 2x + 1) 
 x2

2x + 1


I

=
Đặt 
 2 ln ( 2x + 1) 
2
dv = xdx


v = x

2

 x2

 I =  ln ( 2x + 1) 
2


4
0

0

4

x2
dx
2x + 1
0

−

4
x 1

 x2

1
−   − +
dx
=
ln ( 2x + 1) 


2 4 4 ( 2x + 1) 
2

0

a = 63
63

 I = ln 3 − 3  b = 4  S = a + b + c = 70
4
c = 3

Cách : PP hằng số

4

4

0

 x2 1

1
−  − x + ln ( 2x + 1) 
8
 4 4


4
0


Đặt
2

du = 2x + 1 dx
u = ln ( 2x + 1) 
 4x 2 − 1



I
=


1
 8 ln ( 2x + 1) 
2

x −
dv = xdx



4 = ( 2x + 1)( 2x − 1)
v =
2
8


x 2 − 4)
(
63
 I = ln 9 =
8
4

4
0

x2
chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính
2

bằng 2 2 thành hai phần có diện tích S1 và S2 , trong đó S1  S2 . Tìm tỉ số
3 + 2
21 − 2

0

2x − 1
dx
4
0
4

−

a = 63
63

= ln 3 − 3  b = 4  S = a + b + c = 70
4
c = 3


Câu 11 (ĐỀ THI THỬ 2018)Parabol y =

A.

4

B.

3 + 2
9 − 2

C.

3 + 2
12

S1
S2

D.

9 − 2
3 + 2

Đáp án B
x 2 + y2 = 8
 x = 2


Ta có 
x2
y = 2
y =

2

Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên
2

x2 
4
Khi đó S1 =   8 − x 2 −  dx = 2 +
2 

3
−2 

(bấm máy tính)

4
2 +
4
S1
3 = 3 + 2
=
Suy ra S2 = 8 − S1 = 6 − . Suy ra
3
S2 6 = 4 9 − 2
3

Câu 12 (ĐỀ THI THỬ 2018): Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các
đường y = x 2 và x = y2 quay quanh trục Ox bằng bao nhiêu?
A.

3
10

B. 10

C.

10 
3

D. 3

Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C1 ) , ( C2 )
Trong đoạn x 0;1 suy ra y = x 2 ; y = x

 y = x 2
x = y = 0

LÀ 
 x = 1; y = 1
2
 x = y



1
 x5 x 2 
Thể tích khối tròn xoay cần tính là VOx =   ( x 4 − x ) dx =   − 
2 
 5
0

1

=

0

3

10

Câu 13 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho hai hàm số F ( x ) = ( x 2 + ax + b ) e − x và
f ( x ) = ( − x 2 + 3x + 6 ) e − x . Tìm a và b để F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )

B. a = −1, b = −7

A. a = 1, b = −7

C. a = −1, b = 7

D. a = 1, b = 7

Đáp án B
Ta có F' ( x ) = ( − x 2 + ( 2 − a ) x + a − b ) e − x = f ( x ) nên 2 − a = 3 và a − b = 6
Vậy a = −1 và b = −7
Câu 14 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
1

3

1

0

0

−1

và có

 f ( x ) dx = 2;  f ( x ) dx = 6 . Tính I =  f ( 2x − 1 ) dx
A. I =

2
3

3
2

C. I =

B. I = 4

D. i = 6

Đáp án B
1

1
2

−1

−1

1

Có I =  f ( 2x − 1 ) dx =  f (1 − 2x ) dx +  f ( 2x − 1) dx
1

2

1

12
= −  f (1 − 2x ) d (1 − 2x )
2 −1

1

+
t =1− 2x

1
f ( 2x − 1) d ( 2x − 1)
2 1

t = 2x −1

2
0

=−

1

0

1

1
1
1
1
1
1
f ( t ) dt +  f ( t ) dt = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = .6 + .2 = 4

23
20
23
20
2
2

Câu 15 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tính diện tích S của hình phẳng

(H) giới

hạn bởi đường cong y = −x 3 + 12x và y = −x 2
A. S =

343
12

B. S =

793
4

C. S =

397
4

Đáp án D
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình;

D. S =

937
12


x = 4
− x + 12x = − x  − x + 12x + x = 0   x = −3
 x = 0
3

2

0



Ta có S =

−3

3

2

4

− x 3 + 12x + x 2 dx +  − x 3 + 12x + x 2 dx
0

0

4

−3

0

=

3
2
3
2
 ( x − 12x − x ) dx +  ( −x + 12x + x ) dx =

99 160 937
+
=
4
3
12

Câu 16 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để
x + 1 −1
x

k

có

 ( 2x − 1) dx = 4 lim
x →0

1

 k = −1
C. 
 k = −2

k = 1
B. 
 k = −2

k = 1
A. 
k = 2

 k = −1
D. 
k = 2

Đáp án D

( 2x − 1)
1
Ta có  ( 2x − 1) dx =  ( 2x − 1) d ( 2x − 1) =
21
4
1
k

k

x + 1 −1
= 4 lim
x →0
x

Mà 4 lim =
x →0

(

)(

k

( 2k − 1)
=
4

1

) = 4 lim

x + 1 −1

x +1 +1

(

)

x

2

x +1 +1

x →0

2

=

1
4

1
=2
x +1 +1

( 2k − 1) − 1 = 2  2k − 1 2 = 9  k = 2
x + 1 −1
Khi đó  ( 2x − 1) dx = 4lim

(
)
 k = −1
x →0
x
4

1
2

k

Câu 17 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho f ( x ) là hàm liên tục trên đoạn 0;a 
a
f ( x ) .f ( a − x ) = 1
dx
ba
=
thỏa mãn 
và 
, trong đó b, c là hai số nguyên dương và
1
+
f
x

c
(
)
f
x

0,

x

0;a
(
)



0

b
là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
c

A. (11;22 )

B. ( 0;9 )

C. ( 7;21)

D. ( 2017;2020 )

Đáp án B
Đặt t = a − x  dt = −dx
Đổi cận x = 0  t = a; x = a  t = 0
0
a
a
a
f ( x ) dx
dx
−dt
dx
dx
=
=
=
=
1 + f ( x ) a 1 + f (a − t ) 0 1 + f (a − x ) 0 1 + 1
1+ f (x )
0
0
f (x)

a

Lúc đó I = 


a
f ( x ) dx a
dx

+
= 1dx = a
Suy ra 2I = I + I = 
1 + f ( x ) 0 1 + f ( x ) 0
0
a

1
Do đó I = a  b = 1; c = 2  b + c = 3
2

Cách 2: Chọn f ( x ) = 1 là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được
1
I = a  b = 1; c = 2  b + c = 3
2

Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ): Tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x ) = x ln x
A.
C.



1 32
f ( x ) dx = x ( 3ln x − 2 ) + C
9

B.



f ( x ) dx =

2 32
x ( 3ln x − 1) + C
9

D.



2 32
f ( x ) dx = x ( 3ln x − 2 ) + C
3



f ( x ) dx =

2 32
x ( 3ln x − 2 ) + C
9

Đáp án D.


=

x ln xdx =

2

2
1
x x ln x −  x x . dx
3
3
x

2
4
2
x x ln x − x x + C = x x ( 3ln x − 2 ) + C
3
9
9

Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay
khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = x2 và đường thẳng d : y = 2 x
quay xung quanh trục Ox
2

2

A.   ( x − 2 x ) dx

2

0

0

2

2

0

0

2

B.   4x dx −  x 4 dx

2

2

0

2

D.   ( 2x − x 2 ) dx

C.   4x 2 dx +  x 4 dx

0

Đáp án D.
2
2 2


Thể tích của khối tròn xoay là: V =    4 x dx −  x 4 dx 
0
0


Câu 20: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
1

f ( tan x ) = cos x, x  . Tính I =  f ( x ) dx
4

0

thỏa mãn


A.

2+
8

B. 1 C.

2+
4

D.


4

Đáp án A.
1


f ( tan x ) = cos 4 x  f ( tan x ) = 

2
 tan x + 1 

 f ( x) =

(x

2

2+
.
8

1

1

+ 1)

2

2

  f ( x ) dx =
0

Câu 21: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
y = e x −1 , cắt trục tọa độ và phần đường thẳng y = 2 − x với x  1. Tính thể tích
khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành
1 e2 − 1
A. V = + 2
3 2e

1
2

C. V = +

B. V =

e −1

e

 ( 5e2 − 3)
6e2

1
2

D. V = +

e2 − 1

2e2

Đáp án B.
Ta có e x −1 = 2 − x  x = 1

(do hàm số f ( x ) = ex−1 + x − 2 đồng biến trên

và

f (1) = 0).
1

Suy ra V =   e

2 x−2

2

dx +   ( 2 − x ) dx =
2

0

1

 ( 5e2 − 3)
6e 2

Câu 22: (Toán Học Tuổi Trẻ) Xét hàm số y = f ( x ) liên tục trên miền
D =  a; b có đồ thị là một đường cong C. Gọi S là phần giới hạn bởi C và các

đường thẳng x = a, x = b. Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S
b

bằng



1 + ( f  ( x ) ) dx. Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của
2

a

hàm số f ( x ) = ln x và bị giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 3 là
m − m + ln

1+ m
với m, n 
n

A. 6 B. 7 C. 3 D. 1

thì giá trị của m2 − mn + n 2 là bao nhiêu?


Đáp án B.
3

L=



1+

1

1
dx. Đặt u = 1 + x2 ta có:
2
x

u2
1 u −1 

L =  2 du =  u + ln

u −1
2 u +1 

2
2

2

= 2 − 2 + ln
2

1+ 2
.
3

Do đó m = 2, n = 3  m2 − mn + n 2 = 7.
Câu 23: (Toán Học Tuổi Trẻ)Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x.e2 x là
1
1
A. F ( x) = e2 x  x −  + C

1
B. F ( x) = 2e2 x  x −  + C

C. F ( x) = 2e2 x ( x − 2 ) + C

D. F ( x) = e2 x ( x − 2 ) + C

2



2



2

1
2

Đáp án A
I =  xe2x dx
du = dx

u = x


Đặt 
e2 x
2x
dv = e dx v =

2

I =  xe2 x dx =

xe2 x 1 2 x
1
1

−  e dx = e2 x  x −  + C
2
2
2
2


Câu 24: (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số f ( x) liên tục trên

và thỏa mãn


1

4

 f (tan x)dx = 4
1

và


0

A. 6

x 2 f ( x)
x2 + 1

dx = 2 . Tính tích phân I =  f ( x)dx

B. 2

Đáp án A

4

Ta có I1 =  f (tan x)dx = 4
0

1

0

C. 3

D. 1


Đặt t = tan x  dt =

dx
cos2 x

 dt = (1 + tan 2 x)dx = (1 + t 2 )dx 
1

 I1 = 

1

f (t )

0 t +1

1

I2 = 
0

2

dt = 
0

f ( x)
x2 + 1

dt
1+ t2

= dx

dx = 4

2

x f ( x)
x2 + 1

1

1

0

0

=  f ( x)dx − 

dx
f ( x)
x2 + 1

1

dx =  f ( x)dx − 4 = 2
0

1

  f ( x)dx = 6
0

2

Câu 25 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết
các số nguyên dương và
A. 4
Đáp án A
2

0

ln x
x2

dx

dx

u = ln x
du =



x
Đặt 

1
dv = 2 dx v = − 1
x


x
2

I =
1

ln x
x2

2

dx = −

(với a là số thực, b, c là

b
là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a + 3b + c
c

B. -6

Có I = 

ln x
b
dx = + a ln 2
x
c
1



2

ln x
1
+  2 dx
x 1 1x

2

ln 2 1
1 1
=−
−
= − ln 2
2
x1 2 2
 1
 2a + 3b + c = 2.  −  + 3.1 + 2 = 4
 2

C. 6

D. 5


Cõu 26: (Toỏn Hc Tui Tr) Gi S l din tớch hỡnh phng gii hn bi
th hm s ( H ) : y =

x 1
v cỏc trc ta . Khi ú giỏ tr ca S bng
x +1

A. S = ln 2 1 (vtt)
D. S = ln 2 +1
S = 2ln 2 + 1 (vtt)

B. S = 2ln 2 1
(vtt)

(vtt)

C.

ỏp ỏn B
th hm s ct Ox ti (1; 0) Oy ti (0; 1)
1

1

x 1
2

S=
dx = 1
dx
x +1
x +1
0
0
1

= x 2 ln ( x + 1) = 2 ln 2 1
0

Cõu 27 (Toỏn Hc Tui Tr): Vi mi s nguyờn dng n ta kớ hiu
1

In =

2 n

ũ x (1- x ) dx . Tớnh
2

lim

xđ + Ơ

0

A. 1

I n+ 1
In

B. 2

C. 3

D. 5

ỏp ỏn A
1

Vi mi s nguyờn dng n ta kớ hiu I n =

2

0
1

I n+ 1 =

2 n+ 1

ũ x (1- x )
2

1

3

0

0

1

Vi tớch phõn J =

2 n

ũ x .x (1- x ) dx .

dx = I n -

2 n

ũ x .x (1- x ) dx
3

ta t:

0

ỡù
u = x3
ùù
ùớ
n+ 1 ị

1
ùù v = 1- x 2 )
(
2 (n + 1)
ùùợ

ỡù u Â= 3x 2
ùù
ớ
ùù v Â= x (1- x 2 )n
ùợ

ổ - x3
ử1
2 n+ 1 ữ
ỗ
ị J=ỗ
1- x ) ữ
+
ữ
ỗố 2n + 1 (
ữ
ứ0

ị J=

1

ũ
0

n+ 1
3x 2
1- x 2 ) dx
(
2 (n + 1)

3
3
I n+ 1 ị I n+ 1 = I n I n+ 1
2 (n + 1)
2 (n + 1)

2 n

ũ x (1- x ) dx . Khi ú


ị

I n + 1 2n + 2
=
In
2n + 5
I n+ 1
=1
In

lim

xđ + Ơ

0

Cõu 28: (Toỏn Hc Tui Tr)Cho tớch phõn

ũ cos 2 x cos 4 xdx = a + b

3 , trong

- p
3

ú a,b l cỏc hng s hu t. Tớnh ea + log 2 b
A. -2

B. -3

C.

1
8

D. 0

ỏp ỏn A
t t = sin 2x , tớnh ra a = 0, b = -

1
nờn ea + log2 b = - 2

8

Cõu 29 (Toỏn Hc Tui Tr)Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th
(P): y = x2 - 4x + 5 v cỏc tip tuyn vi (P) ti A(1;2), B (4;5)
A.

9
4

B.

4
9

C.

9
8

D.

5
2

ỏp ỏn A
ổ5 ử

Tip tuyn vi (C ) ti A,B l d1 : y = - 2 x + 4, d 2 : y = 4 x - 11, d1 ầ d 2 = M ỗỗỗ ;1ữữữ
ố2 ứ
Din tớch cn tớnh l

5
2

S = ũ ộờ(x 2 - 4 x + 5)- (- 2 x + 4)ự
dx +
ỳ
ở
ỷ
1

4

ũ ộờở(x
5
2

2

9
- 4 x + 5)- (- 4 x - 11)ự
dx =
ỳ
ỷ
4

(vdt)

Cõu 30 (Toỏn Hc Tui Tr)Tỡm giỏ tr dng ca k
lim

x +

( 3k + 1) x 2 + 1
x

A. k = 12 .

= 9 f ( 2 ) vi f ( x ) = ln ( x 2 + 5 ) .

B. k = 2 .

C. k = 5 .

D. k = 9 .


Đáp án C
f ( x)

(x
=

+ 5)

2

x +5
2

=

2x
4
, f  ( 2) = .
x +5
9
2

Do đó
lim

( 3k + 1) x 2 + 1

x →+

x

4
= 9 f  ( 2 )  3k + 1 = 9.  k = 5 .
9

.
x 3 + 2x 2 + 3
1
3
0 x + 2 d x = a + b ln 2 ( a, b  0 ) . Tìm các
1

Câu 31 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết
ab

 d x  lim

giá trị k để

x →+

8

A. k  0.

(k

2

+ 1) x + 2017
x + 2018

B. k  0 .

C. k  0.

D. k  .

Đáp án B
1
3
x 3 + 2x + 3
3 
1

3

+ b ln = 
d x =   x2 +
 d x = + 3ln .
a
2 0 x+2
x+2
3
2
0
1

1

Suy ra: ab − 8  k 2 + 1  3.3 − 8  k 2 + 1  k  0 .
Câu 32 (Toán Học Tuổi Trẻ)Giả sử a, b, c là các số nguyên thỏa mãn
2x 2 + 4x + 1
1
4
2
0 2x + 1 d x = 2 1 ( au + bu + c ) du , trong đó u = 2x +1 . Tính giá trị S = a + b + c.
4

3

A. S = 3.

B. S = 0 .

C. S = 1 .

D. S = 2 .

Đáp án D
Đặt u = 2x + 1  x =

u2 −1
2

u 4 + 2u 2 − 1
 udu = d x, 2x + 4x + 1 =
.
2
2

Ta được

2x 2 + 4x + 1
1
4
2
0 2x + 1 d x = 2 1 ( au + bu + c ) du , với a = 1, b = 2, c = −1  a + b + c = 2.
4

3


Câu 33 (Toán Học Tuổi Trẻ): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong
y=

ln x
, trục hoành và đường thẳng x = e . Khối tròn xoay tạo thành khi quay
x

(H) quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?




A. V = .

B. V = .

2

3

C. V =


6

D. V =  .

.

Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

ln x
và trục hoành là: số
x

x  0
ln x
=0
 x = 1.
x
ln x = 0


 ln x 
2
V =   
 d x =   ln xd ( ln x ) = 3 .
x
1
1
e

2

e

Câu 34 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số f ( x ) xác định trên
f ( x) =

1
, f ( 0 ) = 2017,

x −1

A. S = 1 .

\ 1 thỏa mãn

f ( 2 ) = 2018 . Tính S = f ( 3) − f ( −1) .

B. S = ln 2 .

C. S = ln 4035 .

D. S = 4 .

Đáp án A
x  ( −;1) thì f ( x ) =  f  ( x ) d x = ln (1 − x ) + C1 .
x  (1; + ) thì f ( x ) =  f  ( x ) d x = ln (1 − x ) + C2 .

 f ( 0 ) = 2017 C1 = 2017

; S = f ( 3) − f ( −1) = 1

C
=
2018
f
2
=
2018
(

)

2



Câu 35 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết luôn có hai số a, b để
F ( x) =

ax + b
( 4a − b  0 ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) và thỏa mãn
x+4

2 f 2 ( x ) = ( F ( x ) − 1) f  ( x ) . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

A. a = 1, b = 4.

B. a = 1, b = −1.

C. a = 1, b  \ 4 . D. a  , b  .


Đáp án C
f ( x) = F( x) =

4a − b

( x + 4)

2

= ( 4a − b )( x + 4 )

 f  ( x ) = −2 ( 4a-b)( x + 4 ) =
−3

−2

−2 ( 4a − b )

( x + 4)

3

Ta có 2 f 2 ( x ) = ( F ( x ) −1) f  ( x )


2 ( 4a − b )

( x + 4)

4

2

=

−2 ( 4a − b ) ( a − 1) x + b − 4 

( x + 4)

 4a − b = − ( a −1) x − b + 4

4

(*) (do x  −4, 4a − b  0 ).

Biểu thức (*) đúng với mọi x  −4 nên có a = 1, b  .
Do 4a − b  0 nên a = 1, b = \ 4 .