Định lí ostrogradsky – gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí (2018)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ ANH

ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG
TRƢỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ ANH

ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG
TRƢỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này đƣợc hoàn thành tại khoa Vật lí, ngành Sƣ phạm Vật lí –
Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2
Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn
Thị Phƣơng Lan, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết
– Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, Thƣ viện trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội
2 đã tạo điều kiện cho cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành công trình nghiên cứu này.
Do những điều kiện chủ quan và khách quan chắc chắn luận văn này không
thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp
của thầy cô và các bạn.
Trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng… năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Anh


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan những gì viết trong khóa luận “Định lí Ostrogradsky –
Gauss trong trƣờng vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí” là kết
quả nghiên cứu của cá nhân dƣới sự hƣớng dẫn của Thạc sĩ Nguyễn Thị Phƣơng
Lan. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng… năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Anh


DANH MỤC VIẾT TẮT

Từ viết tắt

Từ đầy đủ

Rota

Rotation

Dive

Divergence

O–G

Ostrogradsky – Gauss


DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1: Hình ảnh mạt sắt dƣới tác động của từ trƣờng tạo thành từ phổ và
biểu đồ gió
Hình 1.2: Điểm gốc
Hình 1.3: Điểm uốn
Hình 1.4: Hình dạng lòng chảo
Hình 1.5: Hình ảnh của của trƣờng lực f tại các điểm (0,0); (1,1); (-1,2);
(-2,-4); (4,4)

Hình 1.6: Minh họa chiều dƣơng của chu tuyến
Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy
Hình 1.8: Đƣờng sức trong điện trƣờng
Hình 1.9: Đƣờng dòng của dòng nƣớc
Hình 1.10: Ống dòng
Hình 1.8: Mặt S và các vector vi phân diện tích d S  ndS
Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 1
3. Đối tƣợng nghiên cứu........................................................................................ 2
CHƢƠNG I: TRƢỜNG VECTOR ....................................................................... 4
1.1 Trƣờng vector .................................................................................................. 4
1.1.1. Khái niệm trƣờng vector ............................................................................. 4
1.1.2. Ví dụ cụ thể về trƣờng vector...................................................................... 5
1.2. Rotation .......................................................................................................... 7
1.3. Đƣờng dòng .................................................................................................. 11
1.3.1. Trƣờng vận tốc .......................................................................................... 11
1.3.2. Đƣờng dòng ............................................................................................... 12
1.4. Thông lƣợng và Divergence của trƣờng vector ........................................... 15
1.4.1. Thông lƣợng của một trƣờng vector ......................................................... 15
1.4.2. Divergence của trƣờng vector ................................................................... 16
1.4.3. Ý nghĩa của divergence ............................................................................. 19
CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƢỜNG
VECTOR ............................................................................................................. 20
2.1. Đinh lí Ostrogradsky- Gauss ........................................................................ 20
2.2. Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trƣờng ............................................. 21

2.3. Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trƣờng ................................................ 26
Chƣơng 3. Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector vào giải
các bài toán vật lí ................................................................................................. 30
3.1. Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng trụ . 32
3.2. Dạng 2: Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng cầu
............................................................................................................................. 40
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 51


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài tập vật lí có vai trò rất quan trọng trong nhận thức và phát triển tƣ
duy cho ngƣời học. Nó giúp cho ngƣời học đào sâu và mở rộng kiến thức đã
học, từ đó sẽ hình thành những kĩ năng kĩ xảo để giải từng lạo bài tập. Vì vậy
việc đƣa ra các dạng và phƣơng pháp giải chung cho từng dạng đó là rất cần
thiết.
Vật lí lí thuyết là bộ môn khoa học nghiên cứu về các vấn đề nhƣ cơ học
lí thuyết, điện động lực học, vật lí thống kê, cơ học lƣợng tử. Là bộ môn
chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí . Dựa trên nền tảng là các
mô hình vật lí , các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí .Thuyết vật lí
là sự hiểu biết tổng quát nhất của con ngƣời trong một lĩnh vực, một phạm vi
vật lí nhất định. Dựa trên một mô hình vật lí tƣởng tƣợng, các nhà vật lí lí
thuyết bằng phƣơng pháp suy diễn, phƣơng pháp suy luận toán học đã đề ra
một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lí vật lí dùng làm cơ sở để
giải thích các hiện tƣợng, các sự kiện vật lí và để tạo ra khả năng tìm hiểu,
khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn.
Sau khi tìm hiểu bộ môn tôi đã biết một số nguyên lí đặc trƣng và trong
đó có định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector là một định lí quan
trọng. Tôi nhận thấy đây là một phần khó phải biết đƣợc bản chất vật lí và

phƣơng pháp toán học ( giải tích vector hay tính các loại tích phân,.....) trong
khi đó kiến thức toán học còn hạn chế. Do vậy việc giải các bài toán vật lí sẽ
gặp rất nhiều khó khăn. Chính vì lí do đó nên tôi chọn đề tài:“ Định lí
Ostrogradsky – Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các
bài toán vật lí ”
2. Mục đích nghiên cứu

1


Tìm hiểu về trƣờng vector
Tìm hiểu về định lí Ostrogradsky- Gauss trong trƣờng vector ( điện
trƣờng và trong từ trƣờng)
Phƣơng pháp giải một số bài toán vật lí
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Trƣờng vector
Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector (điện trƣờng và từ
trƣờng)
Một số bài toán vật lí
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về trƣờng vector
Nghiên cứu về định lí Otragradsky – Gauss trong trƣờng vector (điện
trƣờng và từ trƣờng)
Nghiên cứu một số phƣơng pháp giải các bài toán vật lí
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo
Thống kê, lập luận, diễn giải
6.Cấu trúc của đề tài
Chƣơng 1.Trƣờng véc tơ
1.1. Khái niệm trƣờng véc tơ

1.2. Rotation
1.3. Đƣờng dòng
1.4. Thông lƣợng và Divergence của trƣờng vector
Chƣơng 2. Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector
2.1. Định lí Ostrogradsky – Gauss
2.2. Định lí Ostrogradsky – Gauss trong điện trƣờng
2.3. Định lí Ostrogradsky – Gauss trong từ trƣờng

2


Chƣơng 3 . Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng
vector vào giải các bài toán vật lí
3.1. Dạng 1 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng
trụ
3.2. Dạng 2 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng
cầu
3.3. Dạng 3 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng
phẳng

3


CHƢƠNG I: TRƢỜNG VECTOR
1.1 Trƣờng vector
1.1.1. Khái niệm trường vector
Một số hình ảnh của trƣờng vector

Hình 1.1: Hình ảnh mạt sắt dưới tác động của từ trường tạo thành từ phổ
và biểu đồ gió

Trƣờng vector có thể hiểu đơn giản một sơ đồ cho biết chiều và độ lớn
của vector ( nhƣ lực, vận tốc,…) ở mỗi điểm khác nhau trong không gian.
Trƣờng vector là phần không gian mà tại mỗi điểm M(x, y, z) trong đó
ứng với một vector xác định:

A  A(M )  A( x, y, z )
Cho một trƣờng vector tức là cho hàm A( x, y, z ) đƣợc xác định trên miền
không gian cụ thể. Vì vậy để nghiên cứu các đặc trƣng của trƣờng ta chỉ cần
nghiên cứu hàm vector A .
Trong vật lí chúng ta bắt gặp rất nhiều đại lƣợng có hƣớng đƣợc mô tả
thông qua trƣờng vector.

4


Ví dụ: Khi xét chuyển động của chất lỏng, vận tốc v của phần tử chất
lỏng tại M đƣợc biểu diễn nhƣ sau: v  v(M )  v( x, y, z) . Nhƣ vậy trong chất
lỏng có một trƣờng vận tốc v .
Ta đã biết gradient của một vô hƣớng là một vector, vì vậy khi cho một
trƣờng vô hƣớng thì ta cũng có tƣơng ứng một trƣờng vector qua phép biến đổi
gradient.
Trƣờng vector biểu thị thông qua những phần sau:
- Điểm gốc (nơi vector đi ra từ 1 điểm)
- Điểm chìm (nơi vector biến mất trong một cái hố, nhƣ hiệu ứng lỗ đen
vũ trụ)
- Điểm uốn (nằm trên đƣờng có hình cong nhƣ yên ngựa) và điểm xoay
(nơi vật thể xoay quanh 1 điểm nào đó, giống nhƣ hệ thống các hành tinh).

Hình 1.2: Điểm gốc

Hình 1.3: Điểm uốn

Hình 1.4: Hình dạng lòng chảo

1.1.2. Ví dụ cụ thể về trường vector
Giả sử D là tập hợp các điểm trong R2 (không gian hai chiều). Một trƣờng
vector trên R2 là một hàm F cho tƣơng ứng mỗi điểm (x, y) trong tập D với
vector hai chiều F ( x, y) . Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần
P,Q nhƣ sau:

5


F ( x, y)  P( x, y)i  Q( x, y) j

với i , j là các vector đơn vị hƣớng theo trục x và y.
Tại mỗi điểm trong trƣờng vector đều có 1 vector có chiều và độ lớn xác
định.
Ví dụ:Xét một trƣờng lực f có dạng: f ( x, y)   yi  3x j với i, j là
vector đơn vị theo hƣớng trục x và y
a) Tại gốc tọa độ (0,0) ta có lực f(0,0)= −0i+3.0j suy ra f ( x, y)  0 tức là
không có lực nào ở gốc tọa độ.
b) Tại điểm (1,1) ta có lực f(1,1)=−1i+3j, chiều hƣớng lên, lệch trái có độ
lớn là √

.

c) Tại điểm (−1,2) ta có lực f(-1,2)= −2i−3j hƣớng xuống, lệch trái và độ
lớn là √

.

d) Tại điểm (−2,−4) ta có lực f(−2,−4)=4i−6j có độ lớn là √

chỉ xuống,

lệch phải.
e) Điểm (4,4) ta có lực f(4,4)=−4i+12j hƣớng lên, lệch trái và độ lớn
là √

Nhƣ vậy lực ở giữa trƣờng vector rất nhỏ và nó sẽ lớn hơn khi ta tính

thêm nhiều vector hơn.

Hình 1.5: Hình ảnh của của trường lực f tại các điểm (0,0); (1,1); (-1,2);

(-2,-4); (4,4)

6


Giả sử E là tập hợp các điểm trong R3 (không gian ba chiều). Một trƣờng
vector trên R3 là một hàm F cho tƣơng ứng mỗi điểm (x, y, z) trong tập E với
vector ba chiều F ( x, y, z) . Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần
P, Q, R nhƣ sau:
F ( x, y, z )  P( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k

với i, j , k lần lƣợt là các vector đơn vị theo hƣớng trục x, y, z
1.2. Rotation

Rota của một vector là một toán tử vector mô tả độ xoáy của trƣờng
vector và nó đƣợc biểu diễn bằng một vector. Các thuộc tính của rota nhƣ độ
dài và hƣớng sẽ nói lên bản chất của độ xoáy tại điểm đó.
Hƣớng của rota chính là trục xoay của nó và đƣợc xác định bởi quy tắc
bàn tay phải và độ lớn của rota biểu thị mức độ xoáy của trƣờng. Nếu trƣờng
vector tƣợng trƣng cho vận tốc dòng chảy của một chất lỏng đang lƣu chuyển
thì rota chính là mật độ xoáy của chất lỏng đó.
Một trƣờng vector E có rot E = 0 đƣợc gọi là trƣờng không xoáy.
Trong trƣờng vector A ta xét một vòng kín nhỏ L nằm trong mặt phẳng
có pháp tuyến n ngƣời ta định nghĩa lƣu thông Q (hay lƣu số) của trƣờng
vector A dọc theo đƣờng cong kín L đƣợc tính theo tích phân đƣờng loại 2:
Q



Ad l (1.1)

( L)

Với dl là vi phân của vector dịch chuyển trên L.

7


Hình 1.6: Minh họa chiều dương của chu tuyến

Lƣu thông không chỉ phụ thuộc vào A và L mà còn phụ thuộc vào hƣớng
của L. Khi thay đổi chiều của L thì lƣu thông cũng đổi dấu. Nếu A vuông góc
với tiếp tuyến của L thì tại điểm đó Adl  0 .
Trong trƣờng vector A , xét một điểm M bất kì đƣợc bao quanh bằng một

đƣờng cong kín L vô cùng bé và có diện tích giới hạn bởi L là S . Tỉ số Q/ S
là mật độ lƣu thông trung bình của trƣờng vector A trên diện tích S . Vậy
định nghĩa rotation (viết tắt là rota) của A tại M(x, y, z) đƣợc kí hiệu là rot A
đặc trƣng cho độ xoáy tại M nhƣ sau:

rotn A  lim

S 0



Ad l

( L)

S

(1.2)

trong đó rotn A là hình chiếu của vector rot A lên phƣơng pháp tuyến n
của mặt S.
Giả sử một điểm M(x, y, z) nằm trong trƣờng vector A đƣợc xác định bởi:

A  Ax i  Ay j  Az k
(với i, j , k là các vector đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz)
Để tính rot A tại điểm M thì ta cần tính các hình chiếu của rot A lên ba trục
tọa độ Ox, Oy, Oz và chọn S là mặt tạo bởi hình hộp chữ nhật qua M có cạnh
rất bé là x, y, z

8

*Tính hình chiếu của rot A lên phƣơng z: Chọn chu tuyến (L) nằm trong
mặt Oxy nhƣ hình (1.7)

Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy

Hình chiếu của A lên hƣớng đoạn 1 là Ax(x,y) nên ta có:

 Ad l  A ( y )x
x

1

Hình chiếu của A lên hƣớng đoạn 3 là -Ax(x,y+ y ) nên ta có:

 Ad l   A ( y  y )x
x

3

 Ad l   A

y

Tƣơng tự ta có trên đoạn 4 và 2 là:

(x)y

4

 Ad l  A

y

(x   x) y

2

Vậy lƣu thông của A dọc theo đƣờng cong kín (L) là:

 Adl  A ( y)x  A ( y  y)x  A (x)y  A (x x)y
x

x

y

y

( L)

Chia biểu thức trên cho S  xy và cho S tiến đến 0 ta đƣợc:

rot z A  lim

S 0

 Adl
( L)

S

 lim [
x 0

Ay ( x  x)  Ay ( x)
x

9

]  lim [
y 0

Ax ( y  y)  Ax ( y)
]
y


Hay rot z A 

Ay
x



Ax
y

Az Ay


y z
Làm tƣơng tự ta có:
A A
rot y A  x  z
z x
rot x A 

Viết lại dƣới dạng vector ta có:

rot A  (

i

j

k

Ax


y
Ay


z
Az

Ay Ax
A A

Az Ay

)i  ( x  z ) j  (

)k = 
y z
z x
x y
x

Nhƣ vậy điểm M(x, y, z) trong trƣờng vector A ta xét một vector mà có
các thành phần { (

Az Ay Ax Az Ay Ax

);(

);(

)}
y z
z x
x y

thì vector đó gọi là vector rota (hay vector xoáy) của trƣờng vector A tại
điểm
M(x, y, z) và đƣợc kí hiệu là rot A(M ) là một vector.
Lƣu số của trƣờng vector dọc theo chu tuyến L là:

C

 A(M )dS   rot A(M )dS
( L)

(1.3)

S

Kết luận: Vậy (1.3) là lƣu số của trƣờng vector A dọc theo đƣờng cong
kín L thì đúng bằng thông lƣợng của trƣờng vector A qua mặt cong S nào đó
đƣợc giới hạn bởi đƣờng cong kín L
Nếu rot A(M )  0 thì điểm M(x, y, z) đƣợc gọi là điểm xoáy của trƣờng A
Nếu rot A(M)  0 thì điểm M(x, y, z) đƣợc gọi là điểm không xoáy của
trƣờng A

10


Một trƣờng vector mà tại mọi điểm của nó đều có rot A  0 thì từ trƣờng A
này đƣợc gọi là trƣờng không xoáy hay trƣờng thế.
Điều kiện cần và điều kiện đủ để trƣờng vector A là một trƣờng thế là

rotV  0
Ví dụ: Tính rot E E =

Ex 

q
r
r3

qx
qy
qz
;
E

;
E

y
z
r3
r3
r3

Ta có:
Ez
 qz

3qzy

( 3)
qz ( x 2  y 2  z 2 )   5
y
y r
y
r
E y
 qy


3qzy

( 3)
qy ( x 2  y 2  z 2 )   5
z
z r
z
r

Từ kết quả trên ta thấy:
Làm tƣơng tự ta có: :

rot E = 0. Từ đây suy ra trƣờng vector E là một trƣờng thế
1.3. Đƣờng dòng
1.3.1. Trường vận tốc
Nhƣ đã tìm hiểu ở trên, chúng ta đã biết khái niệm của trƣờng vector. Một
trong số trƣờng vector thƣờng gặp nhất đó là trƣờng vận tốc – đó là không gian
tại mỗi điểm , vào mỗi thời gian vector vận tốc đƣợc xác định bởi:

V  ui  v j  pk

11


Khi nghiên cứu về sự chuyển động ta đã đƣa ra nhiều cách phân loại .
Trong đó có cách phân loại ra hai loại là chuyển động ổn định và chuyển động
không ổn định.
Chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố trong chuyển
động phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là:

h = h(x, y, z, t); k = k(x, y, z, t) v.v...
Hay

h
0
t

k
0
t

Còn chuyển động ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động
không phụ thuộc thời gian.
h = h(x, y, z); k = k(x, y, z) v.v...
Hay

h
0
t

k
0
t

Tƣơng tự nhƣ vậy ta cũng có trƣờng vận tốc ( trƣờng vector) không ổn
định là những trƣờng phụ thuộc vào thời gian.

V  V (t , x, y, z )
Trƣờng vector ổn định là trƣờng vector dừng hay những trƣờng vector
không phụ thuộc vào thời gian.

V  V ( x, y, z )
Đặc trƣng quan trọng của trƣờng vận tốc là khái niệm đƣờng dòng.
1.3.2. Đường dòng
Ta đã biết quỹ đạo là đƣờng đi của một phần tử trong không gian.
Ðƣờng dòng là đƣờng cong tại một thời điểm cho trƣớc– đó là đƣờng
cong C trong trƣờng dòng chảy mà tại mỗi điểm trên đó vector tiếp tuyến có
phƣơng trùng với phƣơng của vector vận tốc tại điểm đó.

12


Ví dụ : Các đƣờng sức trong điện trƣờng, từ trƣờng đều là các đƣờng dòng
hoặc trên một dòng chảy ổn định thì đƣờng dòng của dòng nƣớc là đƣờng dòng
của trƣờng vector vận tốc dòng nƣớc

Hình 1.9: Đường dòng của dòng nước

Hình 1.8: Đường sức trong điện trường

Có thể vẽ đƣờng dòng trong môi trƣờng nhƣ sau: Tại một thời điểm t
phần tử M có tốc độ u, cũng tại thời điểm đó phần tử M1 ở sát phần tử chất lỏng
M và nằm trên vector u có tốc độ u1, tƣơng tự nhƣ vậy cũng ở cùng thời điểm
ta cũng có M2 có tốc độ u2…Mi có tốc độ ui. Đƣờng cong C nối tất cả các
điểm M1, M2 ... Mi ... và lấy tốc độ u1, u2 ... ui làm tiếp tuyến chính là một
đường dòng ở thời điểm t.
Từ đây ta có ứng với những thời điểm khác nhau sẽ có những đƣờng dòng
khác nhau. Và đƣờng dòng có liên quan mật thiết đến thời gian vì vận tốc có
thể thay đổi theo thời gian.
Trong không gian 3- chiều ( hệ tọa độ Đề - các) đƣờng dòng đƣợc xác

đinh theo phƣơng trình sau:

Ta thấy đƣờng dòng là một khái niệm động học mà nhờ đó chúng ta
thuận tiện hơn trong việc xây dựng cấu trúc tức thời của trƣờng dòng chảy. Đối

13


với dòng chảy không tĩnh đƣờng dòng không trùng với quỹ đạo của phần tử
chất lỏng. Còn trong trƣờng hợp dòng chảy tĩnh ( hay dòng dừng) thì đƣờng
dòng và quỹ đạo là một, điều này nghĩa là phần tử chuyển động dọc theo
đƣờng dòng.
Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đƣờng
cong kín giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ dS, tất cả các đƣờng dòng đi qua
các điểm trên đƣờng cong kín đó tạo thành một mặt có dạng ống gọi là ống
dòng.

Hình 1.10: Ống dòng

Khối lƣợng chất lỏng chuyển động trong không gian của ống dòng đƣợc
gọi là dòng nguyên tố. Vì tính chất không giao nhau của những đƣờng dòng
nên chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng mà đi ra hoặc đi vào dòng nguyên
tố.
Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đƣờng
cong kín giới hạn bởi một diện tích hữu hạn bao gồm vô số diện tích dS vô
cùng nhỏ, tạo nên vô số dòng nguyên tố. Tập hợp những dòng nguyên tố đó gọi
là dòng chảy. Môi trƣờng chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trƣờng liên
tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức là môi trƣờng đó có thể coi là môi
trƣờng liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, môi trƣờng đó gọi là một dòng
chảy.

14


1.4. Thông lƣợng và Divergence của trƣờng vector
1.4.1. Thông lượng của một trường vector
Thông lƣợng của một dòng chảy qua một bề mặt là đại lƣợng chỉ lƣợng
chảy qua bề mặt vuông góc với hƣớng chảy trong một đơn vị thời gian.
Xét một mặt hữu hạn bất kì có diện tích S đƣợc đặt trong một trƣờng
vector A liên tục. Chọn hƣớng xác định cho mặt và gọi là hƣớng dƣơng, khi đó
hƣớng ngƣợc lại gọi là hƣớng âm. Nếu S là mặt kín thì ta thƣờng quy ƣớc
hƣớng dƣơng là hƣớng từ trong ra ngoài. Mặt S đƣợc chọn nhƣ vậy là mặt định
hƣớng.
Chia S thành những phần có diện tích dS vô cùng nhỏ (gọi là vi phân diện
tích) sao cho trƣờng vector A là không đôit trên mỗi phần đó. Gọi n là vector
đơn vị trên phƣơng pháp tuyến tại M nằm trong dS. Khi đó đại lƣợng:

d  AndS  Ad S (1.4)
đƣợc gọi là thông lƣợng của trƣờng vector A (không đổi) gửi qua vi phân
diện tích dS, trong đó d S  ndS là vi phân vector diện tích.

Hình 1.11: Mặt S và các vector vi phân diện tích d S  ndS

Từ biểu thức (1.3) ta có thể mở rộng cho tính thông lƣợng của trƣờng
vector A gửi qua mặt S bất kì theo công thức:

15


   d   Ad S (1.5)

(S )

(S )

Dựa vào tính chất vô hƣớng ta thấy chỉ có thành phần vuông góc với bề
mặt S của A mới đóng góp vào thông lƣợng (1.5)
Nhận xét:
+) Thông lƣợng là một đại lƣợng vô hƣớng
+) Thông lƣợng phụ thuộc vào hình dạng của S và hƣớng của vector A
trên toàn mặt đó. Khi A hƣớng ra ngoài mặt S thì thông lƣợng dƣơng và ngƣợc
lại.
Chú ý: Nếu ta xét trong thể tích V đƣợc giới hạn bởi mặt S không có
nguồn nào thì thông luộng vào sẽ bằng thông lƣợng ra tức là thông lƣợng tổng
bị triệt tiêu. Nếu trong V có nguồn dƣơng sẽ dẫn đến   0 , còn nguồn âm thì

 0.
1.4.2. Divergence của trường vector
Về mặt kỹ thuật, sự phân kỳ đại diện cho mật độ khối lƣợng của dòng
chảy ra ngoài của một trƣờng vectơ từ một khối lƣợng cực nhỏ xung quanh một
điểm nhất định.
Về mặt vật lý, sự phân kỳ của trƣờng vectơ ba chiều là mức độ mà dòng
trƣờng vector hoạt động nhƣ một nguồn tại một điểm nhất định. Đó là một
thƣớc đo về "tính đi" của nó - mức độ mà có nhiều số lƣợng thoát ra khỏi một
vùng không gian vô hạn hơn là đi vào nó. Nếu sự phân kỳ không đồng hóa tại
một số điểm thì có nén hoặc mở rộng tại thời điểm đó.
Một cách chặt chẽ hơn, sự phân kỳ của trƣờng vector tại điểm bất kì có
thể đƣợc định nghĩa là giới hạn của lƣu lƣợng dòng của trƣờng vector trên ranh
giới của một vùng ba chiều cho thể tích khi co lại thành điểm bất kì.

16

Định nghĩa: Xét trong trƣờng vector A một điểm M đƣợc bao quanh bằng
một mặt kín nhỏ có diện tích S ứng với thể tích V . Vậy thông lƣợng của
trƣờng vector A qua mặt kín S là:
 

 A dS   Ad S
n

(S )

(1.6)

(S )

Khi giảm dần S ( V cũng giảm theo) thì kéo theo  cũng giảm. Lúc
ấy tỉ số  / V khi V tiến đến 0 (tức là tất cả các điểm trên S đều tiến về M)
sẽ là một số nào đó phụ thuộc vào dáng điệu của vector A ở lân cận nhỏ của
điểm M và đặc trƣng cho mức độ “chảy” của trƣờng ra khỏi điểm lân cận này.
Ta gọi con số này là divergence (viết tắt là dive) của trƣờng vector A tại điểm
M và kí hiệu là div A :
div A  lim

V 0


V

 lim

V 0

 Ad S
(S )

(1.7)

V

Giả sử V là một trƣờng vector. V  Vx i  Vy j  Vz k và S là mặt cong hai
phía trong trƣờng vector V thì thông lƣợng  của V qua mặt cong S đƣợc tính
nhƣ sau:
 =∬
S là mặt cong kín và vector pháp tuyến của S hƣớng từ trong ra ngoài thì

   Vx dydz  Vy dxdz  Vz dxdy   Vn dS
S

S

Vn là hình chiếu của V theo vector pháp tuyến ngoài của mặt S
Nếu G là miền đƣợc giới hạn bởi mặt ngoài đƣờng cong S đã cho thì theo
công thức Oxtrogratxki ta có:

17


   Vx dydz  Vy dxdz  Vz dxdy   (
S

G

Vx Vy Vz


)dxdydz   divVdxdydz
x y z
G

Mà M(x, y, z) là điểm bất kì trong trƣờng vector V nên ta có:

Vx Vy Vz


 divV ( M )
x y z
* Nếu divV (M )  0 thì suy ra f > 0; M(x, y, z) (thông lƣợng từ trong
hƣớng ra ngoài sẽ lớn hơn thông lƣợng từ ngoài hƣớng vào trong) cho nên
điểm M là điểm nguồn của trƣờng vector V
* Nếu divV (M )  0 thì suy ra f < 0; M(x, y, z) đƣợc gọi là điểm rò của
trƣờng vector V
*Một trƣờng vector V mà tại mọi điểm của trƣờng divV (M )  0 thì trƣờng
vector V đƣợc gọi là trƣờng ống nghĩa là trƣờng không có điểm nguồn và điểm
rò (tức là tổng thông lƣợng bằng không). Điều đó có nghĩa là, có bao nhiêu
đƣờng dòng chảy vào bề mặt khảo sát, thì có bấy nhiêu chảy ra từ đó. Vì thế
trƣờng vận tốc của chất lỏng không bị nén đƣợc gọi là hình ống hay là sôlênôit.
Ví dụ: Tính div E ; E =

Ex 

q
r
r3

qx
qy
qz
;
E

;
E

y
z
r3
r3
r3

Ex  qx( x 2  y 2  z 2 ) 3/ 2
E y  qy ( x 2  y 2  z 2 ) 3/ 2
Ez  qz ( x 2  y 2  z 2 ) 3/ 2

18