một số phương pháp tinh tích phân

Baứi 04
MOT SO PHệễNG PHAP TNH TCH PHAN
1. Phng phỏp i bin s
a) Phng phỏp i bin s loi 1
b

Gi s cn tớnh tớch phõn I = ũ f ( x) dx ta thc hin cỏc bc sau:
a

ự
Bc 1. t x = u( t) (vi u( t) l hm cú o hm liờn tc trờn [ a;b] , f ộ
ởu( t) ỷ
xỏc nh trờn [ a;b] v u( a ) = a, u( b) = b ) v xỏc nh a, b .
b

b

ự
Bc 2. Thay vo, ta cú I = ũ f ộ
ởu( t) ỷ.u'( t) dt = ũ g( t) dt = G ( t)
a

b
a

= G ( b) - G ( a ) .

a

Mt s dng thng dựng phng phỏp i bin s loi 1
Du hiu

Cỏch chn

a2 - x2

ộ
ờx = a sin t t ẻ
ờ
ờ
ờx = a cost t ẻ
ờ
ở

x2 - a2

ộ
a
ờx =
ờ sin t
ờ
ờ
ờx = a
ờ
ờ cost
ở

x2 + a2

x = a tan t

ộ p pự
ờ- ; ỳ
ờ
ỳ
ở 2 2ỷ

[ 0;p]

ộ p pự
t ẻ ờ- ; ỳ\ { 0}
ờ 2 2ỷ
ỳ
ở
ùỡ p ùỹ
t ẻ [ 0;p] \ ớ ý
ùợù 2ùỵ
ù
ổ p pử
tẻ ỗ
- ; ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2 2ứ

b) Phng phỏp i bin s loi 2
Tng t nh nguyờn hm, ta cú th tớnh tớch phõn bng phng phỏp i
bin s (ta gi l loi 2) nh sau:
b

ự
tớnh tớch phõn I = ũ f ( x) dx nu f ( x) = gộ
ởu( x) ỷ.u'( x) , ta cú th thc hin
a

phộp i bin nh sau:
Bc 1. t t = u( x) ị dt = u'( x) dx .
ỡù x = a ị t = u( a)
ù
.
i cn ớ
ùù x = b ị t = u( b)
ợ
u(b)

Bc 2. Thay vo ta cú I = ũ g( t) dt = G ( t)
u(a)

u( b)

.

u( a)

2. Phng phỏp tớch phõn tng phn
Cho hai hm s u v v liờn tc trờn [ a;b] v cú o hm liờn tc trờn [ a;b] .
b

Khi ú:

b

ũudv = uv a

a

b

ũvdu.
a

Mt s tớch phõn cỏc hm s d phỏt hin u v dv
b

Dng 1

ũ f ( x) ln ộởg( x) ựỷdx
a

ùỡù u = ln ộg( x) ự
ở
ỷ
t ớ
ùù dv = f ( x) dx
ùợ


ỡù u = f ( x)
ùù

ùù
ộsin ax ự
ờ
ỳ
t ùớ
ùù dv = ờcosaxỳdx
ờ
ỳ
ùù
ờ ax ỳ
ùù
e
ờ
ỳ
ở
ỷ
ợ

ộsin ax ự
ờ
ỳ
ũ f ( x) ờờcosaxỳỳdx
ờ ax ỳ
a
ờe
ỳ
ở
ỷ
b

Dng 2

b

Dng 3

ũe

ax

a

ỡù
ộ
ự
ùù u = ờsin ax ỳ
ù
ờ
ỳ
t ớ
ởcosaxỷ
ùù
ùùợ dv = eaxdx

ộsin ax ự
ờ
ỳdx
ờcosaxỳ
ở
ỷ

u tiờn t u theo quy tc '' nht log, nhỡ a, tam lng, t m '' . Tc
l trong hm s di du tớch phõn hp bi 2 trong 4 hm s trờn thỡ ta t u
theo th t u tiờn nh trờn, cũn li thỡ t l dv.

CAU HOI TRAẫC NGHIEM
Vn 1.1. PHNG PHP I BIN S LOI 1
8

Cõu 1. Cho tớch phõn I = ũ 16- x2 dx v x = 4sin t . Mnh no sau õy
0

ỳng?
p
4

p
4

A. I = - 16 cos2 tdt.
ũ

B. I = 8 ( 1+ cos2t)dt .
ũ

0

0

p

4

p
4

C. I = 16 sin2 tdt.
ũ

D. I = 8 ( 1- cos2t)dt .
ũ

0

0

ùỡù dx = 4costdt
.
Li gii. Vi x = 4sin t , suy ra ớ
ùù 16- x2 = 16- 16sin2 t = 16cos2 t = 4 cost
ùợ
ùỡù x = 0 đ t = 0
ù
.
i cn: ớ
ùù x = 8 đ t = p
ùợ
4
p
4

p
4

p
4

0

0

Khi ú I = 16 cost costdt = 16cos2 tdt = 8 ( 1+ cos2t)dt. Chn B.
ũ
ũ
ũ
0

1

Cõu 2. Cho tớch phõn I = ũ
0

p
6

A. I = dt .
ũ
0

dx
4- x2

p
6

B. I = tdt .
ũ
0

v x = 2sin t . Mnh no sau õy ỳng?
p
6

C. I = dt .
ũt
0

p
3

D. I = dt .
ũ
0

ùỡù dx = 2costdt
.
Li gii. Vi x = 2sin t , suy ra ớ
ùù 4- x2 = 4- 4sin2 t = 2 cos2 t = 2 cost
ùợ
p
p

p
ùỡù x = 0 đ t = 0
6
6
6
ù
. Vy I = 2cost dt = 2cost dt = dt. Chn A.
i cn: ớ
p
ùù x = 1đ t =
ũ 2 cost
ũ 2cost
ũ
ùợ
0
0
0
6
2

p
2

Cõu 3. Bin i tớch phõn I = ũ 5+ 4x - x dx thnh tớch phõn I = f ( t) dt vi
ũ
2

- 1

cỏch t x = 2- 3sin t . Khng nh no sau õy l ỳng?

0


2
A. f ( t) = 9sin t.

2
B. f ( t) = - 9cos t.

9
C. f ( t) = ( 1+ cos2t) .
2

9
D. f ( t) = ( 1- cos2t) .
2
2

2

2

2
2
Lời giải. Tích phân viết lại I = ò 5+ 4x - x dx = ò 3 - ( 2- x) dx.
- 1

- 1

ìï
ïï x = - 1® t = p
ìï 2- x = 3sin t
® ïí
Với x = 2- 3sin t ¾¾
. Đổi cận: í
2.
ïïî dx = - 3costdt
ïï
îï x = 2 ® t = 0
0

p
2

p
2

0

0

2
2
Khi đó I = - 3ò 9- 9sin t.costdt = 3ò 9cos t.costdt = 9ò cost .costdt.
p
2

p
2

p
2

9
= 9ò cos2 tdt = ò( 1+ cos2t) dt . Chọn C.
20
0
3

1
dx và x = 3tan t . Mệnh đề nào sau đây
2
x
+3
3

Câu 4. Cho tích phân I = ò
đúng?
p
3

A. I = 3ò dt.
p
4

p
3

3 dt

.
B. I =
3 ò
t
p

p
3

3
tdt.
C. I =
3 ò
p

4

p
3

3
dt.
D. I =
3 ò
p

4

4

Lời giải. Với x = 3tan t , suy ra dx = 3( 1+ tan t) dt.
ìï
p
p
ïï x = 3 ® t = p
2
3
3
3
1
+
tan
t
d
t
(
)
3
ï
4
. Khi đó I = ò
=
dt. Chọn D.
Đổi cận: ïí
2
ò
ïï
p
3tan t + 3
3 p

p
ïï x = 3 ® t =
4
4
3
îï
2

2

Câu 5. Cho tích phân I = ò
1

x2 - 1
1
dx và x =
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
x
sin t

p
2

p
2

2
A. I = ò sin tdt.

2
B. I = ò cos tdt.

p
2

p
2

p
4

C. I = ò( 1+ cos2t) dt.
p
4

p
4

D. I = ò( 1- cos2t) dt.
p
4

ìï
ïï dx = - cos2t dt
ïï
sin t
1
.
Lời giải. Với x =

, suy ra í
ïï
cost
1
cos2 t
sin t
2
- 1=
=
ïï x - 1 =
sin2 t
sin2 t
sin t
ïïî
ìï
p cost
p cost
ïï x = 1® t = p
4
2
ï
2 .
sin t cost
sin t cost
Đổi cận: ïí
Khi đó I = - ò
.
d
t
=

.
dt
2
ò
ïï
p
1
1 sin2 t
sin t
p
p
ïï x = 2 ® t =
3
3
2 sin t
4 sin t
4
ïî
p
2

= ò cos2 tdt =
p
4

p
2

1
( 1+ cos2t) dt. Chọn B.

2ò
p
4


Vấn đề 1.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2
Câu 6. Cho hàm số f ( x) có nguyên hàm trên ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1

A.

1

a

ò f ( x) dx = ò f ( 1- x) dx.
0

0

p

C.

B.

- a

p

ò f ( sin x) dx = -

0

1

ò f ( cosx) dx.

0

a

ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx.
2

ò f ( x) dx =

D.

0

0

1
f ( x) dx.
2ò
0

ìï x = 1Þ t = 0
.

Lời giải. Chọn A. Đặt x = 1- t Þ dx = - dt . Đổi cận ïí
ïïî x = 0 Þ t = 1
1

Suy ra

0

ò f ( x) dx = 0

1

1

ò f ( 1- t) dt = ò f ( 1- t) dt = ò f ( 1- x) dx.
1

0

0

B, C, D sai. Ta có thể chọn hàm f ( x) = x để kiểm tra.
f ( x)

Câu 7. Hàm số

có nguyên hàm trên ( a;b)

đồng thời thỏa mãn

f ( a) = f ( b) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
b

A.

b

f ( x)
ò f '( x) e dx = 0 .

B.

a

f ( x)

dx = 1.

f ( x)

dx = 2 .

ò f '( x) e
a

b

b

f ( x)

C. ò f '( x) e dx = - 1.

D.

a

ò f '( x) e
a

ìï x = a ® t = f ( a)
ï
.
Lời giải. Đặt t = f ( x) , suy ra dt = f '( x) dx . Đổi cận í
ïï x = b ® t = f ( b)
î
f ( b)

b

Khi đó

f ( x)
ò f '( x) e dx =
a

f ( b)

ò e dt = e
t

- ef ( a) = 0 (do f ( a) = f ( b) ). Chọn A.

f ( a)

Câu 8. Cho hàm số f ( x) có nguyên hàm trên ¡ . Xét các mệnh đề sau:
1)

p
2

1

ò sin2x. f ( sin x) dx = 2ò x. f ( x) dx.
0
1

2)

ò

0

f ( ex )
x

e

0

e

dx = ò

x2

1

a

3)

f ( x)

3
2
ò x f ( x ) dx =
0

dx .

a2

1
xf ( x) dx .
2ò
0

Có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1.
B. 2.

Lời giải. Xét 1) Ta có

C. 3.

p
2

p
2

0

0

D. 0.

ò sin2x. f ( sin x) dx = 2ò sin x. f ( sin x) .cosxdx .

ìï x = 0 ® t = 0
ïï
.
Đặt t = sin x , suy ra dt = cos xdx . Đổi cận í
ïï x = p ® t = 1
ïî
2
p
2

1

1

0

0

Khi đó 2 sin x. f ( sin x) .cos xdx = 2 t. f ( t) dt = 2 x. f ( x) dx. Do đó 1) đúng.
ò
ò
ò
0

x

Xét 2) Đặt t = e và kết luận được 2) đúng.
Xét 3) Đặt t = x2 và kết luận được 3) đúng.
Vậy cả 3 mệnh đề đều đúng. Chọn C.
a

Câu 9. Cho tích phân I = ò f ( x)dx . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- a


a

a

ù
A. I = ò é
ëf ( x) - f ( - x) ûdx.

ù
B. I = ò é
ëf ( x - a) - f ( a- x) ûdx.

0

0

a

a

ù
C. I = ò é
ëf ( x) - f ( a- x) ûdx.

ù
D. I = ò é
ëf ( x - a) + f ( x) ûdx.

0

a

0

0

a

Lời giải. Ta có I = ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx.
- a

- a

0

0

ìïï x = - a ® t = 0
.
Xét J = ò f ( x)dx. Đặt x = t - a ¾¾
® dx = dt. Đổi cận í
ïïî x = 0 ® t = a
- a
0

a

a

Khi đó J = ò f ( x)dx = ò f ( t - a)dt = ò f ( x - a)dx.
- a

0

a

a

0

0

a

a

0

0

0

hàm

f ( x)

ù
Vậy I = J + ò f ( x)dx = ò f ( x - a)dx + ò f ( x)dx = ò é
ëf ( x - a) + f ( x) ûdx. Chọn D.
Câu

10.

Cho

số

liên

tục

[ a;b]

trên

và

thỏa

f ( a+ b- x) = f ( x) " x Î [ a;b]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
b

A.

b

ò xf ( x) dx =
a

b

C.

b

b- a
f ( x) dx.

2 ò
a

B.

b

ò xf ( x) dx = ( b- a) ò f ( x) dx.
a

D.

a

b

a

b+ a
f ( x) dx.
2 ò
a

b

b

ò xf ( x) dx =

ò xf ( x) dx = ( b+ a) ò f ( x) dx.

a

a

ïì x = a ® t = b
Lời giải. Đặt x = a + b- t , suy ra dx = - dt . Đổi cận ïí
.
ïïî x = b ® t = a
b

Khi đó

a

ò xf ( x) dx = -

b

ò( a+ b- t) f ( a+ b- t) dt = ò( a+ b- t) f ( a+ b- t) dt

a

b

b

= ò( a+ b- x) f ( a+ b- x) dx

a

f ( a+b- x) = f ( x)

=

a

b

b

b

( a + b) ò f ( x) dx a

b

b

a

a

b

® ò xf ( x) dx =
Suy ra 2ò xf ( x) dx = ( a+ b) ò f ( x) dx ¾¾
a

ò xf ( x) dx.

a

a+ b
f ( x) dx. Chọn B.
2 ò
a

Câu 11. Cho f ( x) là hàm số lẻ và liên tục trên [- a; a] . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
a

A.
C.

a

a

ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx .
- a

0

a

0

B.

- a

a

ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx .
- a

ò f ( x) dx = 0 .

D.

- a

a

a

ò f ( x) dx = - 2ò f ( x) dx .
- a

0

0

a

ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx .

Lời giải. Ta có

- a

- a

0

0

ïì x = - a Þ t = a
.
x = - t Þ dx = - dt . Đổi cận ïí
ïïî x = 0 Þ t = 0
- a
Do f ( x) là hàm số lẻ và liên tục trên [- a; a] nên f ( - x) = - f ( x) Þ f ( - t) = - f ( t) .
Xét tích phân

ò f ( x) dx . Đặt

0

Khi đó

0

ò f ( x) dx = - a

a

Vậy

a

0

ò f ( - t) dt = a

0

ò éë- f ( t) ùûdt = ò f ( t) dt = a

a

a

a

ò f ( t) dt = 0

ò f ( x) dx.
0

a

ò f ( x) dx = - ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = 0 . Chọn B.
- a

0

0

0

Câu 12. Cho f ( x) là hàm số lẻ và

ò f ( x) dx = 2 . Tính tích phân
- 2

2

I = ò f ( x) dx.
0


A. I = 2.
B. I = - 2.
C. I = 1.
D. I = - 1.
Lời giải. Áp dụng kết quả câu trên, ta có '' Nếu f ( x) là hàm số lẻ và liên tục
a

trên đoạn [- a; a] thì

ò f ( x) dx = 0''.
- a

2

0

2

Thay a= 2 ta được 0 = ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx

- 2

2

- 2

0

0

¾¾
® ò f ( x) dx = 0

ò f ( x) dx = - 2.

Chọn B.

- 2

1
2017
x2 + 2017dx.
Câu 13. Tính tích phân I = ò x
- 1

A. I = 0.

B. I = 2.

1

D. I = ×
3

C. I = - 2.

Lời giải. Xét hàm số f ( x) = x2017 x2 + 2017 là hàm số lẻ, liên tục trên đoạn

[- 1;1.]
1
2017
x2 + 2017dx = 0. Chọn A.
Vậy I = ò x
- 1

Câu 14. Cho f ( x) là hàm số chẵn và liên tục trên [- a; a] . Mệnh đề nào sau
đây sai?
a

A.

a

- a

B.

0

0

C.

a

ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx .

- a

a

D.

0

a

Lời giải. Ta có

- a

a

ò f ( x) dx = ò f ( x) dx .
- a

0

ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx.
ò f ( x) dx = 0.
- a

0

a

ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = A + B.
- a

- a

0

0

ïì x = - a ® t = a
.
Xét A = ò f ( x) dx . Đặt x = - t , suy ra dx = - dt . Đổi cận ïí
ïïî x = 0 ® t = 0
- a
0

Khi đó A = -

a

a

ò f ( - t) dt = ò f ( - t) dt = ò f ( - x) dx
a

0

f ( x) chan

=

0

a

ò f ( x) dx = B.
0

Vậy A, B, C đúng; D sai. Chọn D.
0

Câu 15. Cho

f ( x)

là hàm số chẵn và thỏa mãn

ò f ( x) dx = 3.

Tính

- 1

1

I = ò f ( x) dx.
- 1

A. I = 3.

B. I = 2.

C. I = 6.
1

Lời giải. Áp dụng kết quả câu trên, ta có

D. I = - 3×
0

ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx = 2.3 = 6.
- 1

Chọn

- 1

C.
1

Câu 16. Biết rằng I = ò
0

A. a= 2.

x
dx = ln a với a là số thực dương. Tìm a.
x +1
2

B. a=

1
.
2

C. a= 2 .

Lời giải. Đặt t = x2 +1 , suy ra dt = 2xdx ¾¾
® xdx =
2

Khi đó I =

2

D. a= 4 .
ïì x = 0 ® t = 1
dt
.
. Đổi cận: ïí
ïïî x = 1® t = 2
2

1 dt 1

1
= ln t = ln2 = ln 2 ¾¾
® a = 2. Chọn C.
ò
21 t 2
2
1


1

Cõu 17. Cho tớch phõn I = ũ
0

4x3

( x4 + 2)

dx v t = x4 + 2. Mnh no sau õy

2

ỳng?
3

A. I = 4ũ
2

1

dt
.
t2

B. I = 4ũ
0

3

dt
.
t2

C. I = ũ
2

dt
.
t2

1

D. I = ũ
0

dt
.
t2

ùỡ x = 0 đ t = 2

.
Li gii. Vi t = x4 + 2 , suy ra dt = 4x3dx . i cn ùớ
ùùợ x = 1ị t = 3
3

Khi ú I = ũ
2

dt
. Chn C.
t2
2

Cõu 18. Tớnh tớch phõn I = ũ

( x + 2)

2017

dx.

x2019

1

32018 - 22018
.
2018
32017 22018
C. I =

.
4034 2017
2017
2
ổx + 2ử
1
ữ
ữ
Li gii. Ta cú I = ũỗ
ỗ
ữ . x2 dx.
ỗ
ố
ứ
x
1

32018 - 22018
.
4036
32021 - 22021
D. I =
.
4040

A. I =

B. I =

ỡù x = 1đ t = 3

x+2
2
2
dx
1
.
= 1+ , suy ra dt = - 2 dx ắắ
đ 2 = - dt . i cn ùớ
ùùợ x = 2 đ t = 2
x
x
x
x
2
2
3
1 2017
1 2017
t2018 3 32018 - 22018
=
. Chn B.
Khi ú I = - ũ t dt = ũ t dt =
23
22
4036 2
4036
t t =

2

x2016
dx .
ex +1
- 2

Cõu 19. Tớnh tớch phõn I = ũ
A. I = 0.
D. I =

B. I =

22018
.
2017

C.

I =

22017
.
2017

22018
.
2018
2

0

2

x2016
x2016
x2016
d
x
=
d
x
+
ũ ex +1 ũ ex +1dx = A + B.
ex +1
- 2
- 2
0

Li gii. Ta cú I = ũ
0

ỡù x = - 2 đ t = 2
x2016
dx . t x = - t , suy ra dx = - dt. i cn ùớ
.
x
ùùợ x = 0 đ t = 0
e +1
- 2

Tớnh A = ũ

0

Khi ú A = -

( - t)

ũe

- t

2

2016

+1

2

dt = ũ
0

2

t2016.et
x2016.ex
d
t
=
ũ ex +1 dx.

et +1
0

2
2
2
x2016.( ex +1)
x .e
x2016
2016
Vy I = A + B = ũ x
dx + ũ x
dx = ũ
d
x
=
x
ũ x dx
e
+
1
e
+
1
e
+
1
0
0
0

0
2

=

2016

x

x2017 2 22017
=
. Chn C.
2017 0 2017
1

n

2
Cõu 20. Tớnh tớch phõn I = ũ( 1- x ) xdx vi n nguyờn dng.
0

1
ì
A. I =
2n + 2
Li

gii.

t

ỡùù x = 0 đ t = 1
.
ớ
ùùợ x = 1đ t = 0

B. I =

1
ì
2n +1

t = 1- x2 ,

suy

C. I =
ra

1
ì
2n

D. I =

dt = - 2xdx ắắ
đ xdx = -

1
ì

2n- 1

1
dt.
2

i

cn


0

1

1 n
1 n
1 tn+1 1
1
t
d
t
=
t
d
t
=
.
=
. Chọn A.

ò
ò
21
20
2 n +1 0 2( n +1)

Khi đó I = -

1

a a- 1
2
Câu 21. Kết quả tích phân I = ò x 1+ x dx được viết ở dạng I =
với
b
0
a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T = a+ 2b.
A. T = 1.
B. T = 7.
C. T = 5.
D. T = 8.
ïì x = 0 ® t = 1
.
Lời giải. Đặt t = 1+ x2  Þ t2 = 1+ x2 , suy ra tdt = xdx. Đổi cận ïí
ïï x = 1® t = 2 
î
2
ìï a = 2
t3 2 2 2 - 1
=

¾¾
® ïí
¾¾
®T = a+ 2b = 8. Chọn D.
Khi đó I = òt2dt =
ïïî b = 3
3 1
3
1
2
2
Câu 22. Cho tích phân I = ò 2x x - 1dx và u = x2 - 1. Mệnh đề nào sau đây
1

sai?
3

3

2

A. I = ò udu .
0

2 3
C. I = u2 .
3 0

B. I = ò udu .
1

D. I = 2 3 .

ìï x = 1® u = 0
.
Lời giải. Với u = x2 - 1 , suy ra du = 2xdx . Đổi cận ïí
ïïî x = 2 ® u = 3
2

3

2
Suy ra I = ò 2x x - 1dx = ò udu . Do đó B sai. Chọn B.
1

0

a

Câu 23. Tính tích phân I = ò

x3 + x

0

Lời

x2 +1

dx.

A. I = ( a2 +1) a2 +1- 1.

B. I = ( a2 +1) a2 +1+1.

1 2
2
ù.
C. I = é
ê( a +1) a +1 +1ú
û
3ë

1 2
2
ù.
D. I = é
ê( a +1) a +1- 1ú
û
3ë

giải.

Đặt

t = x2 +1 Þ t2 = x2 +1 ,

suy

ra

t3
3

a2 +1

tdt = xdx .

Đổi

cận

ìï x = 0 ® t = 1
ï
.
í
ïï x = a ® t = a2 +1
î
a

Khi đó I = ò
0

x3 + x
2

x +1

a

dx = ò

( x2 +1)

0

2

a2 +1

x +1

xdx =

ò

t2dt =

1

1

1 2
2
= é
ê( a +1) a +13ë

1ù
.
ú

û

Chọn D.
2
2
3
Câu 24. Tính tích phân I = ò x x +1dx .
0

A. I =

16
.
9

B. I = -

16
.
9

C. I =

52
.
9

D. I = -

52

.
9

2
® tdt = x2dx.
Lời giải. Đặt t = x3 +1 Þ t2 = x3 +1 , suy ra 2tdt = 3x2dx ¾¾
3
3
3
3
ïì x = 0 ® t = 1
2
2t
52
. Vậy I = ò t2dt =
= . Chọn C.
Đổi cận: ïí
ïïî x = 2 ® t = 3
31
9 1
9
3

Câu 25. Biến đổi tích phân

ò 1+
0

x
1+ x

2

dx thành tích phân

ò f ( t) dt

với

1

t = 1+ x . Khi đó f ( t) là hàm số nào trong các hàm số sau?
2
A. f ( t) = 2t - 2t .
2
D. f ( t) = 2t + 2t .

2
B. f ( t) = t + t .

C.

f ( t) = t2 - t .


ỡù x = 0 đ t = 1
.
Li gii. Vi t = 1+ x ị t2 = 1+ x , suy ra 2tdt = dx . i cn ùớ
ùùợ x = 3 đ t = 2
3

2 2
2
x
t - 1
dx = ũ
.2tdt = ũ( 2t2 - 2t) dt. Vy f ( t) = 2t2 - 2t . Chn A.
Khi ú ũ
1
+
t
0 1+ 1+ x
1
1

5

Cõu

26.

Kt

qu

tớch

phõn

I =ũ
1

1
1+ 3x +1

dx

c

vit



dng

I = a + bln3+ c ln5 vi a, b, c l cỏc s hu t. Tớnh tng S = a+ b+ c.
4
5
7
8
A. S = ì
B. S = ì
C. S = ì
D. S = ì
3
3
3
3
2
đ dx = tdt .
Li gii. t t = 3x +1 ị t2 = 3x +1 , suy ra 2tdt = 3dx ắắ

3
ùỡù x = 1đ t = 2
.
i cn ớ
ùùợ x = 5 đ t = 4
Khi ú I =

4
4
2
t
2 ổ
1 ử
2
ữ
ỗ
d
t
=
dt = ( t - ln 1+ t )
ữ
ỗ1ũ
ũ
ữ
ỗ
3 2 1+ t
3 2 ố 1+ t ứ
3

4

=

2

4 2
2
+ ln3- ln5
3 3
3

4
2
2
4
ắắ
đ a = , b = , c = - ắắ
đ S = . Chn A.
3
3
3
3
2 2

I =ũ

Cõu 27. Kt qu tớch phõn

3

x
2

x - 1+ x2 +1

dx

c vit dng

I = aln5+ bln2 vi a, b l cỏc s hu t. Tớnh tng S = a+ b.
2
1
1
2
A. S = - .
B. S = - .
C. S = .
D. S = .
3
3
3
3
ỡù 2tdt = 2xdx
ỡù tdt = xdx
ắắ
đ ùớ 2
.
Li gii. t t = x2 +1 ị t2 = x2 +1, suy ra ùớ 2
ùợù x = t2 - 1
ùợù x = t2 - 1

ỡù x = 3 đ t = 2
.
i cn: ùớ
ùù x = 2 2 đ t = 3
ợ
3
3
3
t
t
1 ộ1
2 ự
ỳdt
dt = ũ
dt = ũ ờ
+
Khi ú I = ũ 2
ờ
t - 2+ t
3 2 ởt - 1 t + 2ỳ
( t - 1) ( t + 2)
ỷ
2
2
1
= ( ln t - 1 + 2ln t + 2 )
3

ỡù
ù a= 2

2
1
= ln5- ln2 ắắ
đ ùớ
đ S = - . Chn B.
3 ắắ
ùù
3
3
2
ùợ b = - 1

3

3

Cõu 28. Cho tớch phõn I = ũ
1

1+ x2
x2 +1
d
x
v
. Mnh no sau õy
t
=
x2
x

ỳng?
2
3

3

t2dt
t dt . B. I =
A. I = ũ t2 +1 .
ũ t2 - 1
2
2
2

3

3

2
3

2
C. I = t dt .
ũ t2 - 1
2

3

D. I = ũ

1+ x2
dx
dx = ũ( x2 +1) .
.
2
2
x
x 1+ x2
1
1
ỡù
1
ùù dt = dx
2
2
x +1 ùù
x x2 +1
ị ớ
.
Vi t =
2
ùù
x
1
1
1
t2
2
2
ùù t2 = x +

= 1+ 2 ị x = 2
ị x +1= 2
x2
x
t - 1
t - 1
ợù
Li gii. Ta cú I = ũ

2

tdt
.
t2 +1


ỡù x = 1ị t = 2
ùù
i cn: ùớ
. Suy ra I =ùù x = 3 ị t = 2
ùùợ
3

2

Cõu 29. Bit rng I = ũ

dx

x 1+ x3

t. Mnh no sau õy ỳng?
1
2
A. a= - .
B. b= .
3
3

2
3

ũt

t2
dt . Chn A.
- 1

2

2

= aln2+ bln

(

)

2 - 1 + c vi a, b, c l cỏc s hu

1

2

Li gii. Vit li I = ũ
1

2

dx
x 1+ x3

2
.
3

C. c= -

=ũ
1

x2dx
x3 1+ x3

D. a + b+ c = 0.

.

ỡù x3 = t2 - 1
ỡù x = 1đ t = 2
ù

ùớ
. i cn: ùớ
.
2
2
ùù x dx = tdt
ùù x = 2 đ t = 3
ợ
ùùợ
3
3
3
3
2
tdt
1 ổ1
1 ử
1 t- 1
1ổ 1
2 - 1ử
ữ
ữ
ữ
ỗ
= ũỗ
d
t
=
ln
= ỗ

ln - ln
ữ
Suy ra I = ũ 2
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ 2
3 2 ( t - 1) t 3 2 ốt - 1 t +1ứ
3 t +1 2 3ố
2 +1ứ
ùỡ t2 = 1+ x3
ị
t t = 1+ x ị ùớ
ùù 2tdt = 3x2dx
ợ
3

2
1
1
1
1
1
2
ln2- ln 3- 2 2 = - ln2- ln 2 - 1 = - ln2- ln
3
3

3
3
3
3
1
2
Suy ra a = - ; b = - ; c = 0 . Chn A.
3
3

(

=-

)

(

5

Cõu 30. Bit rng I = ũ
1

A. S = 2.

dx
x 3x +1

)

(

)

2- 1 .

= aln3+ bln5 vi a, bẻ Â. Tớnh tng S = a+ b.

B. S = 3.

C. S = - 1.
D. S = 1.
2
ỡù
ùù x = t - 1
ỡù x = 1đ t = 2
ù
3 .
2
.
Li gii. t t = 3x +1 ị t = 3x +1 , suy ra ùớ
i cn ùớ
ùù
ùùợ x = 5 đ t = 4
2
ùù dx = tdt
3
ợù
4
4

4
ổ1
2
1
dt
1 ử
d
t
=
2
=
ữ
2
ũ t2 - 1 ũỗỗỗốt - 1- t +1ứữ
ữdt
Khi ú
3ũ
t
1
2
2
2
3
4
ùỡ a = 2
= ( ln t - 1 - ln t +1) = 2ln3- ln5 ắắ
đ ùớ
ắắ
đ S = 1. Chn D.
ùùợ b = - 1

2

I =

2

Cõu 31. Tớnh tớch phõn I = ũ
1

ln x
dx .
x

ln2 2
B. I =
.
2

A. I = 2.

Li gii. t t = ln x , suy ra dt =
ln2

Khi ú I = ũ tdt =
0

t2
2

ln2

0

=

e

1

u
A. I = ũ( 1- u)e du.
1

C. I = -

ln2 2
.
2

ùỡ x = 1đ t = 0
dx
.
. i cn: ùớ
ùùợ x = 2 đ t = ln2
x

ln2 2
. Chn B.
2

Cõu 32. Cho tớch phõn I = ũ

0

C. I = ln2.

1- ln x
dx v u = ln x . Mnh no sau õy ỳng?
x2
1
- u
B. I = ũ( 1- u) e du.
0


0

0

- 2u
C. I = ũ( 1- u) e du.

2u
D. I = ũ( 1- u) e du.

1

1

ỡù
ỡù dx = xdu = eudu
ùù du = 1 dx

đ ùớ
.
x ắắ
Li gii. Vi u = ln x, suy ra ớ
ùù
ùù x = eu
u
ợ
ùùợ x = e
1
1
ỡùù x = 1đ u = 0
1- u
- u
.
I
=
d
u
=
i cn ớ
Khi ú
ũ eu
ũ( 1- u) e du. Chn B.
ùùợ x = eđ u = 1
0
0
e

Cõu 33. Cho I = ũ

1

1+ 3ln x
dx v t = 1+ 3ln x. Mnh no sau õy l sai?
x

2

A. I =

2
tdt.
3ũ
1

2

B. I =

2

2 2
t dt.
3ũ
1

2
C. I = t3 .
9 1

D. I =

Li gii. Vi t = 1+ 3ln x ị t2 = 1+ 3ln x , suy ra 2tdt =

14
.
9

3
dx 2
dx ắắ
đ
= tdt.
x
x
3

2
2
ùỡ x = 1đ t = 1
2
2
14
. Khi ú I = ũ t2dt = t3 = . Do ú A sai. Chn A.
i cn: ùớ
ùùợ x = eđ t = 2
31
9 1
9
e

Cõu 34. Bin i tớch phõn

ln x

ũ x( ln x+ 2)

3

dx thnh
2

1

ũ f ( t) dt

vi t = ln x + 2 . Khi

2

ú f ( t) l hm no trong cỏc hm s sau?
2 1
1 2
2 1
2 1
- . B. f ( t) = - 2 + . C. f ( t) = 2 + .
D. f ( t) = - 2 + .
t2 t
t
t

t
t
t
t
ỡù
ùù dt = dx
ỡù x = 1đ t = 2
. i cn: ùớ
.
Li gii. Vi t = ln x + 2 , suy ra ớ
x
ùù
ùùợ x = eđ t = 3
ợù ln x = t - 2
A. f ( t) =

e

Khi ú

ln x

ũ x( ln x + 2)
1

3

dx = ũ
2
2

3
ổ
t- 2
1 2ử
ỗ
d
t
=
- 2ữ
ữ
ỗ
2
ũ
ữdt. Chn D.
ỗ
ố
t
t
t ứ
2
e

Cõu 35. Kt qu ca tớch phõn

I =ũ
1

ln x
x( ln2 x +1)

dx

c vit dng

I = aln2 + b vi a, b l nhng s hu t. Khng nh no sau õy l ỳng?
A. 2a + b = 1.
B. a2 + b2 = 4 .
C. a- b = 1.
D. ab= 2 .
2ln x
ln x
dt
dx ắắ
đ
dx = .
Li gii. t t = ln2 x +1 , suy ra dt =
x
x
2
ùỡ x = 1đ t = 1
.
i cn: ùớ
ùùợ x = eđ t = 2
2

Khi ú I =

1 dt 1
= ln t

2ũ
t 2
1

2
1

1
1
= ln2 ắắ
đ a = , b = 0. Chn A.
2
2
1

2

x
Cõu 36. Tớnh tớch phõn I = ũ xe dx.
0

e
A. I = .
2

e+1
B. I =
.
2

e- 1
D. I = e.
.
2
1
Li gii. t t = x2, suy ra dt = 2xdx ắắ
đ xdx = dt.
2
1
ùỡ x = 0 đ t = 0
1
1 1 e- 1
. Khi ú I = ũ et dt = .et =
. Chn C.
i cn: ùớ
ùùợ x = 1đ t = 1
20
2 0
2
C. I =

ln2
x
x
Cõu 37. Cho tớch phõn I = ũ e e - 1dx v t = ex - 1. Mnh no sau õy
0

sai?

1

1

2
A. I = 2ũ t dt .

2
B. I = ũ t dt .

0

C. I =

0

2t3
3

1
0

.

D. I =

2
.
3

Li gii. Vi t = ex - 1 ị t2 = ex - 1, suy ra 2tdt = e dx.
1
ỡùù x = 0 đ t = 0
2t3 1 2
.
I
=
2
t2dt =
= . Do ú B sai. Chn B.
i cn: ớ
Khi ú
ũ
ùùợ x = ln2 đ t = 1
3 0 3
0
x

2

exdx
ae+ e3
= ln
vi a, b l cỏc s nguyờn dng.
x
2+ e
ae+ b
- 1

Cõu 38. Tỡm a, bit I = ũ

A. a=

1
.
3

B. a= -

1
.
3

C. a= 2 .

D. a= - 2 .

ỡù
ùù x = - 1đ t = 1
e.
Li gii. t t = e , suy ra dt = e dx. i cn: ớ
ùù
2
ùùợ x = 2 đ t = e
x

x

e2

dt

Suy ra I = ũ 2+ t = ln 2 + t
1

e2
1
e

e

ổ 1ử
2+ e2
2e+ e3
= ln( 2 + e2 ) - lnỗ
2+ ữ
=
ln
=
ln
.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
1
ố eứ
2e+1
2+
e

ắắ

đ a = 2; b = 1. Chn C.
p
2

Cõu 39. Cho tớch phõn I = esin2 x sin x cos3 xdx v t = sin2 x. Chn khng nh
ũ
0

ỳng?
1
ộ1
ự
t
ờ
I
=
2
e
d
t
+
tet dtỳ
B.
ũ
ờũ
ỳ.
ờ
ỳ
0
ở0

ỷ
1
1
ộ
ự
1
et dt + ũ tet dtỳ
D. I = ờ
ũ
ờ
ỳ.
2ở
ờ0
ỳ
0
ỷ

1

A. I =

1
et ( 1- t) dt .
2ũ
0
1

t
C. I = 2ũ e ( 1- t) dt .
0

p
2

p
2

Li gii. Vit li I = esin x sin x cos3 xdx = esin2 x .cos2 x.sin x cos xdx.
ũ
ũ
2

0

0

1
Vi t = sin x, suy ra dt = 2sin x cos xdx ắắ
đ sin x cos xdx = dt.
2
ỡù x = 0 đ t = 0
1
ùù
1
. Khi ú I = ũ et ( 1- t) dt . Chn A.
i cn ớ
p
ùù x = đ t = 1
20
2

ợù
2

p
2

Cõu 40. Bin i tớch phõn

1
sin2 x

ũe

sin2x dx thnh

p
4

ũ f ( t) dt
1
2

vi t = sin2 x . Khi ú

f ( t) l hm no trong cỏc hm s sau?
t
t
A. f ( t) = e sin2t .B. f ( t) = e .

t

C. f ( t) = e sin t .

1
D. f ( t) = et .
2

Li gii. Vi t = sin2 x, suy ra dt = 2sin x cos xdx = sin2xdx.
ỡù
1
ùù x = p đ t = 1
ù
4
2.
I
=
et dt. Chn B.
ù
ũ
i cn: ớ
Khi ú
ùù
1
p
ùù x = đ t = 1
2
2
ùợ
p
3
Cõu 41. ( MINH HA 2016 2017) Tớnh tớch phõn I = ũ cos x sin xdx.

0

1
A. I = - p4.
4

B. I = - p4.

C. I = 0 .

D. I = -

1
.
4


ìï x = 0 ® t = 1
.
Lời giải. Đặt t = cos x, suy ra dt = - sin xdx. Đổi cận: ïí
ïïî x = p ® t = - 1
- 1
1
t4 1
3
3
= 0. Chọn C.
Khi đó I = - ò t dt = ò t dt =
4 -1
1

- 1
Câu 42. Thực hiện phép đổi biến u = sin x thì tích phân

p
2

ò sin

4

x cos xdx sẽ trở

0

thành tích phân nào trong các tích phân sau đây?
B.

p
2

1

òu du.
4

A.

1

òu

4

2

1- u du.

C.

0

0

òu du.
4

0

D.

p
2

òu

3

1- u2 du.

0

ïìï x = 0 ® u = 0
ï
.
Lời giải. Với u = sin x, suy ra du = cos xdx. Đổi cận í
ïï x = p ® u = 1
ïî
2
1
4
Khi đó I = òu du . Chọn C.
0

p
6

Câu 43. Biết rằng I = sinn x cos xdx = 1 . Tìm n .
ò
64
0
D. n = 5.
ìï x = 0 ® t = 0
ïï
.
Lời giải. Đặt t = sin x, suy ra dt = cos xdx. Đổi cận í
ïï x = p ® t = 1
ïî
6
2
A. n = 3.

1
2

B. n = 4 .

C. n = 6.

n+1

1
n+1 2

æö
1÷
ç
÷
ç
÷
ç
è2ø

t
1
1
Chọn A.
=
=
=
Û n = 3.

n+1
n +1 0
n +1 ( n +1) 2
64
0
Cách trắc nghiệm. Thay lần lượt từng đáp án và bấm máy tính.
Khi đó

I = ò tndt =

p
2

Câu 44. Tính tích phân I = ( 1- cos x) n sin xdx .
ò
0

1
.
A. I =
n +1

1
D. I = .
n
ïìï x = 0 ® t = 0
ï
.
Lời giải. Đặt t = 1- cos x, suy ra dt = sin xdx. Đổi cận: í
ïï x = p ® t = 1

ïî
2
1
n
Khi đó I = ò t dt =
0

B. I =

1
.
n- 1

C. I =

1
.
2n

tn+1 1
1
=
. Chọn A.
n +1 0 n +1
p
2

Câu 45. Tính tích phân I = sin2x( 1+ sin2 x) 3 dx .
ò
0

4

p
15
31
7
.
B. I = .
C. I = .
D. I = .
64
4
4
4
2
Lời giải. Đặt t = 1+ sin x, sauy ra dt = 2sin x cos xdx = sin2xdx.
ìï x = 0 ® t = 1
2
2
ïï
t4
15
. Khi đó I = ò t3dt =
Đổi cận: í
= . Chọn B.
p
ïï x = ® t = 2
41
4

1
2
îï
A. I =

p
2

Câu 46. Cho tích phân I =
ò
0

đúng?

sin2x
1+ cos x

dx và t = 1+ cos x. Chọn khẳng định


1

1

4t3 - 4t
dt.
t
2

4t - 4t3

dt.
t
2

A. I = ũ

B. I = ũ

2

2

C. I = 4ũ( t - 1) dt.

D. I = - 4ũ( t2 - 1) dt.

2

1

1

p
2

Li gii. Tớch phõn vit li I =
ũ
0

sin2x

1+ cos x

p
2

dx = 2ũ
0

cos x.sin x
1+ cos x

dx.

ùỡ cos x = t2 - 1
ùỡ cos x = t2 - 1
ắắ
đ ùớ
.
Vi t = 1+ cos x ị t2 = 1+ cos x , suy ra ùớ
ùợù 2tdt = - sin xdx
ùợù sin xdx = - 2tdt
ỡù x = 0 đ t = 2
1 2
2
ùù
t - 1
. K hi ú I = - 2ũ
( - 2tdt) = - 4ũ( t2 - 1) dt. Chn D.
i cn: ớ
p

ùù x = đ t = 1
t
1
2
2
ùợù
p
4

Cõu 47. Cho I =
ũ
0

6tan x
2

cos x 3tan x +1

dx v u = 3tan x +1. Mnh no sau õy

ỳng?
2

A. I =

4
( 2u2 +1) du .
3ũ
1

C. I =

4
( u2 - 1) du .
3ũ
1

2

B. I =

4
( u2 +1) du .
3ũ
1

D. I =

4
( 2u2 - 1) du .
3ũ
1

2

2

ỡù 6tan x = 2u2 - 2
ùù
.

Li gii. Vi u = 3tan x +1 ị u2 = 3tan x +1, suy ra ớ dx
2
ùù
= udu
ùùợ cos2 x 3
ỡù x = 0 đ u = 1
2
2
ùù
2 2u2 - 2
4
. Vy I = ũ
udu = ũ( u2 - 1) du . Chn C.
i cn ớ
p
ùù x = đ u = 2
31
u
31
ùợ
4
Cõu 48. Cho s nguyờn dng a tha món

p
a

cos2x

ũ 1+ 2sin2x dx = ln

4

3. Mnh

0

no sau õy ỳng?
ổ
ổ 7ử
1 ử
;3ữ
.
3; ữ
ữ
ữ
A. a ẻ ỗ
B. a ẻ ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ố2 ứ
ố 2ứ

ổ
9 11ử
; ữ
ữ

D. a ẻ ỗ
ỗ
ữ.
ỗ
ố2 2 ứ
1
Li gii. t t = sin2x, suy ra dt = 2cos2x dx ắắ
đ cos2x dx = dt.
2
ùỡù x = 0 đ t = 0
m
m
1
dt
1
1
ù
. Khi ú I = ũ
= ln 2t +1 = ln 2m+1.
i cn ớ
p
2
p
ùù x = đ t = sin
=m
2 0 2t +1 4
4
0
ùợ
a

a
Theo
gi
thit
ta
cú
ộ
m
=
1
1
1
1
ln 2m+1 = ln 4 3 ln 2m+1 = ln3 2m+1 = 3 ờ
.
ờm= - 2
4
4
4
ở
Vi m= - 2 ắắ
đ sin

đ sin
Vi m= 1 ắắ

ổ
7 9ử
; ữ
ữ

C. a ẻ ỗ
ỗ
ữ.
ỗ
ố2 2ứ

2p
= - 2 ( loaùi) .
a

ỡù k = 0
2p
2p p
4
aẻ Â +
= 1
= + k2p a =
ắắ
ắ
đ ùớ
. Chn C.
kẻ Â
ùùợ a = 4
a
a
2
1+ 4k

Cõu 49. Cho s nguyờn dng n tha món

p
n

ũ
0

sau õy ỳng?

( 1- tan x)
cos2 x

5

1
dx = ìMnh no
6


A. nÎ [1;2].

C. nÎ [ 5;6].
D. nÎ [ 7;8].
ìï x = 0 ® t = 0
ïï
dx
.
.
Lời giải. Đặt t = tan x, suy ra dt =
Đổi
cận

í
2
ïï x = p ® t = tan p = m
cos x
n
n
îï
m

B. nÎ [ 3;4].

5

Khi đó I = ò( 1- t) dt = -

( 1- t)

6

6

0

m
0

6

=

1- ( 1- m)
.
6

6

1- ( 1- m)
1
= Û m= 1.
6
6
ïì k = 0
p
p p
4
nÎ ¢ +
® tan = 1 Û = + kp Û n =
¾¾
¾
® ïí
. Chọn B.
Với m= 1¾¾
kÎ ¢
ïïî n = 4
n
n 4
1+ 4k
Theo giả thiết ta có

Câu

50.

a

ò sin

5

0

a

Có bao nhiêu số thực

( 0;20p)

thuộc khoảng

sao cho

2
x sin2xdx = ×
7

A. 20.

B. 19.

C. 9.

a

D. 10.

a

5
6
Lời giải. Ta có I = ò sin x sin2xdx = ò 2sin x.cos xdx.
0

0

ìï x = 0 ® t = 0
.
Đặt t = sin x, suy ra dt = cos xdx. Đổi cận: ïí
ïïî x = a ® t = sin a = m
m
2 7 m 2m7
6
=
.
Khi đó I = ò 2t dt = t
7 0
7
0
2m7 2
= Û m= 1.
7

7
p
Với m= 1¾¾
® sin a = 1 Û a = + k2p.
2
p
1
kÎ ¢
Vì a Î ( 0;20p) nên 0 < + k2p < 20p Û - < k < 10 ¾¾¾
® k Î { 0;1;2;3;...;9}
2
2
® có 10 giá trị của a. Chọn D.
¾¾
® có 10 giá trị của k ¾¾
Câu 51. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 2;4] và thỏa mãn
Theo giả thiết ta có

2

f ( 2) = 2 , f ( 4) = 2018. Tính I = ò f ¢( 2x) dx.
1

A. I = - 1008.

B. I = 2018.

D. I = - 2018.
ì
ï x = 1® t = 2

1
.
Lời giải. Đặt t = 2x, suy ra dt = 2dx ¾¾
® dx = dt. Đổi cận: ïí
ïïî x = 2 ® t = 4
2
2

C. I = 1008.

4

Khi đó I = ò f ¢( 2x) dx =
1

1
1
f ¢( t) dt = . f ( t)
2ò
2
2

1
= .é
f( 4) 2 ë
2
4

1
2

( 2) ù
û= ( 2018- 2) = 1008.

Chọn C.
6

Câu 52. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho

ò f ( x) dx = 12 .
0

2

I = ò f ( 3x) dx.
0

A. I = 2.

B. I = 4.

D. I = 36.
ì
x
ï = 0® t = 0
1
.
® dx = dt. Đổi cận: ïí
Lời giải. Đặt t = 3x, suy ra dt = 3dx ¾¾
ïïî x = 2 ® t = 6

3
6

Khi đó I =

C. I = 6.

1
1
f ( t) dt = .12 = 4. Chọn B.
3ò
3
0

Tính


b
m

b

Tng quỏt: Nu

ũ f ( x) dx = k

thỡ

k

ũ f ( mx) dx = m.
a
m

a

2017

Cõu 53. Cho hm s f ( x) tha món

ũ
0

A. I = 2017.

B. I = 0.

1

f ( x) dx = 1. Tớnh I = ũ f ( 2017x) dx.
0

D. I =

C. I = 1.

đ dx =
Li gii. t t = 2017x, suy ra dt = 2017dx ắắ

1

ì
2017

dt
.
2017

ùỡ x = 0 đ t = 0
.
i cn ùớ
ùùợ x = 1đ t = 2017
2017
2017
1
1
1
1
. ũ f ( t) dt =
f ( x) dx =
.1=
. Chn D.
Khi ú I =
ũ
2017 0
2017 0
2017
2017
1

Cõu 54. Cho hm s f ( x) liờn tc trờn Ă v

9

ũ f ( x) dx = 1,
0

ũ f ( x) dx = 2.

Tớnh

1

3

ộ ổxử
ự
ữ
ỳdx.
fỗ
+
3
x
(
)
ữ
giỏ tr ca biu thc I = ũ ờ
ỗ
ữ
ỗ3ứ
ờố

ỳ
ỷ
0 ở
A. I = 4.
B. I = - 4.
C. I = 9 .
1

Li gii. T gi thit ta cú

D. I = - 9.

9

9

ũ f ( x) dx + ũ f ( x) dx = ũ f ( x) dx = 1+ 2 = 3.
0

3

1

3

0

3

ộ ổxử

ự
ổxử
ữ
ữ
fỗ
+ ( 3x) ỳdx = ũ f ỗ
ữ
ữ
Ta cú I = ũ ờ
ỗ
ỗ
ữ
ữdx + ũ f ( 3x) dx.
ỗ
ỗ3ứ
ờ
ỳ
ố
ứ
ố
3
ở
ỷ
0
0
0
3

Xột

ổxử

ữ
ũ f ỗỗỗố3ứữ
ữdx . t
0

x
1
t = , suy ra dt = dx ắắ
đ dx = 3dt.
3
3

ỡù x = 0 đ t = 0
. Khi ú
i cn ùớ
ùùợ x = 3 đ t = 1
3

Xột

ũ f ( 3x) dx.
0

3

1
1
ổxử

ữ
ỗ
f
d
x
=
3
f
t
d
t
=
3
(
)
ữ
ũ ỗỗố3ứữ
ũ
ũ f ( x) dx = 3.1= 3.
0
0
0

1
đ dx = du.
t u = 3x, suy ra du = 3dx ắắ
3

ùỡ x = 0 đ u = 0
. Khi ú

i cn ùớ
ùùợ x = 3 đ u = 9
Vy I = 3+1= 4. Chn A.

3

9

ũ f ( 3x) dx =
0

9

1
1
1
f ( u) du = ũ f ( x) dx = .3 = 1.
ũ
30
30
3

Cõu 55. Cho hm s f ( x) liờn tc trờn Ă v tha món

p
2

ũ f ( x) dx = 4. Tớnh tớch
0

p
4

phõn I = ộf ( 2x) - sin xựdx.
ũở
ỷ
0

A. I = 2 +

2
ì
2

B. I = 3-

2
ì
2

C. I = 1+

p
4

p
4

0

0

Li gii. Ta cú I = ộf ( 2x) - sin xựdx = f ( 2x) dx ũở
ũ
ỷ
p
4

2
ì
2

D. I = 2-

p
4

ũ sin xdx.
0

dt
Tớnh J = f ( 2x) dx . t t = 2x, suy ra dt = 2dx ắắ
đ dx = .
ũ
2
0

2
ì
2

p
p
ìï x = 0 ® t = 0
ïï
2
2
1
1
1
. Khi đó J =
Đổi cận í
p
p
f
t
d
t
=
f ( x) dx = .4 = 2.
(
)
ïï x = ® t =
ò
ò
20
20
2
ïî

4
2
p
4

 Tính K = sin xdx = - ( cos x)
ò
0

Vậy I = J - K = 1+

p
4

2
.
2

= = 1-

0

2
. Chọn C.
2
4

Câu 56. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn

ò f ( x) dx = 2.

Mệnh đề

- 2

nào sau đây sai?
2

A.

3

ò f ( 2x) dx = 1.

B.

- 1

ò f ( x +1) dx = 2.
- 3

2

6

C. ò f ( 2x) dx = 2.

D.

- 1

2) dx = 2.

0

2

Lời giải. Xét tích phân

ò f ( x-

1
Đặt t = 2x, suy ra dt = 2dx ¾¾
® dx = dt.
2

ò f ( 2x) dx.
- 1

ïì x = - 1® t = - 2
. Khi đó
Đổi cận ïí
ïïî x = 2 ® t = 4

2

4

ò f ( 2x) dx =
- 1

4

1
1
1
f ( t) dt = ò f ( x) dx = .2 = 1.
ò
2- 2
2- 2
2

Suy ra A đúng, C sai. Chọn C.
3

B đúng vì

4

t=x+1
ò f ( x +1) dx ¾¾ ¾® ò f ( t) dt = 2.
- 3

- 2

6

4

t=x- 2

D đúng vì ò f ( x - 2) dx ¾¾ ¾® ò f ( t) dt = 2.
0

- 2

2017

2017

ò f ( x) dx = 2.

Câu 57. Cho

Tính tích phân I =

1

ò f ( 2018-

x) dx .

1

D. I = 5.
ïì x = 1® t = 2017
.
Lời giải. Đặt t = 2018- x, suy ra dx = - dt. Đổi cận ïí
ïïî x = 2017 ® t = 1
A. I = 1.

B. I = 2.

1

Khi đó I = -

2017

ò

f ( t) dt =

2017

ò

C. I = 3.

2017

f ( t) dt =

1

ò f ( x) dx = 2.

3

Câu 58. Cho

5

ò f ( 3x - 1) dx = 20. Tính tích phân I = ò f ( x) dx.
1

A. I = 20.

Chọn B.

1

2

C. I = 10.
D. I = 60.
ìïï x = 2 ® t = 1
.
Lời giải. Đặt x = 3t - 1, suy ra dx = 3dt. Đổi cận í
ïïî x = 5 ® t = 2
5

B. I = 40.

2

2

Khi đó I = ò f ( x) dx = 3ò f ( 3t - 1) dt = 3ò f ( 3x - 1) dx = 3.20 = 60. Chọn D.
2

1

1

Câu 59. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn

1
3

ò f ( x) dx = 1,
0

1
2

1

2
3
ò f ( 2x) dx = 13 . Tính tích phân I = ò x f ( x ) dx.
1
6

0

A. I = 6.

B. I = 7.

C. I = 8.

D. I = 9.


1
2

Lời giải. Xét

ò f ( 2x) dx = 13.

Đặt t = 2x, suy ra dt = 2dx ¾¾
® dx = dt.

1
6

ìï
ïï x = 1 ® t = 1
ï
6
3
. Khi đó
Đổi cận ïí
ïï
1
x
=
®
t

=
1
ïï
2
ïî

1
2

1

ò f ( 2x) dx = 13 Û
1
6

1
f ( t) dt = 13 Û
2ò
1
3

1

ò f ( t) dt = 26.
1
3

1

2

3
Xét tích phân cần tính I = ò x f ( x ) dx.
0

ïì x = 0 ® u = 0
1
.
® x2dx = dt. Đổi cận ïí
Đặt u = x3, suy ra dt = 3x2dx ¾¾
ïïî x = 1® u = 1
3
é1
ù
1
1
1
3
ú 1
1
1
1ê
ú= ( 1+ 26) = 9. Chọn
f
x
d
x
+
f
x
d

x
(
)
(
)
Khi đó I = ò f ( t) dt = ò f ( x) dx = ê
ò
ò1
ú 3
30
30
3ê
ê0
ú
ê
ú
3
ë
û
D.
9

Câu 60. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ 0;9] và thỏa mãn

ò f ( x) dx = 729,
0

3

2

ò f ( x + 6) dx = 513. Tính tích phân
0

A. I = 414.

I = ò f ( 3x) dx.

B. I = 72.

0

C. I = 342 .

D. I = 216.

3

Lời giải. Xét

ò f ( x + 6) dx = 513. Đặt

t = x + 6, suy ra dx = dt.

0

ïì x = 0 ® t = 6
. Khi đó
Đổi cận ïí
ïïî x = 3 ® t = 9

3

9

ò f ( x + 6) dx = 513 Û
0

ò f ( t) dt = 513.
6

2

Xét tích phân cần tính I = ò f ( 3x) dx.
0

ìï x = 0 ® u = 0
1
.
® dx = du. Đổi cận ïí
Đặt u = 3x, suy ra du = 3dx ¾¾
ïïî x = 2 ® u = 6
3
6
6
9
6
ù
1
1

1é
ê
I
=
.
f
u
d
u
=
.
f
x
d
x
=
f
x
d
x
+
f ( x) dxú
( )
( )
( )
Khi đó
ò
ò
ò
ò

ê
ú
3 0
3 0
3ê
ú
9
ë0
û
9
9
é
ù
1
1
= ê
f ( x) dx - ò f ( x) dxú
ò
ú= 3( 729- 513) = 72. Chọn B.
3ê
ê0
ú
6
ë
û
Câu 61. Cho

2

1

1

0

2
ò f ( x) dx = a. Tính tích phân I = ò xf ( x +1) dx.

a
a
C. I = ×
D. I = ×
2
4
1
Lời giải. Đặt t = x2 +1, suy ra dt = 2xdx ¾¾
® xdx = dt.
2
2
2
ìïï x = 0 ® t = 1
1
1
1
a
. Khi đó I = .ò f ( t) dt = .ò f ( x) dx = .a = . Chọn C.
Đổi cận í
ïïî x = 1® t = 2
2 1
2 1

2
2
A. I = 2a.

B. I = 4a.

2

Câu 62. Cho

1

ò f ( x) dx = 2016. Tính tích phân I = ò
1

A. I = 2016.

0

B. I = 1008.

C. I = 1344.

1
3x +1

.f

(

)

3x +1 dx.

D. I = 3024.
2
® dx = tdt.
Lời giải. Đặt t = 3x +1 Þ t2 = 3x +1, suy ra 2tdt = 3dx ¾¾
3


2
2
ïì x = 0 ® t = 1
2
2
2
. Khi đó I = .ò f ( t) dt = .ò f ( x) dx = .2016 = 1344. Chọn
Đổi cận ïí
ïïî x = 1® t = 2
3 1
3 1
3
C.
2017

Câu 63. Cho

ò

f ( x) dx = 2 . Tính tích phân I =

0

e2017 - 1

ò
0

x
.f é
ln( x2 +1) ù
ê
údx.
ë
û
x +1
2

C. I = 4.
D. I = 5.
2xdx
xdx
dt
2
¾¾
® 2
= .
Lời giải. Đặt t = ln( x +1) , suy ra dt = 2
x +1

x +1 2
ïìï x = 0 ® t = 0
.
Đổi cận: í
ïï x = e2017 - 1 ® t = 2017
î
A. I = 1.

B. I = 2.

2017

Khi đó I =

2017

1
1
1
f ( t) dt = ò f ( x) dx = .2 = 1. Chọn A.
ò
2 0
2 0
2
e

Câu 64. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn

ò

f ( ln x)
x

1

dx = e. Mệnh

đề nào sau đây đúng?
1

A.

1

ò( x) dx = 1.

B.

0

e

ò( x) dx = e.

C.

0

e

ò( x) dx = 1.

D.

0

ò( x) dx = e.
0

ìï x = 1® t = 0
dx
.
Lời giải. Đặt t = ln x, suy ra dt = . Đổi cận: ïí
ïïî x = e® t = 1
x
e

Khi đó e= ò

f ( ln x)

1

x

1

1

dx = ò f ( t) dt = ò f ( x) dx. Chọn B.

0

0

1

Câu 65. Cho

ò f ( x) dx = 2017. Tính tích phân
0

A. I =

p
4

I = ò f ( sin2x) cos2xdx.
0

2
×
2017

B. I =

2017
×
2

C. I = 2017.

D. I = -

2017
×
2

1
Lời giải. Đặt t = sin2x, suy ra dt = 2cos2xdx ¾¾
® cos2xdx = dt.
2
ìï x = 0 ® t = 0
1
1
ïï
dt 1
1
2017
. Khi đó I = ò f ( t) = ò f ( x) dx = .2017 =
. Chọn B.
Đổi cận í
p
ïï x = ® t = 1
2 20
2
2
0
ïî
4
p

2

p
2

0

0

Câu 66. Cho I = cos x. f ( sin x) dx = 2017 . Tính tích phân J = sin x. f ( cos x) dx.
ò
ò
2017
2017
A. J =
.
B. J = - 2017.
C. J = 2017 .
D. J = .
2
2
® sin x dx = - dt.
Lời giải. Đặt t = cos x, suy ra dt = - sin x dx ¾¾
ïìï x = 0 ® t = 1
0
1
ï
J
=
f

t
d
t
=
Đổi cận í
. Khi đó
ò ()
ò f ( t) dt.
ïï x = p ® t = 0
1
0
ïî
2
ïìï t = 0 ® u = 0
ï
.
Tiếp tục ta đặt t = sin u, suy ra dt = cosudu. Đổi cận í
ïï t = 1® u = p
ïî
2
p
2

p
2

0

0

Khi đó I = f ( sin u) cosudu = cos x. f ( sin x) dx = 2017. Chọn C.
ò
ò


1

Câu 67. Cho

ò f ( x) dx = 2017.
0

A. I = 2017.

B. I =
p
8

Lời giải. Viết lại I =
ò
0

p
8

Tính tích phân I = f ( tan2x) dx.
ò 1+ cos4x
0

2017

.
2

f ( tan2x)
1+ cos4x

C. I =
p
8

dx = ò
0

2017
.
4

f ( tan2x)
2cos2 2x

D. I =

2017
.
8

dx .

2
dx

1
dx ¾¾
®=
= dt.
Đặt t = tan2x, suy ra dt =
2
2
cos 2x
2cos 2x 4
ïìï x = 0 ® t = 0
1
1
1
1
2017
ï
. Khi đó I = .ò f ( t) dt = .ò f ( x) dx =
. Chọn C.
Đổi cận í
ïï x = p ® t = 1
4 0
4 0
4
ïî
8
Câu 68. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡

và

1

2

1
2

0

1
4

ò f ( x) dx = 3, ò f ( 2x) dx = 10.

p
2

Tính tích phân I = cos x. f ( sin x) dx.
ò
0

A. I = 23.

B. I = 10.

D. I = 7.

C. I = 8.

1
2

Lời giải.  Xét tích phân

ò f ( 2x) dx = 10.
1
4

ìï
ïï x = 1 ® t = 1
ï
1
4
2.
Đặt t = 2x, suy ra dt = 2dx ¾¾
® dx = dt. Đổi cận: ïí
ïï
1
2
ïï x = ® t = 1
2
ïî
1
2

1

4

2

1

1
® ò f ( t) dt = 20 hay
Khi đó 10 = ò f ( 2x) dx = ò f ( t) dt ¾¾
1
2
1
1
2

1

ò f ( x) dx = 20.
1
2

p
2

 Xét tích phân I = cos x. f ( sin x) dx.
ò
0

ïìï x = 0 ® u = 0
ï
.
Đặt u = sin x, suy ra du = cos xdx. Đổi cận: í
ïï x = p ® u = 1
ïî
2

1

1

1
2

1

Khi đó I = ò f ( u) du = ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = 3+ 20 = 23. Chọn A.
0

0

0

1
2

Câu 69. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và

p
4

1

ò f ( tan x) dx = 4,
0

ò

0

x2 f ( x)
x2 +1

1

Tính tích phân I = ò f ( x) dx.
0

A. I = 6.
Lời giải. Xét

B. I = 2.
p
4

ò f ( tan x) dx = 4.
0

C. I = 3.

D. I = 1.

dx = 2.


Đặt t = tan x, suy ra dt =

1

dt
dx = ( tan2 x +1) dx ¾¾
® dx =
.
cos2 x
1+ t2

p
ìï x = 0 ® t = 0
ïï
1
1
4
f ( t)
f ( x)
. Khi đó 4 = f ( tan x) dx =
Đổi cận: í
p
d
t
=
dx.
ïï x = ® t = 1
2
ò
ò
ò
t +1
x2 +1
ïî

0
0
0
4
1
1
1
f ( x)
x2 f ( x)
dx + ò 2
dx = 4 + 2 = 6. Chọn A.
Từ đó suy ra I = ò f ( x) dx = ò 2
x +1
x +1
0
0
0

Câu 70. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn

p
4

ò tan x. f ( cos x) dx = 1,
2

0

e2

ò

f ( ln x)
2

x ln x

e

2

dx = 1. Tính tích phân I = ò

f ( 2x)
x

1
4

A. I = 1.

B. I = 2.

dx.

C. I = 3.

D. I = 4.

p

4

Lời giải. ● Xét A = tan x. f ( cos2 x) dx = 1. Đặt t = cos2 x.
ò
0

® tan xdx = Suy ra dt = - 2sin x cos xdx = - 2cos2 x tan xdx = - 2t.tan xdx ¾¾

dt
.
2t

ìï x = 0 ¾¾
® t =1
ïï
Đổi cận: í
1.
ïï x = p ¾¾
®t =
ïïî
4
2
1
1
1
1
2
f ( x)
1 f ( t)
1 f ( t)

1 f ( x)
dt = ò
dt = ò
dx ¾¾
®ò
dx = 2.
Khi đó 1= A = - ò
21 t
21 t
21 x
x
1
2
e2

● Xét B = ò
e

Suy ra du =

f ( ln x)

2

2

2

x ln x

dx = 1. Đặt u = ln2 x.

2ln x
2ln2 x
2u
dx
du
dx =
dx =
dx ¾¾
®
= .
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u

ìï x = e¾¾
®u =1
.
Đổi cận: ïí
ïï x = e2 ¾¾
®u= 4
î
4
4
4
f ( x)
1 f ( u)
1 f ( x)

du = ò
dx ¾¾
®ò
dx = 2.
Khi đó 1= B = ò
21 u
21 x
x
1
2

● Xét tích phân cần tính I = ò
1
2

f ( 2x)
x

dx.

ìï
ìï
ïï dx = 1 dv
1
ïï x = 1 ¾¾
® v=
ï
2 .
4
2.

Đặt v = 2x, suy ra ïí
Đổi cận: í
ïï
ïï
v
®v= 4
ïï x =
ïïî x = 2 ¾¾
2
ïî
4
4
1
4
f ( v)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
I
=
d
v
=
d
x
=
d
x
+
ò1 v

ò1 x
ò1 x
ò x dx = 2+ 2 = 4. Chọn D.
Khi đó
1
2

Câu
9

ò
1

f

71.

( x) dx = 4,
x

A. I = 2.

2

Cho

2

hàm

số

f ( x)

liên

p
2

tục

trên

3

ò f ( sin x) cosxdx = 2. Tính tích phân I = ò f ( x) dx.
0

0

B. I = 6.

C. I = 4.

D. I = 10.

¡

và

9

Li gii. Xột

ũ

f

( x)
x

1

dx = 4. t t = x ị t2 = x, suy ra 2tdt = dx.

( )

9 f
3
3
ỡù x = 1đ t = 1
x
. Suy ra 4 =
i cn ùớ
d
x
=
2
f

t
2d
t
ắắ
đ
(
)
ũ x
ũ
ũ f ( t) dt = 2.
ùùợ x = 9 đ t = 3
1
1
1

Xột

p
2

ũ f ( sin x) cosxdx = 2.

t u = sin x, suy ra du = cos xdx.

0

p
ỡù x = 0 đ u = 0
ùù
1

2
. Suy ra 2 = f ( sin x) cos xdx = f ( t) dt.
i cn ớ
ùù x = p đ u = 1
ũ
ũ
ùợ
0
0
2
3

1

3

Vy I = ũ f ( x) dx = ũ f ( x) dx + ũ f ( x) dx = 4. Chn C.
0

0

1

Cõu 72. Ký hiu F ( x) l mt nguyờn hm ca hm s f ( x) =
2

( 0;+Ơ ) . Tớnh tớch phõn I = ũ
1

ex

trờn khong
x

e3x
dx.
x

ự
A. I = 3ộ
ởF ( 2) - F ( 1) ỷ.
F ( 6) - F ( 3)
C. I =
.
3

B. I = F ( 6) - F ( 3) .
ự
D. I = 3ộ
ởF ( 6) - F ( 3) ỷ.

ỡù
ùù dx = 1 dt
ỡù dt = 3dx
ùù
ùỡ x = 1ô t = 3
ù
3
ắắ
đ ớù
. i cn ùớ

.
Li gii. t t = 3x, suy ra ớ
ùù x = t
ùù
ùùợ x = 2 đ t = 6
t
x
=
ùù
3
ợù
3
ùợ
6

Khi ú

I =ũ
3

6

6

et dt
et
ex
. = ũ dt = ũ dx = F ( x)
t 3
t

x
3
3
3

6
3

= F ( 6) - F ( 3) .

Chn B.

Cõu 73. Ký hiu F ( x) l mt nguyờn hm ca hm s f ( x) =
4

khong ( 0;+Ơ ) . Tớnh tớch phõn I = ũ
1

A. I = 2.F ( 8) - F ( 2) .

cos x
trờn
2x

cos2x
dx .
x
B. I = 2.F ( 8) + F ( 2) .

C. I = 2.F ( 8) - 2.F ( 2) .

D. I = 2.F ( 8) + 2.F ( 2) .
ỡù
ùù dx = 1 dt
ỡù dt = 2dx
ùù
ùỡ x = 1đ t = 2
ù
2 .
ắắ
đ ớù
.
Li gii. t t = 2x, suy ra ớ
i cn ùớ
ùù x = t
ùù
ùùợ x = 4 đ t = 8
t
x
=
ùù
2
ợù
2
ùợ
8

8

8

8

8

cost dt
cost
cos x
cos x
Khi ú I = ũ t 2 = ũ t dt = ũ x dx = 2.ũ 2x dx =2.F ( x) = 2F ( 8) - 2F ( 2) .
2
2
2
2
2
2
Chn C.
f ( x) cú o hm liờn tc trờn Ă
Cõu 74. Cho hm s
v
2016

f ( 2016) = a, f ( 2017) = b ( a, bẻ Ă ) . Tớnh tớch phõn I = 2015 ũ f Â( x) . f 2014 ( x) dx.
2017

A. I = b2017 - a2017.
C. I = a2015 - b2015.

B. I = a2016 - b2016.
2015

D. I = b

2015

- a

.


t = f ( x) ,
Lời
giải.
Đặt
ìï x = 2016 ® t = f ( 2016) = a
ï
.
í
ïï x = 2017 ® t = f ( 2017) = b
î
a

suy

dt = f ¢( x) d( x) .

ra

Đổi

cận

a

2014
2015
Khi đó I = 2015.ò t dt = t
b

= a2015 - b2015. Chọn C.
b
2

f ( x)

Câu 75. Cho hàm số

liên tục trên

¡

và

ò f ( x) dx = 3.

Tính

0

1

I = ò f ( 2x ) dx.
- 1

3
B. I = .
2

A. I = 0.

C. I = 3.

1

0

1

- 1

-1

0

D. I = 6.

Lời giải. Ta có I = ò f ( 2x ) dx = ò f ( 2x ) dx + ò f ( 2x ) dx.
0

Xét

ò f ( 2x ) dx.
- 1

ïì x = - 1® t = 1
.
Đặt x = - t, suy ra dx = - dt . Đổi cận ïí
ïïî x = 0 ® t = 0

0

Khi đó ò f ( 2x ) dx = - 1

0

1

1

0

0

ò f ( - 2t ) dt = ò f ( - 2t ) dt = ò f ( 2t ) dt.
1

1

1

Do đó I = 2ò f ( 2x ) dx = 2ò f ( 2x) dx (vì 2x ³ 0, " x Î [ 0;1] ).
0

0

1

Bây giờ ta cần tính I = 2ò f ( 2x) dx. Đặt u = 2x ® du = 2dx.
0

2
2
ïì x = 0 ® u = 0
. Khi đó I = ò f ( u) du = ò f ( x) dx = 3. Chọn C.
Đổi cận: ïí
ïïî x = 1® u = 2
0
0

Vấn đề 2. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2

Câu 76. Tính tích phân I = ò ln xdx.
1

A. I = 2ln2+1. B. I = ln( 4- e) .
ì
dx
ìïï u = ln x ïïï du =
Þ

x .
Lời giải. Đặt í
í
ïïî dv = dx ïï
ïî v = x
2

Khi đó I = x ln x 1

2

C. I = ln4- log10 .

2

2

1

1

D. I = ln4e.

ò dx = x ln x - x = 2ln2- 1= ln4- log10. Chọn C.
1

Cách 2. CASIO Có 2 cách bấm, cụ thể như sau:
2

 Bấm trực tiếp tích phân

ò ln xdx

và so sánh với các kết quả ở các đáp án.

1

2

 Thiết lập hiệu, ví dụ với đáp án A ta bấm

ò ln xdx-

2ln2- 1. Nếu màn hình

1

hiện số 0 thì đáp án đó đúng.
2

Câu 77. Kết quả của tích phân

I = ò ln( x +1) dx

được viết ở dạng

1

I = aln3+ bln2+ c với a, b, c là các số nguyên. Tính P = a+ b+ c.
A. P = 0.

B. P = 1.
C. P = 2.
D. P = 3.


ìï
dx
ï
ïí du = x +1.
ïï
ïî v = x +1

ïì u = ln( x +1)
Þ
Lời giải. Đặt ïí
ïï dv = dx
î
Khi đó I = ( x +1) .ln( x +1)

2

2

2

2

1

1

ò dx = ( x +1) ln( x +1) - x

-

1

1

ïìï a = 3
ï
= 3ln3- 2ln2- 1¾¾
® ïí b = - 2 ¾¾
® P = 0. Chọn A.
ïï
ïïî c = - 1
2

Cách 2. CASIO Tính tích phân I = ò ln( x +1) dx rồi lưu vào biến A.
1

Khi đó aln3+ bln2 + c = A ¬¾
® ln( 3a.2b.ec ) = ln eA ¬¾
® 3a.2b.ec = eA « 3a.2b =
Để tính được 3a.2b ta sử dụng chức năng MODE 7 với hàm f ( X ) =

eA
.
ec

eA
.
eX

Với thiết lập Start - 9, End 10, Step 1 (do a, b, c là các số nguyên).
27
Dễ thấy với X = c = - 1 thì 3a.2b = 6.75 =
= 33.2- 2 ¾¾
® a = 3;b = - 2.
4
e

Câu 78. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính tích phân I = ò x ln xdx.
1

1
A. I = .
2

2

e- 2
.
2
ìï
ïï du = dx
ìïï u = ln x
ï
x
Þ ïí

Lời giải. Đặt í
.
2
ïïî dv = xdx ïï
x
ïï v =
2
ïî
B. I =

e

Khi đó I =

x2 ln x e 1
e2 x2
- ò xdx = 2 1 21
2 4

C. I =

e

=
1

2

e +1
.

4

D. I =

e2 - 1
.
4

e2 +1
. Chọn C.
4
1

Câu 79. Kết quả của tích phân

I = ò x ln( 2+ x2 ) dx

được viết ở dạng

0

I = aln3+ bln2+ c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính tổng S = a+ b+ c.
3
A. S = 0.
B. S = 1.
C. S = .
D. S = 2.
2
ìï
2x

ìï u = ln( 2+ x2 ) ïïï du = 2+ x2 dx
ï
Þ ïí
.
Lời giải. Đặt í
ïï dv = xdx
ïï
x2
2 + x2
î
ïï v = +1=
2
2
ïî
Khi đó I =

2+ x2
ln( 2+ x2 )
2

1
0

1

-

3
x2
x

d
x
=
ln3
ln2
ò
2
2
0

3
1
= ln3- ln2- .
2
2
0

1

3
1
Suy ra a = , b = - 1, c = - ¾¾
® S = a + b+ c = 0. Chọn A.
2
2
Nhận xét. Chắc có bạn đọc không hiểu tại sao chỗ dv = xdx ¾¾
®v=

x2
+1 . Vì

2

x2
. Sao lại cộng thêm 1 ở đây? Ta biết rằng các
2
nguyên hàm sai khác nhau hằng số nên ta cộng thêm hằng số là bao nhiêu
cũng được. Vậy vấn đề là sao không cộng số khác mà là số 1. Ở đây số 1 được
thêm vào để tạo ra lượng mà rút gọn được, cụ thể đó là lượng 2+ x2.
ta thường làm dv = xdx ¾¾
®v=


Cõu

80.

Cho

hai

5

ũ( x +1) ln( x -

3) dx = 5ln aa -

4

A. S = 4.

s

nguyờn

dng

a, b

tha

món

19
ìTớnh S = a+ b.
b

B. S = 6.

D. S = 0.
ỡù
ùù du = 1 dx
5
ỡù u = ln( x - 3)
ù
x- 3
ù
ị ớù
.
Li gii. Tớnh I = ũ( x +1) ln( x - 3) dx. t ớ
2

2
ù
ù
ùợ dv = ( x +1) dx ùù v = x + x = x + 2x
4
ùùợ
2
2
5
5
2
2
2
5
ộổx
ự
ử
x + 2x
35ln2 1 x + 2x
ỗ + xữ
ữ
.ln( x - 3) ỳ
- ũ
dx =
- ũ
dx.
Khi ú I = ờ
ữ
ờỗ
ỗ

ỳ
ữ
2
2 4 x- 3
ứ
ờố 2
ỳ4 4 2( x - 3)
ở
ỷ
5
5
ổx2
ử 5 19
ổ
x2 + 2x
15 ử
ỗ + 5x +15ln x - 3 ữ
ữdx = ỗ
ữ
dx = ũỗ
x + 5+
= +15ln2.
ữ
Tớnh J = ũ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ4

ố
x- 3
x - 3ứ
2
ố2
ứ
4

C. S = 8.

4

ử
35ln2 1
35ln2 1ổ
19
19
19
- J =
- ỗ
= 10ln2= 5ln22 .
ữ
Vy I =
ỗ +15ln2ữ
ữ
ỗ
ứ
2
2
2

2ố 2
4
4
Suy ra a = 2;b = 4 ắắ
đ S = a + b = 6. Chn B.
1

Cõu 81. Kt qu ca tớch phõn I = ũ x ln( 2x +1)

2017

0

a
dx c vit dng I = ln3
b

a
ti gin. Tớnh tng a + b.
b
A. a + b = 6057. B. a + b = 6059.
C. a + b = 6058.

vi phõn s

1

Li gii. Ta cú I = ũ x ln( 2x +1)

2017

0

dx = 2017ũ x ln( 2x +1) dx .
0

ỡù u = ln( 2x +1)
ị
Tớnh J = ũ x ln( 2x +1) dx. t ùớ
ùù dv = xdx
0
ợ
1

x2
Khi ú J = .ln( 2x +1)
2

1

x2
1
- ũ
dx = ln32
x
+
1
2
0
0

1

D. a + b = 6056.

1

ỡù
ùù du = 2 dx
2x +1
ùớù
.
ùù
x2
ùù v =
2
ùợ
1

ổ
1

ũỗỗỗố2 x 0

1 1 1 ử
ữ
+ .
ữ
ữdx
4 4 2x +1ứ

ổ1 2 1
ử
1
1
1
3
ỗ
x - x + .ln 2x +1ữ
ữ
ỗ
ữ0 = 2 ln3- 8 ln3 = 8 ln3.
ỗ
ố4
ứ
4
8
ỡù a = 6051
6051
ln3 ắắ
đ ùớ
đ a + b = 6059. Chn B.
Suy ra I = 2017.J =
ùùợ b = 8
8
1
= ln32

1

2

Cõu 82. Cho a, b, c l cỏc s nguyờn dng tha món

ũx

2

1

a
c
ln x.dx = ln2b
9

a
2
2
2
vi
l phõn s ti gin. Tớnh giỏ tr biu thc T = a + b + c - 2( ab+ bc- ca) .
b
A. T = 252.
B. T = 144.
C. T = - 16.
D. T = - 252.
ỡù
ùù du = 1 dx
ùỡù u = ln x
ù

x
ị ùớ
.
Li gii. t ớ
3
ùùợ dv = x2dx ùù
x
v
=
ùù
3
ùợ
2
2
3
2
ổx
ử
1
8
1 3 2 8
7
2
2
ữ
ữ
.ln
x
x
d

x
=
ln2
.x = ln2- .
ỗ
Khi ú ũ x ln x.dx = ỗ
ữ
ũ
ỗ
ữ1 3
3
9
3
9
1
ố3
ứ
1

1

ắắ
đ a = 8;b = 3;c = 7 ắắ
đT = 144. Chn B.
e
3
Cõu 83. Gi s I = ũ x ln xdx =
1

3ea +1

vi a, b l cỏc s nguyờn dng. Trong
b

cỏc khng nh sau, khng nh no ỳng?