BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM TPHCM
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN
TIỂU LUẬN TOÁN A2
GVHD: NGUYỄN TRƯỜNG SINH
Phần 1: giải bài tập chương 1
Thực hiện các phép toán trên ma trận
1
�4 �
� �
1
a. 1 2 3 4 � �
�0 �
� �
5 �
�
�3
c. �
�0
1
2
3
1
3 2�
�
�
�2 4 �
�
�
4 1�
�
�
�
�
3 1 �
�
�
�
�
0 1�
�
�2
b. �
�3
�2
d .�
�3
�2 2 1 �
1 2 �
�
�
4 2 3�
�
�
4 1 �
�
2 0 1 �
�
�
0�
�
1 2 �
��
1 2
�
�4 �
4 1�
�3 �
��
Giải
�4 �
� �
1
a) 1 2 3 4 � � 14
�0 �
� �
5 �
�
�2 2 1�
1 2 �
�
� �14 4 8 �
4
2
3
�
�
�
� �14 12
4 1 �
2 �
�
�
�
2 0 1 �
�
3 2�
�
14 28 �
�3 1 3 �
�2 4 � �5 8 �
�2 4 � �
�
�
4
1
c) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�3 1
8 1 �
3 1 � �13 33 �
�0 2 1 �
�
�
�
�
�
�
0 1�
�
0
��
�2 1 2 �
�3 �
�2 4 �
��
4
1
2
1
2
d) �
�
�
�
�
�
��
13 �
13 26 �
�3 4 1 �
�
�
��
3
��
�2 2 1 �
�2 1�
�1 1 2 � �
�
�
�
, B �4 2 3 �
, C �7 2 �.
Cho A �
�
�5 1 3 � �2 0 1 �
�1 6 �
�
�
�
�
�2
b) �
�3
tính (3A)(2BT), AB, BC, ABC, -4A-3C+I3.
Giải
�2 2 1�
�2 4 2 �
�4 88 4 �
�
�
�
�;
�
�
T
T
B �4 2 3 �� B �2 2 0 � 2 B �4 4 0 �
�2 0 1 �
�
�2 6 2 �
1 3 1 �
�
�
�
�
�
�
�3 3
15 3
�
3A= �
6�
�
9�
2
3 A 2 B
T
�1
AB �
�5
�3 3
�
15 3
�
1
1
2
3
6 0
�
ABC �
�8 12
6
9
�4 8 4 �
12 48
�
�
��
4
4
0
�
�
�
� 54 186
�
�
��
2
6
2
�
�
�2 2 1�
�
�4 2 3 � �6 0
�
�
��
�
�2 0 1 � �8 12
�
�
�2
2 �
�
�
�7
1�
�1
�
0 �
�
42 �
2 �
1�
�
1 �
14 6 �
��
2 � �
�
101 22 �
�
�
6�
-4A-3C+I3 khôngthựchiệnđược.
1 2�
�
Cho f(x)= 2x2 +3x-1, g(x)= x2 +2x-3, A � �. Tínhf(A), g(A).
2 5�
�
Giải
f(x)= 2x2 +3x-1
1 2�
1 2� �
1 2� �
1 0� �
10 24 � �
3 6 ��
1 0�
�
�
� f(A)= 2 �
�
�
� 3 �
� � � �
� �
� �
�
2 5�
2 5� �
2 5� �
0 1� �
24 58 � �
6 15 � �
0 1�
�
�
13 30 � �
1 0� �
12 30 �
�
�
� � � �
�
30 73 � �
0 1� �
30 72 �
�
g(x)= x2 +2x-3
1 2�
1 2� �
1 2� �
3 0 � �5 12 � �
2 4 ��
3 0�
�
�
� g(A)= �
�
�
� 3 �
� �
� �
� �
� � �
2 5�
2 5� �
2 5� �
0 3� �
12 29 � �
4 10 � �
0 3�
�
�
3 0 � �4 16 �
�7 16 � �
�
� �
� �
�
16 39 � �
0 3� �
16 36 �
�
1 a� �
a 1�
�
,B �
. TínhAn, B2011.
�
�
0
1
0
a
�
� �
�
Cho A= �
Giải
1 a�
1 a� �
1 2a �
�
�
A2 �
�
�
� �
�
0 1�
0 1� �
0 1�
�
�
1 a�
1 2a � �
1 3a �
�
�
A3 A. A2 �
�
�
� �
�
0 1�
0 1��
0 1�
�
�
1 na �
�
� An �
�
0 1�
�
0 1�
�
B�
�
0 a�
�
0 1�
0 1� �
a2
�
�
B 2 B.B �
�
�
��
0 a�
0 a � �0
�
�
2a �
�
a2 �
3
0 1�
�
a 2 2a � �
a 3 3a 2 �
�
B3 B.B 2 �
�
�
2 � �
3 �
0 a�
�
�0 a � �0 a �
�
a 2011 2011a 2010 �
2011
� B �
�
a 2011 �
�0
Cho A là ma trận vuông cấp 100 mà phầnt ử dòng i là I. Tính phần tử dòng 5
cột 3của ma trận A2.
Giải
ta có a53=5(1+2+...+100)=101,25
1
..
1 �
1
..
1 �
�1
�1
�
�
�
�
2
2
..
2 �
2
2
..
2 �
2 �
�
A �
�:
:
:
:
: �
:
:
: �
�
�
�
�
100 100 100 100 �
100 100 100 100 �
�
�
Cho A là ma trận vuông cấp 10, trong đó phần tử dòng thứ i là 2i-1. Tìm phần
tử dòng 1 cột 4 của ma trận A2.
Giải
Ma trận A2 phần tử dòng 1 cột 4 ta có
dòng 1:
20 20..... 20
cột 4: 20 21..... 29
� A14 210 1
a.
Tính các định thức sau
2 3 1
b. 0 2 2
1 3 m
2 3
1 2
1 0 3
c. 2 1 1
3 2 2
1
2
d.
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
Giải:
a)
2 3
2.2 3.1 1
1 2
2 3 1
b) 0 2 2 (4m 6 0) (2 12 0) 4 m 20 4( m 5)
1 3 m
1 0 3
c) 2 1 1 (2 0 12) (9 2 0) 3
3 2 2
1
2
d)
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
ta có các phần phụ đại số
4
3 4 1
11
A11 (1)
4 1 2 36
2 3 1
A13 1
1 3
4 2 3
4 1 3
2 4 1
A12 1
1 2
3 1 2 4
2 3 4
A14 1
4 2 3
�
0
a
e)
b
c
3 4 2 4
1 4
3 4 1 44
4 1 2
detA= 1.(-36) + 2.4 +3.4 +4.44=160
a
0
b
c
b
c
0
a
c
b
a
0
ta có các phần phụ đại số
0 c b
A11 (1)11 b 0 a ac 2 ab 2
c a 0
a c
A12 1
1 2
b
b 0 a ac 2 ab 2 a 3
c
a 0
a 0 b
A13 1
1 3
b 0 a bc 2 b 2c a 2 c a 2c
c
c 0
a 0 c
A14 1
1 4
b b 0 a 2b b 2c bc 2 a 2b
c
c a
� A a ac ab 2 a 3 ba 2 c ca 2b a ac 2 ab 2 a 3 2a 2bc
2
5
f)
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
A11 1
11
A12 1
1 2
A 13 1
1 3
A14 1
1 4
1
1 0
0
0
1
0 1 0
0
�1
1 ��
0
0 1 0
1
0
0
0 1
0
1
0
0
0
1 0 1
0 1
0
0
0
0
0 1 0 0
0 0 1
0 1
0
0
0
0 0
1
0
0
0 1
0
0
0
1 0
0
0
0
� A 1 1 1
Giải các phương trình sau
1
0
3
1 0
a) 0 1
3
2
2
� 1
2 9 1 2 1 0
� 1 �
1 2 11�
�
� 0
� 1 2 3 9 0
2
1
�
�
� � 33 5
�
�
2
1
1
0
b)
0
1
1
1
2
1
0
6
c)
1
1
0
0
1
1
1
2
1
0
� 1 1 2 1 0
3
� 1 3 2 3 3 1 2 2 0
� 3 2 5 0
0
�
�
� � 1 21
�
�
2
x 1 0 0
1 x 0 0
d)
=0
1 1 x 2
1 1 2 x
A11 1
11
A12 1
1 2
(*)
x 0 0
1 x 2 x3 4 x
1 2 x
1 0 0
1 x 2 4 x2
1 2 x
3
2
Ta có : (*) � x. x 4 x 4 x 0
� x 2 1 x 2 4 0
�x �1
��
�x �2
Tìmhạngcủacác ma trậnsau
1 0 3 � d �2 d d �
0 1 3�
1 0 3�
�
�
�
� d32 �3d11 d31 �
� d3 �2 d2 d3 �
�
a) A �2 1 2 ������ �0 1 4 ������ �0 1 4 �
�
�
�
3 2 2�
0 2 7 �
0 0 1�
�
�
�
�
�
�
vậy r(A)=3
�
�
�
�
1
2
1
1
2
1
1
2
1
�
� d �4 d d �
�
4
�
�
� d32 �2 d11d32 �
� d3 �13 d 2 d3 �
��
0 13 7 �
b) B �4 5 3 ������ �0 13 7 ������
�
�
�
2 0 1 �
0 4 1 �
15 �
�
�
�
�
0 0 �
�
3�
�
vậy r(A)=3
7
c)
1
�1 2 1 2 � d �2 d d
�
�
� d32 �d1 1 d3 2 �
2 3 7 1 � d4 �10 d1 d4 �
0
C �
�����
�
�1 1 3 5 �
�
0
�
�
�
10 2 4 15 �
0
�
�
1
�
�
0
�
64
d 4 � d3 d 4
�
41
�����
��
0
�
�
0
�
�
1
9
41
0
7
2
7
0
0
1
�
�
2 1 2 � d3 � 3 d2 d3
0
7
�
� d �18
d
d
7 9 3 � 4 7 2 4 �
�����
��
0
3
2 7�
�
�
18 14 5 �
�
0
�
�
1
2 �
�
9
3 �
41
40 �
0
�
7
7 �
64 19 �
0
�
7
7 �
2
7
2 �
�
3 �
40 �
�
7 �
477 �
�
41 �
vậy r(C)=4
�1
�
�1
d) D �1
�
�1
�1
�
1 1 1 1�
1
�
�
�
1 1 1 1 �
0
�
��
1 1 1 1 ���
0
�
�
1 1 1 1 �
0
�
�
�
1 1 1 1�
0
�
1
2
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
2
0
1�
�
0�
0�
�
0�
2�
�
vậy r(D)=5
Biện luận theo m hạng của các ma trận sau
7m
12
6 �
�
�
�
a) E �10 19 m 10 �
�12
24
13 m �
�
�
1 m 1 2 �
�
�
�
2 1 m 5 �
�
F
b)
�
1 10 6 1 �
�
�
�
�
m
1
2 �
m
1
2
� 1
� 1
�
�
�
��
�� 0
2m 1 2 m
1 ���
�� 0
2m 1 2 m
1
� 0
� 0
m 10
5
1 �
21
m 12
3
�
�
�
� vớimọigiátrịcủa m thì r(A)=3
1 2 3 4 �
�
�
�
2 3 4 5 �
�
c) A �
3 5 7 m �
�
�
5 7 9 m �
�
1 2 3
4 �
1 2 3
4 �
1 2 3
4 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 2
3 �
0 1 2
3 �
0 1 2
3 �
�
�
�
��
�
��
�
��
�
�
�
�
0 1 2 12 m �
0 0 0 m 9 �
0 0 0 m 9�
�
�
�
�
�
�
0 3 6 20 m �
0 0 0 m 11�
0 0 0
2 �
�
�
�
�
�
�
�
�
*với m=9 thì r(A)=3
* với m �9 thì r(A)=4
8
1
�
�
2
d) B �
�3
�
5
�
2
3
5
7
1
�
�
0
��
��
�
0
�
0
�
3 4�
�
4 5�
7 m�
�
9 m�
2 3
4 �
0
�
�
�
1 2
3 �
4
��
��
�3
1 2 12 m �
�
�
3 6 20 m �
0
�
1
0
0
0
2
3 �
1
�
�
�
1
2 �
0
��
��
�
0 m 9 �
0
�
�
0 m 11 �
0
�
2
1
0
0
3
4 �
�
2
3 �
0 m 9�
�
0
2 �
* với m=9 thì r(B)=3
* với m �9 thì r(B)=4
1 0 3 � �2 2 1 �
�
�
� �
�
Cho A �2 1 1 �, B �4 2 3 �. Tìm ma trận nghịch đảo A-1, B-1 (nếu có)
�
�
3 2 2�
2 0 1 �
�
� �
�
bằng hai phuong pháp đã học.
* Tìm A-1
ta có: det(A)=3
a 11 1 .0 0; a21 1 . 6 6
2
3
a 12 1 .1 1; a22 1 .7 7
3
4
a13 1 .1 1; a22 1 . 7 7
4
4
a31 1 . 3 3; a23 1 .2 2
4
5
a33 1 .1 1
6
�
�0
2
�0 6 3 � �
1�
1
7
�
1
vậy A �1 7 5 � �
3�
3
3
��
1
2
1
�
� �1
2
�
3
�3
�
1�
�
5�
3�
1�
�
3�
* Tìm B-1
ta có: det B (2.2) 2.10 1 .4 20
a 11 1 .2 2; a21 1 .2 2
2
3
a12 1 .10 10; a22 1 .0 0
3
3
a13 1 .4 4; a23 1 .4 4
4
5
a31 1 .8; a32 1 .10 10
4
5
9
a33 1 . 4 4
6
� 1 1
�
2
2
8
�
� � 10 10
1 �
� �1
1
0
vậy B �10 0 10 � �
20 �
2
�
�4 4 4 � � 1 1
�
� 5 5
�
2�
�
5
�
1 �
2 �
�
1
�
5�
�
Giải các phương trình ma trận sau:
3 2 � �1 2 �
�
a) X �
� �
�
5 4 � �
5 6 �
�
�a b �
ta đặt X �
�
�c d �
3 2 � �1 2 �
�a b ��
.�
�
� �
�
5 4 � �
5 6 �
�c d ��
3a 5b 1
a 3
�
�
�
�
2a 4b 2
b 2
�
�
��
�
3c 5d 5 �
c5
�
�
2c 4d 6 �
d 4
�
�
3 2 �
�
vậy X �
�
5 4 �
�
3 1 � �
5 6� �
14 16 �
�
b) �
�X �
� �
�
5 2 � �
7 8 � �9 10 �
�
�a b �
ta đặt X �
�
�c d �
14 16 �
�3a c 3b d � �
ta có: �
� �
�
5a 2c 5b 2d � �9 10 �
�
ta có: �
�
15a 5c 21b 7 d 14 1
�
18 6c 24b 8d 16 2
�
�
25a 10c 40b 16d 9 3
�
�
30a 12c 40b 16d 10 4
�
1
3
(1) � 15a 5c 7d 21d � a c
7
7
d
15
5b
thế vào (2)(3)(4) ta được:
10
126
� 42
6c d
b 6c 24b 8d 16
�
5
5
�
35
�25
� c d 35b 10c 35b 14d 9
3
�3
10c 14d 42b 12c 40b 16d 10
�
�
�
a 113
�
�
b 82
�
��
c 283
�
�
d 206
�
1 2 3 � �1 3 0 �
�
�
� �
�
10 2 7 �
c) �3 2 4 �X �
�2 1 0 � �
10 7 8 �
�
� �
�
�a b c �
�
�
ta đặt X �d d f �
�x y z �
�
�
ta có:
�a 2d 3x 1 1
�
b 2e 3 y 3 2
�
�
c 2 f 3 z 0 3
�
�
3a 2d 4 x 10 4
�
�
3b 2e 4 y 2 5
�
�
3x 2 f 4 z 7 6
�
�2a d 10 7
�
�2b e 7 8
�
�2c f 8 9
từ (7)(8)(9)
�d 2a 10
�
��
e 2b 7
�f 3c 8
�
thế vào hệ ta được
a 4a 20 3x 1
a6
�
�
�
�
b 4b 14 3 y 3
�
�x 3
�
�
c 4c 16 3z 0
b4
��
�
3a 4a 20 4 x 10 �y 4
�
�
�
3b 4b 14 4 y 2
c5
�
�
3c 4c 16 4 z 7
�
�z 3
6 4 5�
�
�
�
vậy X �2 1 2 �
�3 3 3 �
�
�
11
1 2 2 � �
7 3 1�
�
�
� �
�
d) �3 2 4 �X �6 8 4 �
�2 1 0 � �
1 0 5�
�
� �
�
�a b c �
�
�
ta đặt X �d d f �
�x y z �
�
�
ta có:
�a 2d 2 x 7
�
b 2e 2 y 3
�
�
c 2 f 2z 0
�
3a 2d 4 x 6
�
�
3b 2e 4 y 8
�
�
3c 2 f 4 z 4
�
�2a d 1
�2b e 0
�
�
�2c f 5
từ (7)(8)(9)
d 2a 1
�
�
��
e 2b
�f 2c 5
�
thế vào hệ ta được
23
� 10
a ;x
�
3
6
�a 4a 2 2 x 7
�
�
2
19
�
b 4b 2 y 3
b ;y
�
�
3
6
�
c 4c 10 2 z 0
�
��
c 2; z 0
�
3
a
4
a
2
4
x
6
�
� 17
�
�
d ; f 1
3b 4b 4 y 8
� 3
�
3c 4c 10 4 z 4
�
�
4
e
�
3
�
�10 2
�
2�
�3
3
�
�
17
4
�
1 �
vậy X �
�
3
3
�
�
23
19
�
0�
�
�
6
6
�
�
Tìm m để các ma trận sau khả nghịch
1
3�
�m 1
�
�
m 2 0�
a) A � 2
�2m
1
3�
�
�
ta có: det A m 1 m 3 6 3. 2 2m m 2
3m 2 9m 6 6 6 6 m2 12m
12
3m 2 3m 6
để ma trận A có khả nghịc thì
det A �0 � 3m 2 3m 6 �0
m �1
�
��
m �2
�
m �1
�
vậy ma trận A khả nghịch khi �
m �2
�
1
3�
m 1
1
3�
m 1
1
3�
�m 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�� 2
m 2 0 ���
�� 2
m 2 0�
b) B �m 3 m 3 3 ���
�
�m 1 m 2 0 �
�
2m 2 m 3 3 �
m 1
0
0�
�
�
�
�
�
�
2
det A 3. m 1 m 2 3 m m 2
ma trận B khả nghịch ۹ det B
0
� 3 m 2 m 2 �0
m �2
�
��
m �1
�
m �2
�
vậy ma trận B khả nghịch khi �
m �1
�
0 �
0 �
�m 1 m 2
�m 1 m 2
�
�
�
�
m2
0 ���
� �m 1
0
0 �
c) C � 2
�
�m 4
m4
3
m 2�
3
m 2�
�
�
�
�
3
2
2
det C m 2 . �
m 1 m 2 �
�
� 3 m 2m 2m 2m 4
m3 33 4
ma trận C khả nghịch ۹ det C
0
� m3 33 4 �0
m �1
�
��
m �2
�
m �1
�
m �2
�
vậy ma trận C khả nghịch khi �
Phần 2: Bài tập tự luận bổ sung chương 1,2
PHẦN 2: SƯU TẦM BÀI TẬP
Bài 1: thực hiện phép tính:
4
��
1 0�
�
�2 3 �
��
1
a. 3 2 1 ��
b. � �
�
�
3 2�
4 1 �
�
�
��
2
��
1 2 3�
�
0 1 2�
�
�
2 4 1 �
c. �
�
�1 3 2 �
�
�
�
3 0 1�
�
�
1 3�
�
2 1 1�
�
�
0 4�
d. �
�
�
��
1 0 3�
�
�
2 1�
�
Giải
13
4
��
��
1 3.4 2.1 1.2 16
a. 3 2 1 ��
��
2
��
1 0�
1.2 0.(4) 1.3 0.1 � �2 3 �
�
�2 3 � �
b. � �
�
��
� �
�
3 2�
4 1 � �
3.2 2.(4) 3.3 2.1� �2 11�
�
�
1 2 3�
�
0 1 2� �
0.1 1.2 2.3 0.2 1.(4) 2.0 0.3 1.1 2.1 �
�
�
2 4 1 �
c. �
�
�
�
�1 3 2
4.1 3.2 2.3 1.2 3.( 4) 2.0 1.3 3.1 2.1 �
�
�
�
�
�
�
3 0 1�
�
8 4 3 �
�
�
�
13 10 8 �
�
1 3�
�
2 1 1�
�
��
0
4
d.
�
�
�
��
1 0 3�
�
�
2 1�
�
1.2 3.1 1.1 0.3 1.1 3.3 � �
5
�
�
�
�
0.2 4.1 0.1 0.4 0.1 4.3 �= �
4
�
�2.2 1.1 2.1 0.1 2.1 1.3 � �
5
�
��
5 3� �
1 1�
�
Bài 2: a. � � �
b.
�
1 0� �
0 2�
�
4 1�
1 1 2�
�
�
c . 2 1 �
�
�
�
0 2�
5 3 0�
�
�
1 10 �
0 12 �
�
2 5�
�
2�
�
3. 1 2 � �
3�
�
3 2�
�
3 1 2 �
2 4 �
�
�
�
�
d. �
2
1
�
�
� �3 1�
0 2 1 �
�
�
�
�
0 1�
�
�
Giải:
5 3� �
1 1 � �3.5 1 3.3 1 � �
16 10 �
�
� �
� �
� �
�
1 0� �
0 2� �
3.1 0 3.0 2 � �3 2 �
�
2
��
b. 3. 1 2 �� 3.1.2 3. 2 .3 6 18
3
��
a. 3. �
4 1�
1 1 2�
1 1 2�
�
�
�
c . 2 1 �
2.4
1.0
2.1
1.2
�
�
�
�
0 2�
5 3 0�
5 3 0�
�
�
�
�
1 1 2�
�
8 4 �
� 8.1 4.5 8.1 4.3 8.2 4.0
5 3 0�
�
28 20 16 4 7 5 4
1 2
Bài 3: a)
3 4
1 0 4
b) 1 3 2
4 5 1
2 4 0
c) 1 0 0
3 1 1
1 0 1
d) 2 1 3
5 1 m
14
Giai
a)
1 2
4.1 3.2 2
3 4
1 0 4
b) 1 3 2 1.(3.1 5.2) 0.(2.4 1.1) 4.(1.5 4.3) 35
4 5 1
2 4 0
c) 1 0 0 2.(0.1 1.0) 4.(0.3 1.1) 0.(1.1 3.0) 4
3 1 1
1 0 1
d ) 2 1 3 ( m.1.1 0.5.3 1.2.1) (1.1.5 1.3.1 0.2.m)
5 1 m
m6
Bài 4: Cho
1 1 2�
�
A�
�
2 1 0�
�
3 2�
�
�
B�
5 1�
�
�
2 0�
�
�
Tính A.AT , B.BT , AB, AT .BT
1 2�
�
1 1 2�
1.1 1.1 2.2 1.2 1.1 0.2 � �
6 3�
�
�
� �
A.A �
1
1
�
�
�
�
�
� 2.1 1.1 0.2 2.2 1.1 0.0
3 5�
2 1 0�
�
�
��
�
�
�
2 0�
�
3.3 2.2 3.5 2.1 3.2 2.0 � �
13 17 6 �
3 2�
�
�
3 5 2� �
�
�
�
�
�
T
B.B �
17 26 10 �
5 1�
�
� �5.3 1.2 5.5+1.1 5.2 1.0 � �
�
2 1 0� �
�
�
�
� �6 10 4 �
2.3
0.2
2.5
0.1
2.2
0.1
2
0
�
�
�
��
�
2 2�
�
1 1 2�
1.3 1.5 2.2 1.2 1.1 2.0 � �
12 3 �
�
�
� �
A.B �
5
1
�
�
��
2 1 0�
2.3 1.5 0.2 2.2 1.1 0.0 �
11 5 �
�
��
�
�
�
�
�
2 0�
�
1.3 2.2 1.5 2.1 1.2 2.0 � �
7 7 2�
1 2�
�
�
3 5 2� �
�
�
�
�
�
T
T
A .B �
�
1.3 1.2 1.5 1.1 1.2 1.0 � �
5 6 2�
1 1�
�
�
�
2 1 0� �
�
�
�
�
�
2.3 0.2 2.5 0.1 2.2 0.0 � �
6 10 4 �
2 0�
�
�
�
T
15
Bài 5: cho
1 2�
�
�
B�
1 0�
�
�
�
2
1
� �
2 0 3�
�
A�
�
4 1 1�
�
Tính 2 A, 4 B, A.B, BA
Giai
2 0 3� �
4 0 6�
�
2A 2�
�
�
4 1 1��
8 2 2�
�
�
1
�
2 0 3�
�
�
A.B �
1
�
�
4
1
1
�
�
�
2
�
1 2�
�
2 0
�
�
B. A �
1 0�
�
�4 1
�
�
2 1�
�
�
1 2 � �4 8 �
�
�
�
4B 4 �
1 0�
�
� �4 0 �
�
�
2 1�
8 4�
�
��
�
2�
2.1 0.1 3.2 2.2 0.0 3.1 � �
8 7�
�
0�
�
�
�
� 4.1 1.1 1.2 4.2 1.0 1.1
7 9�
�
��
�
�
1�
1.2 2.4 1.0 2.1 1.3 2.1 � �
10 2 5 �
�
3� �
�
�
1.2 0.4 1.0 0.1 1.3 0.1 � �2 0 3 �
� �
�
1��
� �8 1 7 �
2.2
1.4
2.0
1.1
2.3
1.1
�
��
�
2
Bài 6 : Cho f ( x) x x 1, g ( x) 2 x 5
2 3�
�
A�
1 0�
�
�
Tính f A , g A , f A g A , f A .g A
Giai :
2 3�
2
�
�2 3 � �
f A �
�
�
1 0�
1 0�
1
�
�
�
��
7 6� �
2 3�
5
�
�
�
�
1 �
�
�
2 3� �
1 0�
1
�
�
3�
�2.2 3.1 2.3 3.0 � �2 3 �
1
�
1
�
0�
1.2 0.1 1.3 0.0 �
1 0�
�
�
��
�
3�
1
3�
�
2 3�
4 6�
�
�
g A 2 �
5�
�
� 5
1
0
2
0
�
�
�
�
5 3� �
4 6�
9 9�
3 3�
�
�
�
f A g A � � 1 �
5 � � 6 3 � � 6
�
1 0� �
2 0�
3 3�
1 1�
�
�
�
�
5 3 � ��
4 6� � �
5 3�
4 6� �
5 3� �
4 6�
�
�
�
f A .g A �
1��
5� � �
5 � � � � 5
�
�
�
�
�
�
1 0 � ��
2 0� � �
1 3�
2 0� �
1 3� �
2 0�
�
�
�
�
5.4 3.2 5.6 3.0 � �
5.5 4 5.3 6 �
26 30 � �
29 21�
55 51 �
�
�
�
�
�
5�
�
5�
5
�
�
�
�
1.4 3.2 1.6 3.0 � �
5.1 2 5.3 0 �
10 6 � �7 15 �
17 21�
�
�
�
�
Bài 7: Thực hiện phép toán trên ma trận
16
�6 �
�3 �
a. 3 4 1 6 � �
�0 �
� �
3 �
�
1 0�
�1 3 �
�
�0 2 �
c. �
�
�
�
�
2 4 �
2 1 �
5 1�
�
�
�
�
6 6 3�
�
5 1 6�
�
�
8 6 7�
b. �
�
�
�
9 5 4�
�
�
�
2
4
5
�
�
2 �
�
0 3 0 �
�
�2 �
d. �
�
� �
1 2 3 �
�
�1 �
� �
Giải
�6 �
�3 �
a. 3 4 1 6 � � 3.6 4.3 ( 1).0 6.( 3) 12
�0 �
� �
3 �
�
6 6 3�
�
5 1 6�
5.6 1.8 6.2 5.6 1.6 6.4 5.3 1.7 6.5 �
�
�
� �
8
6
7
�
�
�
�
� 9.6 5.8 4.2 9.6 5.6 4.4 9.3 5.7 4.5 �
9 5 4�
�
�
�
�
2 4 5�
b.
�
�
50 60 52 �
�
�
102 100 82 �
�
�
1 0�
15 13 �
�1 3 �
�
�0 2 � �5 3 �
�0 2 � �
c. �
�
�
�
�
�
2 4 �
2 1�
5 1�
10 4 �
5 1�
20 24 �
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
2 �
�
0 3 0 �
6 �
�
�6 24 �
�2 �1 4 �
1
4
d. �
�
�
�
�
� �
2 8 �
1 2 3 �
�
�2 �
�
�
�1 �
� �
Bài 8: Cho
1 3 2�
1 1 1�
�
�
�
�
�
A�
1 4 2�
B�
2 6 1 �
�
�
�
�3 4 2 �
1
3
3
�
�
�
�
T
T
a. Tìm A và B
b. Tính 3A-B
c. Tính 2AT.BT
d. Tính AT + 4B
Giải:
17
1 1 1�
1
�
�
�
�
�
T
a) A �
3 4 3�
,B �
1
�
�
�
2 2 3�
1
�
�
1 3 2� �
1
�
�
�
�
b)3 A B 3 �
1 4 2 � �
2
�
�
1 3 3�
3
�
��
T
2 3�
6 4 �
�
1 2 �
�
1 1��
3 9 6� �
1
�
�
�
�
6 1� �
3 12 6 � �
2
�
�
4 2�
3 9 9�
3
��
��
2 3 � �2 2 2 �
1 2
�
�
�
6 4 �
6 8 6�
1 6
� �
�
�
�
�
�
1 2 �
1 1
� �4 4 6 �
�
1 1 1�
1
�
�
�
c)2 AT .BT 2 �
3 4 3�
1
�
�
�
�
�
2 2 3�
1
�
�
�
1 1 1� �
1 1 1��
1 1
�
�
�
�
�
�
T
d ) A 4B �
3 4 3 � 4 �
2 6 1� �
3 4
�
�
�
2 2 3�
3 4 2�
2 2
�
� �
��
5
5�
�5
�
�
11 20 1�
�
�
14 18 11 �
�
�
Bài 9: Tìm hạng của các ma trận sau:
1 3 6�
1
�
�
a) A �
2 4 5�
b) B �
3
�
�
�
�
�
3 5 5�
4
�
�
�
1 3 0 3�
�
1
�
�
2 2 8
2�
�
�
�
c) C
d) D �
4
�
1 0 2 4 �
�
3
�
�
�
4 3 6 0 �
�
Giải
1 1 � �2
�
6 1�
1
��
�
4 2�
� �0
3 � �6 10
�
4�
20 42
� �
�
2�
14 22
��
8 5�
18 7 �
�
5 7�
�
18 �
62 �
�
40 �
�
1 � �4
4
4�
�
�
3 � �8 24 4 �
�
�
�
3�
12
16
8
��
�
2 3 1 �
1 5 3 �
�
3 8 4 �
�
2 3 2 �
2 3 2 �
�
6 9 6 �
�
1 3 6�
1 3
6 �
1 3 6�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
d 3 �d 3 2 d 2
d 2 �d 2 2 d1
a) A �
2 4 5 ������
0
2
7
�����
0
2
7
d3 �d3 3 d1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
5
5
0
4
13
0
0
2
�
�
�
�
�
�
� Rank ( A) 3
1 2 3 1 �
1 2 3 1�
1 2 3 1�
�
�
�
�
� d2 �d2 3d1 �
� d3 �d3 d 2 �
�
b) B �
3 1 5 3 ������
0
5
4
0
����
�
0
5
4
0
d3 �d3 4 d1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4
3
8
4
0
5
4
0
0
0
0
0
�
�
�
�
�
�
� Rank ( B) 2
18
1 3 0 3�
1 3 0
3 �
�
�
�
�
�
2 2 8
2 � d2 �d2 2 d1 �
0 8 8 4 �
�
�
c) C
�����
d3 �d3 d1
�
�
�
1 0 2 4
0 3 2 7 �
d 4 �d 4 4 d1
�
�
�
�
4 3 6 0 �
0 9 6 12 �
�
�
1 3 0 3�
�
�
0 8 8 4 �
d3 �3 d 2 8 d3
�
�
�����
�
d 4 �d 4 3 d 3
�
0 0 40 44 �
�
�
0 0 0 9�
�
Rank (C ) 4
1 2 3 2 �
1 2 3 2
�
�
�
�
� d 2 �d 2 4 d1 �
�
D�
4 2 3 2 ������
��
0 6 15 10 �
d3 �d3 3 d1
�
�
�
3 6 9 6 �
0 0 0 0
�
�
�
�
� Rank ( D) 2
Bài 10: Tính các định thức sau
3 4 1
A 2 3 4
3 0 3
2
�
�
2
B�
�
3
�
3
�
2
3
2
3
3
2
3
3
3�
3�
�
2�
�
2�
Giải:
19
3 4 1
A 2 3 4 3(3.3 0.4) 4(4.3 2.3) (1)(2.0 3.3) 60
3 0 3
�2
�
2
B�
�3
�
�3
2
3
2
3
B11 1
11
B12 1
1 2
B13 1
1 3
B14 1
1 4
3
2
3
3
3�
�
3�
2�
�
2�
3 2 3
2 3 2 5
3 3 2
2 2 3
3 3 2 5
3 3 2
2 2 3
3 2 2 5
3 3 2
2 3 2
3 2 3 0
3 3 3
4
� det( B) �aij .Bij 2.5 2.5 3.5 3.0 35
j 1
Bài 11: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A
1 4 3�
�
�
�
1 5 3�
a. A �
�
1 4 4�
�
�
1 4 5�
�
�
�
1 5 5�
b. B �
�
1 4 6�
�
�
1 5 4�
�
�
�
1 6 4�
c. C �
�
1 5 5�
�
�
giải
20
1 4 3�
�
�
�
A�
1 5 3�
�
1 4 4�
�
�
�
1 4
�
A | I 3 �1 5
�
1 4
�
�
1
d1 �d1 4 d 2
�
d1 �d1 3 d3
����� �
0
�
0
�
3 1 0 0 � d �d d �
1 4 3 1 0 0�
� d32 �d32 d11 �
�
3 0 1 0 ������ �
0 1 0 1 1 0 �
�
4 0 0 1�
0 0 1 1 0 1 �
�
�
�
0 0 8 4 3 �
�
1 0 1 1 0 �
0 1 1 0 1 �
�
�8 4 3 �
�
�
� A �
1 1 0 �
�
1 0 1 �
�
�
1 4 5�
�
�
B�
1 5 5�
�
�
1 4 6�
�
�
�
1 4 5 1 0 0 � d �d d �
1 4 5 1 0 0�
�
� d32 �d32 d11 �
�
B | I 3 �1 5 5 0 1 0 ������ �0 1 0 1 1 0 �
�
�
1 4 6 0 0 1�
0 0 1 1 0 1 �
�
�
�
�
�
1 0 0 10 4 5 �
d1 �d1 2 d 2
�
�
d1 �d1 5 d3
����� �
0 1 0 1 1 0 �
�
0 0 1 1 0 1 �
�
�
1
10 4 5 �
�
�
�
�B �
1 1 0 �
�
1 0 1 �
�
�
1
21
1 5 4�
�
�
�
C �
1 6 4�
�
1 5 5�
�
�
det(C ) 1 �0
C11 (1)11
6 4
10
5 5
C13 (1)13
1 6
1
1 5
C21 (1) 21
5 4
5
5 5
C23 (1) 23
1 5
0
1 5
C31 ( 1)31
5 4
4
6 4
C33 (1)33
1 5
1
1 6
C12 ( 1)1 2
1 4
1
1 5
C22 ( 1) 2 2
1 4
1
1 5
C32 ( 1)3 2
1 4
0
1 4
10 5 4 �
�
1
1�
�
T
C
(Cij ) �
1 1 0 �
det( A)
1�
1 0 1 �
�
�
1
Bài 12: Giải các phương trình ma trận sau
�4 1 � �0
3�
a. X �
� �
�
6 3 � �4 7 �
�
0 1 4 � �
0 4 1�
�
�
� �
�
b. �2 1 2 �X �9 1 6 �
�
�
2 2 0 �
9 6 7�
�
� �
�
1 0 3 � �1 2 1 �
�
�
�
�
2 1 2�
c. �
�X �4 5 3 �
�
�
�
3 2 2�
�
� �2 0 1 �
4 0 � �6 7 � �8 9 �
�
X � � �
d. �
6 1�
8 9 � �7 10 �
�
� �
�
giải:
4 1 � �0 3 �
�
a. X �
� �
6
3
4 7 �
�
��
�
4
�
Ma trận nghịch đảo của �
6
�
1�
�1
�
�
1 � 2
6
là �
�
�
3 � �
2�
1 �
�
3�
�
22
4
�
�X �
6
�
1�
�1
�
�
1 � 2
3 2 �
�
6
�
� �
�
3 �
2� �
5 4 �
�
�
1 �
�
3�
�
0 1 4 � �
0 4 1 �
�
�
� �
�
b. �2 1 2 �X �9 1 6 �
�
�
2 2 0 �
9 6 7�
�
� �
�
0 1 4 �
�
�
�
Ma trận nghịch đảo của �2 1 2 �là
�
2 2 0 �
�
�
�X
1
�
�
2
c. �
�
3
�
� 1 2
� 5 5
�
� 1 2
� 5 5
�
3 1
�
�
� 10 10
2
1 �
� 1
�9
� 5 5
�
�2
10 �
�
�0 4 1� �
1
2
2 �
�
�
9 1 6�
�0
�
�
� 5 5
�
5�
�
9 6 7�
�
�
�
�
�
3 1
1�
�
�
�
�
�0
10 �
� 10 10
�
0 3 � �1 2 1 �
�
�
1 2�
�X �4 5 3 �
�
�
2 2�
� �2 0 1 �
9
5
6
5
7
10
1 �
10 �
�
2�
5�
�
1
�
�
10 �
33 �
10 �
�
1�
5�
�
1 �
�
5 �
1 0 3� �
2 6 3 �
�
�
�
�
2 1 2�
Ma trận nghịch đảo của �
�là �2 7 4 �
�
�
�
3 2 2�
�
� �1 2 1 �
2 6 3 �
�
�1 2 1� �28 34 17 �
�
�
�4 5 3 � �
�
� X �2 7 4 �
34
39
19
�
��
�
�1 2 1 �
�
� �9 12
�
2
0
1
6
�
�
�
��
�
4 0 � �6
�
d. �
�X �
6
1
8
�
� �
4 0�
6
�
�
ta có: �
�
�
6 1�
8
�
�
7 � �8 9 �
�
9�
7 10 �
��
�
7 � �24 28 �
�
9�
28 33 �
��
�
�33
24 28 � �8
�
ma trận nghịch đảo của ma trận �
�là �
28
33
7
�
� �
�
�2
7�
17 17 �
�33
�
�8 2 �
�
8 9� 2
�
8 �
�
�
�
Vậy X �
�
7 10 �
7
3�
�
�
�
�
�
3 �
�
�7 �
2�
�2
�
�
7�
�
2
�
3 �
�
�
23
Bài 13: Thực hiện phép tính trên ma trận
2 1 1�
�
;
a. A �
�
0 1 4 �
�
2 1 0 �
�
B�
;
�
3 2 2 �
�
Tính (2A+3B).C
2 1�
�
2
b. A � �f ( x) 3 x 2 x 4
0 3�
�
Tính f(A)
Ta có f(A)=3A2+2A-4
1
��
��
3
2 4 6
c. ��
��
5
��
7
��
3
��
��
C ��
2
��
1
��
cos x sinx �
�
2008
d. Cho A �
�Tính A là:
sinx
cos
x
�
�
Giải:
Ta có
3
��
��
2 1 1� �
2 1 0 �
�
��
(2 A 3B).C �
2�
3�
2
�
�
��
0 1 4 �
� �3 2 2 �
��
�
��
1
��
3
3
��
��
�
4 2 2 � �6 3 0 �
�
2
�
�2 5 2 �
��
��
��
�
�
2
2
�
�
�
�
�
�
��
�� 9 8 14 �� 3
0 2 8 � �9 6 6 �
�
�
�
�
��
��
1 �
1 ��
��
��
b.
Ta có f(A)=3A2+2A-4
2 1�
�
�2 1 � �2 1 �
3� �
2 � � 4
�
0 3�
0 3�
0 3�
�
�
� �
12 15 � �
4 2�
�
�
4
= �
�
0 6�
�0 27 � �
�
12 17 �
�
�
�
�0 32 �
1
��
�2 4 6 �
��
�6 12 18 �
3
��
�
2 4 6 �
c.
��
�
5
10 20 30 �
��
�
�
7
14 28 42 �
��
�
cos x sinx �
�
2008
d. Cho A �
�Tính A là:
sinx
cos
x
�
�
ta có
24
cos x sin x �
cos x sin x �
�
�
A. A �
�
�
�
�sin x cos x �
�sin x cos x �
1 0�
� cos 2 x sin 2 x
cos x.sin x sin x.cos x � �
�
�
�
0 1�
sin x.cos x cos x.sin x
sin 2 x cos 2 x
�
�
��
1 0�
cos x sin x � �
cos x sin x �
�
�
A. A. A � �
�
�
�
�
0 1�
�
�sin x cos x � �sin x cos x �
cos x sin x �
cos x sin x � �
1 0�
�
�
A4 �
� �
�
�
�
0 1�
�sin x cos x �
�sin x cos x � �
1 0�
�
� A2008 � �
0 1�
�
Bài 14: Tính định thức
7 6 5
a. 1 2 1 7 2.2 (2)( 1) 6 (1).3 1.2 5 1.(2) 3.2 56
3 2 2
1
�
�
0
�
0
b. �
�
0
�
�
1
�
1 1 1 1�
�
1 3 2 0�
2 4 0 0 � 1.2.4.3.1 24
�
3 0 0 0�
0 0 0 0�
�
2 m 4�
�
�
3 0 0�
c. B �
�
�
�
1
1
2
�
�
Tìm m để B �0
m 4
Ta có B=3.(-1)2+1
1 2
=(-3)(2m-4)= -6m+12
Ta có
B �0 � 6m 12 �0
۳ m 2
25