Hệ thống hóa bài tập spin và hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ










Đề tài:










SVTH : Đỗ Thùy Linh
GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa
Khóa: 2004 – 2008

Thành phố Hồ Chí Minh tháng 5 năm 2008


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt 4 năm học dưới mái trường Đại học Sư Phạm Thành Phố
Hồ Chí Minh, được sự quan tâm dạy dỗ của các thầy cô trong nhà trường, đã
giúp em mở rộng kiến thức, nâng cao sự hiểu biết. Công lao to lớn của quý
thầy cô em không thể nào quên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban
giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và ban chủ
nhiệm khoa Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho em khi làm luận văn.

Em xin cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoa đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo,
giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn đến các
thầy cô trong trường đã truyền đạt kiến thức cho em trong khóa học 2004 –
2008 và em cảm ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh đã tận tình gi
úp đỡ .
Đặc biệt em cảm ơn thầy trưởng khoa, TS Thái Khắc Định, đã tạo
điều kiện thuận lợi để em thực hiện tốt luận văn này.
Sau cùng em xin kính chúc quý thầy cô luôn mạnh khỏe và thành
công trong sự nghiệp giáo dục.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài – giới hạn đề tài
Chúng ta đã quan niệm rằng trạng thái của một vi hạt được xác định
nếu biết ba tọa độ của nó hay ba hình chiếu của xung lượng. Nhưng một loạt
các sự kiện thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các vi hạt như electron, proton,
nơtron… còn có một bậc tự do nội tại đặc thù. Bậc tự do này gắn liền với
một m
ômen quay riêng của hạt, không liên quan đến chuyển động quay của
nó. Mômen riêng này được gọi là spin ký hiệu là S. Sự tồn tại của spin ở
electron được xác nhận trước khi cơ học lượng tử ra đời. Người ta đã tìm
cách minh họa spin như một đại lượng đặc trưng cho chuyển động tự quay
của hạt quanh trục riêng của nó. Nhưng giải thích như thế mâu thuẫn với
những luận điểm cơ bản của t
huyết tương đối. Như sẽ thấy sau này, bậc tự
do nội tại và spin liên quan đến nó có một đặc tính lượng tử đặc thù. Khi
chuyển sang cơ học cổ điển
0 spin sẽ bằng không. Do đó spin không có
sự tương tự cổ điển.
Các bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất là khó, đòi hỏi việc phân
loại phải đầy đủ, rõ ràng. Em chọn đề tài này nhằm giúp sinh viên ngành vật
lý Đại học Sư Phạm có một hệ thống bài tập rõ ràng hơn, qua đó nắm được
bản chất của phần spin và hệ hạt đồng nhất.
Hệ thống bài tập áp dụng cho chương trình đại học và cao học.
2. Mục tiêu đề tài

Nhằm xây dựng và phân loại bài tập cho phần spin và hệ hạt đồng
nhất trong chương trình học phần cơ học lượng tử.
3. Phương pháp nghiên cứu
Có 3 phương pháp chính được sử dụng khi nghiên cứu đề tài này :

 Phương pháp thực hành giải bài tập.

 Phương pháp phân tích nội dung chương trình cơ học lượng tử.
 Phương pháp phân loại bài tập.
4. Cấu trúc luận văn
 Mở đầu.
 Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
 Chương 2: Hệ thống bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất.
 Kết luận.



















Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Spin

[1]

Spin là momen xung lượng riêng của hạt, độ lớn của spin được đặc
trưng bởi số lượng tử spin S có thể nhận giá trị nguyên dương hay bán
nguyên. Cũng giống như các mômen cơ khác, sự định hướng của mômen cơ
spin bị lượng tử hóa, nghĩa là hình chiếu spin lên một trục tùy ý nào đó trong
không gian có thể có hai giá trị
2


.
Các trạng thái của spin là các ket véctơ
z
S


( trạng thái spin
lên) và
z
S (trạng thái spin xuống). Hai trạng thái này lập thành một
hệ trực chuẩn:

1
0
   
   

Và tính đủ của không gian:
,
1



 



.
Trạng thái
z
S  gọi là trạng thái phân cực vì spin có hướng đặc
biệt. Trạng thái ban đầu không phân cực được mô tả bởi tổ hợp tuyến tính :

ab


 
Trong đó :
2
2
a

 là xác suất để hạt có spin hướng lên.

2
2
b

 là xác suất để hạt có spin hướng xuống.
Từ điều kiện chuẩn hóa ta có
22

1 1ab



.
Hình chiếu spin lên trục z có giá trị
2


nên ta biểu diễn thông qua hai
trạng thái của spin như sau:

ˆ
=
2
z
S



và
ˆ
=-
2
z
S 



Ma trận của toán tử

ˆ
z
S được viết như sau:

0
2
0
2










Các toán tử hình chiếu spin của hạt lên các trục tọa độ tuân theo hệ
thức giao hoán:

ˆˆ ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆˆ ˆ
x
yyx z
yz zy x
zx xz y
SS SS iS
SS SS iS

SS SS iS







Đặt
11 1
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ

22 2
x
xyy zz
SS S


  
Trong đó
ˆˆˆ
,,
x
yz


gọi là các ma trận Pauli. Ma trận Pauli là ma trận vuông
cấp hai và
ˆ

z

có dạng:

10
ˆ
01
z







Các hệ thức giao hoán đối với ma trận Pauli được viết lại:

ˆˆ ˆˆ ˆ
2
ˆˆ ˆˆ ˆ
2
ˆˆ ˆˆ ˆ
2
x
yyx z
yz zy x
zx xz y
i
i
i


 

 

 





Các ma trận Pauli tuân theo hệ thức phản giao hoán:
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ
0
xy yx yz zy zx xz


.
Vì trị riêng của các toán tử Pauli
ˆˆˆ
,,
x
yz


tương ứng bằng 1 , suy ra

222
10
ˆˆˆ

01
xyz
I






Trong
z
S biểu diễn các ma trận Pauli có dạng :
10 01 0
ˆˆˆ
, ,
01 10 0
zxy
i
i









V
2222

3
xyz
I


Vy toỏn t bỡnh phng momen spin:

22 2 2
2 222
10

33

01
44 4
xyz
SSSS I







Tr riờng ca toỏn t
2

S
l :

2
22
31

(1) (
42
Sss


vụựi s = soỏ lửụùng tửỷ spin).
Tr riờng v vect riờng ca toỏn t

,,
x
yz
SSS .
Xột trong c s
,
zz
SS
, biu din ma trn ca c s
z
S l :


10
, 1 0 , 0 1
01
10

1 0 =1 0 1 1
01














vaứ
vaứ

Vy
10
,
01



l cỏc spin riờng ca

z
S ng vi cỏc tr riờng

2


.
Phng trỡnh tr riờng ca

x
S vi ma trn tr riờng cú dng
a
b



. Thay
vo phng trỡnh tr riờng ca toỏn t

x
S , gii phng trỡnh ta thu c hai
vector riờng
1
1
1
2



v
1
1
1

2




ng vi hai tr riờng
2


.
Vy hai spinn riờng ca toỏn t

x
S l
1
1
1
2



v
1
1
1
2

.
Tr riờng ca toỏn t

y
S vi ma trn tr riờng cú dng
c
d



. Thay vo
phng trỡnh tr riờng ca toỏn t

y
S , gii phng trỡnh ta thu c hai
vector riờng
1
1
2
i



v
1
1
2
i

ng vi hai tr riờng
2


.

Vậy hai spinnơ riêng của toán tử
ˆ
y
S là
1
1
2
i



và
1
1
2
i




.
Ta đang xét trong

ˆ
z
S
biểu diễn, để chuyển từ
ˆ
z
S
biểu diễn sang
ˆ
x
S
hay
ˆ
y
S biểu diễn ta tìm một ma trận biến đổi. Trong
ˆ
z
S biểu diễn các spinnơ của
ˆ
x
S có dạng
1
1
1
2



và
1

1
1
2




, trong
ˆ
x
S biểu biễn các spinnơ của
ˆ
x
S phải có
dạng
1
0



và
0
1



tương ứng với spin hướng lên hay hướng xuống dưới theo
phương trục x. Mối liên hệ giữa các spinnơ riêng của toán tử
ˆ
x

S
trong các
biểu diễn khác nhau được xác định bởi một ma trận biến đổi U thỏa mãn:

1
1
2
10
2
U










và
1
0
2
11
2
U













Ma trận U có dạng

11
22
11
22
U









Các toán tử của ma trận chuyển biểu diễn từ cơ sở này sang cơ sở
khác không làm thay đổi chuẩn của các véctơ trạng thái và bảo toàn xác suất
lượng tử.
1.2. Lý thuyết hệ hạt đồng nhất
[2]

1.2.a. Nguyên lý bất khả phân biệt hệ hạt đồng nhất
Các hạt có cùng các đặc trưng vật lý như: khối lượng, điện tích, spin,
mômen từ… không có thêm một đặc điểm nào để phân biệt các hạt, hệ hạt
như vậy gọi là hệ hạt đồng nhất. Theo vật lý cổ điển ta có thể phân biệt các
hạt đồng nhất bằng cách phân biệt theo trạng thái của chúng. Trong cơ học

lượng tử, ta chỉ biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho có bao nhiêu hạt
thuộc hệ hạt đồng nhất. Ta không thể phân biệt được các hạt dù có đánh dấu
chúng trong một hệ hạt đồng nhất. Việc không phân biệt được các hạt đồng
nhất có liên quan đến nguyên lí bất định. Nguyên lí không phân biệt được
các hạt đồng nhất đòi hỏi chỉ tồn tại các trạng thái mà chúng không thay đổi
khi hoán vị hai hạt bất kì.
1.2.b. Các trạng thái đối xứng và phản xứng
Xét
hệ hai hạt đồng nhất, trạng thái của hệ được biểu diễn:

12
,ab a b
Trong đó
12
,ab
là trạng thái của hai hạt 1 và 2.
Toán tử
12
ˆ
P
được coi là toán tử hoán vị, khi tác dụng lên trạng thái của
hệ hai hạt
,ab cho một trạng thái mới trong đó tọa độ hai hạt hoán vị cho

nhau.

12
ˆ
,,
Pab ba
Theo nguyên lí không phân biệt được các hạt đồng nhất, khi hoán vị hai hạt
bất kỳ ta được :

12
ˆ
P


 .
Khi hoán vị lần nữa :

22
12
ˆ
P

 

2
1 = 1

 
.
Trong cơ sở

,,,ab ba trực chuẩn ta có dạng ma trận của toán tử
12
ˆ
P
như
sau:
12 12
12 12
ˆˆ
,, ,,
01
ˆˆ
10
,, ,,
abP ab abP ba
baP ab baP ba








Phương trình trị riêng của toán tử
12
ˆ
P
.

11 1 1
22 2 2
01 01 0

10 10 0






   
  
 
   
  
  
   

Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì định thức các hệ số
bằng không:

2
1
0 1 = 1
1






 


Ta có các trạng thái riêng ứng với các trị riêng trên :



1
, , =1
2
1
, , =-1
2
s
a
ab ba
ab ba





Trạng thái
s

đối xứng với phép hoán vị hai hạt và trạng thái
a

phản đối

xứng với phép hoán vị hai hạt.

12
12
ˆ
ˆ
ss
aa
P
P






Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của các trạng thái phụ thuộc
vào các loại hạt. Các hạt có spin nguyên
, 0,1,2
ss
Sm m

 gọi là các hạt
bozon, tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt có spin bán nguyên
13
, ,
22
s
m  gọi là các hạt fermion, tuân theo thống kê Fermi- Dirac.
1.2.c. Nguyên lý loại trừ Pauli

Xét hệ hai hạt đồng nhất kí hiệu 1, 2 có phương trình Schrodinger:

ˆ
(1, 2) (1, 2)
HE


Trong trường hợp
(1, 2)

chứ có tính đối xứng ta phải đối xứng hóa
hàm sóng. Đối với một trạng thái bất kỳ ta có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của hai trạng thái
(1, 2), (2,1)


.

12
(1, 2) (2,1)CC





Khi
12
CCC ta có hàm sóng



(1, 2) (2,1)
s
C


.
Khi
12
'CCC  ta có hàm sóng


'(1,2) (2,1)
a
C


.
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa ta tìm được
11
, '
22
CC.
Tổng quát cho trường hợp hệ có nhiều hơn hai hạt
2N  .

1,
ˆ
(1, 2, , ) (1,2, , )
N
sij

iji
NC P N





đối với hệ hạt boson.

1,
ˆ
(1, 2, , ) ' ( 1) (1,2, , )
N
ij
aij
iji
NC P N






đối với hệ hạt fermion.
Xét hệ lượng tử gồm N hạt đồng nhất với khối lượng m và spin bằng 0
(hệ hạt boson) hoặc
1
2
(hệ hạt fermion) chuyển động trong trường thế ()Vr


.
Bỏ qua tương tác giữa các hạt ta có Hamiltonian của hệ bằng tổng các
Hamiltonian của từng hạt riêng rẽ.

0
11
ˆˆ
()
2
NN
i
i
ii
HH Vr
m











.
Phương trình Schrodinger của một hạt viết dưới dạng:

ˆ

() ()
ini nini
Hi i

 .

i
là biến số xác định vị trí và spin của hạt thứ i.


()
ni
i

là hệ các hàm riêng trực chuẩn của Hamiltonian.
Hàm sóng của hệ đang xét phụ thuộc vào tọa độ của N hạt được ký
hiệu là
(1, 2, , )N

, hàm sóng này là tổ hợp tuyến tính của các tích các hàm
sóng một hạt :
12
(1, 2, , ) (1) (2) ( )
nn nN
NN

 

.
Năng lượng của hệ là:

1
N
ni
i
E




.

Hàm sóng đối xứng:


12
1,
ˆ
(1) (2) ( )
N
skjnn nN
kkj
CP N

 



,
và hàm sóng phản xứng:



12
1,
ˆ
' 1 (1) (2) ( )
N
kj
akjnnnN
kkj
CP N

 




.
Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có
11
, '
!!
CC
NN

Đối với hệ hạt boson có thể có
i
k hạt cùng ở trạng thái ứng với mức
năng lượng

ni

. Gỉa sử có
1
k hạt ở trạng thái
1
n ,
2
k hạt ở trạng thái
2
n …với
12
kk N. Hàm sóng của hệ viết lại như sau:


11 1121 21 22
ˆ
(1) (2) ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( )
snnnnn nnN
CP k k k k N

     



Trong đó hệ số chuẩn hóa
!
!
j
j

k
C
N



Đối với hệ hạt fermion hàm sóng có thể viết dưới dạng định thức Slater
11 1
22 2
(1) (2) ( )
(1) (2) ( )
(1, , )

(1) (2) ( )
nn n
nn n
a
nN nN nN
N
N
N
N
 
 

 







Nếu ta hoán vị hai hạt bất kỳ thì tương ứng với việc đổi chỗ hai cột
trong định thức Slater.
Trong định thức Slater, các bộ số lượng tử phải khác nhau,
ij
nn nếu
ij . Nếu có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng 0 hay 0
a

 .
Nguyên lí Pauli được phát biểu như sau: trong hệ nhiều fermion đồng
nhất không thể có nhiều hơn một hạt trên một trạng thái.

Hệ các boson không bị chi phối bởi nguyên lí loại trừ Pauli, trạng thái
cơ bản có thể chứa rất nhiều hạt gọi là sự ngưng tụ Bose.
1.2.d. Tương tác trao đổi
Xét hệ hạt đồng nhất, hạt thứ nhất xác định bởi tọa độ
1
r

và spin
1

,
hạt thứ hai được xác định bởi tọa độ
22
, spin r



… Hamiltonian của các hạt
tương tác điện ( không có từ trường) không chứa các toán tử spin, do đó khi
tác động lên hàm sóng nó không tác động lên biến spin. Hàm sóng của hệ có
thể viết dưới dạng tích của hàm tọa độ và hàm spin:

12 1 2
(1, 2, , ) ( , , , ) ( , , , )
NN
Nrrr

  




Với

là hàm spin của hệ, phụ thuộc biến spin của hạt.
Xét hệ hạt boson có spin bằng 0, khi đó hàm sóng chỉ còn là hàm tọa
độ
12
(, )rr


, hàm này phải là hàm đối xứng. Như vậy không phải tất cả các
mức năng lượng thu được từ việc giải phương trình Schrodinger đều chấp
nhận, chỉ có những mức năng lượng ứng với hàm sóng
12
(, )rr




đối xứng được
chấp nhận.
Việc hoán vị hai hạt đồng nhất tương đương với phép nghịch đảo hệ
tọa độ. Do phép nghịch đảo hàm sóng
12
(, )rr



phải nhân với

1
l

trong đó l
là mômen quỹ đạo của chuyển động tương đối của hai hạt. Vì hàm sóng của
hệ là đối xứng nên:

(1) '
l
s
ss



.
Vậy hệ hai hạt đồng nhất có spin bằng không có mômen quỹ đạo chẵn.
Xét hệ hạt fermion (electron) có spin

1
2
khi đó hàm sóng toàn phần
của hệ là phản đối xứng đối với sự hoán vị hai hạt. Như vậy nếu hàm tọa độ
là đối xứng thì hàm spin là phản đối xứng và ngược lại. Ta viết hàm spinnơ
dưới dạng spinnơ hạng hai
()


, mỗi chỉ số ứng với spin của một hạt.

Do đó các mức năng lượng tương ứng với các nghiệm đối xứng
12
(, )rr


của phương trình Schrodinger thực tế có thể được thực hiện khi spin
toàn phần của hệ bằng không, nghĩa là khi spin của hai electron “ đối song” ,
khi đó
0
z
S  .
Các mức năng lượng tương ứng với hàm sóng phản đối xứng
12
(, )rr




đòi hỏi spin toàn phần của hệ phải bằng đơn vị , nghĩa là các spin của hai

electron phải song song vì các spin cộng lại được theo quy tắc cộng véctơ,
khi đó
0, 1
z
S .
Như vậy giá trị năng lượng khả dĩ của hệ electron phụ thuộc vào spin
toàn phần của hệ. Ta tìm dạng tổng quát của hàm spinnơ
12
(, )
zz
ss

toàn phần
cho các trạng thái với các S và
z
S đã cho. Các hàm này thỏa mãn phương
trình:

22
ˆ
(1)
ˆ
zs
SSS
Sm














Trong đó
12
ˆˆˆ
SSS là toán tử spin toàn phần của hệ. Ta biểu diễn hàm

dưới dạng tích các hàm riêng
111 1
222 2
(1), (1), (2), (2)



. Trường hợp
tổng quát hàm

có thể viết như sau:
11 1 2 1 1 31 1 4 1 1
22 22 22 22
(1,2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)CC C C

   
  

   .
Trong đó
1234
,,,CCCC là các hệ số được xác định bằng điều kiện chuẩn hóa.
Ta có :
1
111
22
(1) (2) S=1, S 1
z
 


1
01111
22 22
1
(1) (2) (1) (2) S=1, S 0
2
z



 



1
11 1
22

(1) (2) S=1, S 1
z
 




0
01111
22 22
1
(1) (2) (1) (2) S=0, S 0
2
z



 



Trong đó chỉ số trên ký hiệu spin toàn phần của hai hạt, chỉ số dưới ký
hiệu hình chiếu của spin toàn phần lên trục z. Ba hàm đầu là hàm đối xứng
với phép hoán vị hai hạt, hàm còn lại là hàm phản đối xứng.
Xác định các trị riêng của tích vô hướng
12
(.)SS .




2222 222
1 2 1 2 12 12 1 2
2
222
12 1 2
1
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆˆ
() 2() ()
2
13
ˆˆ ˆˆˆ
() (1)
222
ss s
S SS SS SS SS SSS
SS SSS SS
 
    

  



Ta coù:

Đối với hàm spin đối xứng có S = 1:

2
11
12

ˆˆ
()
4
SS




.
Đối với hàm spin phản đối xứng có S = 0:

2
00
12
3
ˆˆ
()
4
SS





Hàm tọa độ:



12 1 2 1 2
12 1 2 1 2

1
(, ) () () () ()
2
1
(, ) () () () ()
2
anmmn
snmmn
rr r r r r
rr r r r r





Vậy hàm sóng toàn phần của hệ hai electron:

1
12 12 1 1 2 1 2 1 1
22
1
(,) (,) () () () () (1) (2)
2
aa nmmn
rr rr r r r r
 
  

1
12 12 0 1 2 1 2 1 1 1 1

22 22
1
(,) (,) () () () () (1) (2) (1) (2)
2
aa nmmn
rr rr r r r r
 



   







1
12 12 1 1 2 1 2 1 1
22
0
12 12 0 1 2 1 2 1 1 1 1
22 22
1
(,) (,) () () () () (1) (2)
2
1
(, ) (, ) () () () () (1) (2) (1) (2)
2

aa nmmn
as nmmn
rr rr r r r r
rr rr r r r r
 
 



  


   






Tính không phân biệt được của hệ hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của
tương tác trao đổi giữa các hạt. Ta xét hệ gồm hai hạt có spin
1
2
, giữa chúng
có một tương tác không liên quan đến spin của các hạt. Giả sử tương tác này
đủ nhỏ để có thể xem là nhiễu loạn đối với hệ hạt không tương tác. Ký hiệu
nhiễu loạn đó là toán tử
12
ˆ
()

Vr trong đó
12
r là khoảng cách giữa các hạt.
12
ˆ
()
Vr không tác dụng lên spin của hệ.
Năng lượng trung bình trong phép gần đúng bậc một được tính:

(1) (0)* (0)
ˆ
nnn nn
EV VdV



.
Đối với hệ hai hạt có spin thì công thức trên được viết lại:

(1) (0)* (0)
12
ˆ
E V dV dV




.
Hàm
(0)


mô tả trạng thái không nhiễu loạn, nghĩa là trạng thái các
hạt không tương tác. Hàm sóng của hệ gồm hai thành phần nhưng toán tử
12
ˆ
()
Vr không tác động lên hàm spinnơ, do đó ta đưa hàm spin ra khỏi dấu
tích phân.
Ta viết lại dạng ma trận của hàm spin, khi S = 0 hàm spinnơ bằng 1,
khi S = 1 thì hàm spinnơ có dạng:

1
0
1
( ) , :


 








số lượng tử của hình chiếu spin toàn phần với
2
1
i

i



.
Vậy:

1
2
(1) *** * *
1 0 1 0 12 12
1
*
12
ˆˆ
(1,2) (1,2) (1, 2) (1,2)
ˆ
(1, 2) (1, 2)
i
i
E V dVdV V dV dV
VdVdV

      
















Với
(1, 2)

là hàm tọa độ .




1
(1,2) (1) (2) (1) (2)
2
1
(1,2) (1) (2) (1) (2)
2
amnnm
smnnm






*
(1)
12
** **
12 12
1
ˆ
(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
2
ˆˆ
(1) (2) (1) (2) (1) (2) (2) (1) .
mn nm mn nm
mn mn mn m n
E V dV dV
V dV dV V dV dV Q A
   
    
  




Vậy hiệu chính năng lượng của hai hạt có spin
1
2
gồm hai phần. Phần
thứ nhất không liên quan đến sự có mặt của spin ở các hạt và có sự tương tự
cổ điển. Dấu
 phụ thuộc vào spin toàn phần của hệ mặc dù tương tác giữa

các spin không được toán tử
12
ˆ
()
Vr xét đến. Phần năng lượng A gọi là tương
tác trao đổi. Gọi như vậy là do trong các hàm đứng trước toán tử
ˆ
V dưới dấu
tích phân và trong các hàm đứng sau toán tử
ˆ
V các hạt trao đổi chỗ cho
nhau, như vậy mỗi hạt như thể ở trong cả hai trạng thái. Năng lượng trao đổi
thu được cả trong trường hợp toán tử
ˆ
V có xét đến tương tác giữa các
mômen từ spin, tức là toán tử
ˆ
V
có tác động lên các phần spinnơ của hàm
sóng.
1.3. Kết luận
Trên đây là một số lí thuyết cơ bản về phần spin và hệ hạt đồng nhất.
Để hiểu và vận dụng được lí thuyết trên ta cần có một hệ thống bài tập với
nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó.
Chúng ta xây dựng hệ thống bài tập nhằm đáp ứng yêu cầu trên.

Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP SPIN VÀ HỆ HẠT ĐỒNG
NHẤT
Bài 1.
Tính bình phương của hình chiếu spin của electron trên một phương

bất kỳ.
Lời giải
Vì spin là đại lượng véctơ nên ta có
S=S S S


xy z
ijk.
Hình chiếu spin lên một trục bất kỳ
S.n = S S S


xx yy zz
nnn








S.n = S S S S S S
SSS
SS SS S S S S SS SS
SSS











2
2
22
2
22


xx yy zz xx yy zz
xx yy zz
xxyy xxzz y yxx yyzz zzxx zzyy
xx yy zz
nnnnnn
nnn
nn nn nn nn nn nn
nnn

Vì



x y xy yx
S,S SS SS 0.
Ta có:
S

S
S









22
22
xx
22
22
yy
22
22
zz
ˆ
I
44
ˆ
I
44
ˆ
I.
44
ˆ

ˆ
ˆ








S.n S S S




2
2
22
22
222


44
xx yy zz
xyz
nnn
nnn


Nhận xét

Kết quả bài toán cho thấy bình phương hình chiếu spin lên một
phương bất kỳ đều bằng nhau. Tức là hình chiếu spin lên một phương có thể
có hai giá trị là


2
. Do vậy mà ta rất khó xác định được trạng thái của spin

ˆ
S
. Nếu xét hệ nhiều hạt thì việc xác định spin toàn phần của hệ rất khó
khăn.
Bài 2.
Giả sử
, là các véctơ trực giao và chuẩn hóa trong không gian
hai chiều. Định nghĩa các toán tử:



x
y
z
S=
2
i
S=
2
S=
2


  




ˆ
ˆ
ˆ

Hãy chứng minh :









2
ˆˆ ˆ ˆˆ
, ; ,
2
ij ijk k ij ij
SS i S SS .
Lời giải
Chứng minh






ˆˆ ˆ
,
ij ijk k
SS i S
Vì
, là các véctơ trực giao và chuẩn hóa nên ta có:







1
0.

Để chứng minh các hệ thức trên ta tính các hệ thức giao hoán



x y xy yx
ˆˆˆˆˆ
S,S SS SS




    

  



22
ii
44
i.
2

Vậy
 

 

xy z yx
ˆˆ ˆ ˆˆ
S,S iS S,S

 
 
 

zy x yz
ˆˆ ˆ ˆˆ
S,S iS S,S

 
 
 


xz y zx
ˆˆ ˆ ˆˆ
S,S iS S,S
.
Ta có:



xx yy zz
ˆˆ ˆˆ ˆˆ
S,S S,S S,S 0
.
Từ các kết quả trên ta viết lại dưới dạng tổng qt sau:





ij ijk k
ˆˆ
S,S i S
.
Trong đó
ijk

là tenxơ phản đối xứng, gọi p là số hốn vị đưa (i, j, k)
về tập hợp (1, 2, 3). Khi ấy
ijk


được định nghĩa như sau:
Với
ijk
1 nếu i j k và p là số chẵn
1 nếu i j k và p là số lẻ
0 nếu có từ hai chỉ số trở lên trùng nhau




 




Chứng minh:




2
ˆˆ
,
2
ij ij
SS

Ta có




ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ
,2
x x xx xx xx
S S SS SS SS

     



222
2
422

Vì theo hệ thức đóng:
1
1
n
ii
i
ee

 

nên




 =1.

Tương tự:



2
yy zz
ˆˆ ˆˆ
S,S S,S
2






x y xy yx
ˆˆˆˆˆ
S,S SS SS


        

22
ii
44

    




22
ii
44




xy
ˆˆ
S,S 0
.
Tương tự:





yz zx
ˆˆ ˆˆ
S,S S,S 0
.
Từ các kết quả trên ta viết lại dưới dạng tổng quát như sau:




2
ˆˆ
,
2

ij ij
SS
Với







ij
1neáuij
0neáuij.

Nhận xét
Bài toán yêu cầu chứng minh các hệ thức giao hoán và phản giao hoán
của các toán tử
ˆˆˆ
,,
xyz
SSS, ta có thể sử dụng kết quả trên để áp dụng cho
những bài tập khác. Đây là bài tập cơ bản giúp sinh viên vận dụng những
kiến thức đã học về lí thuyết spin.
Bài 3:
Hãy biểu diễn véctơ
ˆ
.;Sn




như là một tổ hợp tuyến tính của các
véctơ
 và  , biết rằng
ˆ
.;Sn



thoả mãn phương trình:

1
ˆˆ ˆ
; .;
2
Sn Sn Sn





 
 

Ở đây,
là véctơ đơn vị được xác định hướng như hình vẽ:


z n


β
y
α

x
Lời giải
Ta phân tích véctơ
ˆ
.;Sn



thành dạng tổ hợp tuyến tính của hai véctơ
 và  như sau :
ˆ




S.n,+ =a +b
. Thay vào phương trình trị riêng và
sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng để xác định hai hằng số a và b.
Đặt:
ˆ



S.n,+ =a +b

.
Vì
ˆ
S

vừa có ý nghĩa spin vừa có ý nghĩa véctơ nên ta tính tích vô
hướng
.Sn


sau đó thay vào phương trình trị riêng
xyz
n=n i+n j+nk


và
xyz
S=S i+S j+Sk




Với
x
y
z
n=nsinβcosα
n=nsinβsinα
n=ncosβ







ˆˆ
xyz
xyz
  
  









S.n = S .nsin cos +S .nsin sin +S .ncos
S.n S.n;+ =(S .nsin cos +S .nsin sin +S .ncos )(a + + b )


sin cos ( ) sin cos ( )
2
x
ab ab
 
       


S



sin cos
2
ab






sin sin ( ) sin sin ( )
2
sin sin
2
y
i
ab ab
i
ab
 

       



S



cos ( ) cos ( )
2
cos
2
z
ab ab
ab


       



S

Thay kết quả trên vào vế trái của phương trình trị riêng ta được:
 
.
ˆˆ
;
sin cos sin sin cos
222
Sn Sn
i
ab ab ab
  





   



Theo đề bài:

 

.
11
ˆˆ ˆ
ˆˆ
; .;
22
sin cos sin sin cos
222
1

2
Sn Sn Sn a b
i
ab ab ab
ab
  




   


 




Đồng nhất thức hai vế ta được:




2
2
2
sin cos sin sin cos sin 1 cos

sin cos sin sin cos
sin 1 cos
1cos

1cos
i
i
bi aabea
i
ai bb
aeb
b

e
a



   

  















 







  




Mặt khác từ điều kiện chuẩn hóa :
22
1ab


Nên ta thu được hệ gồm hai phương trình :
2
2
2
22
1
1cos
1cos
i
b
e
a
ab




















Giải hệ thu được :
2
2
2
22
11cos
1cos
1cos (1cos)
1
1cos
(1 cos ) 1 cos
1 cos (1 cos ) (1 cos ) 1 cos
i
i
i
ii
a
e

e
e
b
ee













 





 
  






  

Vậy:
22
.
1 cos 1 cos
ˆ
.;
1 cos (1 cos ) (1 cos ) 1 cos
ii
Sn
ee


  


   
  



  
Nhận xét
Đây là bài toán cơ bản của cơ học lượng tử. Khi spin bị lượng tử hóa
hình chiếu spin có hai giá trị :
,
22 2 2
zz
SS 

  
.
Như vậy một trạng thái bất kỳ có thể được biểu diễn thông qua hai véctơ
trực chuẩn
,
zz
SS      .
ab



Chỉ cần sử dụng phương trình trị riêng và điều kiện chuẩn hóa ta có thể xác
định được hai hằng số a,b.
Bài tập này giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng biểu diễn một trạng thái bất kỳ
qua hai trạng thái trực chuẩn.
Kiến thức

Đối với bài toán này ta cần nhớ phương trình trị riêng và điều kiện
chuẩn hóa hàm sóng
1
1
n
n
C



. Và cũng chú ý rằng spin
ˆ
S


vừa có ý nghĩa
toán tử vừa có ý nghĩa véctơ.

Phương pháp giải

Ta cần biểu diễn trạng thái ban đầu của hệ thơng qua các véctơ cơ sở
như sau:
ˆ
.;
Sn a b  


. Tính tích vơ hướng hai véctơ
.Sn


sau đó thay
vào phương trình trị riêng :

11
ˆˆ ˆ ˆ
; .; .
22
Sn Sn Sn Sn a b a b
 
 
 
        
  

  

Đồng nhất hai vế ta thu được hệ phương trình hai ẩn a và b, giải hệ tìm a, b
sau đó thay vào phương trình
ˆ
.;
Sn a b




.
Bài 4.
Giả sử hệ nằm tại trạng thái mơ tả bởi véctơ riêng của tốn tử S.n ứng
với trị riêng
1
2
, trong đó n

được xác định bởi các giá trị 0


, 0

 .
a.
Giả sử đo đại lượng
ˆ
x
S . Xác suất nhận được giá trị

1
2
là bao nhiêu?
b.
Hãy tính
2
ˆˆ
()
xx
SS .
Lời giải
Do
x
S có hai giá trị là
1
2
và
1
2

với xác suất tương ứng là
1
2
P và
1
2
P

,
mà

11
22
1PP

. Ta có giá trị trung bình của
x
S được tính :
11
22
11
ˆ
22
x
SPP

 .
Ta cũng tính được giá trị trung bình của
ˆ
x
S theo cơng thức
ˆˆ
xx
SS


 . Từ hai phương trình trên ta tính được
1
2
P và
1

2
P

.
Trạng thái của hệ được mô tả bởi véctơ riêng
ˆ
.;
Sn a b




,