(trường chuyên) 135 câu tích phân nguyên hàm năm 2018 image marked image marked

Câu 1(Chuyên Đại Học Vinh)
Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = 1, y = 0 và y = 2x + 1 .
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo
công thức
1

1

1

0

0

0

A. V =   2x + 1dx B. V =   ( 2x + 1) dx C. V =  2x + 1dx

D.

1

V =  ( 2x + 1) dx
0

B. y = x 2 − 3x + 1
C. y = x 3 − 3x 2 + 1
D. y = −x 4 + 3x + 1
Đáp án

B

Phương pháp: Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = f ( x ) ; y = g ( x ) và các đườn thẳng x = a; x = b ( a  b ) quanh trục Ox ta được khối
b

tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: V =   f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
a

1

Cách giải: Ta có V =  
0

(

)

1

2x + 1 dx =  ( 2x + 1) dx =
2

0

1

Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh)Tích phân



0

A.

3
2

B.

2
3

dx
dx bằng
3x + 1

C.

1
3

Đáp án B
Phương pháp:
+) Đổi biến và đổi cận để đơn giản biểu thức cần tính tích phân.
+) Sử dụng công thức tính tích phân của các hàm cơ bản để tính.
Cách giải:
Đặt

3x + 1 = t  t 2 = 3x + 1  2tdt = 3dx

D.

4
3


2
2
 x = 0  t = 1 1 dx
1 2t
2
2
2

=
.
dt
dt = t =
Đổi cận: 



3 1 3
 x = 1  t = 2 0 3x + 1 1 t 3 1 3
2

Câu

3

(Chuyên

Đại

Học

1

f ( 2 ) = 16,  f ( 2x ) dx = 2. Tích phân
0

A. 28

f (x)

Vinh)Cho

liên

tục

trên

và

2

 xf ' ( x ) dx bằng
0

B. 30

C. 16

D. 36

Đáp án A
Phương pháp:
2

+) Đặt ẩn phụ t = 2x tính

 f ( x ) dx
0

2

+) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính

 x.f ' ( x ) dx.
0

Cách giải:
1

Xét

 f ( 2x ) = 2,

đặt 2x = t  2dx = dt  dx =

0

2

2=

x = 0  t = 0
dt
. Đổi cận 
2
x = 1  t = 2

2

1
f ( t ) dt   f ( x ) dx = 4
2 0
0

Đặt
2
2
u = x
du = dx
2

  x.f ( x ) dx = x.f ( x ) 0 −  f ( x ) dx = 2f ( 2 ) − 4 = 2.16 − 4 = 28

dv = f ' ( x ) dx

 v = f ( x ) 0
0

Câu 4: (Chuyên Đại Học Vinh)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn

 0;1 và f ( 0) + f (1) = 0 . Biết
A.

3
2

Đáp án B
Phương pháp:

B.

2


1

2
0 f ( x ) dx = 2 , 0 f ' ( x ) cosdx = 2 . Tính
1

1

C. 

1

 f ( x ) dx
0

D.

1



1

+) Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân

 f ' ( x ) .cosxdx.
0

1

+) Sử dụng kết quả

 f ( x ) + k.sin x 

2

dx = 0 tính f ( x )

0

1

+) Lấy tích phân từ 0 đến 1 cả 2 vế tính

 f ( x ) dx
0

Cách giải:
u = cosx
du = − sin xdx

Đặt 
dv = f ' ( x ) dx  v = f ( x )
1

 f ' ( x ) .cosxdx = f ( x ) .cosx

Ta có

1

1
0

0

+  f ( x ) .sin xdx
0


1

= − f (1) + f ( 0 )  +  f ( x ) .sin xdx =   f ( x ) .sin dx =
2
2
0
0
1

1

1

Xét

 f ( x ) + k.sin x 

2

0

1

dx = 0   f
0

1

2

1

( x ) dx + 2k. f ( x ) .sin xdx + k . sin 2 ( x ) dx = 0
2

0

0

1
1 1
2
 k 2 + 2k. + = 0  ( k + 1) = 0  k = −1. Suy ra
2
2 2

1

2

 f ( x ) − sin x  dx = 0
0

cosx
1 1 2
= + =
Vậy f ( x ) = sin x   f ( x ) dx =  sin xdx = −
x 0   
0
0
1

1

1

Câu 5: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
1

mãn

 f ( x ) dx = 9. Tính

−5

A. 27

và thỏa

2

 f (1 − 3x ) + 9 dx .
0

B. 21

C. 15

D. 75

Đáp án B
Ta có

2

2

2

0

0

0

 f (1 − 3x ) + 9 dx =  f (1 − 3x ) dx + 9 dx

Đặt
2
−5
1
x = 0 → t = 1
1
1
t = 1 − 3x  dt = −3dx, 
  f (1 − 3x ) dx = −  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 3
31
3 −5
 x = 2 → t = −5 0


2

Suy ra

2

 f (1 − 3x ) + 9 dx = 3 + 9 dx = 3 + 9x
0

2
0

= 21

0

Câu 6:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol
x2
x2
y=
và đường cong có phương trình y = 4 −
(hình vẽ). Diện tích của hình phẳng
12
4

(H) bằng

(

2 4 + 3

A.

)

3

B.

4 + 3
6

4 3+
6

C.

D.

4 + 3
3

Đáp án A
PT hoành độ giao điểm là

x2
x2
x4
x2
= 4−


= 4 −  x 2 = 12  x = 2 3
12
4
144
4

(

2 4 + 3

x2 x2 
4
−
−
dx
=



4 12 
3
−2 3 
2 3

Suy ra S =

)

2

Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Biết

 2x ln ( x + 1) dx = a ln b,

với

0

a, b 

*

và b là số nguyên tố. Tính 6x + 7b

A. 33
Đáp án D

B. 25

C. 42

D. 39


1

2
2
u = ln ( x + 1) du =
x2

2
2

dx
Đặt 
x + 1   2x ln ( x + 1) dx =  x ln ( x + 1)  0 − 
x +1
dv = 2xdx
0
0
v = x 2

2

2

a = 3
1 

2
2 x
 x ln ( x + 1)  −   x − 1 +


 dx =  x ln ( x + 1)  0 −  − x + ln ( x + 1)  = 3ln 3  b = 3
x +1 

2
0
0

 6a + 7b = 39
2

2

2
0

1

Câu 8 (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Tích phân

dx

 2x + 5 dx bằng
0

1
7
log
2
5

A.

B.

1 7
ln
2 5

C.

1 5
ln
2 7

D. −

4
35

Đáp án B

ln 2x + 5
dx
Ta có 
=
2x + 5
2
0
1

1

ln 7 ln 5 1 7
−
= ln
2
2

2 5

=
0

Câu 9: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên
trên

tục

đoạn

 0;1

thỏa

mãn

2
1

3 f ' ( x ) . f ( x )  +  dx  2  f ' ( x ).f ( x ) dx. Tính
9
0 
0
1

1

A.

3
2

B.

5
4

C.

điều

kiện

1

 f ( x )

3

f ( 0) = 1

dx.

0

5
6

D.

7
6

Đáp án D
1

1

2
1
Giả thiết  3  f ' ( x ).f ( x )  dx  2  f ' ( x ).f ( x ) dx


3
0
0

1

2

1

1

1

0

0

0

2

  3 f ' ( x ) .f ( x )  dx − 2  3 f ' ( x ).f ( x ) dx +  dx  0   3 f ' ( x ).f ( x ) − 1 dx  0




0

Khi đó 3 f ' ( x ).f ( x ) −1 = 0  9f ' ( x ) .f 2 ( x ) = 1   9f ' ( x ) .f 2 ( x ) dx =  dx = x + C
1
  9f 2 ( x ) d ( f ( x ) ) = x + C  3f 3 ( x ) = x + C mà f ( 0 ) = 1  C = 3  f 3 ( x ) = x + 1
3

và


1

 x2

7
1

Vậy  f ( x )  dx =   x + 1dx =  + x  =

3

 6
0 6
0
0
1

3

1

Câu 10:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam Tìm

 x cos 2xdx.

1
1
x.sin 2x − cos2x + C.
2
4
1
1
C. x.sin 2x + cos2x + C.
2
2
Đáp án D.

B. x.sin 2x + cos2x + C.

A.

D.

1
1
x.sin 2x + cos2x + C.
2
4

du = dx
u = x
1
1

Đặt 

  x cos 2xdx = x sin x2x −  sin 2xdx
1
2
2
dv = cos2xdx  v = sin 2x

2
1
1
= x sin 2x + cos2x + C.
2
4
Câu 11:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  a; b . Diện

tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b được tình theo công thức.
b

b

B. S =  f ( x ) dx.

A. S =  f ( x )  dx.
2

a

a

b

b

D. S =  f ( x ) dx.

C. S =  f ( x ) dx.

a

a

Đáp án D.

2

Câu 12:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Biết

 cos xdx = a + b

3, với a, b là các số hữu tỉ.


3

Tính T = 2a + 6b.
A. T = 3. B. T = −1. C. T = −4. D. T = 2.
Đáp án B.
Ta có


2


2


3


3

 cos xdx = s inx

a = 1

1

= 1−
3
1  T = −1.
2
b
=
−


2
1

Câu 13: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Tính I =  e3x .dx.
0

A. I = e3 − 1.

B. I = e −1.

C. I =

e3 − 1
.
3

1
D. I = e3 + .
2

Đáp án C.
1

Ta có: I =  e3x .dx =
0

e3x
3

1

=
0

e3 − 1
.
3

Câu 14: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam )Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm
trên R thỏa mãn f ( 2 ) = −2;

2

 f ( x ) dx = 1.
0

A. I = −10.
Đáp án A.

Khi đó I =  f '
0

Tính tích phân I =  f '

B. I = −5.

( x ) dx.

0

C. I = 0.

D. I=-18.

x = 0  t = 0
dx
.
 dx = 2tdt và 
2 x
x = 4  t = 2

Đặt t = x  dt =
4

4

( x ) dx =  2t.f ' ( t ) dt = 2 t.f ' ( t ) dt
2

2

0

0

u = t
du = dt

, suy ra
Đặt 
dv = f ' ( t ) dt
 v = f ( t ) '
2

2

2
 t.f ' ( t ) dt = t.f ( t ) 0 −  f ( t ) dt = 2f ( 2 ) − 1 = −5.
0

Vậy tích phân I = 2. ( −5) = −10.
Câu 15: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho

3

3

0

2

 f ( x ) dx = a,  f ( x ) dx = b. Khi đó

2

 f ( x ) dx

bằng:

0

A −a − b.
Đáp án D.
Ta có:

B. b − a

2

3

3

0

0

2

C. a + b.

D. a − b.

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx = a − b.
2

Câu 16: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho

 f (x

2

+ 1) x dx = 2. Khi đó

1
5

I =  f ( x ) dx bằng
2

A. 2.
Đáp án D.

B. 1.

x = 1 → t = 2
Đặt t = x 2 + 1  dt = 2xdx, 
x = 2 → t = 5

C. -1.

D. 4.


2

5

5

1
1
I
  f ( x + 1) xdx =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  I = 4.
22
22
2
1
x

b

Câu 17: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Biết

 ( 2x − 1) dx = 1.

Khẳng định nào sau

a

đây đúng?
A. b − a = 1.

B. a 2 − b 2 = a − b + 1. C. b 2 − a 2 = b − a + 1. D. a − b = 1.

Đáp án C.
Ta có

b

b

a

a

2
 ( 2x −1) dx = ( x − x )

= ( b 2 − a 2 ) − ( b − a ) = 1  b 2 − a 2 = b − a + 1.

Câu 18:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;1 và
1

thỏa mãn 2f ( x ) + 3f (1 − x ) = 1 − x 2 . Tính I =  f ( x ) dx.
0



.
4
Đáp án C.

A.

B.

1


.
6

C.

1


.
20

D.

1


.
16

1

Ta có 2I =  2f ( x ) dx =   1 − x 2 − 3f (1 − x ) dx =  1 − x 2 dx − 3 f (1 − x ) dx.


0
0
0
0
1

Mà



1 − x 2 dx =

0


(casio) và
4

1

1

0

0

 f ( x ) dx =  f (1 − x ) dx  2I =



− 3I  I = .
4
20

Câu 19: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi
quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b xung quanh trục Ox.
b

b

A.   f 2 ( x ) dx

B.

2
 f ( x ) dx
a

a

b

C.   f ( x ) dx
a

b

D. 2  f 2 ( x ) dx
a


4

Câu 20:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Tính tích phân I =  tan 2 x dx .
0

A. I = 1 −

Đáp án A


4

B. I = 2

C. I = ln 2

D. I =


12




4


4



 1

4
−
1
dx
=
tanx-x
Ta có I =  tan 2 xdx =  
(
)
0 = 1−

2
cos x 
4
0
2

Câu 21:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Tích phân

2

 2x + 1 dx

bằng

0

A. 2ln5

B.

1
ln 5
2

C. ln 5

D. 4ln5

Đáp án C
2

2

2
2
2
0 2x + 1dx = 0 2x + 1d ( 2x + 1) = ln 2x + 1 |0 = ln 5

3

Câu 22: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho I = 
0

x
4 + 2 x +1

dx =

với a, b, c là các số nguyên. Gía trị của a + b + c bằng
A. 1
B. 2
C. 7
Đáp án A

a
+ b ln 2 + c ln 3,
3

D. 9

2 2
2 3
x = 0  t = 1
t −1
t −t
I=
2tdt = 
dt
Đặt t = x + 1  t = x + 1  2tdt = dx; 
4 + 2t

t+2
x = 3  t = 2
1
1
2
a = 7
2
 t3 2

6 
7

 2
1  t − 2t + 3 − t + 2  dt =  3 − t + 3t − 6ln x + 2  = 3 − 12ln 2 + 6ln 3  b = −12  a + b + c = 1
c = 6
1

2

Câu 23: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)
e

Với cách biến đổi u = 1 + 3ln x thì tích phân

x
1

2

2

A.  ( u 2 − 1) du
31
Đáp án B

2

2
B.  ( u 2 − 1) du
91

Ta có u = 1 + 3ln x  u 2 = 1 + 3ln x  2udu =

ln x
dx trở thành
1 + 3ln x

9 u 2 −1
du
D. 
21 u

2

2

C. 2 ( u − 1) du
2

1

x = 1  u = 1
3
dx, 
x
x = e  u = 2

u2 −1
e
e
2
ln x
2
2
dx =  3
udu =  ( u 2 − 1) du
Suy ra 
u 3
91
1 x 1 + 3ln x
1

Câu 24: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị ( C) ,
biết rằng

( C)

đi qua điểm A ( −1;0) tiếp tuyến d tại A của

( C)

cắt

( C)

tại 2 điểm


có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị
đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị
tích bằng
2
A.
5
Đáp án D

B.

1
9

( C)

và 2

28
(phần gạch chéo trong hình vẽ)
5

( C)

và 2 đường thẳng x = −1; x = 0 có diện
C.

2
9

D.

1
5

( C)  a + b + c = 0
Phương trình tiếp tuyến tại A ( −1;0) là ( d ) : y = y' (1)( x + 1) = ( −4a − 2b )( x + 1)
Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra ( −4a − 2b )( x + 1) = ax 4 + bx 2 + c (*)
Điểm A ( −1;0) thuộc đồ thị hàm số

−4a − 2b = c
Mà x = 0, x = 2 là nghiệm của (*) suy ra 
(1)
−12a − 6b = 16a + 4b + c
2
28
32
8
28
=  ( −4a − 2b )( x + 1) − ax 4 − bx 2 − c dx = 4 ( −4a − 2b ) − a − b − 2c = ( 2 )
Và
5 0

3
3
5
→ y = x 4 − 3x 2 + 2
Từ (1) , ( 2 ) suy ra a = 1, b = −3, c = 2 ⎯⎯
2

Vậy diện tích cần tính là S =  2x + 2 − x 4 + 3x 2 − 2dx =
0

1
5
4

Câu 25: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Cho I =
u = 2x + 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
3
1
A. I =  x 2 x 2 − 1 dx
21

(

)

1
x 1+ 2xdx và
2 0
3

(

)

B. I =  u2 u2 − 1 du
1


1  u5 u3 
C. I =  − 
2 5 3 

3

3

D. I =
1

(

)

1 2 2
u u − 1 du
2 1

Đáp án B
u= 2x+1  u du=x dx
Cận

u=1 khi x=0

u=3 khi x=4
3
u 2 − 1)
1  u5 u3 
2 (
I = u
du=  − 
2
2 5 3 
1

3
1

x2 + x + 1
b
1 x + 1 = a + ln 2 , với a, b là
3

Câu 26: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Biết
các số nguyên. Tính S = a − 2b.
A. S = −2
B. S= 5

D. S = 10

C. S= 2

Đáp án C
5
5
x 2 + x+1
1 

d
x=
3 x+1
3  x+ x+1 dx
1
= x2
2

5
3

+ ln ( x+1) 53 = 8 + ln

3
2

Câu 27: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Kết quả của tích phân

2

  1
được viết ở dạng   −  − 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
 a b
0

A. a + 2b = 8 B. a + b = 5
C. 2a − 3b = 2 D. a − b = 2
Đáp án B

 ( 2x − 1− sinx ) dx




2



 1
−1 =   −  −1
4 2
 4 2
0
 a = 4; b = 2  a + b = 6  khẳng định B sai.
2
 ( 2 x − 1 − sin x )dx = ( x − x + cos x ) 2 =
2

0

−

e

Câu 28: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định): Biết


1

Tính P = a.b
A. P = 4
Đáp án B

B. P = −8
e

ln x

dx = a e + b với a,b  .

x

C. P = −4

D. P = 8

ln x
dx = 0, 7025574586... rồi lưu vào A. Xét hàm F(X) = A –
x
1
XError! Reference source not found.

Cách 1: Bấm MT tính



(Do A = a e + b ) bằng cách nhập hàm trên vào Mode 7, lấy star: - 4, end: 4, step: 1. Ta sẽ
 a = −2  Z
 X ' = −2
thấy tại
tức là 
thoả mãn ycbt nên P = - 8.

b = 4  Z
F ( X ) = 4
a = −2  Z
ln x
dx = −2 e + 4 = 
x
b = 4  Z
1
e

Cách 2: Tính tích phân từng phần



nên P = - 8.

5

Câu 29: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho

 f ( x ) dx = 4.

Tính

−1
2

I =  f ( 2x + 1) dx
−1

B. I =

A. I = 2

5
2

D. I =

C. I = 4

3
2

Đáp án A
5

1
1
Đặt 2x + 1 = u  2dx = du  I =  f ( u) du = .4 = 2
2 −1

2

Câu 30: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục
trên  a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) là
a

A.

b

b

 f ( x ) dx

B.

b

 f ( x ) dx

C.

a

 f ( x ) dx

D.

a

a

 f ( x ) dx
b

Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) ,
b

trục hoành và hai

đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) là S =  f ( x ) dx
a

1

Câu 31: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) tích phân I = 
0

A. 0

B. 1

dx
bằng
x +1

D. ln

C. ln 2

3
2

Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng:
1

Cách giải: I = 
0

1

1

 ax + b dx = a ln ax + b + C

1
dx
= ln x + 1 = ln 2 − ln1 = ln 2
2
x +1

Câu 32: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho biết


2

 ln ( 9 − x ) dx = a ln 5 + b ln 2 + c , với a, b, c là các số nguyên. Tính
2

1

A. S = 34
Đáp án B

S = a + b + c được:

C. S = 18

B. S = 13

D. S = 26

Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
u = ln ( 9 − x 2 ) du = −2x

Cách giải: Đặt 
9 − x2
dv = dx
 v = x
2

 I =  ln ( 9 − x ) dx = x ln ( 9 − x
2

1

2

)

2

1

2

x2
+ 2
dx = 2 ln 5 − 3ln 2 + 2I1
9 − x2
1

x
9 
dx

dx =   −1 +
dx = −  dx + 9
2
2 
9−x
9−x 
3 − x )( 3 + x )
1
1
1

1 (
2

2

2

I1 = 

2

2

9  1
1 
3
3 3+ x
2
= −x +  
+
 dx = −1 + ( − ln 3 − x + ln 3 + x ) 1 = −1 + ln
6 1  3− x 3+ x 
2
2 3− x
2

2

2
1

1

3
3
( ln 5 − ln 2 ) = −1 + ln 5 − 3ln 2 = 5ln 5 − 6 ln 2 − 2
2
2
a = 5

 b = 6  S = a + b + c = 13
c = −2


= −1 +

Câu 33: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số
1
a
x
f ( x) =
+
bxe
.
Tìm
a
và
b
biết
rằng

và
f
'
0
=
−
22
(
)
3
0 f ( x ) dx = 5
( x + 1)
A. a = −2, b = −8
Đáp án C

B. a = 2, b = 8

C. a = 8, b = 2

D. a = −8, b = −2

Phương pháp:
+) Tính f ' ( 0 ) và sử dụng giả thiết f ' ( 0) = −22 suy ra 1 phương trình chứa a,b.
1

+) Tính  f ( x ) dx và sử dụng giả thiết
0

1

 f ( x ) dx = 5 suy ra 1 phương trình nữa chứa a, b.
0

+) Giải hệ gồm 2 phương trình trên, tìm a và b.
Cách giải:


f ' ( x ) = −3.

a

( x + 1)

4

+ be x + be x

 f ' ( 0 ) = −3a + b = −22

(1)

1
1
1

a
−3
x
x
f

x
dx
=
+
bxe
dx
=
a
x
+
1
dx
+
b


(
)
(
)
0
0  ( x + 1)3
0
0 xe dx = aI1 + bI 2



1

1

I1 =  ( x + 1)

−3

( x + 1)
dx =
−2

0

−2 1

=
0

−1  1  3
 − 1 =
2 4  8

1
u = x
du = dx
x 0
x
x
Đặt 


I

=
xe
−

2
1  e dx = e − e
x
x
dv = e dx
v = e
0
1

3
  f ( x ) dx = a + b = 5
8
0

1
0

= e − ( e − 1) = 1

( 2)

a = 8
Từ (1) và (2)  
b = 2
Câu 34: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số dương a và hàm số y = f ( x ) liên tục

thỏa mãn f ( x ) + f ( −x ) = a x 

trên

a

. Giá trị của biểu thức

 f ( x ) dx bằng

−a

B. a 2

A. 2a 2

C. a

D. 2a

Đáp án B
a

Phương pháp: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ tính

 f ( − x ) dx

−a
a

a

−a

−a

 f ( x ) dx +  f ( −x ) dx =

Sử dụng công thức :

a

 f ( x ) + f ( −x )dx

−a

 x = −a  t = a
Cách giải: Đặt t = −x  dt = −dx . Đổi cận 
 x = a  t = −a

Khi đó ta có:

I=

a

a

−a

−a

 f ( x ) dx = −  f ( −t ) dt =
a

a

a

 f ( −x ) dx

−a

a

a

 2I =

 f ( x ) dx +  f ( −x ) dx =  f ( x ) + f ( −x ) dx =  adx = a x

I=a

2

−a

−a

−a

−a

a
−a

= 2a 2


Câu 35: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có

đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình bên có diện
tích là
b

A.

c

 f ( x ) dx −  f ( x ) dx
a

B.

b
b

c

C. −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
a

D.

b

b

c

a

b

b

b

a

c

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx
 f ( x ) dx −  f ( x ) dx

Đáp án A
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) , y = 0, x = a, x = b

Lời giải:
b
c
f ( x )  0 khi x  ( a; b )
Ta có S = S1 + S2 =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx. Mà 
f ( x )  0 khi x  ( b;c )
a
b
b

c

b

c

a

b

a

b

Khi đó S =  f ( x ) dx +  −f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx
Câu 36 :(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục
trên đoạn  a; b ; và f ( x )  0, x a;b. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f ( x ) , trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) . Thể tích của vật thể
tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức
b

A.

b

2
 f ( x )dx

B.   f ( x 2 )dx

a

b

C.    f ( x )  dx
2

b

D.

a

a

a

 f ( x ) dx

Đáp án C

Phương pháp: Dựa vào công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật tròn xoay.
b

Cách giải: V =   f ( x )  dx
2

a

Câu 37:(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Biết rằng
e

 x ln xdx = ae

2

+ b, a, b  . Tính a + b

1

A. 0

B. 10

C.

1
4

D.

1
2

2


: Đáp án D
b

Phương pháp: Công thức từng phần:

 udv = uv

b

b
a

a

−  vdu
a

dx

du =

u = ln x

x


Cách giải: Đặt 
2
dv = xdx
v = x

2
e

e
x2
1
e2  e2 1  e2 + 1
 I = .ln x −  xdx = −  −  =
2
21
2  4 4
4
1
1
1
a =b= a+b=
4
2

Câu 38: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
1
f (x)
dx = 1. Tính  f ( x )dx
và là hàm số chẵn, biết 

1 + ex
−1
−1
1

A. 1

B. 2

Đáp án
Phương pháp: Đặt t = − x
1
f (x)
dx = 1
Cách giải: I = 
x
1
+
e
−1

C. 4

D.

1
2

(1)

Đặt t = −x  dt = −dx.
 x = −1  t = 1
Đổi cận 
 x = 1  t = −1
−1
−1
f (x)
f ( −t )
f (t)
dx
=
−
dt
=
−
x
−
t
−1 1 + e
1 1 + e
1 1 + et dt (do f ( x ) là hàm chẵn)
et
1

Khi đó: I =
−1

= −
1

1 x
1 x
e f (x)
et f ( t )
e f (x)

dt
=
dt
t
x
−1 1 + ex dt = 1
−1 1 + e
1+ e

( 2)

1 x
1
1
e x + 1) f ( x )
(
ex f ( x )
e f (x)
dt+ 
dt = 2  
dx=2   f ( x )dx=2
Từ (1), (2), suy ra 
1 + ex
1 + ex

1 + ex
−1
−1
−1
−1
1

Câu 39: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn
bởi 2 đồ thị của 2 hàm số y = x 2 và y = x + 2. Diện tích của hình (H) bằng
A.

7
6

B. −

9
2

C.

3
2

D.

9
2

Đáp án D
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng tạo bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và các đường thẳng
x = a, x = b, a  b
b

S =  f ( x ) − g ( x ) dx
a

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của y = x 2 và y = x + 2
 x = −1
x2 = x + 2  x2 − x − 2 = 0  
x = 2
Diện tích hình (H):
2

1
1

S =  x − ( x − 2 ) dx =  x − x − 2dx = −  ( x − x − 2 )dx =  x 3 − x 2 − 2x 
2
3
 −1
−1
−1
−1
2

2

2

2

2

2

1
1
3
2
1
 1
 9
=  23 − 22 − 2.2  +  ( −1) − ( −1) − 2 ( −1)  =
2
2
3
 3
 2

Câu 40: ( Chuyên Tiền Giang-2018)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
2

 x.f ( x ) dx = 2,
2

0

. Biế t

4

haỹ tiń h I =  f ( x ) dx.
0

A. I = 2.

B. I = 1.

1
C. I = .
2

D. I = 4.

Đáp án D.
2
4
4
x = 0 → t = 0
1
2
  x.f ( x ) dx =  f ( t ) dt   f ( x ) dx = 4  I = 4.
Đặt t = x  dt = 2xdx, 
20
x = 2 → t = 4 0
0
Câu 41: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

1
4
y = x2 , y = − x +
và trục hoành.
3
3
11
343
39
61
A.
B.
C.
D.
6
162
3
2
Đáp án A.
2

Vì diện tích của 3 đường nên ta cần vẽ hình:
1
4
PT hoành độ giao điểm giữa 2 đường y = x 2 , y = − x +
là
3
3
x = 1
1

4
2
x =− x+  
.
x = − 4
3
3
3

1
4
11
 x 4
Dựa vào hình vẽ ta có: S =  x 2 dx +   − +  dx = .
3 3
6
0
1


Câu 42: (Cụm 5 trường chuyên)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên a;b. Giả sử
hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên a;b và u ( x ) ;  x  a;b , hơn nữa

f ( u ) liên tục trên đoạn a;b. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
b

A.

 f ( u ( x ) ) u 'dx =
a

u( b)

C.



u(a )

u( b)



f ( u ) du

B.

u(a )
b

f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx =  f ( u ) du

D.

a

b

b

a

a

 f ( u ( x ) ) u 'dx =  f ( u ) du
b

b

a

a

 f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx =  f ( x ) du

Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt t = u ( x )
Cách giải:
 x = a  t = u ( a )
Đặt t = u ( x )  dt = u ' ( x ) dx. Đổi cận 
 x = b  t = u ( b )
b

u( b)

u( b)

a

u(a )

u(a )

I =  f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx =

 f ( t ) dt =  f ( u ) du

2



Câu 43: (Cụm 5 trường chuyên) Tính tích phân I =  sin  − x  dx
4

0

A. I = −1

C. I = 0

B. I = 1

Đáp án C
Phương pháp:

1

 sin ( a x + b ) dx = − a cos ( a x + b ) + C

2



2
2


 2
−
=0
Cách giải: I =  sin  − x  dx = cos  x  =
2
2
4

4 0
0

e − nx dx
, n  . Đặt
1 + e− x
0

1

Câu 44: (Cụm 5 trường chuyên) Cho I n = 

D. I =



4


u n = 1( I1 + I2 ) + 2 ( I2 + I3 ) + 3 ( I3 + I4 ) + ... + n ( In + In1 ) − n . Biết lim u n = L. Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A. L  ( −2; −1)
Đáp án B

B. L  ( −1;0 )

D. L  ( 0;1)

C. L  (1;2)

Phương pháp: Tính tổng quát n ( In + In +1 ) bằng bao nhiêu, sau đó thay vào tính u n và
sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn u n .
Cách giải:
e
e nx dx
e −( n +1) dx
+
=
Ta có: I n + I n +1 = 
−x
−x

1+ e
1+ e
0
0

0
1

1

1

− nx

(1 + e ) dx =
−x

1 + e− x

1

e

− nx

0

−e − nx
dx =
n

1

=
0

−e − n + 1
n

 n ( I n + I n +1 ) = 1 − e − n
 u n = 1( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I3 ) + 3 ( I3 + I 4 ) + ... + n ( I n + I n +1 ) − n
1
1 1
u n = 1 − e −1 + 1 − e −2 + ... + 1 − e − n − n = −  + 2 + ... + n
e
e e
 L = lim u n =

1
1
1 − n
e e

=−
1

1−
e

 1
−1

 = en
e −1

−1
 −0,58  ( −1;0 )
e −1

Câu 45: (Cụm 5 trường chuyên) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f ( x ) liên tục và
luôn dương trên đoạn

0;a  thỏa

mãn f ( x ) .f ( a − x ) = 1, x 0;a . Tính tích phân

a

1
dx.
1+ f (x)
0

I=

A. I =

a
2

B. I = a

C. I =

2a

3

Đáp án A
Phương pháp : Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt

x =a−t .

x = 0  t = a
Cách giải : Đặt x = a − t  dx = −dt. Đổi cận 
x = a  t = 0

D. I =

a
3


a
a
a
f (x)
1
1
1
dt = 
dx = 
dx = 
dx
1
1+ f (a − t )

1+ f (a − x )
1+ f (x)
a
0
0 1+
0
f (x)

0

 I = −

a

a

1
x
a
 f ( x ) = 1  I =  dx =
=
2
20 2
0

Câu 46: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn a;b
và cắt trục hoành tại điểm x = c ( a  c  b ) (như hình vẽ bên). Gọi S là diện tích hình

y = f ( x ) trục hoành và hai đường thẳng
x = a; x = b. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
c

b

A. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx
a

c

c

b

B. S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
a

c

c

b

a

c

C. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
b

D. S =  f ( x ) dx
a

Đáp án B.
Phương pháp :

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
b

c

b

c

b

a

a

c

a

c

Cách giải: S =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
1

Câu 47: (Chuyên Chu Văn An-2018) Biết

x −5

 2x + 2 dx = a + ln b

với a, b là các số thực.

1
2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
9
9
A. a + b =
B. ab =
8
30
Đáp án C.
Phương pháp:

C. ab =

8
81

D. a + b =

Chia tử cho mẫu.

x −5
x +1− 6
3 
1
1

dx = 
dx =   −
Cách giải: 
 dx =  x − 3ln x + 1 
x +1 
2

1 2x + 2
1 2x + 2
12
1

1

1

3

3

3

1

1
3

7
24


1

a=

1
1
4 1
2 1
8
8

3
= − 3ln 2 − + 3ln = + 3ln = + ln

 ab =
2
6
3 3
3 3
27
81
b = 8


27

Câu 48: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 1;+ ) và

f (
3

0

)

2

x + 1 dx = 8. Tích phân I =  xf ( x ) dx bằng:
1

A. I = 8
Đáp án B.

B. I = 4

C. I = 16

D. I = 2

Phương pháp: Đặt t = x + 1
x = 0  t = 1
Cách giải: Đặt t = x + 1  t 2 = x + 1  dx = 2tdt, đổi cận 
x = 3  t = 2

3

 f
0

(

)

2

2

2

1

1

1

x + 1 dx =  f ( t ) 2tdt = 2  xf ( x )dx = 8   xf ( x ) dx = 4

3

Câu 49: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho

e

x +1

0

.

dx
= a.e 2 + b.e + c,
x +1

với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c
A. S = 4
B. S = 1
C. S = 0
D. S = 2
Đáp án C
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, đưa về phương pháp đổi biến số tính tích phân
Lời giải:
x = 0  t = e
e x +1
Đặt t = e x +1  2dt =
dx và đổi cận 
2
x +1
x = 3  t = e
a = 2
3
e2
dx
e2


x +1
2
2
Khi đó  e .
= 2  dt = 2t e = 2e − 2e = a.e + b.e + c  b = −2
x +1
0
e
c = 0

Vậy S = 2
7

Câu 50: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho tích phân


0

m
là một phân số tối giản. Tính m − 7n.
n
A. 2
B. 1
Đáp án B

Phương pháp giải:
Lời giải:

Đặt ẩn phụ

C. 0

x 3dx
3

1+ x

2

=

D. 91

t = 3 1 + x 2 , đưa về tích phân hàm đa thức.

m
, với
n


Đặt t = 3 1 + x 2  t 3 = 1 + x 2  2xdx = 3t 2dt  xdx =
7

Khi đó


0

7



Vậy

0

3

=

1+ x2

x 3dx
3

7

x 3dx

1+ x2

=


0

2

x2
3

1+ x2

.xdx = 
1

 x = 0  t = 1
3t 2
dt và 
2
 x = 7  t = 2

t 3 − 1 3t 2
3
141
.
dt =  ( t 4 − t ) dt =
t
2
21
20
2

m m = 141

→ m = 7n = 141 − 7.20 = 1
n
n = 20

Câu 51: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đồ thị y = x 2 − 2x và y = − x 2 + x .
10
9
A. 6
B. 12
C.
D.
8
3
Đáp án C
Phương pháp giải:
Tìm hoành độ giao điểm, áp dụng công thức tính diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của ( P1 ) , ( P2 ) là nghiệm của phương trình:

x = 0
x − 2x = − x + x  
x = 3

2
Vậy diện tích cần tính là
2

2

3
2

3
2

3
2

0

0

0

S =  x 2 − 2x − ( − x 2 + x ) dx =  2x 2 − 3x dx =  ( 3x − 2x 2 ) dx =

9
8

Câu 52: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn

2


2

 s inx.f ( x ) = f ( 0 ) = 1. Tính

I =  cos x.f ' ( x ) dx

0

0

A. I = 2
B. I = −1
C. I = 1
Đáp án D
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân
u = cos x
du = − sin xdx

, Khi đó
Lời giải: Đặt 
dv = f ' ( x ) dx
 v = f ( x )

2
0

D. I = 0


2

I = cos x.f ( x ) +  s inx.f ( x ) dx
0

2


2

 

= cos .f   − cos0.f ( 0 ) +  s inx.f ( x ) dx = −f ( 0 ) +  s inx.f ( x ) dx = −1 + 1 = 0
2 2
0
0


Câu 53: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên
thỏa mãn điều kiện

1

3

1

0

0

−1

và

 f ( x ) dx = 4,  f ( x ) dx = 6. Tính I =  f ( 2x + 1 ) dx

A. I = 6

B. I = 3

D. I = 5

C. I = 4

Đáp án D
Phương pháp giải:
Chia trường hợp để phá trị tuyệt đối, sử dụng đổi biến số để đưa về tích phân đề bài cho
Lời giải:
Ta có
−

1

I =  f ( 2x + 1 ) dx =
−1

1
2

1

−

1
2

1

 f ( 2x + 1 ) dx +  f ( 2x + 1 ) dx =  f ( −2x − 1) dx +  f ( 2x + 1) dx

−1

−

1
2

−1

−
I1

1
2

I2

 x = −1  t = 1
dt

• Đặt t = −2x − 1  dx = −
và 
. Khi đó
1
2
x=− t=0


2
0
1

1
1
I1 = −  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 2
21
20

1

dt
x = −  t = 0
• Đặt t = 2x + 1  dx =
và 
. Khi đó
2
2

x = 1  t = 3
3
3
1
1
I 2 =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 3
20
20
1

Vậy I =  f ( 2x + 1 ) dx = I1 + I 2 = 2 + 3 = 5
−1

Câu 54: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị các hàm số y = x và y = e x , trục tung và đường thẳng x = 1 được tính theo công
thức
1

A. S =  e x − 1 dx
0

1

1

B. S =



−1

e x − 1 dx

C. S =  x − e x dx
0

Đáp án B
Xét hàm số f ( x ) = ex − x , hàm số liên tục trên đoạn 0;1
Ta có f ' ( x ) = ex −1  f ' ( x )  0, x  ( 0;1)  f ( x ) đồng biến trên 0;1

1

D. S =

e

−1

x

− x dx


1

Suy ra f ( x )  f ( 0 ) = 1  0  e  x, x  0;1  S =  ( e x − 1) dx
x

0

1

Câu 55: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Tích phân I =  e 2x dx bằng
0

A. e − 1

e2 − 1
C.
2

B. e − 1

2

D. e +

1
2

Đáp án C
1

1

1 2x
e 2x
Ta có I =  e dx =  e d ( 2x ) =
20
2
0

1

2x

0

e2 − 1
=
2
2

Câu 56: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Cho

 f (x

2

+ 1) dx = 2. Khi đó

1

5

I =  f ( x ) dx bằng
2

A. 2

C. −1

B. 1

D. 4

Đáp án D
2

5

1

2

Đặt t = x 2 + 1  dt = 2xdx   f ( x 2 + 1) xdx =  f ( t ) .

5

dt 1
=
f ( x ) dx = 2
2 2 2

5

Do đó I =  f ( x ) dx = 4
2

Câu 57: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;1
và thỏa mãn 2f ( x ) + 3f (1 − x ) = 1 − x. Tích phân

1

 f ( x ) dx bằng
0

A.

2
3

B.

1
6

C.

2
15

D.

3
5

Đáp án C
1

Ta có

1

1

1

2
0 2f ( x ) + 3f (1 − x ) dx = 0 1 − xdx  20 f ( x ) dx + 30 f (1 − x ) dx = 3

(1)

x = 0  t = 1
Đặt t = 1 − x  dx = −dt 

x = 1  t = 0
1

Từ (1) và (2) suy ra 5 x  f ( x ) dx =
0

1

0

1

0

1

0

 f (1 − x ) dx = − f ( t ) dt =  f ( x ) dx

(2)

1

2
2
  f ( x ) dx =

3
15
0

Câu 58: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Hàm số f ( x )

7 cos x − 4s inx
có một
cos x + s inx

   3

nguyên hàm F ( x ) thỏa mãn F   = . Giá trị của F   bằng
2
4 8

A.

3 − 11ln 2
4

B.

3
4

C.

3
8

D.

3 − ln 2
4

Đáp án D
Tách 7cos x − 4sin x = a ( cos x + sinx ) + b ( cos x − sinx ) = ( a + b ) .cos x + ( a − b ).sinx
a + b = 7
3
11
3
11

 a = ; b = → 7 cos x − 4s inx = ( cos x + s inx ) + ( cos x − s inx )
2
2
2
2
a − b = −4

2


2


2



2


4

4

4

4

3 ( cos x + s inx ) + 11( cos x − s inx )
d ( cos x + s inx )
dx =  3dx + 11
cos x + s inx
cos x + s inx




Khi đó 2 f ( x ) dx = 

3
=
+ 11.ln cos x + s inx
4

2

Mà




2

4


2
3 11.ln 2
3 11.ln 2
=
−
  f ( x ) dx =
−
4
2
8
4




 f ( x ) dx = F  2  − F  4 

4

4


   3 11.ln 2 3 − 11.ln 2
=
suy ra F   = F   + −
4
4
2
4 8
1

Câu 59: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Tích phân

dx

 x + 1 bằng
0

A. log 2

B. 1

D. − ln 2

C. ln 2

Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng:

1

1

 a x + b dx = a ln a x + b + C