Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn các ánh xạ không giãn tt

„I

HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG I HÅC S× PHM

NGUYN SONG H

XP X NGHIM CHO BT NG THÙC BIN
PHN VÎI HÅ VÆ HN CC NH X KHÆNG
GIN
Ng nh: To¡n Gi£i t½ch
M¢ sè: 9460102

TÂM TT LUN N TIN S TON HÅC

THI NGUYN - 2018


Cổng trẳnh ữủc ho n th nh tÔi:

Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản

Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TS. Nguyạn Bữớng

PhÊn biằn 1: .............................................
PhÊn biằn 2: .............................................
PhÊn biằn 3: .............................................

Luên Ăn s ữủc bÊo vằ trữợc Hởi ỗng chĐm luên Ăn cĐp Trữớng hồp tÔi:

Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản.
V o hỗi ...... giớ ...... ng y ...... thĂng ...... nôm 2018

Cõ th tẳm hiu luên Ăn tÔi thữ viằn:
-

Thữ viằn Quốc gia Viằt Nam
Trung tƠm hồc liằu Ôi hồc ThĂi Nguyản

-

Thữ viằn trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản

-


1

M Ưu

i toĂn bĐt ng thực bián phƠn  ữủc ã xuĐt v o nhỳng nôm Ưu cừa thêp niản 60 thá
k XX, gn liãn vợi nhỳng nghiản cựu cừa Lions, Stampacchia v cởng sỹ (Lions v
Stampacchia, 1965, 1967; Hartman v Stampacchia, 1966). Tứ õ án nay, bĐt ng thực
bián phƠn luổn l mởt chừ ã nghiản cựu mang tẵnh thới sỹ v thu hút ữủc sỹ quan
tƠm cừa nhiãu nh khoa hồc trong v ngo i nữợc. Nhiãu b i toĂn nhữ: b i toĂn cỹc
tr;
b i toĂn im bĐt ởng; b i toĂn cƠn bơng; b i toĂn bũ; phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ ỡn iằu; b
i toĂn biản cõ dÔng cừa phữỡng trẳnh Ôo h m riảng : : : cõ th quy vã mổ hẳnh
B

i toĂn bĐt ng thực bián phƠn dữợi cĂc giÊ thiát thẵch hủp. Vẳ thá b i
toĂn n y l mởt cổng cử mÔnh v thống nhĐt trong nghiản cựu nhiãu
mổ hẳnh b i toĂn lẵ thuyát v ựng dửng thỹc tá.

b

Viằt Nam, theo nhiãu con ữớng tiáp cên khĂc nhau, cĂc nh khoa hồc cõ nhỳng õng
gõp quan trồng cho b i toĂn n y cõ th k án nhữ cĂc nhõm nghiản cựu cừa GS.TSKH.
PhÔm Ký Anh (P.K. Anh v tg, 2015, 2017); GS.TSKH. Phan Quốc KhĂnh (P.Q. KhĂnh
v tg, 2005, 2006); GS.TSKH. inh Thá Lửc (.T. Lửc v tg, 2008, 2014); GS.TSKH. Lả
Dụng Mữu (L.D. Mữu v tg, 2005, 2012); GS.TSKH. PhÔm Hỳu SĂch (P.H. SĂch v tg,
2004, 2008); GS.TSKH. Nguyạn XuƠn TĐn (N.X. TĐn v tg, 2012, 2013); GS.TSKH.
Nguyạn ổng Yản (N.. Yản v tg, 2005, 2008); GS.TS. Nguyạn Bữớng (N. Bữớng v tg,
2011, 2013, 2015, 2016); PGS.TS. PhÔm Ngồc Anh (P.N. Anh v tg, 2004, 2005,
2010); PGS.TS. Nguyạn Quang Huy (N.Q. Huy v tg, 2011) v PGS.TS. Nguyạn Th
Thu Thừy (N.T.T. Thừy v tg, 2013, 2016) : : : Bản cÔnh õ, bĐt
é

ng thực bián phƠn v mởt số b i toĂn liản quan cụng  v ang l ã t i
nghiản cựu cừa nhiãu tĂc giÊ l tián sắ v nghiản cựu sinh trong nữợc.
Mổ hẳnh b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn cờ in cõ dÔng:
Tẳm x 2 C sao cho:
trong

hF (x ); x x i

0;

8x 2 C;

õ C l têp con lỗi õng khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert H v F : H ! H

(0.1)

l

Ănh xÔ xĂc nh trản H.

Trong trữớng hủp têp C cừa b i toĂn (0.1) ữủc cho dữợi dÔng ân l têp
im bĐt
ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn hay vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn thẳ
b i toĂn (0.1) cõ liản hằ vợi nhiãu b i toĂn thỹc tiạn nhữ b i toĂn khổi phửc
tẵn hiằu, b i toĂn phƠn phối bông thổng, kim soĂt nông lữủng cho hằ
thống mÔng viạn thổng CDMA v kắ thuêt xỷ lẵ tẵn hiằu bông tƯn.


º câ thº ùng döng b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v o thüc ti¹n, ái häi ph£i câ
nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i sè hi»u qu£ cho b i to¡n n y. V¼ l³ â, mët trong nhúng


2

hữợng nghiản cựu quan trồng hiằn nay d nh ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiãu nh toĂn hồc
trong v ngo i nữợc õ l viằc ã xuĐt cĂc phữỡng phĂp mợi tẳm nghiằm cừa b i toĂn (0.1) hoc
cÊi tián hiằu quÊ cừa nhiãu phữỡng phĂp  cõ. Cho án nay ngữới ta  thiát lêp ữủc nhiãu kắ
thuêt giÊi bĐt ng thực bián phƠn dỹa trản phữỡng phĂp chiáu cừa Goldstein (1964),
Polyak (1966, 1967, 1969), phữỡng phĂp im gƯn kã cừa Martinet (1970), Rokaffellar
(1976), nguyản lỵ b i toĂn phử cừa Cohen (1980), phữỡng phĂp hiằu chnh dÔng
Browder-Tikhonov (Browder, 1966; Tikhonov, 1963), phữỡng phĂp im gƯn kã hiằu chnh
cừa Lehdili v Moudafi (1996), Ryazantseva (2002) v phữỡng phĂp im gƯn kã quĂn tẵnh

do Alvarez v Attouch (2001) ã xuĐt hoc dỹa trản mởt số kắ thuêt tẳm im bĐt ởng nhữ
phữỡng phĂp lp Krasnosel'skii-Mann (Mann, 1953; Krasnosel'skii, 1955), phữỡng phĂp
lp Halpern (1967) v phữỡng phĂp xĐp x mãm (Moudafi, 2000).

Phữỡng phĂp lp in hẳnh giÊi b i toĂn (0.1) l phữỡng phĂp chiáu
gradient (Goldstein, 1964; Zeidler, 1990) ữủc mổ tÊ nhữ sau:

trong õ PC l php
hơng số dữỡng cố nh. Phữỡng phĂp (0.2) cõ cĐu trúc ỡn giÊn nản viằc vên dửng trong
nhỳng tẳnh huống cử th khĂ thuên tiằn. Phữỡng phĂp n y l sỹ kát hủp giỳa viằc sỷ
dửng trỹc tiáp dÔng õng cừa php chiáu PC v phữỡng phĂp kiu ữớng dốc nhĐt. Nhớ cõ
nhỳng tián bở Ăng k trong lẵ thuyát im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn

thá k XX, phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt ữủc Yamada v cởng sỹ (Yamada v
tg, 1998, 1999) ã xuĐt nhữ l mởt bián th cừa phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt tẳm cỹc
tiu cừa mởt h m lỗi trản têp im bĐt ởng chung cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn. c im
chẵnh cừa phữỡng phĂp n y l dũng dÔng õng cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn bĐt kẳ
m têp im bĐt ởng chung cừa nõ l têp r ng buởc cừa b i toĂn. Mt khĂc, trong nhiãu
i toĂn thỹc tá, chng hÔn b i toĂn xỷ lẵ tẵn hiằu (Iiduka, 2010), kim soĂt nông lữủng
cho hằ thống mÔng viạn thổng CDMA (Iiduka, 2012) hoc phƠn phối bông thổng
(Iiduka v Uchida, 2011) : : : cõ th ữa vã b i toĂn tẳm nghiằm cừa bĐt ng thực bián phƠn

b

trản têp im bĐt ởng cừa mởt hoc mởt hồ cĂc Ănh xÔ khổng giÂn. Hỡn nỳa, chúng
ta biát rơng, mồi têp con lỗi õng ãu cõ th biu diạn dữợi dÔng giao ám ữủc cừa cĂc
nỷa khổng gian, do õ l giao ám ữủc cừa têp im bĐt ởng cĂc Ănh xÔ khổng giÂn
cĂc toĂn tỷ chiáu lản nhỳng nỷa khổng gian n y. Vẳ thá b i toĂn tẳm nghiằm cừa bĐt
ng thực bián phƠn (0.1) trản mởt têp con lỗi õng cõ th quy vã viằc tẳm nghiằm bĐt ng
thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ cĂc Ănh xÔ khổng giÂn. Khi õ, mởt

vĐn ã t ra l xĂc nh phữỡng phĂp lp xĐp x nghiằm cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn
(0.1) nhữ thá n o náu chúng ta cõ dÔng hiằn cừa cĂc Ănh xÔ khổng

l


3

giÂn Ti? (i 2 I vợi I l têp ch số n o õ). XuĐt phĂt tứ ỵ tững n y, nôm 2001, Yamada
 xƠy dỹng phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt m phữỡng phĂp n y hởi tử mÔnh vã
mởt th nh phƯn nơm trong têp im bĐt ởng chung cừa hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ
khổng giÂn ỗng thới thọa mÂn l nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn (0.1).

Cử th, khi C := Fix(T ) l têp im bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ khổng giÂn,
Yamada  thiát lêp ữủc nh lẵ hởi tử mÔnh sau.

nh lẵ 0.2.
T
k

Cho F : H ! H l
Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v -ỡn iằu mÔnh trản H. Cho
2
: H ! H l Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi Fix(T ) 6= ;. GiÊ sỷ 2 (0; 2 =L ) v dÂy

2 (0; 1] thọa mÂn cĂc iãu kiằn:

(L1) lim
k!1

k

Khi õ, vợi im ban Ưu tũy ỵ x0 2 H, dÂy lp xĂc nh bi

hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt x cừa b i toĂn (0.1).

Trong trữớng hủp C l

têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng

giÂn Ti : H ! H (i = 1; 2; 3; :::; N), dÂy lp xoay vỏng xĐp x nghiằm cho b i
toĂn (0.1) ữủc Yamada xƠy dỹng cõ dÔng
Ơy, [k] := k mod N l

nh lẵ 0.3.
Cho F :

H!Hl

Ti : H ! H l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C :=
C = Fix(T1T2 : : : TN ) = Fix(T2T3 : : : TN T1) = = Fix(TN T1 : : : TN 1):
2
GiÊ sỷ 2 (0; 2 =L ) v
(L1) lim
k!1

= 0; (L2)
k

Khi õ, vợi im ban Ưu tũy ỵ x0 2 H, dÂy lp (0.4) hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt

cừa b i toĂn (0.1).

x

Tứ õ án nay, Â cõ nhiãu cổng trẳnh nghiản cựu nhơm m rởng hoc cÊi tián phữỡng
phĂp cừa Yamada theo nhiãu hữợng khĂc nhau. Chng hÔn, theo hữợng l m giÊm nhà iãu
kiằn t lản cĂc dÂy tham số lp (Xu v tg, 2003; Zeng v tg, 2007) hay loÔi bọ
giÊ thiát vã tẵnh giao hoĂn trản têp im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti (Nguyạn
Bữớng v tg, 2011). Hoc, xt b i toĂn (0.1) trong trữớng hủp tờng quĂt hỡn vợi C


4

têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn. Theo hữợng
n y, mởt số phữỡng phĂp lp ữủc thiát lêp xĐp x nghiằm cho b i toĂn (0.1) thổng
qua viằc dũng Ănh xÔ W
Ănh xÔ W

l

k

(Iemoto v tg 2008; Yao v tg, 2010; Wang, 2011). Tuy vêy,

k

cõ cĐu trúc phực tÔp. Ngo i ra, cĂc kát quÊ nõi trản ãu ữủc thiát lêp trong
khổng gian Hilbert H v mội bữợc lp ãu ữủc thỹc hiằn luƠn phiản xoay vỏng nản

õ l cĂc phữỡng phĂp tuƯn tỹ. Mởt hữợng khĂc l nghiản cựu m rởng tứ khổng gian

Hilbert H tợi cĂc lợp khổng gian Banach E (Ceng v tg, 2008; Chidume v tg, 2011;
Nguyạn Bữớng v tg, 2013, 2015). Nời bêt trong õ l hai phữỡng phĂp lp dÔng hiằn xĐp
x nghiằm cho mởt lợp b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn trong khổng gian Banach
cừa Nguyạn Bữớng v cởng sỹ (2015). CĂc phữỡng phĂp n y sỷ dửng Ănh xÔ Sk cõ cĐu
trúc ỡn giÊn v cõ th tẵnh toĂn song song ữủc.
Cõ th khng nh rơng, viằc xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp giÊi bĐt ng thực bián phƠn
trong khổng gian Banach l mởt vĐn ã ữủc nÊy sinh mởt cĂch tỹ nhiản v cƯn thiát
l m phong phú v ho n thiằn thảm cho lỵ thuyát vã b i toĂn quan trồng n y. Vẳ nhỳng
lẵ do  phƠn tẵch trản, chúng tổi lỹa chồn ã t i nghiản cựu cho luên Ăn l "XĐp
x nghiằm cho bĐt ng thực bián phƠn vợi hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn".
Mửc ẵch chẵnh cừa luên Ăn n y l nghiản cựu ã xuĐt cĂc phữỡng phĂp lp dÔng hiằn
xĐp x nghiằm cho mởt lợp b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn. Cử th, lợp b i toĂn õ

"B i toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ
hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc,
lỗi cht v cõ chuân khÊ vi GƠteaux ãu". Luên Ăn giÊi quyát cĂc vĐn ã sau:

l

1. XƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp lp dÔng hiằn xĐp x nghiằm cho lợp b i toĂn nghiản cựu thổng qua viằc ã xuĐt v sỷ
dửng cĂc Ănh xÔ mợi ~ ^
Sk. ỗng

thới, thiát lêp

Sk; Sk v

cĂc vẵ dử minh hồa cử th v tữỡng quan vợi mởt số phữỡng phĂp  cõ.
2. p dửng phữỡng phĂp mợi cho mởt lợp b i toĂn tẳm im bĐt ởng
chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn.

3. p dửng phữỡng phĂp mợi cho mởt lợp b i toĂn xĂc nh khổng im
chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ j-ỡn iằu cỹc Ôi.
Luên Ăn gỗm phƯn m Ưu, ba chữỡng, kát luên v t i liằu tham khÊo. Chữỡng 1 giợi
thiằu sỡ lữủc vã mởt số vĐn ã liản quan án cĐu trúc hẳnh hồc cừa cĂc khổng
gian Banach, lợp b i toĂn nghiản cựu, mởt số mằnh ã v bờ ã cƯn sỷ dửng cho viằc
chựng minh cĂc kát quÊ nghiản cựu Ôt ữủc cĂc chữỡng sau cừa luên Ăn. Chữỡng
2 trẳnh b y ba kát quÊ nghiản cựu mợi cừa chúng tổi vã cĂc vĐn ã nảu trản.
Chữỡng 3 ã cêp án mởt b i toĂn thỹc tá liản quan cũng cĂc vẵ dử cử th minh hồa.


5

Chữỡng 1
Mởt số kián thực chuân b
1.3. Mởt lợp b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn

1.3.1 Mổ hẳnh b i toĂn
cõ chuân khÊ vi GƠteaux ãu.
Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht
-giÊ co cht vợi + > 1. GiÊ
v Cho F : E ! E l Ănh xÔ j-ỡn iằu mÔnh vợi hằ số v
1


Lợp b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, kẵ hiằu l VIP

sỷ fTig l hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E vợi C :=

Tẳm x 2 C sao cho:

hF (x ); j(x x )i 0; 8x 2 C;
trong õ j l Ănh xÔ ối ngău chuân tc cừa E. im x 2 C thọa mÂn (1.2) ữủc gồi l nghiằm cừa
b i toĂn VIP (F; C).

1.3.2 Phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt
Trong phƯn n y, chúng tổi s trẳnh b y chi tiát mởt số nghiản cựu m
rởng hoc cÊi biản phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt xĐp x nghiằm
cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn cõ dÔng (0.1) hoc (1.2).
Khi C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trong
khổng gian Hilbert thỹc, nôm 2003, Xu v Kim  chựng minh ữủc kát quÊ tữỡng tỹ
nh lẵ 0.2 v nh lẵ 0.3 khi thay thá (L3) v (L3)

(L4) lim

k= k+1 = 1

tữỡng ựng bi cĂc iãu kiằn

v

k!1

(L4) lim k= k+N = 1:
k!1

Cõ th thĐy rơng, iãu kiằn (L4) yáu hỡn thỹc sỹ (L3), hỡn nỳa iãu kiằn (L4) cho php ta
cõ th lỹa chồn vợi dÂy tham số chẵnh tc f1=kg trong khi õ (L3) khổng thọa mÂn. Mt
khĂc, khổng khõ khôn ch ra rơng iãu kiằn (L3) suy ra iãu kiằn (L4) náu giợi hÔn

lim =

k

k+N

tỗn tÔi. Nôm 2007, Zeng v

cởng sỹ Â ã xuĐt phữỡng phĂp lp

xoay vỏng
k!1

vợi tham số

xk+1 = T[k+1](xk)

k+1 k+1F

(T[k+1](xk)); k = 0; 1; 2; :::

k+1 khổng

phÊi l hơng số cố nh nhữ trong (0.4) v iãu kiằn t lản cĂc dÂy tham số
lp cụng ữủc cÊi biản Êm bÊo sỹ hởi tử.

nh lẵ 1.3.
Cho F : H ! H l

Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v -ỡn iằu mÔnh trản H. Cho
T

Ti : H ! H l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C :=

N

i=1

Fix(Ti) 6= ; v

C = Fix(T1T2 : : : TN ) = Fix(T2T3 : : : TN T1) = = Fix(TN T1 : : : TN 1):


6

GiÊ sỷ k 2 (0; 2 =L2) vợi mồi k 2 N v cĂc iãu kiằn sau bÊo Êm:
i)

k2

(0; 1) thọa mÂn iãu kiằn
p

2

(L2),

2

2 2
2 2
ii) j k

=L j
aL =L vợi ẵt nhĐt mởt a 2 (0; =L );
iii) lim ( k+N
( k= k+N ) k) = 0:
k!1

Khi õ, vợi im ban Ưu tũy ỵ x0 2 H, náu
lim sup T
: : : T (x ) x
h

[k+N]

[k+1]

k

k+N

;T

[k+N]

:::T

[k+1]

(x )
k

x

ki

0

k!1

thẳ dÂy lp (1.3) hởi tử mÔnh tợi nghiằm
duy nhĐt x cừa b i toĂn (0.1).
Ró r ng, náu k = vợi mồi k 1 v 2 (0; 2 =L2) thẳ ta cõ ii). Náu thảm giÊ thiát (L4) thọa mÂn thẳ
iãu kiằn iii) trong nh lẵ trản ữủc bÊo Êm. Hỡn nỳa, Zeng v cởng

sỹ cụng  ch ra rơng cĂc iãu kiằn (L1), (L2) v (L4) l iãu kiằn ừ fxkg b chn.

ỗng thới, iãu kiằn dữợi Ơy ữủc thọa mÂn:
lim sup T
h

[k+N]

:::T

[k+1]

(x ) x
k

k+N

;T

[k+N]

:::T

[k+1]

(x )
k

x

ki

0:

k!1

Vẳ thá, nh lẵ 1.3 l
so vợi kát quÊ m Yamada, Xu v
Nôm 2010, Liu v

l iãu kiằn ừ thọa mÂn tẵnh chĐt giao hoĂn trản têp im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ khổng
v giÊ thiát (1.4), nôm 2011,
giÂn Ti. Nhơm loÔi bọ cĂc iãu kiằn (L3), (L3)
Nguyạn
Bữớng v LƠm Thũy Dữỡng xƠy dỹng dÂy lp

trong õ, ~

xk+1 =
k k

V =T T

k

N

N 1

 chựng minh ữủc kát quÊ sau.

nh lẵ 1.4.

Cho F : H ! H

l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v

-ỡn

iằu mÔnh trản H. Cho
T

Ti : H ! H l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C :=
2

i=1

Fix(Ti) 6= ;. GiÊ sỷ

2 (0; 2 =L ) l hơng số dữỡng cố nh v dÂy k 2 (0; 1) thọa mÂn cĂc iãu kiằn (L1)
i
v (L2). ỗng thới, giÊ thiát rơng k 2 ( ; ) vợi i = 0; 1; 2; : : : ; N, trong õ ; 2 (0; 1) v
i

lim j k +1

k!1

i
kj

= 0 vợi i = 1; 2; 3; : : : ; N: Khi õ, vợi im ban Ưu tũy ỵ x0 2 H, dÂy

lp (1.5) hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt x cừa b i toĂn (0.1).


7

Cõ th thĐy mởt trong nhỳng iãu kiằn tữỡng tỹ Êm bÊo sỹ hởi tử cừa cĂc phữỡng
phĂp (0.3), (0.4), (1.3) v (1.5) l giÊ thiát tham số phử thuởc v o hằ số ỡn iằu mÔnh
v hơng số Lipschitz L. Trản thỹc tá, ta biát rơng viằc xĂc nh hoc L
khổng phÊi

mởt cổng viằc dạ d ng. ỗng thới, ta nhên thĐy rơng (0.4), (1.3) v (1.5)
ữủc thỹc hiằn luƠn phiản xoay vỏng nản cĂc phữỡng phĂp n y l tuƯn tỹ.

l

Nghiản cựu m rởng cho trữớng hủp C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn

ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti : H ! H, bơng viằc sỷ dửng
Ănh xÔ Iemoto v Takahashi  xƠy dỹng dÂy lp hiằn cõ dÔng
xk+1 = (I

Ơy x1 l im tũy ỵ thuởc H,

nh lẵ 1.5.

Cho F : H ! H l

k F )Wk(xk); k = 1; 2; 3; : : :

k 2 (0; 1]

v

>0l

W

k,

nôm 2008,

(1.7)

cĂc tham số lp.

Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v -ỡn iằu mÔnh trản H. Cho fTig
\

1

hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C :=
Fix(Ti) 6= ;. GiÊ sỷ f kg l
dÂy
i=1
cĂc số thỹc thọa mÂn 0 < a k b < 1, k = 1; 2; 3; : : : vợi a; b 2 (0; 1). Khi õ, náu cĂc
iãu kiằn sau bÊo Êm
l

i)
ii)

2

2 (0; 2 =L ),
k thọa

mÂn cĂc iãu kiằn (L1) v (L2),

Phữỡng phĂp (1.7) sỷ dửng Ănh xÔ
thẳ dÂy lp (1.7) hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt x cừa b i toĂn (0.1).

W

k

kát hủp vợi phữỡng phĂp kiu ữớng dốc nhĐt

 m rởng kát quÊ cừa Yamada cho hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trong
khổng gian Hilbert thỹc. CĂc tĂc giÊ Â loÔi bọ cĂc iãu kiằn (L3) hoc (L3) . Tuy vêy,
ngo i khõ khôn xĂc nh , Ănh xÔ W
k cõ

cĐu trúc phực tÔp v phữỡng phĂp (1.7) cụng l tuƯn

tỹ.

Nôm 2010, kát hủp phữỡng phĂp kiu ữớng dốc nhĐt, phữỡng phĂp lp Mann v sỷ

dửng Ănh xÔ Wk, vợi x1 tũy ỵ thuởc H, Yao v cĂc cởng sỹ Â thiát lêp ỗ lp
mởt lữủc nhữ sau

trong õ

8
kF )(xk);
:xk+1 = (1
k)yk + kWk(yk); k = 1; 2; 3; : : :
0 l cĂc tham số lp.
k 2 [0; 1] v k

(1.8)

nh lẵ 1.6.

Cho F : H ! H l

Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v-ỡn iằu mÔnh trản H. Cho fTig l
\

1


hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C :=
Fix(Ti)
6= ;. GiÊ sỷ f kg l
dÂy cĂc
i=1
số thỹc thọa mÂn 0 < k b < 1, k = 1; 2; 3; : : : Khi õ, náu cĂc iãu kiằn sau bÊo
Êm


8

i) k
ii)

2 [ ; 1=2] vợi > 0,

k thọa

mÂn cĂc iãu kiằn (L1) v (L2),

thẳ dÂy lp (1.8) hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt x cừa b i toĂn (0.1).

Giống nhữ phữỡng phĂp (1.7), ta thĐy rơng phữỡng phĂp (1.8) cụng cõ
cĐu trúc phực tÔp v õ l phữỡng phĂp tuƯn tỹ.
Mởt nôm sau, Wang (2011) cụng  nhên ữủc kát quÊ tữỡng tỹ nhữ cừa Yao v cởng
sỹ dữợi cĂc giÊ thiát mợi t lản cĂc dÂy tham số lp. Kát quÊ cừa Wang thay thá (L1)

bi iãu kiằn 0 < k =L2 ", 8k k0, vợi ẵt nhĐt mởt số nguyản k0 > 1 l nhà hỡn thỹc sỹ
iãu kiằn (L1). Ngo i ra, iãu kiằn t lản cho k ch ỏi họi tẵnh giợi nởi cừa dÂy
tham số n y trong (0,1). Tuy nhiản iãu kiằn k văn yảu cƯu phử thuởc v o hằ số
ỡn iằu mÔnh v hơng số Lipschitz L. Mt khĂc, iãu kiằn bờ sung kF (xk) ! 0 khi k ! 1
Êm bÊo sỹ hởi tử phử thuởc v o giĂ tr F (xk) tÔi mội bữợc lp. Vẳ thá, viằc chồn
tiản nghiằm f kg thọa mÂn iãu kiằn n y s khõ khôn.
Nôm 2008, Ceng v cởng sỹ Â nghiản cựu cho trữớng hủp C l têp im bĐt ởng cừa
mởt Ănh xÔ khổng giÂn trản khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc. Mởt iãu kiằn quan trồng
Êm bÊo sỹ hởi tử ối vợi phữỡng phĂp mợi cừa cĂc tĂc giÊ l giÊ thiát vã tẵnh liản tửc yáu theo
dÂy cừa Ănh xÔ ối ngău chuân tc. Tuy nhiản, iãu õ Â l m giợi hÔn phÔm vi ựng dửng cừa
phữỡng phĂp ối vợi nhiãu b i toĂn ữủc thiát lêp trong cĂc khổng gian Banach

quan trồng m khổng cõ tẵnh chĐt n y, chng hÔn khổng gian

p

L [a; b] (1 <

p < 1).

Nôm 2011, Chidume v cởng sỹ Â m rởng kát quÊ cừa Xu v Kim tợi
lợp khổng

gian Banach q-trỡn ãu vợi hơng số dq; q > 1. Phữỡng phĂp n y cõ th Ăp dửng trản cĂc

khổng gian Lp[a; b]; (1 < p < 1). Tuy nhiản, giÊ thiát t lản k l tữỡng tỹ cừa Xu v

Kim. ỗng thới tham số văn ỏi họi phử thuởc v o hằ số , L v hơng số dq. Thảm v o õ, cĂc tĂc
giÊ văn cƯn sỷ dửng giÊ thiát vã tẵnh giao hoĂn trản têp im bĐt ởng cừa
cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti.
Khi C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng

giÂn trong khổng gian Banach thỹc E, thay cho viằc sỷ dửng Ănh xÔ phực
th sỷ dửng Ănh xÔ V
tÔp Wk, ta cõ
k ỡn giÊn hỡn ữủc xĂc nh bi
Vk = Vk ; Vk = T T

1

i

i

i+1

trong õ

v

i 2 (0; 1)

k

i

: : : T ; T = (1

i)I

+ iTi; i = 1; : : : ; k

i=1

chựng minh hai phữỡng phĂp lp ân mợi hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt x cừa b i toĂn
(1.2) l
xk = Vk(I

kF

)(xk);


9

v
xk = k(I

kF

)(xk) + (1 k)Vk(xk);

Ơy f kg v f kg l dÂy cĂc tham số lp dữỡng. Tuy nhiản, viằc xƠy dỹng cĂc kắ
thuêt lp ân cho b i toĂn (1.2), mởt khõ khôn cõ th gp phÊi cừa cĂc phữỡng
phĂp õ trong thỹc h nh tẵnh toĂn tÔi mội bữợc lp, ta ãu phÊi thỹc hiằn cĂc bữợc

giÊi mởt phữỡng trẳnh dÔng ân tẳm nghiằm xĐp x v sau mởt số hỳu hÔn
bữợc lp ta s thu ữủc nghiằm xĐp x gƯn vợi nghiằm chẵnh xĂc cừa b i toĂn.
Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, khc phửc nhữủc im khổng tẵnh toĂn song song ữủc
trản mĂy tẵnh v khõ khôn nÊy sinh tứ viằc Ăp dửng cĂc phữỡng phĂp lp ân,
nôm 2015, Nguyạn Bữớng v cĂc cởng sỹ Â xƠy dỹng Ănh xÔ Sk trản E nhữ sau



trong õ si > 0 ,

viằc sỷ dửng Ănh xÔ S

k

, cĂc tĂc giÊ Â thiát lêp hai phữỡng phĂp lp hiằn

v
Ơy, Fk = IkF v
cĂc phữỡng phĂp trản ữủc phĂt biu trong nh lẵ dữợi Ơy.

nh lẵ 1.12.

Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc lỗi cht, cõ chuân khÊ vi GƠteaux
ãu. Cho F : E ! E l Ănh xÔ j-ỡn iằu mÔnh vợi hằ số v -giÊ co cht vợi + > 1. Cho
fTig l hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E vợi C := Fix(Ti) 6= ;: Náu

cĂc iãu kiằn sau bÊo Êm
i)
ii)

k 2 (0; 1)

thọa mÂn cĂc iãu kiằn (L1) v

(0; 1) thọa mÂn 0 < lim inf


k2

th¼ c¡c d¢y l°p (1.17) v

(1.18) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x

k!1
cõa b i to¡n (1.2).

k


10

Chữỡng 2
CĂc phữỡng phĂp lp xĐp x nghiằm cho mởt lợp b i
toĂn bĐt ng thực bián phƠn
~

2.1. Phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt dũng Ănh xÔ

Sk

2.1.1 Nởi dung phữỡng phĂp

Phữỡng phĂp thự nhĐt ữủc thiát lêp dỹa trản viằc sỷ dửng Ănh xÔ ~

S

k.

XuĐt phĂt tứ

im x1 tũy ỵ thuởc E, chúng tổi xƠy dỹng dÂy fxkg theo lữủc ỗ lp hiằn nhữ sau:
trong õ

Sk =

vợi
Ơy i
số k 2 (0; 1) v

2 (0; 1), Ti l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn v I l
fsig

tữỡng ựng thọa mÂn cĂc iãu kiằn (L1), (L2) v

2.1.2 Sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng
phĂp nh lẵ 2.1. (1)
1

Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht cõ chuân khÊ vi
GƠteaux ãu. Cho F : E ! E l Ănh xÔ j-ỡn iằu mÔnh vợi hằ số v -giÊ co cht vợi + > 1.

\

1

Cho fTig l hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E vợi C := Fix(Ti) 6= ;. GiÊ sỷ
i=1

2 (0; 1) v si tữỡng ựng thọa mÂn cĂc iãu kiằn (L1), (L2) v (2.4). Khi Đy, dÂy
xĂc nh bi (2.1) hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt x cừa b fx g i toĂn (1.2) khi k ! 1.
k
k

Nhên xt 2.3. Phữỡng phĂp (2.1) dũng Ănh xÔ ~

V ; W hay V

S

k cõ

cĐu trúc ỡn giÊn hỡn cĂc Ănh xÔ

~

cõ th tẵnh toĂn song song ữủc. Hỡn nỳa, tứ kát luên cừa nh lẵ 2.1, ró r ng
phữỡng phĂp n y cõ th Ăp dửng cho mởt lợp b i toĂn tẳm im bĐt ởng chung
cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E.
k

1

k

kv

Buong, Ng., Ha, Ng. S., Thuy Ng. T. T. (2016), "A new explicit iteration method for a class of variational inequalities",

72, pp. 467-481.

Numer. Algorithms ,


11

2.1.3 Mởt số hằ quÊ
Nôm 2008, Ceng v cởng sỹ cÊi biản phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc
nhĐt cừa Yamada thiát lêp dÂy lp hiằn

xĂc nh khổng im x cừa Ănh xÔ A v
x0 2 E tũy ỵ v

1

i) klim

Xk

k = 0;

!1

ii) rk

"

vợi mồi k 2 N v

iii) 0 < ak b < 1 vợi mồi k 2 N v
Bơng cĂch thay thá cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti bi cĂc toĂn tỷ giÊi JAi := (I + Ai) 1
trong (2.1) thẳ chúng tổi nhên ữủc kát quÊ xt cho lợp b i toĂn tờng quĂt hỡn sau Ơy.

k ! 1.

Mằnh ã 2.1. Cho E, F , i,

k

v

hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ j-ỡn iằu cỹc Ôi trản E vợi C :=

im ban Ưu tũy ỵ x1 2 E, dÂy fxkg xĂc nh bi
x

= (I F )
k+ 1

k

i=1

hởi tử mÔnh tợi khổng im chung x 2 C v x l nghiằm duy nhĐt cừa b i toĂn (1.2) khi

Nhên xt 2.4. Phữỡng phĂp (2.15) v phữỡng phĂp (2.16) ãu sỷ dửng ba tham số lp.
Ró r ng, iãu kiằn t lản cĂc dÂy tham số f kg v f kg Êm bÊo sỹ hởi tử cừa phữỡng


phĂp (2.16) l nhà hỡn so vợi cĂc giÊ thiát i) v iii). Tuy nhiản, cĂc tham số rk v si tữỡng
ựng trong (2.15) v (2.16) l khĂc biằt, õng vai trỏ khĂc nhau v khổng so sĂnh ữủc.
Vẳ thá, (2.15) v (2.16) cho ta cĂc quy tc tẳm khổng im khĂc nhau.

Nhên xt 2.5. Ta t f := aI vợi a 2 (0; 1) l số thỹc cố nh. Khi õ, F := I

fl

Ănh xÔ j-ỡn iằu mÔnh vợi hằ số v -giÊ co cht trản E thọa mÂn + > 1. Vẳ thá, vợi
x1 tũy ỵ thuởc E, náu thay F bi I f trong cổng thực (2.1) thẳ ta cõ lữủc ỗ lp
x

k+1

= 1

k

0

tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E,

trong õ

0
k


12

Mằnh ã 2.2. Cho E, fTig, i, k v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ nh lẵ 2.1. GiÊ sỷ a l số
thỹc cố nh thuởc (0; 1). Khi Đy, vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 2 E, dÂy fxkg xĂc nh bi

(2.18) hởi tử mÔnh tợi im bĐt ởng chung p 2 C khi k ! 1 v thọa mÂn
hp ; j(p

p)i

0 8p 2 C:

(2.19)

Tứ Chú ỵ 1.6 v Mằnh ã 2.2, ta nhên ữủc kát quÊ dữợi Ơy.

Mằnh ã 2.3. Cho E

A , , vs
, f ig i k
i ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh ã 2.1. GiÊ sỷ a l số

thỹc cố nh thuởc (0; 1). Khi Đy, vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 2 E, dÂy fxkg xĂc nh bi
x

= 1

k+1

0
k

hởi tử mÔnh tợi khổng im chung p 2 C khi k ! 1 v

p thọa mÂn (2.19).

Nôm 2007, Qin v Su  xƠy dỹng phữỡng phĂp lp kiu Halpern tẳm khổng im cừa mởt Ănh xÔ j-ỡn iằu cỹc Ôi A trản
E cõ dÔng

khổng gian Banach trỡn ãu

A

xk+1 = ku + (1 k)( kxk + (1 k)Jrk
trong õ x1 2 E tũy ỵ, u 2 E l phƯn tỷ cố nh, k; k
kiằn Êm bÊo sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp (2.21) l tữỡng tỹ phữỡng phĂp (2.15) v
ch xt cho b i toĂn xĂc nh khổng im cừa mởt Ănh xÔ j-ỡn iằu cỹc Ôi m khổng giÊi
ữủc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn n o. Do õ, náu ch xt riảng theo khẵa cÔnh

n y thẳ giÊ thiát t lản tham số v

l nhỳng yảu cƯu cht ch hỡn so vợi kát quÊ
cừa chúng tổi nảu trong Mằnh ã 2.1. Tuy nhiản, cụng phÊi lữu ỵ rơng cĐu trúc cừa
cĂc phữỡng phĂp (2.15) hoc (2.16) so vợi (2.21) l thỹc sỹ khĂc biằt.
k

k

Nhên xt 2.6. Ta t f := aI + (1

a)u vợi a 2 (0; 1) l số thỹc cố nh v u l phƯn
tỷ cố nh thuởc E. Khi õ, dạ thĐy rơng F := I
f cụng l Ănh xÔ j-ỡn iằu mÔnh

vợi hằ số v -giÊ co cht thọa mÂn + > 1. Do õ, vợi x1 tũy ỵ thuởc E, thay
F bi I f trong (2.1), ta cõ phữỡng phĂp lp kiu Halpern
x

0

= k u+

k+1

v náu thay Ti bi JA
x

0

k+1

trong õ

i

0

= k u+

:= (1


k

h» qu£ trüc ti¸p d÷îi d¥y cõa ành l½ 2.1.


13

Mằnh ã 2.4.
Cho E

, fTig, i,

k ! 1 v thọa mÂn

a,

k

v s

i ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh ã 2.2. Khi Đy, vợi mồi u 2 E cố nh, dÂy fx kg xĂc nh bi (2.22) hởi tử mÔnh tợi im bĐt ởng chung p 2 C khi

hp u; j(p p)i 0 8p 2 C:

Mằnh ã 2.5. Cho E A , , a, v s
, f ig i
k
i ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh ã 2.3. Khi Đy, vợi mồi u 2 E cố nh, dÂy fxkg xĂc nh
vp
p C khi k
bi (2.23) hởi tử mÔnh tợi khổng im chung 2
!1
thọa mÂn (2.24).
S^
k.

XuĐt phĂt tứ

2.2. Phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt dũng Ănh xÔ
^
S

2.2.1 Nởi dung phữỡng phĂp

k

Phữỡng phĂp thự hai ữủc thiát lêp dỹa trản viằc sỷ dửng Ănh xÔ
im x1 tũy ỵ thuởc E, chúng tổi xƠy dỹng dÂy lp hiằn fxkg nhữ sau:

(2.25)

^

Ơy Ănh xÔ ^
S

xk+1 = (I
k

kF )Sk(xk); k = 1; 2; 3; : : :

(2.26)

xĂc nh bi
^

S =
k

s0

i

trong õ T ữủc xĂc nh bi (2.3), k 2 (0; 1) thọa mÂn cĂc iãu kiằn (L1),
(L2) v fsig l dÂy cĂc số thỹc giÊm ngt, hởi tử vã 0 khi i ! 1.

2.2.2 Sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng
phĂp nh lẵ 2.4. (2)
2

Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht cõ chuân khÊ vi
GƠteaux ãu. Cho F : E ! E l Ănh xÔ j-ỡn iằu mÔnh vợi hằ số v -giÊ co cht vợi + > 1.
\

1

Cho fTig l hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E vợi C := Fix(Ti) 6= ;. GiÊ sỷ
i=1

k 2 (0; 1) thọa mÂn cĂc iãu kiằn (L1), (L2) v fsig l dÂy số thỹc dữỡng giÊm ngt,
hởi tử vã 0. Khi Đy, dÂy fxkg xĂc nh bi (2.25) hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt x
cừa b i toĂn (1.2) khi k ! 1.
Nhên xt 2.8. Phữỡng phĂp (2.25) khĂc vợi phữỡng phĂp (2.1) cỡ bÊn l dÂy tham


số fsig

v

viằc sỷ dửng nõ thiát ká cĂc Ănh xÔ

0; 1; 2; : : : ) thẳ nõ thọa mÂn giÊ thiát cừa phữỡng phĂp (2.25) những giÊ thiát cừa phữỡng
1

phĂp (2.1) thẳ khổng ữủc bÊo Êm vẳ chuội

X

si

phƠn kẳ. Tuy nhiản, chồn si = 1=(i+1)3

i=0

2

Buong, Ng., Ha, Ng. S., Thuy Ng. T. T. (2016), "Hybrid steepest-descent method with a countably infinite family of nonexpansive

mappings on Banach spaces", Nonlinear Funct. Anal. Appl. , 21, pp. 273-287.


14

náu i chđn v si = 1=(i + 1)2 náu i l (i = 0; 1; 2; : : : ) thẳ giÊ thiát cừa phữỡng phĂp (2.1) ữủc
bÊo Êm những giÊ thiát cừa phữỡng phĂp (2.25) lÔi khổng vẳ nõ khổng phÊi l dÂy số
giÊm ngt. Vẳ thá, ngo i viằc Ôt ữủc nhỳng mửc tiảu v kát luên tữỡng tỹ phữỡng phĂp
(2.1) Â nảu trong Mửc 2.1.2 v Mửc 2.1.3 thẳ phữỡng phĂp (2.25) gõp phƯn a dÔng v
ho n thiằn thảm cĂc phữỡng phĂp xĐp x nghiằm cho lợp b i toĂn nghiản cựu.

2.2.3 Mởt số hằ quÊ
Mằnh ã 2.6. Cho E, F , i,

k

v

hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ j-ỡn iằu cỹc Ôi trản

im ban Ưu tũy ỵ x1 2 E, dÂy fxkg xĂc nh bi
k
x

si 1

k+1 = (IkF ) i=1

X

hởi tử mÔnh tợi khổng im chung x 2 C v
khi k ! 1.

Tiáp theo, t ik := (si 1 si)=(s0 sk), sỷ dửng lÔi cĂc kẵ hiằu v lêp luên tữỡng tỹ Nhên xt
2.5 v Nhên xt 2.6, ta nhên ữủc cĂc hằ quÊ trỹc tiáp dữợi Ơy cừa nh lẵ 2.4.

Mằnh ã 2.7. Cho E, fTig, i, k v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ nh lẵ 2.4. GiÊ sỷ a l số
thỹc cố nh thuởc (0; 1). Khi Đy, vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 2 E, dÂy fxkg xĂc nh bi
x

k+1

= 1

0
k

im bĐt ởng chung p 2 C khi k ! 1 v
p thọa mÂn (2.19).
Mằnh ã 2.8. Cho E A , , v s
, f ig i k
i ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh ã 2.6. GiÊ sỷ
a l số thỹc cố nh thuởc (0; 1). Khi Đy, vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 2 E, dÂy fxkg xĂc
nh bi
k

k
hởi tử mÔnh tợi


x

hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung p 2 C khi k ! 1 v
, a,
M»nh · 2.9. Cho E T ,
v s
, f ig

i

k

i

÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.7. Khi §y,

vîi måi u 2 E cè ành v
0

xk+1 = k u + 1

0

k

hëi tö m¤nh tîi iºm b§t ëng chung p 2 C khi k ! 1 v p

15

Mằnh ã 2.10. Cho E

A , , a, v s
, f ig i
k
i ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh ã 2.8. Khi Đy, vợi mồi u

2 E cố nh v vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 2 E, dÂy fxkg xĂc nh bi
xk+1 =

0

k

0

u+ 1

k

hởi tử mÔnh tợi khổng im chung p 2 C khi k ! 1 v p thọa mÂn (2.24).

2.3. Phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt dũng Ănh xÔ

S

k

2.3.1 Nởi dung phữỡng phĂp
XuĐt phĂt tứ im x1 tũy ỵ thuởc E, dÂy lp hiằn fxkg ữủc thiát ká nhữ sau:

trong õ Sk =

I + (1 )T

k

nh, si ữủc xĂc nh bi (2.4), s~k =

2.3.2 Sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp
nh lẵ 2.5. (3)
3

Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht cõ chuân khÊ vi GƠteaux
ãu. Cho F : E ! E l Ănh xÔ j-ỡn iằu mÔnh vợi hằ số v -giÊ co cht vợi + > 1. Cho
1
fTig l hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E vợi C :=

cố nh 2 (0; 1). GiÊ sỷ

k ! 1.

k

v