SKKN dạy phụ đạo phần tính thể tích khối chóp trong chương trình hình học lớp 12 ở lớp có nhiều học sinh học yếu, kém môn toán

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Đổi mới căn bản toàn diện trong giáo dục theo tinh thần Nghị quyết số 29NQ/TW ngày 4/11/2013 của Ban chấp hành Trung ương Đảng, mà trọng tâm là đổi
mới phương pháp dạy học không chỉ là nhiệm vụ của mỗi giáo viên, học sinh mà là
nhiệm vụ chung của nhiều cấp học, bậc học trong toàn ngành. Muốn thực hiện có
hiệu quả nhiệm vụ này, chúng ta phải từng bước đổi mới sao cho phù hợp với tình
hình thực tế, phù hợp với đối tượng học sinh. Do đó trong quá trình dạy học, đòi
hỏi mỗi người giáo viên cần phải tích cực học tập, không ngừng cố gắng để nâng
cao chuyên môn, nghiệp vụ, sử dụng phương pháp dạy học theo hướng phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh. Mỗi người giáo viên cần
phải làm và có thể llàm cho học sinh của mình đều tiếp thu được những kiến thức
tối thiểu mà chương trình sách giáo khoa qui định. Tuy nhiên hiện nay, phần lớn
học sinh còn học tập một cách thụ động, chưa tích cực phát huy tư duy, sáng tạo và
thiếu vận dụng kiến thức vào thực tế, đặc biệt là việc học của học sinh đối với phần
tính thể tích khối chóp trong chương trình hình học lớp 12, đây là một trong những
dạng bài thường gặp trong đề thi của kì thi THPT Quốc gia, là dạng toán có ý nghĩa
quan trọng trong việc phát huy năng lực của người học... nhưng đa phần các em
học sinh lại không biết làm, thậm chí ngại làm, không thích làm dạng bài này.
Qua nhiều năm giảng dạy môn học này, tôi cũng đúc kết được một số kinh
nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, tôi xin đề cập tới vấn đề:
“ Dạy phụ đạo phần tính thể tích khối chóp trong chương trình hình học lớp 12
ở lớp có nhiều học sinh học yếu, kém môn Toán”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Khi tìm hiểu tình hình, tôi nhận thấy: Sở dĩ có tình trạng trên là bởi đa số
học sinh lớp 12 bị hổng kiến thức cơ bản của hình học từ lớp dưới dẫn đến tâm lí
ngại học hình, nhất là hình học không gian nên các em thường bỏ qua, không quan
tâm, thậm chí không làm bài tập dạng này nếu gặp trong đề thi. Để giải được dạng
bài tập này ngoài việc phải vẽ được hình đúng, học sinh còn cần phải nắm vững
một hệ thống các kiến thức cơ bản có liên quan từ lớp 9 đến lơp 12. Chinh vì vậy,
dù là những bài toán đơn giản nhưng các em cũng thấy khó. Vậy, dạy hoc sinh như
thế nào để mang lại hiệu quả cao nhất, đặc biệt là ở lớp có nhiều học sinh học yếu,

kém môn Toán? Đó chính là điều tôi muốn chia sẻ, trao đổi và học tập kinh nghiệm
từ đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Từ những hiện trạng trên tôi mạnh dạn đề ra ý tưởng đưa ra phương pháp
dạy học môn hình học không gian phù hợp với lớp có nhiều học sinh học yếu, kém
1


môn Toán của trường THPT Yên Định 2, tạo hứng thú học tập cho các em. Giúp
học sinh biết cách phân loại và nhận dạng và giải quyết các bài toán tính thể tích
khối chóp để từ đó tránh được cảm giác “e ngại", "sợ”, học môn Hình học. Giúp
cho học sinh khá, giỏi định hướng tư duy, giải quyết các bài toán thường gặp trong
đề thi THPT Quốc Gia. Rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán các bài tập một
cách có hệ thống, chính xác và lôgíc. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học
sinh đối với môn toán hình và các môn học khác.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Kiểm tra, phân loại đối tượng học sinh.
- Xây dựng kế hoạch dạy học.
- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản của hình học đã học ở lớp 9, 10, 11 có
liên quan.
- Chuẩn bị các dạng bài tập, ví dụ.
- Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán từ dạng bài dễ đến dạng khó.
Học sinh vận dụng thực hành giải bài tập trên lớp, ở nhà....
- Đánh giá kĩ năng thông qua việc vận dụng giải bài tập của học sinh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình dạy học nêu vấn đề và giải quyết vấn đề thì việc giáo viên
cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những
điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo
của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Mỗi tình huống có vấn đề được nêu ra có

tác động nhất định đến quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích
các em phát triển, bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh
vực kiến thức, kĩ năng nhất định.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Đổi mới phương pháp giáo dục mà trọng tâm là đổi mới phương pháp dạy và
học không phải là việc làm riêng của một lớp hoặc một cấp học nào mà là nhiệm vụ
chung của nhiều bậc học. Việc giảng dạy Toán trong lớp có nhiều học sinh yếu,
kém mỗi giáo viên làm theo một trình tự khác nhau, phần lớn được hình thành
trong kinh nghiệm của giáo viên chứ chưa có sự đầu tư, nghiên cứu tường tận. Vì
thế, hiệu quả của công tác này thường không cao. Đối với học sinh học yếu, kém về
môn Toán có những biểu hiện: Có nhiều lỗ hổng về kiến thức, kỹ năng; tiếp thu
chậm; năng lực tư duy yếu; có thái độ thờ ơ với việc học, thiếu tự tin; kết quả học
tập thường xuyên dưới trung bình...
Hiện tượng học sinh học yếu, kém về môn Toán không phải chỉ có ở những
vùng điều kiện kinh tế khó khăn mà còn có ở những vùng điều kiện kinh tế thuận
2


lợi hơn. Thực tế cho thấy có những em nhà ở cách trường 9- 10km, những ngày
mưa gió các em đến trường rất vất vả, mùa đông các em đi học còn mang theo cả
đèn pin. Nhưng bên cạnh đó những em nhà ở gần trường, điều kiện kinh tế gia đình
khá giả nhưng vì không chịu học, ham chơi nên cũng dẫn đến kết quả yếu, kém. Đó
là những nguyên nhân chủ quan dẫn đến tình trạng học yếu, kém môn Toán của học
sinh, ngoài ra cũng còn nhữn nguyên nhân khách quan sau:
+ Về phía giáo viên:
- Chưa thật nắm vững những yêu cầu về kiến thức, kỹ năng của từng bài; việc
giảng dạy mang tính chất dàn trải, còn ham mở rộng kiến thức.
- Chưa chú ý đúng mức tới đối tượng học sinh yếu kém, chưa theo dõi sát sao
và kịp thời xử lí những biểu hiện sa sút của học sinh, thường chú ý đến những học
sinh khá, giỏi.

- Tốc độ giảng dạy kiến thức mới, luyện tập còn nhanh, khiến học sinh yếu,
kém không theo kịp.
+ Về phía phụ huynh:
- Thiếu sự quan tâm đến việc học tập của con cái, phó mặc cho nhà trường.
- Gia đình học sinh gặp nhiều khó khăn về kinh tế hoặc đời sống tình cảm.
Đứng trước thực trạng trên, sau đây tôi xin giới thiệu qui trình giáo dục
hướng tới đối tượng học sinh yếu, kém và xem việc thực hiện qui trình này là một
trong những điểm mấu chốt của công tác khắc phục tình trạng học kém môn Toán
của học sinh hiện nay.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Chuẩn bị kiến thức
Thứ nhất, bản thân giáo viên phải nắm vững nội dung và khối lượng kiến
thức, kỹ năng cần có trong quá trình giảng dạy. Muốn vậy, điều quan trọng là giáo
viên phải nghiên cứu sâu những tài liệu chỉ đạo của Bộ giáo dục, Sở giáo dục,...các
hướng dẫn thực hiện chương trình sách giáo khoa, sách giáo viên, đọc nhiều tài liệu
viết về các vấn đề cần nghiên cứu, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội dung cần
phân tích, cố gắng kết hợp với hình ảnh trực quan để làm nổi bật được nội dung cần
phân tích.
Thứ hai, giáo viên cần phân loại được đối tượng học sinh, cần biết những
kiến thức, kỹ năng cần thiết đã có sẵn ở những học sinh học yếu, kém tới mức độ
nào và điều này giáo viên phải theo dõi trong quá trình giảng dạy.
Thứ ba, giáo viên phải tìm cách lấp lỗ hổng kiến thức cho học sinh thông qua
quá trình học lí thuyết và làm bài tập. Giáo viên cần tập cho học sinh có ý thức tự
3


phát hiện những lỗ hổng kiến thức của bản thân mình và biết cách tra cứu tài liệu,
sách vở để tự lấp lỗ hổng đó.
2.3.2. Luyện tập vừa sức học sinh yếu, kém.
Đối với học sinh yếu, kém, giáo viên nên coi trọng tính vững chắc của kiến

thức, kĩ năng hơn là chạy theo mục tiêu, tiền đề cao, mở rộng kiến thức. Do đó khi
hướng dẫn học sinh luyện tập cần chú ý:
- Đảm bảo học sinh hiểu được bài: Học sinh học yếu, kém nhiều khi gặp bế tắc
ngay từ bước đầu tiên, không hiểu bài toán nói gì nên không thể giải được toán. Vì
vậy, giáo viên cần lưu ý phân tích đề bài cho học sinh, làm cho học sinh tháy được
cái gì mà đề bài đã cho, cái gì cần phải tìm, nhằm giúp cho học sinh tháo gỡ được
bế tắc đầu tiên đó.
- Đưa ra nhiều bài tập cùng thể loại và cùng mức độ. Học sinh yếu, kém cần giải
những bài tập cùng thể loại, cùng mức độ với số lượng nhiều hơn so với các em có
lực học trung bình, khá, giỏi.
- Mức độ bài tập cũng tăng dần, không phân hoá rõ rệt để các em không bị hụt hẫng
nhằm giúp các em yên tâm hơn, tâm lí tự tin hơn vào sức mình.
- Giáo viên cần nghiêm khắc uốn nắn những thói quen xấu của học sinh như: Chưa
học kĩ lý thuyết đã làm bài tập, không đọc kĩ đề bài, tính toán cẩu thả, trình bày tuỳ
tiện, ỉ lại, dựa dẫm,…Nhưng bên cạnh đó, một việc không thể thiếu được đó là giáo
viên cần phải có lời khen, lời động viên, khích lệ kịp thời nếu các em làm đúng và
cần đi sát, đôn đốc, giúp đỡ, động viên những em chưa làm được.
Trong một buổi dạy phụ đạo về phần tính thể tích khối chóp, ngoài yêu cầu
học sinh đọc kĩ đề bài, phân tích giả thiết bài toán, vẽ hình đúng ta cần phải chú ý
đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay
không? Hình vẽ như thế tốt chưa? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay
không? Để giải quyết một vấn đề ta cần phải bắt đầu từ đâu? Nội dung kiến thức
nào liên quan đến vấn đề đó, trình bày như thế nào cho đúng? Ngoài ra cần nắm
vững hệ thống lí thuyết, phương pháp làm cho từng dạng như: Khối chóp có cạnh
bên vuông góc với đáy; Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy; Khối chóp
đều; Khối chóp có các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau; Khối chóp có các
mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau,…Có như thế mới giúp chúng ta giải quyết
được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn.
Sau đây tôi trình bày giáo án dạy phụ đạo ở lớp 12C6 khi học về phần tính
thể tích khối chóp.

Hoạt động 1: Hệ thống các kiến thức có liên quan
a) Hệ thống các kiến thức hình học phẳng (lớp 9,10,11)

4


Phần này giáo viên cho học sinh chuẩn bị trước ở nhà, ghi đầy đủ từng mục ra vở.
Nội dung gồm:
- Hệ thức lượng trong tam giác
- Các điểm đặc biệt trong tam giác và cách xác định chùng (trọng tâm, trực
tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác)
- Định lý sin, côsin và trung tuyến
- Các công thức tính diện tích (tam giác, hình thang, hình vuông, hình chữ
nhật, hình thoi, hình bình hành, hình tròn)
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
- Cách xác định góc (góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng với mặt
phẳng, góc giữa hai mặt phẳng)
- Khoảng cách (Khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách
giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau)
- Hình vẽ và tính chất của một số hình chóp đặc biệt
* Hình chóp tam giác đều
S

A

h

α

C

β
H
B

I

. Đáy là tam giác đều
. Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
. Đáy là tam giác đều
. Các mặt bên là những tam giác đều
5


Cách vẽ: . Vẽ đáy ABC
. Vẽ trung tuyến AI
. Dựng trọng tâm H
. Vẽ SH ⊥ (ABC)
Ta có:

. SH là đường cao của hình chóp
·
. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là SAH
=α

·
=β
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy là SIH

* Hình chóp tứ giác đều
S

A

D
β

B

α

H

I

C

. Đáy là hình vuông
. Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ: . Vẽ đáy ABCD
. Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC và BD
. Vẽ SH ⊥ (ABCD)
Ta có:

. SH là đường cao của hình chóp

·
. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là SAH
=α
·
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy là SIH
=β

* Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy.

6


S

β

A

C

α
B

. SA ⊥ (ABC)
·
. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là SBA
=α
·
. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là SCA
=β

S

ϕ

A
α

D

β

B

C

. SA ⊥ (ABCD)
·
. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là SBA
=α
·
=β
. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là SCA
·
=ϕ
. Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là SDA

b) Hệ thống các kiến thức hình học 12
* Công thức tính thể tích khối chóp
1
V = Bh

3

B: Diện tích đáy
h: Độ dài đường cao
* Công thức tỉ số thể tích
Cho khối tứ diện S.ABC và A' , B ' , C ' là các điểm tuỳ ý khác S lần lượt thuộc SA, SB,
V

SA SB SC

S . ABC
= '. '. '
SC. Khi đó: V
SA SB SC
S.A B C
' '

'

7


* Phương pháp thông thường tính thể tích của một khối chóp
1
3

- Phương pháp 1: Sử dụng công thức: V = Bh qua các bước cơ bản:
+ Bước 1: Xác định đường cao và tính độ dài đường cao của hình chóp
Để tìm chân đường cao của hình chóp ta cần lưu ý một số đặc điểm thường gặp như
sau:

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau ( cạnh bên cùng hợp với đáy các góc
bằng nhau): chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Hình chóp có các mặt bên cùng hợp với đáy các góc bằng nhau: chân đường
cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy (cách đều các cạnh đáy)
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: đường cao của hình chóp là
đường cao của mặt bên đó hạ từ đỉnh của hình chóp ( chân đường cao nằm trên
giao tuyến của mặt bên đó với mặt phẳng đáy)
Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy: đường cao của
hình chóp là cạnh chung của hai mặt bên đó.
Hình chóp đều: chân đường cao là tâm của đa giác đáy.
Bước 2: Tính diện tích đáy
1
3

Bước 3: Thay vào công thức V = Bh rồi kết luận.
Hoạt động 2: Luyện tập một số dạng toán tính thể tích khối chóp thường gặp
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

S

* Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) ; SA = a; đáy là tam giác vuông
cân AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ chân đường cao hạ từ A của
∆ SAC.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC
b. CMR: SC ⊥ ( AB ' C ')
c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’
Lời giải:
a) Ta có :
VS . ABC =

C'

1
1 a2
a3
S ABC .SA =
a=
3
3 2
6

b) Ta có :
A

B'

B

C

BC ⊥ AB 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' (1)
BC ⊥ SA 
Mặt khác, ∆SAB cân tại A nên SB ⊥ AB ' (2)
Từ (1) và (2) => : AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB' ⊥ SC (3)
8


Mà AC ' ⊥ SC (4)
Từ (3) và (4) => SC ⊥ ( AB ' C ')

c) Sử dụng tỉ số thể tích và hệ thức lượng
trong tam giỏc vuông, ta có :

VS . AB 'C ' SA SB ' SC '
1 SA 2 1
SA 2
=
= 1. . 2 = . 2
VS . ABC
SA SB SC
2 SC
2 SA + AC 2
1
SA 2
1
a2
1
= . 2
=
=
2
2
2
2
2
2 SA + AC + BC
2 a +a +a
6
⇔ VS . AB 'C '

1
1 a3 a3
= VS . ABC = . =
6
6 6 36

* Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ ( ABCD ) và
(SCD) hợp với đáy một góc 60 0
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
2) Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Lời giải
1)Ta có: ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD

S

SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AD là hình chiếu của SD lên
(ABCD) mà CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD (Định lí ba

H

đường vuông góc)
A

60o

D

(

)

·
SCD ), ( ABCD) = SDA
= 600
Do đó, (·

Ta thấy, ∆ SAD vuông tại A nên
B

C

SA = AD.tan 600 = a 3
1
1
a3 3
2
Vậy: V = S ABCD .SA = a 3.a =
3
3
3

2) Cách 1:
Dựng AH ⊥ SD (1)
CD ⊥ AD 
Ta có :
 ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH
CD ⊥ SD 

( 2)

Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = AH
9


Ta lại có ∆ SAD vuông tại A và AH ⊥ SD ⇒

1
1
1
1
1
4
=
+
= 2 + 2 = 2
2
2
2
AH
SA
AD
3a
a
3a

2
⇒ AH 2 = 3a ⇒ AH = a 3
4
2

Vậy d ( A; ( SCD ) ) = AH =
1
2

Cách 2: Ta thấy VS . ACD = VS . ABCD =
VS . ACD = V A.SCD

=

a 3
2

a3 3
6

3V A.SCD
3V A.SCD
1
a3 3
= d ( A, ( SCD)).S SCD ⇒ d ( A, ( SCD )) =
=
=
1
3
S SCD
2a 2
2
2
CD. SA + AD
2

a 3
2

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
* Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên
SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD).
1) CMR: Chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm của cạnh AB
2) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
S

A

D

2) Ta có : ∆ SAB đều nên SH =

H

B

Lời giải
1) Gọi H là trung điểm của AB
∆ SAB đều
Suy ra SH ⊥ AB
mà ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
Vậy H chân đường cao của khối chóp

C

a 3
2

Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là:
1
a3 3
V = S ABCD .SH =
3
6

* Ví dụ 2: (Khối B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh 2a, SA= a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích của khối chóp S.BMDN theo a

10


Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên
AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Tacó
:

S

A

D

H

M

B

⇒ SH =

C

N

SA 2 + SB 2 = a 2 + 3a 2 = 4a 2 = AB 2 ⇒ ∆SAB
AB
= a.
Vuông tại S ⇒ SM =
2
Dođó ∆SAM đều
a 3
, ( SM = SA = AM = a)
2

Diện tích tứ giác BMDN là:
S BMDN = S ABCD − S MAD − S NCD = 4a 2 − a.2a = 2a 2

Vậy thể tích của khối chóp cần tìm là:
Vs.BMDN

1 2 a 3 a3 3
= .2a .
=
3

2
3

Dạng 3: Khối chóp đều
* Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
2a. Chứng minh rằng: Chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác
đều ABC. Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Lời giải
S
Dựng SO ⊥ ( ABC )
Ta có SA = SB = SC ⇒ OA = OB = OC
Do đó O là tâm của tam giác đều ABC
AO =

A

11a 2
3
3
1
a 11
= S ABC .SO =
3
12

∆SAO(O = 90 0 ) ⇒ SO 2 = SA 2 − OA 2 =

C
O

2
2a 3 a 3
AH =
=
3
3 2
3

⇒ SO =

H

B

a 11
3

⇒ VS . ABC

* Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng ϕ (0 0 < ϕ < 90 0 )

(

)

a) Tính tan (·SAB), ( ABCD) theo ϕ
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và ϕ
Lời giải
a) Gọi O là tâm hình vuông

11


(

Ta có: SM ⊥ AB
C

(

)

∆ SAO có : SO = AO.tan SAO = a 2 tan ϕ

M

2
SO
∆ SMO có: tanSMO =
= 2 tan ϕ
MO

A

N

) (

·
⇒ (·

SAB ), ( ABCD) = SAO

B
O

D

)

·
=ϕ
Ta có : SO ⊥ ( ABCD) ⇒ SAO
Gọi M là trung điểm của AB

S

b) Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
1
a3 2
V = S ABCD .SO =
tan ϕ
3
6

Dạng 4: Khối chóp có các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau
* Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 3a, AD = 4a. Các
cạnh bên hợp với đáy góc α . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Lời giải
S

Kẻ SO ⊥ ( ABCD )
·
·
·
·
Khi đó : SAO
= SBO
= SCO
= SDO
=α

C

B

Ta có :

O

D

⇒ AO = BO = CO = DO =

A

SO
tan α

1
1

1
5a
BD =
AB 2 + AD 2 =
9a 2 + 16a 2 =
2
2
2
2
5a
⇒ SO = BO.tan α = . tan α
2
1
1
V = S ABCD .SO = AB. AD.SO
3
3
1
5a
= 3a.4a. .tan α = 10a 3 tan α
3
2
BO =

* Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a,
SA = SB = SC = 2a và góc ABC bằng α . Gọi H là hình chiếu của S trên BC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α
12

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAH)
c) Cho (P) là mặt phẳng đi qua A, trọng tâm tam giác SBC và song song với BC
chia khối chóp S.ABC thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần
Lời giải
a)Ta có SA = SB = SC nên HA = HB = HC

S

∆ABC ( A = 90 0 ) ⇒ AB = BC cos α = a cos α
; AC = BC sin α = a sin α

B'

Ta lại có:

C'

a 2 a 15
=
4
4
15 sin 2α
48

SH 2 = SB 2 − BH 2 ⇒ SH = 4a 2 −

B

C
H

Do đó, VSABC =

1
a3
AB. AC.SH =
6

b) Gọi V’là thể tích của khối chóp S.ABH
Ta có :
A

1
1
a 3 15 sin 2α
V ' = VSABC =
(vì S ABH = S ABC )
2
2
96
1
1 a 15
S SAH = SH . AH =
a cos α .sin α
2
2 4
a 2 15 sin 2α
=
16

Khoảng cách từ B đến (SAH) là:
3V '

1

d(B,(SAH)) = S = 2 a
SAH
c) Ta có (P) // BC nên cắt (SBC) theo giao
tuyến B’C’// BC. Do đó:
SB ' SC ' 2
=
= ⇒
SB
SC
3
VSAB ' C '
SA. SB ' SC ' 4
=
.
.
=
VSABC
SA SB SC
9
⇒VSAB ' C '

4
a 3 15 sin α
= VSABC =
9

108

Từ đó : V ABB 'C 'C = VSABC − VSAB 'C ' =

5a 3 15 sin 2α
432

Dạng 5: Khối chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau
13


* Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và
các mặt bên tao với đáy một góc 60 0 . Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
S
Lời giải
Kẻ SH ⊥ ( ABC ) và HA’, HB’, HC’ lần lượt
vuông góc với BC, CA, AB.
C
Theo định lí ba đường vuông góc ta có:
B'
SA ' ⊥ BC , SB ' ⊥ CA, SC ' ⊥ AB
A
· ' H = SB
· ' H = SC
· ' H = 600
⇒ SA
|H
A'
⇒ ∆ SHA ' = ∆ SHB ' = ∆SHC '
C'

⇒ HA ' = HB ' = HC '
Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Do tam giác ABC cân ở A nên AH
vừa là đường phân giác, vừa là đường cao,
vừa là đường trung tuyến => A, H, A’ thẳng
hàng và A’ là trung điểm của BC. Do đó:

B

AA' 2 = AB 2 − BA' 2 = 25a 2 − 9a 2 = 16a 2

Vậy AA’= 4a
Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC
r là bán kính đường tròn nội tiếp của nó
1
3
∆
S ABC
= 6a.4a = 12a 2 = pr = 8ar ⇒ r = a
2
2
3a
3 3a
SH = HA '.tan 600 =
3=
2
2
1
3

Vậy: V = .12a 2 .

3 3
.a = 6 3a 3
2

* Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, AC = 6, BD = 8. Các mặt
bên của hình chóp hợp với đáy một góc 45 0 . Tính thể tích của khối chóp đó.
Lời giải
Kẻ SO ⊥ ( ABCD ) , SH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ OH
Như vậy:

S

·
= 450
( ( SAB ) , ( ABCD)) = SHO

C

K

B

M

|H

O

D

N

A

Từ đó, ∆ SOH là tam giác vuông cân tại O
Tương tự, kẻ SK ⊥ BC , SM ⊥ CD , SN ⊥ DA thì các tam
giác SOK, SOM, SON đều là các tam giác vuông cân tại
O . Ta có :
∆SOH = ∆SOK = ∆SOM = ∆SON ⇒ OH = OK = OM = ON

14


Vậy O là tâm của đường tròn nội tiếp của hình thoi
ABCD
Trong tam giác OAB :
OH . AB = OA.OB ⇒ OH =
⇒ SO = OH =

OA.OB 3.4 12
=
=
AB
5
5

12
5

Thể tích của khối chóp cần tìm là:
1 1
1 1
12 96
V = . . AC.BD.SO = . .6.8. =
3 2
3 2
5
5

Hoạt động 3: Một số bài tập về nhà
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai đỉnh B, cạnh bên
SA vuông góc với đáy. Biết SA= AB = BC = a.Tính thể tích của khối chóp S.ABC
(Đề thi tốt nghiệp THPT-2007)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B,BA=a.Đường thẳng SA vuông goc với (ABC) và SA= a 2 . Gọi H, K lần lượt là
hình chiếu của A trên SB và SC.Tính độ dài đoạn SC và tính thể tích của khối chóp
S.AHK theo a
(Đề thi tốt nghiệp THPT-2009)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng 60 0 .Tính thể tích
của khối chóp ABCD theo a.
(Đề thi tốt nghiệp THPT-2010)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ,gócABC = gócBAD= 90 0 ,
BC=BA=a ,AD=2a.Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 2 .Gọi H là hình
chiếu của A trên SB.Chứng minh rằng ∆SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến
(SCD)
(Tuyển sinh đại học khối D-2007)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a và SA ⊥

(ABC) .Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC.
Tính thể tích của khối chóp A.BCNM
(Tuyển sinh đại học khối D-2006)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a .Mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông với đáy .Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của SB, BC và CD . Chứng minh rằng : AM ⊥ BP .
Tính thể tích khối tứ diện CMNP.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại Avà D; AB=
AD= 2a; CD = a; Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là
trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với
(ABCD), tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a
(Tuyển sinh đại học khối A- 2009)
15


Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB= a, SA= a 2 .Gọi M,N,P lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA,SB,CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông
góc với đường thẳng SP. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo a.
(Đề thi cao đẳng khối A,B,D- 2009)
Ghi chú: Trong các ví dụ ở mỗi dạng toán trên, ví dụ 1 giáo viên hướng dẫn , đồng
thời cho lớp thảo luận, đưa ra lời giải nhưng đến ví dụ 2 thì giáo viên để cho mỗi
học sinh tự suy nghĩ và xung phong lên bảng trình bày lời giải.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng ngiệp và nhà trường
Trong quá trình thực hiện chuyên đề này, tôi đã tăng cường kiểm tra học sinh
kiến thức cơ bản có liên quan, rèn kĩ năng vẽ hình, giúp học sinh biết tưởng tưởng
hình khối trong không gian và hướng dẫn các em biết phân tích bài toán theo
phương pháp phân tích đi lên để tìm lời giải .
Sau khi học xong chuyên đề này, học sinh đã biết tự phân tích bài toán, kiến
thức môn học được củng cố và khắc sâu hơn. Đặc biệt, các em trong đối tượng

trung bình yếu, mức độ tư duy vừa phải đã biết tự vẽ hình và làm được những bài
toán đơn giản. Những em học lực khá, giỏi biết làm những bài tập nâng cao hơn.
Hơn thế nữa, thông qua hoạt động nhóm các em còn biết cách làm việc tập thể, biết
hỗ trợ cho nhau, tạo sự đoàn kết, gắn bó mật thiết, biết tranh luận và tự tin khi trình
bày ý kiến và không khí lớp học sôi nổi hơn.
Kết quả kiểm tra cụ thể
* Kết quả kiểm tra khảo sát đầu năm ở lớp 12C6
STT

Nội dung

Kết quả

1
2

Không khí học tập
Mức độ tự giác

Nặng nề, uể oải
Thụ động, ít phát biểu

3

Mức độ hiểu bài

Khoảng 45%

4
5

Mức độ vận dụng
Mức độ yêu thích môn học

Khoảng 30%
Rất ít

Giỏi

0%

Khá
Trung bình

10,4%
41,6%

Yếu, kém

48%

Học lực

* Kết quả kiểm tra đánh giá cuối năm ở lớp 12C6

16


STT

Nội dung

Kết quả

1
2

Không khí học tập
Mức độ tự giác

Hào hứng, sôi nổi
Chủ động, phát biểu nhiều

3

Mức độ hiểu bài

Khoảng 90%

4
5

Mức độ vận dụng
Mức độ yêu thích môn học

Khoảng 80%
Nhiều

Giỏi

18,5%

Khá
Trung bình

31,7%
37,5%

Yếu, kém

12,3%

Học lực

Kết quả trên là niềm động viên, cổ vũ và khích lệ không những đối với riêng tôi mà
còn góp phần nhỏ bé cùng với nhà trường trong công tác giáo dục theo phương
pháp đổi mới hiện nay. So với kết quả trước, các em đã thật sự có nhiều tiến bộ, tỉ
lệ học sinh khá, giỏi tăng lên rõ nét. Tuy nhiên, để có nhiều thành công thì không
chỉ dừng lại ở một kết quả đó mà mỗi giáo viên chúng ta phải ra sức thu thập, đúc
rút nhiều kinh nghiệm hơn nữa và điều quan trọng nữa là chúng ta phải dạy học
bằng tâm, phải yêu học trò bằng chính trái tim của mình.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Toán học rộng vô biên, phương pháp luận là vô cùng. Do đó, đây chỉ là một
chuyên đề trong rất nhiều các chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương
pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Để phát huy năng lực của
học sinh, giáo viên trước hết phải cung cấp và hướng dẫn học sinh nắm chắc kiến
thức cơ bản. Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán, cách
trình bày lời giải bài toán. Từ đó, học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức
cơ bản, phân tích, tìm ra hướng giải. Quan trọng nhất là: học sinh trở nên tự tin hơn
khi gặp một bài toán khó, có sự hứng thú say mê, tích cực học tập và tự nghiên cứu

môn toán.
Dạng toán về thể tích của khối chóp rất đa dạng với vô vàn các bài
toán, việc tìm ra một lời giải hợp lí, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một điều không
phải lúc nào cũng đơn giản. Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai, ứng dụng,
phát huy, mở rộng như một chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi cho các em học sinh
lớp 11 và 12.
17


Với kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế và thời gian có hạn, tôi chỉ đề cập
đến những bài toán điển hình sao cho phù hợp với các đối tượng học sinh trong một
vài lớp, do đó sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng
góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ
hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Yên Định, ngày tháng năm 2018
Người viết sáng kiến

Nguyễn Thị Thu

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 . Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học 11,12 ban cơ bản.
2. Sách bài tập hình học 12 ban cơ bản và nâng cao - Nhà xuất bản
giáo dục, năm 2007.
3. Các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi vào các trường đại học, cao
đẳng trong cả nước.
4. Chuyên đề thể tích của khối đa diện ( Math.com)

19