skkn một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải dạng toán về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài :
Trong những năm gần đây nền giáo dục của chúng ta yêu cầu mỗi giáo
viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy. Nội dung chủ yếu của vấn đề là: Phải
coi học sinh là nhân vật trung tâm của mỗi tiết học.Truyền thụ kiến thức cơ bản
phải theo một tiến trình bài bản và phải phân thành những dạng toán, mỗi dạng
toán nên dạy thành những chuyên đề một cách có hệ thống, đưa ra được các tình
huống tạo điều kiện cho học sinh dễ nhớ, dễ hiểu trong việc khai thác, phát triển,
phát huy óc sáng tạo, rèn luyện phương pháp suy nghĩ độc lập. Giáo viên luôn
khuyến khích cho học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau để giúp học sinh
phát triển trí tuệ. Ngoài ra còn giúp học sinh làm quen với phương pháp tự tìm
tòi, nghiên cứu để học sinh tiếp tục học lên.
Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản
một cách có hệ thống mà còn phải được nâng cao phát triển để các em có hứng
thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô giáo luôn đặt ra cho mình.
Tuy nhiên để học tốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung
kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành
tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy toán học, làm cho các em trở
nên yêu thích toán hơn từ đó các em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu của thời
đại mới.
1.2.Mục đích nghiên cứu:
Toán học không những là môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh
vực của đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thể
xã hội đó là con người. Chính vì vậy môn toán không thể thiếu được: “ toán học
là môn thể thao của trí tuệ giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp
học tập, phương pháp giải quyết vấn đề và giúp chúng ta rèn luyện trí thông
minh sáng tạo”.
Là một giáo viên dạy toán 9 nhiều năm cả chương trình trình cũ và
chương trình đổi mới thay sách. Tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 9 đều có
những thiếu xót trong quá trình biến đổi rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2 ,từ
việc tiếp thu kiến thức các phép biến đổi của căn bậc 2 , kỹ năng vận dụng công

thức vào giải quyết các bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2, học sinh còn
lúng túng nhiều,từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải,
kể cả những bài cơ bản đến những bài toán nâng cao còn gặp nhiều khó khăn.
Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về căn thức, về rút gọn biểu
thức chứa căn bậc 2 đòi hỏi học sinh cần có các kỹ năng biến đổi nhạy bén ,
chính xác , tổng hợp được nhiều kiến thức , kỹ năng biến đổi ở các lớp dưới
.Mặt khác đối với những đối tượng học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén
và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để bản thân tôi phát huy được
1


ht kh nng ca cỏc em ,ú l trỏch nhim ca giỏo viờn chỳng ta. Qua ging
dy chng trỡnh toỏn lp 9 tụi nhn thy ti v Mt s gii phỏp hng dn
hc sinh lp 9 cỏch gii dng toỏn v rỳt gn biu thc cha cn bc hai l mt
ti mang tớnh thc tin cao.
Cn phi luyn tp cỏc bi tp trong sỏch giỏo khoa ,nu bit khai thỏc,
phỏt trin ta cú th xõy dng c cỏc dng bi tp hoc h thng cỏc bi tp
s dng bi dng cho hc sinh khỏ, gii. Vic gii bi toỏn rỳt gn biu thc
cha cn vi mong mun cung cp cho cỏc em mt s k nng, phng phỏp
gii dng toỏn rỳt gn biu thc cha cn giỳp cỏc em lm bi tp mt cỏch cú
h thng nhm tớch cc hoỏ hot ng hc tp, phỏt trin t duy. ú chớnh l lớ
do tụi chn ti: Mt s gii phỏp hng dn hc sinh lp 9 cỏch gii dng
toỏn v rỳt gn biu thc cha cn bc hai vi mc ớch c th:
H thng ,cng c kin thc c bn v cỏc phộp bin i v cn thc .
Rốn k nng vn dng kin thc khi gii bi toỏn rỳt gn biu thc cha
cn bc hai , học sinh nắm vững kiến thức, biết vận dụng vào
giải bài tập, vận dụng trong gii phng trỡnh vụ t , gii bt ng thc ,

Cng c v hng dn hc sinh lm bi tp nhm nõng cao cht
lng gi dy, nhm nõng cao trỡnh chuyờn mụn nghip v cho bn thõn,

thụng qua ú gii thiu cho bn bố ng nghip tham kho vn dng vo quỏ
trỡnh ging dy mụn Toỏn trng THCS t hiu qu cao.
Xõy dng, hỡnh thnh v phỏt huy tớnh t giỏc , ch ng tỡm tũi, phỏt
hin gii quyt nhim v nhn thc v cú ý thc vn dng linh hot sỏng to cỏc
kin thc k nng ó thu nhn c hc sinh.
1.3. i tng nghiờn cu :
Trc thc ti nhn thc ca hc sinh cũn hn ch khi tip thu dng toỏn
rỳt gn biu thc cha cn bc hai . Trong khi ú bin i v rỳt gn biu thc
cha cn bc hai l mt trong nhng kin thc , hay dng toỏn quan trng nht
trong kin thc toỏn THCS , mt trong nhng dng toỏn quan trng trong cỏc k
thi vo cỏc trng chuyờn , trng THPT , l mt trong nhng dng toỏn cú s
vn dng , hi t rt nhiu cỏc kin thc , cỏc k nng c bn ca ngi hc
túan. Chớnh vỡ vy i tng nghiờn cu ca ti ny chớnh l tỡm ra cỏc gii
phỏp mang tớnh thc tin cao , ng dng cú hiu qu vo cụng tỏc ging dy ,
vi mc ớch giỳp cỏc em hc sinh hỡnh thnh c con ng t duy , v cú k
nng bin i chớnh xỏc dng toỏn rỳt gn biu thc cha cn bc hai .
1.4. Phng phỏp nghiờn cu :
L mt giỏo viờn vi kinh nghim 15 nm dy toỏn , nghiờn cu ti
ny tụi ó s dng cỏc phng phỏp nghiờn cu sau:
Nghiờn cu qua ti liu , xõy dng v nghiờn cu dng toỏn trong ton
cp hc
Nghiờn cu qua mi gi dy ca chớnh bn thõn mỡnh , ca ng nghip ,
ca cỏc chuyờn viờn chuyờn trỏch .
2


Nghiên cứu qua sự tiếp thu , và kỹ năng biến đổi của học sinh
Thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra giải pháp phù hợp .
Nghiên cứu qua các bài kiểm tra của học sinh để có những điều chỉnh phù
hợp trong phương pháp giảng dạy nhằm xây dựng giải pháp mang tính thực tiễn

cao .
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :
Toán học là một môn học quan trọng và rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ
năng . Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng
dạng . Việc phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu, dễ nhớ, dễ vận dụng và thấy được
trong từng dạng toán ta nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi
chọn 1 số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm, sau khi giải giáo viên
nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp các bài tương tự
học sinh có thể liên hệ được và từ đó tiếp cận tới những dạng toán cao hơn. Trong
quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp
xếp theo trình tự từ dễ đến khó, các dạng toán phong phú, đa dạng nhằm cung cấp
cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thứcvà có sự phát triển khả
năng tư duy lôgíc. Bên cạnh đó mỗi giáo viên phải không ngừng nỗ lực nắm bắt kịp
thời theo yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, tham khảo các tài liệu liên quan
đến bài giảng, củng cố nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, để khi giảng dạy hay bồi
dưỡng một vấn đề nào đó có thể tự xây dựng cho mình một hệ thống phương pháp
giảng dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Lớp 9A, 9B có số lượng học sinh không đồng đều về mặt nhận thức gây
khó khăn cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp. Nhiều học
sinh có hoàn cảnh khó khăn do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở bị hạn chế
và ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức và sự phát triển tư duy của các em. Đa
số các em hay thoả mãn trong học tập, các em cho rằng chỉ cần học thuộc lòng
các kiến thức trong SGK là đủ. Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một
cách thụ động, không tự mày mò, khám phá kiến thức mới. Có thể nói sau khi
học xong các kiến thức về căn thức học sinh còn rất nhiều lúng . Như chúng ta
đã biết các kiến thức về căn thức ,đóng vai trò rất quan trọng trong việc giải toán
, nhưng sự vận dụng của các em phần lớn là chưa tốt, còn nhiều em chưa biết
vận dụng kiến thức vào giải toán. Hơn nữa một số kỹ năng phục vụ cho giải toán

về căn thức như quy tắc dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế, một số công thức vế luỹ
thừa, thực hiện phối các phép toán về cộng trừ nhân chia phân số , các hằng
đẳng thức ,quy đồng , phân tích thành nhân tử , rút gọn phân thức chưa thành
thạo chính vì vậy các em đều hấp tấp, hay sai và nhầm lẫn khi giải
các bài tập dạng này.
Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự giác học tập,
chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học còn mang tính chất lấy
điểm,đối phó chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức toán học, không tự ôn luyện
thường xuyên một cách hệ thống, không chịu tìm tòi kiến thức mới qua sách
3


nâng cao, sách tham khảo, còn hiện tượng dấu dốt, không chịu học hỏi bạn bè,
thầy cô.
Đứng trước thực trạng này tôi thấy cần phải làm thế nào để khắc phục
tình trạng trên nhằm nâng cao chất lượng học sinh, làm cho học sinh thích học
toán hơn .Vậy tôi thiết nghĩ đề tài của tôi nghiên cứu về vấn đề này là bước đi
đúng
đắn với tình trạng và sức học của học sinh trường tôi hiện nay.
Chính vì vậy sau khi dạy xong kiến thức về căn thức, tôi đã trực tiếp khảo
sát học sinh lớp 9A, 9B trường THCS Quảng Định và thu được quả như sau:
Lớp
Số HS
Số học sinh
Số HS biết
Số HS không thể
được
giải được
hướng nhưng
giải được

khảo sát
không giải được
SL
%
SL
%
SL
%
9A
40
8
2
10
25
22
55
9B
42
6
14,3
12
28,6
24
57,1
Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn
khoăn. Chính vì thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một
số giải pháp để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giải bài
tập về dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai .
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :
Giải pháp 1: Hệ thống , củng cố và khắc sâu một số công thức biến đổi về

căn bậc hai:
a. Kiến thức : ( Cơ bản) 1
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn
bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc
hai.
* Nội dung của phép khai phương gồm :
- Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai
số học của số không âm)
- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương (với a≥0, có

 a

2

a ;

2

với a bất kỳ có a | a | )
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi Định lý về so
sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b  a  b ”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý “
Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ab  a b ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có :
a
a

b
b ”)

* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho

bởi các công thức sau :
A 2 = | A|

(với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức )
4


AB  A B

( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0)

A
A

B
B

( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)

A 2 B | A | B

( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )

A 1

AB
B B
A
A B


B
B
C
A B
C



A B

( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )
( với A, B là biểu thức và B > 0)

C ( A B )
A  B2



(với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B2 )

C( A  B )
( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )
A B

b. Hệ thống bài tập củng cố :
Bài 1: Trục căn thức ở mẫu : 1
a)

6 + 14
2 3- 7

Gợi ý:
a)
b)

2 ( 3+ 7) ( 2 3+ 7)
6 + 14
2 ( 6 + 2 21 + 21 + 7 )
2 ( 13 + 3 21 )
=
=
=
2 3- 7
( 2 3- 7) ( 2 3+ 7 )
12 - 7
5
3+ 4 3
6+ 2- 5

Gợi ý :
b)

=

c)

( 3+ 4 3 ) ( 6 + 2 + 5 )
3+ 4 3
( 3+ 4 3 ) ( 6 + 2 + 5 )
=

=
6 + 2 - 5 ( 6 + 2 - 5) ( 6 + 2 + 5)
6 + 2 + 2 12 - 5

( 3+ 4 3 ) (

6 + 2 + 5)

3+ 4 3

= 6+ 2+ 5

5 5 +3 3
5+ 3

Gợi ý :
c)

5 5 + 3 3 ( 5 5 + 3 3 ) ( 5 - 3 ) 25 + 3 15 - 5 15 - 9 16 - 2 15
=
=
= 85+ 3
5- 3
2
( 5 + 3) ( 5 - 3) =

15

Bài 2: Rút gọn biểu thức :  2

5


a)

6 + 14
2 3 + 28

b)

9 5 + 3 27
5+ 3

2+ 3+ 6+
2 + 3+
3
1
a)
+
5+ 2
2-

c)

8 +4
4
4

-

1 3-

5

Bài làm :
a)

6 + 14
2. 3 + 2. 7
=
2 3 + 28
2 3 +2 7
2 ( 3+ 7)

=

2( 3 + 7)

=

2
2

9 5 + 3 27 9 5 +9 3 9 ( 5 + 3 )
=
=
=9
5+ 3
5+ 3
5+ 3

2 + 3 + 6 + 8 +4
c)
2+ 3+ 4
2 + 3+ 6 + 8+ 4 + 4
=
2+ 3+ 4
Bài 3: Thực hiện phép tính :  2
b)

3
1
4
+
5+ 2
2 - 1 3- 5

a)

3( 5 + 2 )

=

3

+ 2 +1-

=
=

3( 5 + 2 )

( 5) - ( 2)
2

2 +

2 +1

( 2)

2

- 12

-

4 ( 3+ 5 )
32 -

( 5)

2

4 ( 3+ 5 )
4

= 5 + 2 + 2 +1- 3b)

=

5 =2 2- 2

5- 2
1
1
+
5+ 2 5 2+ 5
5

(

5 - 2) ( 5 - 2 5 )

( 5 + 2 5 ) ( 5-

2 5)

-

2-

5

( 2+ 5 ) ( 2-

5)

+

5

5

9 5 - 20 2 - 5
9 5 - 20 +10 - 5 5 + 5
+ 5=
= 5- 2
5
- 1
5

6


5
3
+ - 2
3
5
A=
5
3
3
5

5
3
5
3
8 - 2 15
+ - 2=

+ - 2=
3
5
3
5
15

Ta có

5
3

3
5
3
2
=
=
5
3
5
15
8 - 2 15 2
8 - 2 15
A =
:
=
15
15
15

Vậy

3
2
+
3+ 2
3- 2

b)
B=

(

3-

2) ( 3+ 2)

3
2
+
3+ 2
3- 2

3 ( 3-

=
=

(

2) + 2 ( 3+ 2)
2) ( 3+ 2)

35

(

B

15
=4- 15
2

3-

2) (

5
= =5
3+ 2) 1

1
5

c. Yêu cầu đối với giáo viên khi thực hiện giải pháp:
- Xây dựng hệ thống bài tập phù hợp, yêu cầu phù hợp với nhận thức của từng
đối tượng học sinh.
- Thường xuyên kiểm tra việc ghi nhớ và vận dụng công thức của HS.
- Xây dựng kế hoach phụ đạo ngay trong các giờ học đối với những học sinh

mất gốc , giúp đỡ các em tiến bộ từng bước.
Giải pháp 2: Cho học sinh phát hiện những chỗ sai trong các lời giải sai, và
phân tích nguyên nhân , từ đó đưa ra biện pháp để khắc phục :
1. Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số
học của một số dương a.
Ví Dụ: 1
Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng.
+ HS giải:
169 = 13
� số 169 có 2 căn bậc hai được viết là 169 = 13 và 169 = -13 (!)
+ Cách giải đúng là:
Căn bậc hai số học của 169 là: 169 = 13, còn căn bậc hai của 169
là: 169 = 13; - 169 = - 13 .
- Nguyên nhân:
Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học
của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này.
- Biện pháp khắc phục:

7


+ GV cần yêu cầu HS nắm vững : Với số dương a, số a được gọi là căn
bậc hai số học của a, số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0; Số dương a
có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là a và số âm kí
hiệu là - a . Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
+ Khi nói đến a ta phải có: a �0 và a �0, nghĩa là a không thể âm.
Vì vậy không được viết : Số 169 có hai căn bậc hai là 169 = 13 và 169 = 13.
2. Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một
số.
Ví dụ:  2 Rút gọn biểu thức sau: A = 2 a 2  5a ( Với a < 0 )

+ HS giải:
A = 2 a 2  5a = 2 a  5a  2a  5a  3a ( với a < 0 ) (!)
+ Cách giải đúng là:
A = 2 a 2  5a = 2 a  5a  2a  5a  7a ( với a < 0 )
- Nguyên nhân:
HS chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà HS chỉ hiểu thì
a<0 thì a  a
- Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này GV nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
a , neu a �0
�
a , neu a  0
�

+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối: a  �

3. Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức:
Ví dụ1: 1
Tìm x, biết: 9 x 2  12
+ HS giải:
9 x 2  12

�

A2  A

9 x 2  12

Vì 9 x 2  (3 x) 2  3 x nên ta có: 3x = 12 � x = 4.
+ Cách giải đúng là:

Vì 9 x 2  (3x )2  3 x nên ta có: 3x  12
� 3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
Ví dụ2: 1
Rút gọn biểu thức: (4  17) 2
+ HS giải:
HS1: (4  17 )2  4  17  4  17
HS2: (4  17) 2  4  17
+ Cách giải đúng là:

8


(4  17 ) 2  4  17  17  4

Ví dụ 3:  2 Khi so sánh hai số a và b. Một HS phát biểu như sau: “ Bất kì hai số
nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:
Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b .
2
2
Ta có : a 2  2ab  b 2  b 2  2ab  a 2 hay  a  b    b  a 
(1)
Lấy căn bậc hai hai vế ta được:

 a  b

2



 b  a

2

Do đó: a  b  b  a
�a b
Từ đó : 2a  2b
Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau.
HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1)
phải được kết quả: a  b  b  a chứ không thể có a-b = b-a.
- Nguyên nhân:
HS chưa nắm vững hằng đẳng thức A2  A , giá trị tuyệt đối của
một số âm.
- Biện pháp khắc phục:
Để tránh sai lầm khi giảng dạy phần này GV cần giải thích cho HS
nắm rõ hằng đẳng thức A2  A , với mọi biểu thức A; cũng cố và mở rộng định
nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
�A , neu A �0
A2  A = �
� A , neu A  0

Giải pháp 3: Chỉ ra những khó khăn và vướng mắc của học sinh khi thực
hiện rút gọn biểu thức chứa cân bậc hai . Từ đó đưa ra biện pháp khắc phục .
1. Khó khăn thường gặp của HS khi tính giá trị của các căn thức, mà biểu thức
dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương hay lập phương của một biểu
thức.
Ví dụ 1:  2 Tính 11  4 7 ; 3 7  5 2
Để giải quyết vấn đề trên HS cần vận dụng hằng đẳng thức lần lượt biến
đổi biểu thức 11  4 7 và 7  5 2 dưới dạng bình phương , lập phương của một
biểu thức.
Trong các hằng đẳng thức :

 A �B   A2 �2 AB  B 2
3
 A �B   A3 �3 A2 B  3 AB 2 �B3
2

học sinh thường nắm chưa vững nên dễ mắc sai lầm khi giải các bài tập ở dạng
trên.
11  4 7 ( 7  2) 2 ; 7  5 2 ( 2  1) 2
Ví dụ 2:  2
Chứng minh :  4  7   23  8 7
2

9


HS dễ dàng biến đổi  4  7   16  8 7  7  23  8 7
2

Nhưng ngược lại các em gặp khó khăn (nếu nắm không vững hằng đẳng
thức và khả năng tính toán )
Ví dụ 3:  2
Chứng minh 23  8 7  7  4
Nếu HS không vận dụng bài tập 15c ở trên để giải mà các em lại viết
23  8 7 dưới dạng bình phương của một biểu thức để tính 23  8 7 là một
điều khó ! Để tính nhanh và không nhầm lẫn. GV có thể hướng dẫn HS một số
dạng biến đổi như sau:
Đối với biểu thức có dạng:
x �2 a b với a,b �0 và x = a + b thì x �2 a b 

Đối với biểu thức có dạng:
x �2a b với a,b �0 và x = a2 + b



x �2a b  a � b

thì





a� b



2

-

2

Áp dụng:
Bài 1: Tính  3



12  2 35  12  2 7. 5 

7 5



2



7 5  7 5

Bài 2: Tính  3
11  4 7  11  2.2. 7 

2 7

2

 2 7  7 2

Bài3: Tính  3
46  6 5  46  2.3 5.1 

3



5 1

2

 3 5 1  3 5 1

Bài 4: Tính  3
3



7  5 2  3 2 2  6  3 2 1
3

 2

3

 3.

 2

2

.1  3. 2.12  13 

3





2 1

3

 2 1

Bài 5:  2
Chứng minh: 23  8 7  7  4
Ta có :
Vế trái: 23  8 7  7
 23  2.4. 7  7 

 4 7

2

 7

 4 7  7  4 7  7  4

2 . Vướng mắc khi HS thực hiện các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc
hai
Ví dụ 1: 1
Rút gọn biểu thức sau: 20  45  3 18  72
+HS giải:
10


20  45  3 18  72  4.5  9.5  3 2.9  36.2
 2 5  3 5  9 2  6 2   5  15 2  14 7

+ Cách giải đúng là:

20  45  3 18  72  4.5  9.5  3 2.9  36.2
 2 5  3 5  9 2  6 2  15 2  5

- Nguyên nhân:
Sai lầm ở chỗ HS xác định chưa đúng các căn thức đồng dạng , còn
nhầm lẫn giữa thu gọn căn thức đồng dạng và nhân các căn thức .
- Biện pháp khắc phục:
Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV cần nhấn mạnh ta chỉ thực
hiện được phép cộng ,trừ đối với các căn thức đồng dạng và không đối với các
căn thức không đồng dạng , để HS khắc sâu mà tránh những sai sót.
3. HS gặp vướng mắc khi không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có
căn bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
Ví dụ 1: 1
Có HS viết:
+ Vì  3 .  27   81  9 và 3. 27   3 .  27   81  9
nên  3 .  27   3. 27
+ Vì

50
50

 25  5 và
2
2

(!)

Ví dụ 2: 1 Giải bài tập sau: Tính 6 2  11
+ HS giải:



6 2  11  9  6 2  2   9  6 2  2
 �

�





2

2 3 �
�

50
50

2
2

50
 25  5 nên
2

2 3  3 2



(!)

Ví dụ 3:  4 Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 NXBGD – trang 18).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  x
+ HS giải:
Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để x xác định
2

� 1� 1
mà vội vàng tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào x  x  �x  � mà
� 2� 4
2

biến đổi
2

1� 1 1
�
A  x  x  � x  � �
2� 4 4
�
1
1
1
� x 0� x
� min A 
4
2
4
1

1
Vậy min A  � x 
4
4

+ Cách giải đúng:
11


x xác định khi x �0 . Do đó: A  x  x �0 � min A  0 � x  0

- Nguyên nhân:
+ Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để
A tồn tại.
+ HS chưa nắm rõ các điều kiện ,quy tắc khi thực hiện nhân các căn
bậc hai,chia hai căn bậc hai.
- Biện pháp khắc phục:
Khi dạy GV cần khắc sâu và đưa ra phản VD để học sinh khắc phục
được sai xót :
Điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai.
Điều kiện để A có nghĩa .
Điều kiện để ab  a . b ;

a
a

b
b

4. Khó khăn của học sinh vận dụng vận dụng căn bậc ba , chưa tìm ra

điểm khác biệt giữa căn bậc ba và căn bậc hai .
Ví dụ 1:  2
Giải phương trình: 3 x  1  1  x
(2)
+ HS giải:
3

x 1 1  x � 3 x 1  x 1

�x �1
�
�x  1 �0
�
��
�
�
3
 x  1 x 2  2 x  0
�x  1   x  1
�
�x �1
�
x  0(loai )
�x �1
��
��
� ��
x 1
�x  x  1  x  2   0
��

��
x2
��





Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1=1; x2=2.
+ Cách giải đúng là:
3

x 1 1  x �

3

(!)

x  1  x  1 �  x  1  x  1
3





�  x  1   x  1  0 �  x  1 x 2  2 x  0 � x  x  1  x  2   0
3

� x  0 hoặc x  1 hoặc x  2 .

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1  0; x2  1; x3  2
- Nguyên nhân:
+ HS quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số a �0
�x �0
�
a  x � �2
x 
�
�

 a

2

a

+ HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a.
- Biện pháp khắc phục:
12


Khi giảng phần này GV cần cho HS nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số
a, đồng thời lưu ý HS hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số a �0 ; căn bậc hai số
học của một số a �0 và căn bậc ba của một số a.
5. Vướng mắc của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào
trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phương trình.
2
Ví dụ 1: 1 Rút gọn: A  32 x   5  x  4 x
+HS giải :

 5

A  32 x 

2

( với x �0 )

x  4 x  3 x  5 x  2 x  4 x

+ Cách giải đúng là :
Với x �0 . Ta có:

 5 

A  32 x 
 3 x  5

2

x  4x

x 2

x  3 x 5 x 2 x  6 x

Ví dụ 2:  2
Rút gọn biểu thức: M  2 x

3

 48 x
x

+HS giải :
M  2x

3
3 x 2
 48 x  2
 4 3 x
x
x

 2 3 x  4 3 x  6 3 x

(!)

+ Cách giải đúng là:
M  2x

Khi đó: M  2

3
 48 x . Điều kiện để M xác định là: x < 0.
x
3   x 

2

x

Ví dụ 3:  4

 16.  3 x  2 3 x  4 3 x  2 3 x

Giải phương trình : 14  x  x  2
+ HS giải :
2
(*) �  x  2   14  x



(*)



� x 2  3x  10  0 � x 2  5 x   2 x  10   0
x5
�
�  x  5  x  2   0 � �
x  2
�

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 = 5 ; x2 = -2
+ Cách giải đúng là :

(!)

�x  2 �0

�
(*) � �

�x �2
� �2
 14  x
�x  4 x  4  14  x

 x  2
�
�x �2
�x �2
�
�� 2
��
 x  5  x  2   0
�
�x  5 x   2 x  10   0



2



13


�x �2
�

� ��
x5 � x5
��
x  2
��

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 5.
Ví dụ 4:  5 Rút gọn biểu thức: M 
y 2  xy

y

M

+ HS giải :


x y
y



x

y

y 2  xy

y

xy  y 2

y

x

y

x
1
y

x

y

x
y

x

y

x
1
y

y



x y
y. y

x
 1
y



x
y

(!)

+ Cách giải đúng là :
Đk để M xác định: xy �0 ; y �0 . Ta xét hai trường hợp:
* x �0 ; y < 0 .
M

y 2  xy

y

 1

x

y

x

y

y 2  xy



 y

y x



x
x
1 2
y
y

y 2  xy

y

y x

x
y

y2

* x �0 ; y>0.
M





x

y

x
 1 
y

y



 y. y
x

y

Vậy: nếu x �0 ; y<0 thì M  1  2

x
y

x
 1
y
x
và nếu x �0 ; y>0 thì M  1
y

- Nguyên nhân:
HS năm chưa vững quy tắc A2 B  A B với B �0 , điều kiện để
một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để A tồn tại, định
nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.
HS thiếu thận trọng khi làm toán chứa căn bậc hai.
- Biện pháp khắc phục:
Khi dạy GV cần yêu cầu HS nắm vững và đưa ra phản ví dụ bằng
số cụ thể để học sinh tự tháo gỡ vướng mắc trong quá trình biến đổi :
+ A2 B  A B với B �0
2
'
�
� A B vo i A �0; B �0
+ A B � 2
 A B vo'i A  0; B �0
�
�
+ A tồn tại khi A �0

14


�x �0

�
a  x � �2
x 
�
�

+ a �0 ,

 a

2

a

A

B

+ Nếu A �0 , B > 0 thì

A
B

6. Vướng mắc khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai
phương một thương.
Ví dụ 1: 1 Giải các bài tập sau:
625
16

Tính: a. 81.256 ; b.

+ HS giải:
a. 81.256  9. 16  3. 4  12
b.

(!)

625
25
5 5



16
4
2 2

(!)

+ Cách giải đúng là:
a. 81.256  81. 256  9.16  144
b.

625
625 25


16
4
16

Ví dụ 2: 1 Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu
+ HS giải :
a.

5 2
3. 5  2
15  2


2
3
3
3

b.

2 5 1 2 5 1
2
5 1



2
5 1
2
5 1
5 1



2

5 1

hoặc

2



2

5 1

hoặc



 















5 1



5 1

hoặc
c.





2





5 1

2



5 1



5 1
3

  2

5 1

5 1

5 1

2



5 1

  5  1 25  1
2  5  1
2  5  1
2


 2  5  1
1
5 1

5  1 5  1
2  5  1
2  5  1
2
5 1



5 1
2
5  1  5  1  5  1

hoặc





5 1

5 1

2



5 1
12

5

5 7
5 7
5 7



2 7  3 2 7. 7  3 2.7  3 17

15


hoặc
5

2 7 3 2

d.

5





7 3



7 3 .



7 3





5



2.  7  9 





- Cách giải đúng là
a,
b,

  5

7 3
4

  5 

7 3



4

2 a
1

2 a 3 3
2 a
2 a


2 a 3
2 a 3 2 a 3
2

hoặc

7 3





2 a

 a

2



 32

2 a
2a  9



3. 5  2
52
15  2 3


2
3
3
3

 
2  5  1
2  5  1
2



5 1
5  1  5  1  5  1

c,







5 1
2



5 2 7 3
5 2 7 3
5


2
2 7 3
2 7 3 . 2 7 3
2 7  32







5 2 7 3

28  9



  10



7  15
19

d,

.

 







2 a 2 a 3
2 a 2 a 3
2 a


2
2 a 3

2 a 3 2 a 3
2 a  32







2 a 2 a 3
4a  9



  4a  6









a

4a  9
9
4

(với a �0 và a � )
- Nguyên nhân:
+ Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng
tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ A  B  A  B ” tương tự như
A.B  A. B ( với A �0 và B �0 ) để tính .
+ HS hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương
một thương.
+ HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức
và tính chất cơ bản của phân thức.
+ HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế
nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng
2
2
đẳng thức: A  B   A  B   A  B 

16


- Bin phỏp khc phc, khi dy:
+ GV cn ht sc nhn mnh v lm rừ quy tc khai phng mt
tớch , khai phng mt thng v lu ý HS khụng c ng nhn s dng
A B A B tng t nh A.B A. B ( vi A 0 v B 0 ) .
+ Khi cn thit GV cng c li kin thc cú liờn quan.Chng hn
nh hng ng thc, tớnh cht c bn ca phõn thc.
+ Nhn mnh th no l hai biu thc liờn hp ca nhau.
+ Cn khc sõu cỏc cụng thc:
A
A B

, vi B > 0

B
B





C A mB
C
, vi A 0 v A B 2

2
A B
A B
C
C

A B



Am B
A B

, vi A 0, B 0 v A B

Gii phỏp 4: Rốn cỏc k nng bin i c bn :
K nng phõn tớch a thc thnh nhõn t , k nng b ngoc , k nng x lý v
du , k nng quy ng , k nng vn dng hng ng thc , k nng bin i v
thu gn a thc, cn thc .

VD: Rốn k nng tỏch; dựng hng ng thc , t nhõn t chung, rỳt gn
1; x 5 x 6 x 3 x 2
2; x x 1 x 1 x x 1
3; x 4 ( x 2)( x 2)
2
4; a 2 a 1 a 1
5; x x 3x 3 x 1 x 1
Gii phỏp 5: Xỏc nh tng bc lm cho mt s dng toỏn c bn c th :
Dng toỏn Rút gọn biểu thức :
Cỏc bc giải:
Để rút gọn biểu thức , ta thực hiện các bớc sau:
Qui đồng mẫu số chung (nếu có).
Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn (nu cú)
Trục căn thức ở mẫu (nếu có).
Thực hiện các phép tính, luỹ thừa, khai căn, nhân chia ...
Cộng trừ các hạng t đồng dạng.
Vn dng chớnh xỏc cỏc hng ng thc ,hng ng thc cn thc (nu cú)
p dng cụng thc m du giỏ tr tuyt i (nu cú)
Vớ d1: 1 Rút gọn.
a) 2 75 - 3 12 + 27
b) P= x 2 y x 2 4 xy y 2
3

17


Nhận xét về câu a) rõ ràng ta phải biến đổi các căn thức
thành căn thức đồng dạng thì mới rút gọn biểu thức đã cho đợc.
Ta có : 2 75 = 2 25.3 =2.5 3 =10 3
3 12 =3 4.3 =3.2 3 =6. 3

27 = 9.3 =3 3
Suy ra: 2 75 -3 12 + 27 = 10 3 - 6 3 +3 3 =(10 6 +3). 3 =
7 3
Vậy : 2 75 -3 12 + 27 = 7 3
Nhận xét về câu b) biểu thức trong căn là một bình phơng:
x2 4xy +4y2=(x-2y)2
Các học sinh cần lu ý một điều là: Căn bậc hai của bình phơng hiệu hai số bằng số lớn trừ đi số nhỏ.
A B; A B
( A B) 2 A B
B A; A B

Do đó:
x 2 y; x 2 y
( x 2 y ) 2= | x-2y|=
2 y x; x 2 y
P x 2 y

x 2 4 xy 4 y 2 x 2 y

( x 2 y) 2 x 2 y x 2 y

Nếu x 2y thì |x- 2y| = x-2y.
P= x+2y-(x-2y) = 4y.
Nếu x<2y thì |x-2y| = 2y-x
P= x+2y-(2y-x) = 2x.

Vậy :

P x 2 y

4 y; x 2 y
x 2 4 xy y 2
2 x; x 2 y

Gii phỏp 6: Phõn loi theo mt s dng toỏn c bn thng gp :
Trong quỏ trỡnh la chn v phõn loi theo tng dng toỏn , tụi ó hỡnh thnh v
xõy dng cho cỏc em con ng t duy qua mi dng toỏn t d ti khú , v
ng thi phõn loi dng toỏn theo i tng hc sinh . Mi dng toỏn cú vớ d
c th hỡnh thnh phng phỏp t duy cho cỏc em theo tng cp t duy .
c th tụi ó phõn loi v xõy dng cho hc sinh cỏc phng phỏp gii mt s
dng toỏn c bn sau :
Dng toỏn 1: Tỡm x biu thc tha món mt iu kin cho trc
Rỳt gn
Cho biu thc rỳt gn tha iu kin c phng trỡnh hoc
bt phng trỡnh
Dng toỏn 2: Tỡm x nguyờn biu thc nguyờn
Rỳt gn
Ly t chia cho mu tỏch biu thc thnh tng ca mt s
nguyờn v mt biu thc cú t l mt s nguyờn
Cho mu l c ca t suy ra x
Dng toỏn 3. Tớnh giỏ tr ca biu thc ti giỏ tr cho trc
18


Rút gọn
Rút gọn giá trị của biến nếu cần
Thay vào biểu thức rút gọn
Dạng toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Rút gọn
Biến đổi biểu thức về dạng A2 + m hoặc – A2 + m

Giải pháp7: Tổ chức các buổi học tập tích cực
Lên kế hoạch và tổ chức những buổi học tập tích cực theo tinh thần giúp các em
tìm ra những sai xót trong quá trình thực hiện mỗi dạng toán . Yêu cầu các em
đưa ra những vấn đề khó , những sai xót , những kiến thức còn thiếu xót để cả
giáo viên và học sinh cùng nhau giải quyết và giúp đỡ các em .
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ,với bản
thân , đồng nghiệp và nhà trường :
Với phương pháp thực hiện như trên học sinh đã tự tìm ra kiến thức một cách
độc lập tích cực. Do đó học sinh hứng thú, hiểu bài sâu sắc từ đó vận dụng tốt
các phương pháp trên để giải các bài toán và dạng bài toán có liên quan đến căn
thức và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Đặc biệt với mỗi bài toán đưa ra các
em luôn tìm tòi nhiều cách giải khác nhau và lựa chọn cách giải tối ưu nhất để
làm. Qua dạy đối chứng và kiểm tra tôi thấy chất lượng học tập được nâng lên
một cách rõ rệt, số học sinh yêu thích tóan ngày càng nhiều, học sinh ngày càng
hăng say học tập và thu được kết quả tương đối khả quan,cụ thể qua việc kiểm
tra đánh giá như sau:
Lớp
Số HS
Trước khi thực hiện đề tài
được KT
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%

SL
%
9A
40
4
10
5 12,5 9 22,5 22
55
9B
42
3
7,1
6 14,2 8
19
25 59,7
Lớp
9A

Số HS
được KT
40

Giỏi
SL
%
14
35

Sau khi thực hiện đề tài
Khá

TB
SL
%
SL
%
16
40
7 17,5

Yếu
SL
%
3
7,5

9B
42
12 28,6 18 42,9 9 21,4 3
7,1
3.KẾT LUẬN , KIẾN NGHỊ:
3.1.Kết luân:
Trong giai đoạn mới hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là nhiệm
vụ hết sức quan trọng , bản thân tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất
lượng mũi nhọn,cũng như chất lượng đại trà, nên tôi cố gắng tìm tòi và ứng
dụng những giải pháp phù hợp với thực tiễn nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục .
Để làm tốt được bài tập căn thức và rút gọn biểu thức chứa căn học sinh cần
phải nắm chắc các kiến thức cơ bản như : Định nghĩa, tính chất cơ bản , các

19

phép biến đổi cơ bản về căn thức , có kỹ năng biến đổi ,kỹ năng về dấu,về
ngoặc…
Đối với người thầy phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của từng dạng toán cần truyền
tải đến học sinh ,biết lắng nghe những vấn đề học sinh trao đổi để tìm những
giải pháp giúp đỡ học sinh ,hiểu học sinh ,tạo môi trường thân thiện trong học
tập giữa thầy và trò.Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan , có định hướng
rõ ràng , thảo luận tổ chuyên môn và trao đổi với đồng nghiệp tìm ra giải pháp
tối ưu trong triển khai, rút kinh nghiệm qua từng bài cụ thể, bổ sung kiến thức
qua các tài liệu, tạp trí toán học, các đề thi học sinh giỏi hàng năm.
Đối với học sinh cần khơi dậy niềm hứng thú, lòng đam mê học toán qua
từng tiết học, bài tập cụ thể, hoàn thành các bài tập được giao, trao đổi thẳng
thắn trực tiếp phần kiến thức mà mình đã lĩnh hội được, những khó khăn vướng
mắc khi thực hiện phần bài tập được giao, trao đổi những thông tin với bạn
học ,với thầy cô giáo qua đó rút ra phương pháp học tập phù hợp để đạt được kết
quả cao .Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung
kiến thức trên vào từng dạng bài cho phù hợp có như vậy mới đạt được hiệu quả
tốt.
3.2.Kiến nghị:
Việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực phát huy tính
độc lập sáng tạo của học sinh không thể trong chèc lát mà là cả một quá
trình lâu dài. Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn học sinh biết giải toán, học
toán và biết vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng như vào thực tế.
Đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi
dưỡng học sinh giỏi và nâng cao chất lượng đại trà .Tuy nhiên, theo tôi đây
cũng là một trong những mảng kiến thức rất trọng tâm của chương trình toán
THCS .
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy về
căn thức và dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn , cùng với sự góp ý của đồng
nghiệp, hy vọng rằng đề tài của tôi sẽ góp phần tăng thêm hiệu quả học tập của

học sinh . Do khả năng và kinh nghiệm chưa nhiều nên không tránh khỏi những
thiếu xót, rất mong nhận được sự quan tâm góp ý của đồng nghiệp và hội đồng
khoa học các cấp để những năm tới đề tài của tôi đạt kết quả tốt hơn.
XÁC NHẬN CỦA
HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 05 tháng 04 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

20


21