các bài tập vận dụng cao môn toán

ĐỀ 3
ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO
2cos2 x + cosx + 1
. Gọi M là giá trị lớn
Cho hàm số y =
cosx + 1

Câu 1.

nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Tính M + 2m ?
A. 4.
B. – 5 .
C. – 6 .
D. 3.
Câu 2. Biết log27 5 = a, log8 7 = b, log2 3 = c . Tính log12 35 theo a, b, c ?
A.

(

3 b + ac
c+2

).

B.

3b + 2ac
.
c+1

C.

3b + 2ac
.
c+2

Nếu z là số phức thực sự và thỏa mãn

Câu 3.

D.

(

3 b + ac
c+1

).

1
có phần thực
z −z

bằng 4 thì môđun của số phức z là
1
1
1
A. z = .
B. z = .
C. z = 4.
D. z = .

4
8
16
Câu 4. Cho hình trụ T có trục OO′ . Trên hai đường tròn đáy
(O) và (O′) lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho
AB = a và đường thẳng AB tạo với đáy hình trụ góc
600 . Gọi hình chiếu của B trên mặt phẳng đáy chứa
·
đường tròn (O) là B′ . Biết rằng AOB
= 1200. Tính
khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và OO′ .
A. d = a 3 .
8
d=

B.

a 3
.
12
C. d = a 3 .
4

Câu 5.

D. d = a 3 .
16

{ }

Số mặt phẳng đối xứng của đa diện đều loại 4;3 là
B. 7.
C. 8.
D. 9.
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ba mặt phẳng

A. 6.

Câu 6.

( P ) : x + y + z − 1 = 0, ( Q ) : 2x + my + 2z + 3 = 0 và ( R ) : −x + 2y + nz = 0. Tính
tổng m + 2n , biết rằng ( P ) ⊥ ( R ) và ( P ) / / ( Q )
A. −6.

B. 1.
Cho hình lăng trụ

C.0.
D.6.
Câu 7.
có đáy
là tam giác
ABC .A ' B 'C '
ABC
đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của
trên ABC
là trung
A'

(

điểm của

AB

(

. Mặt phẳng AA 'C 'C

)

)

tạo với đáy một góc bằng

thể tích V của khối lăng trụ ABC .A ' B 'C '?
3a3
3a3
3a3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
16
8
4

Page |

195

45°

D. V =

. Tính

3a3
.
2


Câu 8.
y=

()

Gọi S t là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1

( x + 1) ( x + 2)
A. − ln2 −

2

()

S t ?

, y = 0 , x = 0, x = t (t > 0) . Tìm tlim
→+∞

1
.
2

B. ln2 −

1
.
2

C.

1
− ln2.
2

D. ln2 +

1
.
2

m

 2 + 6i 
Câu 9. Cho số phức z = 
÷ , m nguyên dương. Có bao nhiêu

 3− i 
giá trị m ∈ 1;50 để z là số thuần ảo?

A. 26.
B. 25.
C. 24.
D. 50.
Câu 10. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2
Tìm giá trị lớn nhất của P = z1 + z2 ?
A. 4 6.
B. 5 + 3 5.
C. 2 26.
D. 34 + 3 2.
Câu 11. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện
x+y+1
3 + ln
= 9xy − 3x − 3y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy là
3xy
1
1
A. .
B. .
C. 1.
D. 9.
9
3

Câu 12. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ( 1;2; −2) và

( P ) : 2x + 2y + z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, cắt (P) theo

giao tuyến là đường tròn có chu vi là 8π ?

(

) ( ) ( )
C. ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 2)
2

2

2

A. x − 1 + y − 2 + z + 2 = 25
2

2

2

=9

( ) ( ) ( )
D. ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 2)
2

2

2

2

2

2

B. x − 1 + y − 2 + z + 2 = 5
= 16

(m + 1)x + m
Câu 13. Biết đồ thị ( C m ) của hàm số y =
( m ≠ 0) luôn đi

x+m
qua một điểm M cố định khi m thay đổi. Tọa độ điểm M khi đó là

1
A. M  −1; − ÷. B. M 0;1 .
C. M −1;1 .
D. M 0; −1 .
2

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi
nghiệm của bất phương trình: x2 − 3x + 2 ≤ 0 cũng là nghiệm của bất

( )

(

(

)

(

)

)

2
phương trình mx + m + 1 x + m + 1 ≥ 0?

A. m ≤ −1.

4
B. m ≤ − .
7

4
C. m ≥ − .
7

Page |

196

D. m ≥ −1.


Câu 15. Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía

trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ
nhật, có chu vi là a(m) ( a chính là chu vi hình
bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ
đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của
hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước
của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?

A. chiều rộng bằng

2a
a
, chiều cao bằng
4+ π
4+ π

B. chiều rộng bằng

a
2a
, chiều cao bằng
4+ π
4+ π

C. chiều rộng bằng a(4 + π ) , chiều cao bằng 2a(4 + π )
D. Đáp án khác
Câu 16. Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO . Gọi A, B là hai
điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O
·
·

đến AB bằng a và SAO
= 300, SAB
= 600 . Độ dài đường sinh l của hình
nón bằng
A. l = a.
B. l = a 2.
C. l = a 3.
D. l = 2a.
2
Câu 17. Để đồ thị hàm số y = x − x + 1 + mx có đường tiệm cận

x −1
đứng thì giá trị m là
A. m ≠ 0 .
B. ∀m ∈ R .
C. m ≠ −1.
Câu 18. Cho hai mặt phẳng P , Q có phương trình

( ) ( )

D. m ≠ 1 .

( P ) : x − 2y + z − 1 = 0 và ( Q ) : 2x + y − z + 3 = 0. Mặt cầu có tâm nằm trên
mặt phẳng ( P ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( Q ) tại điểm M , biết rằng
M thuộc mặt phẳng ( Oxy) và có hoành độ x = 1, có phương trình là:
A. ( x − 21) + ( y − 5) + ( z + 10) = 600.
B. ( x + 19) + ( y + 15) + ( z − 10) = 600.
C. ( x − 21) + ( y − 5) + ( z + 10) = 100.
D. ( x + 21) + ( y + 5) + ( z − 10) = 600.
Câu 19. Cho hình chóp cụt với hai bán kính đáy lần lượt là 6 ( cm)

và 10 ( cm) , độ dài đường sinh 16 ( cm) . Thể tích hình nón cụt là
M

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A. 783π 15 .
B. 784π 15 .
C. 785π 15 .

D. 773π 15 .
3
3
3
3
Câu 20. Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng
Page |

197


lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông
còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay
mô hình trên xung quanh trục XY .
A.V =
B.V =
C.V =
D.V =

)

(

125 1 + 2 π

(

6

.

)

.

)

.

125 5 + 2 2 π

(

12

125 5 + 4 2 π

(

24

)

125 2 + 2 π

X

.

4

Y
Câu 21. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi M , N lần lượt là

(

trung điểm của SB, SD . Mặt phẳng AMN

)

cắt SC

tại E . Gọi V2 là

thể tích của khối chóp S.AMEN và V1 là thể tích khối chóp S.ABCD .
Khẳng định nào sau đây đúng ?
1
1
1
1
A. V2 = V1.
B. V2 = V1.
C. V2 = V1.
D. V2 = V1.
3
4
8
6
·
= 900

Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = a, SC = 3a, CSA
·
·
ASB
= CSB
= 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách
SG bằng
A. a 15 .
B. a 5 .
C. a 7 .
D. a 3.
3
3
3
Câu 23. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam
giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là
bao nhiêu?
A. minV = 8 3 .
B. minV = 4 3 .
C. minV = 9 3 .

D. minV = 16 3 .

Câu 24. Hàm số y = 45 + 20x2 + 2x − 3 có giá trị nhỏ nhất bằng:
A. 10.

B. 25.
C. 9.
D. 45.
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương

(

)

(

)

2
2
trình 1 + log5 x + 1 ≥ log5 mx + 4x + m có nghiệm đúng ∀x.

(

(

)

)

A. m ∈ 2;3 .
B. m ∈ −2;3
C. m ∈ 2;3
D. m ∈  −2;3 .
Câu 26. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = a + bcos2x thỏa
π  π
π  π
π
mãn F (0) = , F  ÷ = , F  ÷ =

là
2
 2 6
 12  3
2
7π
π
A. F (x) = − x +
sin2x + .
3
9
2
2
7π
π
C. F (x) = − x −
sin2x + .
3
9
2
Page |

2
7π
B. F (x) = − x +
sin2x .
3
9
2
7π

π
D. F (x) = − x +
sin2x − .
3
9
2

198


Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 2 ,

( )

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng α

qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD lần lượt tại các điểm
M , N , P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP .
32π
108π
125π
A. V =
B. V = 64 2π .
C. V =
D. V =
.
.
.
3
3

6
3
Câu 28. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta
muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x + y để diện tích
hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất?

7 2
.
D. 4 2 .
2
Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương

A. 7.

B. 5.

(

C.

)

x
x
trình 9 − 2 m + 1 .3 − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ .

3
A. m < − .
2

4
B. m ≠ − .
3

(

3
C.m ≤ − .
2

D. m tùy ý.

)

t2 − 2t − 3
2
Đặt t = 3x, t > 0 ⇔ t − 2 m + 1 t − 3 − 2m > 0, ∀t > 0 ⇔ m <
, ∀t > 0
2t + 2
1
⇔ m < t + 3 , ∀t > 0
2
1
1
f t = t + 3 , f ′ t = > 0, ∀t > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên 0,+∞
2
2
3
Vậy ycbt ⇔ m < f t , ∀t > 0 ⇔ m ≤ f 0 = − ⇒ Chọn C.
2

121
Câu 30. Đặt a = log7 11,b = log2 7 . Hãy biểu diễn log3 7
theo a và b
8
121
9
121 2
9
A. log3 7
B. log3 7
= 6a −
= a−
8
b
8
3
b
121
9
121
C. log3 7
D. log3 7
= 6a +
= 6a − 9b
8
b
8
Câu 31. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Gọi M , N lần lượt là

(

()

(

)

(

) ()

()

( )

Page |

199

)


(

trung điểm của BC , SM . Mặt phẳng ABN

)

cắt SC tại E .Gọi V2 là thể

tích của khối chóp S.ABE và V1 là thể tích khối chóp S.ABC . Khẳng
định nào sau đây đúng?
1
1
1
1
A. V2 = V1.
B. V2 = V1.
C. V2 = V1.
D. V2 = V1.
3
4
8
6
x+1 y−3 z−2
=
=
.
Câu 32. Cho điểm I 1;1; −2 đường thẳng d :
1
2
1
Phương trình mặt cầu S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A,

(
)
( )

B sao cho tam giác IAB đều là

(

) ( ) ( )
C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 2)
2

2

2

A. x − 1 + y − 1 + z + 2 = 24.
2

2

2

= 18

(

) ( ) ( )
D. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2)
2

2

2

B. x + 1 + y + 1 + z − 2 = 24.

2

1

1

0

0

2

2

= 18.

Câu 33. Cho I = ∫ f ( x ) dx = 5. Tính I = ∫ f ( 4x ) dx ?
1
5
.
C. I = .
D. I = 10 .
2
4
Câu 34. Hình hộp chữ nhật (không phải là hình lập phương) có
bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.

Câu 35. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô
tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m. Một ô tô A đang chạy
với vận tốc 16m / s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm
phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi
công thức vA t = 16 − 4t (đơn vị tính bằng m / s ), thời gian tính bằng
A. I = 2.

B. I =

()

giây. Hỏi rằng để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì
ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao
nhiêu?
A. 33.
B. 31.
C. 32.
D. 12.

LỜI GIẢI ĐỀ 3
ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO
Câu 1.

Tập xác định: D = ¡ .

2t2 + t + 1
Đặt t = cosx , 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ y = f (t) =
, 0≤ t ≤ 1
t +1
t = 0

2t2 + 4t
′
f ′(t) =
f
(
t
)
=
0
⇔
⇒ f(0) = 1, (1) = 2

;
(t + 1)2
t = −2 ∉ 0;1
Page |

200


y = 1, max y = 2 ⇒ M + 2m = 4 ⇒ Chọn A.
Vậy min
¡
¡

Câu 2.

Ta có:

1

1
log3 5 = a ⇔ log3 5 = 3a , log8 7 = log2 7 = b ⇔ log2 7 = 3b .
3
3
log2 7.5
log2 7 + log2 5 log2 7 + log2 3.log3 5 3b + c.3a 3 b + ac
log12 35 =
=
=
=
=
.
log2 3 + 2
log2 3 + 2
c+2
c+2
log2 3.22
log27 5 =

(

( )

(

)

)

 1 

 1 
1
÷ = 2Re
÷ = 2.4 = 8
+
 z −z÷
z − z  z − z ÷



2z − z + z
2z − z − z
1
1
⇔
+
= 8⇔ 2
= 8⇔ 2
=8
2
z −z z −z
z − z z + z + z.z
z − z z+z + z

Câu 3.

⇔

Ta có:

(

2z − z + z

(

)

(

)

= 8⇔

)

(

(

)

)

1
1
= 8 ⇔ z = ⇒ Chọn B.
8
z

z 2 z − z + z 


Câu 4. Từ B kẻ đường sinh BB’ của khối trụ. Có

(

)

(

( ( ))

)

BB ' ⊥ OO ' ⇒ OO ' ⊥ ABB ' ⇒ d AB ;OO ' = d O; AB
Ta thấy AB’ là hình
·
Khi đó:  AB ; AOB '


chiếu của AB trên (AOB’).
· ;AB ' = BAB
·
 = AB
' = 600
÷

AB '
a

·
Xét ∆ABB ' vuông tại B’, có cosBAB
'=
⇒ AB ' = a.cos600 = . Gọi I là
AB
2
a
trung điểm của AB’. Suy ra IA =
và
4

(

)

(

)

AI
a
a 3
a 3 ⇒ Chọn B.
·
·
AOI
= 600 ⇒ tan AOI
⇒ OI = : tan600 =
⇒d=
OI

4
12
12
Câu 5. Đa diện đều loại 4;3 là hình lập phương, gọi ABCD.A′B ′C ′D ′

{ }

, có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng trung trực của 3
cạnh AB , AD , AA′ và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng đi qua hai
cạnh đối diện ⇒ Chọn D.
r
P
:
x
+
y
+
z
−
1
=
0
a
Câu 6.
có VTPT = 1;1;1
r
Q : 2x + my + 2z + 3 = 0 có VTPT b = 2;m;2
r
R : −x + 2y + nz = 0 có VTPT c = −1;2;n
rr

2 m 2
P ⊥ R ⇔ ac
. = 0 ⇔ n = −1 ⇒ P / / Q ⇔ =
= ⇔m=2
1 1 1
Vậy m + 2n = 2 + 2 −1 = 0 ⇒ Chọn C.

( )
( )
( ) ( )

( )

(

( )

(

)

)

(

( )

( )

Câu 7.

Page |

201

)


A’

B
’

Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AB, AC, AM.
a2 3 .
VABC .A 'B 'C ' = S∆ABC .A 'H ⇒ S
=
∆ABC
4
Ta có IH là đường trung bình của tam
giác AMB , MB là trung tuyến của
tam giác đều ABC.

C
’
H

A

IH / / MB
⇒ IH ⊥ AC
Do đó: 
MB
⊥
AC


I

B
a

M
C

AC ⊥ A 'H
⇒ AC ⊥ A 'HI ⇒ AC ⊥ A 'I

AC ⊥ IH

(

)

AC ⊥ IH ⊂ (ABC )

· 'IH là góc gữa hai mặt phẳng
Mà: AC ⊥ A 'I ⊂ (ACC 'A ') ⇒ A
(ABC ) ∩ (ACC 'A ') = AC



( AA 'C 'C )

(

)

· 'IH = 45°
và ABCD ⇒ A

Trong tam giác A 'HI vuông tại H, ta có:
tan45° =

A 'H
⇒ A 'H = IH .tan45o
HI

1
a 3 . Vậy
a2 3 a 3 3a3
MB =
V =
.
=
2
4
4
4
16

Câu 8. Diện tích hình phẳng:


t 
t 
1
1
x+3 ÷

÷

S t =∫
dx = ∫
−
dx
2÷
2÷

x +1
0 x + 1 x + 2 ÷
0
x+2 ÷




t

t 
 x+1

1
1
1 ÷
1 
t +1
1
1

=∫
−
−
dx =  ln
+
+
+ ln2 −
÷ = ln
2÷
x +1 x + 2
t+2 t+2
2
 x + 2 x + 2 0
0
x+2 ÷


= IH =

()

(

) (

(

)(

)

(

)

 t + 1
 t + 1
1
= 1 ⇒ lim ln 
Vì tlim
=0

÷
÷ = 0 và tlim
→+∞ t + 2
t →+∞
→+∞
t+2


 t + 2
 t +1

1
1
1
S t = lim  ln
+
+ ln2 − ÷ = ln2 − .
Nên tlim
→+∞
t →+∞
2
2
 t+2 t+2
Cách 2: Dùng Máy tính.

()

Cho t = 100 ta bấm máy =

100

∫

0



1

÷dx ≈ 0,193
2÷


 x+1 x+2 ÷



(

)(

)

⇒ Chọn B.

Page |

202

)


m

 2 + 6i 
m
m m
Câu 9. Ta có: z = 
÷ = (2i ) = 2 .i
 3− i 
z là số thuần ảo khi và chỉ khi m = 2k + 1, k ∈ ¥ . Vậy có 25 giá trị m
thỏa yêu cầu đề bài ⇒ Chọn B.

Câu 10. Đặt z1 = a + bi, z2 = c + di    a,b,c,d ∈ ¡

(

)

a + b = 8
Ta có z1 + z2 = 8 + 6i ⇒ a + c + b + d i = 8 + 6i ⇒ 
c + d = 6

(

(

)

)

(

) ( ) =4
P = z + z = a + b + c + d ⇒ P ≤ ( 1 + 1) ( a + b + c
Mà 2( a + b + c + d ) = ( a + b) + ( b + d ) + ( a − b) + ( b − d )
2

z1 − z2 = 2 ⇒ a − c + b − d i = 2 ⇒ a − c + b − d
2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(

2

2

2

2

+ d2

)

2

)

⇒ 2 a2 + b2 + c2 + d2 = 82 + 62 + 22 = 104 ⇒ P ≤ 104 = 2 26
z12 + z22 + 2z1z2 = 100
2
2
⇒ z12 + z22 = 52 = z1 + z2
Cách 2:  2
2
z1 + z2 − 2z1z2 = 4

(

)

⇒ z1 + z2 ≥ 2 z12 + z22 = 2 26
Tổng quát: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = m + ni và z1 − z2 = p
.Tìm giá trị lớn nhất của P = z1 + z2 là P = m2 + n2 + p2

Câu 11. Từ giả thiết, ta có ln ( x + y + 1) + 3( x + y + 1) = ln ( 3xy) + 3.3xy .

( *)

()

(

)

()

Xét hàm f t = lnt + 3t trên 0;+∞ , ta có f ' t =

( )

1
+ 3 > 0, ∀t > 0.
t

Do đó * ⇔ x + y + 1 = 3xy ⇔ 3xy − 1 = x + y ≥ 2 xy ⇔ 3xy − 2 xy − 1 ≥ 0.
Suy ra

xy ≥ 1 ⇒ xy ≥ 1 ⇒ Chọn C.

Câu 12. C = 8π = 2π r → r = 4 . Ta có: d ( A, ( P ) ) =
vậy bán kính của hình cầu là 5 ⇒ Chọn B.
Câu 13. Gọi M (x0;y0) là điểm cố định cần tìm.
Ta có y0 =

(m + 1)x0 + m
x0 + m

2 + 2.2 − 2 + 5
22 + 22 + 1

= 3 . Như

, ∀m ≠ 0 ⇔ x0y0 + my0 = mx0 + x0 + m, ∀m ≠ 0

y − x0 − 1 = 0
⇔ m(y0 − x0 − 1) + x0y0 − x0 = 0, ∀m ≠ 0 ⇔  0
⇔
x0y0 − x0 = 0
⇒ Chọn B.
Câu 14. Bất phương trình x2 − 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 .

Page |

203

x0 = 0
⇒ M (0;1)

y0 = 1


(

)

2
Bất phương trình mx + m + 1 x + m + 1 ≥ 0

⇔ m(x2 + x + 1) ≥ −x − 2 ⇔ m ≥
Xét hàm số f (x) =

−x − 2
x +x+1
2

x2 + 4x + 1
−x − 2
′
f
(
x
)
=
> 0, ∀x ∈ 1;2 .
với
.
1≤ x ≤ 2
(x2 + x + 1)2
x2 + x + 1

f (x) ⇔ m ≥ − 4 ⇒ Chọn C.
Yêu cầu bài toán ⇔ m ≥ max
[1;2]
7

Câu 15.

Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán
nguyệt là π x , tổng ba cạnh của hình chữ nhật là a − π x .
Diện tích cửa sổ là:
π x2
a − π x − 2x
π
π
a
S = S1 + S2 =
+ 2x
= ax − ( + 2)x2 = ( + 2)x(
− x)
.
2
2
2
2
π
+2
2
a
a
x=
−x
Dễ thấy S lớn nhất khi
hay x =
.
π
4+ π
+2

2
a
Vậy để S max thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng
; chiều
4+ π
rộng bằng

2a
⇒ ⇒ Chọn A.
4+ π

Câu 16.
Gọi I là trung điểm AB , suy ra
OI ⊥ AB, SI ⊥ AB và OI = a .

S

Trong tam giác vuông SOA , ta có
SA 3 Trong tam giác vuông
·
OA = SA.cosSAO
=
.
2
O

SA
·
SIA , ta có IA = SA.cosSAB
=

.
2
Trong tam giác vuông OIA , ta có
OA 2 = OI 2 + IA 2 ⇔

A

B
I

3 2
1
SA = a2 + SA 2 ⇒ SA = a 2.
4
4

⇒ Chọn B.
Câu 17. Xét phương trình x2 − x + 1 + mx = 0.
Nếu phương trình không có nghiệm x = 1thì đồ thị hàm số có đường
tiệm cận đứng là x = 1.
Nếu phương trình có nghiệm x = 1hay m = −1.

Page |

204


x2 − x + 1 − x
−1
1

= lim
= − nên trong
x→1
x→1
x−1
2
x2 − x + 1 + x
trường hợp này đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng. Vậy
m ≠ −1 ⇒ Chọn C.
Khi đó xét giới hạn: lim

Câu 18. Vì M ∈ ( Oxy) và có hoành độ bằng 1 nên M ( 1;y;0) .

( )

( )

(

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Q nên M ∈ Q

(

)

⇒ M 1; −5;0 .

)

Gọi I a;b;c là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

( )

( )
)

Ta có (S) tiếp xúc với mp Q tại M nên IM ⊥ Q .
u
r
Q
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến n = 2;1; −1 .

( )

(

uuur
u
r
+ Ta có: IM ⊥ Q ⇔ MI = tn, t ∈ ¡

( )

( )

(

(

)

)

a = 1 + 2t

⇔ b = −5 + t
c = −t


(

)

I ∈ P ⇔ 1 + 2t − 2 −5 + t − t − 1 = 0 ⇔ t = 10 ⇒ I 21;5; −10 .

( ( ) ) = 10 6.

Bán kính mặt cầu R = d I ; Q

( ) (

) (

) (

2

)

2

2

+ Vậy phương trình mặt cầu S : x − 21 + y − 5 + z + 10 = 600.
⇒ Chọn A.

Câu 19.
Kẻ đường cao A′H của hình thang vuông OAA′O ′.
Ta có: AH = AO − A′O ′ = 10 − 6 = 4 cm .

( )

Trong
tam
giác
vuông
có:
HAA′
2
2
2
A′H = AA′ − AH = 256 − 16 = 240.
⇒ O ′O = A′H = 4 15 cm ⇒ chiều cao hình nón cụt

( )

( )

h = O ′O = 4 15 cm .

Ta có công thức thể tích hình nón cụt: V =
⇒V = π

πh 2
R + r 2 + Rh
3

(

4 15
784π 15
100 + 36 + 60 =
⇒ Chọn B.
3
3

(

)

Câu 20.

Page |

205

)


Khối tròn xoay gồm 3 phần:

Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng

5
có thể tích:
2

2

 5
125π
.
V1 = π ×  ÷ × 5 =
4
 2
Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng 5 2 có thể tích:
2
2

 5 2  5 2 125π 2
1
÷ ×
V2 = × π × 
=
 2 ÷
3
2
12


Phần 3: khối nón cụt có thể tích là:

2
5 2 − 1   5 2   5 2 5 2 5  125 2 2 − 1 π
1
÷ +
V3 = π ×
× 
+
× ÷=
.
  2 ÷  2 ÷
÷
3
2
2
2
24
÷





(

)

)

(

Vậy thể tích khối tròn xoay là

(

)

(

)

125π 125π 2 125 2 2 − 1 π 125 5 + 4 2 π .
V = V1 + V2 + V 3 =
+
+
=
4
12
24
24
Cách 2 :

Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là
125π
VT = π R 2h =
4
Page |

206

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEY F

là

2 2
125 2
πR h =
3
6
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là
1
125π
VN ′ = π R 2h =
3
24
V2N =

Thể tích cần tìm V = V + V − V =
T
2N
N′

)

(

125 5 + 4 2 π

⇒ Chọn C.

24

Câu 21.
SM SN
SI
1
=
=
=
SB
SD SO 2
Qua O dựng OK // AE.
OK / / AE
Xét ∆AEC : 
. Suy ra: K
1
OK = 2 AE
trung điểm EC .

là

IE / / OK
Xét ∆SOK : 
. Suy ra: E
1
IE = 2 OK

là

SE

1
=
SC
3
2V
SA SM SE
1 1 1
= S.AME =
.
.
= . =
2VS .ABC
SA SB SC 2 3 6

trung điểm SK . Vậy
Ta có:

VS.AMEN
VS .ABCD

1
1
⇒ VS .AMEN = VS.ABCD hay V2 = V1 ⇒ Chọn D.
6
6
Câu 22. Áp dụng công thức tổng quát: Cho hình chóp S.ABC có
·
·
·
SA = a, SB = b,SC = c và có ASB

= α , BSC
= β ,CSA
= γ . Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC, khi đó
1 2
SG =
a + b2 + c2 + 2abcosα + 2ac cosγ + 2bcβ
3
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur
Chứng minh: Ta có: SG = SA + SB + SC
3
uuu
r uuu
r uuur 2 uuu
r 2 uuu
r 2 uuur2
uuu
r uuu
r
uuu
r uuur
uuu
r uuur
SA + SB + SC = SA + SB + SC + 2SA.SB + 2SA.SC + 2SB .SC

(

Khi đó SG =

)

)

(

1 2
a + b2 + c2 + 2abcosα + 2ac cosγ + 2bcβ
3

Áp dụng công thức trên ta tính được SG = a 15 ⇒ Chọn A.
3
a
Câu 23. Gọi cạnh đáy của hình chóp là . Ta có ∆SIJ ~∆SMH

Page |

207


SI
IJ
=
⇒ MH ( SH − IH ) = IJ
SM MH
2
⇒ MH 2 ( SH − 1) = SH 2 − HM 2
⇒

SH 2 − HM 2

⇒ ( a2 − 12) SH 2 − 2a2SH = 0
⇒ SH =

2a2 ( 2
a ≠ 12)
a2 − 12

1
3 2a4
3
1
S = SABC .SH =
=
2
3
6 a − 12
6 1 12
−
a2 a4
1 12 1
Ta có 2 − 4 ≤
⇒S ≥8 3
48
a
a
⇒ Chọn A.
Câu 24. Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

(

)

45 + 20x2 = 5 9 + 4x2 =

( 2 + 1 ) ( 3 + (2x) ) ≥ 2.3 + 1.2x = 6 + 2x
2

1

2

2

Suy ra y ≥ 6 + 2x + 2x − 3 . Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b ta được:
6 + 2x + 2x − 3 = 6 + 2x + 3 − 2x ≥ 6 + 2x + 3 − 2x = 9 ⇒ y ≥ 9
⇒ y = 45 + 20x2 + 2x − 3 có giá trị nhỏ nhất bằng 9 ⇒ Chọn C.

Câu 25.

(

)

Bất

phương

trình

tương

5 x2 + 1 ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ ¡

(

)

( )

 5 − m x2 − 4x + 5 − m ≥ 0 2
⇔ 2
(*), ∀x ∈ ¡ .
3
mx + 4x + m > 0
m = 0 hoặc m = 5 : (*) không thỏa ∀x ∈ ¡
5 − m > 0

2
∆′2 = 4 − 5 − m ≤ 0
. ⇔ 2 < m ≤ 3 ⇒ Chọn A.
m ≠ 0 và m ≠ 5 : (*) ⇔ 
m > 0
∆′ = 4 − m2 < 0
 3


2
F (0) = π

a=−

2

3




π
π
7
π

b
Câu 26. Ta có F (x) = ax + sin2x + C và F  ÷ = ⇔ b =
9
2
  2 6

π
 π  π
C =
F  ÷ =

2
  12  3
2
7π
π

Vậy F (x) = − x +
sin2x + ⇒ Chọn A.
3
9
2

( )

(

)

Câu 27.

Page |

208

đương


(

)

(

)

()

Ta có: CB ⊥ SAD , AM ⊂ SAB ⇒ AM ⊥ CB 1

( α ) ⊥ SC , AM ⊂ ( α ) ⇒ AM ⊥ SC ( 2)
Từ ( 1) , ( 2) ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MC
·
⇒ AMC
= 90° . Chứng minh tương tự ta có
·
·
APC
= 90° . Có AN ⊥ SC ⇒ ANC = 90°

·
·
·
Ta có: AMC
= APC
= APC
= 90°

⇒ khối cầu đường kính AC là khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP .
AC
4
32π
⇒ Chọn
Bán kính cầu này là r =
= 2. Thể tích cầu: V = π r 3 =
2
3

3
A.

Câu 28. Ta có S EFGH nhỏ nhất ⇔ S = S AEH + SCGF + S DGH lớn nhất.
Tính được 2 S = 2 x + 3 y + (6 − x)(6 − y) = xy − 4 x − 3 y + 36 (1)
AE AH
=
⇒ xy = 6 (2)
Mặt khác ∆AEH đồng dạng ∆CGF nên
CG CF
18
Từ (1) và (2) suy ra 2 S = 42 − (4 x + ) . Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi
x
18
4 x+
nhỏ nhất.
x
18
18
3 2
Biểu thức 4 x +
nhỏ nhất ⇔ 4 x = ⇒ x =
⇒ y = 2 2 ⇒ Chọn C.
x
x
2
2
Câu 29. Đặt t = 3x, t > 0 ⇔ t − 2 m + 1 t − 3 − 2m > 0, ∀t > 0

(

)

1
t2 − 2t − 3
⇔ m<
, ∀t > 0 ⇔ m < t + 3 , ∀t > 0
2
2t + 2
1
1
f t = t + 3 , f ′ t = > 0, ∀t > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên 0,+∞
2
2
3
Vậy ycbt ⇔ m < f t , ∀t > 0 ⇔ m ≤ f 0 = − ⇒ Chọn C.
2
121
121
= log 1
= 6log7 11 − 3log7 8
Câu 30. Ta có : log3 7
8
73 8
9
121
9
= 6log7 11 − 9log7 2 = 6log7 11 −
. Nên log3 7
= 6a − ⇒ Chọn A.

log2 7
8
b

(

()

(

)

(

) ()

()

( )

Câu 31.

Page |

209

)


Qua M dựng MK // BE. Xét tam giác BEC :

MK / / BE
. Suy ra: K

1
MK = 2 BE
EC .

là trung điểm

NE / / MK
Xét tam giác SMK : 
.
1
NE = 2 MK

Suy ra: E

là trung điểm SK .
V
SA SB SE
1
1
SE
1
.
.
= ⇒ VS.ABE = VS .ABC
Vậy
= Ta có: S .ABE =
VS.ABC SA SB SC

3
3
SC
3
1
hay V2 = V1 ⇒ Chọn A.
3

Câu 32. Đường thẳng d đi qua M ( −1; 3;2) và có vectơ chỉ phương
r
u = 1;2;1 .

(

)

H là hình chiếu của I trên D. Ta
r uuur
u, MI 
3
2IH


IH = d I ; AB =
= 18 ⇒ IH = R.
⇒R =
= 2 6.
r
2
3

u

(

Gọi

có

:

)

(

) (
2

) (
2

)

2

Phương trình mặt cầu là : x − 1 + y − 1 + z + 2 = 24 ⇒ Chọn A.
1

1

1

1
5
Câu 33. I = ∫ f 4x dx = ∫ f 4x d 4x = .5 = ⇒ Chọn C.
40
4
4
0

( )

( ) ( )

Câu 34. Có 3 mặt phẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện như
hình dưới

⇒ Chọn A.
Câu 35. Thời điểm ô tô A dừng lại là: 16 − 4t = 0 ⇒ t = 4 .
Quãng đường ô tô A đi được đến lúc dừng lại là: s =

4

∫ ( 16 − 4t ) dt = 32( m) .
0

Suy ra ô tô A phải cách ô tô B là một khoảng là: s + 1 = 33(m) ⇒ Chọn
A.

Page |

210