VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MẶT PHẲNG

ÔN TẬP LÝ THUYẾT
GV: BÙI NGỌC LINH

    a) Hai mặt phẳng (α) và (α’) cắt nhau theo một đường thẳng khi và 
chỉ khi hai vectơ pháp tuyến  của chúng khơng cùng phương. 
   Vị trí tương đối của hai mặt phẳng  
            ( ) : Ax + By + Cz + D = 0                              (1)α
            ( ’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0                        (1’)α
( )
CBAn ;;=

( )
';';'' CBAn =

V y : ( ) c t ( ’) ậ α ắ α ⇔ A : B : C ≠ A’ : B’ :C’
b) ( ) trùng với ( ’)α α
c) ( ) song song ( ’)α α
''' D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔
''' D
D
C
C

B
B
A
A
≠==⇔
Chùm mặt phẳng
Hai mặt phẳng (α) và (α’) cắt nhau theo một đường thẳng d  
Tập hợp các mặt phẳng qua d gọi là chùm mặt phẳngø
λ(Ax+By+Cz+D)+ µ(A’x+B’y+C’z+D’) = 0 , λ
2
+ µ
2
≠ 0 (2)
Phương trình (2) là phương trình chùm mặt phẳng

VÍ DỤ
Cho ba mặt phẳng (α
1
) , (α
2
) , (α
3
) lần lượt có phương trình:
(α
1
):2x-y+z+1=0 ,(α
2
):x+3y-z+2=0 , (α
3
):-2x+2y+3z+3=0

1) Chứng minh (α
1
) cắt (α
2
)
2) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của (α
1
)
cắt (α
2
) và đi qua điểm M
0
=(1 ;2 ; 1)
Giải
( )
1;1;2
1
−=n

( )
1;3;1
2
−=n

V y : (ậ α
1
) c t (ắ α
2
) ⇔ 2 : -1 : 1 ≠ 1 : 3 :-1
,là các véc tơ pháp tuyến

GIẢI
phương trình mặt phẳng (α) có dạng:
λ(2x-y+z+1)+ µ(x+3y-z+2) = 0 , λ
2
+ µ
2
≠ 0
hay
(2λ+ µ)x+ (-λ+3 µ)y+ (λ- µ)z+ λ+2 µ =0
M
0
=(1 ;2 ; 1)∈(α) nên:
(2λ+ µ)1+ (-λ+3 µ)2+ (λ- µ)1+ λ+2 µ =0 ⇔2 λ+8 µ =0 λ+4 µ=0⇔
Cho λ=4 thì µ=-1 phương trình mặt phẳng (α) là:
7x-7y+5z+2=0

3) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của (α
1
)
và (α
2
) và song song với trục Oy
4) Viết phương trình mặt phẳng (γ) qua giao tuyến của (α
1
)
và (α
2
) và vuông góc mặt phẳng (α
3
)

GIẢI phương trình mặt phẳng (β) có dạng:
(2λ+ µ)x+ (-λ+3 µ)y+ (λ- µ)z+ λ+2 µ =0
Ví (β) //Oy nên hệ số củay trong phương trình (β) bằng 0
(-λ+3 µ)=0 Cho λ=3 thì µ =1 phương trình (β):
7x+2z+5=0
GIẢI Phương trình mặt phẳng (γ) có dạng:
(2λ+ µ)x+ (-λ+3 µ)y+ (λ- µ)z+ λ+2 µ =0
mặt phẳng (γ)có véc tơ pháp tuyến
( )
µλµλµλ
−+−+= ;3;2n

( )
3;2;2' −=n

mặt phẳng (α
3
) có véc tơ pháp tuyến
Hai mặt phẳng vuông góc nên:
0' =nn
(2λ+ µ)(-2)+ (-λ+3 µ).2+ (λ- µ).3 =0 -3λ+ µ =0
Cho λ=1 thì µ =3
phương trình (γ): 5x+8y-2z+7=0
⇔
⇔
⇔

BÀI TẬP
Bài 1 Xét vò trí tương đối của các mặt phẳng có phưong trình:
a)x+2y-z+5=0 và 2x+3y-7z-4=0

Giải Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:2:-1 ≠ 2:3:-7
b) x-2y+z+3=0 và 2x-y+4z-2=0
Giải Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:-2:1 ≠ 2:-1:4
Giải Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:1:1 ≠ 2:2:-2
Giải Hai mặt phẳng song song vì:
Giải Hai mặt phẳng trùng nhau vì:
c) x+y+z- 1=0 và 2x+2y-2z+3=0
d)3x-2y-3z+5=0 và9x-6y-9z-5=0
e) x-y+2z-4=0 và 10x-10y+20z-40=0
3 2 3 5
9 6 9 5
− −
= = ≠
− − −
40
4
20
2
10
1
10
1
−
−
==
−
−
=