tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỄU
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỄU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Trần Văn Tuấn

HÀ NỘI – 2018


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Thạc sĩ Trần Văn Tuấn đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài
này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã chỉ dẫn em tận tình trong suốt quá
trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
luôn bên em, động viên và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề
tài khóa luận này.
Em xin cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy Dung

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt sự hướng
dẫn tận tình của Thạc sĩ Trần Văn Tuấn.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo ở cuối khóa luận.

Em xin khẳng định kết quả của đề tài Tính ổn định của nghiệm dừng của phương
trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài
khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy Dung


Mục lục

Mở đầu

iv

1 Kiến thức chuẩn bị

2

1.1

Không gian chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Tích vô hướng của hai véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Không gian Metric, không gian Metric đầy và nguyên lý
điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Khái quát về hệ phương trình vi phân

8

. . . . . . . . . .

11

1.4.1

Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.2

Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với
phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.3

Các trường hợp đặc biệt của phương trình . . . .

14

1.4.4

Bổ đề Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân
dưới tác dụng của nhiễu

22

2.1

Khái niệm tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2

Tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính . . . .

27

2.3

Tính ổn định của phương trình vi phân bị nhiễu . . . . .

33

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.4

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Hàm kỹ thuật Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Kết luận

54

TÀI LIỆU THAM KHẢO

55

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Có rất nhiều bài toán xuất phát từ thực tế, chẳng hạn, ta muốn khảo
sát sự biến động của hệ sinh thái, hệ động lực học hay khảo sát sự ổn
định của mật độ dân cư,. . . Các nhà khoa học, kĩ sư thường quan tâm
đến sự tác động của ngoại cảnh ảnh hưởng thế nào đến quá trình vận
động tiếp theo của hệ. Để khảo sát sự ổn định của quá trình đó người
ta thường mô hình hóa toán học vào các hệ đó. Trong thực tế, người ta
mong muốn dưới tác động nhỏ của ngoại lực thì trạng thái cân bằng của
hệ vẫn ổn định. Do đó lý thuyết ổn định được hình thành, phát triển
một cách sâu rộng, mạnh mẽ và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực
khác nhau như: khoa học kỹ thuật, kinh tế, sinh học,...
Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng trong lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Ngày nay, lý thuyết ổn định đã được nghiên cứu
một cách hệ thống, đạt được nhiều thành tựu và được trình bày trong
nhiều tài liệu chuyên khảo [1, 4, 5]. Với mục đích tìm hiểu lý thuyết
ổn định đối với phương trình vi phân tôi chọn đề tài: “Tính ổn định
của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của
nhiễu” dưới sự hướng dẫn của thầy Trần Văn Tuấn để thực hiện khóa
luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
a) Tìm hiểu phương trình vi phân thường; Bài toán Cauchy đối với
iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

phương trình vi phân; Lý thuyết ổn định đối với phương trình vi
phân tuyến tính hoặc phi tuyến.
b) Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để kiểm tra tính ổn định của
nghiệm dừng của các phương trình bị nhiễu.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến. Các phương pháp để
kiểm tra tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân bị
nhiễu.
4. Phạm vi nghiên cứu
a) Phương trình vi phân và tính ổn định của nghiệm dừng.
b) Phương trình vi phân bị nhiễu và tính ổn định của nghiệm dừng
của phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích các bài giải minh họa, tích
cực nghiên cứu dưới sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn.
6. Cấu trúc đề tài
Khóa luận được trình bày trong hai chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân
dưới tác dụng của nhiễu.
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Thùy Dung
v


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

BẢNG KÍ HIỆU

N

Tập số tự nhiên

Z

Tập số nguyên

R

Tập số thực

C

Tập số phức.

R+

Tập số thực không âm

C[a, b]

Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].

Rn

Không gian Euclide n chiều,

với x = (x1 , x2 , . . . , xn ) là các phần tử trong Rn ,
1/2

n

|xi |2

chuẩn Euclide x =

,

i=1

Reλ

Phần thực của λ

spec(A)

Phổ của A (tập các giá trị riêng của A)

x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử của Rn
|x|

Chuẩn của phần tử x, bằng
Kết thúc chứng minh

1

x21 + · · · + x2n

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm, kết quả liên
quan đến không gian metric, không gian metric đầy, nguyên lý Banach
về ánh xạ co được sử dụng trong khóa luận, chi tiết có thể tham khảo
[1, 5].

1.1

Không gian chuẩn hữu hạn chiều

Kí hiệu Rn là không gian véc tơ thực n chiều. Các phần tử của nó là các
véc tơ n chiều có dạng x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Đôi khi ta cũng viết véc tơ
x dưới dạng một ma trận cột. Các số thực x1 , x2 , . . . , xn được gọi là tọa
độ của véc tơ x. Phép cộng véc tơ được xác định bằng phép cộng các
tọa độ, phép nhân véc tơ với một số thực cũng được xác định tương tự.
Cho trước ma trận cấp n × m (n-dòng, m-cột), khi đó chúng ta thu
được ánh xạ tuyến tính
B : R m → Rn ,

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

cho bởi công thức Bx = Bx, trong đó Bx là kí hiệu của véc tơ cột



m



b x
 j=1 1j j 

 m



b2j xj 


Bx :=  j=1
,


.
..



n


bmj xj
j=1

trong đó bji là kí hiệu của phần tử ở vị trí giao của dòng thứ i với cột
thứ j của ma trận B, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Ngược lại, mọi ánh xạ
tuyến tính Rm → Rn đều có dạng trên.
Ma trận chuyển vị B ∗ của B là ma trận cấp m × n với các phần tử là
b∗ji = bij ,

∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Đặc biệt, với bất kì ma trận thực A cấp n × n từ một ánh xạ tuyến
tính trong không gian Rn vào chính nó thì ma trận A đó được gọi là ma
trận không suy biến nếu định thức của nó là một hằng số khác 0. Khi
đó tồn tại duy nhất một ma trận nghịch đảo, kí hiệu là A−1 và xác định
bởi công thức
A × A−1 = A−1 × A = I,
trong đó, ta kí hiệu I là ma trận đơn vị cấp n.
Định nghĩa 1.1. Một chuẩn trên Rn là ánh xạ · : Rn → [0, +∞) thỏa
mãn các tiên đề sau
(i) x ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

(ii) x = 0 ⇔ x = 0.
(iii) λx = |λ| x , ∀λ ∈ R, x ∈ Rn .
(iv) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ Rn .
Các hàm dưới đây là các ví dụ cụ thể cho chuẩn trong Rn .

x := max |xi |,

(1.1)

1≤i≤n
n

x

1

|xi |,

=

(1.2)

i=1
1
2

n

x

e

x2i

:=

.

(1.3)

i=1

Với một chuẩn bất kì trên Rn luôn cảm sinh một tôpô trên chính nó
(tôpô sinh bởi chuẩn). Từ đó cho phép ta định nghĩa khái niệm hội tụ và
một số khái niệm điển hình về tôpô như sau. Ta nói dãy xj

j≥1

∈ Rn

hội tụ tới x trong Rn với chuẩn · nếu
lim xj − x = 0.

j→∞

Hình cầu mở tâm a ∈ Rn và bán kính r là tập
{x ∈ Rn ;

x − a < a} .

Hình cầu đóng tâm a ∈ Rn và bán kính r là tập
{x ∈ Rn ;

x − a ≤ a} .

Chúng ta cũng có thể định nghĩa khái niệm tôpô của bao đóng, tập
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

đóng, tập mở và tính liên tục. Theo đó, một tập D ⊂ Rn được gọi là
mở nếu với mọi điểm x0 ∈ D, tồn tại một hình cầu mở tâm x0 và chứa
trong D. Tập C ⊂ Rn được gọi là đóng nếu mọi dãy điểm trong C hội
tụ và hội tụ tới một điểm trong C. Tập K ⊂ Rn gọi là compact nếu mọi
dãy điểm trong K chứa một dãy con hội tụ tới một điểm trong K. Cuối
cùng, tập D được gọi là bao ngoài nếu nó chứa vô số hình cầu.
Ta có thể thấy rằng sự hội tụ theo chuẩn tương đương với sự hội tụ
theo tọa độ.
Chính xác hơn, nếu cho một dãy xj

∈ Rn , xj = (xj1 , xj2 , . . . , xjn ),

thì
lim xj = x = (x1 , x2 , . . . , xn )

j→∞

⇔ lim xjk = xk , ∀k = 1, 2, . . . , n.
j→∞

Ta nói hai chuẩn ·

1

và ·

2

là tương đương nếu tồn tại một hằng số

C ≤ 1 sao cho
1
x
C

2

≤ x

1

≤ C x 2.

(1.4)

Theo đó, các khái niệm tập con đóng, tập con mở, tập con compact
của Rn cũng được định nghĩa tương tự với mọi chuẩn trên Rn .
Cho một ma trận thực cấp n × n với các phần tử {aij ; 1 ≤ i, j ≤ n},
chuẩn của nó là một số thực
n

|aij | .

A = max
i

j=1

5

(1.5)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Trong không gian véc tơ các ma trận tuyến tính cấp n × n (không
2

gian tuyến tính n2 chiều Rn ), ánh xạ A → A thỏa mãn tất cả các tiên
đề (i) − (iv) trong Định nghĩa 1.1
(i) A ≥ 0.
(ii) A = 0 ⇔ A = 0.
(iii) λA = |λ| A , ∀λ ∈ R.
(iv) A + B ≤ A + B .
Theo đó, ta nói rằng dãy ma trận (Aj )j≥1 hội tụ tới ma trận A khi
j → ∞, chúng ta sẽ kí hiệu rằng A = lim Aj , khi lim Aj − A = 0.
j→∞

Nếu ta kí hiệu

ajk

, 1 ≤ k,

j→∞

≤ n các phần tử của ma trận Aj , ak , 1 ≤

≤ n các phần tử của ma trận A thì

k,

lim Aj = A ⇔ lim ajk = ak , ∀k, .

j→∞

j→∞

Nếu · là chuẩn trên Rn xác định bởi (1.1), chúng ta có bất đẳng
thức sau
Ax ≤ A

1.2

x , ∀x ∈ Rn .

Tích vô hướng của hai véc tơ

Cho hai véc tơ
x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Ta định nghĩa rằng tích vô hướng của chúng là một số thực có dạng
n

x k yk .

(x, y) :=

(1.6)

k=1

Chúng ta có thể coi tích vô hướng như một hàm (·, ·) : Rn × Rn → R.
Không khó để thấy rằng nó thỏa mãn các tính chất sau
(x, y) = (y, x) , ∀x, y ∈ Rn ,

(1.7)

(x, y + z) = (x, y) + (x, z) , (λx, y) = λ (x, y) , ∀x, y, z ∈ Rn , λ ∈ R,
(1.8)
(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ R, (x, x) = 0 ⇔ x = 0.
Ta thấy rằng hàm ·

e

x

(1.9)

xác định bởi
1

e

:= (x, x) 2 , x ∈ Rn ,

(1.10)

chính xác là chuẩn trong. Không gian véc tơ Rn được trang bị với tích
vô hướng (1.6) và chuẩn (1.10) được gọi là không gian Euclide thực n
chiều.
Trong không gian Euclide, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm về
toán tử trực giao, đối xứng và nói chung, chúng ta có thể mở rộng thành
công một phần lớn của hình học Euclide cổ điển.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Không gian Metric, không gian Metric đầy và
nguyên lý điểm bất động

Định nghĩa 1.2. (Định nghĩa không gian Metric). Cho X là một
tập hợp tuỳ ý. Ta nói ánh xạ d : X × X −→ [0, ∞) là một metric trên
X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X,
d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.
Một tập X được trang bị cùng với một metric d được gọi là không gian
metric và được kí hiệu là (X, d).
Một không gian metric (X, d) được trang bị một tôpô tự nhiên. Thật
vậy, với mọi điểm x0 ∈ X thừa nhận một hệ các lân cận bao gồm các
tập có dạng S(x0 , r), trong đó S(x0 , r) là hình cầu mở bán kính r tâm
tại x0 , đó là,
S(x0 , r) := {x ∈ X; d(x, x0 ) < r}.

(1.11)

Trong trường hợp riêng, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm hội tụ..
Chúng ta nói rằng dãy {xn }n≥1 ⊂ X hội tụ đến x ∈ X và viết là lim xn =
n→∞

x nếu
lim d(xn , x) = 0.

n→∞

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Đẳng thức này cũng có nghĩa là ∀ε > 0, ∃N (ε) ∈ N sao cho
d(xn , x) ≤ ε, ∀m, n ≥ N (ε).
Định nghĩa 1.3. (Định nghĩa không gian Metric đầy). Không
gian metric (X, d) được gọi là đầy nếu mọi dãy cơ bản bất kỳ trong X
hội tụ.
Định nghĩa 1.4. (Định nghĩa ánh xạ co). Cho hai không gian metric
(X, d1 ), (Y, d2 ). Ánh xạ A : (X, d1 ) → (Y, d2 ) gọi là ánh xạ co, nếu tồn
tại số α ∈ [0, 1) sao cho
d2 (Ax1 , Ax2 ) ≤ αd1 (x1 , x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X.
Định lý 1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co A
ánh xạ không gian metric đầy (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động
x¯ duy nhất, nghĩa là x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯
x = x¯.
Chứng minh. Lấy một điểm bất kì x0 ∈ X và lập dãy {xn } với xn =
Axn−1 (n = 1, 2, . . .) ta được
d(x2 , x1 ) = d(Ax1 , Ax0 ) ≤ αd(x1 , x0 ) = αd(Ax0 , x0 ),
d(x3 , x2 ) = d(Ax2 , Ax1 ) ≤ αd(x2 , x1 ) ≤ α2 d(Ax0 , x0 ),
..
.
d(xn+1 , xn ) = d(Axn−2 , Axn−1 ) ≤ αd(xn , xn−1 ) ≤ αn d(Ax0 , x0 )

9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

với n ∈ N∗ . Từ đó suy ra ∀n, p ∈ N∗ ta có
d (xn+p , xn ) ≤ d (xn+p , xn+p−1 ) + d (xn+p−1 , xn+p−2 ) + . . . + d (xn+1 , xn ) .
Hay
p

d(xn+p , xn ) ≤

d(xn+k , xn+k−1 )
k=1
p

αn+k−1

≤ d(Ax0 , x0 )
k=1
n

n−p

α −α
d(Ax0 , x0 )
1−α
αn
≤
d(Ax0 , x0 ).

1−α
=

Vì 0 ≤ α < 1 nên lim αn = 0. Do đó, ∀p ∈ N∗ , lim d(xn+p , xn ) = 0,
n→∞

n→∞

nghĩa là dãy {xn } là dãy cơ bản trong không gian Metric đầy (X, d). Từ
đó tồn tại lim xn = x¯ ∈ X. Hơn nữa
n→∞

d(A¯
x, x¯) ≤ d(A¯
x, xn ) + d(xn , x¯) = d(A¯
x, Axn−1 ) + d(xn , x¯)

(1.12)

≤ αd(xn−1 , x¯) + d(xn , x¯), ∀ n = 1, 2, . . .
Cho n → ∞ trong bất đẳng thức (1.12), ta được d(A¯
x, x¯) = 0 hay
A¯
x = x¯, nghĩa là x¯ là điểm bất động của ánh xạ A.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Giả sử tồn tại điểm y¯ ∈ X mà A¯
y = y¯. Khi đó
d(¯
x, y¯) = d(A¯
x, A¯
y ) ≤ αd(¯
x, y¯)
⇒ (1 − α)d(¯
x, y¯) ≤ 0
⇒ d(¯
x, y¯) = 0, (0 ≤ α < 1)
⇒ x¯ = y¯.
Vì vậy x¯ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A. Định lý được chứng
minh.

1.4
1.4.1

Khái quát về hệ phương trình vi phân
Hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát
x˙ (t) = f (t, x(t)), t ≥ 0

(1.13)

trong đó x(·) ẩn hàm, t ≥ 0 là biến thời gian, x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)),
f : Rn × [0, ∞) → Rn cho bởi f (t, z) = (f1 (t, z), . . . , fn (t, z)) và



dx1
dt







x˙ 1



dx  .   . 

x(t)
˙
:=
=  ..  =  .. 
dt


 
dxn
x˙ n
dt
Định nghĩa 1.5. Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.13) là một
hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) có đạo hàm và thoả mãn phương

trình trên nửa khoảng [0, +∞).
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Giả sử x(0) = x0 = (x1 0 , x2 0 , . . . , xn 0 ) với xi 0 (i = 1, 2, . . . , n) đã biết.
Khi đó, bài toán đi tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.13),
x(t)
˙
= f (t, x(t)) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 gọi là bài toán Cauchy.
Nhận xét 1.1. Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc n
x(n) = f (t, x, x , x , . . . , x(n−1) ).

(1.14)

Đặt x = x1 , x = x2 , . . . , x(n−1) = xn . Khi đó ta có hệ phương trình vi
phân cấp một sau




x1







x2









xn

= x2 ,
= x3 ,

(1.15)

..
.
= f (t, x1 , x2 , . . . , xn ).

Nếu x = x(t) là nghiệm của phương trình (1.14) thì x1 = x(t), x2 =
x (t), . . . , xn = x(n−1) (t) là nghiệm của (1.15).
Ngược lại, nếu x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) là nghiệm của hệ (1.15) thì hàm
x = x1 (t) là nghiệm của phương trình (1.14).

12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4.2

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương
trình

Cho T, r là hai số thực dương. Xét phương trình vi phân (1.13), trên trụ
∆ := {(t, x) = (t, x1 , . . . , xn ) ∈ [0, T ] × Rn :
0 ≤ t ≤ T, |xi − x0i | ≤ r, i = 1, 2, . . . , n}.
Định lý 1.2. Giả sử rằng
(i) Hàm f : ∆ → Rn liên tục.
(ii) Hàm f Lipschitz theo biến x trên ∆, nghĩa là
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ ∆.

Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm x = ϕ(t) của hệ (1.13) thỏa mãn
điều kiện đầu x(0) = x0 và xác định trên khoảng
I := [0, δ] , δ := min T,

r
, M := sup f (t, x) .
M
(t,x)∈∆

Chúng ta có kết quả sau đây về sự tồn tại địa phương.
Định lý 1.3. Cho hàm f (t, x) : ∆ → Rn là hàm số liên tục và Lipschitz
địa phương theo x. Khi đó với bất kì x0 ∈ Rn hoặc x0 thuộc miền mở
trong Rn thì phương trình (1.13) có duy nhất nghiệm x(t; x0 ) thỏa mãn

điều kiện x(0) = x0
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy trong lân cận của
thời điểm ban đầu t0 = 0 chỉ là sự tồn tại và duy nhất địa phương chúng
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

ta cần tìm sự tồn tại và duy nhất trên toàn bộ tập xác định. Nghĩa là,
nếu hai nghiệm x = x(t), y = y(t) của phương trình (1.13) bằng nhau
tại điểm t0 = 0, thì chúng bằng nhau trên khoảng tồn tại chung.
Định lí tiếp theo cho ta biết về định lí duy nhất địa phương.
Định lý 1.4. Giả sử f : Ω → Rn thỏa mãn các điều đã giả sử ở định lí
(1.3). Nếu x, y là hai nghiệm của (1.13) lần lượt xác định trên khoảng
mở I, J và nếu x(0) = y(0), thì x(t) = y(t), ∀t ∈ I ∩ J.
Chứng minh. Cho (0, t1 ) = I ∩ J. Ta sẽ chứng minh x(t) = y(t), ∀t ∈
[0, t1 ). Cho
T := τ ∈ [0, t1 ) : x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, τ ]
Thì T = ∅ và đặt T ∗ := supT . Ta cần chứng minh T ∗ = t1 .
Giả sử T ∗ < t1 thì x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, T ∗ ], mà x(t), y(t) cùng là
nghiệm của phương trình (1.13), ta suy ra từ định lý 1.2 rằng tồn tai
ε > 0 sao cho x(t) = y(t), ∀t ∈ [T ∗ , T ∗ + ε]. Điều đó mâu thuẫn giả sử
T ∗ := supT suy ra T ∗ = t1 .
1.4.3

Các trường hợp đặc biệt của phương trình

Trong mục này, chúng tôi dẫn ra minh hoạ cụ thể các kết quả phần trước

cho một số lớp phương trình vi phân có cấu trúc đặc biệt.
A. Phương trình tuyến tính thuần nhất
Trước tiên, chúng ta sẽ khảo sát phương trình vi phân thuần nhất có
dạng sau
x(t)
˙
= A(t)x(t), t ∈ I,
14

(1.16)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

trong đó A(t) = aij (t) là ma trận cấp n × n với các phần tử là các hàm
phụ thuộc vào biến t và I = [0, T ].
Định nghĩa 1.6. Giả sử {X1 , . . . , Xn } là hệ gồm n nghiệm độc lập
tuyến tính của phương trình (1.16). Khi đó, ma trận vuông X(t) có các
cột X1 , . . . , Xn gọi là một ma trận cơ bản của phương trình (1.16).
Theo định nghĩa, ta thấy X(t) là một nghiệm của phương trình vi
phân
˙
X(t)
= A(t)X(t), t ∈ I,

(1.17)

hơn nữa ma trận nghiệm cơ bản X(t) là không duy nhất. Có thể kiểm

tra được ma trận nghiệm cơ bản Y (t) bất kì có dạng Y (t) = X(t)C,
trong đó C là ma trận hằng cấp n × n cũng là nghiệm của (1.17).
Hệ quả 1.1. Cho X(t) là một ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.16) thì
mọi nghiệm x(t) bất kì của bài toán Cauchy (1.16) thoả mãn điều kiện
đầu x(0) = x0 có biểu diễn dạng
x(t) = X(t)X(0)−1 x0 , t ∈ I.

(1.18)

B. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
Ta xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng sau
x˙ = A(t)x(t) + b(t), t ∈ I,

(1.19)

A(t) = aij (t) là ma trận cấp n×n với các phần tử là các hàm phụ thuộc
vào biến t. Ta biết rằng, tập các nghiệm phương trình vi phân thuần nhất
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

cấp n lập thành không gian véc tơ n chiều. Từ đây và Nguyên lí chồng
chất nghiệm cho phép ta biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân
không thuần nhất qua nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
và một nghiệm riêng của nó.
Định lý 1.5. Cho X(t) là một ma trận nghiệm cơ bản của phương trình
∼

thuần nhất (1.16) và x (t) là một nghiệm cho trước của phương trình
không thuần nhất (1.19). Khi đó nghiệm tổng quát x(t) của hệ (1.19)
thỏa mãn với điều kiện ban đầu là x(0) = x0 có dạng
∼

x (t) = X (t) X (0)−1 x0 + x (t) , t ∈ I,

(1.20)

Chứng minh. Công thức (1.20) viết lại thành
∼

x (t) = X (t) c + x (t) , t ∈ I, với c = X (0)−1 x0
Hiển nhiên, hàm x(t) bất kỳ có dạng (1.20) là một nghiệm của (1.19).
Bây giờ ta đi chứng minh mọi nghiệm có dạng (1.20). Cho y(t) là một
nghiệm tùy ý của hệ (1.19) xác định bởi điều kiện ban đầu y (0) = y0 ,
trong đó y0 ∈ Rn . Xét hệ tuyến tính đại số
∼

X (0) c = y0 − x (0)
Khi đó det X (0) = 0, hệ ở trên có một nghiệm duy nhất c0 . Thì hàm
∼

X (t) c0 + x (t) có giá trị y0 tại thời điểm ban đầu t0 = 0. Theo định lý
tồn tại và duy nhất thì
∼

y (t) = X (t) c0 + x (t) , ∀t ∈ I.
16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

Nói cách khác, nghiệm y(t) tùy ý có dạng (1.20)
Định lý 1.6. (Công thức biến thiên hằng số) Cho X(t) là một ma trận
nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (1.16) thì nghiệm tổng quát
x(t) của phương trình không thuần nhất (1.19) thỏa mãn điều kiện ban
đầu là x(0) = x0 có dạng
−1

x (t) = X (t) X (0)

t

x0 +

X (t) X(s)−1 b (s) ds, t ∈I,

(1.21)

0

Chứng minh. Từ (1.20) công thức nghiệm tổng quát của (1.19) có dạng
∼

x (t) = X (t) X (0)−1 x0 + x (t) , t ∈ I,
∼

Bây giờ ta đi tìm công thức nghiệm x (t) của (1.19) có dạng
∼

x (t) = X (t) γ (t) , t ∈ I

(1.22)
∼

trong đó γ : I → Rn là một hàm được xác định sau. Khi đó giả sử x (t)
là một nghiệm của (1.19), ta có
X˙ (t) γ (t) + X (t) γ˙ (t) = A (t) X (t) + b (t) ,
Sử dụng đẳng thức (1.17), ta có X˙ (t) = A (t) X (t) và ta kết luận
rằng
γ˙ (t) = X(t)−1 b (t) , ∀t ∈ I,

17