Phân tích dao động của cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi sử dụng tọa độ suy rộng dư (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
…………….***…………….

Nguyễn Sỹ Nam

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ
KHÂU ĐÀN HỒI SỬ DỤNG TỌA ĐỘ SUY RỘNG DƯ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội – 2018


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ-Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TSKH Nguyễn Văn Khang
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS Lê Ngọc Chấn

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp
Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ …’, ngày … tháng …
năm 201…

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


1
MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của luận án
Để tiết kiệm vật liệu, giảm quán tính cho máy và tăng tốc độ làm
việc, các khâu của cơ cấu máy có thể thiết kế thanh mảnh hơn, cơ cấu nhỏ
gọn hơn. Tuy nhiên, rung động thường xuất hiện khi cơ cấu chuyển động,
đặc biệt ở tốc độ cao, khi tăng và giảm tốc do độ cứng vững của các khâu
thanh mảnh không đủ lớn. Những rung động này làm giảm độ chính xác
đối với các cơ cấu yêu cầu chính xác cao, làm chậm trễ các hoạt động nối
tiếp nhau của cơ cấu do rung động vẫn tồn tại trong một khoảng thời gian
nhất định, nó còn làm tăng đáng kể phản lực khớp động. Do đó, tính đàn
hồi của các khâu cần được quan tâm khi nghiên cứu động lực học cơ cấu
máy.
Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Luận án sẽ tập trung nghiên cứu các ứng xử động lực học của cơ cấu
phẳng có một hoặc vài khâu đàn hồi như tính toán sự biến dạng đàn hồi
của các khâu, đánh giá sự ảnh hưởng của biến dạng tác động ngược trở lại
đến chuyển động của cơ cấu trong quá trình làm việc. Qua đó sẽ tìm cách
điều khiển làm giảm thiểu tác động tiêu cực do dao động của các khâu đàn
hồi gây ra, đồng thời hạn chế các dao động đàn hồi này.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận án sẽ tập trung vào nghiên cứu các cơ cấu đàn hồi phẳng và
thực hiện tính toán mô phỏng số, khảo sát đáp ứng một số mô hình cơ cấu
phẳng cụ thể như cơ cấu bốn khâu bản lề, cơ cấu sáu khâu bản lề.
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp giải tích để thiết lập các phương trình vi
phân chuyển động cho các cơ cấu, tuyến tính hóa các phương trình vi phân
chuyển động, kết hợp với tính toán mô phỏng số trên các phần mềm như
Matlab, Maple để tính toán mô phỏng các quá trình động lực học của cơ
hệ.
Nội dung nghiên cứu chính của luận án
+ Nghiên cứu việc thiết lập phương trình chuyển động của một số
cơ cấu có khâu đàn hồi.


2
+ Phân tích động lực học thuận cơ cấu có khâu đàn hồi khi không có
lực điều khiển và khi có lực điều khiển bổ sung.
+ Tuyến tính hóa phương trình động lực học và phân tích dao động
của cơ cấu có khâu đàn hồi ở chế độ làm việc bình ổn.
Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 4 chương nội dung.
+ Chương 1: Giới thiệu tổng quan về cơ cấu máy và robot có khâu
đàn hồi
+ Chương 2: Trình bày việc thiết lập phương trình vi phân chuyển
động cho một số cơ cấu có một hoặc vài khâu đàn hồi
+ Chương 3: Chương này nghiên cứu bài toán điều khiển cơ cấu có
khâu đàn hồi bằng cách bổ sung thêm lực điều khiển ở các khâu dẫn, nhằm
hạn chế ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi đến chuyển động của cơ cấu.
Tính toán mô phỏng số bài toán động lực học thuận cơ cấu có khâu đàn hồi

khi chưa có lực điều khiển bổ sung và khi có lực điều khiển bổ sung.
+ Chương 4: Đề xuất phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi
phân chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng, áp dụng cho
trường hợp các cơ cấu có khâu dẫn quay đều. Từ đó sử dụng phương pháp
Newmark để tính toán dao động bình ổn này.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Cơ cấu có khâu đàn hồi
Tùy thuộc vào kích thước, các đặc trưng chịu lực cũng như yêu cầu
kỹ thuật mà từng khâu của cơ cấu có thể được xem là khâu rắn tuyệt đối hay
khâu đàn hồi. Cũng theo đó mà cơ cấu khảo sát có thể được xem là không có
hoặc có một, hai hay nhiều khâu đàn hồi. Ví dụ như trong Trong Hình 1.2 là
sơ đồ cơ cấu 6 khâu, khâu dẫn 1, tấm 3 và khâu bị dẫn 5 có thể xem là vật
rắn, còn thanh truyền 2 và 4 thường dài và mảnh hơn nên có thể xem là vật
rắn đàn hồi. Như vậy cơ cấu này được xem xét có 2 khâu đàn hồi là phù hợp.
Trong Hình 1.3 là tay máy hai bậc tự do, trong tay máy thì độ chính xác vị trí
của điểm tác động cuối là quan trọng, các khâu coi như vật đàn hồi. Còn
trong Hình 1.5 là sơ đồ của robot song song 3 bậc tự do, trong đó các chân
của robot thường là thanh mảnh nhưng yêu cầu chính xác rất cao, vì vậy việc
xem xét các chân robot như là khâu đàn hồi cũng là cần thiết.


3

4
C

B
A

y

2

0
x0

0

5
O3

3

1
O1

D

0

O2

Hình 1.2. Sơ đồ động học cơ cấu 6 khâu

Hình 1.3. Tay máy hai bậc tự do

Hình 1.5. Robot song song 3 bậc
tự do có các chân là khâu đàn hồi

1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Động lực học hệ nhiều vật đàn hồi là lĩnh vực khoa học thu hút sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Để nghiên cứu
về vấn đề này, các nhà khoa học thường bắt đầu bằng việc xây dựng các
mô hình toán học, kết quả là thu được các phương trình vi phân chuyển
động của cơ cấu. Các mô hình toán học thu được sẽ phục vụ cho việc mô
phỏng số khảo sát các đáp ứng của hệ, thiết kế điều khiển và làm cơ sở cho
bài toán thiết kế tối ưu của cơ cấu.
Các nghiên cứu về xây dựng mô hình toán học. Các nghiên cứu chủ
yếu sử dụng 3 phương pháp để xây dựng mô hình toán học [86] là:
a) Phương pháp hệ quy chiếu động (the floating frame of reference
formulation): Trong phương pháp này, dịch chuyển lớn của hệ cũng như
biến dạng của các vật đàn hồi được xác định thông qua hai bộ tọa độ, bộ
thứ nhất là các tọa độ xác định vị trí và hướng của hệ tọa độ tương đối gắn
với mỗi vật đàn hồi, bộ thứ 2 là các tọa độ đàn hồi xác định biến dạng


4
tương đối của vật đàn hồi trong hệ tọa độ gắn với vật. Với hai bộ tọa độ
trên, sử dụng các phương pháp của động lực học vật rắn như các nguyên lý
công khả dĩ trong động lực học, phương trình Newton–Euler, các phương
trình Lagrange,… sẽ thu được các phương trình vi phân chuyển động của
các vật biến dạng chịu dịch chuyển lớn. Khi cho biến dạng bằng 0, phương
pháp này sẽ dẫn đến phương trình vi phân chuyển động của hệ các vật rắn.
Các tọa độ đàn hồi có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các phương
pháp như: phương pháp các mode thành phần (component modes), phương
pháp phần tử hữu hạn hoặc kỹ thuật nhận dạng bằng thực nghiệm
(experimental identification techniques). Phương pháp hệ quy chiếu động
được sử dụng rộng rãi, cho độ chính xác cao.
b) Phương pháp phân đoạn hữu hạn (finite segment method): Trong
phương pháp phân đoạn hữu hạn, vật rắn biến dạng được giả định bao gồm

là các phân đoạn rắn liên kết với nhau bằng lò xo và/hoặc bộ giảm chấn.
c) Lý thuyết tuyến tính của động lực học đàn hồi (linear theory of
elastodynamics): Ý tưởng của phương pháp này là coi hệ đàn hồi là hệ các
vật rắn, áp dụng các phương pháp tính toán và các chương trình tính để
giải ra lực quán tính và các phản lực liên kết. Sau đó đưa lực quán tính và
phản lực liên kết vào bài toán đàn hồi tuyến tính để giải ra biến dạng của
các vật đàn hồi thuộc hệ. Cuối cùng cộng dồn biến dạng đàn hồi nhỏ trên
chuyển động lớn của vật.
Từ các phương pháp để thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển
động kể trên thì phương pháp hệ quy chiếu động có nhiều ưu điểm hơn cả,
do đó luận án hướng tới sử dụng phương pháp này để thiết lập phương
trình vi phân chuyển động cho các cơ cấu. Hơn nữa, các nghiên cứu trước
đây thường thiết lập phương trình vi phân chuyển động này dạng ma trận
không tường minh, do đó luận án sẽ hướng tới việc thiết lập các phương
trình dạng giải tích tường minh.
Một số nghiên cứu về ổn định và điều khiển: Khi sự biến dạng ảnh
hưởng đến chuyển động của hệ thì vấn đề được đặt ra là nghiên cứu điều
khiển các hệ đó sao cho sự ảnh hưởng của biến dạng lên cơ cấu là bé nhất
hoặc giảm thiểu được dao động đàn hồi đó. Trong vấn đề này các nghiên
cứu chủ yếu tập trung vào các đối tượng là robot, tay máy, mà các cơ cấu
máy còn ít được quan tâm. Về điều khiển cơ cấu đàn hồi, mặc dù có rất


5
nhiều nghiên cứu về phân tích động lực học cơ cấu đàn hồi, tuy nhiên các
nghiên cứu về điều khiển vẫn còn ít được quan tâm. Hầu hết các công trình
nghiên cứu liên quan đến điều khiển rung động của các cơ cấu đàn hồi là
sử dụng một bộ phát động đặt trực tiếp trên khâu đàn hồi. Tác động của lực
điều khiển và mômen điều khiển lên chuyển động tổng thể của cơ cấu
không được xét đến. Ngoài ra, việc thực hiện các bộ điều khiển như vậy

yêu cầu các thiết kế rất phức tạp và tốn kém.
Trong nghiên cứu của Karkoub và Yigit [47], các tác giả đưa ra ý
tưởng thay vì điều khiển dao động bằng bộ phát động đặt trực tiếp lên khâu
đàn hồi, các tác giả thực hiện điều khiển dao động thông qua chuyển động
của khâu dẫn. Trong nghiên cứu các tác giả đã tiến hành điều khiển cơ cấu
bốn khâu bản lề với thanh truyền đàn hồi chịu uốn. Một mômen điều khiển
được đặt lên khâu dẫn để hạn chế ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi. Để
kiểm chứng hiệu quả của bộ điều khiển, các tác giả đã mô phỏng điều
khiển cơ cấu ở vị trí cân bằng khi cho thanh truyền một biến dạng uốn ban
đầu, kết quả là biến dạng bị triệt tiêu, cơ cấu vẫn cân bằng. Với việc điều
khiển rung động thông qua khâu dẫn đã làm cho việc điều khiển trở nên
đơn giản hơn rất nhiều. Tuy nhiên cũng cần các nghiên cứu đầy đủ hơn về
vấn đề này.
Một số nghiên cứu về tuyến tính hóa các phương trình chuyển động:
Các phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật đàn hồi thường là
hệ phương trình phi tuyến phức tạp. Một cách hiệu quả để giải hệ phương
trình này là sử dụng phương pháp số [5, 23], tuy nhiên cũng khá phức tạp
và mất nhiều thời gian cho các lời giải. Khi đó để đơn giản trong tính toán,
các phương trình vi phân chuyển động được đưa về dạng tuyến tính. Đối
với hệ có cấu trúc mạch vòng thì đây là vấn đề phức tạp. Các phương pháp
tuyến tính hóa trước đây là khá khó áp dụng tính toán cho các cơ cấu có
khâu đàn hồi. Do đó luận án cũng đặt ra vấn đề là nghiên cứu đưa ra
phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu
có cấu trúc mạch vòng theo hướng đơn giản, thuận tiện khi áp dụng tính
toán số.
1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước
Ở trong nước việc nghiên cứu động lực học của cơ cấu có khâu đàn
hồi còn rất ít các nghiên cứu. Một số nghiên cứu của giáo sư Nguyễn Văn

6
Khang và các cộng sự [7,8,10, 73-77] về động lực học cơ cấu có khâu đàn
hồi đã được thực hiện tại trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
1.4. Xác định vấn đề nghiên cứu
Vấn đề thứ nhất: Áp dụng phương pháp tổng quát thiết lập phương trình vi
phân động lực học chuyển động cho cơ cấu phẳng, trong đó các khâu đàn
hồi được rời rạc hóa bằng một số phương pháp như phương pháp Ritz –
Galerkin, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).
Vấn đề thứ hai: Tính toán động lực học, tính toán biến dạng của các khâu
đàn hồi, đánh giá sự ảnh hưởng của khâu đàn hồi đến chuyển động của cơ
cấu. Sử dụng phương pháp điều khiển để hạn chế sự ảnh hưởng đó, đồng
thời dập tắt các dao động đàn hồi.
Vấn đề thứ ba: Các cơ cấu máy thường làm việc ở chế độ bình ổn, khi đó
sự biến dạng sẽ gây ra các dao động nhỏ quanh chuyển động bình ổn đó.
Luận án sẽ nghiên cứu, đưa ra phương pháp tuyến tính hóa chuyển động
của cơ cấu cơ quanh chuyển động bình ổn, áp dụng phương pháp Newmark
để tính toán dao động tuần hoàn ở chế độ bình ổn, từ đó phân tích động lực
học trong một số trường hợp.
CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA
HỆ NHIỀU VẬT ĐÀN HỒI
2.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi
Các khâu đàn hồi trong cơ cấu là hệ liên tục đặc trưng bởi vô số bậc
tự do. Các thanh truyền đàn hồi này thường được rời rạc hóa thành hữu hạn
bậc tự do bằng các phương pháp, phổ biến nhất là phương pháp Ritz –
Galerkin và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element
Method).
2.1.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp Ritz – Galerkin
Trong trường hợp dầm hai đầu bản lề, chuyển vị uốn ngang tương
đối w(x,t) trong hệ tọa độ Axy gắn với thanh, có trục Ax dọc theo AB sẽ
được biểu diễn dưới dạng:

N

w( x, t ) = ∑ X i ( x)qi (t )
i =1

(2.1)


7
trong đó X i ( x) là hàm phụ thuộc vào
điều kiện biên của dầm; qi(t) là các
tọa độ đàn hồi. Theo phương pháp
Ritz – Galerkin trong trường hợp
dầm là hai đầu bản lề thì X i ( x) có

B x
y

x

w
L

A

Hình 2.1. Dầm hai đầu bản lề

dạng [4]:

 iπ 

X i = sin  x 
(2.2)
L 
Tương tự xét thanh hai đầu bản lề, hệ trục tọa độ gắn với thanh như Hình
2.2, chuyển vị dọc trục của thanh trong hệ tọa độ tương đối được biểu diễn:
N

u ( x, t ) = ∑ Yi ( x)qi (t )

y

(2.3)

i =1

Ta tìm được hàm dạng [4]:

x

u
x

A

B
 2i − 1 π x 
Yi ( x) = sin 
(2.4)

Hình 2.2. Dầm hai đầu bản lề chịu kéo

 2 l 
2.1.2. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn
(FEM)
Trong phương pháp này khâu đàn hồi được chia thành một số hữu
hạn các phần tử. Phần tử dầm thứ i,
trong mặt phẳng sẽ có 3 bậc tự do
A
B x
mỗi đầu nút bao gồm chuyển vị dọc,
L
chuyển vị ngang và góc xoay.
q1
q4
a) Trường hợp sử dụng một phần tử
q3 q
q6 q5
2
để rời rạc hóa.
Hình 2.3. Các bậc tự do của phần tử dầm
Xét khâu AB với giả thiết
thanh thẳng, đồng chất, thiết diện không đổi, khâu AB được coi như dầm
Euler – Bernoulli. Hệ tọa độ động Axy gắn với khâu AB, trục Ax dọc theo
AB.
+ Chuyển vị ngang của thanh có dạng [50]:
(2.5)
w( x, t ) = X 2 ( x)q2 (t ) + X 3 ( x)q3 (t ) + X 5 ( x)q5 (t ) + X 6 ( x)q6 (t )

Từ điều kiện biên ta có các hàm dạng Hermite thỏa mãn:

8
2

3

x 2 x3
x
x
X 2 ( x) =
x−2 + 2
1 − 3   + 2   ; X 3 ( x) =
L L
L
L
2
3
2
3
x
x
x
x
− + 2
X 5 ( x) =
3 2 − 2 3 ; X 6 ( x) =
L L
L
L

(2.6)

+ Chuyển vị dọc của thanh:
=
u ( x, t ) X 1 ( x)q1 (t ) + X 4 ( x)q4 (t )

(2.7)

Từ điều kiện biên ta có hàm dạng Hermite thỏa mãn:
x
x
X1 =
1− ;
X4 =
L
L

(2.8)

b) Trường hợp sử dụng nhiều phần tử để rời rạc hóa
Chia khâu đàn hồi AB thành N phần tử đều nhau, chiều dài mỗi
phần tử là l=L/N. Xét phần tử thứ i, có nút đầu là i, nút cuối là (i+1). Khi
biến dạng, chuyển vị 2 nút của phần tử i là q1i , q2i , q3i tại nút đầu;
q4i , q5i , q6i tại nút cuối. Như vậy tổng số tọa độ suy rộng xác định biến

dạng của dầm AB khi chia dầm thành N phần tử là 3(N+1).
2.2. Thiết lập phương trình chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc
mạch vòng bằng phương trình Lagrange dạng nhân tử
Xét cơ hệ cấu trúc mạch vòng, hôlônôm xác định bởi m tọa độ suy rộng
dư s1, s2,…, sm. Giả sử hệ chịu r liên kết hôlônôm, phương trình liên kết :
f j ( s1 , s2 ,..., sm , t ) ( j = 1, 2,..., r )

(2.9)
Ta có phương trình Lagrange dạng nhân tử viết cho hệ hôlônôm [5]:
d  ∂T

dt  ∂sk

r
 ∂T
∂f
∂Π
=
−
+ Qk − ∑ λi i
−
∂
s
∂
s
∂
sk
i
1
=
k
k


(k =
1, 2,..., m)

(2.10)

2.3. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu bốn
khâu bản lề với thanh truyền đàn hồi
Cơ cấu bốn khâu bản lề
B
M
như Hình 2.5, trong đó
x
y
x
w
*
AB là khâu đàn hồi, OA
M
y0
u
và BC giả thiết là khâu
φ2
A
τ
rắn. OA= l1, AB =l2, BC
= l3, OC = l0. mômen τ
φ3 x0
φ1
C
dẫn động chuyển động.
O
Giả thiết: AB là thanh
Hình 2.5. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề

9
thẳng, đồng chất, thiết diện không đổi, trục của thanh trùng với trục trung
hòa khi chưa biến dạng, cơ cấu nằm trong mặt phẳng ngang.
2.3.1. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết
a) Hệ tọa độ và phương trình liên kết. Hệ trục tọa độ động Axy, với Ax
gắn với khâu đàn hồi AB. Các góc quay của các khâu φ1, φ2, φ3.
Ta có phương trình liên kết:
=
f1 l1 cos ϕ1 + ( l2 + uB ) cos ϕ 2 − l3 cos ϕ3 =
− l0 0
(2.11)
=
f 2 l1 sin ϕ1 + ( l2 + uB ) sin ϕ 2 − l3 sin =
ϕ3 0
b) Động năng của hệ:
=
T

2
2
l
1
1
12 
2
 ∂u 
 ∂w 
I Oϕ12 + I C ϕ32 + ∫ µ l12ϕ12 +   + w2 + ( x + u ) ϕ22 + 


2
2
2 0 
 ∂t 
 ∂t 
∂u
∂w
− 2l1ϕ1 sin (ϕ1 − ϕ 2 ) + 2l1 ( x + u ) ϕ1ϕ2 cos (ϕ1 − ϕ 2 ) + 2l1
ϕ1 cos (ϕ1 − ϕ 2 )
∂t
∂t
∂u
∂w 
(2.12)
+ 2l1 wϕ1ϕ2 sin (ϕ1 − ϕ 2 ) − 2 w ϕ2 + 2 ( x + u ) ϕ2  dx
∂t
∂t 

(

)

c) Thế năng biến dạng:

2

2
2
 ∂2 w 

1
1
 ∂u 
EA∫   dx + EI ∫  2  dx
2
∂x 
2 0  ∂x 
0

l

=
Π

2

l

(2.13)

Các hệ số: µ là phân bố khối lượng trên đơn vị chiều dài, E là mô đun đàn
hồi, I là mômen quán tính, A là diện tích mặt cắt ngang.
2.3.2. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi thanh truyền
đàn hồi được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin
Sử dụng phương pháp khai triển Ritz – Galerkin, dao động uốn và
dao động dọc có dạng:
N1

w( x, t ) = ∑ X i ( x)qi (t )
i =1

N2

u ( x, t ) = ∑ Yk ( x) pk (t )

(2.14)

k =1

Thay các biến dạng vào biểu thức động năng (2.12) và thế năng
(2.13). Sau đó thay vào phương trình Lagrange (2.10) thu được các phương
trình viết cho các tọa độ các khâu φ1, φ2, φ3 và các tọa độ đàn hồi qi, pk:
*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ1


10

(I

O

+ µ l12 l2 ) ϕ1 +

N
µ l1l22
ϕ2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + µ l1ϕ2 cos (ϕ1 − ϕ2 ) ∑ H k pk
2
k =1
2

N1

N2

N1

+ µ l1ϕ2 sin (ϕ1 − ϕ 2 ) ∑ Ci qi − µ l1 sin (ϕ1 − ϕ 2 ) ∑ H k pk + µ l1 cos (ϕ1 − ϕ 2 ) ∑ Ci qi

k 1 =i 1
=i 1 =
2
N2
N2
2
2
1 2
2
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2
k k
k k
k =1
k =1
N1

N1
2
i i
i i
2
1
2
1 2
1
2
1
1 1
1
1 2
=i 1 =i 1

+

µl l
ϕ sin (ϕ − ϕ ) + 2µ l ϕ cos (ϕ − ϕ
2

+2µ lϕ sin (ϕ − ϕ

) ∑ C q − µ l ϕ

)∑ H

cos (ϕ − ϕ

p + µ l ϕ sin (ϕ − ϕ

)∑C q

)∑ H

p

=
l sin ϕ λ − l cos ϕ λ + τ

(2.15)
*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ2 , ta có:
N2
N1
 l22

 cos (ϕ1 − ϕ 2 ) + cos (ϕ1 − ϕ 2 ) ∑ H k pk + sin (ϕ1 − ϕ 2 ) ∑ Ci qi  µ l1ϕ1 +
k 1 =i 1
=
2

N2
N2 N2
N1 N 2
N1
 l23 N1 N1




pk + µ ∑ Di qi
 + ∑∑ mij qi q j +  2∑ Fk pk + ∑∑ bkl pk pl   µϕ2 − µ ∑∑ nik qi 
k 1 =l 1
k 1
=
=i 1 =
=i 1
 =k 1

 3 =i 1 =j 1
N1 N1
N2 N2
N1 N 2
 N2

+ µ ∑∑ nik qi pk + 2 µϕ2 ∑∑ mij qi q j + 2 µϕ2  ∑ Fk p k + ∑∑ bkl p k pl 
k 1 =l 1
k 1
=i 1 =j 1
=
=i 1 =
 =k 1

N2
N1
µ l1l22 2
−
ϕ1 sin (ϕ1 − ϕ2 ) − µ l1ϕ12 sin (ϕ1 − ϕ2 ) ∑ H k pk + µ l1ϕ12 cos (ϕ1 − ϕ2 ) ∑ Ci qi
2
k 1 =i 1

=
= ( l2 + uB ) sin ϕ 2 .λ1 − ( l2 + uB ) cos ϕ 2 .λ2
(2.16)
*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ3:

I C ϕ3 + l3 sin (ϕ3 ) λ1 − l3 cos (ϕ3 ) λ2 =
0

(2.17)

*) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng qi (i = 1,2,..., N1):
N
N


µ l1Ciϕ1 cos (ϕ1 − ϕ2 ) +  µ Di + µ ∑ nik pk  ϕ2 + µ ∑ mij qj
k 1=
j 1
=


2

1

(2.18)
− µ l ϕ sin (ϕ1 − ϕ 2 ) Ci + 2µϕ2 ∑ n p − µϕ ∑ m q + EI ∑ kij q j =
0
2
1 1

N2

k 1
=

N1
N
2
2
ik k
ij j
=j 1 =j 1

*) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng pk (k = 1,2,...N2):
N1

N2

− µ l1ϕ1 sin (ϕ1 − ϕ 2 ) H k − µϕ2 ∑ nik qi + µ ∑ bkl 
pl − µ l1ϕ12 cos (ϕ1 − ϕ 2 ) H k
=i 1 =l 1

N2
N2


−2 µϕ2 ∑ nik qi − µ  Fk + ∑ bkl pl  ϕ22 + EA∑ g kl pl + ( λ1 cos ϕ 2 + λ2 sin ϕ 2 ) α k =
0
=i 1 =

l 1=
l 1


N1

(2.19)


11
Ta có hệ N1 + N2 +3 phương trình vi phân chuyển động từ (2.15)
đến (2.19), đây là các phương trình vi phân phi tuyến. Cùng với 2 phương
trình liên kết (2.11) ta có N1+N2+5 phương trình với N1+N2+5 ẩn số là φ1,
φ2, φ3, q1, q2,…, qN1, p1, p2,…, pN2 và λ1, λ2.
Đây là hệ phương trình tổng quát, các trường hợp riêng của hệ
phương trình vi phân chuyển động sẽ được suy ra từ hệ phương trình tổng
quát như trường hợp viết cho cơ cấu rắn, viết cho cơ cấu có thanh truyền
chỉ chịu uốn (bỏ đi các tọa độ đàn hồi dọc), viết cho cơ cấu thanh tuyền chỉ
chịu kéo nén (bỏ đi tọa độ biến dạng uốn). Trường hợp sử dụng 3 dạng
riêng đầu N1 = 3, N2 = 3, ta thu được hệ 9 phương trình vi phân chuyển
động với các ẩn: φ1, φ2, φ3, q1, q2, q3, p1, p2, p3, λ1, λ2.
2.3.3. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi thanh truyền
đàn hồi được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn
Sử dụng một phần tử để rời rạc thanh AB, thay điều kiện biên vào
(2.5) và (2.7) ta được:
(2.20)
=
w( x, t ) X 3 ( x)q3 (t ) + X 6 ( x)q6 (t )
u ( x, t ) = X 4 ( x)q4 (t )

Khi đó u(l2,t) = q4, phương trình liên kết thu được là:
=
f1 l1 cos ϕ1 + ( l2 + q4 ) cos ϕ 2 − l3 cos ϕ3 =
− l0 0
=
f 2 l1 sin ϕ1 + ( l2 + q4 ) sin ϕ 2 − l3 sin =
ϕ3 0

(2.21)

(2.22)

Thay (2.20), (2.21) vào (2.12) và (2.13) sau đó thay vào (2.10) thu được 6
phương trình chuyển động viết cho các tọa độ φ1, φ2, φ3 , q3, q4, q6, viết
gọn lại có dạng:

M( s )s + C( s ,s )s + g( s ) = τ( t ) − ΦTs ( s )λ

(2.23)

Hệ 6 phương trình chuyển động (2.23) là các phương trình vi phân
phi tuyến. Cùng với hai phương trình liên kết (2.22) ta có 8 phương trình
với 8 ẩn số là: ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , q3 , q4 , q6 , λ1, λ2. Đây là hệ phương trình tổng quát,
các trường hợp riêng của hệ phương trình vi phân chuyển động sẽ được
suy ra từ hệ phương trình đó.
2.4. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu sáu khâu
với hai thanh truyền đàn hồi
Trong cơ cấu sáu khâu bản lề phẳng Hình 2.6, các thanh truyền AB

12
và CD thường dài và thanh mảnh hơn cả, do đó ta coi là các khâu đàn hồi,
còn các khâu dẫn O1A, khâu lắc O2BC và khâu chấp hành O3D thường
ngắn và cứng vững hơn nên giả định coi như vật rắn tuyệt đối.
Các góc φ1, φ2, φ3, φ4, φ5 là các góc định vị của các khâu. Gọi u1, w1
là chuyển vị dọc tương đối, chuyển vị uốn tương đối của điểm M trên AB;
u2, w2 là chuyển vị dọc tương đối, chuyển vị uốn tương đối của điểm N
trên CD.
D
l4
B
l2

A

y

φ2

τ

C1
φ1

O1

l3

l0
θ1

C

l5

φ5

C3
φ3

l1

φ4

C

O3

θ2

O2

x

Hình 2.7. Sơ đồ cơ cấu sáu khâu
D

y1

B

M
x1

x1

y2 x2

w1
φ4

φ2 u 1
A

N

w2

x2

u2

C
Hình 2.8. Sơ đồ đặt hệ trục tương đối trên các khâu

Tương tự như cơ cấu bốn khâu, ta cũng xác định biểu thức động
năng, thế năng rồi thay vào phương trình Lagrange dạng nhân tử (2.10) ta
thu được hệ phương trình viết cho cơ cấu:
(2.24)
M (s)s + C(s, s )s + g(s) = τ (t ) − ΦTs (s)λ

f (s) = 0
(2.25)
Trong đó M (s) là ma trận khối lượng suy rộng của hệ, C(s, s ) là ma trận
quán tính ly tâm và Coriolis, g (s) là véc tơ lực suy rộng ứng với các lực
hoạt động là lực thế τ (t ) là vectơ lực suy rộng ứng với các lực hoạt động
không

thế

λ =  λ1 , λ2 , λ3 , λ4 

T

là

véctơ

các

nhân

tử

Lagrange,


13
f = [ f1 , f 2 , f 2 , f 4 ] là các phương trình liên kết, Φs là ma trận Jacobi của f,
T

s là tọa độ suy rộng ứng với các phương pháp là:
+ Sử dụng phương pháp Ritz – Galerkin:
s = ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 q1(1) q2(1) ... qN(1)1 q1(2) q2(2) ... qN(2)3 p1(1) p2(1) ... pN(1)2 p1(2) p2(2) ... pN(2)4 

T

+ Sử dụng phương pháp PTHH với mỗi thanh đàn hồi là 1 phần tử:
s = ϕ1 ϕ 2 ϕ3 ϕ 4 ϕ5 q3(1) q4(1) q6(1) q3(2) q4(2) q6(2) 

T

là các tọa độ biến dạng uốn và các tọa độ biến dạng dọc
trong đó qi(1) , p (1)
j
là các tọa độ biến dạng uốn và các tọa độ
của khâu đàn hồi AB; qi(2) , p (2)
j
biến dạng dọc của khâu đàn hồi CD.
Các trường hợp riêng cũng được rút ra từ phương trình tổng quát.
Kết luận chương 2
1) Thiết lập dạng tường minh phương trình vi phân chuyển động của
cơ cấu bốn khâu có khâu nối đàn hồi và của cơ cấu sáu khâu có hai khâu
nối đàn hồi.
2) Việc rời rạc hóa khâu đàn hồi được thực hiện bằng phương pháp
Ritz–Galerkin và phương pháp phần tử hữu hạn.
3) Phương pháp thiết lập phương trình chuyển động trình bày trong
chương này có thể dùng để cho các cơ cấu có khâu đàn hồi khác.
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC THUẬN CƠ CẤU
PHẲNG CÓ KHÂU ĐÀN HỒI
Chương 3 thực hiện các tính toán mô phỏng số động lực học của cơ

cấu khi biết mômen phát động đặt vào khâu dẫn, tính toán đánh giá ảnh
hưởng của biến dạng đến chuyển động của cơ cấu. Chương này cũng thực
hiện tính toán số khi bổ sung lực điều khiển nhằm giảm thiểu ảnh hưởng
của biến dạng đến chuyển động của cơ cấu.
3.1. Bài toán động lực học thuận của hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc
mạch vòng
a) Phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động hệ nhiều vật cấu trúc
mạch vòng
Phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động của hệ có dạng [5]:


14

M (s)s + C(s, s )s + g(s) = τ (t ) − ΦTs (s)λ

(3.1)

f (s) = 0

(3.2)

q 
q 
T
T
Trong đó s = [ s1 s2 ... sn ] , s    , z = [ z1 z2 ... zr ] , q   a  ,
q 
 z 
 e

(3.3)

q a   q1a q2a ... qna  , q e   q1e q2e ... qne  , f =
na + ne , n =+
f r




T

=
Φs

T

∂f
∂f
∂f
=
=
=
, Φq
, Φz
, Φ s Φ q Φ z  , Φ s ∉ ℜr×n , Φ q ∈ ℜr× f , Φ z ∈ ℜr×r
∂s
∂q
∂z

Đạo hàm phương trình (3.2), hệ phương trình (3.1), (3.2) được đưa về

dạng:

M (s)s + ΦTs (s)λ =
p1 (s,s, t )

(3.4)

Φ s (s)s = p 2 (s, s)
trong đó p1 (s, s=
, t ) τ (t ) − C(s, s, t )s − g(s), p1 (s, s, t ) ∈ ℜ

(3.5)
nx1

(3.6)
 (s) s − 2α Φ (s) s − β 2 f (s), p (s, s) ∈ ℜrx1
p 2 (s, s) = − Φ
(3.7)
s
s
2
với α, β là các hằng số dương của phương pháp ổn định hóa Baumgarte.
b) Phương trình vi phân chuyển động trong tọa độ suy rộng có dư
Để khử các nhân tử Lagrange, biến đổi hệ phương trình vi phân đại
số (3.1), (3.2) về hệ phương trình vi phân thường với số phương trình bằng
số tọa độ suy rộng dư ta sử dụng ma trận quay R và định lý trực giao [5].
Ta được hệ phương trình:



RT M (s)s  RT p1 (s , s, t )

(3.8)

Φ s (s)s = p 2 (s, s, t )

(3.9)

Ef



Với
=
R (s)  −1  , E f ∈ ℜ fxf , R (s) ∈ ℜnxf
 −Φ z Φ q 

(3.10)

Hệ phương trình (3.8), (3.9) là hệ phương trình vi phân thường của
các tọa độ suy rộng dư s. Việc tính toán nghiệm của hệ phương trình này
được trình bày kỹ trong [5].
c) Phương trình vi phân chuyển động trong tọa độ độc lập
Sử dụng ma trận quay R, biến đổi hệ (3.1), (3.2) về hệ phương vi
phân chuyển động của cơ cấu đàn hồi dạng tọa độ suy rộng độc lập:


15
  Cq, q q  g q  τ q
M qq

(3.11)

Trong=
đó s s=
(q), s s(q,q)

M q  RT s M s R s
 s , s   Cs , s  R s
Cq , q   RT s M s R

g q  R s g s



(3.12)

T

3.2. Bài toán động lực học thuận có điều khiển hệ nhiều vật đàn hồi có
cấu trúc mạch vòng
Bài toán động lực học thuận của cơ cấu có khâu đàn hồi và bài toán
động lực học thuận có điều khiển như sau:
1) Bài toán động lực học thuận cơ cấu rắn: Cho biết mômen phát động

τ a  τ aR (t ) tác dụng vào khâu dẫn, các khâu của cơ cấu được xem là khâu
rắn. Từ phương trình động lực viết cho cơ cấu rắn, giải ra ta được q aR (t ) là
chuyển động của cơ cấu rắn (chuyển động mong muốn).
2) Bài toán động lực học thuận cơ cấu đàn hồi: Vẫn cho mômen phát động

τ a  τ aR (t ) tác dụng vào các khâu dẫn, cơ cấu có một số khâu đàn hồi, giải
q 
hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu đàn hồi ta được q   a 
q 
 e
(chuyển động của cơ cấu đàn hồi và các biến dạng). Nói chung đối với cơ

cấu đàn hồi thì: q a  q aR (t ), q e  0

(3.13)

3) Bài toán động lực học thuận có điều khiển: Theo ý tưởng của Karkoub
và Yigit [47] ta cho thêm mômen điều khiển tăng cường τ C( a ) (t ) tác dụng
vào các khâu dẫn của cơ cấu có khâu đàn hồi. Khi đó nhờ mômen điều
khiển tăng cường mà có khả năng làm cho dao động đàn hồi của các khâu
đàn hồi bé đi và chuyển động thực của cơ cấu đàn hồi bám theo chuyển
động cơ bản (mong muốn) của cơ cấu rắn.
Mômen điều khiển tăng cường dạng PD được chọn có dạng:

τ C( a ) (t ) =
−K P x a − K D x a

(3.14)

x a q a (t ) − q (t ) là sai lệch tọa độ các khâu dẫn động của cơ
Trong đó=
R
a

cấu có khâu đàn hồi so với cơ cấu rắn. Với cơ cấu bốn khâu bản lề và cơ

ϕ1 (t ), q aR (t ) =
ϕ1R (t ) =
> x a =−
ϕ1 ϕ1R
cấu sáu khâu bản lề thì q a (t ) =


16

Mô hình
cơ cấu rắn
+

Cơ cấu đàn
hồi (hệ thực)

K

+
K

Hình 3.1. Sơ đồ điều khiển tăng cường dạng PD

3.3. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu bốn
khâu có khâu nối đàn hồi
Tính toán được thực hiện với 3 bài toán như trên trong hai trường
hợp là cơ cấu có các phương trình vi phân chuyển động được thiết lập bằng
cách sử dụng phương pháp Ritz – Galerkin để rời rạc thanh truyền đàn hồi
và cơ cấu có các phương trình vi phân chuyển động được thiết lập bằng

cách sử dụng PPPTHH để rời rạc thanh truyền đàn hồi.
3.3.1. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng
phương pháp Ritz – Galerkin
Việc tính toán số sẽ được tính toán trong các trường hợp từ đơn giản
đến phức tạp dần, gồm cơ cấu là rắn (để so sánh), cơ cấu có khâu nối được
giả định là chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc) và trường hợp đầy đủ là cơ
cấu có khâu nối chịu đồng thời cả biến dạng dọc và biến dạng uốn.
*) Bài toán động lực học thuận: Để mô phỏng số, mômen phát động tác
dụng vào khâu dẫn được cho dưới dạng:
 τ 0 sin(2π t / Tm )
0

τ (t ) = 

t ≤ Tm
t ≥ Tm

(3.15)

với τ0 là biên độ, Tm là chu kỳ của mômen phát động.
Kết quả tính toán cho thấy rằng:
+ Khi biên độ mômen phát động là nhỏ thì biến dạng của thanh truyền là
không đáng kể, do đó ảnh hưởng của nó đến chuyển động của các khâu
trong cơ cấu là không đáng kể.


17
+ Khi tăng biên độ của mômen phát động thì biến dạng tăng là đáng kể, do
đó các sai lệch về góc định vị, vận tốc góc các khâu tăng lên. Như vậy khi
biến dạng đàn hồi là đáng kể thì nó không chỉ làm sai lệch chuyển động

của khâu đàn hồi mà còn làm sai lệch chuyển động của cả cơ cấu.
Trên Hình 3.23 đến Hình 3.26 là thí dụ cho kết quả mô phỏng trong
trường hợp khâu nối chịu uốn và kéo nén đồng thời. Mô men phát động có
τ0 = 0.03 Nm, Tm = 1s.

Hình 3.23. Góc khâu dẫn.
...... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn
hồi

Hình 3.25. Độ võng tương đối của
khâu đàn hồi tại x = l2/2

Hình 3.24. Góc khâu bị dẫn.
….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.26. Chuyển vị dọc tương đối
của khâu đàn hồi

*) Bài toán động lực học có điều khiển. Mômen điều khiển tăng cường
dạng PD có dạng:

τc =
−k P (ϕ1 − ϕ1R ) − k D (ϕ1 − ϕ1R )

(3.16)

Kết quả của bài toán có điều khiển cho thấy:
+ Trong trường hợp biến dạng là đáng kể, gây ra sai lệch là không quá lớn
thì phương pháp điều khiển này có khả năng hạn chế dao động đàn hồi và

18
điều khiển chuyển động. Sự sai lệch của cơ cấu đàn hồi do sự biến dạng
gây ra là không đáng kể, chuyển động của cơ cấu đàn hồi bám theo cơ cấu
rắn.
+ Trong trường hợp biến dạng là lớn, gây ra sai lệch rất lớn trong chuyển
động thì bộ điều khiển này chỉ làm giảm sai lệch trong chuyển động mà
không triệt tiêu được nó, sai lệch này vẫn còn đáng kể.
Trên Hình 3.29 và Hình 3.30 là kết quả có điều khiển của thí dụ
trên. Quỹ đạo chuyển động của cơ cấu đàn hồi đã bám theo cơ cấu rắn.

Hình 3.29. Góc khâu dẫn khi điều khiển.
…. cơ cấu rắn, ____ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.30. Góc khâu bị dẫn khi điều
khiển.… cơ cấu rắn, ___ cơ cấu đàn hồi

3.3.2. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng
phương pháp phần tử hữu hạn – FEM
Các tính toán cho các trường hợp tương tự như trong mục 3.3.1. Kết
quả tính toán cho thấy: các ứng xử động lực học trong trường hợp này và
trường hợp cơ cấu có các phương trình vi phân chuyển động được thiết lập
bằng cách sử dụng phương pháp Ritz – Galerkin (mục 3.3.1) là tương tự
nhau, sự sai khác là không đáng kể.
3.4. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu sáu
khâu bản lề có hai thanh truyền đàn hồi
Tính toán số được thực hiện trong các trường hợp: cơ cấu rắn, cơ
cấu có hai thanh truyền chỉ chịu biến dạng dọc trục (bỏ qua biến dạng uốn)
và cơ cấu có hai thanh truyền là chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc trục).
Với mômen phát động như (3.15), kết quả tính toán cho thấy:

19
+ Khi mômen phát động là nhỏ thì biến dạng của thanh truyền là
không đáng kể, do đó ảnh hưởng của nó đến chuyển động của các khâu
trong cơ cấu là bé
+ Khi tăng mômen phát động tăng lên thì biến dạng tăng là đáng kể,
do đó các sai lệch về góc quay và vận tốc góc các khâu tăng lên rõ rệt.
+ Khi bổ sung mômen điều khiển tăng cường dạng PD Kết quả điều
khiển là quỹ đạo cơ cấu đàn hồi bám theo quỹ đạo của cơ cấu rắn và dao
động đàn hồi bị triệt tiêu.
Kết luận chương 3
Trong chương 3, luận án đã thực hiện phân tích động lực học thuận
và điều khiển dao động cơ cấu 4 khâu có khâu nối đàn hồi và cơ cấu 6
khâu có hai khâu nối đàn hồi. Các kết quả mô phỏng số đã chỉ ra rằng bằng
cách thêm các lực điều khiển phụ đặt vào các khâu dẫn ta có thể điều khiển
dao động phát sinh do khâu nối đàn hồi trong trường hợp chuyển động
khâu dẫn có vận tốc đủ nhỏ. Mô phỏng số cũng chỉ ra rằng trong những
trường hợp chuyển động khâu dẫn có vận tốc không nhỏ, thì cách điều
khiển này không thể triệt tiêu dao động phát sinh do khâu nối đàn hồi gây
ra. Do đó trong những trường hợp như vậy cần có phương pháp điều khiển
khác phù hợp hơn. Qua các thí dụ mô phỏng cho thấy việc sử dụng
phương pháp Ritz – Galerkin tương đương với sử dụng phương pháp phần
tử hữu hạn.
CHƯƠNG 4. TUYẾN TÍNH HÓA VÀ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG
TUẦN HOÀN CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ KHÂU ĐÀN HỒI
Luận án này đã đề xuất một phương án tuyến tính hóa hệ phương
trình chuyển động của các hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng quanh
chuyển động cơ bản của cơ cấu. Trong đó chuyển động cơ bản của cơ cấu
là chuyển động của cơ cấu rắn có khâu dẫn quay đều. Ý tưởng của phương

pháp này là đưa phương trình vi phân – đại số về phương trình vi phân
thường bằng phương pháp khử nhân tử Lagrange, sau đó sẽ tuyến tính hóa
phương trình vi phân thường bằng cách khai triển Taylor phương trình này
quanh chuyển động cơ bản.
4.1. Một phương pháp mới tuyến tính hóa các phương trình chuyển
động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng


20
Sau khi đưa hệ phương trình vi phân – đại số của hệ nhiều vật có
cấu trúc mạch vòng (3.1), (3.2) về hệ phương trình vi phân thường (3.8),
(3.9). Tiếp theo sẽ tuyến tính hóa hệ phương trình vi phân thường này
quanh chuyển động cơ bản của hệ.
Gọi s R (t ) là chuyển động cơ bản của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch
vòng. Ta đưa vào kí hiệu:

s =s R + x, s =s R + x , s =s R + x

(4.1)

trong đó x là sai lệch của chuyển động thực so với chuyển động cơ bản.
Đặt: f1 (s, s) = RT (s)M (s)s , k1 (s, s, t ) = RT p1 (s, s, t )
(4.2)
f 2 ( s, s) = Φ s (s) s , k 2 (s, s, t ) = p 2 (s, s, t )

(4.3)

Khai triển Taylor các hàm f1 (s, s) , k1 (s, s, t ) , f 2 ( s, s) , k 2 (s, s, t ) quanh
chuyển động cơ bản s R , s R ,s R , thay vào hệ (3.8), (3.9), bỏ qua các số hạng
phi tuyến ta thu được hệ phương trình tuyến tính:

M R (t )
x + C R (t )x + K R (t )x =
h R (t )
 ∂f1 
  
∂s R 
Với M R (t ) =
, C R (t )
=
∂
 f2 
 ∂s 
R


 ∂k1 
  
∂s R 
=
, K R (t )
∂
 k2 
 ∂s 
R


k (s , s , t ) − f1 (s R , s R ) 
h R (t ) =  1 R R
k 2 (s R , s R , t ) − f 2 (s R , s R ) 

(4.4)
 ∂f1

 ∂s
 ∂f 2
 ∂s


∂k1 

∂s R 
∂k 
− 2 
∂s R 

−
R

R

(4.5)

(4.6)

Theo phương pháp này, các chuyển động cơ bản phải được xác
định. Trong bài toán cơ cấu đàn hồi, giải phương trình (4.4) ta sẽ thu được
các nghiệm x, x , x là các sai lệch của chuyển động thực của cơ cấu đàn
hồi so với chuyển động cơ bản của cơ cấu rắn và các thành phần biến dạng
đàn hồi. Sau đó xác định chuyển động thực dựa vào (4.1).
Trong trường hợp chuyển động cơ bản là bình ổn (khâu dẫn quay

đều) thì các ma trận hệ số của hệ (4.4) là tuần hoàn, phương trình (4.4) sẽ
là phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn. Phương pháp giải rất
hiệu quả cho trường hợp này là phương pháp tích phân Newmark để tìm
nghiệm đầu của phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn [72].
Việc xác định các ma trận hệ số MR, CR, KR, hR có thể thực hiện
bằng phần mềm MAPLE, thông số đầu vào là các ma trận M, p1, f và các


21
chuyển động cơ bản của cơ cấu rắn s R , s R ,s R , việc làm này khá đơn giản và
thuận tiện. Các ma trận trên sẽ được chuyển sang mã Code của phần mềm
MATLAB để tính toán số.
4.2. Tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân
tuyến tính hệ số tuần hoàn bằng phương pháp Newmark
Sử dụng các công thức tích phân Newmark, GS. Nguyễn Văn
Khang và cộng sự đã đưa ra thuật toán tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn
của phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn [67,72].
4.3. Phân tích dao động tuần hoàn cơ cấu bốn khâu có khâu nối đàn hồi
Trong mục này sẽ tính toán dao động tuần hoàn của cơ cấu bốn khâu
với khâu nối đàn hồi khi khâu dẫn quay đều trong các trường hợp: thanh
truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua ảnh hưởng biến dạng dọc) và thanh truyền chỉ
chịu kéo nén dọc (bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng uốn) bằng phương pháp
tuyến tính hóa mà luận án đã đề xuất.
4.3.1. Trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi chỉ chịu uốn
Cho biết chuyển động cơ bản là chuyển động của cơ cấu rắn với
khâu dẫn quay đều:

ϕ=
ϕ1R (0) + Ω =
t , ϕ1R Ω=

, ϕ1R 0
1R ( t )

(4.7)

Kết quả tính toán như Bảng 4.2. Kết quả tính toán biến dạng theo
phương pháp này được so sánh với phương pháp tuyến tính hóa được sử
dụng trong tài liệu [10, 74] như trong Bảng 4.2 và Hình 4.6.
Bảng 4.2. Kết quả tính toán số:
Vận tốc góc Biên độ uốn w tại vị trí giữa thanh x = l2/2, [mm].
(vòng/phút)
Phương pháp cũ [10,74]
Phương pháp mới
600
0.2605
0.2835
900
0.6167
0.6242
1200
1.1330
1.119
Kết luận: Từ kết quả tính toán số cho thấy biến dạng uốn của thanh truyền
tăng khi tăng tốc độ chuyển động, phương pháp mà luận án đã đề xuất cho
kết quả sai khác là không đáng kể so với kết quả tính bằng phương pháp
trước đó. Điều này góp phần khẳng định tính tín cậy của phương pháp
tuyến tính hóa đã đề xuất.


22

1.5
1

w [mm]

0.5
0

-0.5
-1
-1.5

0

2

6

4

Ωt [rad]

8

10

12

14

Hình 4.6. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2,
n = 1200 vòng/phút. ____ Phương pháp mới, …. Phương pháp [10, 74]

4.4. Phân tích dao động tuần hoàn của cơ cấu sáu khâu với hai khâu
nối đàn hồi chịu kéo
nén
Kết quả
mô phỏng được tính
toán trong trường hợp
khâu dẫn quay đều với
vận tốc góc 210
vòng/phút. Kết quả
Hình 4.23. Biến dạng dọc trục của thanh AB trong 1
được tính toán trong
chu kỳ, - - - Thực nghiệm [66], ____ Tuyến tính hóa
thời gian 1 chu kỳ (1
vòng quay). Hình
4.23 và Hình 4.24 lần
lượt là đồ thị đường
cong biến dạng dọc
của thanh truyền AB
Hình 4.24. Biến dạng dọc trục của thanh CD trong 1
chu kỳ, - - - Thực nghiệm [66], _____ Tuyến tính hóa
và thanh truyền CD
0.2

0.1

5

ε [rad]

sử dụng phương pháp
tuyến tính hóa đã đề xuất
(đường liền) và kết quả
đo thực nghiệm [66]
(đường gạch đứt). Trên
các đường cong biến
dạng dọc của lý thuyết và

0

-0.1

-0.2

0

90

180

270

Goc khau dan [do]

Hình 4.25. Sai lệch góc của khâu bị dẫn
O3D trong 1 chu kỳ, ε5 [rad].

360

23
thực nghiệm có sai lệch (sai lệch lớn nhất của thanh AB khoảng 0.3mm,
thanh CD khoảng 0.2 mm), tuy nhiên hình dạng đường cong thực nghiệm
và lý thuyết gần giống nhau. Điều này có thể chấp nhận được và có thể lý
giải là do lý thuyết chưa xét được đầy đủ các yếu tố trong thực tế, thêm vào
đó là ở đây ta đã tuyến tính hóa phương trình chuyển động tức là làm gần
đúng nó. Hình 4.25 là đồ thị sai lệch góc khâu bị dẫn O3D của cơ cấu đàn
hồi so với cơ cấu rắn ( ε=
ϕ5 − ϕ5R ) do biến dạng đàn hồi gây ra, biên độ
5
dao động khoảng 0.15 rad (~ 8.6o).
Kết luận chương 4
Các kết quả chính đạt được trong chương này là:
Xây dựng một phương pháp mới tuyến tính hóa hệ phương trình vi
phân – đại số mô tả chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng
và có khâu đàn hồi. Thuật toán tuyến tính hóa tổng quát và có sơ đồ tính
toán khá đơn giản, rõ ràng, có khả năng áp dụng các phần mềm như
MAPLE, MATLAB để tuyến tính hóa. Áp dụng phương pháp Newmark
tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân tuyến tính
hệ số tuần hoàn vào tính toán dao động tuần hoàn của cơ cấu bốn khâu và
cơ cấu sáu khâu có các khâu nối đàn hồi. Các kết quả tính toán theo
phương pháp đề xuất trong luận án phù hợp với kết quả thực nghiệm và
các kết quả tính theo phương pháp khác.