các bài tập vận dụng cao môn toán

ĐỀ 8
ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh a . Thể tích của
khối tròn xoay sinh ra bởi phần tô đậm quay quanh đường thẳng AH
bằng:

Câu 1.

3
A. 20π a 3
217
π b2c2
C.
b2 + c2

Câu 2.

B. 23π a 3
216
π b2c2
D.
3 b2 + c2
3

(

)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M 1;2;1 . Viết

phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại
1
1
1
+
+
A, B, C sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
2
OA
OB
OC 2
A. P : x + 2y + 3z = 8.
B. P : x + y + z = 4.

( )
( P ) : x + 2y + z = 6.

( )

x y z
+ + = 1.
1 2 1
Câu 3. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoảng tiền cố định
với lãi suất 0.6%/tháng và lãi suất hàng tháng được nhập vào vốn. Hỏi
sau bao lâu thì người đó thu được số tiền gấp hơn ba ban đầu?
A.184 tháng
B. 183 tháng
C. 186 tháng

D.185 tháng
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương
C.

ABCD.A’B’C’D’ , biết

( )

D. P :

(

)

(

A 0;0;0

)

, B 1;0;0

,

(

)

D 0;1;0

(

)

và A ' 0;0;1 .

Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng CD’ và tạo với mặt
phẳng (BB’D’D) một góc lớn nhất là
A. x − y + z = 0
B. x − y + z − 2 = 0
C. x + 2y + z − 3 = 0
D. x + 3y + z − 4 = 0

Câu 5.

Cho hình chóp S.ABC

(

)

có SA ⊥ ABC , AB = 1, AC = 2 và

·
BAC
= 60°. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC . Tính bán
kính R của mặt cầu đi qua các điểm A , B , C , M , N .
4
A. R = 2 .
B. R = 2 3 .

.
D. R = 1.
C. R =
3
3
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = x + mx2 + 1 có tiệm cận ngang?
A. 0 < m < 1.
B.m = −1.
C.m > 1.
D. m = 1.
Câu 7. Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều
cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả
3
bóng có chiều cao bằng chiều cao của nó. Gọi V1, V2 lần lượt là thể
4
tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó
Page |

24


A. 9V1 = 8V2

Câu 8.

(

) (

B. 3V1 = 2V2

Trong

) (

C. 16V1 = 9V2
Oxyz
gian
cho

không

) (

D. 27V1 = 8V2
4

)

điểm

A 2;3;2 , B 6; −1; −2 ,C −1; −4;3 , D 1;6; −5 . Gọi M là một điểm nằm trên
đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó toạ
độ điểm M là
A. M 0;1; −1 .
B. M 2;11; −9 .
C. M 3;16; −13 . D. M −1; −4;3 .

(

)

(

)

(

)

(

)

Ký hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 0 và
đồ thị hàm số y = x2 − mx, với m là tham số thực dương. Tìm m sao cho

Câu 9.

( )

thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H

xung quanh

16π
?
15
A. m = 1.

B. m = 2.
C.m = 4.
D. m = 3.
Câu 10. Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có
đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy
của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối nón
này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h ?
h
2h
A. x = .
B. x = h 3 .
C. x =
.
D. x = h 3 .
3
3
3
S
I
Câu 11. Cho hình nón đỉnh có đáy là hình tròn tâm , bán kính R ,
trục Ox bằng

chiều cao hình nón là R 3 . AB là một dây của đáy sao cho khoảng
2

(

)

cách giữa I và mặt phẳng SAB là R 3 . Độ dài dây AB là

4
C. AB = R 3 .
D. AB = R 3 .
3
4
Câu 12. Vận tốc trung bình đi xe máy trong thành phố vào khoảng
30km / h đến 40km / h . Khi gặp chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn,
người điều khiển xe máy phải phanh để xe chuyển động chậm dần đều
với vận tốc v(t) = 10 − 5t (m / s) . Hỏi khi gặp chướng ngại vật, người điều
khiển xe máy phải bắt đầu phanh khi cách chướng ngại vật ít nhất một
khoảng bao xa để xe máy dừng hẳn trước khi đến chướng ngại vật?
A. 10m
B. 15m
C. 20m
D. 5m
Câu 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác
A. AB = R 3.

B. AB = 2R 3.

đều cạnh a, cạnh SA = 2a 3 . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C .
3
Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
A. R = a 39 .
B. R = a 35 .
C. R = a 37 .
D. R = a 39 .
7
7
6

6
Câu 14. Cho a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1 ; b ≠ 1 ; n ∈ R * , một học sinh tính
1
1
1
+
+ ... +
biểu thức p =
theo các bước sau
loga b loga2 b
logan b
I. P = logb a + logb a2 + ... + logb an
Page |

. 2..an
II. P = logb aa

25


III. P = logb a1+2+ 3+...+n
IV. P = n(n + 1) logb a
Bạn học sinh trên đã giải sai ở bước nào
A. I.
B. II.
C. III.
D. IV.
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1; −1;1 ,

(

)

(

)

(

)

B 0;1; −2 và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Giá trị lớn
nhất của biểu thức T = MA − MB là
A.

B.

6.

C.

12.

D. 2 2.

14.

Câu 16. Cho số phức z = 1 + ( 1 + i ) + ( 1 + i ) + ... + ( 1 + i )
2

26

. Phần thực

của số phức z là
A. 213 .

B. −(1 + 213) .
C. −213 .
D. (1 + 213) .
Câu 17. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD=60cm. Ta
gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC
trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết 2
đáy.

Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất ?
A. x = 20
B. x = 30
C. x = 40
D. x = 45
x
2 x2 + 1 + 5 , biết F x là một nguyên hàm
Câu 18. Cho f (x) = 2
x +1
 3
của hàm số f x thỏa F 0 = 6. Tính F  ÷.
 4

)

(

( )

( )

( )

123
127
.
D.
.
16
16
Câu 19. Cho hàm số y = x2 + 3 − x ln x . Gọi M ;N lần lượt là giá trị lớn
A.

125
.
16

B.

126
.
16

C.

nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;2 . Khi đó tích M .N là
A. 2 7 + 4ln5.
B. 2 7 − 4ln2.
C. 2 7 − 4ln5.
D. 2 7 + 4ln2.
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm

(

)

(

)

(

)

(

)

A 1; −2;0 , B 0; −1;1 , C 2;1; −1 , D 3;1;4 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
cách đều bốn điểm đó?
A. 1.
B. 4.

C. 7.

D. Vô số.

Câu 21. Số phức z thỏa mãn 2z + 1 = z + z + 3 và số phức w = z – 8 có
môđun nhỏ nhất. Tổng phần thực các số phức z thỏa mãn bài toán là
Page |

26


A.

B.
C.
D.
5.
7.
10.
14.
Câu 22. Một cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất
BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường một đoạn
CH=0,5m. Chiều dài bé nhất của thang là
A. Xấp xỉ 5,602m.
B. Xấp xỉ 5,5902m.
C. Xấp xỉ 5,4902m.
D. Xấp xỉ 6,5902m.
Câu 23. Trên một đoạn đường giao thông
có 2
con đường vuông góc với nhau tại O như
hình vẽ. Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí
M cách vị trí đường OE 125 m và cách đường OH

1km. Vì lý do thực tiễn, người ta muốn làm một đoạn
đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá để làm
100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí A và B để
hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi
phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu ?
A. 1,9603 (tỷ đồng).
B. 2,3965 (tỷ đồng).
C. 2,0963(tỷ đồng).
D. 3(tỷ đồng).
Câu 24. Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ
nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm).
Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu
( với M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để
tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc
thùng mà bạn A có thể làm được là
A

Q

B

A.

P

M

N

91125

(cm3).
4π

C

B.

91125
(cm3).
2π

C. 108000 3 (cm3).
D. 13500. 3 (cm3).
π
π
Câu 25. Cho ∆ABC đều cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật
MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên hai
cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình
chữ nhật có diện tích lớn nhất ?
2a
3a
a
a
A. BM =
.
B. BM =
.
C. BM = .
D. BM = .
3

4
3
4
Câu 26. Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai
ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng A.
16a3
2a3
4a3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V = a3.
.
.
.
3
3
3
Page |

27


Câu 27. Cho tứ diện ABCD có AB = 3a;AD = 6a;AC = 9a;

·
·
·
BAC
= DAC

= BAD
= 600 . Tính thể tích của tứ diện ABCD?
1 3
A. 27 2 a3
B. 2 a
C.
a
12
2
12

2 3
a
2

D.

4
2
2
Câu 28. Cho hàm số y = x − 2( 1 − m ) x + m + 1 . Tìm tất cả các giá

trị của tham số thực m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực
trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất .
1
1
A.m = − .
B.m = .
C. m = 0.
D. m = 1.

2
2
2

2

−
−
2
z − z÷
z + z÷
Câu 29. Cho 2 số phức
;


 
z1 =
z2 =
z.z + 1
z.z + 1
z
=
x
+
yi
x
,
y
∈
¡

với
,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. z1 và z2 là số thuần ảo.
B. z2 là số thuần ảo.
2

C. z1 là số thuần ảo.

D. z1 và z2 là số thực.

Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm
số y = x3 − (2m + 1)x2 + (m2 − 3m + 2)x + 4 có hai điểm cực đại và cực tiểu
nằm về hai phía của trục tung?
A. 1 ≤ m ≤ 2
B. m > 2
C. m < 1
D. 1 < m < 2
x
,
y
x
>
y
>
0
x
+
y
+ xy ≥ 7 . Tìm

Câu 31. Cho hai số thực
thỏa mãn
và
2
1
giá trị lớn nhất của biểu thức P = ln 1 + 10xy − 5y2 − x2 − x + 5y ?
4
A. 25.
B. 25 + ln26 .
C. −25 + ln26 .
D. ln26.
Oxyz
Câu 32. Trong không gian tọa độ
, cho các phương trình mặt

(

)

(

)

( )

phẳng αm : 3mx + 5 1 − m2y + 4mz + 20 = 0
Xét các mệnh đề sau:.
(I) Với mọi m ∈  −1; 1 thì các mặt phẳng αm luôn tiếp xúc với một

( )

mặt cầu không đổi.

( )

(

)

(II) Với mọi m ≠ 0 thì các mặt phẳng αm luôn cắt Oxz .

( )

(III) d O; αm  = 5 ∀m ∈  −1; 1
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Chỉ (I) và (II).
B. Chỉ (I) và (III).
C. Chỉ (II) và (III).
D. Cả 3 đều đúng.
Câu 33. Công suất P (đơn vị W ) của một mạch điện được cung cấp
bởi một nguồn pin 12V được cho bởi công thức P = 12I − 0,5I 2 với I (đơn
vị A ) là cường độ dòng điện. Tìm công suất tối đa của mạch điện.
A. 72.
B. 12.
C. 16.
D. 32.
Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho các điểm I 1;0;0 và đường

(

)

x −1 y−1 z +2
. Phương trình mặt cầu S có tâm I và cắt
=
=
1
2
1
đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

( )

thẳng d :

Page |

28


20
3
2
16
C. x − 1 + y2 + z2 =
4

(

)

(

)

20
3
2
5
D. x − 1 + y2 + z2 =
3

2

A. x + 1 + y2 + z2 =

(

)

(

)

2

B. x − 1 + y2 + z2 =

2
− 2x + 1

Câu 35. Cho hàm số y = x 3− x + 3
. Trong các khẳng định
2

x − 2x − x + 2
sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng 1 tiệm cận
ngang.
C. Đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

LỜI GIẢI ĐỀ 8
ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO
Câu 1.

Thể tích khối tròn xoay do tam giác ABC quay xung quanh
2

1
1  a  a 3 π a3 3
AH là: V1 = ππ HB 2.AH = π  ÷ .
=
3
3  2
2
24

( )

Thể tích của khối cầu do hình tròn O quay xung quanh AH là:
3

4
4 a 3
4π a3 3 
2
÷ =
OA = AH =
V2 = π .OA 3 = π 

3
3  3 ÷
27
3


Vậy thể tích của khối tròn xoay theo yêu cầu của

2 a 3 a 3
÷
.
=
3 2
3 ÷

đề bài là:

4π a3 3 π a3 3 23π a3 3 ⇒ Chọn B.
−

=
27
24
216
Ta có: P = 1 + 1 + 1 = 1 + 1 = 1 , với H là hình
Câu 2.
OA 2 OB 2 OC 2 OH 2 OC 2 OK 2
chiếu của O lên AB, K là hình chiếu của O lên HC. Dễ dàng chứng minh
OK vuông góc (P). Do đó P min ⇔ OK lớn nhất ⇔
K trùng M, suy ra OM vuông góc mặt phẳng (P). Vậy phương trình mặt
phẳng P : x + 2y + z = 6
V = V 2 − V1 =

( )

( )

Cách khác: Ta có P

là mặt phẳng chắn 3 trục tọa độ nên có dạng

x y z
+ + =1
a b c
2

 1 2 1
1 2 1
B .C .S
M ∈ P ⇒ + + = 1 

→  + + ÷ ≤ 1+ 4 + 1
a b c
a b c 

( )

(

 1
1
1 
1
1
1
1
= 6
+
+
⇒
+
+
≥ .
2
2
2÷
2
2
2
OB
OC 

6
OA
OB
OC
 OA
Page |

29





)  a1 + b1 + c1 ÷


2

2

2




1 2 1
= = ⇒ a = 1,b = 2,c = 1 ⇒ Chọn C.
a b c
n
T n = 3T 0 ⇔ 3T 0 = T 0 1 + r ⇔ n = log( 1+r ) 3 ⇒ Chọn A.

u
r
Tìm được C 1;1;0 , D ' 0;1;1 và n( BB ’D’D ) = 1;1;0 .

Dấu “=” xảy ra ⇔

Câu 3.
Câu 4.

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)

2

2
2
Giả sử mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0, A + B + C > 0

(P)

chứa

đường

thẳng

)) =

A+B

(( ) (

cos P , BB 'D 'D

CD’

2. 2A + B
2

2

suy

ra

C = A;D = −A − B .

Ta

có

. Góc lớn nhất khi cos nhỏ nhất. ta

( )

chọn được A = 1;B = −1 ⇒ C = 1, D = 0 . Vậy P : x − y + z = 0 ⇒ Chọn A.

Câu 5.
Gọi K là trung điểm của AC suy ra :
AK = AB = K C = 1
·
·
· BC = 30°
BAC
= 60° ⇒ ABK
= 60°;K

()

·
⇒ ABC
= 90° 1

( )

= 90° ( 3)

·
Theo giả thiêt ANC = 90° 2
·
* Chứng minh AMC

(

)

(

) (

Thật vậy, ta có: BC ⊥ SA;BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SAB ⇒ SBC ⊥ SAB

(

)

)

AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ SBC ⇒ AM ⊥ MC

()( )( )

Từ 1 ; 2 ; 3 suy ra các điểm A , B , C , M , N nội tiếp đường tròn tâm
K , bán kính K A = K B = K C = K M = K N =

1
AC = 1 ⇒ Chọn D.
2

Câu 6.

- Nếu m = 0 thì y = x + 1. Suy ra, đồ thị của nó không có tiệm cận
ngang.
−1
1
2
≤x≤
- Nếu m < 0 thì hàm số xác định ⇔ mx + 1 ≥ 0 ⇔
.
−m
−m
y không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận
Do đó, xlim
→±∞
ngang.

1
y = lim x  1 + m + 2 ÷ = +∞ ;
- Với 0 < m < 1 thì xlim
→+∞
x→+∞ 
x ÷




1
lim y = lim x  1 − m + 2 ÷ = −∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận
x→−∞
x→−∞ 
x ÷


ngang.
Page |

30



1
y = lim x  1 + 1 + 2 ÷ = +∞
- Với m = 1 thì y = x + x2 + 1 xlim
→+∞
x→+∞ 
x ÷



(x
lim y = lim

2

)

+ 1 − x2

1

=0


.
1
−x  1 + 2 + 1÷

÷
x


Suy ra đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi
x → −∞ .

1
y = lim x  1 + m + 2 ÷ = +∞
- Với m > 1 thì xlim
→+∞
x→+∞ 
x ÷



1
lim y = lim x  1 − m + 2 ÷ = +∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận
x→−∞

x→−∞ 
x ÷


ngang ⇒ Chọn D.
Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là
x→−∞

x→−∞

x2 + 1 − x

= lim

x →+∞

Câu 7.

2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r.
Bản chất của bài toán chính là bài toán mặt phẳng
cắt mặt cầu theo một thiết diện tọa độ Oxyz.
Gọi O là tâm của quả bóng bàn, khi đó khoảng cách
h
từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng . Bán kính
2
đường tròn đáy hình trụ là AI = OA 2 − OI 2 = h 3 .
2
Thể tích của quả bóng bàn là
4
4

4π h3
V1 = π R 3 = π h3 =
3
3
3
2

h 3
3π h3
Thể tích của chiếc chén là V2 = π r hc = π 
÷ .2h =
 2 ÷
2


2

4π h3 3π h3 4 2 8
:
= . = ⇒ 9V1 = 8V2 ⇒ Chọn A.
3
2
3 3 9
Tam giác MAB có độ dài cạnh AB = 4 3 không đổi, do đó

Vậy tỉ số V1 :V2 =

Câu 8.

chu vi bé nhất khi và chỉ khi

bé nhất
MA + MB
uuu
r
uuur
AB = ( 4; −4; −4 ) , CD = ( 2;10; −8 ) .
uuur uuur
Vì AB.CD nên AB ⊥ CD , suy ra điểm M cần tìm là hình chiếu vuông góc
của A, cũng là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD. Từ đó
tìm ra điểm M ( 0;1; −1) ⇒ Chọn A.

Câu 9.

x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm x2 − mx = 0 ⇔ 
x = m
m

(

)

2

m

(

)

Thể tích V = π ∫ x2 − mx dx = π ∫ x4 − 2mx3 + m2x2 dx
0

0

Page |

31


 x5 mx4 m2x3  m
 m5 m5 m5  π m5
=π −
+
=
π
−
+
.
÷

÷=
2
3  0
2
3 
30
 5
 5
16π

π m5 16π
nên
=
⇔ m5 = 32 ⇔ m = 2, thỏa mãn m > 0 ⇒ Chọn B.
15
30
15
Từ hình vẽ ta có J B = OJ = h − x ⇒ J B = R(h − x) .
Câu 10.
IA OI
h
h
2
1 R
Thể tích khối nón cần tìm là: V = π 2 (h − x)2x .
3 h
2
1 R
Xét hàm số V (x) = π 2 (h − x)2x , 0 < x < h .
3 h
2
1 R
h
V '(x) = π 2 (h − x)(h − 3x) = 0 ⇔ x = h hay x = .
3 h
3
V =

Bảng biến thiên:
x

h
3
0

0
+

V '(x)

h
−

0

4π R 2h
81

V (x)

0
0
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao
của nó là x =

Câu 11.

h
4π R 2h
; V max =

.
3
81

Gọi M là trung điểm của AB và IH là đường cao ∆SIM .

AB ⊥ SI
⇒ AB ⊥ SIM ⇒ AB ⊥ IH .
Vì 
AB ⊥ IM
IH ⊥ AB
R 3
⇒ IH ⊥ SAB ⇒ d I , SAB = IH =
.
Vì 
4
IH ⊥ SM
1
1
1
= 2+
.
∆SIM vuông tại I :
2
IH
SI
IM 2
1
1
1

16
4
4
R
⇒
=
− 2 =
−
= 2 ⇒ IM = .
2
2
2
2
2
IM
IH
SI
3R
3R
R
R 2 3R 2
2
2
2
2
vuông
tại
∆AMI
I ⇒ MA = IA − IM = R −
=

4
4

(

(

)

)

( (

))

⇒ MA = R 3 ⇒ AB = R 3 ⇒ Chọn A.
2
Gọi t là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe

Câu 12.

dừng hẳn. Ta có: 10 − 5t = 0 ⇔ t = 2
Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe dừng hẳn là:
Page |

32


2


5 
I = ∫ (10 − 5t)dt =  10t − t ÷ = 10 (m) . Vậy người điều khiển xe phải
2 0

0
phanh cách chướng ngại vật ít nhất 10 (m) ⇒ Chọn A.
2

Câu 13.

(

)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì SG ⊥ ABC .
Do CB = CA = CD nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD .
Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABD. Gọi I ∈ d là tâm mặt cầu cần tìm, đặt
IC = x ⇒ SK = SG − x .
Kẻ IK ⊥ SG ⇒ IK = CG = AG = 2 . a 3 = a 3 , SG = SA 2 − AG 2 = a.
3 2
3
2
a2
a
Ta có IS = ID ⇔ IK 2 + SK 2 = IC 2 + CD 2 ⇔
+ a − x = x2 + a2 ⇒ x = .
3
6

(

R = x2 + a2 =

)

a 37 ⇒ Chọn C.
6

Vì 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) nhưng theo biến đổi ý D thì
2
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) ⇒ Chọn D.
A, B nằm về hai phía của mặt phẳng Oxy . Gọi C là điểm đối

Câu 14.

Câu 15.

(

)

(

)

(

)

xứng của B qua mặt phẳng Oxy . Ta có C 0;1;0 .
T = MA − MB = MA − MC ≤ AC ⇒ T max = AC = 6 ⇒ Chọn A.

Câu 16.

( 1+ i )
=

27

−1

( ) ( )
( )
i
( 1 + i ) .( 1 + i ) − 1 = (2i ) ( 1 + i ) − 1 = 2 i − 2
=

z = 1+ 1+ i + 1+ i
26

2

+ ... + 1 + i

26

13

13

i
i
Vậy phần thực là 213 ⇒ Chọn A.
AP = AN = x; NP = 60 – 2x

13

i

−1

= 213 + (1 + 213)i

Câu 17.
S∆ANP =

p(p − a)(p − b)(p − c) = 30(30 − x)(30 − x)(2x − 30)
Page |

33


3

 30 − x + 30 − x + 2x − 30 
(30 − x)(30 − x)(2x − 30) ≤ 
÷ = 1000
3



S∆ANP ≤ 30.1000 = 100 3 ⇔ 30 − x = 2x − 30 ⇔ x = 20 ⇒ Chọn A.

Câu 18.

∫ f (x)dx = ∫

(

)

Đặt

t = x2 + 1 ⇒ tdt = xdx

.

( 2 x + 1 + 5)dx = ∫ ( 2t + 5)dt = t + 5t + C
x +1
x

2

2

2

 3  125
F (0) = 6 ⇒ C = 0 . Vậy F  ÷ =

⇒ Chọn A.
 4  16
Tập xác định D = 0; +∞ .

= x2 + 1 + 5 x2 + 1 + C .

Câu 19.
Ta có y′ =
Do

(

x
x2 + 3

(

)

− ln x + 1 =

)

x − x2 + 3
x2 + 3

− ln x .

x + 3 > x ⇒ x − x + 3 < x − x ≤ 0⇔
2

2

Và x ≥ 1 ⇒ ln x ≥ 0 ⇒ − ln x ≤ 0 . Do đó y′ =

x − x2 + 3
x2 + 3

x − x2 + 3
x2 + 3

()

< 0.

− ln x < 0 . Nên hàm

( )

số nghịch biến trên 1;2 . Khi đó M = y 1 = 2;N = y 2 = 7 − 2ln2.
Vậy M .N = 2 7 − 4ln2 ⇒ Chọn B.
uuur
uuuu
r
uuur
Ta có AB = −1;1;1 , AC = 1;3; −1 , AD = 2;3;4 .
Câu 20.
uuur uuuu
r
uuur uuuu

r uuur



Khi đó AB, AC = −4;0; −4 suy ra AB, AC  .AD = −24 ≠ 0 .




Do đó A, B,C , D không đồng phẳng và là 4 đỉnh của một tứ diện.
Khi đó sẽ có 7 mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh của tứ diện. Bao gồm: 4
mặt phẳng đi qua trung điểm của ba cạnh tứ diện và 3 mặt phẳng đi
qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ).

(

(

)

(

)

)

Page |

34

(

)


⇒ Chọn C.
Gọi z = a + bi a,b ∈ R

(

Câu 21.

)
(

)

2

2z + 1 = z + z + 3 ⇔ 2a + 1 + 2bi = 2a + 3 ⇔ 2a + 1 + (2b)2 = (2a + 3)2 ⇔ b2 = 2a + 2
w = z − 8 = (a − 8) + bi ⇒ w = (a − 8)2 + b2 = (a − 8)2 + 2a + 2 = (a − 7)2 + 17
⇒ w ≥ 17 ⇔ a = 7 ⇒ b2 = 16 ⇔ b = ±4
⇒ z = 7 + 4i ;z = 7 − 4i Tổng phần thực 7 + 7 = 14 ⇒ Chọn B.
Đặt
Ta
có
BH = x x > 0 .

(

Câu 22.

)

BD = DH 2 + BH 2 = x 2 + 16
Vì DH / / AC nên
DA HC
DB .HC
=
⇒ DA =
=
DB HB
HB

x2 + 16
2x

x2 + 16
⇒ AB = x + 16 +
2x
2

(

)

( )

2
Xét hàm số f x = x2 + 16 + x + 16 trên 0;+∞ . Ta có f x liên tục

2x
trên 0;+∞ và có

( )

(

)

x
x

( )

f' x =

+

x + 16
2

.2x − 2 x2 + 16
=

2

x

−

8

4x
x2 + 16
x2 + 16 x2 x2 + 16
f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2; f ' ( x ) > 0 ⇔ x > 2; f ' ( x ) < 0 ⇔ 0 < x < 2

=

x3 − 8
x2 x2 + 16

5 5
Suy ra min AB = min f x = f 2 =
≈ 5,5902 m ⇒ Chọn B.
x∈( 0;+∞ )
2
Đặt OA = x > 1 . Vẽ MK ⊥ OA tại K.

( )

( )

( )

Câu 23.

suy ra AK = x − 1, AM =
Ta có

( x − 1)

2

AK
AM
x
=
⇒ AB =
AO
AB
x−1

+ 0,1252 .

( x − 1)

2

+ 0,1252 . Khảo sát hàm trên ta

được AB min = 5 5 km ⇔ x = 1,25 . Vậy chi phí cần là 2,0963 (tỷ đồng) ⇒
8
Chọn C.

( )

Page |

35

Câu 24.
Gọi I là trung điểm BC. R là bán kính đáy hình trụ.
Đặt

MN = x > 0 ⇒ MQ =

V = MQ.π .R 2 =

3
x .
90 − x ;R =
2
2π

(

)

Thể

(

tích

khối

trụ:

)

3 2
13500 3
x 90 − x ⇒ maxV =
cm3 ⇒ Chọn D.
8π
π

(

)

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ BH = CH = a .
2

a
Đặt BM = x  0 < x < ÷
2


Câu 25.

Ta có: MN = 2MH = a − 2x, QM = BM tan600 = x 3

A

Q

P

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
S(x) = (a − 2x)x 3 = a 3x − 2 3x2
S ′(x) = 3(a − 4x), S ′(x) = 0 ⇔ x =
Bảng biến thiên:

a
4

B

M

N

H

0 0

a
⇒ Chọn D.
4
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể, ta sẽ đi tính thể tích

Vị trí điểm M: BM =

Câu 26.

(

)

2
2
2
2
2
2
vật thể V giới hạn bởi hai mặt trụ: x + y = a và x + z = a a > 0

Page |

36

C


Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi
x ∈ 0;a , thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox) tại x là một
hình vuông có cạnh y = a2 − x2 (chính là phần gạch chéo trong hình
vẽ).

Do

đó

diện

tích

thiết

diện

sẽ

là:

( )

S x = a2 − x2 . a2 − x2 = a2 − x2, x ∈ 0;a .
Khi đó áp dụng công thức (*) thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:
a
a

x3  a 16a3
⇒ V = 8∫ S x dx = 8∫ a2 − x2 dx = 8 a2x − ÷ =
⇒ Chọn A.
30
3
0
0


(

( )

)

abc

2
2
2
Câu 27. V = 6 1 − cos α − cos β − cos γ + 2cosα cos β cosγ

·
·
·
Với BAC
= α ;DAC
= β ;BAD
= γ , và AB = a, AC = b, AD = c

3a.6a.9a
27 2 3
1 − cos2 600 − cos2 600 − cos2 60 + 2cos600 cos600 cos600 =
a
6
2
⇒ Chọn A.
uuur
uuuu
r
AB = 1 − m2 ; −m4 + 2m2 − 1 AC = − 1 − m2 ; −m4 + 2m2 − 1

V =

)

(

Câu 28.

)

(

r
1 uuur uuuu
AB, AC = 1 − m2 m4 − 2m2 + 1 =
2
Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔ m = 0 ⇒ Chọn C.
Ta có: z = x + yi → z2 = x2 − y2 + 2xyi

(

Khi đó S =

Câu 29.

()

z = x − yi → z

2

)

( 1− m )
2

5

≤1

= x2 − y2 − 2xyi , z.z = x2 + y2

(

)

2 x2 − y2
4xyi
Khi đó : z1 = 2
; z1 =
. Suy ra z1 là số thuần ảo,
x + y2 + 1
x2 + y2 + 1
z2 là số thuần thực ⇒ Chọn C.
2
2
. Để đồ thị của hàm số có
Câu 30. y ' = 3x − 2(2m + 1)x + m − 3m + 2

hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung thì
. <0
y ' = 6x2 + 2mx − 12 = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa x1 < 0 < x2 ac
⇒ 1 < m < 2 ⇒ Chọn D.

Câu 31.

(

)(

2

 1 + x + 2y + 2 
⇔ 16 ≤ x + 1 2y + 2 ≤ 
÷ , suy ra x + 2y ≥ 5.
2



(

)

Theo giả thiết 7 ≤ x + y + xy ⇔ 16 ≤ 2 x + 1 y + 1

)(

)

Page |

37

2
do ( x − 3y) ≥ 0

2
10xy − 5y2 = 4xy + 2.x.3y − 5y2
≤
4xy + x2 + 9y2 − 5y2 = x + 2y

2
.

( a+b)
do ab≤
4
 2 1
2
2
2
1
≥
x2 + 4y x + y = x + 2y
x + x + 5y = x2 + 4y + x + y

4
4
2
2
2



Suy ra P ≤ ln 1 + x + 2y  − x + 2y . Đặt t = x + 2y ≥ 25.



(

(

)

(

(

(

)

)

Khi đó P ≤ ln 1 + t − t .

()

( )

)

(

(

)

(

)

) (

)

)

()

(

)

Xét hàm số f t = ln 1 + t − t với t ≥ 25, ta có

max f t = f 25 = −25 + ln26 ⇒ Chọn C.
)

25;+∞


Câu 32.

+

Ta

có

20

d O; ( α m )  =

9m 2 + 25 ( 1 − m 2 ) + 16m 2

20
=4
25

=

,

∀m ∈  −1; 1 . Do đó với mọi m thay đổi trên [ −1; 1] thì các mặt phẳng

( αm )

luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O, bán kính R = 4 . Khẳng định (I)
đúng.
r
2
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α m ) là n = 3m; 5 1 − m ; 4m và

r
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Oxz ) là j = ( 0; 1; 0 ) . ( α m ) cắt ( Oxz ) khi
r r
và chỉ khi  n; j  ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 . Khẳng định (II) đúng.
+ Khẳng định (III) sai. ⇒ Chọn A.
Xét hàm số P = 12I − 0,5I 2 với I ≥ 0 . P ' = 12 − I .

)

(

Câu 33.

P ' = 0 ⇔ I = 12. Công suất tối đa của mạch điện là 72(W ) đạt được khi
cường độ dòng điện là 12(A) ⇒ Chọn B.
r
Đường thẳng ∆ đi qua M = 1;1; − 2 và có VTCP u = 1;2;1
Câu 34.
r uuur
uuur

u
MI
=
0;
−
1
;2
Ta có
và , MI  = 5; −2; −1



r uuur
u, MI 


= 5.
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có: IH = d I , AB =
r
u

(

( )

(

(

)

)

(

)

(

)

3
2IH 2 15
⇒R =
=
2
3
3
2
20
⇒ Chọn A.
Vậy phương trình mặt cầu là: x + 1 + y2 + z2 =
3


1
1
x2 − x + 3 ≥ 0
x ≥ −
x ≥ −
2
2



Điều kiện: 2x + 1 ≥ 0
⇔ x ≠ 2 ⇔ x ≠ 2 .
Câu 35.
x3 − 2x2 − x + 2 ≠ 0
x ≠ ±1

x ≠ 1





2
x − x + 3 − 2x + 1
y
=
Ta có
x2 − 3x + 2 x + 1 x2 − x + 3 + 2x + 1
Xét tam giác IAB, có IH = R.

(

(

(

)(

)(

) (

)

)

Page |

)

38

)


=

(x

2

)(

x2 − 3x + 2

)(

− 3x + 2 x + 1

)

x2 − x + 3 + 2x + 1

=

( x + 1) (

1

).

x2 − x + 3 + 2x + 1

y ; lim− y nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
+
Ta có x→lim
x→( −1)
( −1)
1
lim y = lim
=0
x→+∞
x→+∞




Mặt khác
1
1 3
2 1
nên đường
x2  1 + ÷ 1 − + 2 +
+ 2÷

÷

x
x x
x x 

thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → +∞ . lim y
x→−∞

không tồn tại ⇒ Chọn B.

Page |

39