Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ NGA

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC
NỘI SUY LAGRANGE VÀ HERMITE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ NGA

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC
NỘI SUY LAGRANGE VÀ HERMITE

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2018

i

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
Chương 1. Nội suy Lagrange và nội suy
1.1 Bài toán nội suy Lagrange . . . . .
1.2 Bài toán nội suy Hermite . . . . . .
1.3 Bài toán nội suy Lagrange - Newton

ii
Hermite
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Chương 2. Ứng dụng nội suy tính nguyên hàm và tích phân các hàm
phân thức
21
2.1 Nguyên hàm của hàm phân thức với các cực điểm đơn . . . . . . . 21
2.2 Nguyên hàm của hàm phân thức với các cực điểm bậc tùy ý . . . . 26
Chương 3. Một số dạng toán liên quan
3.1 Một số bài toán về đa thức nhận giá trị nguyên . . . . . . . . . .
3.2 Một số bài toán xác định đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Tìm đa thức khi biết các nghiệm của nó. . . . . . . . . .
3.2.2 Sử dụng công thức nội suy Lagrange để xác định hệ số của
đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Một số bài toán xác định đa thức khác không liên quan đến

các công thức nội suy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
. 43
. 50
. 50
. 53
. 56

KẾT LUẬN

59

TÀI LIỆU THAM KHẢO

59


ii

MỞ ĐẦU

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bài
toán liên quan tới đa thức thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này
thường được xem là thuộc loại khó, hơn nữa phần kiến thức về nội suy đa thức
lại không nằm trong chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tích
bậc trung học phổ thông.
Như ta đã biết, công thức nội suy Lagrange đã được đề cập ở bậc phổ thông.
Tuy nhiên công thức nội suy Hermite chỉ có trong các tài liệu chuyên khảo. Vì
vậy, tôi chọn đề tài luận văn ”Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange

và Hermite”.
Luận văn nhằm cung cấp một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và
Hermite để tìm nguyên hàm của hàm phân thức.
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương.
Chương 1. Nội suy Lagrange và nội suy Hermite.
Chương 2. Ứng dụng nội suy tính nguyên hàm và tích phân các hàm phân thức
Chương 3. Một số dạng toán liên quan.
Tiếp theo, trong các chương đều trình bày một hệ thống bài tập áp dụng giải
các đề thi HSG quốc gia và Olympic liên quan.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Xin được gửi
lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và chỉ
đạo tác giả tập dượt nghiên cứu khoa học trong suốt quá trình tìm hiểu tài liệu,
viết và hoàn thiện Luận văn. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các quý thầy
cô trong Bộ môn toán, Khoa Khoa học Tự nhiên, các Thầy Cô trường Đại học
Khoa học Tự nhiên Hà Nội, các Thầy Cô Viện Toán học đã tận tình giảng dạy,
quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính để em hoàn thành
khoá học và bảo vệ luận văn Thạc sĩ. Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, bạn
bè và cơ quan, đoàn thể nơi tôi công tác là Trường Trung học Phổ thông Thuỷ
Sơn, Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, đã tạo mọi điều kiện về vật chất lẫn
tinh thần trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018
Tác giả

Hoàng Thị Nga


1

Chương 1. Nội suy Lagrange và nội suy Hermite

Chương này được dành để trình bày về các bài toán nội suy Lagrange, bài toán
nội suy Hermite và bài toán nội suy Lagrange-Newton, từ định lí, hệ quả cho đến
một số ví dụ tính toán cụ thể.

1.1

Bài toán nội suy Lagrange

Trong một số trường hợp, để tính tổng hữu hạn các phân thức, người ta thường
sử dụng một số tính chất của đa thức, đặc biệt là công thức nội suy Lagrange.
Dưới đây là một số đồng nhất thức cơ bản và áp dụng của chúng.
Định lý 1.1 (Đồng nhất thức Lagrange). Nếu x1 , x2 , . . . , xm là m giá trị tuỳ ý,
đôi một khác nhau và f (x) là đa thức bậc nhỏ thua m thì ta có đồng nhất thức
sau
(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xm )
+
f (x) = f (x1 )
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xm )

+f (x2 )

(x − x1 )(x − x3 ) . . . (x − xm )
(x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xm )

+ · · · + f (xm )

(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xm−1 )
.
(xm − x1 )(xm − x2 ) . . . (xm − xm−1 )

(1.1)

Chứng minh. Ta cần chứng minh công thức

f (x) − f (x1 )
−f (x2 )
− · · · − f (xm )

(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xm )
−
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xm )

(x − x1 )(x − x3 ) . . . (x − xm )
(x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xm )

(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xm−1 )
≡ 0.
(xm − x1 )(xm − x2 ) . . . (xm − xm−1 )

Nhận xét rằng vế trái của công thức là một đa thức bậc không quá m − 1 và có
ít nhất m nghiệm phân biệt là x1 , x2 , . . . , xm . Vậy đa thức trên phải đồng nhất
bằng 0.
Hệ quả 1.1. Từ Định lý 1.1, ta thu được các đồng nhất thức sau đây.


2

√
√

√
√
√
√
(x − 3)(x − 5)(x − 7)
(x − 2)(x − 5)(x − 7)
√
√ √
√ √
√ + √
√ √
√ √
√
( 2 − 3)( 2 − 5)( 2 − 7) ( 3 − 2)( 3 − 5)( 3 − 7)
√
√
√
√
√
√
(x − 2)(x − 3)(x − 7)
(x − 2)(x − 3)(x − 5)
√ √
√ √
√ + √
√ √
√ √
√ ≡ 1,
+ √
( 5 − 2)( 5 − 3)( 5 − 7) ( 7 − 2)( 7 − 3)( 7 − 5)

a2

(x − c)(x − a)
(x − a)(x − b)
(x − b)(x − c)
+ b2
+ c2
≡ x2 (a < b < c).
(a − b)(a − c)
(b − c)(b − a)
(c − a)(c − b)

Định lý 1.2. Giả sử f (x) là một đa thức bậc nhỏ thua hoặc bằng m − 2 (m > 2)
và x1 , x2 , . . . , xm là m giá trị đôi một khác nhau cho trước tuỳ ý. Khi đó, ta
có đồng nhất thức
f (x1 )
f (x2 )
+
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xm ) (x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xm )
f (xm )
≡ 0.
+ ··· +
(xm − x1 )(xm − x2 ) . . . (xm − xm−1 )
Chứng minh. Nhận xét rằng vế trái của đẳng thức đã cho chính là hệ số của
hạng tử ứng với bậc m − 1 trong cách viết chính tắc của đa thức f (x). Đồng nhất
các hệ số đồng bậc ta có ngay điều phải chứng minh.
Dưới đây, ta xét một số ứng dụng trực tiếp của đồng nhất thức Lagrange.
Ví dụ 1.1. Tính tổng
cos 1o

cos 2o
S=
+
(cos 1o − cos 2o )(cos 1o − cos 3o ) (cos 2o − cos 1o )(cos 2o − cos 3o )
cos 3o
+
(cos 3o − cos 1o )(cos 3o − cos 2o )
Lời giải. Áp dụng Định lý 1.2, với

f (x) = x, x1 = cos 1o , x2 = cos 2o , x3 = cos 3o ,
ta thu được S = 0.
Ví dụ 1.2. Ta có các đồng nhất thức
c+d+a
b+c+d
+
+
(b − a)(c − a)(d − a)(x − a) (c − b)(d − b)(a − b)(x − b)
d+a+b
a+b+c
+
(d − c)(a − c)(b − c)(x − c) (a − d)(b − d)(c − d)(x − d)
x−a−b−c−d
≡
.
(x − a)(x − b)(x − c)(x − d)


3

Lời giải. Thật vậy, ta cần chứng minh

(a + b + c + d) − a
(a + b + c + d) − b
+
+
(a − b)(a − c)(a − d)(a − x) (b − a)(b − c)(b − d)(b − x)
+

(a + b + c + d) − d
(a + b + c + d) − c
+
+
(c − a)(c − b)(c − d)(c − x) (d − a)(d − b)(d − c)(d − x)
+

(a + b + c + d) − x
= 0.
(x − a)(x − b)(x − c)(x − d)

Ta có, với đa thức bậc nhất

f (y) = a + b + c + d − y, y1 = a, y2 = b, y3 = c, y4 = d, y5 = x,
theo Định lý 1.2 ta sẽ thu được ngay điều phải chứng minh.
Định lý 1.3. Cho x1 , x2 , . . . , xm là m giá trị tuỳ ý đôi một khác nhau. Đặt

Sn =

xn1
xn2
+

(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xm ) (x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xm )
xnm
+··· +
.
(xm − x1 )(xm − x2 ) . . . (xm − xm−1 )

Khi đó
a) Sn = 0 nếu 0 ≤ n < m − 1,
b) Sm−1 = 1,
c) Sm+k bằng tổng các tích, mỗi tích có k + 1 thừa số (giống nhau hoặc khác
nhau) lấy trong các số x1 , x2 , . . . , xm .
Chứng minh.
a) Theo Định lý 1.2, với

f (x) = 1, x, x2 , . . . , xm−2 ,
ta được ngay S0 = S1 = . . . = Sm−2 = 0.
b) Để chứng minh Sm−1 = 1, ta chỉ cần thay f (x) trong Định lý 1.2 bởi xm−1 ,
rồi so sánh hệ số của hạng tử bậc m − 1 ở hai vế của đồng nhất thức vừa thu
được.
c) Để tính Sn khi n > m − 1 ta làm như sau:
Giả sử x1 , x2 , . . . , xm thoả mãn phương trình bậc m

αm + p1 .αm−1 + p2 .αm−2 + · · · + pm−1 .α + pm = 0,


4

trong đó




−p1




p

= x1 + x2 + · · · + xm
= x1 x2 + x1 x3 + · · · + xm−1 xm

2



...




(−1)k .p
k

......
= x1 x2 x3 . . . xk + · · ·

Nhân cả hai vế của phương trình trên với αk , ta được

αm+k + p1 .αm+k−1 + p2 αm+k−2 + · · · + pm−1 .αk+1 + pm .αk = 0.
Thay α trong đẳng thức này lần lượt bởi x1 , x2 , . . . , xm ; và lần lượt chia đẳng

thức thứ nhất cho
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xm ),
đẳng thức thứ hai cho

(x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xm )
. . ., rồi cộng vế với vế các đẳng thức mới vừa nhận được, ta thu được
Sm+k + p1 .Sm+k−1 + · · · + pm−1 .Sk+1 + pm .Sk = 0.

(1.2)

Đặt k = 0, ta thu được Sm + p1 Sm−1 = 0.
Do đó Sm = −p1 = x1 + x2 + · · · + xm .
Nhờ đẳng thức (1.2) ta sẽ lần lượt tính tiếp các biểu thức Sm+1 , Sm+2 , . . .
Ta đặt lần lượt
1
= α1 ;
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xm )
1
= α2 ;
(x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xm )
..
.
1
= αm .
(xm − x1 )(xm − x2 ) . . . (xm − xm−1 )
Khi đó ta có

Sn = xn1 α1 + xn2 α2 + · · · + xnm αm .
Xét

α1
α2
αm
+
+ ··· +
.
1 − x1 z 1 − x2 z
1 − xm z
Dùng công thức của cấp số nhân với giả thiết rằng z được chọn sao cho
P =

|x1 z| < 1, |x2 z| < 1, . . . , |xm z| < 1,


Luận văn đủ ở file: Luận văn full