PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG:
o asin2 u + bsinu + c = 0( a ≠ 0) . Đặt t = sin u ,điều kiện −1 ≤ t ≤ 1
o acos2 u + bcosu + c = 0( a ≠ 0) . Đặt t = cosu ,điều kiện −1 ≤ t ≤ 1

o atan2 u + btanu + c = 0( a = 0) . Đặt t = tanu , điều kiện cosu ≠ 0
o acot2 u + bcotu + c = 0( a ≠ 0) . Đặt t = cotu ,điều kiện sinu ≠ 0

Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
1). 2cos2 x − 3cosx + 1 = 0
2). 4sin2 x + 4sin x − 3 = 0
2
4). tan x +

3). sin2 2x − 13sin2x + 5 = 0

(

)

2
5). 4cos x − 2 1+ 3 cosx + 3 = 0

(

)

3 − 1 tanx − 3 = 0

6). cot2 x + 4cotx + 3 = 0

7). cos2x − 3sinx − 2 = 0

8). sin2 x − cosx + 1 = 0
LỜI GIẢI

1). 2cos x − 3cosx + 1 = 0 (1). Đặt cosx = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1) trở
1
thành: 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔ t = 1∨ t = . So với điều kiện nhận cả hai nghiệm.
2
Với t = 1 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = k2π,(k ∈ ¢ )
2


π
 x = 3 + k2π
1
1
π
,(k ∈ ¢ )
Với t = ⇔ cosx = ⇔ cosx = cos ⇔ 
2
2
3
 x = − π + k2π

3
π
π
Kết luận nghiệm của phương trình: x = k2π , x = + k2π , x = − + k2π
3

3
,(k ∈ ¢ )
2). 4sin2 x + 4sin x − 3 = 0 (1). Đặt sin x = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1) trở
1
3
1
∨ t = − . So với điều kiện nhận t = ⇒
2
2
2
π
π
5π
1
⇔ sin x = sin ⇔ x = + k2π ∨ x =
+ k2π,( k ∈ ¢ )
sinx =
6
6
6
2
π
5π
+ k2π,( k ∈ ¢ )
Kết luận nghiệm của phương trình: x = + k2π,x =
6
6
3). sin2 2x − 13sin2x + 5 = 0 (1). Đặt sin2x = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1) trở

thành: 4t2 + 4t − 3 = 0 ⇔ t =

13+ 149
13 − 149
. So với điều kiện nhận
∨t=
2
2
13 − 149
13 − 149
, suy ra : sin2x =
t=
2
2

thành: t2 − 13t + 5 = 0 ⇔ t =



13− 149
arcsin


13− 149
2
x =
+ k2π
+ kπ
 2x = arcsin
2
2


⇔
⇔


13− 149
13− 149

π − arcsin
+ k2π
 2x = π − arcsin
2

2
x =
+ kπ

2
13− 149
= sin α , suy ra sin2x = sin α
2

α
 x = 2 + kπ
 2x = α + k2π
⇔
⇔
,( k ∈ ¢ )
 x = π − α + kπ
 2x = π − α + k2π


2 2

Hoặc đặt

Vậy nghiệm của phương trình:
13− 149
13− 149
arcsin
π − arcsin
2
2
x=
+ kπ ,x =
+ kπ ,( k ∈ ¢ )
2
2

π

2
4). tan x + 3 − 1 tanx − 3 = 0 (1). Đặt tan x = t, x ≠ + kπ ÷.
2



(

)

2
Phương trình (1) trở thành: t +

(

)

3 − 1 t − 3 = 0 ⇔ t = 1∨ t = − 3 .

π
π
Với t = 1 ⇔ tanx = 1 ⇔ tanx = tan ⇔ x = + kπ,(k ∈ ¢ ) .
4
4
 π
π
Với t = − 3 ⇔ tanx = tan  − ÷ ⇔ x = − + kπ ,(k ∈ ¢ ) .
3
 3
So với điều kiện nhận cả hai nghiệm
π
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = + kπ , x = − + kπ,(k ∈ ¢ )
3
4

(

)

2
5). 4cos x − 2 1+ 3 cosx + 3 = 0 (1)

(

)

2
Đặt cosx = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1) trở thành: 4t − 2 1+ 3 t + 3 = 0

1
3
. So với điều kiện hai nghiệm đều nhận
∨t=
2
2

π
 x = 3 + k2π
1
1
π
,( k ∈ ¢ )
Với t = ⇔ cosx = ⇔ cosx = cos ⇔ 
2
2
3
 x = − π + k2π

3


π
 x = 6 + k2π
3
3
π
⇔ cosx =
⇔ cosx = cos ⇔ 
,( k ∈ ¢ )
Với t =
2
2
6
 x = − π + k2π

6
⇔ t=

Vậy nghiệm của phương trình:


x=

π
π
π
π
+ k2π,x = − + k2π x = + k2π,x = − + k2π,( k ∈ ¢ )
3
3

6
6

6). cot2 x + 4cotx + 3 = 0
Đặt cotx = t,( x ≠ kπ ) . Phương trình (1) trở thành:
t2 + 4t + 3 = 0 ⇔ t = −1∨ t = −3
 π
π
Với t = −1 ⇔ cotx = −1 ⇔ cotx = cot  − ÷ ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ )
4
 4
Với t = −3 ⇔ cotx = −3 ⇔ cotx = arccot ( −3) ⇔ x = arccot ( −3) + kπ,( k ∈ ¢ ) .
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = − + kπ , x = arccot ( −3) + kπ,( k ∈ ¢ )
4
7). cos2x − 3sinx − 2 = 0
⇔ 1− 2sin2 x − 3sin x − 2 = 0 ⇔ 2sin2 x + 3sinx + 1 = 0 (1) . Đặt sinx = t,t ∈ [−1;1] .
1
Phương trình (1) trở thành: 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t = −1∨ t = −
2
So với điều kiện hai nghiệm đều nhận.
π
Với t = −1 ⇔ sinx = −1 ⇔ x = − + k2π,( k ∈ ¢ )
2

π
 x = − 6 + k2π ,( k ∈ ¢ )
1
1
 π

Với t = − ⇔ sinx = − ⇔ sinx = sin  − ÷ ⇔ 
2
2
 6
 x = 7π + k2π, k ∈ ¢
(
)

6
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = − + k2π ,
2
π
7π
x = − + k2π,x =
+ k2π,( k ∈ ¢ )
6
6
8). sin2 x − cosx + 1 = 0 (1)
(1) ⇔ 1− cos2 x − cosx + 1 = 0 ⇔ cos2 x + cosx − 2 = 0 (1')
Đặt cosx = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1') trở thành:
t2 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1∨ t = −2 . So với điều kiện nhận t = 1 . Với
t = 1 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = k2π .
Vậy nghiệm của phương trình: x = k2π , (k ∈ ¢ )

Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
1
3
= cotx + 3
1). tan x − cotx =

2).
2
sin2 x

2π 

π
x
3). 5cosx − 2sin + 7 = 0
4). cos 2x + ÷+ 3cos x + ÷+ 1 = 0
3
3
2



3
2
5). 23sin x − sin3x = 24
6). sin x + 3sin x + 2sin x = 0



π

2 π
7). cos  + x ÷+ 4cos − x ÷ = 4
3
6





3
− 2 3cotx − 6 = 0
9).
sin2 x
4cos2 ( 6x − 2) + 16cos2 ( 1− 3x) = 13

11). cos2x − 3cosx = 4cos2

x
2

8). cos4x + 12sin xcosx − 5 = 0
10).

12).


π

π

π
2sin2  2x + ÷− 6sin  x + ÷cos x + ÷+ 2 = 0
3
6
6







13). cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2 x + 1
LỜI GIẢI

π
cosx ≠ 0 x ≠ + kπ
3
⇔
,( k ∈ ¢ )
(1) . Điều kiện 
2
2
sinx ≠ 0
x ≠ kπ

1
3
( 1) ⇔ tan x − tan x = 2 ⇔ 2tan2 x − 3tanx − 2 = 0 ( 1')

1). tan x − cotx =

Đặt tan x = t . Phương trình (1') trở thành: 2t2 − 3t − 2 = 0 ⇔ t = 2∨ t = −
Với t = 2 ⇔ tanx = 2 ⇔ x = arctan2 + kπ,( k ∈ ¢ ) .
Với t = −

1

1
 1
⇔ tan x = − ⇔ x = arctan  − ÷+ kπ ,( k ∈ ¢ ) .
2
2
 2

Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan 2 + kπ,
 1
x = arctan  − ÷+ kπ ,( k ∈ ¢ )
 2
1
= cotx + 3 (1) . Điều kiện sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ
2).
sin2 x
( 1) ⇔ 1+ cot2 x = cotx + 3 ⇔ cot2 x − cotx − 2 = 0 ( 1')
Đặt cotx = t . Phương trình (1') trở thành: t2 − t − 2 = 0 ⇔ t = −1∨ t = 2
π
Với t = −1 ⇔ cotx = −1 ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) .
4
Với t = 2 ⇔ cotx = 2 ⇔ x = arccot2 + kπ,( k ∈ ¢ ) .
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = − + kπ , x = arccot2 + kπ,( k ∈ ¢ )
4
x

x

x
2

3). 5cosx − 2sin + 7 = 0 ⇔ 5 1− 2sin ÷− 2sin + 7 = 0
2
2
2


1
2


x
x
x
+ 2sin − 12 = 0 ( 1) . Đặt t = sin ,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1') trở
2
2
2
6
thành: 5t2 + t − 6 = 0 ⇔ t = 1∨ t = − (loại).
5
x
x π
Với t = 1 ⇔ sin = 1 ⇔ = + k2π ⇔ x = π + k4π ( k ∈ ¢ ) .
2
2 2
Vậy nghiệm của phương trình: x = π + k4π ( k ∈ ¢ )
⇔ 10sin2


2π 


π
4). cos 2x + ÷+ 3cos x + ÷+ 2 = 0
3
3




2π 

π
Các bạn để ý:  2x + ÷ = 2 x + ÷ , nên ta nghĩ ngay đến công thức
3
3


nhân đôi để đưa về phương trình bậc 2 theo cos, ta thực hiện như
sau:

π

π

π

π
⇔ 2cos2  x + ÷− 1+ 3cos x + ÷+ 2 = 0 ⇔ 2cos2  x + ÷+ 3cos x + ÷+ 1 = 0
3
3

3
3





π

π
1
⇔ cos x + ÷ = −1∨ cos x + ÷ = − , cả hai nghiệm này đều nhận.
3
3
2



π
π
2π
• cos x + ÷ = −1 ⇔ x + = π + k2π ⇔ x =
+ k2π ,( k ∈ ¢ ) .
3
3
3



π 2π


π
 x + 3 = 3 + k2π
x = + k2π

π
1

π
2π
• cos x + ÷ = − ⇔ cos x + ÷ = cos
⇔
⇔
3

3
2
3
3


 x + π = − 2π + k2π
x
=
−π
+ k2π


3
3

2π
π
+ k2π,x = + k2π,x = −π + k2π ,( k ∈ ¢ )
Vậy nghiệm của phương trình: x =
3
3

(

)

3
5). 23sin x − sin3x = 24 ⇔ 23sinx − 3sinx − 4sin x = 24

⇔ 4sin x + 20sin x − 24 = 0 (1). Đặt sin x = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1) trở
π
thành: 4t3 + 20t − 24 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k2π,( k ∈ ¢ ) .
2
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = + k2π,( k ∈ ¢ )
2
3
2
6). sin x + 3sin x + 2sin x = 0 ( 1)
3

Đặt sinx = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1) trở thành: t3 + 3t2 + 2t = 0
⇔ t = −1∨ t = −2 ∨ t = 0 , so với điều kiện nhận t = −1∨ t = 0 .
π
Với t = −1 ⇔ sinx = −1 ⇔ x = − + k2π,( k ∈ ¢ )

2
Với t = 0 ⇔ sinx = 0 ⇔ x = kπ,( k ∈ ¢ ) .
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = − + k2π, x = kπ,( k ∈ ¢ )
2



π

2 π
7). cos  + x ÷+ 4cos − x ÷ = 4 ( 1)
3

6

π
 π
 π
π

π

Ta có  + x ÷+  − x ÷ = ⇒ cos − x ÷ = sin  + x ÷
3  6
 2
6 
3

π


π

 + x ÷+ 4sin  + x ÷ = 4 ( 1')
3
3




π

Đặt sin  + x ÷ = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1') trở thành: t2 − 4t + 3 = 0
3

π

⇔ t = 3∨ t = 1 , so với điều kiện nhận t = 1 , suy ra sin  + x ÷ = 1
3


( 1) ⇔ 1− sin

⇔

2

π
π
π

+ x = + k2π ⇔ x = + k2π,( k ∈ ¢ )
3
2
6

Vậy nghiệm của phương trình: x =

π
+ k2π ,( k ∈ ¢ ) .
6

8). cos4x + 12sin xcosx − 5 = 0 ⇔ 1− 2sin2 2x + 6sin2x − 5 = 0
⇔ sin2 2x − 3sin2x + 2 = 0 ⇔ sin2x = 1∨ sin 2x = 2 (loại).
π
π
Với sin2x = 1 ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ,( k ∈ ¢ )
2
4
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ )
4
3
− 2 3cotx − 6 = 0 . Điều kiện sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ,k ∈ ¢
9).
sin2 x
⇔ 3 1+ cot2 x − 2 3cotx − 6 = 0 ⇔ 3cot2 x − 2 3cotx − 3 = 0

(

)

⇔ cotx = −

3
∨ cotx = 3 .
3

Với cotx = −

3
 π
π
⇔ cotx = cot  − ÷ ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ )
3
3
3



π
π
Với cotx = 3 ⇔ cotx = cot ⇔ x = + kπ,( k ∈ ¢ ) .
6
6
π
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = − + kπ , x = + kπ,( k ∈ ¢ )
3
6
2

2
10). 4cos ( 6x − 2) + 16cos ( 1− 3x) = 13 ( 1) . Đặt t = 3x − 1

( 1) ⇔ 4cos

2

2t + 16cos2 ( −t ) = 13 ⇔ 4cos2 2t + 16cos2 t = 13

1+ cos2t
= 13 ⇔ 4cos2 2t + 8cos2t − 5 = 0
2
1
5
⇔ cos2t = ∨ cos2t = − (loại).
2
2
⇔ 4cos2 2t + 16.



 2t =
1
π
Với cos2t = ⇔ cos2t = cos ⇔ 
2
3
 2t =


π

+ k2π
t =
3
⇔
π
t =
+ k2π
3


π
+ kπ
6
π
+ kπ
6


π

 3x − 1 = 6 + kπ
x =
⇔
⇔
 3x − 1 = − π + kπ
x =



6

1 π kπ
+ +
3 18 3 , k ∈ ¢
(
)
1 π kπ
− +
3 18 3
1 π kπ
1 π kπ
,x = − +
,( k ∈ ¢ ) .
Vậy nghiệm của phương trình: x = + +
3 18 3
3 18 3
x
1+ cosx
11). cos2x − 3cosx = 4cos2 ⇔ 2cos2 x − 1 − 3cosx = 4.
2
2
1
⇔ 2cos2 x − 5cosx − 3 = 0 ⇔ cosx = − ∨ cosx = 3 (loại).
2
1
2π
2π
cosx = − ⇔ cosx = cos
⇔ x= ±

+ k2π,( k ∈ ¢ ) .
2
3
3
2π
Vậy nghiệm của phương trình: x = ± + k2π,( k ∈ ¢ ) .
3

π


π


π

2
12). 2sin  2x + ÷− 6sin  x + ÷cos x + ÷+ 2 = 0 ( 1)
3
6
6




(

( 1) ⇔ sin

2

)


π

π

π

π
 2x + ÷− 3sin  2x + ÷+ 2 = 0 ⇔ sin  2x + ÷ = 0∨ sin  2x + ÷ = 2 (loại)
3
3
3
3





.

π
π
π kπ
,( k ∈ ¢ )
Với sin  2x + ÷ = 0 ⇔ 2x + = kπ ⇔ x = − +
3
3

6 2


π kπ
,( k ∈ ¢ ) .
Vậy nghiệm của phương trình: x = − +
6 2
2
13). cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos x + 1 ( 1)

Biến đổi tích về tổng được:
1
1
cos4x + cos6x) = ( cos2x + cos6x) + 3cos2 x + 1 ⇔ cos4x = cos2x + 6cos2 x + 2
(
2
2
Sau đó sử dụng công thức nhân đôi và hạ bậc:
⇔ 2cos2 2x − 1 = cos2x + 3( 1+ cos2x) + 2 ⇔ 2cos2 2x − 4cos2x − 6 = 0 ( 1') .
Đặt cos2x = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1') trở thành: 2t2 − 4t − 6 = 0
⇔ t = −1∨ t = 3 . So với điều kiện nhận t = −1 , suy ra:
π
cos2x = −1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = + kπ ,( k ∈ ¢ )
2
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ )
2
Câu 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

 2
1 

1 
1). 4 sin x +
÷+ 4 sinx +
÷− 7 = 0
2
sinx
sin
x





4


2

2
− cosx ÷− 1 = 0
2). 2 cos x +
÷+ 9
2
cos x 

 cosx


(

)

2
2
3). 3 tan x + cot x + 4( tanx + cotx) + 2 = 0

4). tan x + tan x + tan3 x + cotx + cot2 x + cot3 x = 6
LỜI GIẢI
 2
1 

1 
1). 4 sin x +
÷+ 4 sinx +
÷− 7 = 0 ( 1)
sinx 
sin2 x 


2

2

Đặt t = sin x +

1


1 
1
2
⇔ t2 =  sinx +
= t2 − 2
÷ ⇒ sin x +
2
sin x
sin x 
sin x


5
3
− 2 + 4t − 7 = 0 ⇔ 4t2 + 4t − 15 = 0 ⇔ t = − ∨ t = .
2
2
1
5
5
• Với t = − : sinx +
= − ( 2) , đặt u = sinx,u ∈ [−1;1]/ {0}
sinx
2
2
1
( 2) ⇔ 2u2 + 5u + 2 = 0 ⇔ u = − 2 ∨ u = −2 (loại).

π
 x = − 6 + k2π

1
1
 π
∗ u = − ⇔ sin x = − ⇔ sin x = sin  − ÷ ⇔ 
( k∈ ¢)
2
2
 6
 x = 7π + k2π

6
1
3
3
• Với t =
⇔ sin x +
= ( 3) , đặt v = sinx,v ∈ [−1;1]/ {0}
sin x 2
2

( 1) ⇔ 4( t

)

2

( 3) ⇔ 2v

2

− 3v + 2 = 0 (phương trình vô nghiệm).

π
7π
+ k2π ,( k ∈ ¢ ) .
Vậy nghiệm của phương trình: x = − + k2π,x =
6
6

4 
 2

2
− cosx ÷− 1 = 0 ( 1)
2). 2 cos x +
÷+ 9
2
cosx
cos
x




2

Đặt t =

2
 2


4
− cosx ⇒ t2 = 
− cosx ÷ ⇒ cos2 x +
= t2 + 4
cosx
cos2 x
 cosx


( 1) ⇔ 2( t

2

)

+ 4 + 9t − 1 = 0 ⇔ 2t2 + 9t + 7 = 0 ⇔ t = −1∨ t = −

Với t = −1 ⇔

7
2

2
− cosx = −1 ⇔ cos2 x − cosx − 2 = 0 ⇔ cosx = −1∨ cosx = 2 (loại).
cosx

• cosx = −1 ⇔ x = π + k2π ,( k ∈ ¢ ) .

Với t = −

7
2
7
1
⇔
− cosx = − ⇔ 2cos2 x − 7cosx − 4 = 0 ⇔ cosx = − hoặc
2
cosx
2
2

cosx = 4 (loại).


• cosx = −

1
2π
⇔ x= ±
+ k2π ,( k ∈ ¢ ) .
2
3

Vậy nghiệm của phương trình: x = π + k2π, x = ±

(

)

2
2
3). 3 tan x + cot x + 4( tanx + cotx) + 2 = 0 ( 1)

2π
+ k2π ,( k ∈ ¢ )
3

Đặt t = tanx + cotx ⇒ t2 = ( tan x + cotx) ⇒ tan2 x + cot2 x = t2 − 2
2

( 1) ⇔ 3( t

2

)

− 2 + 4t + 2 = 0 ⇔ 3t2 + 4t − 4 = 0 ⇔ t = −2∨ t =

• Với t = −2 ⇔ tanx + cotx = −2 ⇔ tanx +

2
3

1
= −2 ⇔ tan2 x + 2tanx + 1 = 0
tanx

 π
π

⇔ tanx = −1 ⇔ tan x = tan  − ÷ ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) .
4
4


2
2
• Với t = ⇔ tan x + cotx =
3
3
1
2
⇔ tanx +
= ⇔ 3tan2 x + 2tan x + 3 = 0 (phương trình vô nghiệm).
tan x 3
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) .
4
2
3
2
3
tan
x
+
tan
x
+
tan
x

+
cotx
+
cot
x
+
cot
x = 6 ( 1)
4).

Đặt t = tanx + cotx .
Có: tan2 x + cot2 x = ( tan x + cotx) − 2tan xcotx = t2 − 2 .
2

Có: tan3 x + cot3 x = ( tanx + cotx) − 3tanx.cotx ( tan x + cotx) = t3 − 3t .
3

( 1) ⇔ ( tanx + cotx) + ( tan

2

) (

)

x + cot2 x + tan3 x + cot3 x = 6 .

⇔ t + t2 − 2 + t3 − 3t = 6 ⇔ t3 + t2 − 2t − 8 = 0 ⇔ t = 2 .
1
= 2 ⇔ tan2 x − 2tanx + 1 = 0

Với t = 2 ⇔ tanx + cotx = 2 ⇔ tan x +
tanx
π
π
⇔ tanx = 1 ⇔ tanx = tan ⇔ x = + kπ,( k ∈ ¢ ) .
4
4
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ ) .
4

Câu 4: Giải các phương trình lượng giác sau:
15
1
3
1). sin4 + cos4 x − 2sin2x + sin2 2x = 0
2). cos6 2x + sin6 2x = cos4x −
8
2
4
5
3). sin4 x + cos4 x = 1
4).
3

π

3π  1
sin4 x + cos4 x + cos x − ÷sin  x − ÷ =
5). sin4 x + cos2x + 4sin6 x = 0

4
4 2


6). cos8x + sin3 xcosx − cos3 xsin x − 1 = 0


LỜI GIẢI
3
1). sin + cos x − 2sin2x + sin2 2x = 0 ( 1)
4

1 2 
3
1
⇔  1− sin 2x ÷− 2sin 2x + sin2 2x = 0 ⇔ sin2 2x − 2sin2x + 1 = 0 ( 1')
2
4
4


4

4

1
Đặt sin2x = t,t ∈ [−1;1] . Phương trình (1') trở thành: t2 − 2t + 1 = 0
4
.
So

với
điều
kiện
nhận
⇔ t = 4+ 2 3 ∨ t = 4 − 2 3
t = 4− 2 3 ⇒
sin2x = 4 − 2 3

(

)


arcsin 4 − 2 3
x =
 2x = arcsin 4 − 2 3 + k2π
+ kπ ,( k ∈ ¢ )

2
⇔
⇔

π − arcsin 4 − 2 3

 2x = π − arcsin 4 − 2 3 + k2π
+ kπ ,( k ∈ ¢ )
x =

2

(

(

)

)

(

)

Vậy nghiệm của phương trình:
x=

(

) + kπ,x = π − arcsin ( 4− 2 3) + kπ,( k ∈ ¢ ) .

arcsin 4 − 2 3
2

2
15
1
2). cos6 2x + sin6 2x = cos4x −
( 1)
8
2
3

15
1
3 1− cos4x 15
1
( 1) ⇔ 1− 4 sin2 2x = 8 cos4x − 2 ⇔ 1− 4 × 2 = 8 cos4x − 2
3
⇔ 8 − 3( 1− cos4x) = 15cos4x − 4 ⇔ cos4x =
4
3
1
3 kπ
⇔ 4x = ± arccos + k2π ⇔ x = ± arccos +
( k∈ ¢)
4
4
4 2
1
3 kπ
Vậy nghiệm của phương trình: x = ± arccos + ( k ∈ ¢ ) .
4
4 2
2
2
5
5
3). sin4 x + cos4 x = 1 ⇔ sin2 x + cos2 x = 1
3
3

(

2

)

2

(

)

 1− cos2x  5  1+ cos2x 
⇔
÷ + 
÷ = 1 ( 1) . Đặt cos2x = t,t ∈ [−1;1]
2
2

 3

2
2
1− 2t + t 5 1+ 2t + t
1
( 1) ⇔ 4 + 3 × 4 = 1 ⇔ 8t2 + 4t − 4 = 0 ⇔ t = −1∨ t = 2 .
π
Với t = −1 ⇔ cos2x = −1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = + kπ ,( k ∈ ¢ )
2

π


π
 2x = 3 + k2π
 x = 6 + kπ
1
1
⇔
,( k ∈ ¢ )
Với t = ⇔ cos2x = ⇔ 
2
2
 2x = − π + k2π
 x = − π + kπ


3
6


π
π
π
+ kπ , x = + kπ ,x = − + kπ ,( k ∈ ¢ )
6
6
2

π



3
π

1
4
4
4). sin x + cos x + cos x − ÷sin  x − ÷ =
4
4 2



Vậy nghiệm của phương trình: x =

 1

1
 1  π 
1
1
1
⇔  1− sin2 2x ÷+ sin  − ÷+ sin ( 2x − π )  = ⇔ 1− sin2 2x + ( −1− sin2x) =
2
2
2
2

 2   2
 2
⇔ sin2 2x + sin2x = 0 ⇔ sin2x = 0∨ sin2x = −1

kπ
,( k ∈ ¢ )
Với sin2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =
2
π
π
Với sin2x = −1 ⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) .
2
4
kπ
π
Vậy nghiệm của phương trình: x =
, x = − + kπ ,( k ∈ ¢ )
2
4

(

)

(

2

)

3

5). sin4 x + cos2x + 4sin6 x = 0 ⇔ sin2 x + cos2x + 4 sin2 x = 0
2

3

 1− cos2x 
 1− cos2x 
⇔
÷ + cos2x + 4
÷ = 0 (1). Đặt cos2x = t,t ∈ [−1;1] .
2
2




2

3

 1− t 
 1− t 
Phương trình (1) trở thành: 
÷ + t + 4
÷ =0
 2 
 2 
⇔ 2t3 − 7t2 + 4t − 3 = 0 ⇔ t = 3 (loại).

Kết luận phương trình vô nghiệm.
3
3

6). cos8x + sin xcosx − cos xsin x − 1 = 0 ( 1)
1
x − cos2 x − 1 = 0 ⇔ cos8x − sin2xcos2x − 1 = 0
2
1
1
1
2
2
⇔ 1− 2sin 4x − sin4x − 1 = 0 ⇔ 2sin 4x + sin 4x = 0 ⇔ sin 4x = 0 ∨ sin 4x = −
4
4
8
kπ
,( k ∈ ¢ ) .
Với sin4x = 0 ⇔ 4x = kπ ⇔ x =
4

( 1) ⇔ cos8x + sinxcosx ( sin

2

)

Với



 1
 4x = arcsin  − ÷+ k2π

x =
1
 8

sin4x = − ⇔
⇔


8
 1
 4x = π − arcsin  − ÷+ k2π
x =
 8



Vậy nghiệm của phương trình: x =
x=

1
 1  kπ
arcsin  − ÷+
4
 8 2
π 1
 1  kπ
− arcsin  − ÷+
4 4
 8 2

1
 1  kπ
kπ
,
, x = arcsin  − ÷+
4
4
 8 2

π 1
 1  kπ
− arcsin  − ÷+
,( k ∈ ¢ )
4 4
 8 2

Câu 5: Giải các phương trình lượng giác sau:

,( k ∈ ¢ )


(

)

2

π
1). sin2x + 3cos2x = 2cos 2x − ÷
6



x
2). cotx +  1+ tanxtan ÷sinx = 4
2

2
− 4sin2x
3). cotx − tanx =
sin 2x

π

π
4). 2 ( 2sinx − 1) = 4( sinx − 1) − cos 2x + ÷− sin  2x + ÷
4
4


cos2x
1
+ sin2 x − sin2x ( ĐH khối A 2003)
5). cotx − 1 =
1+ tanx
2
2
6). 5sin x − 2 = 3( 1− sin x) tan x (ĐH khối B 2004)

7). cos2 3xcos2x − cos2 x = 0 (ĐH khối A 2005).


π

π 3
4
4
8). sin x + cos x + cos x − ÷sin  3x − ÷− =0 (ĐH khối D 2005).
4
4 2



( 1+ sinx + cos2x) sin  x + π4 ÷

 = 1 cosx (ĐH khối A 2010).
2
sin4 x + cos4 x 1
1
= cot2x −
10).
(1) [Dự bị 2 ĐH02]
5sin2x
2
8sin2x
2
11). cotx − tanx + 4sin 2x =
.[ĐH B03]
sin2x

9).

1+ tanx



12). 3cos4x − 8cos6 x + 2cos2 x + 3 = 0 (1) [Dự bị 1 ĐH B03]
2cos4x
13). cotx = tanx +
[Dự bị 2 ĐH D03]
sin 2x
LỜI GIẢI
2

π
1). sin2x + 3cos2x = 2cos 2x − ÷ ( 1)
6


(

)

2

1

3

π
( 1) ⇔ 4 2 sin2x + 2 cos2x÷÷ = 2cos 2x − 6 ÷





2


π
π

π
⇔ 4 cos2xcos + sin 2xsin ÷ = 2cos 2x − ÷
6
6
6




π

π

π

π 1
⇔ 2cos2  2x − ÷− cos 2x − ÷ = 0 ⇔ cos 2x − ÷ = 0∨ cos 2x − ÷ =
6
6
6
6 2






π
π π
π kπ
,( k ∈ ¢ )
Với cos 2x − ÷ = 0 ⇔ 2x − = + kπ ⇔ x = +
6
6 2
3 2




π π

π
 2x − 6 = 3 + k2π
 x = 4 + kπ

π 1
⇔
,( k ∈ ¢ )
Với cos 2x − ÷ = ⇔ 
6 2

 2x − π = − π + k2π

 x = − π + kπ

6
3
12

π kπ
π
π
+
, x = + kπ,x = − + kπ,( k ∈ ¢ )
3 2
4
12

sinx ≠ 0


x
2). cotx +  1+ tanxtan ÷sinx = 4 ( 1) . Điều kiện cosx ≠ 0
2


x
cos ≠ 0

2

Vậy nghiệm của phương trình: x =

x
Ta có: 1+ tan xtan = 1+
2
cosx

x
x
x cos x − x 
cosxcos + sin xsin

2÷

= 1
2=
2
2=
x
x
x cosx
cosxcos
cosxcos
cosxcos
2
2
2
sinxsin

sinx

( 1) ⇔ sinx + cosx = 4 ⇔ cos


 2x =
1
⇔ sin 2x = ⇔ 
2
 2x =


2

x + sin2 x = 4sinxcosx ⇔ 2sin 2x = 1

π
+ k2π
6
⇔
5π
+ k2π
6


π
 x = 12 + kπ
,( k ∈ ¢ )

 x = 5π + kπ

12
π
5π

+ kπ ,( k ∈ ¢ )
Vậy nghiệm của phương trình: x = + kπ,x =
12
12
2
kπ
− 4sin 2x ( 1) . Điều kiện sin2x ≠ 0 ⇔ x ≠
3). cotx − tanx =
sin 2x
2
cosx sin x
2
cos2 x − sin2 x
2
( 1) ⇔ sinx − cosx = sin 2x − 4sin2x ⇔ sinxcosx = sin2x − 4sin 2x
2cos2x
2
⇔
=
− 4sin 2x
⇔ 2cos2x = 2 − 4sin2 2x
sin2x sin 2x

(

⇔ cos2x = 1− 2 1− cos2 2x

)

⇔ 2cos2 2x − cos2x − 1 = 0

1
.
2
Với cos2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ,( k ∈ ¢ ) (loại)
⇔ cos2x = 1∨ cos2x = −


2π

π
 2x = 3 + k2π
 x = 3 + kπ
1
2π
⇔
,( k ∈ ¢ )
Với cos2x = − ⇔ cos2x = cos ⇔ 
2
3
 2x = − 2π + k2π
 x = − π + kπ
3
3



Vậy nghiệm của phương trình: x =

π

π
+ kπ ,x = − + kπ ,( k ∈ ¢ )
3
3



π

π
2 ( 2sinx − 1) = 4( sinx − 1) − cos 2x + ÷− sin  2x + ÷ ( 1)
4
4




π

π 
⇔ 2 ( 2sin x − 1) = 4( sin x − 1) − cos 2x + ÷+ sin  2x + ÷
4
4 




π π
⇔ 2 ( 2sin x − 1) = 4( sin x − 1) − 2cos  2x + − ÷
4 4



4).

⇔ 2 ( 2sin x − 1) = 4( sin x − 1) − 2cos2x

(

⇔ 2 ( 2sin x − 1) = 4( sin x − 1) − 2 1− 2sin2 x

(

)

)

⇔ 2 2sin2 x + 2 2 − 2 sinx − 4 = 0
⇔ sin x = 1∨ sinx = − 2 (loại).
π
Với sinx = 1 ⇔ x = + k2π,( k ∈ ¢ )
2
π
+ k2π ,( k ∈ ¢ )
2
cosx ≠ 0
cos2x
1
2
cotx
−

1
=
+
sin
x
−
sin2x
1
5).
( ) . Điều kiện sinx ≠ 0
1+ tan x
2
1+ tan x ≠ 0


Với Vậy nghiệm của phương trình: x =

cosx
cos2 x − sin2 x
− 1=
+ sin2 x − sinxcosx
sin x
sin x
1+
cosx
cosx
( cosx − sinx) ( cosx + sinx) + sinx sin x − cosx
cosx − sinx
⇔
=

(
)
sin x
cosx + sin x
cosx − sinx
⇔
= cosx ( cosx − sin x) − sinx ( cosx − sinx)
sin x
 1

⇔ ( cosx − sinx) 
− cosx + sinx ÷ = 0
 sin x

⇔

1
− cosx + sinx = 0
sin x

π
π π
π
Với cosx − sin x = 0 ⇔ 2cos x + ÷ = 0 ⇔ x + = + kπ ⇔ x = + kπ ,( k ∈ ¢ ) .
4
4 2
4


1

1
1− cos2x
− cosx + sin x = 0 ⇔ 1− sin xcosx + sin2 x = 0 ⇔ 1− sin 2x +
=0
Với
sinx
2
2
⇔ cosx − sinx = 0∨


π

π 3 2
⇔ sin 2x + cos2x = 3 ⇔ 2sin  2x + ÷ = 3 ⇔ sin  2x + ÷ =
(vô nghiệm).
4
4
2



π
Vậy nghiệm của phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ )
4
2
5sin
x
−
2

=
3
1
−
sin
x
tan
x
1
(
)
( ) . Điều kiện: cosx ≠ 0 .
6).


sin2 x
.
cos2 x
sin2 x
⇔ 5sinx − 2 = 3( 1− sinx)
.
1− sin2 x
sin2 x
⇔ 5sinx − 2 = 3( 1− sinx)
( 1− sinx) ( 1+ sin x) .
⇔ 5sinx − 2 = 3( 1− sinx)

⇔ 5sinx − 2 = 3.

sin2 x

.
1+ sinx

1
hoặc sinx = −2 ( vô nghiệm).
2

π
 x = 6 + k2π
1
π
,( k ∈ ¢ ) , so với điều kiện thỏa.
Với sinx = ⇔ sinx = sin ⇔ 
2
6
 x = 5π + k2π

6
π
5π
+ k2π,( k ∈ ¢ )
Vậy nghiệm của phương trình: x = + k2π,x =
6
6
⇔ 2sin2 x + 3sin x − 2 = 0 ⇔ sinx =

2
2
7). cos 3xcos2x − cos x = 0 ( 1) (ĐH khối A 2005).

1+ cos6x
1+ cos2x
.cos2x −
= 0 ⇔ ( 1+ cos6x) cos2x − ( 1+ cos2x) = 0
2
2
1
cos6xcos2x − 1 = 0 ⇔ ( cos4x + cos8x) − 1 = 0 ⇔ cos4x + cos8x − 2 = 0
2
3
2
⇔ 2cos 4x + cos4x − 3 = 0 ⇔ cos4x = 1∨ cos4x = − (loại).
2
kπ
,( k ∈ ¢ ) .
Với cos4x = 1 ⇔ 4x = k2π ⇔ x =
2
kπ
,( k ∈ ¢ )
Vậy nghiệm của phương trình: x =
2

π

π 3
4
4
8). sin x + cos x + cos x − ÷sin  3x − ÷− =0 ( 1) (ĐH khối D 2005).
4
4 2




( 1) ⇔

1

π  3
2x + sin 2x + sin  4x − ÷ − = 0
2
2  2

1
1
3
⇔ 1− sin2 2x + ( sin2x − cos4x) − = 0
2
2
2
1

( 1) ⇔ 1− 2 sin

2

(

)

2

2
⇔ − sin2 2x + sin 2x − cos4x − 1 = 0 ⇔ − sin 2x + sin2x − 1− 2sin 2x − 1 = 0

⇔ sin 2x = 1 hoặc sin2x = −2 (loại).
⇔ sin 2x + sin2x − 2 = 0
π
π kπ
,( k ∈ ¢ ) .
Với sin2x = 1 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = +
2
4 2
π kπ
,( k ∈ ¢ ) .
Vậy nghiệm của phương trình: x = +
4 2
2


( 1+ sinx + cos2x) sin  x + π4 ÷

 = 1 cosx (ĐH khối A 2010).
2

π
x ≠ 2 + kπ
cosx ≠ 0
cosx ≠ 0
⇔
⇔
,( k ∈ ¢ )

Điều kiện 
1+ tan x ≠ 0 tanx ≠ −1 x ≠ − π + kπ

4

π
( 1+ sin x + cos2x) sin  x + 4 ÷ 1

=
⇔
cosx .
sinx
2
1+
cosx
cosx ( 1+ sin x + cos2x) sinx + cosx
1
⇔
.
=
cosx .
sin x + cosx
2
2
1
⇔ 1+ sin x + cos2x = 1 ⇔ −2sin2 x + sin x + 1 = 0 ⇔ sin x = − ∨ sinx = 1 (loại).
2
1
 π
π

7π
+ k2π ,( k ∈ ¢ )
Với sinx = − ⇔ sinx = sin  − ÷ ⇔ x = − + k2π ∨ x =
2
6
6
 6

9).

1+ tanx



So với điều kiện nghiệm của phương trình
π
7π
x = − + k2π ∨ x =
+ k2π ,( k ∈ ¢ ) .
6
6
10).

sin4 x + cos4 x 1
1
= cot2x −
(1) [Dự bị 2 ĐH02]
5sin2x
2
8sin2x

LỜI GIẢI
Điều kiện : sin2x ≠ 0
sin4 x + cos4 x 1 cos2x
1
⇔
= .
−
⇔ 8 sin4 x + cos4 x = 20cos2x − 5
5sin 2x
2 sin2x 8sin 2x

1

⇔ 8 1− sin2 2x ÷ = 20cos2x − 5 ⇔ 8 − 4 1− cos2 2x = 20cos2x − 5
2


1
9
⇔ 4cos2 2x − 20cos2x + 9 = 0 ⇔ cos2x =
(nhận) hoặc cos2x = (loại).
2
2

π

π
 2x = 3 + k2π
 x = 6 + kπ

1
π
⇔
,( k ∈ ¢ )
Với cos2x = ⇔ cos2x = cos ⇔ 
2
3
 x = − π + k2π
 x = − π + kπ


3
6
π
π
Vậy nghiệm của phương trình: x = + kπ,x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) .
6
6
2
11). cotx − tanx + 4sin 2x =
.[ĐH B03]
sin2x
LỜI GIẢI

(

(

)

)


2
(1)
sin2x
Điều kiện : sin2x ≠ 0
cosx sinx
2
−
+ 4sin 2x =
(1) ⇔
sin x cosx
sin2x
cotx − tanx + 4sin 2x =

⇔

cos2 x − sin2 x
2
+ 4sin 2x =
sinxcosx
sin2x

(

)

⇔ 2cos2x + 4 1− cos2 2x = 2 .

⇔ 2cos2x + 4sin2 2x = 2

 x = kπ
cos2x = 1

⇔ 2cos2 x − cos2x − 1 = 0 ⇔ 
⇔
,( k ∈ ¢ )
 x = ± π + kπ
cos2x = − 1

2
3

π
Vậy nghiệm của phương trình: x = kπ,x = ± + kπ,( k ∈ ¢ ) .
3
6
2
12). 3cos4x − 8cos x + 2cos x + 3 = 0 (1) [Dự bị 1 ĐH B03]
LỜI GIẢI

( 1) ⇔ 3cos4x − 8( cos x)
2

3

+ 2cos2 x + 3 = 0 .
3

 1+ cos2x 
⇔ 3 2cos 2x − 1 − 8
÷ + ( 1+ cos2x) + 3 = 0
2


t
=
cos2x,t
∈
[
−
1;1]
Đặt

(

(

)

2

)

⇔ 3 2t2 − 1 − ( 1+ t ) + t + 4 = 0 ⇔ t3 − 3t2 + 2t = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 1∨ t = 2 (loại).
3

π
π kπ

+ kπ ⇔ x = +
,( k ∈ ¢ ) .
2
4 2
Với t = 1 ⇔ cos2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ,( k ∈ ¢ ) .

Với t = 0 ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2x =

Kết luận nghiệm của phương trình x =
13). cotx = tanx +

π kπ
+
, x = kπ,( k ∈ ¢ )
4 2

2cos4x
[Dự bị 2 ĐH D03]
sin 2x

LỜI GIẢI
cotx = tanx +

2cos4x
sin 2x

(1)

Điều kiện : sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ x ≠
2cos4x

sin 2x
cosx sinx
cos4x
⇔
−
=
sin x cosx sinxcosx
⇔ cos2x = cos4x

kπ
,( k ∈ ¢ )
2

(1) ⇔ cotx − tanx =

1
⇔ cos2x = − ∨ cos2x = 1
2

⇔ cos2 x − sin2 x = cos4x
⇔ 2cos2 2x − cos2x − 1 = 0


Với cos2x = −

1
π
⇔ x = ± + kπ;( k ∈ ¢ )
2
3

Với cos2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ,( k ∈ ¢ )
π
So với điều kiện nghiệm của phương trình x = ± + kπ;( k ∈ ¢ )
3