Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử (2018)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn
trong cơ học lƣợng tử” đã đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự
giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè và thầy cô.
Qua đây, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hƣớng dẫn –Pgs.Ts

Nguyễn Thị Hà Loan đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình
tham gia khóa luận.
Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tôi
hoàn thành khoa luận này.
Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình,bạn bè trong
suốt quá trình làm khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Nga

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, đƣợc hoàn thành
với sự nỗ lực của bản thân và sự hƣớng dẫn của Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà
Loan. Các dữ liệu đƣa ra trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và không
trùng với các công trình nghiên cứu của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Nga

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu.................................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................... 3
1.1. Tọa độ ......................................................................................................... 3

1.2. Xung lƣợng................................................................................................. 4
1.3. Mômen xung lƣợng .................................................................................... 5
1.4. Năng lƣợng ................................................................................................. 7
Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................. 9
CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ....................................................... 10
2.1. Biểu diễn tọa độ ....................................................................................... 10
2.2. Biểu diễn xung lƣợng ............................................................................... 11
2.3. Biểu diễn năng lƣợng ............................................................................... 13
2.4. Biểu diễn Schrodinger .............................................................................. 16
2.5. Biểu diễn Heisenberg ............................................................................... 16
2.6. Biểu diễn tƣơng tác .................................................................................. 20
Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 22

CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ
HỌC LƢỢNG TỬ........................................................................................... 23
3.1. Bài tập về các trạng thái lƣợng tử trong các biểu diễn khác nhau ........... 23


3.2. Bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau .............................. 29
Kết luận chƣơng 3 ........................................................................................... 38
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 40


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Thế kỷ XX là thế kỷ của, vật lý học hiện đại với khuynh hƣớng xâm
nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất, đó là những vật thể vô cùng nhỏ bé
nhƣ nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản...Cho đến nay, một trong những
đối tƣợng nghiên cứu quan trọng nhất của vật lý học hiện đại là thế giới vi
mô mà cơ học lƣợng tử là cơ sở đầu tiên giúp con ngƣời tìm hiểu và chinh
phục thế giới đó. Cơ học lƣợng tử là một phần khá trừu tƣợng trong vật lý lý
thuyết, có những khái niệm vốn quen thuộc trong vật lý học cổ điển.
Có thể định nghĩa một cách tóm tắt cơ học lƣợng tử là lý thuyết của
những nguyên tử và hạt nhân. Nguyên tử có kích thƣớc vào cỡ 10-8cm, còn
hạt nhân có kích thƣớc vào cỡ 10-13cm. Những vật có kích thƣớc nhƣ vậy và
nhỏ hơn đƣợc gọi là những vật vi mô.

Để nghiên cứu các đại lƣợng động lực của hệ các hạt vi mô, ngƣời ta có
thể dùng các biểu diễn khác nhau. Mỗi bài toán trong cơ học lƣợng tử thì sẽ
có một cách giải quyết riêng và việc chọn dùng biểu diễn nào để giải quyết
bài toàn ấy là đơn giản nhất, mà vẫn cho kết quả mô tả đầy đủ tính vật lý của
hệ vật lý vi mô là rất cần thiết và quan trọng.
Thêm vào đó việc giải bài tập một mặt rèn luyện kỹ năng, mặt khác còn
để củng cố lý thuyết. Phải nắm đƣợc lý thuyết, hiểu nó mới có thể vận dụng
để tìm tòi ra nhiều điều khác có liên quan. Giúp nắm chắc và hiểu lý thuyết
sâu sắc hơn.
Vì vậy, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài về: “ Một số bài tập về
lý thuyết biểu diễn trong cơ học lƣợng tử”.
2. Mục đích nghiên cứu

Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập về lý thuyết
của các hạt vi mô.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các đại lƣợng động lực trong cơ học lƣợng tử.
Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập trong cơ học
lƣợng tử.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Các đại lƣợng động lực và dạng của chúng trong các biểu diễn khác

nhau.
Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán học.
Phƣơng pháp của lý thuyết biểu diễn của cơ học lƣợng tử.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận bao
gồm ba chƣơng:
CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN.
CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN.
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ.

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Tọa độ
Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt cho nên các đại
lƣợng động lực mô tả trạng thái của hạt nhƣ tọa độ, xung lƣợng, momen
xung lƣợng, năng lƣợng, ở thời điểm t sang thời điểm t’ đã khác đi và nó
không tuân theo qui luật cổ điển mà nó tuân theo qui luật lƣợng tử tức là các
trạng thái này không hoàn toàn đồng thời xác định. Để mô tả đƣợc trạng thái

của các hạt vi mô thì các đại lƣợng động lực này có qui luật mới là a.b # b.a
do đó các đại lƣợng động lực trở thành các toán tử theo nguyên lý tƣơng
ứng. Để tìm dạng tƣờng minh của các toán tử biểu diễn biến số động lực
chúng ta chú ý rằng cơ học cổ điển là trƣờng hợp giới hạn của cơ học lƣợng
tử (khi kích thƣớc của các vật mà ta xét tang lên tới mức vĩ mô). Nhƣ vậy ta
có thể thừa nhận một cách tự nhiên rằng:
Những toán tử cơ học lƣợng tử thỏa mãn những hệ thức giống nhƣ hệ
thức giữa các đại lƣợng động lực tƣơng ứng trong cơ học cổ điển (không
chứa đạo hàm). Đó là nguyên lý tƣơng ứng.
Toán tử tọa độ ̂. Xét trƣờng hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của
hạt mô tả bởi hàm sóng

x) đã đƣợc chuẩn hóa. Toán tử tọa độ ̂ phải là

ecmit và có dạng thế nào để trị trung bình của tọa độ cho bởi công thức:
̅

̂

∫

(1.1.1)

Nếu gọi p(x) là mật độ xác suất đẻ tọa độ có giá trị là x thì trị trung bình của

x là:
̅

∫

Theo cách giải thích của Boocnơ về ý nghĩa của hàm sóng thì:
|

P(x)=|
Vậy ̅

∫

3


Ta có:

∫

̂

∫

Vậy ̂

(1.1.2)

Nhƣ vậy toán tử ̂ là một phép nhân với x. Ta có thể viết:
̂

(1.1.3)

Cũng tƣơng tự nhƣ vậy, khi hạt chuyển động trong không gian thì có 3 toán
tử tọa độ
̂

̂

(1.1.4)

̂
1.2. Xung lƣợng
Theo nguyên lý tƣơng ứng thì xung lƣợng của các hạt vi mô là một toán tử:
̂

̂

̂

(i




 j k )
x
y
z

Toán tử xung lƣợng: Đối với hạt vi mô có xung lƣợng ̂ và năng lƣợng E

chuyển động tự do thì hàm sóng có dạng:
( i

ψ=

Et  pr
)
ħ

Ta xét toán tử ̂.
Hàm sóng ψ viết ở trên là hàm số biểu diễn trạng thái trong đó

có giá trị

xác định, vì thế hàm ấy phải là hàm riêng của toán tử ̂, nghĩa là:
̂ ψ=

ψ.

Muốn thế thì phải chọn:

iħ

̂

Thực vậy

4


x

(1.2.1)


*

i
(  px )
ħ

=

⃗

(
( i

)+

Et  pr
)
ħ

đó là điều cần chứng minh
Cũng tƣơng tự nhƣ vậy ta có thể chứng minh rằng:
̂
̂
Tóm lại.
⃗̂ =

(i




 j k )
x
y
z

(1.2.2)

1.3. Mômen xung lƣợng
Trong cơ học lƣợng tử, cũng nhƣ trong cơ học cổ điển mômen xung lƣợng L
đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
⃗̂

̂ ⃗̂

(1.3.1)

Trong đó là vectơ tia nối từ gốc tọa độ đến vị trí của hạt (coi là một điểm).
Đó là một toán tử vectơ có ba thành phần:
̂

̂̂

̂̂

{̂
̂

̂̂

̂̂

̂̂

̂̂

Các thành phần đó là các toán tử biểu diễn hình chiếu của vectơ
mômen xung lƣợng lên các trục x,y,z. Nếu chọn
̂
̂
̂

5

(1.3.2)



x

̂

iħ

̂

iħ


y

̂

iħ


z

Thì các hình chiếu của toán tử mômen xung lƣợng trong tọa độ Đêcac có
biểu thức nhƣ sau:
̂

iħ ( y



z )
z
y



x )
x
z


iħ ( x  y )
y
x

̂

iħ ( z

̂
{

(1.3.3)

Ngƣời ta còn định nghĩa toán tử bình phƣơng mômen xung lƣợng:
̂

̂

̂

̂

(1.3.4)

Các thành phần của toán tử mômen xung lƣợng tuân theo những hệ thức
giao hoán quan trọng sau đây:
[̂ ̂ ]
[ ̂ ̂]
[̂ ̂ ]

̂
̂

(1.3.5)

̂

Đồng thời:
[ ̂ ̂]

[ ̂ ̂]

[ ̂ ̂]

(1.3.6)

Từ các hệ thức trên ta thấy rằng không thể đo đƣợc một cách chính xác đồng
thời hình chiếu của mômen xung lƣợng lên hai trong ba trục tọa độ vuông
góc. Nếu đã đo đƣợc chính xác

chẳng hạn, thì đồng thời không thể đo

6

đƣợc chính xác

. Có thể đo đƣợc chính xác đồng thời bình

hoặc

phƣơng của mômen xung lƣợng và hình chiếu của nó lên một trục bất kì.
Đôi khi để cho thuận tiện, ngƣời ta đƣa vào các toán tử sau đây:
̂

̂+ ̂ ; ̂

̂

̂

(1.3.7)

Các toán tử ấy tuân theo những hệ thức giao hoán:
[̂ ̂]

̂

[ ̂ ̂]

̂

[ ̂ ̂]
̂

Và

(1.3.8)

̂

̂̂

̂

̂̂

̂+ ̂

̂
(1.3.9)

Nếu viết biểu thức của các toán tử mômen xung lƣợng trong tọa độ cầu
thì ta có:
̂

(

)



 

L y  iħ  cos φ  cotgθsin φ 
θ
φ 


(1.3.10)

̂
Còn đối với ̂ thì
̂

1 


1 2
[
 sinθ   2 2 ]
sinθ θ
θ sin θ φ

(1.3.11)

Hay, có thể viết:
̂

(1.3.12)

1.4. Năng lƣợng
Trong cơ học cổ điển, năng lƣợng toàn phần đƣợc biểu diễn qua tọa độ x và
xung lƣợng p theo biểu thức sau đây:

7


p2
H
 V  x, y,z 

2m

(1.4.1)

Trong đó m là khối lƣợng của hạt, V(x,y,z) là biểu thức của thế năng,

Theo nguyên lý tƣơng ứng thì toán tử năng lƣợng toàn phần (hay toán tử
Hamintơn) cũng tuân theo một biểu thức tƣơng tự biểu thức (1.4.1), trong đó
các đại lƣợng động lực đƣợc thay thế bằng các toán tử tƣơng ứng:
p2
ˆ
ˆ y,

ˆ zˆ  ,
H
 V  x,
2m

(1.4.2)

Trong đó
̂

̂
=( iħ

̂



) +( iħ )
x
y

(

=

̂
( iħ


)
z

2
2
2



)
x 2 y2 z 2

=
̂

Và

̂
̂
Vậy: ̂ =

ħ
2m

(1.4.3)

8


Kết luận chƣơng 1
Ở trong chƣơng 1, tôi đã trình bày về các khái niệm cơ bản: Tọa độ,
Xung lƣợng, Mômen xung lƣợng, Năng lƣợng.

Trong cơ học lƣợng tử, thì các đại lƣợng động lực này đã có biểu thức
có dạng giống nhƣ trong cơ học cổ điển nhƣng viết đối với các toán tử. Các
đại lƣợng động lực của các hạt vi mô không đồng thời xác định nên không
thể đo chính xác nó trong cùng một trạng thái. Sai số của phép đo các đại
lƣợng vật lý tuân theo hệ thức bất định Heisenberg.

9


CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN
2.1. Biểu diễn tọa độ
Xét một hàm sóng ψ(x) biểu diễn một trạng thái của một hạt. Ta gọi ψ(x)

là hàm sóng trong biểu diễn tọa độ hay trong x-biểu diễn. Cho một toán tử ̂
biểu diễn một biến số động lực. Các hàm riêng của toán tử ̂ đƣợc kí hiệu là
(x), các hàm riêng này hợp thành một hệ đủ. Nói cách khác ta có thể biểu
diễn ψ(x) dƣới dạng một tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng
ψ(x)=∑

(x):

(x)

(2.1.1)

tổng lấy theo toàn bộ các giá trị có thể của chỉ số nguyên n. Nếu biết tất cả
các hệ số

thì ta có thể xây dựng đƣợc tổng ở (2.1.1), tức là biết đƣợc biểu

thức ψ(x). Tập hợp các hệ số

hoàn toàn có thể thay cho ψ(x) để mô tả

trạng thái của hạt, ngƣời ta nói rằng: tập hợp các hệ số

là hàm sóng của

hạt trong L-biểu diễn. Việc lựa chọn hệ hàm riêng của những toán tử vật lý
nào, đƣợc gọi là việc chọn biểu diễn.
Biểu diễn tọa độ kí hiệu trạng thái lƣợng tử bởi chỉ số a. Hàm sóng phụ
thuộc vào tọa độ và kí hiệu là

(chữ x kí hiệu một hoặc một tập hợp tọa

độ).
Bình phƣơng mô đun hàm sóng đã chuẩn hóa trong biểu diễn tọa độ bằng
mật độ xác suất để trong trạng thái đã cho tọa độ x có giá trị xác định.
Hàm phân bố xác suất cho tọa độ x trong trạng thái ψ(x) là:

|

|

Và do đó:
∫
Nghĩa là:

̂

∫| |

∫

̂

Nhƣ vậy, trong biểu diễn tọa độ, toán tử tọa độ là toán tử nhân với tọa
độ, khi tác dụng lên hàm sóng nó chỉ là thừa số nhân.

10


Xét trong không gian vecto 3 chiều thông thƣờng:
̂

2.2. Biểu diễn xung lƣợng
Biểu diễn xung lƣợng hay p-biểu diễn chú ý rằng trị riêng của toán tử
xung lƣợng có giá trị liên tục. Hàm riêng của toán tử xung lƣợng, ứng với trị
riêng p, trong biểu diễn tọa độ là:
(x)
Hàm này đƣợc chuẩn hóa:
∫

(x)dx= (p- )

Bây giờ phân tích hàm sóng
đủ các hàm

(2.2.1)

(x) của trạng thái a trong x-biểu diễn theo hệ

(x):
(x)=∫

(x)dp

(2.2.2)

Hệ số phân tích c(p) dƣới dấu tích phân chính là hàm sóng của trạng thái a
trong p-biểu diễn và có thể kí hiệu nhƣ sau:
c(p)

(p)

(2.2.3)

Có thể viết lại công thức (2.2.2) nhƣ sau:
(x)=∫

dp

(2.2.4)

Bình phƣơng môđun của hàm sóng bằng mật độ xác suất để xung lƣợng có
giá trị p
=

dW  p 
=|
dp

|

(2.2.5)

Biến đổi ngƣợc với (2.2.4), tức là biến đổi hàm sóng từ x-biểu diễn sang pbiểu diễn, nhƣ sau:
(p)= ∫
Ta xét dạng cụ thể của hàm

dx

(2.2.6)

. Đối với hạt chuyển động tự do, thì phần

phụ thuộc tọa độ của hàm sóng có dạng:

11


(x)=
Hệ số

ipx
1
exp( )

ħ
2πħ

(2.2.7)

1
xuất hiện do điều kiện chuẩn hóa. Nếu xét trong không gian 3
2πħ

chiều thì:
3
 ipr 

ψp  x    2πħ  2 exp 

 ħ 

(2.2.8)

Nhƣ vậy hàm biến đổi từ x-biểu diễn sang p-biểu diễn có dạng
=

1
 ipx 
exp 


2πħ
 ħ 

(2.2.9)

* Ta tìm dạng của các toán tử động lực trong biểu diễn xung lƣợng
Toán tử xung lƣợng đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử nhƣ
sau:
̂

∫

= ∫

Đó là một ma trận chéo liên tục.
Phƣơng trình toán tử trong p-biểu diễn:
∫
=∫



̂

Nhƣ vậy,trong biểu diễn xung lƣợng, toán tử vectơ xung lƣợng vẫn chỉ là

phép nhân với xung lƣợng.
-Toán tử tọa độ đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử nhƣ sau:
∫

̂

12


Ta đã biết trong biểu diễn tọa độ: ̂
Tác dụng toán tử

iħ

iħ


lên hàm
p

có:

  1
ipx 

ipx 
 1
exp
 x
exp


 p  2πħ
ħ 
ħ 
 2πħ

Vậy

iħ


∫
p

iħ


p

Hàm sóng trong p biểu diễn sau khi chịu tác dụng của toán tử ̂
̂
∫



̂


p

∫

=
iħ


p

iħ


p

Nhƣ vậy, trong biểu diễn xung lƣợng, thành phần của toán tử vectơ tọa độ
bằng

nhân với đạo hàm theo biến xung lƣợng liên hợp chính tắc.

Trong trƣờng hợp một hạt ,không gian là 3 chiều, khi đó:
̂

iħ



và
 px

2.3. Biểu diễn năng lƣợng

13

⃗


Biểu diễn năng lƣợng hay E-biểu diễn. Để đơn giản, ta xét trạng thái của một
hạt chuyển động trong một trƣờng ngoài có năng lƣợng âm, nhƣ vậy trị riêng

của năng lƣợng là gián đoạn.
Kí hiệu các trị riêng ấy là

. Các hàm riêng tƣơng ứng là

hàm ấy là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lƣợng là
(x)=

(x). Các

, nên có thể viết:

(x)

Theo định lí về tính chất đủ của hệ các hàm riêng của toán tử (năng lƣợng)
hecmit, ta có giống nhƣ (2.1.1):
(x)=

c ψ
n

En

(2.3.1)

( x)

n

Các hệ số phân tích

gọi là hàm sóng trong E-biểu diễn, ta có thể kí

hiệu chúng nhƣ sau:
(

)

(2.3.2)

Bây giờ biến số độc lập của hàm sóng trong E-biểu diễn có những giá trị
gián đoạn. Bình phƣơng môđun của hàm sóng xác định xác suất để năng
lƣợng có giá trị E:
W(

|

=|

(2.3.3)

Nếu hàm sóng trong biểu diễn mới cũng đƣợc chuẩn hóa. Thực vậy,
trong phƣơng trình chuẩn hóa vừa viết trên nếu ta thay

(x) bằng biểu thức

phân tích của nó:
(x)=

φ  E   ψ

a

n

En

(x)

n

(x)=

φ  E   ψ
*

*

a

m

Em

  (x)

m

Thì ta sẽ có:

φ  E   φ  E  ψ  x  ψ  x  dx  1
*
a

n

*

m

a

n

Em

En

m

Vì hàm sóng trong x-biểu diễn đƣợc chuẩn hóa, nên tích phân ở vế đầu
có giá trị là

. Sau khi lấy tổng theo m thì phƣơng trình trở thành:

14


φ  E   φ  E    φ  E 
a

n

a

n

a

n

n

2

1

(2.3.4)

n

Đó là điều kiện chuẩn hóa hàm song trong E-biểu diễn.
Dựa vào điều kiện trực chuẩn của hàm sóng

(x) có:

∫

(2.3.5)

thể tính đƣợc hàm sóng trong E-biểu diễn. Biến đổi này đƣợc thực hiện nhờ
hàm

(x) là liên hiệp phức của hàm riêng của toán tử năng lƣợng trong

x-biểu diễn, còn công thức (2.3.1) chính là công thức biến đổi từ E-biểu diễn
sang x-biểu diễn, biến đổi đƣợc thực hiện nhờ

(x).

Từ (2.3.2) và (2.3.5) ta thấy hàm sóng trong E-biểu diễn là tập hợp các hệ số
phân tích

hoặc hàm

của biến số độc lập E. Biến số này nhận các

giá trị gián đoạn, cho các chỉ số n các giá trị lần lƣợt là 1,2,3..ta sẽ đƣợc
Giá trị trung bình của các đại lƣợng vật lý không phụ thuộc vào việc lựa

chọn biểu diễn. Ta biết dạng của biểu thức giá trị trung bình của một đại
lƣợng vật lý L trong trạng thái bất kỳ biểu diễn bằng hàm sóng ψ là:
̅

̂

∫

*Ta tìm giá trị trung bình của năng lƣợng:
Phân tích hàm sóng

theo hàm riêng của toán tử năng lƣợng

c u  x 
n

n

n

thay vào biểu thức tính giá trị trung bình:
̅

ˆ u  x  dx

c u  x  Lc
ˆ  x  dx
= c c u  x  Lu
*

*

n

n

m

*

*

n m

n

m

m

15

n

m


= c*n cm Lnm
n

Trong đó

m

là phần tử ma trận của toán tử ̂ trong E biểu diễn

Ta có thể viết lại dƣới dạng phƣơng trình ma trận: ̅
Trong đó
còn

[ ]

là ma trận một cột

là ma trận một hàng

[

]

2.4. Biểu diễn Schrodinger
Vectơ trạng thái phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian còn các toán tử
không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian trong đó tọa độ

và xung lƣợng

chọn nhƣ sau:
̂

, ̂

iħ


 qi

Sự thay đổi trạng thái theo thời gian trong biểu diễn Schrodinger đƣợc biểu

diễn bằng phƣơng trình Schodinger:
̂
̂ : Hamintonien
Đó là tiên đề về phƣơng trình chuyển động trong biểu diễn Schrodinger.
Ký hiệu:
2.5. Biểu diễn Heisenberg
Các vectơ trạng thái không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian còn sự
phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian là ở các toán tử. Vectơ trạng thái trong
biểu diễn Heisenberg đƣợc ký hiệu là:
̂

Trong biểu diễn Schrodinger:

,̂

Chọn ở thời điểm ban đầu:

16

̂


Vectơ trạng thái tại thời điểm bất kỳ t đƣợc suy ra từ vectơ trạng thái tại thời
điểm

.
̂

Đặt :

̂
U(t) là phép biến đổi Unita
⟨

Xác suất

⟩=⟨

⟩

Xác suất trong biểu diễn S phải bằng xác suất trong biểu diễn H
⟨
⟨

Do đó



⟩
⟩

⟨

⟩

⟨

⟩

U(t) phải là Unita.

=

Toán tử biến đổi thế nào?
Tính các giá trị trung bình của các đại lƣợng ̂ trong hai biểu diễn và hai giá
trị đó phải bằng nhau.
̂

⟨

⟩

Giả sử rằng trong phép biến đổi Unita nói trên ̂ biến thành ̂ , thì giá trị

trung bình:
⟨

Trong biểu diễn S:
Trong biểu diễn H:



⟨

̂

̂

⟩=⟨
̂

⟩=⟨
̂

̂

̂

̂

Nếu trong phép biến đổi chính tắc
̂

̂

thì

̂
thì ̂

Ta thấy rằng toán tử U phải thỏa mãn phƣơng trình S:

17

̂

⟩=⟨

biến đổi

Ngƣợc lại trong biểu diễn H mà:

⟩
⟩


̂
Với điều kiện ban đầu:

U(0)=I

Nếu ̂ không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian thì U sẽ có dạng:
̂
i ˆ

Ht
ħ

̂

vì ̂

i ˆ
Ht
ħ

Do đó có thể viết:

̂
i ˆ
Ht
ħ

̂

i ˆ
 Ht
ħ

̂

Trong trƣờng hợp này toán tử Haminton trong hai biểu diễn là nhƣ nhau
i ˆ
HS t
ħ

̂

i ˆ
HS t
ħ

̂

i ˆ
Ht
ħ

Lấy đạo hàm theo thời gian ̂
̂

̂

i
= [̂
ħ
=

i ˆ
HS t
ħ

i ˆ
HS t
ħ

̂
̂

̂

̂
i ˆ
 Ht
ħ

i ˆ

 Ht
ħ

i ˆ
HS t
ħ

i ˆ
 Ht
ħ

i ˆ

HS t
ħ

̂
ta có:
̂
̂ ̂

i ˆ
 Ht
ħ

i ˆ
 Ht
ħ

]

i ˆ ˆ
ˆ   i  H,
ˆ Fˆ 
 H FH  FˆH H
H




ħ
ħ

Vậy sự thay đổi của toán tử ̂

theo thời gian đƣợc xác định bằng phƣơng

trình sau:
 FˆH  t 
t

[̂

̂]

Đó là phƣơng trình biểu diễn Heisenberg.
 qˆ H  t 
t

[̂

18

̂]

(2.5.1)


 pˆ H  t 
t

̂]

[̂

Để thấy sự liên hệ giữa các toán tử ̂ ̂

̂

(2.5.2)

cũng có dạng nhƣ trong cơ học

cổ điển ta phải làm nhƣ sau:
pˆ 2H ˆ
ˆ

H
 Ut
2m

Gỉa sử rằng:

̂ không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian nên U(t) phụ thuộc vào t qua q.
tọa độ trong biểu diễn H
2
ˆ  pˆ H  U
ˆ q 
H

H
2m



ˆ pˆ
H
 H
ˆ
p H m
ˆ U  q H 
H


q H
q H



 1
 qˆ H 
pˆ H2
qˆ H ,pˆ H2 
(2.5.1) ta có : iħ
 qˆ H ,

 U  q H  
t
2m

 2m



ˆ
 qˆ H pˆ H  H



t
m pˆ H



qˆ H 

ˆ
H
pˆ H

Từ (2.5.2) ta có:

iħ

 pˆ H  t 
ˆ
  pˆ H ,H

t


pˆ 2H
ˆ

 pH ,
 U  qˆ H  
2m



  pˆ H , U  qˆ H 

19