TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Bài 1.

Cho dãy số ( an )

u1 = 1

u = u + 1
 n +1 n 3 u
n
thỏa mãn 

số ( xn ) xác định bởi

xn =

( n ∈ ¥ *)

. Tìm tất cả các số thực

una
n ( n ∈ ¥ * ) hội tụ và giới hạn của nó khác 0.
Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có dãy số ( un ) là dãy số dương và tăng(1).
Giả sử ( un ) bị chặn trên suy ra nó hội tụ. Đặt L = lim un , ta có ngay

L = L+

Vì vậy ( un ) không bị chặn trên (2).

Từ (1) và (2) ta có lim un = +∞ .

1
4
 43

vn = 4
3
lim  un +1 − un ÷
un3 ( n ∈ ¥ * ), ta có lim vn = 0 .

 . Đặt
Xét
4

4
3

4
4
1 
3
1
+
v
vn3 + 4vn2 + 6vn + 4
1
1 (
n ) −1


3
3
4 ÷
un +1 − un = 3 + vn − =
=
8
4

÷ v
vn
n
 v4
÷
3 + ( 1+ v ) 3 +1
1
+
v
(
)
n
n
 n

.

4

4
 4
 4

un3 4
lim  un3+1 − un3 ÷ =
lim
=

 3 . Từ đó
Suy ra
n 3 (sử dụng trung bình Cesaro).


 +∞
4
 3
 
una
un a − 43 ÷ 

lim = lim
.u
= 0
 n n ÷ 
n

÷ 

 4
3

Ta có
Vậy

a=

Bài 2.

4
3
4
khi a <
3
4
khi a =
3.

khi a >

4
3 là giá trị cần tìm.

Cho dãy số ( un )

1

u1 = 2 ; u2 = 3

u .u + 1
un + 2 = n +1 n , ∀n ∈ N *
un+1 + un
xác định như sau: 

a) Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để un > 1 .

1
3
L (vô lý).

a

sao cho dãy


b) Chứng minh rằng ( un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
*
a) Trước hết ta luôn có un > 0, ∀ n ∈ N . Xét

un + 2 − 1 =

( un+1 − 1) ( un − 1)
un +1 + un

(1).

*
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u3n , u3n +1 < 1, ∀n ∈ N và u3n + 2 > 1, ∀ n ∈ N .
*

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) Ta có

un + 2 + 1 =

( un+1 + 1) ( un + 1)
un +1 + u n

(2).

un + 2 − 1 un+1 − 1 un + 1
=
.
, ∀n ∈ N *
Chia vế của (1) cho (2) có un + 2 + 1 un +1 + 1 un + 1
.

Đặt

vn =

un − 1
∀n ∈ N *
*
un + 1
, ta có vn + 2 = vn +1.vn ∀ n ∈ N .

n−1
n− 2
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được vn = v2 .v1 , với

F

F

 F1 = F2 = 1

*
 Fn+ 2 = Fn+1 + Fn , ∀ n ∈ N .
F

F

n−1
n−2
 1  1
vn =  ÷ .  − ÷ → 0
 2  3
Hay
khi n → +∞ , dẫn đến lim un = 1 .

Cho dãy số ( un ) được xác định như sau.

Bài 3.

u1 = 1

*
un +1 = un ( un + 2 ) ( un + 4 ) ( un + 6 ) + 16, ∀ n ∈ ¥ .
n

Đặt

1
i =1 ui + 5 , hãy tính lim vn .

vn = ∑

Hướng dẫn giải
Dễ thấy un > 0, ∀ n ∈ ¥ .
*

Theo bài ra ta có.

u n +1 =

Suy ra

(u

2
n

+ 6un ) ( un2 + 6un + 8 ) + 16 =

un +1 + 1 = ( un + 1) ( un + 5 ) ⇔

(u
1

2
n

+ 6un + 4 ) = un2 + 6un + 4
2

1
1
−
un +1 + 1 un + 1 un + 5 .
=

.

( Fn )

là dãy số Phibonxi:


n
 1
1
1 
1
1
1
1
= ∑
−
−
= −
÷=

u1 + 1 un+1 + 1 2 un+1 + 1 .
i =1 ui + 5
i =1  ui + 1 ui +1 + 1 
n

Do đó

vn = ∑

Mặt khác, từ un +1 = un + 6un + 4 ta suy ra un+1 > 6un .
2

Kết hợp với u1 = 1 ta có.

un > 6n −1 , ∀n ∈ ¥ * ⇒ lim un = +∞ ⇒ lim

1
un +1 + 1

=0

.

1
1  1
lim vn = lim  −
÷=
 2 un +1 + 1  2 .
Từ đó ta có

(

Tìm

)

*
Cho dãy số thực ( un ) với n ∈ ¥ thỏa mãn ln 1 + un + nun = 1, ∀n ∈ ¥ .

Bài 4.

lim

2

n ( 1 − nun )

n →+∞

un

.
Hướng dẫn giải

(

)

*
Với mỗi n ∈ ¥ , đặt f n ( x ) = ln 1 + x + nx − 1, x ∈ ¡ .

2

( x + 1) + n − 1 ≥ 0
2x
f ( x) =
+n=
2
Ta có
.
1+ x
1 + x2
2

'
n

 x = −1
f n' ( x ) = 0 ⇔ 
n = 1 .
Do đó f n ( x ) là hàm tăng thực sự trên

¡ .

 f n ( 0 ) = −1 < 0

 1
1

 f n  n ÷ = ln  1 + n 2 ÷ > 0



Ta có   
.
Do đó ∃ !un ∈ ¡ sao cho f n ( un ) = 0 và
Ta thấy

lim un = 0

n → +∞

0 < un <

1
n.

.

1

2 u2
n =1
lim
ln
1
+
u
(
)
n
n→ +∞


 lim nun = lim 1 − ln ( 1 + un2 )  = 1
 .
n → +∞ 
Do đó:  n→ +∞

1
n ln ( 1 + un )
n ( 1 − nun )


lim
= lim
= lim  nun ln ( 1 + un2 ) un2  = 1.
n → +∞
n → +∞
n → +∞
un
un


Vậy
.
2

*


Cho dãy số ( an )

Bài 5.

4

 a1 = 3
∀n ≥ 1, n ∈ ¥

2
2

thỏa mãn: ( n + 2 ) an = n an +1 − ( n + 1) an an +1
.

Tìm lim an .
Hướng dẫn giải

Dễ thấy an ≠ 0, ∀n ∈ ¥ . Từ giả thiết ta có
*

Với mỗi n ∈ ¥ , đặt
*

yn =

( n + 2)
an +1

2

=

n2
− ( n + 1)
an
.

1 1
+
an 4 ta có y1 = 1 và.

1 2
1
n2
2

2
y
( n + 2 )  yn+1 − ÷ = n  yn − ÷ − ( n + 1) ⇒ ( n + 2 ) yn+1 = n yn ⇒ yn+1 =
2 n
4
4


( n + 2) .
2

2

 n −1
yn = 

÷
n
+
1


Do đó

4n 2 ( n + 1)
4
 n−2 1
...
y
=
⇒
a
=
n

÷  ÷ 1
2
2
 n −1   3 
16 − n 2 ( n + 1) .
( n + 1) n2
2

2

2

Vậy lim an = 4 .
Bài 6.

Tính các giới hạn sau:

x3 − 8
2
a) x → 2 x − 4 .
lim

b)
Hướng dẫn giải

x2 + 2 x + 4)
(
x3 − 8
a ).lim 2
= lim
=3
x→ 2 x − 4
x→ 2
( x + 2)
.

b) lim−
x→ 2

Bài 7.

2x + 1
= −∞
.
x−2
Tính giới hạn

lim
x →1

x + x 2 + ... + x n − n
.
x −1
Hướng dẫn giải

lim
x →1

x + x 2 + ... + x n − n
( x − 1) + ( x 2 − 1) + ... + ( x n − 1)
= lim
x →1
x −1
x −1

( x − 1)[1 + ( x + 1) + ( x 2 + x + 1) + ... + ( x n −1 + ... + 1)]
lim
x →1
x −1
.

lim 1 + ( x + 1) + ( x 2 + x + 1) + ... + ( x n −1 + ... + 1) 
x →1

.

lim−

x→ 2

2x + 1
x−2 .


= 1+ 2 + 3 + … + n =

n(n + 1)
2
.
n

Bài 8.

n là số nguyên dương và a ≠ 0 .Chứng minh rằng:

Cho

Lim
x →0

1 + ax − 1 a

= .
x
n .

Hướng dẫn giải
n
Đặt y = 1 + ax, khi đó từ x → 0 ⇒ y → 1. .
n

Lim
Vậy

x→ 0

Bài 9.

1 + ax
y −1
y −1
a
= aLim n
= a Lim
=
...
=
.
y →1 y − 1
y →1 y − 1 y n −1 + y n − 2 + ... + y +
x
n .

( )(
)

Tính các giới hạn sau:.

lim
a/

1
x sin x

13 + 53 + 93 + ... + (4n − 3)3

[ 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3)]

n →∞

 cos 5 x 
lim 
÷
x → 0 cos 3 x


b/

2

.

Hướng dẫn giải

Câu a.
n

n

i =1

i =1

13 + 53 + 93 + ... + (4n − 3)3 = ∑ (4i − 3)3 = ∑ (64i 3 − 144i 2 + 108i − 27)
n

n

n

i =1

i =1

i =1

= 64∑ i 3 − 144∑ i 2 + 108∑ i − 27 n
1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) =

.

.

n(4n − 2)

= 2n 2 − n
.
2
2

n(n + 1) n 2 n(n + 1)(2 n + 1) n 3  n(n + 1) 
i
=
∑
∑i =
∑ i =  2  .
2 ; i =1
6
Mà ta có các công thức: i =1
; i =1
n

Do đó: P ( x) = 1

3

+ 53 + 93 + ... + (4n − 3)3 là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 64 / 4 = 16 .

Và Q ( x) = [ 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) ] là một đa thức bậc
2

lim
Do đó:

n →∞

13 + 53 + 93 + ... + (4n − 3)3

[ 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3)]

2

=

4 có hệ số bậc 4 là 4 .

16
=4
4
.

Câu b.
cos5 x − cos3 x

cos3 x

 x sin x.cos3 x
1
cos5 x − cos3 x
cos
5
x
−
cos
3

x




 cos 5 x  x sin x lim
1 +
÷
x→0 
lim 

cos 3x


÷
x → 0 cos 3 x




=
.


cos 5 x − cos 3x
−2sin 4 x sin x
 sin 4 x sin x −8 
= lim
= lim 
.

.
= −8
x cos3 x 
Vì x →0 x sin x.cos 3x x→0 x sin x.cos 3 x x →0  4 x
.
lim

cos5 x − cos 3 x
=0
lim ( 1 + u )
Vì x → 0
và áp dụng công thức u → 0
cos3 x
lim

Bài 10.

Cho dãy số ( xn )

1

1
u

 cos5 x  x sin x
lim 
= e −8
÷
=e
x → 0 cos3 x



, nên
.

 x1 = 2

x1 + 2 x2 + 3x3 + ... + (n − 1) xn −1

, n ≥ 1, n ∈ ¥ .
lim un
 xn =
n(n2 − 1)
thỏa mãn 
. Tìm
với

un = ( n + 1)3 xn . .
Hướng dẫn giải

1
x2 = .
Ta có
3
Với n ≥ 3 : x1 + 2 x2 + 3 x3 + ... + nxn = n xn (1).
3

x1 + 2 x2 + 3x3 + ... + (n − 1) xn −1 = (n − 1)3 xn −1 (2).
Từ (1) và (2) ta có nxn = n xn − (n − 1) xn −1 .
3

3

(n − 1)3 xn −1 n − 1 2 n
xn =
=(
).
.xn −1
Suy ra
n3 − n
n
n +1
.
⇒ xn = (

n −1 2 n − 2 2 2 2 n n −1 3
) .(
) ...( ) .
.
... x2
n
n −1
3 n+1 n
4 .

4(n + 1)
4
lim
=4
2

⇒ xn = 2
lim un
n
n (n + 1) suy ra
=
.
2

Bài 11.

Tính giới hạn hàm số :

L = lim
x →1

3x + 1. 3 2 − x − 2
.
x −1
Hướng dẫn giải

Ta có:.

3x + 1. 3 2 − x − 2
3x + 1. 3 2 − x − 3x + 1 + 3x + 1 − 2
lim
= lim
x →1
x →1
.
x −1

x −1

=

lim 3 x + 1
x →1

3

2 − x −1
3x + 1 − 2
+ lim
x →1
x −1
x −1 .

( 3 2 − x − 1)  3 (2 − x) 2 + 3 2 − x + 1

 + lim ( 3x + 1 − 2)( 3x + 1 + 2)
lim 3 x + 1
x →1
x →1
( x − 1)( 3 x + 1 + 2)
( x − 1)  3 (2 − x ) 2 + 3 2 − x + 1


=
.

lim 3 x + 1
x →1

=

lim
x →1

=

(2 − x − 1)
( x − 1)  3 (2 − x) 2 + 3 2 − x + 1



−( 3 x + 1)
 3 (2 − x) 2 + 3 2 − x + 1



Bài 12.

(3x + 1 − 4)
x →1 ( x − 1)( 3 x + 1 + 2)

+ lim

3
x →1 ( 3 x + 1 + 2)

+ lim

.

1
= 12 .

x 2 + 3 − 2011x + 2009
Lim
Tính: x →1
.
x −1
Hướng dẫn giải

lim
x →1

x 2 + 3 − 2 − 2011( x − 1)
x2 + 3 − 4
= lim[
− 2011]
x →1 ( x − 1)( x + 3 + 2)
x −1

= lim(
x →1

Bài 13.

x +1

4021
− 2011) = −
2
x+3+2

Cho dãy số ( an )

.

4

 a1 = 3
∀n ≥ 1, n ∈ ¥

( n + 2 ) 2 a = n 2 a − ( n + 1) a a
n
n +1
n n +1
thỏa mãn: 
. Tìm lim an .
Hướng dẫn giải

Dễ thấy an ≠ 0, ∀n ∈ ¥ . Từ giả thiết ta có
*

Với mỗi n ∈ ¥ , đặt
*

yn =

( n + 2)
an +1

2

n2
= − ( n + 1)
an
.

1 1
+
an 4 ta có y1 = 1 và.

1 2
1
n2
2
2
2
n
+
2
y
−
=
n
y
−
−

n
+
1
⇒
n
+
2
y
=
n
y
⇒
y
=
y
(
)  n+1 ÷  n ÷ ( ) (
) n+1
n
n +1
2 n
4
4


n
+
2
(
) .

4n 2 ( n + 1)
4
 n −1  n − 2   1 
yn = 
⇒ an =
÷
÷ ...  ÷ y1 =
2 2
2
n
+
1
n
−
1
3






n
+
1
n
16 − n 2 ( n + 1) .
(
)
Do đó

2

2

2

2

Vậy lim an = 4 .

Bài 14.

Cho dãy số { xn }

1
a
x1 > 0, xn = (3 xn −1 + 3 ), n = 2,3,...
4
xn −1
thỏa mãn
.
Hướng dẫn giải

1
a
xn = ( xn−1 + xn−1 + xn−1 + 3 ) ≥ 4 a
4
xn −1
Ta có
với mọi n ≥ 2 .

Do đó dãy { xn } bị chặn dưới.


xn 3
a
3 1
= + 4 ≤ + =1
Với mọi n ≥ 3 , ta có xn −1 4 4 xn −1 4 4
⇒ xn ≤ xn –1 .
Do đó { xn } là dãy giảm.
Từ đó suy ra dãy { xn }

Bài 15.

có giới hạn và dễ dàng tìm được

lim xn = 4 a

.

 x1 = 3

1

xn +1 = 3 − , ∀n = 1, 2,3,...

xn
Cho dãy số thực ( xn ) : 
. Xét dãy số ( yn ) cho bởi :

(3 + 5) n
yn = n
; ∀ n = 1, 2,3,...
2 .x1.x2 .x3 ...xn
Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn và tính giớn hạn đó.
Hướng dẫn giải

 Ta có :

xn +1 = 3 −

1
⇒ xn .xn +1 = 3xn − 1 ; ∀n = 1, 2,3,...
xn
.

 Đặt : zn = x1.x2 .x3 ...xn thì ta có zn + 2 = x1.x2 .x3 ...xn .xn+1.xn + 2 .

= zn .xn+1.xn + 2 .
= zn .(3xn+1 − 1) .
= 3zn xn+1 − zn .
= 3 zn + 1 − z n .
 z1 = x1 = 3

8

 z2 = x1.x2 = 3. = 8
3

Khi đó :  zn + 2 = 3 zn +1 − zn ; ∀n = 1, 2,3,... . Suy ra ( zn ) là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2.

Xét phương trình đặc trưng :

t 2 − 3t + 1 = 0 ⇔ t =

3± 5
2 .
n

n

 3− 5 
 3+ 5 
zn = α 
÷÷ + β 
÷÷
 2 
 2  .
Dãy có số hạng tổng quát dạng
 3 − 5 
 3+ 5 
α
+


÷
5−3 5
÷  2 ÷
÷β = 3
 2 

α =



10

⇔




7+3 5
 7−3 5
β = 5 + 3 5
 2 ÷
÷α +  2 ÷
÷β = 8




10 .
trong đó : 


 Lúc này, ta có.
n

 3+ 5 


÷
2 
(3 + 5) n

yn = n
=
=
2 .x1.x2 .x3 ...xn
zn

lim yn =
Suy ra :

 Vậy :

Bài 16.

yn →

n

 3+ 5 

÷
1
 2 
=
n
n
n

 3− 5 
 3+ 5 
 3− 5 
α
÷ +β
÷ α
÷ +β
2
2
3
+
5






.

1
n

 3− 5 
α .lim 
÷ +β
 3+ 5 

=

1
1
3 5 −5
=
=
β 5+3 5
2
10

.

3 5 −5
khi n → +∞
.
2

Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u0 = 1 ,

un +1 =

un
∀n ∈ ¥
lim n3un = ?
n un + un2 + 1
. Tìm n→ +∞
.
2

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết

un +1 =

n
un
un
1
*
u
<
=
∀
n
∈
¥
∀
n
∈
¥
vn = ∑ uk
n +1
n 2un + un2 + 1
n 2u n n 2
ta có
nên ( vn ) xác định bởi
có
k =0

giới hạn hữu hạn, giả sử

Cũng từ

⇔

un +1 =

lim vn = c

n → +∞

( c hữu hạn).

un
1
1
= n 2 + un + ∀n ∈ ¥
∀n ∈ ¥
2
n u n + un + 1
un
ta có un +1
.
2

1
1
− = n 2 + u n ∀n ∈ ¥
un +1 un
.

1 1
− = 02 + u0
Do đó u1 u0
.
1 1 2
− = 1 + u1
u2 u1
.
….

1
1
−
= (n − 1) 2 + un −1
u n u n −1
.
1 1 (n − 1)n(2n − 1) n −1
− =
+ ∑ uk
u
u
6
k =0
Cộng theo vế ta được : n
.
0
⇒

1

(n − 1)n(2n − 1) vn −1 + 1
=
+
n un
6n3
n3 .
3


1 + vn
=0
lim v = c
Mà n → +∞ n3
( do n→ +∞ n
) nên.
lim

1
( n − 1)n(2n − 1) 1
= lim
=
3
lim n3un = 3
n →+∞ n u
n →+∞
6
n
3
n
→ +∞

hay
.
n

⇒ lim

Bài 17.

3

Cho dãy số ( xn ) xác định bởi :
hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

x1 = 1, xn +1 = 1 +

4
, ∀n ≥ 1
1 + xn
. Chứng minh dãy ( xn ) có giới

Hướng dẫn giải

Ta có

x2 = 1 +

Hàm số

Ta có

4
4
4
= 3; x3 = 1 + = 2 > x1; x4 = 1 + < x2
.
2
4
3

f ( x) = 1 +

xn +1 = 1 +

4
1 + x liên tục và nghịch biến trên [0,+), 1 < f ( x ) ≤ 5 .

4
= f ( xn ), ∀n
1 + xn
 ( xn ) bị chặn.

x1 < x3 ⇒ f ( x1 ) > f ( x3 ) ⇒ x2 > x4 ⇒ f ( x2 ) < f ( x4 ) ⇒ x3 < x5 ⇒ ... .
suy ra dãy ( x2 n +1 ) tăng và dãy ( x2 n ) giảm suy ra ( x2 n +1 ),( x2 n ) là các dãy hội tụ.
Giả sử lim x2 n = a;lim x2 n +1 = b ( a, b ≥ 1) .
Từ x2 n+ 1 = f ( x2 n ) ⇒ lim x2 n+ 1 = lim f ( x2 n ) ⇒ b = f (a) .
Từ x2 n + 2 = f ( x2 n +1 ) ⇒ lim x2 n + 2 = lim f ( x2 n +1 ) ⇒ a = f (b) .

4

b = 1 + 1 + a

⇔ a=b= 4=2

4
a = 1 +
1+ b
Giải hệ phương trình 
. Vậy lim xn = 2 .

Bài 18.

xn
1
x
=
(1
−
)
x
+
lim x
n
+
2
n
+
1
Cho x1 = 2014, x2 = 2013 và
n
n , n = 2,3,... Tìm n→ ∞ n .
Hướng dẫn giải

(− 1)
xn +1 − xn
( − 1) n
( −1) n
xn + 2 = x1 − ∑
xn + 2 − xn+1 = −
⇒ xn+ 2 − xn +1 =
( x2 − x1 ) = −
Ta có
n
n!
n ! và
k =1 k ! .
n

∞
( −1) k
( −1) k
1
= x1 + 1 − ∑
= x1 + 1 −
e.
k =1 k !
k =0 k !
∞

Dãy này rõ ràng hội tụ và có giới hạn là

x1 − ∑

k


Từ đó suy ra

lim xn = 2015 −

n → +∞

1
e .