Tìm hiểu về bài toán điều khiển đảm bảo giá trị (2018)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (267.62 KB, 29 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o———————
NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG
TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN
ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
HÀ NỘI, 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o———————
NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG
TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN
ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Người hướng dẫn khoa học:
ThS. NGUYỄN TRUNG DŨNG
HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp đại học này được thực hiện tại khoa Toán, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn khoa học của ThS. Nguyễn Trung
Dũng.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Trung Dũng đã định hướng
và chỉ dẫn sát sao trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp đại học này. Sự chuyên nghiệp, nghiêm túc trong nghiên cứu và
những định hướng đúng đắn của thầy là tiền đề quan trọng giúp tôi có được
những kết quả trình bày trong khóa luận tốt nghiệp đại học này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán và các thầy giáo,
cô giáo trong bộ môn Toán Ứng dụng, đã trực tiếp giảng dạy và truyền đạt cho
tôi những kiến thức về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học
trong thời gian qua.
Đặc biệt, tôi thực sự thấy hạnh phúc và biết ơn khi họ luôn bên tôi, chia
sẻ và động viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp
đại học của mình đó là những người thân trong gia đình, bạn bè.
Sinh viên
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Trung Dũng. Các kết quả trình bày
trong khóa luận tốt nghiệp đại học này là trung thực, đã được sự nhất trí của
các đồng tác giả, và chưa từng được công bố trong luận văn hay luận án nào
khác.
Sinh viên
2
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ VỚI NHIỄU TRẠNG
THÁI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Thiết kế bộ điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. Điều khiển phản hồi đầu ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ VỚI NHIỄU TRONG
ĐIỀU KHIỂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Điều khiển đảm bảo giá trị với nhiễu cộng tính . . . . . . . . . . . . 20
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3
KÍ HIỆU
R+
Tập hợp các số thực không âm.
Rn
Không gian vectơ Euclide n-chiều.
Z[a, b]
Tập hợp các số nguyên trong đoạn [a, b].
Z0
Tập hợp các số nguyên không âm.
Rm×n
Tập các ma trận thực cấp m × n.
Sn
Tập các ma trận thực đối xứng cấp n.
S+
n
Tập các ma trận đối xứng xác định dương cấp n.
A
Ma trận chuyển vị của ma trận A.
A⊗B
Tích Kronecker của hai ma trận A và B .
A⊥
Phần bù trực giao của ma trận A.
A≥0
Ma trận đối xứng nửa xác định dương.
A>0
Ma trận A đối xứng xác định dương.
col{A, B}
diag{A, B}
A
Ma trận khối cột .
B
A
Ma trận khối chéo
0
0
B
.
λ(A)
Tập các giá trị riêng của ma trận A.
λmax (A)
max {Reλ : λ ∈ λ(A)}.
λmin (A)
min {Reλ : λ ∈ λ(A)}.
σ(A)
Bán kính phổ của ma trận A (i.e. max{|λ| : λ ∈ λ(A)}).
LMIs
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
4
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Từ những năm 1960, các nhà điều khiển học đã thay đổi phương pháp để
thiết kế bộ điều khiển, thay vì sử dụng các phương pháp dựa trên miền tần số để
đánh giá tính đảm bảo giá trị thì họ sử dụng nhiều đến phương pháp dựa trên
miền thời gian. Tuy nhiên, trong thực tế có thể có hai vấn đề làm cho việc ứng
dụng lý thuyết điều khiển này (điều khiển tối ưu) không thành công. Đó chính
là: sự không chính xác của mô hình toán so với đối tượng điều khiển thật và vấn
đề thứ hai là nhiễu tác động vào hệ thống. Nhận ra vấn đề trên, từ những năm
70 của thế kỉ XX, điều khiển đảm bảo giá trị đã được đưa ra để giải quyết vấn
đề sai số giữa mô hình toán và hệ thống thực. Đặc biệt, từ những năm 1980,
phương pháp sử dụng tối ưu lồi (chính là sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến
tính LMIs) đã trở thành một công cụ hữu hiệu, được sử dụng một cách phổ biến
trong lý thuyết điều khiển.
Hệ thống điều khiển đảm bảo giá trị cho miền thời gian rời rạc là đề tài
nghiên cứu có được sự quan tâm trong những năm gần đây. Mục đích là để thiết
kế một bộ điều khiển sao cho hệ đóng ổn định trong khi giá trị của hàm chi phí
ứng với hệ đóng bị chặn trên. Một phương pháp nghiên cứu hiệu quả đó là sử
dụng phương pháp thứ hai Lyapunov để tìm kiếm các điều khiển đảm bảo giá
trị dạng LMIs. Điều kiện LMIs thu được khả năng giải bài toán một cách dễ
dàng bằng các gói công cụ có sẵn và có thể thực hiện bằng máy tính hiện đại.
Dưới sự gợi ý và giúp đỡ tận tình của Thầy Nguyễn Trung Dũng cùng sự
say mê của bản thân, tôi xin chọn đề tài "Tìm hiểu về bài toán điều khiển đảm
bảo giá trị" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp đại học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận là thiết kế một bộ điều khiển phản hồi sao cho hệ
đóng là ổn định đồng thời hàm chi phí ứng với hệ đóng bị chặn trên.
5
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là các hệ thống điều khiển với thời gian rời rạc.
• Phạm vi nghiên cứu là các tiêu chuẩn đảm bảo giá trị của các hệ thống điều
khiển với thời gian rời rạc.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lí thuyết dựa trên các tài liệu tham khảo.
5. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận tốt
nghiệp gồm 2 chương.
• Chương 1: Bài toán điều khiển đảm bảo giá trị với nhiễu trạng
thái
Nội dung chính của chương này trình bày các kết quả liên quan đến bài
toán điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ điều khiển tuyến tính rời rạc với
nhiễu trạng thái.
• Chương 2: Bài toán điều khiển đảm bảo giá trị với nhiễu trong
điều khiển
Nội dung của chương này trình bày các kết quả của bài toán điều khiển
đảm bảo giá trị cho lớp hệ điều khiển rời rạc với nhiễu trong điều khiển.
6
Chương 1
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ VỚI NHIỄU
TRẠNG THÁI
Nội dung chính của chương này trình bày các kết quả liên quan đến bài
toán điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ điều khiển tuyến tính rời rạc với
nhiễu trạng thái. Các kết quả được tham khảo trong tài liệu [2].
1.1. Đặt bài toán
Cho hệ điều khiển rời rạc với nhiễu trạng thái được mô tả như sau:
x(k + 1) = [A + ∆A(k)]x(k) + [B + ∆B(k)]u(k)
x (0) = x0 ,
(1.1)
trong đó x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái , u(k) ∈ Rm là điểu khiển đầu vào, A và
B là các ma trận cho trước với số chiều phù hợp, các ma trận ∆A(k) và ∆B(k)
mô tả nhiễu tác động lên trạng thái của hệ và giả sử có dạng như sau:
∆A (k) = DA FA (k)EA
.
(1.2)
∆B (k) = DB FB (k)EB
với FA (k)FA (k) ≤ I và FB (k)FB (k) ≤ I.
Liên kết với hệ (1.1), ta xét hàm chi phí như sau:
∞
J=
x (k)Qx(k) + u (k)Ru(k)
(1.3)
k=0
trong đó Q và R là ma trận đối xứng và xác định dương.
Trong chương này, chúng ta xét bộ điều khiển phản hồi có dạng như sau:
u(k) = Kx(k),
ở đó K là ma trận đạt được sẽ được thiết kế.
Với bộ điều khiển (1.4), ta có hệ đóng của (1.1) như sau:
7
(1.4)
x(k + 1) = [A + BK + ∆A(k) + ∆B(k)]x(k)
x(0) = x0
với hàm chi phí tương ứng như sau:
∞
xT (k) Q + K T RK]x(k) .
J=
k=1
Định nghĩa 1.1.1. Hệ (1.1) với u(k) = 0 được gọi là ổn định vững theo nghĩa
Lyapunov nếu với mọi > 0 tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm x(k, x0 ) của (1.1)
thỏa mãn x0 < δ thì
x(k, x0 ) < , ∀k ≥ 0,
với mọi nhiễu ∆A(k) và ∆B(k) thỏa mãn (1.2).
Mục đích chính của chương này là thiết kế một bộ điều khiển phản hồi tiếp
có dạng (1.4) sao cho hệ đóng là ổn định vững và hàm giá trị đảm bảo không
vượt quá một mức nhất định.
Định nghĩa 1.1.2. Với hệ (1.1) và chi phí (1.3), nếu tồn tại bộ điều khiển u∗ (.)
và hằng số dương J ∗ sao cho hệ đóng ổn định vững và J ≤ J ∗ thì J ∗ được gọi là
giá trị bảo đảm và u∗ (.) được gọi là bộ điều khiển đảm bảo giá trị.
1.2. Thiết kế bộ điều khiển
Bổ đề sau được sử dụng loại bỏ nhiễu trong mô hình.
Bổ đề 1.2.1 (xem Lemma 9.1.2 [2]). Cho JA , DA , EA là các ma trận thực với số
chiều thích hợp và JA là ma trận đối xứng. Khi đó
JA + DA FA (k)EA + (DA FA (k)EA ) < 0
với mọi FA (k) thỏa mãn FA (k)FA (k) ≤ I nếu và chỉ nếu tồn tại εA > 0 sao cho
JA + εA DA DA + ε−1
A EA EA < 0.
Định lí sau cho kết quả thiết kế bộ điều khiển ổn định hóa hệ (1.1).
Định lí 1.2.2 (xem Theorem 9.2.2 [2]). Nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định
dương X , ma trận Y và các hằng số dương εA , εB sao cho bất đẳng thức ma trận
8
sau đúng
X>0
−X
AX + BY
EA X
EB Y
XA + Y B
−X + εA DA DA + εB DB DB
0
0
XEA Y EB
0
0
<0
−εA I
0
0
−εB I
Mục đích của phần này là thiết kế bộ điều khiển phản hồi sao cho hệ đóng
ổn định và J ≤ J ∗ . Định lí sau đưa ra điều kiện để hệ đóng là ổn định và J ≤ J ∗ .
Định lí 1.2.3. Cho trước ma trận đạt được của điều khiển K . Nếu tồn tại các
ma trận đối xứng và xác định dương P , U , V , và các số dương εA và εB sao cho
bất đẳng thức LMI sau thỏa mãn:
−P
A P +K B P
EA
K EB
∗
−P + εA P DA DA P + εB P DB DB P
0
E
0
−εA I
A
EB K
0
0
I
0
0
K
0
0
0
0
−εB I
0
0
I
K
0
0
0
< 0, (1.5)
0
0
−U 0
0 −V
0
thì hệ đóng là ổn định và cận trên của chi phí là J ≤ xT (0) P x (0).
Chứng minh. Từ điều kiện LMI (1.5) và Định lý 1.2.2, hệ đóng là ổn định. Xét
hàm Lyapunov cho bởi:
V (x (k)) = x (k) P x (k)
(1.6)
trong đó P là nghiệm của bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMI (1.5).
Tính sai phân của hàm Lyapunov (1.6) theo quỹ đạo nghiệm của hệ đóng,
ta có
∆V (k) = V (x (k + 1)) − V (x (k))
= x (k + 1) P x (k + 1) − x (k) P x (k)
= x (k) V P V − P x (k) ,
với V = [A + BK + ∆A(k) + ∆B(k)K].
9
Chú ý rằng
−P
VT P
PV
−P
−P A P K B P
∗
−P
có thể viết lại như sau:
+
0 ∆A (k) P
∗
0
0 K ∆B (k) P
+
∗
0
.
Mặt khác chú ý:
0
P DA FA (k) EA
0
P DB FB (k) EB
0
0
=
FA (k) EA 0 ,
0
P DA
0
0
=
FB (k) EB 0 .
0
P DB
Sử dụng Bổ đề 1.2.1 ta có
TE
E
0
0 ∆AT (k)P
0 ∆AT (k)P
0
0
+ ε−1 A A
+
≤ εA
A
TP
0
0
0
0
0
0
0 P DA DA
Sử dụng bổ đề Schur, nếu điều kiện sau đúng thì hệ đóng ổn định
−P
AT P + K T B T P
T
EA
TP
−P + εA P DA DA
0
EA
0
−εA
EB K
0
0
T
K T EB
0
0
<0
−εB
Dựa vào bất đẳng thức ma trận LMI (1.5) của Định lí 1.2.3, ta có:
∆V (k) + xT (k) Q + K T RK x (k) ≤ 0,
với Q = U −1 và R = V −1 .
Từ kết quả hệ đóng ổn định nên ta có
∞
−xT (0) P x (0) +
xT (k) Q + K T RK ≤ 0
k=0
suy ra
J ≤ xT (0) P x (0) .
Vậy định lí được chứng minh.
Dựa vào Định lí 1.2.3 chúng ta thiết kế bộ điều khiển phản hồi như sau.
10
Định lí 1.2.4. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng và xác định dương X , U , V và
ma trận Y cùng với các số dương εA , εB sao cho bất đẳng thức LMI sau đúng:
−X
∗
E X
A
EB Y
X
Y
XAT + Y T B T
T Y T ET
XEA
B
X
T + ε D DT
−X + εA DA DA
B B B
0
0
0
0
−εA I
0
0
0
0
−εB I
0
0
0
0
−U
0
0
0
0
YT
0
0
<0
0
0
(1.7)
−V
khi đó hệ đóng ổn định đối với bộ điều khiển u (k) = Y X −1 x (k) và J ≤ xT (0)X −1 x(0).
Tức là u (k) = Y X −1 x(k) là bộ điều khiển đảm bảo giá trị.
Chứng minh. Đặt X = P −1 sau đó nhân trước và nhân sau điều kiện (1.5) với
ma trận đường chéo diag{X, X, I, I, I, I} ta được
−X
T XK T E T
XEA
B
XAT + XK T B T
∗
T + ε D DT
−X + εA DA DA
0
B B B
E X
0
−εA I
A
EB KX
0
0
X
0
0
KX
0
X
0
0
0
0
−εB I
0
0
−U
0
0
0
XK T
0
0
<0
0
0
−V
Đặt Y = KX ta thu được các điều kiện của định lí.
Để minh họa cho các điều kiện thu được, ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.2.1. Xét hệ (1.1) với dữ liệu như sau:
−0.5
0.3
A =
0
0.05 0.8
,B = 0 ,
0 0.3 0.6
0.6
0.1
0.2
DA =
0 , DB = 0 ,
0.1
0.2
0.7
0
EA = 0.3 0 0.2 , EB = 0.2 .
Trước tiên, ta có thể kiểm tra rằng hệ thống không ổn định. Thật vậy, các
11
giá trị riêng của ma trận A là
s1 = 1.6992
s2 = 0.8122
s3 = 0.5886
Ta có s1 > 1 suy ra hệ không ổn định. Sử dụng gói công cụ trong Matlab, chúng
ta thu được các điều kiện của Định lí 1.2.3 như sau:
εA = 3.2836,
εB = 80.7197,
1.3115 0.7176
5.7987
X=
0.7176 27.9978 −3.2042 ,
5.7987 −3.2042 30.2667
Y = −6.5607 −10.5129 ,
70.7693 3.1020
15.6204
U =
3.1020 131.3457 0.6395 ,
15.6204 0.6395 151.8819
V = 203.4407 .
Ma trận đạt được cho bởi
K = −20.0355 0.5198 3.3356 .
1.3. Điều khiển phản hồi đầu ra
Xét hệ động lực cho bởi
x(k + 1) = [A + ∆A(k)]x(k) + [B + ∆B(k)]u(k)
y(k) = [C + ∆C(k)]x(k),
(1.8)
trong đó u(k) ∈ Rm là điều khiển đầu vào, y(k) ∈ Rp là tín hiệu đầu ra, A, B , C ,
và D là các ma trận thực đã biết với số chiều phù hợp, ∆A(k), ∆B(k), ∆C(k) là
nhiễu hệ thống được giả thiết thỏa mãn điều kiện sau:
∆A(k) = DA FA (k)EA ,
∆B(k) = DB FB (k)EB ,
∆C(k) = DC FC (k)EC ,
12
trong đó DA , EA , DB , EB , DC , EC là các ma trận đã biết.
Phiếm hàm chi phí tương ứng với hệ (1.8) được cho bởi (1.3).
Ta xét bộ điều khiển phản hồi
(1.9)
u(k) = Ky(k) = KCx(k)
trong đó K ma trận đạt được cần xác định.
Với bộ điều khiển (1.9), ta có hệ đóng của (1.8) như sau
(1.10)
x(k + 1) = [A + ∆A(k) + BKC + ∆B(k)KC]x(k).
Theo Định lí 1.2.3 nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P , U ,
V , các hằng số dương εA , εB sao cho
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
−P
A P +C K B P
EA C K EB I C K
∗
T P + ε P D DT P
0
0
0
0
−P + εA P DA DA
B
B B
E
0
−ε
I
0
0
0
A
A
<0
EB KC
0
0
−ε
I
0
0
B
X
0
0
0
−U
0
KCX
0
0
0
0
−V
thì hệ đóng (1.10) ổn định.
Tiến hành tương tự như trong chứng minh Định lí 1.2.4, ta đặt X = P −1
sau đó nhân trước và sau bất đẳng thức trên với diag{X, X, I, I, I, I} ta được
−X
XAT + XC T K T B T
T CT KT ET
XEA
B
T + ε D DT
∗
−X + εA DA DA
0
B B B
E
0
−εA I
A
EB KCX
0
0
X
0
0
KCX
0
0
X
XC T K T
0
0
0
0
0
0
−εB I
0
0
0
−U
0
0
0
−V
< 0.
Ta giả sử rằng đẳng thức sau đúng
CX = N C.
Sử dụng đẳng thức này và đặt Y = KN chúng ta thu được định lí sau.
Định lí 1.3.1. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương X , U , V , N và
13
ma trận Y cùng với các số dương εA và εB sao cho thỏa mãn LMI sau:
XAT + C T Y T B T
−X
T CT Y T ET
XEA
B
∗
T + ε D DT
0
−X + εA DA DA
B B B
E
0
−εA I
A
EB Y C
0
0
X
0
0
YC
0
X
CT Y T
0
0
0
0
0
0
−εB I
0
0
0
−U
0
0
0
−V
0
<0
(1.11)
với ràng buộc
CX = N C
(1.12)
thì hệ ổn định đối với bộ điều khiển u(k) = Y N −1 x(k) và J ≤ xT (0)X −1 x(0).
Tiếp theo, chúng ta thiết kế bộ điều khiển phản hồi tín hiệu đầu ra. Bộ
điều khiển được cho bởi
xˆ (k + 1) = KA xˆ (k) + KB yˆ (k)
u (k) = KC xˆ(k)
(1.13)
trong đó KA , KB và KC là các ma trận đạt được cần xác định.
Mục đích của mục này là thiết kế một bộ điều khiển dạng (1.13) sao cho
hệ đóng là ổn định và đảm bảo chi phí bị chặn với mọi nhiễu chấp nhận được.
Giả sử nhiễu có dạng
∆A (k) = DA FA (k)EA
∆C (k) = DC FC (k)EC ,
trong đó DA , EA , DC và EC là các ma trận đã biết và FA (k), FC (k) thỏa mãn
FAT (k) FA (k) ≤ I và FCT (k) FC (k) ≤ I .
Giả sử rằng nhiễu tác động lên B bằng không, khi đó ta có
˜ (k) E˜ η (k)
η (k + 1) = A˜ + DF
trong đó
x(k)
A
BKC
DA
0
˜ =
,D
,
, A˜ =
η(k) =
x˜(k)
KB C K A
0 KB DC
EA 0
F
0
, F (k) = A
.
E˜ =
EC 0
0 FC
14
(1.14)
Phiếm hàm chi phí tương ứng là
∞
˜
η T (k)Qη(k),
J=
(1.15)
k=0
trong đó
Q
0
˜=
.
Q
0 KCT RKC
Định lí 1.3.2. Cho trước các ma trận đạt được KA , KB và KC . Nếu tồn tại các
ma trận đối xứng và xác định dương X , U , V và các số dương εA và εC thỏa mãn
điều kiện LMI sau:
T XE T
T
X
0
XEA
−X
0
XAT
XC T KB
C
T
T
T
T
XKC B
XKA
0
0
0 XKC
∗ −X
∗
T
T
∗ −X + εC KB DC DC KB
0
0
0
0
0
∗
T KT
∗
∗
−X + εC KB DC DC
0
0
0
0
B
<0
∗
∗
∗
∗
−ε
I
0
0
0
A
∗
∗
∗
∗
∗
−εC I 0
0
∗
∗
∗
∗
∗
∗
−U
0
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
−V
(1.16)
thì hệ là ổn định và cận trên của phiếm hàm chi phí là J ≤ xT (0) X −1 x (0).
Chứng minh. Từ bất đẳng thưc LMI (1.16) và Định lí 1.2.3, hệ đóng là ổn định.
Xét hàm Lyapunov cho bởi
V (η (k)) = η T (k) P˜ η (k)
trong đó P˜ = X˜ −1 là nghiệm của LMI (1.16).
Tính sai phân của V theo quỹ đạo nghiệm của hệ đóng, ta được
∆V (k) = V (η (k + 1)) − V (η (k))
= η T (k + 1) P˜ η (k + 1) − η T (k) P˜ η (k)
= η T (k) VT P˜ V − P˜ η (k) ,
với V = A˜ + ∆A˜ (k) .
Chú ý rằng
T
T
T
˜
˜
˜
˜
˜
˜
−P V P
−P A P
0 ∆A (k)P
=
+
.
P˜ V −P˜
−P˜
0
15
Mặt khác chú ý rằng
0
0
0
=
F (k) E˜ 0 .
˜ (k)E˜ 0
˜
P˜ DF
P˜ D
Áp dụng Bổ đề 1.2.1, ta có
˜ E˜ 0
0 ∆A˜ (k)P˜
0 ∆A˜ (k)P˜
0
0
E
+
≤ ε
+ ε−1
˜D
˜ T˜
0
0
0
0
0 P˜ D
0
0
với mọi ε > 0.
Sử dụng bổ đề Schur, hệ là ổn định nếu điều kiện sau thỏa mãn
−P˜ + εE˜ E˜
∗
˜
˜
A P
< 0.
˜D
˜ P˜
−P˜ + εP˜ D
Dựa vào LMI (1.16) của định lí, ta có
˜
∆V (k) + η (k)Qη(k)
≤ 0,
với Q = U −1 và R = V −1 .
Từ điều kiện hệ đóng ổn định, ta có
∞
xT (k)[Q + K T RK]x(k) ≤ 0,
−xT (0)P x(0) +
k=0
suy ra J ≤ xT (0)P x(0). Vậy định lí được chứng minh.
Từ kết quả của định lí trên, chúng ta có định lí sau.
Định lí 1.3.3. Xét hệ (1.8) với bộ điều khiển phản hồi tín hiệu đầu ra, khi đó,
hệ (1.8) là ổn định hóa vững nếu tồn tại các ma trận đối xứng và xác định dương
X , U , V và ma trận Y cùng với các số dương εA và εC sao cho điều kiện LMIs
16
sau thỏa mãn
−X
0
XAT
XC C
∗
−X
Y B
XA
∗
∗
−X + εA DA DA
∗
∗
∗
−X + εC C
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
0
XEA XEC
X
0
Y
0
0
0
0
DC DC C
0
0
0
0
< 0.
−εA I
0
0
0
∗
−εC I 0
0
∗
∗
−U 0
∗
∗
∗ −V
0
0
0
(1.17)
Hơn nữa,
1. Bộ điều khiển phản hồi tín hiệu đầu ra cho bởi
xˆ (k + 1) = xˆ (k) + C y (k)
u (k) = Y X −1 xˆ (k) ;
2. Hàm chi phí thỏa mãn
J ≤ xT (0)X −1 x(0).
Nhận xét 1.3.1. Nghiệm có thể của định lí trên cho phép chúng ta xây dựng
một họ bộ điều khiển đảm bảo cực tiểu chi phí mà ta quan tâm. Để thiết kế bộ
điều khiển mà đảm bảo cực tiểu chi phí, chú ý rằng với mọi vector ban đầu x(0)
theo bổ đề Schur, xT (0) X −1 x (0) < ρ có thể viết lại như sau
−ρ x (0)
.
x(0) −X
(1.18)
Lời giải của bài toán tối ưu sau cho bộ điều khiển mong muốn
min ρ thỏa mãn (1.17) − (1.18).
(1.19)
Hệ quả 1.3.4. Cho X, U, V, Y, ρ, εA và εC là nghiệm của bài toán tối ưu (1.19),
khi đó bộ điều khiển (1.13) với
KA = A ,
KB = C T ,
KC = Y X −1 ,
sẽ ổn định hóa hệ và đồng thời bảo đảm cực tiểu phiếm hàm chi phí.
17
Chương 2
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ VỚI NHIỄU
TRONG ĐIỀU KHIỂN
Nội dung của chương này trình bày các kết quả của bài toán điều khiển
đảm bảo giá trị cho lớp hệ điều khiển rời rạc với nhiễu trong điều khiển. Các
kết quả được tham khảo trong tài liệu [4].
2.1. Đặt bài toán
Xét hệ điều khiển tuyến tính rời rạc như sau:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),
(2.1)
trong đó x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái; u(k) ∈ Rm là vectơ điều khiển đầu vào;
A và B là những ma trận hằng số có số chiều (n × n) và (n × m) tương ứng. Hàm
chi phí với hệ này được xác định như sau:
∞
(xT (k)Qx(k) + uT (k)Ru(k)),
J=
(2.2)
k=0
trong đó Q > 0 và R > 0 là các ma trận trọng số.
Trong chương này, chúng ta xét bộ điều khiển như sau:
u(k) = (K + ∆K)x(k),
(2.3)
trong đó K là ma trận đạt được của bộ điều khiển và ∆K mô tả nhiễu. Ở chương
này, ta xét lớp nhiễu cộng tính như sau:
∆K = H1 F1 E1 , F1T F1 ≤ ρl, ρ ≥ 0.
(2.4)
với H1 và E1 là các ma trận hằng đã biết và F1 là ma trận tham số chưa biết.
Định nghĩa 2.1.1. Xét hệ (2.1) với hàm chi phí (2.2). Bộ điều khiển (2.3) với
nhiễu điều khiển (2.4) được gọi là điều khiển đảm bảo giá trị với ma trận P > 0
18
nếu
[A + B(K + ∆K)]T P [A + B(K + ∆K)] − P + (K + ∆K)T R(K + ∆K) + Q < 0
với mọi ∆K thỏa mãn (2.4).
Định nghĩa 2.1.2. Hệ đóng
x(k + 1) = [A + B(K + ∆K)]x(k)
(2.5)
được gọi là ổn định nếu tồn tại ma trận P > 0 sao cho
[A + B(K + ∆K)]T P [A + B(K + ∆K)] − P < 0,
với mọi ∆K thỏa mãn (2.4).
Bổ đề sau chỉ ra rằng bài toán điều khiển đảm bảo giá trị cho hệ (2.1) sẽ
đảm bảo hệ đóng (2.5) ổn định và xác định cận trên của hàm chi phí (2.2).
Bổ đề 2.1.1. Xét hệ (2.1) với hàm chi phí (2.2). Giả sử rằng bộ điều khiển
(2.3) với nhiễu (2.4) là điều khiển đảm bảo giá trị với ma trận P > 0. Khi đó hệ
đóng (2.5) là ổn định và
∞
xT (k)[Q + (K + ∆K)T R(K + ∆K)]x(k) ≤ xT (0)P x(0),
J=
(2.6)
k=0
với mọi ∆K thỏa mãn (2.4).
Chứng minh. Hệ (2.5) ổn định được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2.
Lấy hàm Lyapunov V (x(k)) = xT (k)P x(k). Khi đó, sai phân của V theo quỹ đạo
của (2.5), ta có
V (x(k + 1)) − V (x(k)) = xT (k)([A + B(K + ∆K)]T P [A + B(K + ∆K)] − P )x(k)
≤ −(uT (k)Ru(k) + xT (k)Qx(k)).
Điều này suy ra
N −1
uT (k)Ru(k) + xT (k)Qx(k) ≤ lim [V (x(0)) − V (x(N ))] = V (x(0)).
J = lim
N →∞
N →∞
k=0
Vậy bổ đề được chứng minh.
Kết quả tương tự Bổ đề 1.2.1 của Chương 1 như sau.
19
Bổ đề 2.1.2. Cho các ma trận Y , M và N . Khi đó
Y + M ∆N + N T ∆T M T < 0
với mọi ∆ thỏa mãn ∆T ∆ ≤ σI khi và chỉ khi tồn tại một hằng số dương ε sao
cho Y + εM M T + σε N T N < 0.
Định nghĩa 2.1.3. Ma trận đối xứng P là nghiệm ổn định hóa phương trình
Riccati
AT P A − P − AT P B(B T P B + R)−1 B T P A + N = 0,
nếu thỏa mãn phương trình Riccati và ma trận A − B(B T P B + R)−1 B T P A là ổn
định.
2.2. Điều khiển đảm bảo giá trị với nhiễu cộng tính
Trong mục này, ta xét bài toán đảm bảo giá trị với bộ điều khiển có nhiễu
cộng tính (2.4). Trước hết, chúng ta có định lí sau đây.
Định lí 2.2.1. Xét hệ (2.1) với hàm chi phí (2.2). Tồn tại bộ điều khiển phản
hồi trạng thái (2.3) có ma trận đạt được K với nhiễu (2.4) là điều khiển đảm
bảo giá trị với ma trận chi phí P khi và chỉ khi tồn tại một hằng số ε > 0 thỏa
mãn
∆
R2 = R2 (P, ε) = I − εH1T B T P B + R H1 > 0,
(2.7)
và
ρ
∆
Sa (P, ε) = AT P A − P + E1T E1 + Q − AT P B B T P B + R
ε
−1
B T P A < 0.
(2.8)
Hơn nữa, nếu (2.7) và (2.8) thỏa mãn, khi đó, ma trận đạt được của điều khiển
đảm bảo giá trị cho bởi
K = (B T P B + R)−1 B T P A.
(2.9)
Chứng minh. Giả sử bộ điều khiển (2.3) với nhiễu (2.4) là bộ điều khiển đảm
bảo giá trị với ma trận chi phí P . Khi đó, từ Định nghĩa 2.1.1 suy ra
[A + B (K + ∆K)]T P [A + B (K + ∆K)]
−P + (K + ∆K)T R (K + ∆K) + Q < 0,
20
với mọi nhiễu ∆K có dạng (2.4). The bổ đề Schur và (2.4), bất đẳng thức trên
tương đương với bất đẳng thức sau:
−P −1
0
0
−R−1
[A + B(K + ∆K)]T (K + ∆K)T
−P −1
0 A + BK 0
=
(A + BK)T K T
Q−P
−R−1
A + B(K + ∆K)
K + ∆K
Q−P
K +K
BH1
BH1 H1
F1 0 0 E1 + H1 F1 0 0 E1 < 0.
+
0
0
Theo Bổ đề 2.1.2, bất đẳng thức trên tương đương với tồn tại hằng số
dương ε thỏa mãn
−P −1
0 A + BK 0 −R−1
(A + BK)T K T
Q−P
T
BH1
BH1
0
ρ
K +K
+ε H1 H1 + 0 0 0 E1
ε
E1T
0
0
−P −1 + εBH1 H1T B T
εBH1 H1T
A + BK
−1 + εH H T
T BT
< 0.
=
K
−R
εH
H
1
1
1
1
ρ T
T
T
(A + BK)
K
Q − P + ε E1 E1
Theo bổ đề Schur, bất đẳng thức trên tương đương với
T
−1
M11 M12 ∆ P
0
BH1
BH1
=(
− ε
)−1 > 0
M =
−1
0 R
M21 M22
H1
H1
(2.10)
và
∆1 = (A + BK)T K T
A + BK
− P + ρ E1T E1 + Q
M
ε
K
T (A + BK) + (A + BK)T M K
= (A + BK)T M11 (A + BK) + K T M12
12
+K T M22 K − P + ρε E1T E1 + Q
= AT M11 A − P + ρε E1T E1 + Q − AT (M11 B + M12 )R1−1 (M11 B + M12 )T A
+[K T + AT (M11 B + M12 )R−1 ]R1 [K T + AT (M11 B + M12 )R−1 ]T < 0,
21
(2.11)
trong đó
T
R1 = B T M11 B + M22 + M12
B + B T M12 .
(2.12)
Chúng ta thấy rằng M > 0 là tương đương với bất đẳng thức (2.7). Bằng
cách tính trực tiếp, ta có
T
P 0
P 0
BH1
BH
P
0
1
+ ε
R−1
M =
2
0 R
0 R
H1
H1
0 R
.
−1 T T
−1 T
P + εP BH1 R2 H1 B P
εP BH1 R2 H1 R
=
εRH1 R2−1 H1T B T P
R + εRH1 R2−1 H1T R
(2.13)
Do đó, từ (2.12) và (2.13), suy ra
R1 = B T P B + εB T P BH1 R2−1 H1T B T P B + R + εRH1 R2−1 H1T R
+εB T P BH1 R2−1 H1T R + εRH1 R2−1 H1T B T P B
(2.14)
= X + εXH1 R2−1 H1T X,
M11 B + M12 = P B + εP BH1 R2−1 H1T B T P B + εP BH1 R2−1 H1T R
= P B(1 + εH1 R2−1 H1T X),
(2.15)
R1−1 (M11 B + M12 )T = (X + εXH1 R2−1 H1T X)−1 (I + εH1 R2−1 H1T X)B T P = X −1 B T P,
(2.16)
trong đó
X = B T P B + R.
(2.17)
Theo (2.14), (2.15), (2.16) và (2.17) suy ra
∆1 = AT P A − P + ρε E1T E1 + Q
−AT P B[(I + εH1 R2−1 H1T X)X −1 − εH1 R2−1 H1T ]B T P A
+[K T + AT P BX −1 ]R1 [K T + AT P BX −1 ]T
(2.18)
= Sa (P, ε) + [K T + AT P BX −1 ]R1 [K T + AT P BX −1 ]T .
Từ (2.10)và (2.18), ta thu được điều kiện cần. Để chứng minh điều kiện
đủ, ta thay K trong (2.10) bằng (2.18).
Định lí 2.2.1 cho ta điều kiện cần và đủ để giải bài toán điều khiển đảm
bảo giá trị. Tuy nhiên, các điều kiện đó chưa chỉ ra cách lựa chọn tham số thiết
kế ε để đảm bảo giá trị của hệ kín là nhỏ nhất. Kí hiệu
εa = sup{ε > 0 : Sa (P, ε) = 0 có nghiệm ổn định hóa P ≥ 0 và (2.7) đúng}.
(2.19)
22
Khi đó, tham số thiết kế ε đảm bảo giá trị cho hệ kín nằm trong khoảng 0 <
ε < εa . Định lí tiếp theo sẽ chỉ ra điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu (tức là, quy
tắc điều khiển cực tiểu hàm chi phí được định nghĩa trong (2.2)) đạt được tại
giá trị biên ε = εa .
Định lí 2.2.2. Xét hệ (2.1) với hàm giá chi phí (2.2). Giả sử cặp (A, B) là ổn
định hóa. Nếu tồn tại một bộ điều khiển phản hồi (2.3) với nhiễu cộng tính (2.4)
là bộ điều khiển đảm bảo giá trị với ma trận chi phí P0 , khi đó phương trình
Riccati với εa được xác định bởi 2.19 có duy nhất nghiệm Popt > 0 thỏa mãn
Popt ≤ P0 và
R2 (Popt , εa ) ≥ 0,
(2.20)
Sa (Popt , εa ) = 0
(2.21)
và bộ điều khiển (2.3) với ma trận đạt được
K = −(B T Popt B + R)−1 B T Popt A
(2.22)
sao cho hệ đóng là ổn định và J ≤ xT0 Popt x0 với mọi nhiễu ∆K có dạng (2.4).
Chứng minh. Theo Định lí 2.2.1, tồn tại hằng số dương ε thỏa mãn các bất
đẳng thức (2.7) và (2.8) với ε = ε và P = P0 . Giả sử P0 ≥ 0 là nghiệm của
Sa (P, ε ) = 0. Từ đó ta có P01 ≤ P0 và R2 (P01 , ε ) > 0. Do đó, εa trong (2.19)
∞
là định nghĩa tốt. Chọn dãy {εn }∞
n=1 và {Pn }n=1 sao cho 0 < εn ≤ εn+1 εn →
εa (n → ∞), Pn là nghiệm của Sa (P, εn ) = 0 và R2 (Pn , εn ) > 0. Theo định nghĩa
củaSa (P, ε) trong (2.8) và định lí so sánh, ta cóPn ≥ Pn+1 > 0 (n = 1, 2, . . . ). Do
đó, lim Pn = P∞ ≥ 0 tồn tại và P∞ thỏa mãn Sa (P∞ , εa ) = 0 và R2 (P∞ , εa ) ≥ 0.
n→∞
Từ đó ta suy ra P∞ và nghiệm của Sa (P∞ , εa ) = 0 và P∞ > 0. Xét dãy {ε0n }∞
n=1
với σn > 0, σn → 0 (n → ∞), khi đó tồn tại dãy con {εn }∞
n=1 với 0 < ε0n < εa , ε0n →
εa (n → ∞) thỏa mãn
Sa (P∞ , ε0n ) − σn I < 0,
n = 1, 2, . . .
Theo chứng minh của Định lí 2.2.1, suy ra
[A + B (K + ∆K)]T P∞ [A + B (K + ∆K)] − P∞
+(K + ∆K)T R (K + ∆K) + Q − σn I < 0,
23
n = 1, 2, . . .
