232 câu số mũ và logarit từ các đề thi thử trường chuyên 2018 image marked image marked

Câu 1: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình
log 22 x + log 2 x =

A.

17
.
4

17
.
4

B.

1
.
4

C.

D.

3
.
2

1
.
2

Đáp án D.
Phương pháp giải:
+) Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai, tìm nghiệm x.
+) Áp dụng hệ thức Vi-ét của phương trình bậc hai: x1 + x 2 = − b .
+) Áp dụng công thức logarit: log a b + log a c = log a bc.
Lời giải: Ta có log 22 x + log 2 x = 17  4. ( log 2 x )2 + 4.log 2 x − 17 = 0

a

4

Đặt t = log 2 x  pt  4t 2 + 4t − 17 = 0.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : t1 + t 2

4
= −1.
4
1
 log 2 x1 + log 2 x 2 = −1  log 2 x1x 2 = −1  x1x 2 = 2 −1 = .
2
=−

Câu 2: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho a,b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau
đây là ĐÚNG?
A. ln a = b ln a.
B. ln ( ab ) = ln a.ln b.
C. ln ( a + b ) = ln a + ln b.
D. ln a = ln a .
b

b

ln b

Đáp án A.
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức lôgarit cơ bản
Lời giải:
Các công thức cơ bản liên quan đến lôgarit:
ln a b = b ln a, ln ab = ln a + ln b, ln

a
= ln a − ln b.
b

Câu 3:( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Tập nghiệm của bất phương trình
A. ( −;0.

C. 1; + ) .

B. ( 0;1.

1
 
3

2x −1



1

3

là

D. ( −;1.

Đáp án D.
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản
Lời giải:
2x −1
2x −1
1
Ta có  1   1   1    1   2x − 1  1  x  1  S = ( −;1.
3

3

3

3

Câu 4: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Gọi

S = ( a; b )

là tập tất cả các giá trị của tham số

thực m để phương trình
log 2 ( mx − 6x 3 ) + log 1 ( −14x 2 + 29x − 2 ) = 0
2

bằng

có 3 nghiệm phân biệt. Khi đó hiệu

H = b−a


A.

B.

5
.
2

C.

1
.
2

D.

2
.
3

5
.

3

Đáp án B.
Phương pháp giải:
Đưa về phương trình đa thức chứa tham số, cô lập tham số, khảo sát hàm để biện luận
nghiệm
Lời giải: Điều kiện: mx − 6x3  0 .

2

−14x 29x − 2  0

Phương trình

 log 2 ( mx − 6x 3 ) = log 2 ( −14x 2 + 29x − 2 )
2
2


−14x + 29x − 2  0
14x − 29x + 2  0


3
2
3
2


mx − 6x = −14x + 29x − 2

mx = 6x − 14x + 29x − 2

1
14  x  2

.
2
2
m = 6x − 14x + 29 − (*) ( do x  0 )

x
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt  (*) có ba nghiệm phân biệt
1 
 ; 2 .
 14 
x = 1
3
2
2 12x − 14x + 2
1


f ' ( x ) = 12x − 14 + 2 =
 f '( x ) = 0  
do
 x  2 .
2
 x = 1  14
x
x



2

Xét hàm số
Ta có

1 
x   ; 2 .
 14 

f ( x ) = 6x 2 − 14x + 29 −

Bảng biến thiên
1
x
14
f’(x
)

2
x

trên khoảng

1
2

+

0

1
-

0

2
+
24

39
2

f(x)

3
19
98
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*)có ba nghiệm phân biệt khi

Vậy
Vậy

19  m 

39
.
2

39
 39 
m  19;  = ( a; b )  a = 19; b = .
2 
2

39
1
b−a =
− 19 = .
2
2

Câu 5: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương
2
2
2
trình 2sin x + 3cos x = m.3sin x có nghiệm?
A. 7.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Đáp án B.
Phương pháp giải: Cô lập tham số m, đưa về khảo sát hàm số để biện luận nghiệm của
phương trình


Lời giải:
sin x
Ta có 3sin x + 3cos x = m.3sin x + 31−sin x = m.3sin x  m =  2  + 31−2sin x

2

2

Đặt

3

2

t = sin 2 x  0;1 ,

Xét hàm số

2

2

khi đó (*) trở thành:
t

2
1
f ( t ) =   + 3.  
3
 3

2t

(*).

2

 
3
t
t
2t
2
2
1
m =   + 31− 2t =   + 3   .
3
3
3

trên 0;1 , có

t

2
2
1
f ' ( t ) =   .ln + 6.  
3
3
 3

2t

.ln

1
 0.
3


min f ( t ) = f (1) = 1
là hàm số nghịch biến trên  0;1  
.

max f ( t ) = f ( 0 ) = 4
Do đó, để phương trình m = f ( t ) có nghiệm  1  m  4.
Lại có m  Z  M 1;2;3;4
Suy ra

f (t)

Câu 6: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn u n = u n −1 + 6, n  2
và log 2 u 5 + log 2 u 9 + 8 = 11. Đặt Sn = u1 + u 2 + ... + u n . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn
Sn  20172018.
A. 2587.
Đáp án C.

B. 2590.

C. 2593.

D. 2584.

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng và tổng cấp số cộng.
Lời giải: Điều kiện: u 5  0  u1 + 4d  0 .
u 9 + 8  0

u1 + 8d + 8  0

u n = u n −1 + 6, n  2  ( u n )

Ta có
Lại có:

log 2 u 5 + log

2

là cấp số cộng với công sai

d = 6.

u 9 + 8 = 11  log 2 u 5 + log 2 ( u 9 + 8 ) = 11  log 2 
u5 ( u9 + 8)
 = 11

 u5 ( u9 + 8) = 2  ( u1 + 4d )( u1 + 8d + 8) = 211  ( u1 + 24)( u1 + 56) = 2048
11

u1 = 8 ( tm )
 u12 + 80u1 − 704 = 0  
.
u1 = −88 ( ktm )

Do đó
Vậy

Sn = u1 + u 2 + ... + u n =

n
 2u1 + ( n − 1) d 


=

n (16 + 6 ( n − 1) )

= 3n 2 + 5n.
2
 n  2592, 234
Sn  20172018  3n 2 + 5n − 20172018  0  
 n min = 2593.
 n  2593, 9 ( ktm )
2

Câu 7: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1. Mệnh đề
nào dưới đây đúng
b
A. loga  3  = log a b − 3
B. log a  b =  log a b
a 
C. a log b c = b

D. log a b = log b c.log c a

Đáp án A
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức cơ bản của biểu thức chứa lôgarit
Lời giải:


1
b
Ta có: log a  3  = log a b − log a a 3 = log a b − 3 và log a b = log a b

a 
Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Tìm số các nghiệm nguyên dương của bất phương
1
trình  
5
A. 6

x 2 − 2x

1
125



B. 3

C. 5

D. 4

Đáp án B
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản
Lời giải:
x 2 − 2x

x 2 − 2x

3

1
1
1
1
Ta có 2  

 
    x 2 − 2x  3  x 2 − 2x − 3  0  −1  x  3
125
5
5
5
Suy ra số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là 1; 2;3
Câu 9: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
log 4 ( 3.2 x − 1) = x − 1

A. −6
B. 5
C. 12
D. 2
Đáp án D

Phương pháp giải: Mũ hóa, đặt ẩn phụ đưa về giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm
Lời giải: Điều kiện: 3.2 x − 1  0  x  − log 2 3
Ta có log 4 ( 3.2x − 1) = x − 1  3.2 x − 1 = 4 x −1
 12.2 − 4 = 4  ( 2
x

x

)

x 2

(
)
(
)
2 )( 6 − 4 2 )


 x = log 2 6 + 4 2
 2x = 6 + 4 2
− 12.2 + 4 = 0  

x
 x = log 6 − 4 2
 2 = 6 − 4 2
2

x

(

)

(

)
(
− ( 4 2 )  = log


Khi đó ta có: x1 + x 2 = log 2 6 + 4 2 + log 2 6 − 4 2 = log 2  6 + 4


= log 2 6 2


2

2

4=2

Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương

(

trình 4 log 2 x

)

2

− log 1 x + m = 0

có nghiệm thuộc khoảng

( 0;1)

2

1
1


 1
A. m   0;  B. m   ; + 
C. m   −;  D. m  ( −;0
4
4


 4
: Đáp án C
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, cô lập tham số m, đưa về bài toán tương giao
Lời giải:


Ta có

(

4 log 2 x

)

2

2

2
1

− log 1 x + m = 0  4  log 2 x  − log 2−1 x + m = 0  ( log 2 x ) + log 2 x + m = 0
2

2

Đặt t = log 2 x với x  ( 0;1)  t  0
Khi đó t 2 + t + m = 0  −m = t 2 + t = f ( t )
Xét hàm số f ( t ) = t 2 + t trên

x

0

f '( t )

0

f (t)

0

−

−

( −;0 ) ,

có f ' ( t ) = 2t + 1 = 0  t = −

1
2

1

1
2

0

+

0

+
−

1

4

1
 1
→ Bảng biến thiên.
Tính f ( 0 ) = 0;f  −  = − ; lim f ( t ) = + ⎯⎯
4 t →−
 2

Do đó, để −m = f ( t ) có nghiệm thuộc khoảng

( −;0 )  −m  −

1
1
m
4
4

Câu 11: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho hàm số f ( x ) xác định trên
thỏa mãn f ' ( x ) =

\ −1;1 và

1
 1 1
. Biết f ( −3) + f ( 3) = 0 và f  −  + f   = 2. Tính
x −1
 2 2
2

T = f ( −2) + f ( 0) + f ( 5)
A.

1
ln 2 − 1
2

B. ln 2 +1 C.

1
ln 2 + 1
2

D. ln 2 −1

Đáp án C
Phương pháp giải:
Tìm hàm số thông qua nguyên hàm, chia nhỏ trường hợp để xét các giá trị
Lời giải:
 1 x −1
 2 ln x + 1 + C1 khi x  1

dx
1 x −1
1 1− x
Ta có f ( x ) =  f ' ( x ) =  2
= ln
+ C =  ln
+ C 2 khi − 1  x  1

x −1 2 x +1
 2 x +1
 1 x −1
 2 ln x + 1 + C3 khi x  −1



1
1 1
ln 2 + C1 + ln + C3 = 0  C1 + C3 = 0
2
2 2
1
1 1
 1 1
Và f  −  + f   = 2  ln 3 + C 2 + ln + C 2 = 0  C 2 = 1
2
2 3
 2 2

Suy ra f ( −3) + f ( 3) = 0 

1
1 1
1
Vậy T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 5 ) = ln 3 + C3 + C 2 + ln + C 2 + C1 = ln 2 + 1
2
2 3
2

( 5)

Câu 12: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A.

( −; −5)

B.

( −;0)

C.

( −5; + )

3

D.

x −1

 5x + 3

( 0; + )

Đáp án C
Phương pháp
a  0
f x

g x
Đưa về cùng cơ số a ( )  a ( )  
f ( x )  g ( x )

Cách giải

( 5)
3

x −1

5

x +3

5

x −1
3

 5x + 3 

x −1
 x + 3  x − 1  3x + 9  2x  −10  x  −5
3

Câu 13: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Hàm số y = x 2 ln x đạt cực trị tại điểm
1
1
A. x = e B. x = 0; x =

C. x = 0
D. x =
e
e
Đáp án D
Phương pháp
Giải phương trình y' = 0
Cách giải
TXD : D = ( 0; + )
1
1
1
= 2x ln x + x = x ( 2 ln x + 1) = 0  ln x = −  x =
x
2
e
 1 
y '' = 2 ln x + 2 + 1 = 2 ln x + 3  y '' 
=20
 e
1
x=
là điểm cực tiểu của hàm số y = x 2 ln x
e
y ' = 2x ln x + x 2 .

Câu 14: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Phương trình log2 x + log2 ( x − 3) = 2 có bao


nhiêu nghiệm?

A. 2
Đáp án D

B. 0

C. 3

D. 1

Phương pháp
Sử dụng công thức loga x + loga y = loga ( xy )( 0  a  1; x; y  0 )
Cách giải
 x  3
 x  3
log 2 x + log 2 ( x − 3) = 2  

x=4
log 2 x ( x − 3) = 2
 x ( x − 3) = 4

Câu 15: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
log3 ( x + 1)( y + 1)

y +1

= 9 − ( x − 1)( y + 1) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2y là:

27
C. Pmin = −5 + 6 3 D. Pmin = −3 + 6 2
5

1 
1 
1 
1

Câu 4: Phương trình ln  x −  .ln  x +  .ln  x +  .ln  x +  = 0 có bao nhiêu
2 
2 
4 
8

nghiệm
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2.\
Đáp án A
A. Pmin =

11
2

Điều kiện x 

B. Pmin =

1 
1 
1 
1

1

. Ta có ln  x −  .ln  x +  .ln  x +  .ln  x +  = 0
2 
2 
4 
8
2


 
1
1
3


ln  x − 2  = 0
x − = 1 x =



2
2



 
1
 x + 1 = 1  x = 1 (l )
ln  x +  = 0

2



2
2



. Do đó phương trình có 3 nghiệm
 
1
3
1
x + = 1 x =
ln  x +  = 0
4
4


4





1
7
 
1

x + = 1
x =
ln  x +  = 0
8
 8

8
 

Câu 9: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho log a c = x  0 và logb c = y  0 .
Khi đó giá trị của log ab c là:
xy
1 1
1
A.
B.
C.
D. x + y.
+ .
.
.
x+ y
x y
xy
Đáp án C


1

1


log c a =
x

a
=
c
log
c
=
x
 a
x


Ta có: 


1
logb c = y
log c b = 1
b = c y

y


1
xy
Do đó log ab c = log 1 1 c = log 1 1 x =
.

=
1 1 x+ y
cxc y
cxc y
+
x y

Câu 16: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Gọi a là giá trị nhỏ nhất của
( log3 2 )( log3 3)( log3 4 ) ... ( log 3 n )
f (n) =
, với n  , n  2 . Có bao nhiêu số n để
9n
f ( n) = a ?
A. 2
Đáp án A

B. Vô số.

HD: Ta có f ( n)  f ( n + 1) 

C. 1.

log3 2.log3 4...log3 n



D. 4
log3 2.log3 4...log3 n.log3 ( n + 1)
9n+1

9n
 9  log3 ( n + 1)  39  n + 1  n  39 − 1. Suy ra

(

) ( )

f (1)  f ( 2)  f ( 3)  ...  f 39 − 1 = f 39 .
Vậy hàm số f ( n) đạt giá trị nhỏ nhất tại n = 39 − 1; n = 39.
Câu 17: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Biết rằng a là số thực dương sao cho
bất đẳng thức 3x + a x  6 x + 9 x đúng với mọi số thực x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  (12;14
B. a  (10;12
C. a  (14;16
D. a  (16;18
Đáp án D
HD: Ta có 3x + ax  6x + 9x  f ( x ) = 3x + ax − 6x − 9x  0; x  .
Xét f ( x ) = 3x + ax − 6x − 9x trên
Để f ( x )  0; x 

, có f  ( x ) = 3x .ln3 + ax .ln a − 6x.ln6 − 9x.ln9.

 min f ( x ) = 0 = f ( 0) . Hay

6 9
 a = 18.
3
Câu 18: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Hàm số y = log 2 ( 3 x − x 2 ) có tập xác định là:
f  ( 0) = 0  ln a = ln

A.

( 0; + ) .

B.

( 0;3) .

C. 0;3 .

D. R .

Đáp án B

 1 
Câu 3: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Giải phương trình  
 25 

x −1

= 1252 x .


1
A. x = − .
4
Đáp án C

1
B. x = − .

8

C. x =

1
.
4

D. x = 4 .

Câu 19:(Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho P = 9log31 3 a + log 21 a − log 1 a3 + 1 với
3

3

3

1 
a   ;3 và M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
 27 
Tính S = 4M − 3m
109
83
A. 42 .
B. 38 .
C.
.
D.
.
9

2
Đáp án A
1
Viết lại: P = − log 3 a + log 32 a + 3log 3 a + 1
3
1 
Đặt t = log 3 a; a   ;3  t   −3;1
 27 
3
t
f ( t ) = − + t 2 + 3t + 1
3
t = −1
 f ' ( t ) = −t 2 + 2t + 3 = 0  
t = 3
BBT:
x
−3
−1
0
–
f ' (t )

f (t )

10

+

14

3

2
−
3

Max P = 10 = M ; Min P = −

t −3;1

1

t −3;1

 S = 4M − 3m = 42 .

2
=m
3

 
Câu 20: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho f ( x ) = ln cos 2 x . Tính f '   .
8
A. 1 .
B. 2 .
C. −2 .
D. 0 .
Đáp án C
Câu 34: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho phương trình 4 x − 2 x + 2 + 6 = m . Biết tập tất
cả giá trị m để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt là khoảng ( a; b ) . Khi đó

2

b − a bằng:
A. 4 .
Đáp án B

B. 1 .

C. 5 .

2

D. 3 .


Đặt 2 x = t  1  f ( t ) = t 2 − 4t + 6 = m
2

Xét: f ' ( t ) = 2t − 4 = 0  t = 2 . Ta có BBT:
x
2
1
0
–
f ' (t )

f (t )

+
+

+

3

2
a = 2
 ycbt  2  m  3  
b = 3

Câu 21: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho dãy số

( un )

thỏa mãn

log u1 + 2 + log u1 − 2log u10 = 2log u10 và un +1 = 2un với mọi n  1. Giá trị lớn nhất

của n để un  5100 bằng:
A. 248 .
B. 246 .

C. 247 .

D. 290 .

Đáp án C
Dễ thấy: u n +1 = 2u n  Cấp số nhân với q = 2
 u n = u1.2n −1  u10 = u1.29 thế vào log u1 + 2 + log u1 − 2log u10 = 2log u10

 log u1 = 1 − 18log 2
 u1 = 101−18log 2

Theo bài: u n  5100  u1.2n −1  5100  n  247,87  n Max = 247 .
Câu 22: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho a là số thực dương thỏa mãn a  10,
mệnh đề nào dưới đây sai
 10 
A. log (10.a ) = 1 + log a
B. − log   = log a − 1
a 
a
C. log (10 ) = a
D. log ( a10 ) = a
Đáp án D
log ( a10 )  a với a  10

Câu 23:(Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3): Cho a là số thực dương. Viết biểu thức
1
dưới dạng lũy thừa cơ số a ta được kết quả
P = 3 5.
a3
A. P = a
Đáp án A

1
6

B. P = a

5

6

C. P = a

7
6

D. P = a

19
6


P = 5.
3

1
a3

=a

5 3
−
3 2

=a

1
6

Câu 24: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tập giá trị của hàm số y = ln ( x 2 + 1) là 0; + )

(

B. Hàm số y = ln x + x 2 + 1

(

C. ln x + x 2 + 1


(

) =

)

có tập xác định là

1
x2 +1

D. Hàm số y = ln x + x 2 + 1

)

không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ

Đáp án D

(

Hàm y = f ( x ) = ln x + x 2 + 1
là D =

(

)

) có tập xác định
(
x + 1 ) = −f ( x ) Các mệnh đề còn

là hàm lẻ do: hàm y = ln x + x 2 + 1

)

(

và f ( − x ) = ln − x + x 2 + 1 = − ln x +

2

lại kiểm tra đều thấy đúng
Câu 25: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Biết phương trình

x
a
log3 ( 3x − 1) . 1 + log3 ( 3x − 1) = 6 có hai nghiệm là x1  x 2 và tỉ số 1 = log

x2
b
a, b  * và a, b có ước chung lớn nhất bằng 1. Tính a + b
A. a + b = 38
B. a + b = 37
C. a + b = 56
Đáp án D

trong đó

D. a + b = 55

Đặt t = log 3 ( 3x − 1)  t (1 + t ) = 6  t = 2; t = −3
28
x
28
27 = log 28
Từ dó, ta tính được x1 = log 3 ; x 2 = log 3 10  1 =
27
x 2 log 3 10
27
log 3

Câu 26: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho phương trình 3x = a.3x cos ( x ) − 9.
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a thuộc đoạn  −2018;2018 để phương trình đã cho có
đúng một nghiệm thực
A. 1
Đáp án A

B. 2018

C. 0

D. 2

Phương trình 3x = a.3x cos ( x ) − 9  9x + 9 = a.3x cos ( x )  3x + 32−x = a cos ( x )(1)
Điều kiện cần: Nhận thấy nếu x 0 là một nghiệm của phương trình đã cho thì 2 − x 0
cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy để phương trình có đúng một nghiệm thực
thì x 0 = 2 − x 0  x 0 = 1. Thay vào (1) ta tìm được a = −6   −2018;2018


Điều kiện đủ: Với a = −6, phương trình (1) trở thành 3x + 32−x = −6cos ( x )(1)
Sử dụng Cauchy ta có: 3x + 32−x  6  −6cos ( x ) . Dấu bằng xảy ra khi
x = 2 − x
 x =1

cosx = −1
Vậy có đúng một giá trị của tham số thực a − 2018;2018 để phương trình đã cho có
đúng một nghiệm thực
Câu 27: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho 0  a  1 và x, y là các số thực
âm. Khẳng định nào sau đây đúng?
 x  log a (− x)
.
A. log a (− x2 y) = −2log a x + log a y.
B. log a   =
 y  log a (− y )

(

)

D. log a ( x4 y 2 ) = 2 log a x 2 + log a y .

C. log a ( xy) = log a x + log a y.
Đáp án D

Câu 28: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Đạo hàm của hàm số
y = log2 (1 + x ) là
ln 2
1
A. y ' =
B. y ' =
.
.
2 x .(1 + x )
(1 + x ).ln 2
1
1
C. y ' =
D. y ' =
.
.
x .(1 + x ).ln 2
x .(1 + x ).ln 4
Đáp án D
Câu 29: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho a, b, c, d là các số nguyên
3
5
dương thỏa mãn log a b = , logc d = . Nếu a − c = 9 , thì b − d nhận giá trị nào?
2

4
A. 85.
B. 71.
C. 76.
D. 93.
Đáp án D
•

Ta có b = a3/2 , c = d 5/4 . Giả sử a = x 2 , b = y 4 với x, y là các số nguyên dương.

•

Ta có a − c = x2 − y 4 = ( x − y 2 ).( x + y 2 ) = 9.
Suy ra ( x − y 2 ; x + y 2 ) = (1;9) . Dễ dàng suy ra x = 5, y = 2.

•

Do đó, b − d = x3 − y5 = 93.

Câu 30: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai)
tham số a thuộc đoạn 0;2018 sao cho ba số
5 x +1 + 51− x ,

theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?
A. 2007.
B. 2018.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của

a

, 25 x + 25− x ,
2

C. 2006.

D. 2008.


Đáp án A
•

•

Ba số đã cho lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
25x + 25− x + 5x+1 + 51− x = a
(3)
Đặt t = 5x + 5− x , t  2 , (3) trở thành t 2 + 5t − 2 = a

•

Lập bảng biến thiên của hàm số f (t ) = t 2 + 5t − 2 trên nửa khoảng  2; + ) , (4)

(4)

có nghiệm khi và chỉ khi a  12.
Câu 31: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau
32x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0
4
4
A. −5

B. 5
C.
D. −
27
27
Đáp án A
3x + 4 = 3
 x = −3
32x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0  32( x + 4) − 12.3x + 4 − 27 = 0   x + 4

 x = −2
3 = 9
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên là ( −3) + ( −2 ) = −5

Câu 32: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Cho a là số thực dương và khác 1. Mệnh đề nào
sau đây là sai?
x
A. log a   = log a x − log a y, x  0, y  0 B. loga ( x.y ) = loga x + loga y, x  0, y  0
y
1
1
C. log a x 2 = log a x, x  0
D. log a =
2
log a 10
Đáp án C
log a x 2 = 2 log a x, x  0

Câu 33: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Phương trình log2 x + log2 ( x − 3) = 2 có bao
nhiêu nghiệm?

A. 1
: Đáp án A

B. 2

C. 3

D. 0

x  0
x 3
Điều kiện: 
x − 3  0
 x = −1
log 2 x + log 2 ( x − 3) = 2  log 2 ( x ( x − 3) ) = 2  x 2 − 3x − 4 = 0  
 x = 4 ( tm )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

Câu 32: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho log 6 45 = a +

log 2 5 + b
, a, b, c  . Tính tổng
log 2 3 + c


a +b+c
A. −4
Đáp án D

B. 2

C. 0

D. 1

5
log 2  
5

5
 4  = 2 + log 2 5 − log 2 4 = 2 + log 2 5 − 2 log 2 2
log 6 45 = log 6  36.  = log 6 36 + log 6   = 2 +
4
log 2 6
log 2 ( 2.3)
log 2 3 + log 2 2

4
= 2+

log 2 5 − 2
 a = 2, b = −2, c = 1  a + b + c = 1
log 2 3 + 1

Câu 34: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A.

( −; −5)

B.

( −5; + )

C.

( 0; + )

( 5)
3

D.

x −1

 5x + 3

( −;0)

Đáp án B

( )
3

x −1

5

 5x + 3  5

x −1
3

 5x + 3 

x −1
 x + 3  x  −5
3

Câu 35: (Chuyên Đại Học Vinh) Phương trình ln ( x 2 + 1) .ln ( x 2 − 2018 ) = 0 có bao
nhiêu nghiệm?
A. 1

B. 4

C. 3

Đáp án D
Phương pháp:

f ( x ) = 0
+ Giải phương trình tích: f ( x ) g ( x ) = 0  
g ( x ) = 0

f ( x )  0
+ Giải phương trình logarit: log a f ( x ) = b  
b
f ( x ) = a
Cách giải:

 x  2018
Điều kiện: x 2 − 2018  0  x 2  2018  
 x  − 2018
ln ( x 2 + 1) = 0
Ta có: ln ( x + 1) ln ( x − 2018 ) = 0  
ln ( x 2 − 2018 ) = 0

2

2

D. 2


x2 = 0 (l)
 x = 2019
x2 +1 = 1
nên phương trình có 2 nghiệm.
 2
 2

 x = − 2019
 x − 2018 = 1  x = 2019 ( tm )
Câu 36: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số f ( x ) = log3 ( 2x + 1) . Giá trị của
f ' ( 0 ) bằng

A.

2
ln 3

B. 2

C. 2ln 3

D. 0

Đáp án A
+) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số:

f '( x )
( log f ( x ) ) ' = f x .ln a .

( )

a

Cách giải:
Ta có f ' ( x ) =

( 2x + 1) ' =
2
2
 f ' (0) =
ln 3
( 2x + 1) ln 3 ( 2x + 1) ln 3

Câu 37:(Chuyên Đại Học Vinh) Giả sử a, b là các số thực dương bất
kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. log (10ab ) = 2 (1 + log a + log b ) B. log (10ab ) = 2 + 2 log ( ab )

2

2

C. log (10ab ) = (1 + log a + log b ) D. log (10ab ) = 2 + log ( ab )
2

2

2

2

Đáp án C
Phương pháp:
+ Sử dụng các công thức cơ bản của hàm logarit.
Cách giải:
Ta có: log (10ab ) = 2 log (10ab ) = 2 (1 + log a + log b )  đáp án A đúng.
2

log (10ab ) = 2 ( log10 + log ( ab ) ) = 2 + 2 log ( ab )  đáp án B đúng.
2

log (10ab ) = 2 ( log10 + log a + log b ) = 2 (1 + log a + log b )  đáp án C sai.
2

Câu 38: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tích các nghiệm của phương trình
log 1 ( 6 x +1 − 36 x ) = −2 bằng
5

A. 1.
Đáp án B.

B.

D. log 6 5.

C. 5.

Phương triǹ h đã cho  6x +1 − 36x = 5  6.6x − ( 6x ) = 5  ( 6x ) − 6.6x + 5 = 0
2

2

6x = 1
x = 0

.
 x
 x = log 6 5
6 = 5
1
Câu 39:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho f ( x ) = .52x +1 ;g ( x ) = 5x + 4x.ln 5. Tập
2
nghiệm của bất phương trình f ' ( x )  g ' ( x ) là

C. 0  x  1.

B. x  0.

A. x  1.
Đáp án B.

D. x  0.

Ta có f ' ( x ) = 52x +1 ln 5, g ' ( x ) = ( 5x + 4 ) ln 5.
Suy ra
f ' ( x )  g ' ( x )  52x +1  5x + 4  5 ( 5

)

x 2

5x  1
− 5x − 4  0   x
 5x  1  x  0.
5  − 4

5

Câu 40: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho f ( x ) = 2.3log81 x + 3. Tính f ' (1)

1
B. f ' (1) = .
2

A. f ' (1) = −1.

C. f ' (1) = 1.

D. f ' (1) =

−1
.
2

Đáp án B.
1
3log81 x
1
.ln 3
=
 f (1) = .
Ta có f ' ( x ) = 2.3
x ln 81
2x
2
Câu 41: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tập nghiệm của bất phương trình
4x + 6
log 1
 0 là
x
5
−3 
−3 
−3 
−3 





A.  −2;  .
B.  −2,  .
C.  −2,  .
D.  −2,  .
2
2
2 
2 




Đáp án D.
log81 x

 4x + 6
 x  0
6
6
3
 0  4 +  −4   −3  −2  x  − .
BPT 
x
x
2
 4x + 6  1
 x
Câu 42:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho f ( x ) = x.e−3x , tập nghiệm của bất

phương trình f ' ( x )  0 là


A.

 1
B.  0,  .
 3

( 0,1) .

1

C.  −,  .
3


1

D.  , +  .
3


Đáp án C.
1
Ta có f ' ( x ) = e −3x (1 − 3x )  f ' ( x )  0  1 − 3x  0  x  .
3

Câu 43: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tập nghiệm của bất phương trình

x +2

1
 3− x là
 
 3
A. (1, 2 ) .

( 2, + ) .

B.

C.  2, + ) .

D. (1, 2.

Đáp án B.
BPT  3−

x +2

 x  −2
 x  −2
x  0
 3− x  

 2
 x  2.
− x + 2  − x
 x  x + 2

x − x − 2  0

Câu 44:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương
trình sau có nghiệm duy nhất a log3 x3 + 4 log3 x8 + a + 1 = 0
A. a = 1.
B. a  −1.
C. Không tồ n ta ̣i a.

D. a  1.

Đáp án C.
Giả sử x 0 là nghiê ̣m của phương triǹ h (*)  − x 0 cũng là nghiê ̣m của phương trình (*)
Khi đó x 0 = −x 0  2x 0 = 0  x 0 = 0 (loa ̣i) suy ra không tồ n ta ̣i giá tri na
̣ ̀ o của a.
Câu 45: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Tính giá trị của biểu thức

K = loga a a với 0  a  1 ta được kết quả
A. K =

4
3

B. K =

3
2

C. K =

3

4

D. K = −

Đáp án C
1

Ta có

3
3
 23  2
3
4
4
a a = a.a =  a  = a  K = log a a =
4
 
1
2

Câu 46:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Số nghiệm của phương trình

ln ( x − 1) =
A. 1

1
là
x−2
B. 0

C. 3

D. 2

3
4


Đáp án D

x  1

PT  
1
ln ( x − 1) −
=0


x−2
Xét hàm số y = ln ( x − 1) −

1
( x  (1; + ) \ 2) ta có
x−2

1
1
+
 0 ( x  (1; + ) \ 2 )

x − 1 ( x − 2 )2

y' =

Lập BBT của hàm số trên D = (1; 2 )  ( 2; + ) suy ra PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 47: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho log 2 5 = a;log5 3 = b. Tính
log 24 15 theo a và b :
a (1 + b )
ab + 3

A.

B.

a (1 + 2b )
ab + 1

C.

b (1 + 2a )
ab + 3

D.

a
ab + 1

Đáp án A
log 24 15 = log 24 3 + log 24 5 =

=

1
1+

3
ab

+

1
3
+b
a

=

1
1
1
1
1
1
+
=
+
=
+
log 3 24 log 3 24 1 + log 3 8 log 5 8.3 1 + 3log 3 2 3log 5 2 + log 5 3

a ( b + 1)
ab
a
+
=
ab + 3 ab + 3
ab + 3

Câu 48: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Nghiệm của phương trình log 2 x = 3 là:
A. 9

B. 6

C. 8

D. 5

Đáp án C
Câu 40:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Cho a, b là các số thực dương khác 1 thỏa
mãn log a b = 3. Giá trị của log
A. − 3
Đáp án B

B. −

1
3

3b
b 

 a  là:

a 
C. −2 3

D.

3


Ta có: b = a

3

 log

b
a

3 1
 3
−
3
3b
a  3 2 − 3
=
=

 = log 3 
a 2

3
a 
3
 a

−1
a


2

Câu 49: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)




Biểu thức log 2  2sin  + log 2  cos  có giá trị bằng:
12 
12 


A. -2.
: Đáp án B.

B. -1.

C. 1.

D. log 2 3 − 1.








Ta có log 2  2sin  + log 2  cos  = log 2  2sin cos 
12 
12 
12
12 





1
= log 2  sin  = log 2   = −1.
6

2

Câu 50: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Phương trình log 2 x + log 2 ( x − 1) = 1 có tập
nghiệm là:
A. −1;3.

B. 1;3 .

C.

2 .

D. 1 .

Đáp án C.

x  0
x  1


x  1

PT   x − 1  0

   x = 2  x = 2  S = 2 .
x
x
−
1
=
2
(
)




  x = −1
log 2  x ( x − 1)  = 1

Câu 51: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)
4

4

Cho x  0, y  0. Viết biểu thức x 5 . 6 x 5 x về dạng x m và biểu thức y 5 . 6 y5 y về
dạng y = y n . Ta có m − n = ?
11
8
11
A.
B. − .
C. − .
.
6
5
6
Đáp án A.

D.

8
.
5

103
103

 54 6 5
m=

60

x
.
x
x
=
x
11


60

 m−n = .
Ta có  4
7
6
 y 5 . 6 y5 y = y − 60
n = − 7


60

Câu 52: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)
2
Tập nghiệm của bất phương trình 5x − x  25 là:
A. ( 2; + ) .
B. ( −;1)  ( 2; + ) . C.

( −1; 2) .

D.

.


Đáp án C.
BPT  x 2 − x  2  −1  x  2  S = ( −1;2) .
Câu 53: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Nghiệm của phương trình 2 x + 2 x +1 = 3x + 3x +1
là
3
3
2
A. x = log 3 .
B. x = 1.
C. x = log 3 .
D. x = log 3 .
4 2
2 4
4 3
Đáp án C.
x

3
3
3
PT  2 + 2.2 = 3 + 3.3  3.2 = 4.3    =  x = log 3 .
4
2
2 4

x

x

x

x

x

x

Câu 54:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Cho f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + n  *. Đặt
2

un =

f (1) .f ( 3) ...f ( 2n − 1)
.
f ( 2 ) .f ( 4 ) ...f ( 2n )

n nguyên dương nhỏ nhất sao cho u n thỏa mãn điều kiện
10239
log 2 u n + u n  −
.
1024
A. n = 23.
B. n = 29.
C. n = 21.
Đáp án A.

Tìm số

D. n = 33.

Ta có: f ( n ) = ( n 2 + 1) + 2n ( n 2 + 1) + n 2 + 1 = ( n 2 + 1) ( n + 1) + n 2 + 1
2

2

2
= ( n 2 + 1) ( n + 1) + 1



(1 + 1)( 2
=
( 2 + 1)(3

2
+ 1)( 32 + 1)( 42 + 1) ... + ( 2n − 1) + 1 4n 2 + 1
2


Do đó u n
=
2
2
2
2
+ 1)( 42 + 1)( 52 + 1) ... + ( 2n + 1) + 1 4n 2 + 1 ( 2n + 1) + 1



10239
, dùng máy tính suy ra n = 23.
Suy ra log 2 u n + u n  −
1024
Câu 55: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình log32 x − ( m + 2) log3 x + 3m −1 = 0 có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn
2

x1.x 2 = 27.
A. m = −2.
: Đáp án C.

2

B. m = −1.

D. m = 2.

C. m = 1.

Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2

Ta có: log3 x1 + log3 x 2 = m + 2  log3 ( x1x 2 ) = m + 2  m + 2 = log3 27  m = 1
Thay m = 1  PT : log 32 x − 3log 3 x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Vậy m = 1.
1

Câu 56: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Rút gọn biểu thức P = x 3 . 6 x với x  0.

A. P = x
Đáp án B.

B. P = x

2

1

1

1 1
+
6

Ta có: P = x 3 .x 6 = x 3

C. P = x

1
8

D. P = x

2
9

1

= x 2 = x.

Câu 57:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Cho a, b  0; a, b  1 và x, y là hai số thực
dương. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.
A. loga ( xy ) = loga x + loga y.
B. log b a.log a x = log b x.

1
1
=
.
x log a x
: Đáp án C.
C. loga

D. log a

x
= log a x − log a y.
y

Câu 58: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
2
2 log 4 ( x − 3) + log 4 ( x − 5 ) = 0 là
B. 8 + 2.

A. 8.
Đáp án B.

C. 8 − 2.

D. 4 + 2.

x − 3  0
x  3
 x  3, x  5


2

PT  ( x − 5 )  0
 x  5
  ( x − 3)( x − 5 ) = 1



2
2
2
( x − 3) ( x − 5 ) = 1  ( x − 3)( x − 5 ) = −1
log 4 ( x − 3)( x − 5 )  = 0
 x  3, x  5
 x  3, x  5
x = 4 + 2
 2

   x − 8x + 14 = 0    x =  2  
 x1 + x 2 = 8 + 2.
x
=

4



 2
 x=4

  x − 8x + 16 = 0

Câu 59: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Tìm tập nghiệm của bất phương trình
x −1

 2017 
 2017 

 

 2018 
 2018 
A. ( 2; + ) .

− x +3

.

B.

( −;2) .

C.  2; + ) .

D.

( −; 2.

: Đáp án B.

BPT  x −1  −x + 3  x  2  S = ( −;2 ).
Câu 60:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Cho tham số thực a. Biết phương trình
e x − e − x = 2 cos ax có 5 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình e x − e − x = 2 cos ax + 4
có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 5.
B. 6.
C. 10.
D. 11.
Đáp án C.


x
−
 x2
ax
2
e
−
e
= 2 cos
(1)




2
x
−x
Ta có e − e = 2 cos ax + 4   e − e  = 2 ( cos ax+1)   x
.
x
−
 2
ax


2
e − e = −2 cos 2 ( 2 )
Giả sử x 0 là nghiệm của phương trình e x − e − x = 2 cosa x (*), thì x 0  0 và 2x 0 là
nghiệm của (1) và −2x 0 là nghiệm của (2) hoặc ngược lại. (Dethithpt.com)
Phương trình (*) có 5 nghiemj nên hai phương trình (1), (2) có 5 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình e x − e − x = 2 cosa x + 4 có 10 nghiệm phân biệt.
Câu 61: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Số nào trong các số sau lớn hơn 1?
x
2

A. log 0,5

1
8

x
−
2

2

B. log 0,2 125

C. log 1 36

D. log0,5

6

1
2

Đáp án A

Câu

62:(

Chuyên

Vĩnh

trình : 2x 2 + 2x − 9 = ( x 2 − x − 3) .8x
A. 1
Đáp án D

Phúc-Lần
2

+3x −6

3)

Số

+ ( x 2 + 3x − 6 ) .8x

B. 3

2

− x −3

nghiệm

của

là:

C. 2

D. 4

Phương trình đã cho

 x 2 + 3x − 6 + x 2 − x − 3 = ( x 2 − x − 3) .8x

2

+3x −6

+ ( x 2 + 3x − 6 ) .8x

2

− x −3

 u + v = u.8v + v.8u (với u = x 2 + 3x − 6; v = x 2 − x − 3 )

 ( 8u − 1) v + ( 8v − 1) u = 0

( *) .

 x 2 + 3x − 6 = 0
TH1. Nếu u = 0 , khi đó (*)  v = 0   2
x − x − 3 = 0

TH2. Nếu v = 0, tương tự TH1.
TH3. Nếu u  0; v  0 , khi đó ( 8u − 1) v + ( 8v − 1) u  0  (*) vô nghiệm.
TH4. Nếu u  0; v  0 , tương tự TH3. (Dethithpt.com)
TH5. Nếu u  0; v  0 , khi đó ( 8u − 1) v + ( 8v − 1) u  0  (*) vô nghiệm.
TH6. Nếu u  0; v  0 , tương tự TH5.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt .

phương


Hoặc biến đổi (*) 

8u − 1
8u − 1 8 v − 1
 0; u  0 (Table = Mode 7).
+
= 0, dễ thấy
u
u
v


Câu 63:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Tìm tập các giá trị thực của tham số m để
phương trình 4
A.

(

) (
x

2 +1 +

( 2; 4 )

B.

)

x

2 − 1 − m = 0 có đúng hai nghiệm âm phân biệt.

( 3;5 )

C.

( 4;5)

D.

( 5;6 )

Đáp án C
Đặt t =

(

)

x
1
2 + 1 → PT  4t + − m = 0  4t 2 − m.t + 1 = 0 (1) .
t

PT ban đầu có 2 nghiệm âm phân biệt  (1) có hai nghiệm t1 , t 2  1.
Suy ra

m 2 − 16  0
m  4
 (1)  0



4  m  8

m
  m  −4
t
+
t

2


2


4m5
1 2


m

5
4

1
m
 t −1 t −1  0



− +1  0
( 1 )( 2 )
 t1t 2 − ( t1 + t 2 ) + 1  0
 4 4
Câu 64: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Giải phương trình 2x
A. x = 0; x = 3

B. x = 1; x = −3

C. x = 1; x = 2

2

+3x

=1

D. x = 0; x = −3

Đáp án D
x = 0
.
Phương trình  x 2 + 3x = 0  
 x = −3

Câu 65: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tìm tập xác định D của hàm số

y = log

2

(x

2

− 3x + 2 )

A. D = ( −;1)  ( 2; + )

B. D = ( 2; + )

C. D = ( −;1)

D. D = (1;2)

Đáp án A
x  2
 TCĐ: D = ( −;1)  ( 2; + ) .
Điều kiện: x 2 − 3x + 2  0  
x  1

Câu 66:(Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tìm tập nghiệm S của phương trình
32x +1 − 10.3x + 3 = 0.


C. S = −1;0

B. S = −1;1

A. S = 0;1

D. S = 1

Đáp án B
PT  3 ( 3

)

x 2

3x = 3
x = 1
− 10 ( 3 ) + 3 = 0   x 1  
 S = −1;1 .
3 =
x = −1


3
x

Câu 67: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Cho x, y là hai số thực dương thỏa
mãn điều kiện 4 + 9.3x

P=

2

− 2y

(

= 4 + 9x

2

−2y

).7

2y − x 2 + 2

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x + 2y + 18
.
x

A. P =

3+ 2
2

B. P = 1 + 9 2

C. P = 9

D. Không tồn tại

Đáp án C

Đặt t = x 2 − 2y, khi đó giả thiết  4.9.3t = ( 4 + 9t ) .72− t 
Xét hàm số f ( a ) =

4 + 3a
1 3
= 4.   +   trên
a
7
7 7
a

4 + 3t + 2 4 + 32t
= 2t (*) .
7t +2
7

a

là hàm số nghịch biến trên

.

Khi đó (*)  f ( t + 2) = f ( 2t )  t + 2 = 2t  t = 2  x 2 − 2y = 2  2y = x 2 − 2.
Do đó P =

x + x 2 − 2 + 18
16
16
= x + + 1  2 x. + 1 = 2.4 + 1 = 9. Vậy Pmin = 9.
x

x
x

Câu 68: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Với hai số thực dương a, b tùy ý và
log 2 a.log5 2
+ log b = 1 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
1 + log5 2
A. 4a − 3b = 1
B. a = 1 − b log 2 5
C. ab = 10
D. a log 2 5 + b = 1
Đáp án C
log 2 a.log 5 2
log 5 a
log 5 a
+ log b = 1 
+ log b = 1 
+ log b = 1
1 + log 5 2
1 + log 5 2
log 5 10
log a + log b = 1  log ab = 1  ab = 10

Ta có:

Câu 69: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Số nghiệm thực của phương trình
x2 + 5x − 8
= 0 là
ln ( x − 1)