DS c4 bat dang thuc

Chương 44

BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHUYÊN ĐỀ 1
BẤT ĐẲNG THỨC

Câu 1. Cho bất đẳng thức a − b ≤ a + b . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
A. a = b .

B. ab ≤ 0 .

C. ab ≥ 0 .
Hướng dẫn giải

D. ab = 0 .

Chọn B.
Tính chất của bất đẳng thức.
2
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + 3 x với x ∈¡ là:
9
A. − .
4

3
B. − .
2

C. 0 .
Hướng dẫn giải

3
D. .
2

Chọn C.
x 2 ≥ 0 
2
Ta có:
 ⇒ x +3 x ≥ 0.
x ≥ 0 
Câu 3. Cho biểu thức f ( x ) = 1 − x 2 . Kết luận nào sau đây đúng?
A.Hàm số f ( x ) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
B.Hàm số f ( x ) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

D. Hàm số f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: f ( x ) ≥ 0 và f ( 1) = 0 ; f ( x ) ≤ 1 và f ( 0 ) = 1 .

Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhấtbằng 1 .
1
Câu 4. Cho hàm số f ( x ) =
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x2 + 1
A. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1 .

B. f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1 .
C. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất là 1 , giá trị lớn nhất bằng 2 .

D. f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: 0 < f ( x ) ≤ 1; ∀x ∈ ¡ và f ( 0 ) = 1 . Vậy f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất, giá
trị lớn nhất bằng 1 .
Câu 5. Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b
9
9
A. có giá trị nhỏ nhất là .
B. có giá trị lớn nhất là .
4
4
3
C. có giá trị lớn nhất là .
D. không có giá trị lớn nhất.
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 1/9


Vì a và b là hai số bất kì nên không xác định được giá trị lớn nhất của tích
ab .
Câu 6. Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a + b − c > 0 ; b + c − a > 0 ; c + a − b > 0 . Để
ba số a ; b ; c là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì ?
A. Cần có cả a, b, c ≥ 0 .
B. Cần có cả a, b, c > 0 .

C. Chỉ cần một trong ba số a, b, c dươngD. Không cần thêm điều kiện gì.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 7. Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì
A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất.
B. Hình vuông có diện tích lớn nhất.
C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất.
D. Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si.
Câu 8. Tìm mệnh đề đúng?
1 1
A.  a < b ⇒ ac < bc .
B. a < b ⇒ > .
a b
C. a < b và c < d ⇒ ac < bd .
D.  a < b ⇒  ac < bc, ( c > 0 ) .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.
Câu 9. Suy luận nào sau đây đúng?
a > b
a > b
a b
⇒ > .
A. 
⇒ ac > bd .
B. 
c d

c > d
c > d
a > b
a > b > 0
C. 
⇒ a−c > b−d .
D. 
⇒ ac > bd .
c > d
c > d > 0
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.
Câu 10. Trong các tính chất sau, tính chất nào sai?
a < b
0 < a < b
a b
⇒ < .
⇒ a+c A. 
B. 
d c
c < d
0 < c < d
0 < a < b
a < b
⇒ ac < bd .
⇒ a−c < b−d .
C. 
D. 

0 < c < d
c < d
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.
Câu 11. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
a < b
1 1
A. a < b ⇒ > .
B. a < b ⇒ ac < bc . C. 
⇒ ac < bd . D. Cả A, B, C đều
a b
c < d
sai.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.
Câu 12. Mệnh đề nào sau đây sai?
a < b
a ≤ b
⇒ a+c < b+d .
⇒ ac < bd .
A. 
B. 
c < d
c ≤ d
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 2/9

a ≤ b
C. 
⇒ a−c < b−d .
c > d

D. ac ≤ bc ⇒ a ≤ b . ( c > 0 )

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Tính chất của bất đẳng thức.
Câu 13. Cho biểu thức P = −a + a với a ≥ 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
1
.
4
1
C.Giá trị lớn nhất của P là .
2
A.Giá trị nhỏ nhất của P là

B.Giá trị lớn nhất của P là

1
.
4

D. P đạt giá trị lớn nhất tại a =

1
.

4

Hướng dẫn giải
Chọn B.

( )

2

1 
1 1
Ta có: P = − a + a = − a + a = −  a − ÷ ≤ .
4 
2 4
2
Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = 2
bằng
x − 5x + 9
11
4
11
A. .
B. .
C. .
4
11
8
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2

D.

8
.
11

2

5  11 11

Ta có: x − 5 x + 9 =  x − ÷ + ≥ ; ∀x ∈ ¡ .
2
4 4

2
8
8
≤ . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
Suy ra: f ( x ) = 2
.
x − 5 x + 9 11
11
2
Câu 15. Cho f ( x ) = x − x . Kết luận nào sau đây là đúng?
2

1
A. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất bằng .
B. f ( x ) có giá trị lớn nhất bằng

4
1
C. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất bằng − .
D. f ( x ) có giá trị lớn nhất bằng
4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
1 1
1 1 1 
1 1
 2
2
f ( x ) = x − x = −  x − x + ÷+ = −  x − ÷ ≤ và f  ÷ = .
2 4
4 4 4 
2 4


1
.
2
1
.
4

Câu 16. Bất đẳng thức ( m + n ) ≥ 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?
2

A. n ( m − 1) − m ( n − 1) ≥ 0 .

2

2

B. m 2 + n 2 ≥ 2mn .

C. ( m + n ) + m − n ≥ 0 .

D. ( m − n ) ≥ 2mn .
Hướng dẫn giải

2

2

Chọn B.

( m + n)

2

≥ 4mn ⇔ m 2 + 2mn + n 2 ≥ 4mn ⇔ m 2 + n 2 ≥ 2mn .

Câu 17. Với mọi a, b ≠ 0 , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. a − b < 0 .

B. a 2 − ab + b2 < 0 .
C. a 2 + ab + b 2 > 0 .
Hướng dẫn giải

D. a − b > 0 .

Chọn C.
2

2

b  b  3b 2 
b  3b 2
a + ab + b = a + 2a +  ÷ +
= a + ÷ +
> 0; ∀b ≠ 0 .
2 2
4 
2
4
Câu 18. Với hai số x , y dương thoả xy = 36 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?
2

2

2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 3/9


A. x + y ≥ 2 xy = 12 .

B. x + y ≥ 2 xy = 72 .

2

C. 4xy ≤ x + y .
2

2

Hướng dẫn giải

 x+ y
D. 
÷ ≥ xy = 36 .
 2 

Chọn A.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có:
x + y ≥ 2 xy = 2 36 = 12 .
Câu 19. Cho hai số x , y dương thoả x + y = 12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?
2

 x+ y
B. xy < 
÷ = 36 .
 2 
D. xy ≥ 6 .
Hướng dẫn giải

A. xy ≤ 6 .

C. 2xy < x 2 + y 2 .

Chọn A.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có:
x+ y
xy ≤
=6.
2
Câu 20. Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy = 2 . Giá trị nhỏ nhất của A = x 2 + y 2 .
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x 2 và y 2 . Ta có:
A = x2 + y 2 ≥ 2 x2 y 2 = 2
Câu 21. Cho a > b > 0 và x =
A. x > y .
C. x = y .

( xy )

2

= 4 . Đẳng thức xảy ra x = y = 2 .

1+ a
1+ b
y=

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2 ,
1+ a + a
1 + b + b2
B. x < y .
D. Không so sánh được.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
1
1
1
1
Ta có: = a +
và = b +
.
y
b +1
x
a +1


1 1
1
Suy ra: − = ( a − b ) 1 −

x y
 ( a + 1) ( b + 1) 
Do a > b > 0 nên a + 1 > 1 và b + 1 > 1 suy ra:

1

( a + 1) ( b + 1)

< 1 ⇒ 1−

1

( a + 1) ( b + 1)

>0.

1 1
1 1
1 1
− > 0 ⇔ > do x > 0 và y > 0 nên > ⇔ x < y .
x y
x y
x y
Câu 22. Với a, b, c, d > 0 . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai?
a
a a+c
a
a a+c
A. < 1 ⇒ <
.
B. > 1 ⇒ >
.
b
b b+c

b
b b+c
a c
a a+c c
< .
C. < ⇒ <
D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề
b d
b b+d d
trên là sai.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
a a + c ( a − b) c
=
Ta có: −
suy ra A, B đúng.
b b + c b ( b + c)
Vậy

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 4/9


2

a 2 + b2  a + b 
Câu 23. Hai số a, b thoả bất đẳng thức
≤
÷ thì

2
 2 
A. a < b .
B. a > b .
C. a = b .
D. a ≠ b .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
2
2
2
a 2 + b2  a + b 
2
2
≤
÷ ⇔ 2a + 2b ≤ ( a + b ) ⇔ ( a − b ) ≤ 0 ⇔ a = b .
2
 2 
a b
Câu 24. Cho a, b > 0 . Chứng minh + ≥ 2 . Một học sinh làm như sau:
b a
2
2
a b
a +b
I) + ≥ 2 ⇔
≥ 2 ( 1)
b a
ab
II) ( 1) ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔ a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0 ⇔ (a − b) 2 ≥ 0 .

a b
2
III) và ( a − b ) ≥ 0 đúng ∀a, b > 0 nên + ≥ 2 .
b a
Cách làm trên :
A. Sai từ I).
B. Sai từ II).
C. Sai ở III).
D. Cả I), II), III) đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 25. Cho a, b, c > 0 . Xét các bất đẳng thức sau:
a b
a b c
1 1
+ ≥2.
II) + + ≥ 3 .
III) ( a + b )  + ÷ ≥ 4 .
b a
b c a
a b
Bất đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.
C. Chỉ III) đúng.
D. Cả ba đều
đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
a b

a b
a b c
a b c
Ta có: + ≥ 2 . = 2 ⇒ ( I ) đúng; + + ≥ 3 3 . . = 3 ⇒ ( II ) đúng;
b a
b a
b c a
b c a
a + b ≥ 2 ab 

1 1
1 1
1  ⇒ ( a + b )  a + b ÷ ≥ 4 ⇒ ( III ) đúng.


+ ≥2

a b
ab 
a b
a b c
1 1 1
9
+ ≥ 2 ( I) ,
+ + ≥ 3 ( II ) ,
+ + ≥
Câu 26. Cho các bất đẳng thức:
( III )
b a
b c a

a b c a+b+c
(với a, b, c > 0 ). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?
A. chỉ I đúng.
B. chỉ II đúng.
C. chỉ III đúng.
D. I , II , III
đều
đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
a b
a b
a b c
a b c
Ta có: + ≥ 2 . = 2 ⇒ ( I ) đúng; + + ≥ 3 3 . . = 3 ⇒ ( II ) đúng;
b a
b a
b c a
b c a
1 1 1
1
1 1 1
9
 + + ≥ 33
 1 1 1
⇒ ( III ) đúng.
abc ⇒ ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9 ⇒ + + ≥
a b c
a
b

c
a
b
c
a
+
b
+
c


 a + b + c ≥ 3 3 abc

Câu 27. Cho a, b, c > 0 . Xét các bất đẳng thức:
I)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 5/9


 1 1 1
II) ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9
III) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 9 .
a b c
Bất đẳng thức nào đúng:
A. Chỉ I) và II) đúng.
B. Chỉ I) và III) đúng.
C. Chỉ I) đúng.
D. Cả ba đều đúng.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
• a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ ( I ) đúng;

I) a + b + c ≥ 3 3 abc

•

1 1 1
1
1 1 1
9
 + + ≥ 33
 1 1 1
abc ⇒ ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9 ⇒ + + ≥
⇒ ( II ) đúng;
a b c
a
b
c
a
b
c
a
+
b
+
c



a + b + c ≥ 3 3 abc


a + b ≥ 2 ab ; b + c ≥ 2 bc ; c + a ≥ 2 ca ⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc ⇒ ( III ) sai.
Câu 28. Cho a, b, c > 0 . Xét các bất đẳng thức:
•

 a  b   c 
2
 2
 2

I) 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 8 .
II)  + b + c ÷ + c + a ÷ + a + b ÷ ≥ 64 .
 b  c   a 
a
 b
 c

III) a + b + c ≤ abc . Bất đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.
C. Chỉ I) và II) đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
abc
a
a
b

b
c
c
 a   b  c 
⇒  1 + ÷ 1 + ÷ 1 + ÷ ≥ 8
=8⇒( I)
;
;
1+ ≥ 2
1+ ≥ 2
1+ ≥ 2
bca
b
b
c
c
a
a
 b   c  a 
đúng.

1
b 1
c
2
bc
bc
; +c ≥ 2
+b ≥ 2
⇒ + b + c ≥ 2 4 2 = 44 2 .

a
a a
a
a
a
a
2
ac 2
ab
+ c + a ≥ 44 2 ; + a + b ≥ 44 2 .
b
b
c
c
2
 2
 2

Suy ra:  + b + c ÷ + c + a ÷ + a + b ÷ ≥ 64 ⇒ ( II ) đúng.
a
b
c




Tương tự:

Ta có: 3 3 abc ≤ a + b + c ≤ abc ⇔

3

( abc )

2

≥ 3 ⇔ abc ≥ 3 3 ⇒ ( III ) sai.

Câu 29. Cho x, y, z > 0 và xét ba bất đẳng thức(I) x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3xyz ; (II)

x y z
+ + ≥ 3 . Bất đẳng thức nào là đúng?
y z x
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ I và III đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

1 1 1
9
+ + ≤
;
x y z x+ y+ z

(III)

C.

Chỉ III đúng.

x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 3 x 3 y 3 z 3 = 3xyz ⇒ ( I ) đúng;
1 1 1
1
 + + ≥ 33
1 1 1
9
1 1 1
xyz ⇒  + + ÷( x + y + z ) ≥ 9 ⇒ + + ≥
⇒ ( II ) sai;
x y z
x y z x+ y+z
x y z


3
 x + y + z ≥ 3 xyz
x y z
x y z
+ + ≥ 3 3 . . = 3 ⇒ ( III ) đúng.
y z x
y z x
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 6/9


Câu 30. Cho a, b > 0 và ab > a + b . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a + b = 4 .
B. a + b > 4 .

C. a + b < 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
Do đó: ab > a + b ⇔

( a + b)

2

( a + b)
ab ≤

D. a + b ≤ 4 .

2

4

.

> a + b ⇔ ( a + b) − 4 ( a + b) > 0 ⇔ ( a + b ) ( a + b − 4) > 0
2

4
⇔ a + b − 4 > 0 (vì a + b > 0 ) ⇔ a + b > 4 .
Câu 31. Cho a < b < c < d và x = ( a + b ) ( c + d ) , y = ( a + c ) ( b + d ) , z = ( a + d ) ( b + c ) . Mệnh đê
nào sau đây là đúng?
A. x < y < z .
B. y < x < z .

C. z < x < y .
D. x < z < y .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: x − y = ( a + b ) ( c + d ) − ( a + c ) ( b + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) − a ( b + d ) − c ( b + d )

= a ( c − b ) + bd − cd = ( d − a ) ( b − c ) < 0 .
Suy ra: x < y .
Tương tự: x − z = ( a − c ) ( d − b ) < 0 ⇒ x < z ; y − z = ( a − b ) ( d − c ) < 0 ⇒ y < z .

3
3
Câu 32. Với m , n > 0 , bất đẳng thức: mn ( m + n ) < m + n tương đương với bất đẳng thức
2
2
A. ( m + n ) ( m + n ) ≥ 0 .

2
2
B. ( m + n ) ( m + n + mn ) ≥ 0 .

C. ( m + n ) ( m − n ) > 0 .
2

D. Tất cả đều sai.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
mn ( m + n ) < m3 + n3 ⇔ m 2 n − m3 + mn 2 − n 3 < 0

⇔ −m2 ( m − n ) + n2 ( m − n ) < 0 ⇔ ( m − n )
Câu 33. Bất đẳng thức:

( m + n) > 0 .
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a ( b + c + d + e ) , ∀ a , b , c, d
2

tương đương với

bất đẳng thức nào sau đây?
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b 
c 
d 
e

A.  a − ÷ +  a − ÷ +  a − ÷ +  a − ÷ ≥ 0 .
2 
2 
2 
2

a 
a 
a 
a

B.  b − ÷ +  c − ÷ +  d − ÷ +  e − ÷ ≥ 0 .
2 
2 
2 
2


a 
a 
a 

a

C.  b + ÷ +  c + ÷ +  d + ÷ +  e + ÷ ≥ 0 .
2 
2 
2 
2

2
2
2
2
D. ( a − b ) + ( a − c ) + ( a − d ) + ( a − d ) ≥ 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a ( b + c + d + e )

 a2
  a2
  a2
  a2

⇔  − ab + b 2 ÷+  − ac + c 2 ÷+  − ad + d 2 ÷+  − ae + e 2 ÷ ≥ 0
 4
  4
  4
  4

2

2

2

2

a 
a 
a 
a

⇔ b − ÷ + c − ÷ + d − ÷ + e − ÷ ≥ 0 .
2 
2 
2 
2

Câu 34. Cho x, y > 0 . Tìm bất đẳng thức sai?
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 7/9


A. ( x + y ) ≥ 4 xy .

1 1
4
B. + <
.
x y x+ y

1
C. xy ≥

2
2
D. ( x + y ) ≤ 2 x + y .

2

4

( x + y)

2

(

2

.

)

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1 1
1 1
4
( x + y )  + ÷≥ 4 ⇒ + ≥

đẳng thức xảy ra ⇔ x = y .
x y x+ y
x y
Câu 35. Cho x 2 + y 2 = 1 , gọi S = x + y . Khi đó ta có
A. S ≤ 2 .

B. S ≥ 2 .

C. − 2 ≤ S ≤ 2 .
Hướng dẫn giải

D. −1 ≤ S ≤ 1 .

Chọn C.
Ta có: 1 = x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇒ 2 xy ≤ 1 .
Mặt khác: S 2 = ( x + y ) = x 2 + 2 xy + y 2 ≤ 2 ⇒ − 2 ≤ S ≤ 2 .
Câu 36. Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x + y = 2 . Gọi m = x 2 + y 2 . Khi đó ta có:
A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 .
B.giá trị nhỏ nhất của m là 4 .
m
C. giá trị lớn nhất của
là 2 .
D.giá trị lớn nhất của m là 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 − x .
2

Do đó: m = x 2 + y 2 = x 2 + ( 2 − x ) = 2 x 2 − 4 x + 4 = 2 ( x − 1) + 2 ≥ 2; ∀x ∈ ¡ .
Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2 .

2
2
2
x +1 x
Câu 37. Với mỗi x > 2 , trong các biểu thức: ,
,
,
, giá trị biểu thức nào là
x x +1 x −1
2
2
nhỏ nhất?
2
2
2
x
A. .
B.
.
C.
.
D. .
x
x +1
x −1
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
2

2
x x +1
< <
Ta có:
và <
.
x +1 x x −1
2
2
x
2
x2 + x − 4 ( x − 2) ( x + 2) + x
x
2
−
=
=
> 0; ∀x > 2 ⇒ >
Mặt khác:
.
2 x + 1 2 ( x + 1)
2 ( x + 1)
2 x +1
x
2
Câu 38. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = +
với x  >1  là
2 x −1
5
A.  2 .

B. .
C. 2 2 .
D. 3.
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
x
2
x −1
2
1
x −1 2
1 5
Ta có: f ( x ) = +
=
+
+ ≥2
.
+ = .
2 x −1
2
x −1 2
2 x −1 2 2
5
Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất bằng .
2
x−2
Câu 39. Cho x ≥ 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =
bằng
x

2

2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 8/9


A.

1
2 2

.

B.

2
.
2

2
.
2
Hướng dẫn giải

C.

D.

1
.
2

Chọn A.
2

x−2 1 2 1
1
1 1 1
Ta có f ( x ) ≥ 0 và  f ( x )  = 2 = − 2 = − 2  − ÷ ≤ ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤
.
x
x x
8
2 2
 x 4 8
1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
.
2 2
1
Câu 40. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 x + với x  > 0 là
x
1
A. 2 .
B.
.
C. 2 .

D. 2 2 .
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
1
Ta có: f ( x ) = 2 x + ≥ 2 2 x. = 2 2 .
x
x
Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 .
a
b
c
+
+
Câu 41. Với a, b, c > 0 . Biểu thức P =
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
b+c c+a a+b
3
3
4
3
A. 0 < P ≤ .
B. < P .
C. ≤ P .
D. ≤ P .
2
2
3
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
1 
 1
+
+
Ta có: P + 3 = ( a + b + c ) 
÷.
b+c c+a a +b 
1 1 1
9
+ + ≥
Áp
dụng
bất
đẳng
thức
suy
x y z x+ y+z
1
1
1
9
+
+
≥
.
b + c c + a a + b 2( a + b + c)
9

3
Do đó P + 3 ≥ ⇒ P ≥ ; đẳng thức xảy ra khi a = b = c .
2
2
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

ra:

Trang 9/9