SKKN các bài tập về đồ thị dao động cơ và sóng cơ

GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

ĐỀ TÀI: BÀI TẬP ĐỒ THỊ DAO ĐỘNG CƠ VÀ SÓNG CƠ
ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài:
- Trong chương trình vật lí 12, chương dao động cơ và sóng cơ là một chương quan trọng
thường xuất hiện trong kì thi THPTQG. Học sinh thường gặp khó khăn ở các câu có đồ
thị. Vì để giải được một bài tập có đồ thị học sinh cần phải hiểu sâu các tính chất, mối
quan hệ của các đại lượng xuất hiện trong đồ thị.
- Ngoài ra, ở nhưng năm gần đâu các câu hỏi liên quan đến đồ thị xuất hiện trong đề thi
ngày càng nhiều. Lợi thế của các câu hỏi đồ thị là trình bày ý tác giả ngắn gọn hơn thay vì
phải diễn giải bằng lời. Câu hỏi đồ thị còn buộc người giải phải hiểu rõ vấn đề hơn và vận
dụng các kiến thức toán học.
- Các bài toán đồ thị mở ra hướng ra đề mới, lạ và đánh giá tốt hơn khả năng nắm bắt, tư
duy, vận dụng những gì đã học của người học.
- Từ những lí do trên tôi chọn đề tài này nhằm tổng hợp một số kiến thức, bài tập và
phương pháp giải các bài toán về đồ thị ở chương dao động cơ và sóng cơ.
II. Mục tiêu nghiên cứu:
- Tóm tắt các dạng đồ thị dao động cơ và sóng cơ.
- Tổng hợp các dạng bài tập liên quan theo 2 mức: cơ bản và nâng cao ( Tập trung chủ
yếu vào các bài tập nâng cao vì những năm gần đây câu hỏi có liên quan đến đồ thị
thường là các câu khó).
III. Đối tượng và thời gian nghiên cứu:
- Đối tượng: Các dạng bài tập đồ thị của 2 chương: dao động cơ và sóng cơ.
- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2017 – 2018.

1

GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

MỤC LỤC

A. DAO ĐỘNG CƠ
I. Đồ thị của li độ, vận tốc gia tốc trong dao động điều hòa:
1. Cơ sở lí thuyết
- Phương trình của li độ, vận tốc gia tốc trong dao động điều hòa có dạng
x = Acos(ωt + ϕ)

2


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

v = -ωAsin(ωt+φ) = ωAcos(ωt + φ +

π
2

)

a = -ω2Acos(ωt+φ) = - ω2x
- Đồ thị có dạng như sau :

- Nếu vẽ 3 đồ thị của li độ, vận tốc, gia tốc trên 1 tọa độ ta phải xét mối quan hệ về pha

của các đại lượng này :

+ Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha

π
2

so với li độ.
+ Gia tốc trong dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với

li độ và sớm pha

π
2

so với vận tốc.

3


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

Đường biểu diễn x(t), v(t), a(t) với φ = 0
- Một số đồ thị khác:
+ Đồ thị gia tốc – li độ: dạng đoạn thẳng nằm ở góc phần tư thứ 2 và thứ 4
+ Đồ thị li độ - vận tốc; vận tốc – gia tốc: dạng elip.
+ Đồ thị biến thiên của lực đàn hồi theo thời gian là đường sin.
- Các dạng bài tập liên quan :

+ Từ đồ thị và phương trình x(t), v(t), a(t), ta có thể xác định pha ban đầu, chu kì,
các giá trị cực đại hoặc tức thời,…
+ Từ đồ thị của một đại lượng ta có thể suy ra đồ thị của các đại lượng khác dựa
vào mối quan hệ về pha và các công thức liên quan.
+ Từ đồ thị xác định thời điểm, hoặc thời gian từ vị trí này đến vị trí khác, vận tốc
đổi chiều,…
2. Các bài tập minh họa :
Một số bài tập cơ bản
Bài 1: Cho đồ thị dao động điều hòa như hình vẽ
Phương trình của dao động có dạng nào sau đây:
π
π
A. x = 10 cos(2 t + ) cm
π

B. x = 10 cos(2 t -

π
2

x(cm)
10
0,5
- 10

) cm
4

t(s)

GV Nguyễn Tuấn Kiệt

π

C. x = 10 cos(2 t +
π
D. x = 10 cos(2 t +

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

π
2

) cm

3π
4

) cm

Hướng dẫn :
- Dựa vào đồ thị ta dễ dàng xác định được biên độ của dao động A = 10cm
- Vật bắt đầu đi từ vị trí cân bằng tới biên dương rồi quay lại vị trí cân bằng mất 0,5s ⇒
T/2 = 0,5 ⇒ T = 1s. Có
ω=

-Vì vị trí bắt đầu của vậ

2π

= 2π
T

t là VTCB nên tại thời điểm t = 0 thì x = 0 ta tìm được φ = ±

−

Vì theo đồ thị từ VTCB vật di chuyển ra biên dương nên v>0 ⇒ φ =

π
2

.

π
2

Lưu ý: Nếu chú ý đáp án ta sẽ thấy 4 phương án chọn đều có cùng biên độ, tần số góc vì
x(cm)

vậy ta chỉ cần xác định pha ban đầu.
Bài 2:Một chất điểm dao động điều hòa có đồ thị dao

8

động như hình vẽ.

0,25

Phương trình vận tốc của vật là:

π
π
π
A. v = 64 cos(8 t + ) cm/s.
π
π π
B. v = 64 cos(8 t - ) cm/s.
π
π π
C. v = 8 cos(8 t + ) cm/s.
π
π π
D. v = 8 cos(8 t - ) cm/s.

-8

5

t(s)


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

Hướng dẫn:
- Bài toán cho đồ thị của li độ yêu cầu ta xác định phương trình vận tốc vì vậy ta phải
dùng những mối quan hệ giữa vận tốc và li độ
- Cách 1 : Ta có thể viết phương trình x(t) từ đồ thị rồi đạo hàm tìm phương trình vận tốc.
- Cách 2 : Ta có thể tìm các đại lượng A, ω, φ từ đó tìm vmax , pha ban đầu của vận tốc φv =

φ+
π/2 vì vận tốc sớm pha π/2 so với li độ.
Bài 3 : Đồ thị vận tốc – thời gian của một chất điểm được cho
như hình vẽ. Phát biểu nào sau đây đúng ?
A. Chất điểm có li độ là x =

−5 3

cm và đang chuyển động

theo chiều âm.
B. Chất điểm có li độ là x =

−5

cm và đang chuyển động theo

chiều âm.
C. Chất điểm có li độ là x =
D. Chất điểm có li độ là x =

−5

cm và đang chuyển động theo chiều dương.

−5 3

cm và đang chuyển động theo chiều dương.

Hướng dẫn :

- Theo đồ thị ta có

5
T = 2,5 ⇒ T = 2 ⇒ ω = π
4

A=

. Ta tính được biên độ :

v max
= 10cm
ω

- Tìm xN ta có thể dùng hệ thứ độc lập.
v2
( 5π ) = 10 2 ⇒ x = ±5 3cm
= A2 ⇔ x 2 +
2
ω
(π ) 2
2

x2 +

- Theo đồ thị vận tốc tại N dương nên chất điểm đang chuyển động theo chiều dương.

Chất điểm chuyển động theo chiều dương và vận tốc đang giảm nên xN =
6

− 5 3cm


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

Bài 4:Hai dao động điều hòa dọc theo trục Ox

x(cm)

có đồ thị li độ theo thời gian như hình vẽ.
Phương trình dao động tổng hợp của hai dao
động này có dạng:

A

.

π

x = 3cos  2πt − ÷
2


C.

π


x = 6cos  2πt − ÷
6


cm

B.

cm

x = 3 3cos ( 2πt )

cm

D.

π

x = 6cos  2πt + ÷
6


cm

Hướng dẫn:
T1 = 1s → ω1 = 2π (rad / s )
A1 = 3 3cm

Lúc t=0 thì
Vậy

A1 cos ϕ1 = A1 ↔ cos ϕ1 = 1 → ϕ1 = 0

x1 = 3 3 cos(2πt )( cm, s )

T2 = 1s → ω2 = 2π (rad / s)
A2 = 3cm

Lúc t=0 thì

Vậy

π

 x02 = A2 cos ϕ 2 = 0
π
ϕ 2 = ±
↔
2 → ϕ2 = −

2
v 02 = −ω 2 A2 sinϕ 2 > 0

sinϕ 2 < 0

π
x2 = 3 cos(2πt − )(cm, s )
2

x(cm)

7


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Dao động tổng hợp

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

π
π
x = x1 + x2 = 3 3 cos(2πt ) + 3 cos(2πt − ) = 6 cos(2πt − )
2
6

Một số bài tập nâng cao :
Bài 5 :
Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1
(đường x1) và chất điểm 2 (đường x2) như hình
vẽ. Biết hai vật dao động trên hai đường thẳng
song song kề nhau với cùng một hệ trục toạ độ.
Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật (theo
phương dao động) bằng
A. 3,464 cm.

B. 4 cm.

C. 2,481 cm.

D. 3 cm.

Hướng dẫn
- Xét chất điểm 1 :
T1 = 0,04 s ⇒ ω1 = 50π
A1 = 4cm; ϕ1 = 0

Phương trình dao động của chất điểm :

x1 = 4 cos(50π t )

- Xét chất điểm 2 :
A2 = 2cm; ϕ 2 = −

π
3

Theo đồ thị thì chất điểm chuyển động từ

A2
− A2
→ A2 →
2
2

T2
= 0,02 s ⇒ T2 = 0,04s ⇒ ω 2 = 50π
⇒ 2
x 2 = 2 cos(50π t −

Phương trình dao động của chất điểm :

8

π
)
3

với thời gian 0,02s


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

x1 − x 2 = 2 3 cos(50π t +

Ta có :

π
)
6

Phương trình này lớn nhất khi cos có giá trị là 1. Vậy khoảng cách lớn nhất của 2 chất

điểm là

2 3

Bài 6 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng

song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của mỗi vật nằm trên đường
thẳng vuông góc với trục Ox tại O. Trong hệ trục vuông góc xOv,
đường (1) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của
vật 1, đường (2) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ
của vật 2 (hình vẽ). Biết các lực kéo về cực đại tác dụng lên hai vật
trong quá trình dao động là bằng nhau. Tỉ số giữa khối lượng của vật 2 với khối lượng của
vật 1 là
A. 1/3

B. 3

C. 1/27

D. 27

Hướng dẫn :
- Đây là đồ thị li độ - vận tốc dựa trên hệ thức độc lập. Từ đồ thị ta có thể xác định mối
liên hệ
+ giữa được biên độ của 2 vật
+ vận tốc cực đại của 2 vật
- Theo đồ thị có :
A2 = 3 A1
v 2 max
F1 max
⇒


ω1

=9

1
1
⇒
= v1 max ⇔ ω 2 A2 = ω1 A1  ω 2
3
3

2
2
= F2 max ⇒ m1ω1 A1 = m2ω 2 A2

m1 ω12 A1
1
= 2
= 9 2. = 27
m2 ω 2 A2
3

Bài 7 : Đồ thi li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường
1) và của chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại
9


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

của chất điểm 2 là 4π (cm/s). Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li
độ lần thứ 5 là:
A. 4,0s

B. 3,25s

C. 3,5s

D. 3,75s

Hướng dẫn:
- Theo đồ thị ta có : T2 = 2T1 và A1 = A2 = 6cm
v 2 max =ω 2 A2 ⇒ ω 2 =

v 2 max 4π 2π
=
=
rad / s
A2
6
3

⇒ T2 = 3s
T1 = 1,5s ⇒ ω1 =

Vậy

4π
3

Phương trình dao động của 2 chất điểm :
x1 = 6 cos(

4π
π
2π
π
t − ) ; x 2 = 6 cos( t − )
3
2
3
2

Hai chất điểm có cùng li độ khi x1 = x2
4π
π
2π
π
t − = ± ( t − ) + 2kπ
3
2
3
2
t = 3k
⇒1
t 2 = k + 0,5
k = 0,1,2,3,...
t1 = 3s,6 s,....; t 2 = 0,5s;1,5s;2,5s;3,5s
⇒

Theo đáp án ta chọn nghiệm t2
t
Lần cùng li độ

0,5
1

1,5
2

2,5
3

10

3
4

3,5
5


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

Bài 8 : Cho 3 dao động điều hòa cùng phương
cùng tần số có phương trình lần lượt là x1=A1cos(ωt
+ φ1); x2=A2cos(ωt+φ2) và x3=A3cos(ωt+φ3). Biết
A1=1,5A3; φ3–φ1=π. Gọi x12=x1+x2 là dao động tổng
hợp của dao động thứ nhất và dao động thứ hai;
x23=x2 + x3 là dao động tổng hợp của dao động thứ
hai và dao động thứ ba. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ hai dao động

tổng hợp trên là như hình vẽ. Giá trị của A2 là
A. A2 ≈ 3,17 cm

B. A2 ≈ 6,15 cm

C. A2 ≈ 4,18 cm

D. A2 ≈ 8,25 cm

Hướng dẫn :
- Phương trình của x23
T 1
A23 = 4cm 4 = 2 → T = 2s → ω = π (rad / s)
Ta có
;

Lúc t= 0 thì x23qua VTCB theo chiều âm nên

π
x23 = 4 cos(πt + )(cm; s )
2

(*)

- Phương trình của x12
Ta có

A12 = 8cm ω = π (rad / s )

;

Giả sử phương trình

x12 = −4 ↔ −4 = 8 cos(π .0,5 + ϕ12 ) ↔ cos(π .0,5 + ϕ12 ) = −

t = 0,5s
* Xét khi

Do đó

x12 = A12 cos(πt + ϕ12 )

thì

π 2π
π


ϕ12 + 2 = 3
ϕ12 = 6
↔

ϕ + π = − 2π
ϕ = − 7π
12

 12
2
3
6

Lúc đó vận tốc

v12 = −ωA12 sin(π .0,5 + ϕ12 ) < 0 →
11

ϕ12 =

π
6

1
2π
= cos
2
3


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Do đó

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

π
x12 = 8 cos(πt + )
6

(**)

π

 x2 + x3 = 4 < 2
→ x1 − x3 = 4 3 < 0 ↔ A1 < ϕ1 − A3 < ϕ 3 = 4 3 < 0

π
 x1 + x2 = 8 <

6

Từ (*) và (**) ta có

↔ A1 < ϕ1 + A3 < (ϕ 3 + π ) = 4 3 < 0

Ta có

A12 + A32 + 2 A1 A3 cos(ϕ1 − ϕ3 − π ) = ( 4 3 ) 2 ↔ (1,5 A3 ) 2 + A32 + 2.1,5 A3 A3 cos(−π − π ) = 48

↔ A3 =

8 3
cm
5

A1 =

và
tan 0 =

Theo (***) ta có

↔

(***)

12 3
cm
5
A1 sin ϕ1 + A3 sin(ϕ3 + π )
↔ 0 = A1 sinϕ1 + A3 sin(ϕ3 + π )
A1 cos ϕ1 + A3 cos(ϕ3 + π )

ϕ1 = 0 → ϕ3 = π
12 3
8 3
sin ϕ1 +
sin(ϕ1 + π + π ) = 0 ↔ 4 3 sin ϕ1 = 0 ↔ 
5
5
ϕ1 = π → ϕ3 = 2π

ϕ1 = 0; ϕ 3 = π

Ta chọn cặp nghiệm
x1 =

Do đó
A2 =

12 3
cos(πt )

5

x3 =

và

8 3
4 37
55,28π
cos(πt + π ) → x2 =
cos(πt +
)
5
5
180

4 37
= 4,87cm
5

Do đó
Bài 9: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k gắn với vật nhỏ có
khối lượng m đang dao động điều hòa dọc theo trục Ox thẳng đứng mà gốc O ở ngang với
vị trí cân bằng của vật chiều dương hướng lên. Lực đàn hồi mà lò xo tác dụng lên vật
trong quá trình dao động có đồ thị như hình bên. Lấy π2 = 10, phương trình dao động của
vật là:
12


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

A. x = 8cos(5πt –π/2)cm.

B. x = 8cos(5πt + π/2)cm.

C. x = 2cos(5πt – π/3)cm .

D. x = 2cos(5πt + π/3)cm.

Hướng dẫn:
Fdh = k (∆l 0 x )

- Công thức lực đàn hồi:
⇒ Đồ thị lực đàn hồi biến thiên theo thời gian có dạng hình sin.
- Khi vật ở biên dương
F1 = k∆l 0 + kA
3 = k∆l 0 + kA (1)

- Khi vật ở biên âm
F2 = k∆l 0 + kA
− 1 = k∆l 0 − kA (2)
k∆l 0 = 1

kA = 2

(1) và (2) ⇒
T = 0,4s ⇒ ω = 5π ⇒ Δlo = 0,04m
⇒ k =25N/m và A =0,08m = 8cm

Từ vị trí ban đầu đến vị trí lực đàn hồi cực đại ( biên âm) là 0,1s = T/4 vậy ban đầu vật
đang ở VTCB và đi theo chiều âm
13


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

⇒ϕ =

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

π
2

II. Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa:
1. Cơ sở lí thuyết
Wt =

1 2 1
1
kx = mω 2 x 2 = mω 2 A 2 cos 2 (ωt + ϕ )
2
2
2

- Thế năng:

Wđ =

1

1
1
mv 2 = mω 2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ ) = kA 2 sin 2 (ωt + ϕ )
2
2
2

- Động năng:

W = Wđ + Wt =

- Cơ năng:

1 2 1
kA = mω 2 A 2 = const
2
2

- Đồ thị biểu diễn thế năng và động năng trên cùng hệ trục tọa độ :

14


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

2. Các bài tập minh họa :
Bài 1: Con lắc lò xo dao động điều hòa. Đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của động năng và thế năng theo thời

gian cho ở hình vẽ bên. Khoảng thời gian giữa 2 lần
liên tiếp động năng bằng thế năng là 0,2s.
A. 0,2s

B. 0,4s

C. 0,6s

D. 0,8s

Hướng dẫn :
- Giao điểm cùa 2 đường là thời điểm động năng bằng thế năng. Vì khoảng thời gian giữa
2 lần liên tiếp động năng bằng thế năng là 0,2s nên khoảng thời gian giữa 2 giao điểm là
0,2s.
- Từ đó ta suy ra chu kì của động năng và thế năng là 0,4s
- Chu kì dao động gấp 2 lần chu kì của động năng và thế năng ⇒T= 0,8s
Bài 2 : Một vật khối lượng 400g dao động điều hòa
có đồ thị động năng như hình vẽ. Tại thời điểm t = 0
vật đang chuyển động theo chiều dương, Lấy π2 ≈10.
Phương trình dao động của vật :
x = 10 cos(2π t −

A.
x = 5 cos(2π t +

B.

π
)
3

x = 10 cos(2π t +

C.

π
)
3

cm

cm

π
)
3

cm
15


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

x = 5 cos(2π t −

D.

π
)
3

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

cm

Hướng dẫn :
- Theo đồ thị ta có thời gian động năng giảm từ 0,015J về 0J là 1/6 s
3
Wđ = 0,015 J = Wđ max
4
3
⇒v=
v max
2

Thời gian để vận tốc thay đổi từ

3
v max → 0
2

là

T
6

⇒ T = 1s ⇒ ω = 2π

1 2
1

10
2
mvmax ⇔ 0,02 = .0,4.v max
⇒ v max =
2
2
10
10
⇔ ωA =
⇒ A = 0,05m = 5cm
10

Wđ max =

Vật đang chuyển động theo chiều dương nên φ<0.
Bài 3 : Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình x = Acosωt. Đồ thị biểu
diễn động năng và thế năng của con lắc theo thời gian được cho bởi hình bên. Cứ 0,5s
động năng lại bằng thế năng. Tìm tần số góc của con lắc

A.
C.

π
2

π

rad/s
rad/s

B.
D.

π
4
4π

rad/s
rad/s

Hướng dẫn :
- Tương tự bài 1 tìm được T = 2s ⇒ ω = π
16


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

B. SÓNG CƠ
I. Phương trình sóng cơ
1. Cơ sở lí thuyết :
-Tại điểm O: uO = Acos(ωt + ϕ)
- Tại điểm M cách O một đoạn x trên phương truyền sóng.
+ Sóng truyền theo chiều dương của trục Ox
x
t
x
u M = Acos( ωt + ϕ - ω ) = Acos(2π + ϕ - 2π )
v

T
λ
x
t x
⇒ u M = Acosω ( t - ) = Acos2π ( - )
v
T λ

Nếu φ = 0
+ Sóng truyền theo chiều âm của trục Ox

x
t
x
u M = Acos( ωt + ϕ + ω ) = Acos(2π + ϕ + 2π )
v
T
λ
⇒ u M = Acosω ( t +

x
t x
) = Acos2π ( + )
v
T λ

Nếu φ = 0
- Độ lệch pha giữa hai điểm cách nguồn một khoảng x1, x2
∆ϕ = ω

x1 − x2
v

= 2π

x1 − x2

λ

Nếu 2 điểm đó nằm trên một phương truyền sóng và cách nhau một khoảng x thì:
∆ϕ = ω

x
x
= 2π
v
λ

- Đồ thị sóng cơ
17


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

- Sự truyền sóng cơ :

\

- Các điểm trước đỉnh sóng thì đi lên còn sau đỉnh sóng thì đi xuống.
- Các dạng bài tập liên qua :
+ Từ độ thị thiết lập phương trình truyền sóng.
+ Từ đồ thị tìm bước sóng, chu kì, tần số,…
+ Từ đồ thị tìm quãng đường sóng truyền được trong thời gian t, vận tốc của một
điểm trên đường truyền sóng tại một thời điểm,…
2. Các bài tập minh họa :
Một số bài tập cơ bản
Bài 1: Trên một sợ dây dài, đang có sóng ngang hình sin
truyền qua theo chiều dương của trục Ox. Tại thời điểm t0
một đoạn của sợi dây có hình dạng như hình bên. Hai
phần tử M và O dao động lệch pha nhau

A.

π
4

rad

B.

π
3

rad
18


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

C.

3π
4

rad

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

D.

2π
3

rad

Hướng dẫn :
- Từ hình vẽ ta thấy λ = 8 ô ; Δx = OM = 3 ô
∆x 3
=
λ 8

- Vậy độ lệch pha giữa hai điểm O và M sẽ là
∆ϕ =

2π∆x 3π
=
rad
λ

4

Bài 2: Trên một sợi dây dài đang có sóng ngang hình sin
truyền qua theo chiều dương của trục Ox. Tại thời điểm t 0,
một đoạn của sợi dây có hình dạng như hình bên. Hai phần tử dây tại M và Q dao động
lệch pha nhau

A.

π
.
3

B.

π.

C.

2π

Hướng dẫn:
- Theo đồ thị ta thấy λ/2 = 3 ô
λ
2

- Hai điểm M và Q cách nhau 3 ô là

nên 2 điểm này lệch pha nhau π

Bài 3 : Một sóng ngang hình sin truyền trên một sợi dây
dài. Chu kì của sóng cơ này là 3 s. Ở thời điểm t, hình
dạng một đoạn của sợi dây như hình vẽ. Các vị trí cân
bằng của các phần tử dây cùng nằm trên trục Ox. Tốc độ
lan truyền của sóng cơ này là
A. 2 m/s

B. 6 m/s

C. 3 m/s

D. 4 m/s

Hướng dẫn:

19

D.

π
.
4


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

- Từ hình vẽ ta có

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

λ
= 6m ⇒ λ = 12m
2
v=

- Vận tốc truyền sóng

λ 12
=
=4
T 3

m/s

Bài 4: Một sóng cơ học tại thời điểm t = 0 có đồ
thị là đường liền nét. Sau thời gian t, nó có đồ thị
là đường đứt nét. Cho biết vận tốc truyền sóng là
4 m/s, sóng truyền từ phải qua trái. Giá trị của t
là
A. 0,25 s.

B. 1,25 s.

C. 0,75 s.

D. 2,5 s.

Hướng dẫn:
- Lưu ý sự truyền sóng là sự truyền pha dao động .
- Sóng truyền từ phải qua trái. Quãng đường sóng truyền được trong thời gian t là s = 3m.

s = v.t ⇒ t =

s 3
= = 0,75s
v 4

Một số bài tập nâng cao:
Bài 5: Một sóng ngang hình sin truyền trên một sợi
dây dài. Hình vẽ bên là hình dạng của một đoạn dây
tại một thời điểm xác định. Trong quá trình lan truyền
sóng, khoảng cách lớn nhất giữa hai phần tử M và N
có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 8,5 cm.

B. 8,2 cm .

C. 8,35 cm.

D. 8,02 cm.

Hướng dẫn:
- Độ lệch pha dao động giữa hai phần tử M và N
∆ϕ =

2π∆x 2π.8 2π
=
=
λ
24
3

rad

- Khoảng cách giữa hai chất điểm
20


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

d = ∆x 2 + ∆u 2

Ta có

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

với ∆x là không đổi, d lớn nhất khi ∆u lớn nhất

 2π 
∆u max = ( u M − u N ) max = A 2 + A 2 − 2A.Acos 
÷= 3
 3 

d max = ∆x 2 + ∆u 2max = 82 +

( 3)

2

cm

≈ 8, 2cm

Vậy
Bài 6: Sóng ngang có tần số f truyền trên một sợi dây
đàn hồi rất dài, với tốc độ 3 m/s. Xét hai điểm M và N
nằm trên cùng một phương truyền sóng, cách nhau một
khoảng x. Đồ thị biểu diễn li độ sóng của M và N cùng
theo thời gian t như hình vẽ. Biết t1 = 0,05 s. Tại thời
điểm t2, khoảng cách giữa hai phần tử chất lỏng tại M và
N có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 4,3 cm

B. 3,3 cm

C. 4,8 cm

D. 3,7 cm

Hướng dẫn:
- Phương trình dao động của hai phần tử M, N là
u N = 4cos ( ωt )


π

u M = 4cos  ωt − ÷
3


∆t1 =

- Ta thấy rằng khoảng thời gian

3
1
T = 0,05 ⇒ T = s ⇒ ω = 30π
4
15

rad/s

- Độ lệch pha giữa hai sóng
∆ϕ =

π 2πx
λ vT 10
=
⇒x= =
= cm
3
λ
6
6
3
t2 = T +

- Thời điểm

5
17

T=
s
12
180

khi đó điểm M đang có li độ băng 0 và li độ của điểm N là

21


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

17 

u N = 4cos ( ωt ) = 4cos  30π
÷ = −2 3cm
180 


- Khoảng cách giữa hai phần tử MN
2

(

 10 
d = x + ∆u =  ÷ + −2 3
 3
2

2

)

2

=

4 13
cm
3

Bài 7: Một sóng hình sin đang truyền trên một sợi dây
theo chiều dương của trục 0x. Hình vẽ mô tả hình
dạng của sợi dây tại thời điểm t1 và t2 = t1 + 1s. Tại
thời điểm t2, vận tốc của điểm M trên dây gần giá trị
nào nhất sau đây?
A. – 3,035 cm/s.

B. – 3,042 cm/s.

C. 3,042 cm/s.

D. 3,035 cm/s.

Hướng dẫn:

Ta có

λ 1
=
⇒ λ = 0, 4m
4 10

S=

- Trong 1 s sóng truyền đi được
T=

Chu kì của sóng

λ
π
= 8s ⇒ ω =
v
4

3
1
1
S
− =
m ⇒ v = = 0,05
20 10 20
t

rad/s

+ Độ lệch pha dao động theo tọa độ x của M và điểm O

11
2π
2π∆x
30 = 11 π
∆ϕ =
=
λ
0.4
6

Phương trình sóng tại M:

π
11
u M = 4 cos( t − π )
4
6

t = 1s ⇒ uM ≈ 1,035
u M2 +

có:

v M2
= A 2 ⇒ v M = ±3,035
2
ω

cm/s
22

m/s


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

Lưu ý rằng tại thời điểm t1 M chuyển động theo chiều âm (do nằm
trước đỉnh sóng) nên vM = -3,035 cm/s
Bài 8: Sóng truyền trên một sợi dây đàn hồi theo
ngược chiều dương trục Ox. Tại một thời điểm nào
đó thì hình dạng sợi dây được cho như hình vẽ. Các
điểm O, M, N nằm trên dây. Chọn đáp án đúng
A.

B.
C.
D.

ON = 30cm

ON = 28cm
ON = 30cm
ON = 28cm

, N đang đi lên

, N đang đi lên
, N đang đi xuống

, N đang đi xuống

Hướng dẫn:
- Theo phương truyền sóng, so sánh với đỉnh gần nhất. Trước đỉnh sóng thì phần tử môi
trường đi xuống, sau đỉnh sóng thì phần tử môi trường đi lên
xuống

u N = −2 = −

- Từ hình vẽ ta thấy điểm N có li độ
∆ϕ =

2π∆x IN
π 2π∆x IN
⇔ =
⇒ ∆x IN = 4
λ
6
48

cm
23

AM
2

⇒N

trước đỉnh M sẽ đi

GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Vậy

ON = 28

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

cm

II. Sóng dừng:
1. Cơ sở lí thuyết
- Đồ thị của sóng dừng

- Khi xảy ra sóng dừng, biên độ dao động của các phần tử được xác định bởi:
a M = 2a sin

+
a M = 2a cos

+

2π∆x
λ
2π∆x
λ

với Δx là khoảng các từ M đến nút.

với Δx là khoảng các từ M đến bụng.

- Khi xảy ra sóng dừng, các phần tử đối xứng nhau qua
một nút thì dao động ngược pha nhau, đối xứng nhau qua
một bụng thì dao động cùng pha nhau.
2. Các bài tập minh họa:
Một số bài tập cơ bản:
Bài 1: Hình ảnh dưới đây mô tả sóng dừng trên một sợi dây
MN. Gọi H là một điểm trên dây nằm giữa hai nút M, P. Gọi
K là một điểm trên dây nằm giữa hai nút Q và N. Kết luận
nào sau đây là đúng?

A. H và K dao động lệch pha nhau

π
5

B. H và K dao động ngược pha nhau

24


GV Nguyễn Tuấn Kiệt

Bài tập đồ thị dao động cơ và sóng cơ

C. H và K dao động lệch pha nhau

π
2

D. H và K dao động cùng nhau
Hướng dẫn:
- Hai điểm H và K đối xứng với nhau qua một bó sóng nên sẽ dao động cùng pha với
nhau
Một số bài tập nâng cao
Bài 2: Sóng dừng trên một sợi dây với biên độ điểm
bụng là 4 cm. Hình vẽ biểu diễn hình dạng của sợi dây
ở thời điểm t1 (nét liền) và t2 (nét đứt) . Ở thời điểm t1
điểm bụng M đang di chuyển với tốc độ bằng tốc độ
của điểm N ở thời điểm t2. Tọa độ của điểm N ở thời
điểm t2 là :

A.
B.
C.

D.

uN = 2

xN =

cm,

uN = 6

uN = 2

cm,

cm,

uN = 6

40
3

x N = 15

x N = 15
xN =

cm,

cm
cm

cm

40
3

cm

Hướng dẫn
vM =

- Tại thời điểm t1 tốc độ của M là

ωA M
2

vN =

- Tốc độ của điểm N tại thời điểm t2 là :
v N = vM ⇒ A N =

ωA N 2
2

2
AM
2

25