khóc - khoảng cách- vị trí tương đối

Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.

CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC OXYZ.
CHỦ ĐỀ 5: GÓC – KHOẢNG CÁCH – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
I. GÓC:
1. Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 , (Q): A′x + B′y + C ′z + D′ = 0 được ký hiệu:
0o ≤ (( P), (Q)) ≤ 90o , xác định bởi hệ thức
AA' + BB' + CC'

cos(( P), (Q)) =

A2 + B 2 + C 2 . A' 2 + B' 2 + C' 2
Đặc biệt: ( P ) ⊥ (Q) ⇔ AA'+ BB'+CC ' = 0.
2. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

.

a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương u = (a; b; c ) và u ' = (a ' ; b' ; c ' ) là φ
cos φ =

aa '+ bb '+ cc '

(0 o ≤ ϕ ≤ 90 o ).

a +b + c . a' +b' + c'
Đặc biệt: (d ) ⊥ (d ' ) ⇔ aa '+bb'+cc' = 0.
2

2

2

2

2

2

b) Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = (a; b; c ) và mp (α ) có vectơ pháp tuyến

n = ( A; B; C ).
sin ϕ = cos(n, u ) =

Aa + Bb + Cc

(0 o ≤ ϕ ≤ 90 o ).

A +B +C . a +b +c
Đặc biệt: (d ) //(α) hoặc ( d ) ⊂ (α ) ⇔ Aa + Bb + Cc = 0.
II. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
a) Khoảng cách từ M ( x0 ; y 0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 là:
2

d(M,(P)) =

2

2

2

2

2

Ax0 + By0 + Cz 0 + D

.
A2 + B 2 + C 2
b) Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến
mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng.
a) Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm Mo có vectơ chỉ phương u :
uuuuur r
 M M; u
 0

d(M , d) =
.
r
u
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường
thẳng này đến đường thẳng kia.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương u '

là:

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 01


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
r ur uuuuur
u; u' .M M

 0
d( d, d') =
.
r ur
 u; u'


Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm
thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến
đường thẳng.
III. Vị trí tương đối.
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
Cho 2 mp (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0




(α)//(β)

(α ) ≡ ( β )
(α )

cắt

(β )

⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
≠
A2 B2 C2 D2

⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
=
A2 B2 C2 D2

⇔

A1 B1 B1 C1 A1 C1
≠
∨

≠
∨
≠
A2 B2 B2 C2 A2 C2

Đặc biệt: (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = 0
2. Vị trí tương đối của 2 hai đường thẳng:
 x = x0 + a1t
r

Cho 2 đường thẳng: d :  y = y0 + a2t qua M, có VTCP ad
z = z + a t
0
3

 x = x0′ + a1′t ′
r

d ' :  y = y0 + a2′ t ′ qua N, có VTCP ad '
 z = z + a′t ′
0
3


• Cách 1:
r r

[ ad , ad ' ]
r r

r r

r

[ ad , ad ' ] ≠ 0

uuuu
r
 ard , MN 



r r uuuu
r
 a d , a d '  .MN



uuuu
r
r
 ard , MN  = 0



d ≡ d'

r

[ ad , ad ' ] = 0

r
r r uuuu
r
uuuu
r
r r r uuuu
 ard , MN  ≠ 0  a d , a d '  .MN = 0  a d , a d '  .MN ≠ 0






d // d '

d caé
t d'

d cheù
o d'

• Cách 2:
 x0 + a1t = x0′ + a1′t ′

Xé hệ phương trình:  y0 + a2t = y0 + a2′ t ′ (*)
 z + a t = z + a′t ′
0
3
 0 3

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 02


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ và
cắt nhau
d'
d

Hệ vô nghiệm ⇔


d

Hệ vô số nghiệm ⇔


và

d

d'

và

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.

song song hoặc chéo nhau

trùng nhau

d'

Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của d và d ' .
 Chú ý:







d
d

d
d

r
r
⇔ ad = kad ′
d′

M ∉ d ′
r
r
trùng
⇔ ad = kad ′

d′

M ∈ d ′
r
r
cuøng phöông ad ′
cắt
⇔ ad khoâng
r
d′
 r r uuuu

[ a , a′] .MN = 0
r
chéo
⇔ r r uuuu
d′
[ ad , ad ′ ] .MN ≠ 0

song song

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
 x = x0 + a1t

Cho đường thẳng: d :  y = y0 + a2t và mp (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
z = z + a t
0
3

 x = x0 + a1t

y = y + a t

0
2
Xé hệ phương trình: 
z
=
z
+
a
0
3t

 Ax + By + Cz + D = 0

(*) có nghiệm duy nhất ⇔

(*) có vô nghiệm ⇔

(*) vô số nghiệm ⇔


d

d

//
⊂

d

(1)
(2)
(*)
(3)
(4)

cắt

(α )

(α )
(α )

4. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu

( S ) : ( x – a)

2

+ ( y – b ) + ( z – c ) = R 2 tâm I ( a; b; c ) bán kính R và mặt phẳng
2

2

( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
Nếu
•

d ( I ,( P) ) > R

thì mp

( P)

và mặt cầu

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

( S)

không có điểm chung.

Trang 03


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
Nếu
thì mặt phẳng
d ( I ,( P) ) = R
( P ) và mặt cầu ( S ) tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là tiếp
•
diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm
Nếu
thì mặt phẳng
d ( I ,( P) ) < R
( P ) và mặt cầu ( S ) cắt nhau theo giao tuyến là
•

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2
đường tròn có phương trình :

 Ax + By + Cz + D = 0
Trong đó bán kính đường tròn r = R 2 − d ( I , ( P )) 2 và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm
I mặt cầu ( S ) lên mặt phẳng ( P ) .
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng ∆ .
Để xét vị trí tương đối giữa ∆ và ( S ) ta tính d ( I , ∆ ) rồi so sánh với bán kính R .

å d ( I , ∆ ) > R : ∆ không cắt ( S )

å d ( I , ∆ ) = R : ∆ tiếp xúc với ( S ) .
Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng ∆ .
2
å d ( I , ∆ ) < R : ∆ cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B và R = d 2 + AB
4
IV. VÍ DỤ
VD 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2; −3;5) và mặt phẳng ( α ) có phương

trình: 2 x − y + 2 z − 6 = 0 . Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng ( α ) là:
A.

5 7
.
7

B.

11

.
3

C.

17
.
3

D.

5
.
3

Hướng dẫn giải.
Chọn B .
Áp dụng công thức d ( M , ( α ) ) =

2.2 − 1. ( −3) + 2.5 − 6
22 + ( −1) + 22
2

=

11
..
3

VD 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình ( α ) : x + y − z + 1 = 0

và ( β ) : x − y + z − 5 = 0 . Gọi ϕ là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) . Tính cos ϕ
1
1
1
4
A. .
B. .
C. .
D. .
2
3
4
5
Hướng dẫn giải.
Chọn B .
ur
có VTPT là n1 = ( 1;1; −1) .
uu
r
( β ) có VTPT là n2 = ( 1; −1;1) .

(α)

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 04


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Dành cho HS lấy điểm 5, 6.

r r
1.1 + 2. ( −1) + ( −1) .1
n .n
1
cos ( ( α ) , ( β ) ) = r 1 r2 =
= .
2
2
n1 . n2
12 + 12 + ( −1) . 12 + ( −1) + 12 3
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Mức độ 1: NHẬN BIẾT.
Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 1:

Oxyz

, cho điểm

A(2;1; −1)

và mặt phẳng

( P)

có phương trình:

x − y + z − 3 = 0 . Khoảng cách từ điểm A mặt phẳng ( P ) là:
A. 1.

B.

3
.
2

Trong không gian với hệ toạ độ

Câu 2:
( P ) : 2x − y + 2z − 3 = 0

là :

A. 3.

B. 2.

Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 3:

C.

Oxyz

, khoảng cách từ điểm

C. 1.
Oxyz

D.
M ( −2; −4;3)

4
.
3
đến mặt phẳng

D. 11.

, cho hai mặt phẳng.

( α ) : 2 x + 3 y − z + 2 = 0, ( β ) : 2 x + 3 y − z + 16 = 0 .
(β)

3.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( α ) và

là:

A. 14.

B. 0.

Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 4:

C. 15.
Oxyz

D.

23.

, cho hai mặt phẳng.

( α ) : 2 x − 2 y + z + 2 = 0, ( β ) : 4 x − 4 y + 2 z + 5 = 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( α )
(β)
A.

là:

3.

B. 1.

Tính khoảng cách giữa mặt phẳng

Câu 5:
A.

1
.
3

Khoảng cách từ điểm

Câu 6:

và

B.

C.

D.

1
.
6

x = 1+ t
và đường thẳng d: 
(α ) 2 x − y − 2 z − 4 = 0
 y = 2 + 4t
 z = −t

:

4
.
3

A ( x0 ; y0 ; z0 )

3.

C. 0.
đến mặt phẳng (P):

D. 2.
Ax + By + Cz + D = 0

bằng 0 khi và chỉ khi:
A. Ax0 + By0 + Cz0 ≠ − D.

B. A ∉ ( P).

C. Ax0 + By0 + Cz0 = − D.

D. Ax0 + By0 + Cz0 . = 0.

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

, với

D ≠0

Trang 05


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
B ( x0 ; y0 ; z0 )
( P ) : z + 1 = 0 . Chọn khẳng định đúng

Câu 7:

trong các khẳng định sau:
A. z0 .
Khoảng cách từ điểm

Câu 8:

B. z0 .
M ( 3; 0; 0 )

A. 0.
Khoảng cách từ điểm

Câu 9:

đến mặt phẳng

B. 2.
O

z0 + 1

C.

2

( Oxy )

D. z0 + 1 .

.

bằng:

C. 1.

D.

2. .

đến mặt phẳng (Q) bằng 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng

định sau:
A. (Q): x − y + z – 3 = 0.

B. (Q): 2 x + y + 2 z – 3 = 0.

C. (Q): 2 x + y  – 2 z + 6 = 0.

D. (Q): x + y + z – 3 = 0.

Tính khoảng cách từ điểm

Câu 10:
t ∈ R bằng:
1
.
A.

35

B.

Tính khoảng cách từ điểm

Câu 11:

4
.
35

A ( 1; m; 2 )

E ( 1;1;3)

C.
đến mặt phẳng

đến đường thẳng

5
.
35

x = 2 + t

,
d :  y = 4 + 3t
 z = −2 − 5t



D. 0.

( P ) : x + 1 = 0 . Chọn khẳng định đúng

trong các khẳng định sau:
A. 1.

B. m + 1 .
Cho mặt phẳng

Câu 12:

C. 2.

2. .

( α ) : x + y − 2z − 1 = 0;

( β ) : 5x + 2y + 11z − 3 = 0 . Góc giữa mặt phẳng ( α ) và mặt phẳng ( β )

A. 120°.

B. 30°.

C. 150°.

Cho hai đường thẳng

Câu 13:

Cho đường thẳng

C. 150° .

∆:

bằng

D. 60°.

x = 2 + t
x = 1− t


và
. Góc giữa
d1 :  y = − 1 + t
d2 :  y = 2
z = 3
z = − 2 + t



hai đường thẳng d1 và d2 là:
A. 30° .
B. 120° .

Câu 14:

D.

D. 60° .

x
y z và mặt phẳng (P):
=
=
1 −2 1

5x + 11y + 2z − 4 = 0 . Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) là:
A. 60° .
B. − 30° .
C. 30° .
D. − 60° .
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 06


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Hướng dẫn giải.
Cho mặt phẳng

Câu 15:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.

(α ): 2x − y + 2z − 1 = 0; (β ) : x + 2y − 2z − 3 = 0

.

Cosin góc giữa mặt phẳng (α ) và mặt phẳng (β ) bằng:
A.

4
.
9

4
B. − .
9

C.

4
3 3

Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 16:

4

D. −

.

Oxyz

3 3

.

, cho mặt phẳng

 x = 1− t
( α ) : 2 x – y + 2 z − 4 = 0 và đường thẳng d :  y = 2 + m.t . Tìm m để góc giữa mặt phẳng
 z = −m.t


(α) , d

bằng 0°

2
A. − .
3

B. 3.

C.

2
.
3

Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 17:

D. 2.
Oxyz

, cho hai mặt phẳng có phương

trình.

( α ) : 2 x – y + 2 z − 14 = 0
A. 90°.

và ( β ) : x − 2 y − 2 z + 2 = 0 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( α ) , ( β )

B. 60°.

C. 30°.

D. 45°.

Mức độ 2: THÔNG HIỂU.
Khoảng cách từ điểm

Câu 18:

H ( 1; 0;3)

đến đường thẳng

x = 1+ t


,
d1 :  y = 2t
t ∈R
z = 3 + t


và mặt phẳng ( P ) : z − 3 = 0 lần lượt là d ( H , d1 ) và d ( H , ( P ) ) . Chọn khẳng định đúng trong
các khẳng định sau:

A. d ( H , d1 ) > d ( H , ( P ) ) .

B. d ( H ,( P ) ) > d ( H , d1 ) .

C. d ( H , d1 ) = 6.d ( H , ( P ) ) .

D. d ( H , ( P ) ) = 1 .

Trong không gian với hệ toạ độ

Câu 19:

Oxyz

, cho

A ( 1;1;3) , B ( −1;3; 2 ) , C ( −1; 2;3) . Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mp ( ABC ) bằng:
A.

3.

B. 3.

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

C.

3
.
2

D.

3
.
2

Trang 07


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Tìm tọa độ điểm

Câu 20:

M

trên trục

Oy

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
sao cho khoảng cách từ điểm M đến

mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 3z − 4 = 0 nhỏ nhất?
A. M ( 0; 2;0 ) .

B. M ( 0; 4;0 ) .

C. M ( 0; −4;0) .

Khoảng cách từ điểm

Câu 21:
lượt bằng:
A. 6 và 4.

M ( −4; −5; 6 )

B. 6 và 5.

Câu 22:
( α ) : 3x − 2 y − z + 5 = 0

đến mặt phẳng

C. 5 và 4.

Trong không gian với hệ toạ độ

và đường thẳng ∆ :

 4 
D. M  0; ;0 ÷.
 3 

Oxyz

lần

( Oxy ) , ( Oyz )

D. 4 và 6.
, cho mặt phẳng

x −1 y − 7 z − 3
=
=
. Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa ∆
2
1
4

và song song với ( α ) . Khoảng cách giữa ( α ) và ( β ) là:
A.

9
.
14

B.

9
.
14

Cho tứ diện

Câu 23:

C.
ABCD

có

3
.
14

D.

3
.
14

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1)

và

D ( 1;1;1)

.

và

D ( 1;1;1)

.

và

D ( 1;1;1)

.

và

D ( 1;1;1)

.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD
A. 1.

B.

2.

Cho tứ diện

Câu 24:

C.
ABCD

có

Tính góc giữa hai đường thẳng AB, CD
A. 60° .
B. 45° .
Cho tứ diện

Câu 25:

ABCD

2
.
2

1
.
2

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1)

C. 30° .
có

D.

D. 90° .

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1)

Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) , ( BCD )
A.

1
.
2

B.

1
.
3

C.

Cho tứ diện

Câu 26:

ABCD

có

2
3

.

D. 1.

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1)

Tính cosin góc đường thẳng AB và mặt phẳng ( BCD )
A.

3
.
3

B.

2
5

.

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

C.

6
.
3

D.

6
.
2

Trang 08


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Cho mặt phẳng

Câu 27:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
( P ) : 3x + 4y + 5z + 2 = 0 và đường thẳng d là giao

tuyến của hai mặt phẳng ( α ) : x − 2y + 1 = 0; ( β ) : x − 2z − 3 = 0 . Gọi ϕ là góc giữa đường
thẳng d và mặt phẳng ( P ) . Tính ϕ
A. 60° .

B. 45° .
Cho mặt phẳng

Câu 28:

C. 30° .

D. 90° .

( α ) : 3x − 2y+ 2z − 5 = 0. Điểm A ( 1; –2; 2 ) . Có bao

nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng ( α ) một góc 45°.
A. Vô số.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm

Câu 29:
A(−3; − 4; 5); B(2; 7; 7); C(3; 5; 8); D(−2; 6; 1) . Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc 60°

?
A. DB và AC .

B. AC và CD .

C. AB và CB .

Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 30:

Oxyz

D. CB và AC .

, mặt phẳng nào dưới đây đi qua

A ( 2;1; –1) tạo với trục Oz một góc 30° ?
A.

2 ( x − 2 ) + ( y − 1 ) − ( z − 2 ) − 3 = 0. .

B. ( x − 2 ) + 2 ( y − 1) − ( z + 1) − 2= 0. .

C.

2 ( x − 2 ) + ( y − 1 ) − ( z − 2 ) = 0. .

D. 2( x − 2) + ( y − 1) − ( z − 1) − 2= 0. .

Cho mặt phẳng

Câu 31:

( P ) :3x + 4y + 5z + 8 = 0 . Đường thẳng d là giao tuyến

của hai mặt phẳng ( α ) : x − 2y + 1 = 0; ( β ) : x − 2z − 3 = 0 . Góc giữa d và ( P ) là:
A. 120°.

B. 60°.

C. 150°.

D. 30°.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

Câu 32:

(α)

cắt các trục

Ox, Oy , Oz lần lượt tại 3 điểm A ( −2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; 4 ) . Khi đó khoảng cách từ gốc
tọa độ O đến mặt phẳng ( ABC ) là
A.

61
.
12

B. 4.

C.

12 61
.
61

D. 3.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

Câu 33:

(α)

cắt các trục

Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A ( −2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; −3) . Khi đó khoảng cách từ
trọng tâm G của tam giác OBC đến mặt phẳng ( ABC ) là
A.

2 17
.
17

B.

17
.
17

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

C. 2.

D.

10 17
.
17

Trang 09

Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Tập hợp các điểm

Câu 34:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
trong không gian
cách đều hai
M ( x; y; z )
Oxyz

mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z − 3 = 0 và ( Q ) : x + y − 2 z + 5 = 0 thoả mãn:
A. x + y − 2 z + 1 = 0 .

B. x + y − 2 z + 4 = 0 .

C. x + y − 2 z + 2 = 0 .

D. x + y − 2 z − 4 = 0 .
Tập hợp các điểm

Câu 35:

M ( x; y; z )

trong không gian

Oxyz

cách đều hai

mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z − 7 = 0 và mặt phẳng ( Q ) :2 x + y + 2 z + 1 = 0 thoả mãn:
A. x + 3 y + 4 z + 8 = 0.

 x + 3y + 4z + 8 = 0
B. 
.
3 x − y − 6 = 0

C. 3 x − y − 6 = 0.

D. 3 x + 3 y + 4 z + 8 = 0.
Trong không gian

Câu 36:

Oxyz

cho điểm

M

thuộc trục Ox cách đều hai mặt

phẳng ( P ) : x + y − 2 z − 3 = 0 và ( Oyz ) . Khi tọa độ điểm M là
 3
  3

;0;0 ÷và 

;0;0 ÷.
A. 

1+ 6
  6 −1

 3

 3

;0; 0 ÷ và 
;0;0 ÷.
B. 
 1− 6

1+ 6


 6 −1

;0; 0 ÷
C. 
÷ và
 3


1+ 6

; 0;0 ÷
D. 

÷ và
 3


 6 +1

;0;0 ÷

÷.
3



Trong không gian

Câu 37:
d:

Oxyz

cho điểm

1− 6

;0;0 ÷

÷.
3



A ( 3; −2; 4 )

và đường thẳng

x − 5 y −1 z − 2
=
=
. Điểm M thuộc đường thẳng d sao cho M cách A một khoảng bằng
2
3
−2

17 . Tọa độ điểm M là
A. ( 5;1; 2 ) và ( 6; 9; 2 ) .

B. ( 5;1; 2 ) và ( −1; −8; −4 ) .

C. ( 5; −1; 2 ) và ( 1; −5; 6 ) .

D. ( 5;1; 2 ) và ( 1; −5; 6 ) .

Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng

Câu 38:

d1 ; d 2

tới mặt

phẳng (P) trong đó
x +1 y z −1
−x + 1 y z −1
d1 )
= =
; d2 )
= =
;( P) : 2x + 4 y − 4z − 3 = 0
2
3
3
2
1
1
4
7
13
5
A. .
B. .
C.
.
D. .
3
6
6
3
Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 39:

Oxyz

, cho hai điểm

A ( 1; 2;3)

B ( −3; −;3; 2 ) . Tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho M cách đều hai điểm A,.
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

và
B.

Trang 010


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
A. M ( −1;0;0 ) .
B. M ( 1;0;0 ) .
Cho

Câu 40:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
C. A và B đúng.
D. A và B sai.

A ( 1;1;3) ; B ( −1;3; 2 ) ; C ( −1; 2;3 )

. Khoảng cách từ gốc tọa độ O

tới mặt phẳng (ABC) bằng:
A.

3
.
2

B.

3
.
2

C.

3.

D. 3.

Cho mặt cầu (S) có tâm nằm trên tia

Câu 41:

Ox

, bán kính bằng

2

và tiếp xúc

với mặt phẳng ( α ) có phương trình −2 x + 2 y − z + 3 = 0 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) .
2

3

B. ( S ) :  x + ÷ + y 2 + z 2 = 4 .
2


2

2

3

D. ( S ) :  x − ÷ + y 2 + z 2 = 4 .
2


9

A. ( S ) :  x − ÷ + y 2 + z 2 = 4 .
2


2

9


C. ( S ) :  x + ÷ + y 2 + z 2 = 4 .
2

Cho mặt cầu (S) có tâm

I ( 1; 2; −1)

Câu 42:

và tiếp xúc với mặt phẳng

phương trình −2 x + 2 y − z + 3 = 0 . Tính bán kính của mặt cầu (S)
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Trong không gian

Câu 43:

Oxyz

(α)

có

D. 4.

, cho các điểm

A ( 4; − 1; 2 ) , B ( 1; 2; 2 ) , C ( 1; − 1; 5 ) , D ( 4; 2; 5 ) . Tìm bán kính R của mặt cầu tâm D tiếp xúc
với ( ABC ) .
A. R = 3.

B. R = 2 3.

C. R = 3 3.

Trong không gian

Câu 44:
( d1 ) :

Oxyz

D. R = 4 3.

, cho hai đường thẳng

x +1 1− y 2 − z
x − 3 y z −1
=
=
= =
và ( d 2 ) :
. Tìm tất cả giá trị thức của m để
2
m
3
1

1
1

( d1 ) ⊥ ( d 2 )
A. m = 5 .

B. m = −5 .
Trong không gian

Câu 45:

Oxyz

C. m = −1 .

D. m = 1 .

, cho mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + ( z − 2)

2

=1

và mặt

phẳng ( α ) : 3 x + 4 z + 12 = 0 . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. Mặt phẳng ( α ) đi qua tâm mặt cầu ( S ) .
B. Mặt phẳng ( α ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) .

C. Mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn.
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 011


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
D. Mặt phẳng ( α ) không cắt mặt cầu ( S ) .

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

Câu 46:
( P1 ) : 2 x − my + 3z − 6 + m = 0

và ( P2 ) : ( m + 3) x − 2 y + ( 5m + 1) z − 10 = 0 vuông góc với nhau.

Giá trị của m gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. −0,5.
B. −0, 4.
C. −0, 7.

D. −0, 6.

Xác định m để cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau:

Câu 47:

7 x − 3 y + mz − 3 = 0 ,. x − 3 y + 4 z + 5 = 0

A. 6 .

B. −4 .

C. 1 .

Bán kính mặt cầu tâm

I ( 1;3;5 )

B. 14 .

C.

Câu 48:

D. 2 .
và tiếp xúc với đường thẳng

x = t

d :  y = −1 − t là
z = 2 − t

A. 14 .

Cho tam giác

Câu 49:

ABC

, với

7.

D. 2 3 .

A ( 1; 2;3) , B ( −1; −1;1) , C ( 3; −4; 2 )

. Tính

khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng Oxy
A.

2.

B. 2 .
Cho tam giác

Câu 50:

C. 1.
ABC

, với

D. 2 3 .

A ( 1; 2;3) , B ( −1; −1;1) , C ( 3; −4; 2 )

. Tính cosin

góc giữa OG và mặt phẳng Oxy ( G là trọng tâm của tam giác ABC )
A.

6
.
3

B.

3
.
3

C.

Tính khoảng cách từ điểm

Câu 51:
d:
A.

2
.
6
A ( 2; −1;5 )

D. 0 .
đến đường thẳng

x−4 y z−2
= =
.
1
1
1
7.

B.

14
.
14

C.

14
.
2

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau

Câu 52:

D. 14 .

 x = 1 + 2t


và
∆ :  y = −1 − t
z = 1


x −2 y + 2 z −3
∆′ :
=
=
.;
−1
1
1
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 012


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
A.

2.

B.

6.

C.

6
.
2

Trong không gian với hệ toạ độ

Câu 53:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
6
D.
.
3
Oxyz

, cho hai đường thẳng

 x = −1 + t
x = 2 + t


( ∆1 ) :  y = 2t và ( ∆ 2 ) :  y = 1 + 2t . Với giá trị nào của m thì ( ∆1 ) và ( ∆ 2 ) hợp với nhau
z = 2 + t
 z = 2 + mt



một góc 60o?
A. m =- 1 .

1
C. m = .
2

B. m = 1 .
Cho tứ diện

Câu 54:

ABCD

với

D. m =-

3
.
2

A ( 1;1;1) , B ( 0; 2;0 ) , C ( −1;1;0 ) , D ( 2; −1; −3 )

Tính cosin góc hợp bởi đường thẳng AB với đường thẳng CD
A.

66
.
33

B.

2 66
.
33

Cho đường thẳng

Câu 55:

C. -

∆:

2 66
.
33

D. -

4 66
.
33

x
y z và mặt phẳng (P):
=
=
1 −2 1

( P ) : 5x + 11y + 2z − 1 = 0. Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) là:

A. 60° .

B. − 30° .

C. 30° .

D. − 60° .

BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Trong không gian

Câu 56:
đường thẳng d :
A. d ⊂ ( P ) .

Oxyz

, cho mặt phẳng

( P ) : 3x + 5 y − z − 2 = 0

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
4
3
1
B. d // ( P ) .
C. d cắt ( P ) .

D. d ⊥ ( P ) .
Trong không gian

Câu 57:

Oxyz

, cho mặt phẳng

( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 5 = 0 và

 x = −1 + 2t

đường thẳng d :  y = 3 + 4t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 z = 3t

A. d // ( P ) .

và

B. d ⊂ ( P ) .

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

C. d cắt ( P ) .

D. d ⊥ ( P ) .

Trang 013

.


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Trong không gian

Câu 58:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
, cho mặt phẳng
Oxyz
( P ) : x + y + z − 4 = 0 và

x = 1+ t

đường thẳng d :  y = 1 + 2t . Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là:
 z = 2 − 3t

A. Vô số.

B.1.
Trong không gian

Câu 59:

C. Không có.
Oxyz

D. 2 .

, tọa độ giao điểm

M

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
và mặt phẳng ( P ) : 3 x + 5 y – z – 2 = 0 là
4
3
1
A. ( 0; 2;3) .
B. ( 0;0; −2 ) .
C. ( 0;0; 2 ) .

của đường thẳng

d:

Trong không gian

Câu 60:

Oxyz

, cho mặt phẳng

D. ( 0; −2; −3) .

( P) :

 x = 2 + 4t

2 x + my − 3z + m − 2 = 0 và đường thẳng d :  y = 1 − t . Với giá trị nào của m thì d cắt ( P )
 z = 1 + 3t

A. m ≠

1
.
2

1
.
2

B. m = −1 .

C. m =

Trong không gian

, cho đường thẳng

Câu 61:

Oxyz

D. m ≠ −1 .
 x = 2−t


và mặt
d :  y = −3 + t
 z = 1+ t


phẳng ( P) : m 2 x − 2my + (6 − 3m) z − 5 = 0 .
Tìm m để d // ( P )
 m =1
A. 
.
 m = −6

 m = −1
B. 
.
m=6
Trong không gian

Câu 62:

 m = −1
C. 
.
m=6
Oxyz

 x = −1 + t

d ' :  y = −t có vị trí tương đối là:

 z = −2 + 3t

A.trùng nhau.
B.song song.
Trong không gian

Câu 63:

, hai đường thẳng

D. m ∈ ∅ .
d:

C.chéo nhau.
Oxyz

, cho hai đường thẳng

x − 1 y + 2 z − 4 và
=
=
−2
1
3

D.cắt nhau.
d:

x −1 y + 2 z − 4
=

=
−2
1
3

 x = −1 + t

và d ' :  y = −t cắt nhau. Tọa độ giao điểm I của d và d ′ là
 z = −2 + 3t

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Trang 014


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
A. I ( 1; −2; 4 ) .
B. I ( 1; 2; 4 ) .
Trong không gian

Câu 64:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
C. I ( −1;0; −2 ) .
D. I ( 6;9;1) .
Oxyz

, phương trình mặt cầu tâm

I ( 2;3; −1)

sao

 x = 11 + 2t

cho mặt cầu cắt đường thẳng ( d ) có phương trình: ( d )  y = t
tại hai điểm A, B sao cho
 z = −25 − 2t


AB = 16 là:
A. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 280 .

B. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z − 1) = 289 .

C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 17 .

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 .

2

2

2

2

2

2

2

Trong không gian

Câu 65:

2

2

Oxyz

2

2

, cho đường thẳng

2

d:

x + 5 y − 7 z và
=
=
2
−2
1

điểm M (4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có tâm M , tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 .

Phương trình của mặt cầu ( S ) là:
A. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) = 9.

B. ( x + 4 ) + ( y + 1) + ( z + 6 ) = 18. .

C. ( x − 4 ) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 6 ) 2 = 18.

D. ( x − 4 ) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 6 ) 2 = 16.

2

2

2

Trong không gian

Câu 66:
( S ) : ( x − a)

2

2

Oxyz

2

2

, cho mặt cầu

2
2
+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + 2 z = 1 . Giá trị của a để ( P )

cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn ( C )
A. −

17
1
≤a≤ .
2
2

B. −

17
1
2
2

Trong không gian

Câu 67:

C. −8 < a < 1 .
Oxyz

, cho đường thẳng

D. −8 ≤ a ≤ 1 .
∆:

x y − 1 z − 2 và và
=
=
2
1
−1

mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z + 1 = 0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:
A. 0 .

B. 1.
Trong không gian

Câu 68:

D. 3 .

C. 2 .
Oxyz

, cho đường thẳng

∆:

x + 2 y z − 3 và và

= =
−1
1
−1

mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z − 67 = 0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:
A. 3 .

B. 0 .
Trong không gian

Câu 69:

C. 1.
Oxyz

, cho điểm

D. 2 .

I ( 1; −2;3)

. Phương trình mặt cầu

tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 015

Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
2
2
2
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) = 9 .
C. ( x + 1) + ( y − 2 )
2

2

( z + 3)

2

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
2
2
B. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) = 10 .
2

D. ( x − 1) + ( y + 2 )
2

= 10 .

Trong không gian

Câu 70:

Oxyz

, cho mặt cầu

( S)

2

( z − 3)

có tâm

2

= 10 .

I ( 2;1; −1)

tiếp xúc

với mặt phẳng ( α ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 . Mặt cầu ( S ) có bán kính R bằng:
A. R = 1 .
ĐÁP ÁN
1 2
C C

3
A

C. R =

B. R = 2 .
4
D

5
2

6
C

7
D

8
A

9
B

2
.
3

D. R =

2
.
9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D C D D C A A A C B C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A B A D B A A A C A B C A A B B D A A D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A B B C D A B A B B D C A A C C A A B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A D A D C C A D D B
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Mức độ 1: NHẬN BIẾT.
Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 1:

Oxyz

, cho điểm

A(2;1; −1)

và mặt phẳng

( P)

có phương trình:

x − y + z − 3 = 0 . Khoảng cách từ điểm A mặt phẳng ( P ) là:
A. 1.

B.

3
.
2

C.

D.

3.

4
.
3

Hướng dẫn giải.
Chọn C .
Áp dụng công thức d ( A, ( P ) ) =
Trong không gian với hệ toạ độ

Câu 2:
( P ) : 2x − y + 2z − 3 = 0

là :

A. 3.

B. 2.

1.2 − 1.1 + 1. ( −1) − 3

12 + ( −1) + 12
2

Oxyz

=

3
= 3. .
3

, khoảng cách từ điểm

C. 1.

M ( −2; −4;3)

đến mặt phẳng

D. 11.

Hướng dẫn giải.
Chọn C .
Ta có d ( M , ( P )) =

2.(−2) + 4 + 2.3 − 3
22 + 12 + 22

= 1.

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 016


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 3:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
Oxyz

, cho hai mặt phẳng.

( α ) : 2 x + 3 y − z + 2 = 0, ( β ) : 2 x + 3 y − z + 16 = 0 .
(β)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( α ) và

là:

A. 14.

B. 0.

C. 15.

D.

23.

Hướng dẫn giải.
Chú ý 1.Nếu hai mặt phẳng

(α)

và

(β)

song song lần lượt có phương trình

ax + by + cz + d = 0; ax + by + cz + d ′ = 0 thì d ( ( α ) ; ( β ) ) =

d − d′
a +b +c
2

2

.
2

Chọn A .
2 3 −1 2
≠ ⇒ ( α ) // ( β ) .
Vì = =
2 3 −1 16
2 − 16

d ( ( α ) ,( β ) ) = d ( M ,( β ) ) =
= 14.
2
22 + 32 + ( −1)
Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 4:

Oxyz

, cho hai mặt phẳng.

( α ) : 2 x − 2 y + z + 2 = 0, ( β ) : 4 x − 4 y + 2 z + 5 = 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( α )
(β)
A.

là:

3.

B. 1.

C.

3.

D.

1
.

6

Hướng dẫn giải.
Chọn D .
2 −2 −1 2
=
≠ ⇒ ( α ) // ( β ) .
Vì =
2 −2 −1 5
5
2−
1 .
2
d ( ( α ) ,( β ) ) =
= .
2
2
2
6
2 + 2 +1
Tính khoảng cách giữa mặt phẳng

Câu 5:
A.

1
.
3

B.

x = 1+ t
và đường thẳng d: 
(α ) 2 x − y − 2 z − 4 = 0
 y = 2 + 4t
 z = −t

:

4
.
3

C. 0.

D. 2.

Hướng dẫn giải.
Chọn D .
Vì 2.1 + ( −1) 4 + ( −2 ) . ( −1) = 0 ⇒ d // ( α ) . Điểm M ( 1; 2;0 ) ∈ d .
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 017

và


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
2 − 4 − 2.0 − 4
d ( d;( α ) ) = d ( M ,( α ) ) =

= 2. .
22 + 22 + 12
Khoảng cách từ điểm

Câu 6:

A ( x0 ; y0 ; z0 )

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.

đến mặt phẳng (P):

Ax + By + Cz + D = 0

bằng 0 khi và chỉ khi:
A. Ax0 + By0 + Cz0 ≠ − D.

B. A ∉ ( P).

C. Ax0 + By0 + Cz0 = − D.

D. Ax0 + By0 + Cz0 . = 0.

, với

D ≠0

Hướng dẫn giải.
Chọn C .
Vì d ( A; ( P ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

Tính khoảng cách từ điểm

Câu 7:

= 0 ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 = − D .

B ( x0 ; y0 ; z0 )

đến mặt phẳng

( P ) : z + 1 = 0 . Chọn khẳng định đúng

trong các khẳng định sau:
A. z0 .

B. z0 .

C.

z0 + 1
2

D. z0 + 1 .

.

Hướng dẫn giải.
Chọn D .
Áp dụng công thức khoảng cách d ( B, ( P ) ) =
Khoảng cách từ điểm

Câu 8:

M ( 3; 0; 0 )

A. 0.

z0 + 1
02 + 02 + 12

đến mặt phẳng

B. 2.

( Oxy )

C. 1.

= z0 + 1 .

bằng:
D.

2. .

Hướng dẫn giải.

Chọn A .
Ta có ( Oxy ) : z = 0 .
Vậy khoảng cách d ( M , ( Oxy ) ) =
Khoảng cách từ điểm

Câu 9:

O

0
0 + 02 + 12
2

=0.

đến mặt phẳng (Q) bằng 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng

định sau:
A. (Q): x − y + z – 3 = 0.

B. (Q): 2 x + y + 2 z – 3 = 0.

C. (Q): 2 x + y  – 2 z + 6 = 0.

D. (Q): x + y + z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải.
Dùng công thức khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng, sau đó tính khoảng cách lần lượt trong
mỗi trường hợp và chọn đáp án đúng B .
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 018


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
x = 2 + t

Tính khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
,
E ( 1;1;3)
d :  y = 4 + 3t
 z = −2 − 5t


Câu 10:
t ∈ R bằng:
1
.
A.
35

4
.
35

B.

C.

5
.
35

D. 0.

Hướng dẫn giải.
Chọn D .
E ( 1;1;3) ∈ d ⇒ d ( E , d ) = 0 .
Tính khoảng cách từ điểm

Câu 11:

A ( 1; m; 2 )

đến mặt phẳng

( P ) : x + 1 = 0 . Chọn khẳng định đúng

trong các khẳng định sau:
B. m + 1 .

A. 1.

C. 2.

D.

2. .

Hướng dẫn giải.
Chọn C .
Áp dụng công thức khoảng cách d ( A, ( P ) ) =
Cho mặt phẳng

Câu 12:

1.1 + 0.m + 0.2 z0 + 1
12 + 02 + 02

= 2.

( α ) : x + y − 2z − 1 = 0;

( β ) : 5x + 2y + 11z − 3 = 0 . Góc giữa mặt phẳng ( α ) và mặt phẳng ( β )

A. 120°.

B. 30°.

C. 150°.

bằng

D. 60°.

Hướng dẫn giải.
Chọn D .

uur uur

Gọi nα , nβ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) và ( β ) .

uu
r

(

)

uur

(

)

Ta có nα 1;1;− 2 ; nβ 5; 2;11 .
Áp dụng công thức.

(

cos ( α ) ,( β )

)

uur uur
nα . nβ
uur uur

1.5+ 1.2− 2.11
15 1
= cos nα , nβ = uur uur =
=
= .
2
30 2 .
2
2
2
2
2
nα . nβ
1 + 1 + ( −2) . 5 + 2 + 11

(

)

Cho hai đường thẳng

Câu 13:

x = 2 + t
x = 1− t


và
. Góc giữa
d1 :  y = − 1 + t

d2 :  y = 2
z = 3
z = − 2 + t



hai đường thẳng d1 và d2 là:
A. 30° .
B. 120° .

C. 150° .

D. 60° .

Hướng dẫn giải.
Chọn D .
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 019


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
ur uu
r
Gọi u1; u2 lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.

ur
uu

r
u1 = ( 1; 1; 0) ; u2 = ( − 1; 0; 1) .

Áp dụng công thức ta có cos( d1,d2 )

uu
r uu
r
u1.u2
uu
r uu
r
−1
1
= cos u1, u2 = uu
= .
r uu
r =
1 + 1. 1 + 1 2
u1 . u2

(

)

⇒ ( d1,d2 ) = 60° .
Cho đường thẳng

∆:

Câu 14:

x
y z và mặt phẳng (P):
=
=
1 −2 1

5x + 11y + 2z − 4 = 0 . Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) là:
A. 60° .
B. − 30° .
C. 30° .
D. − 60° .

Hướng dẫn giải.
Chọn C .

r r

Gọi u; n lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).
r
r
u = ( 1; − 2;1) ; n = ( 5;11; 2) .
rr
un
.
r r
1.5 − 11.2 + 1.2
1
sin

∆
,(
P
)
=
cos
u
,
n
=
= ..
r
r =
Áp dụng công thức ta có
(
)
u. n
52 + 112 + 22 . 12 + 22 + 12 2

( )

(

)

⇒ ∆,( P ) = 30°. .

Cho mặt phẳng

Câu 15:

(α ): 2x − y + 2z − 1 = 0; (β ) : x + 2y − 2z − 3 = 0

Cosin góc giữa mặt phẳng (α ) và mặt phẳng (β ) bằng:
A.

4
.
9

4
B. − .
9

C.

4
3 3

.

D. −

4
3 3

.

Hướng dẫn giải.
Chọn A .

uur uur

Gọi nα , nβ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) và ( β ) .

uu
r

(

uur

)

(

)

Ta có nα 2; − 1; 2 ; nβ 1; 2; − 2 .
Áp dụng công thức.

(

cos ( α ) ,( β )

)

uur uur
nα . nβ
uur uur

= cos nα , nβ = uur uur =
nα . nβ

(

)

2.1− 1.2− 2.2
22 + ( −1) + 22 . 12 + 22 + ( −2)

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

2

2

=

4
..
9

Trang 020

.


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 16:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
, cho mặt phẳng
Oxyz

 x = 1− t
( α ) : 2 x – y + 2 z − 4 = 0 và đường thẳng d :  y = 2 + m.t . Tìm m để góc giữa mặt phẳng
 z = −m.t


(α) , d

bằng 0°

2
A. − .
3

B. 3.

C.

2
.
3

D. 2.

Hướng dẫn giải.

Chọn A .

(α)

r
r
có VTPT là n = ( 2; −1; 2 ) . Đường thẳng d có VTCP là u = ( −1; m; −m ) .

rr
2
Góc giữa mặt phẳng ( α ) , d bằng 0° khi n.u = −2 − m − 2m = 0 ⇔ m = .
3
Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 17:

Oxyz

, cho hai mặt phẳng có phương

trình.

( α ) : 2 x – y + 2 z − 14 = 0
A. 90°.

và ( β ) : x − 2 y − 2 z + 2 = 0 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( α ) , ( β )

B. 60°.

C. 30°.

D. 45°.

Hướng dẫn giải.
Chọn A .
ur
có VTPT là n1 = ( 2; −1; 2 ) .
uu
r
( β ) có VTPT là n2 = ( 1; −2; −2 ) .

(α)

cos ( ( α ) , ( β ) )

r r
2.1 + ( −1) . ( −2 ) + 2. ( −2 )
n1.n2
= r r =
= 0 ⇒ ( ( α ) , ( β ) ) = 90° .
n1 . n2
4 + 1 + 4. 1 + 4 + 4

Mức độ 2: THÔNG HIỂU.
Khoảng cách từ điểm

Câu 18:

H ( 1; 0;3)

đến đường thẳng

x = 1+ t

,
d1 :  y = 2t
t ∈R
z = 3 + t


và mặt phẳng ( P ) : z − 3 = 0 lần lượt là d ( H , d1 ) và d ( H , ( P ) ) . Chọn khẳng định đúng trong
các khẳng định sau:

A. d ( H , d1 ) > d ( H , ( P ) ) .

B. d ( H ,( P) ) > d ( H , d1 ) .

C. d ( H , d1 ) = 6.d ( H , ( P ) ) .

D. d ( H , ( P ) ) = 1 .

Hướng dẫn giải.
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 021


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
Chọn C .

Vì H thuộc đường thẳng d1 và H thuộc mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ điểm H đến đường
thẳng d1 bằng 0 và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (P) bằng 0.
Trong không gian với hệ toạ độ

Câu 19:

Oxyz

, cho

A ( 1;1;3) , B ( −1;3; 2 ) , C ( −1; 2;3) . Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mp ( ABC ) bằng:
A.

3.

B. 3.

C.

3
.
2

D.

3
.
2

Hướng dẫn giải.

Chọn B .
uuur
uuur
Ta có AB = ( −2; 2; −1) , AC = ( −2;1;0 ) .
r
uuu
r uuur
Mặt phẳng ( ABC ) đi qua điểm A có véctơ pháp tuyến n =  AB, AC  = ( 1; 2; 2 ) là.

x − 1 + 2 ( y − 1) + 2 ( z − 3) = 0 ⇔ x + 2 y + 2 z − 9 = 0 .
Do đó d ( O, ( ABC ) ) =

9
1 + 22 + 22
2

=3.

Tìm tọa độ điểm

Câu 20:

M

trên trục

Oy

sao cho khoảng cách từ điểm M đến

mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 3z − 4 = 0 nhỏ nhất?
A. M ( 0; 2;0 ) .

B. M ( 0; 4;0 ) .

C. M ( 0; −4;0) .

 4 
D. M  0; ;0 ÷.
 3 

Hướng dẫn giải.
Chọn C .
Ta có Oy cắt mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 3z − 4 = 0 nên khoảng cách từ M đến ( P ) nhỏ nhất khi
M thuộc ( P ) . Suy ra M = Oy ∩ ( P ) .
Thay x = 0, z = 0 vào phương trình ( P ) ta được y = −  4 . Vậy M ( 0; −4;0 ) . .
Khoảng cách từ điểm

Câu 21:
lượt bằng:
A. 6 và 4.

B. 6 và 5.

M ( −4; −5; 6 )

C. 5 và 4.

đến mặt phẳng

( Oxy ) , ( Oyz )

D. 4 và 6.

Hướng dẫn giải.
Chọn A .

d ( M , ( Oxy ) ) = z M = 6 ; d ( M , ( Oyz ) ) = xM = 4. .

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 022

lần


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Trong không gian với hệ toạ độ

Câu 22:

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
, cho mặt phẳng
Oxyz

x −1 y − 7 z − 3
=
=
. Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa ∆
2

1
4

( α ) : 3x − 2 y − z + 5 = 0 và đường thẳng ∆ :

và song song với ( α ) . Khoảng cách giữa ( α ) và ( β ) là:
A.

9
.
14

B.

9
.
14

3
.
14

C.

3
.
14

D.

Hướng dẫn giải:
Chọn B .

( α ) : 3x − 2 y − z + 5 = 0 có véctơ pháp tuyến
∆:

r
n( α ) = ( 3; −2; −1) .

r
x −1 y − 7 z − 3
đi qua M ( 1;7;3) có véctơ chỉ phương u ( α ) = ( 2;1; 4 ) .
=
=
2
1
4

r
( β ) ⊃ Δ
Vì 
nên ( β ) đi qua điểm M (1;7;3) có véctơ pháp tuyến n( β ) = ( 3; −2; −1) .
( β ) // ( α )
Do đó mp ( β ) là 3 x − 2 y − z + 14 = 0 .
Vì ( α ) // ( β ) nên ta có d ( ( α ) , ( β ) ) =
Cho tứ diện

Câu 23:

14 − 5

3 + 2 +1
2

ABCD

2

có

2

=

9
.
14

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1)

và

D ( 1;1;1)

.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD
A. 1.

B.

2.

C.

2
.
2

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải.
Chú ý 2.Trong hệ trục Oxyz , khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD là.
uuu
r uuur uuur
 AB, CD  AC


d ( AB, CD ) =
.
uuu
r uuur
 AB, CD 


Chọn B .
uuu

r uuur
uuur
uuur
uuur
Ta có AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1) , CD = ( 1;1;0 ) .  AB, CD  = ( 0;0; −2 ) .
uuur uuur uuur
 AB, CD  AC
−2


=
=1.
Do đó d ( AB, CD ) =
uuur uuur
2
2
2
 AB, CD 
0
+
0
+
2


Cho tứ diện

Câu 24:

ABCD

có

Tính góc giữa hai đường thẳng AB, CD
A. 60° .
B. 45° .
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1)

C. 30° .

và

D ( 1;1;1)

D. 90° .
Trang 023

.


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.
Hướng dẫn giải:

Chọn D .
uuur
uuur

Ta có AB = ( −1;1;0 ) , CD = ( 1;1;0 ) .
uuu
r uuur
AB.CD
uuu
r uuur
−1.1 + 1.1 + 0.0
= 0 . Suy ra ( AB, CD ) = 90° .
r uuur =
uuur uuur
Do đó cos AB, CD = uuu
AB CD
AB CD

(

)

Cho tứ diện

Câu 25:

ABCD

có

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1)

và

D ( 1;1;1)

.

và

D ( 1;1;1)

.

Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) , ( BCD )
A.

1
.
2

B.

1
.
3

C.

2
3

.

D. 1.

Hướng dẫn giải:
Chọn B .
uuur
uuur
uuu
r
uuur
Ta có AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1) , CB = ( 0;1; −1) , CD = ( 1;1; 0 ) .
r
uuur uuur
r uuu
r uuur
n =  AB, AC  = ( 1;1;1) , u CB, CD  = ( 1; −1; −1) .
rr
n.u 1
r r
suy ra cos ( ( ABC ) , ( BCD ) ) = cos n, u = r r = .
n u 3

( )

Cho tứ diện

Câu 26:

ABCD

có

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1)

Tính cosin góc đường thẳng AB và mặt phẳng ( BCD )
A.

3
.
3

B.

2
5

.

C.

6
.
3

D.

6
.
2

Hướng dẫn giải:

Chọn C .
uuur
uuu
r
uuur
Ta có AB = ( −1;1;0 ) , CB = ( 0;1; −1) , CD = ( 1;1;0 ) .
r
uuu
r uuur
u = CB, CD  = ( 1; −1; −1) .
uuu
rr
AB.u
uuu
r
uuu
r r
2
6
3
=
suy ra sin AB, ( BCD ) = sin AB, u = uuur r =
. Suy ra cos(AB, (BCD)) =
.
3
6
AB u
3

(

)

(

)

Cho mặt phẳng

Câu 27:

( P ) : 3x + 4y + 5z + 2 = 0 và đường thẳng d là giao

tuyến của hai mặt phẳng ( α ) : x − 2y + 1 = 0; ( β ) : x − 2z − 3 = 0 . Gọi ϕ là góc giữa đường
thẳng d và mặt phẳng ( P ) . Tính ϕ
A. 60° .

B. 45° .

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

C. 30° .

D. 90° .
Trang 024


Tài liệu ôn tập THPT Quốc gia năm 2017
Hướng dẫn giải.

Dành cho HS lấy điểm 5, 6.


x =
2t

1

Đường thẳng d có phương trình:  y = + t , t ∈ R . Suy ra VTCP của d là
2

3

 z = − 2 + t
uur r
ud.n
uur r
2.3 + 1.4 + 1.5
=
Ta có sin( d,(P )) = cos ud, n = uur r =
ud . n
22 + 12 + 12 . 32 + 42 + 52

(

(

)

uu

r
ud ( 2; 1; 1) .

3
.
2

)

⇒ d,( P ) = 60° .

Chọn A .
Cho mặt phẳng

Câu 28:

( α ) : 3x − 2y+ 2z − 5 = 0. Điểm A ( 1; –2; 2 ) . Có bao

nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng ( α ) một góc 45°.
A. Vô số.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Hướng dẫn giải.
Chọn A .
uur

Gọi nβ ( a; b; c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( β ) cần lập.
uur uur
nα . nβ
uur uur
3.a− 2.b + 2.c
2
cos ( α ) ,( β ) = cos nα , nβ = uur uur =
=
.
2
2
nα . nβ
32 + ( −2) + 22 . a2 + b2 + c2

(

(

)

)

(

)

⇒ 2( 3a − 2b + 2c) = 17 a2 + b2 + c2 .
2

Phương trình trên có vô số nghiệm.

uur
Suy ra có vô số vectơ nβ ( a; b; c) là véc tơ pháp tuyến của ( β ) . Suy ra có vô số mặt phẳng

(β)

thỏa mãn điều kiện bài toán.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm

Câu 29:
A(−3; − 4; 5); B(2; 7; 7); C(3; 5; 8); D(−2; 6; 1) . Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc 60°

?
A. DB và AC .

B. AC và CD .

C. AB và CB .

D. CB và AC .

Hướng dẫn giải.
Chọn C .

uu
r uur

Tính tọa độ các vectơ sau đó thay vào công thức: cos(d,d') = cos(ud ,ud' để kiểm trA.

SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM

Trang 025