tìm số dường tiệm cận của hàm số

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 4.2 Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2D1-4.2-2] [THPT chuyên ĐHKH Huế] Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên nửa khoảng

( −2;1)

lim + f ( x ) = 2, lim− f ( x ) = −∞ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
và có x→−
2
x→1

A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 .
B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) không có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và một tiệm cận ngang
là đường thẳng y = 2 .
D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 nếu
lim + f ( x ) = −∞ .
hoặc x→−
2
Câu 2.

lim f ( x ) = +∞

x→−2+

[2D1-4.2-2] [THPT chuyên ĐHKH Huế] Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

2x
2

x +1

.

D. 1.

Chọn D.
2x

x→+∞

Câu 3.

2

x +1

x →+∞

= 0, lim

2x

2
x

= lim
= 0. .
1
1
x→−∞ x + 1 x→−∞
1+ 2
1+ 2
x
x
Suy ra đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang.
Ta có lim

= lim

2
x

2

[2D1-4.2-2] [Minh Họa Lần 2] Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 x − 1 − x2 + x + 3
.
x2 − 5x + 6
A. x = 3 .
C. x = −3 và x = −2 .
y=

B. x = 3 và x = 2 .
D. x = −3 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Tập xác định D = ¡ \ { 2;3} .

TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

( 2 x − 1) − ( x 2 + x + 3)
2 x −1 − x2 + x + 3
lim
= lim+
x → 2+
x →2
x2 − 5x + 6
( x2 − 5x + 6 ) 2 x − 1 + x2 + x + 3

2

(

= lim+
x →2

= lim+
x →2

(x

( 2 x − 1)

2

(

2

− ( x 2 + x + 3)

− 5x + 6 ) 2 x − 1 + x + x + 3
2

(3 x + 1)

( x − 3) ( 2 x − 1 +

x2 + x + 3

)

=−

)
)

.

7
6

2x −1 − x2 + x + 3
7
= − . Suy ra đường thẳng x = 2 không là tiệm cận đứng của
2
x →2
x − 5x + 6
6
đồ thị hàm số đã cho.
Tương tự lim−

2 x − 1 − x2 + x + 3
2 x −1 − x2 + x + 3
lim
= +∞; lim−
= −∞ .
x →3+
x →3

x2 − 5x + 6
x2 − 5x + 6
Suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 4.

[2D1-4.2-2] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Đường cong ( C ) : y =
tiệm cận?
A. 4 .

B. 2 .

C. 1.
Hướng dẫn giải

5x + 2
có bao nhiêu
x2 − 4

D. 3 .

Chọn D.
 lim+ y = +∞
 x→2
⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

y = −∞
 xlim
−
→2
 lim + y = +∞

 x →( −2 )
⇒ x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

y = −∞
 x →lim
−
 ( −2 )
lim y = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →±∞

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Câu 5.

[2D1-4.2-2] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm
x2 + 2x − 3
số y = 2
.
x − 4x + 3
A. x = 1 .
B. x = 1 và x = 3 .
C. x = 3 .
D. y = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
x ≠ 1
2
Điều kiện: x − 4 x + 3 ≠ 0 ⇔ 
.
x ≠ 3
Khi đó y =

x 2 + 2 x − 3 ( x − 1) ( x + 3) x + 3
=
=
..
x 2 − 4 x + 3 ( x − 1) ( x − 3) x − 3

y = −∞ và lim+ y = +∞ nên x = 3 là đường tiệm cận đứng.
Ta có xlim
→3−
x →3

TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 6.

PHƯƠNG PHÁP

[2D1-4.2-2] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Hàm số y =
nhiêu đường tiệm cận ?
A. 3.
B. 1.

2 x + 4 x2 − 3x + 2
có bao
x−2

C. 4.
Hướng dẫn giải

D. 2.

Chọn A.
Câu 7.
Câu 8.

TXĐ: D = ¡ \ { 2} .
y = +∞ , lim− y = −∞ nên TCĐ x = 2 .
Khi đó: xlim
→ 2+
x→2

y = 4 , lim y = 0 nên TCN y = 0 và y = 4 .
Câu 9. Và xlim
→+∞
x →−∞
Câu 10. Vậy: Hàm số có 3 đường tiệm cận.

x4 − 2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận.
x2 − 4
C. 1.
D. 4 .
Hướng dẫn giải

Câu 11. [2D1-4.2-2] [BTN 169] Đồ thị hàm số y =
A. 2 .

B. 3 .

Chọn B.
x4 − 2
lim
= 1 suy ra đường thẳng y = 1 là TCN.
x →±∞ x 2 − 4

x4 − 2
= +∞ 
2
x →−2

x −4
 ⇒ đường thẳng x = −2 là TCĐ.
4
x −2

lim 2
= −∞ 
x →−2+ x − 4

lim−


x4 − 2
= −∞ 
2
x →2


x −4
 ⇒ đường thẳng x = 2 là TCĐ. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 TC.
4
x −2

lim 2
= +∞ 
x → 2+ x − 4

lim−

Câu 12. [2D1-4.2-2] [THPT THÁI PHIÊN HP] Đồ thị hàm số y =
đường tiệm cận?
A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .
Hướng dẫn giải

9 − x2
có bao nhiêu
x2 − 3x − 4
D. 4 .

Chọn C.
 −3 ≤ x ≤ 3
9 − x 2 ≥ 0


⇔ x ≠ 4
⇒ D = [ −3;3] \ { −1} .
Điều kiện:  2
 x − 3 x − 4 ≠ 0
 x ≠ −1

Ta có.

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

lim − y = lim −

x →( −1)

x →( −1)

lim + y = lim +

x →( −1)

x →( −1)

PHƯƠNG PHÁP

9 − x2
= lim
( x + 1) ( x − 4 ) x →( −1) −

9 − x2
x − 4 = +∞
x +1

9 − x2
= lim
( x + 1) ( x − 4 ) x →( −1) +

9 − x2
x − 4 = −∞
x +1

.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 .
Câu 13. [2D1-4.2-2] [THPT THÁI PHIÊN HP] Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số y =

x+3
x2 + 1

..

A. 2.

B. 3.

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 0.

Chọn A.
Câu 14. Ta có xlim
→±∞

x+3
x2 + 1

= ±1 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = ±1. .

Câu 15. [2D1-4.2-2] [THPT HÀM LONG] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số sau y =
A. 3 .

B. 2 .

C. 1.
Hướng dẫn giải

2x − 4
x2 −1

.

D. 4 .

Chọn D.
2x − 4
2x − 4

lim
= 2; lim
= −2 nên y = ±2 là tiệm cận ngang.
2
x →+∞
x →−∞
x −1
x2 − 1
2x − 4
2x − 4
lim+
= −∞; lim−
= +∞ nên x = ±1 là tiệm cận đứng.
x →1
x →−1
x2 −1
x2 −1
Câu 16. [2D1-4.2-2] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Đồ thị hàm số y =
A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .
Hướng dẫn giải

x +1
có bao nhiêu tiệm cận?
x- 1

D. 1 .

Chọn A.

x +1
có đồ thị (C), TXĐ: D = R \ { 1} .
x −1
y = lim y = 1 ⇒ tiệm cận ngang y = 1. .
Ta có: xlim
→+∞
x →−∞
Xét hàm số: y =

lim y = +∞ ⇒ tiệm cận đứng là x = 1 .

x →1+

x +1

là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số này được suy ra từ đồ thị ( C ) bằng
x −1
cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị nằm bên
phải trục tung.
x +1
Do đó, hàm số y =
sẽ có 3 đường tiệm cận là x = 1, x = −1; y = 1 .
x −1
Vì hàm số y =

TRANG 4

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 17. [2D1-4.2-2] [THPT Lý Thái Tổ] Hỏi đồ thị hàm số y =
cận ?
A. 3 .

B. 1.

2x + 1
có bao nhiêu đường tiệm
2 − x − x2

C. 4 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn A.
y = lim y = 0 ⇒ y = 0 là đường tiệm cận ngang.
Ta có: xlim
→+∞
x →−∞
lim y = −∞; lim− y = +∞ ⇒ x = 1 là đường tiệm cận đứng.
x →1

x →1+

lim y = −∞;

x →( −2)+

lim y = +∞ ⇒ x = −2 là đường tiệm cận đứng.

x →( −2) −

Câu 18. [2D1-4.2-2] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Đồ thị hàm số y =
cận?
A. 4 .

B. 3 .

x 2 − 3x + 2
có bao nhiêu đường tiệm
1 − x2

C. 1 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn D.

 x 2 − 3x + 2 
Câu 19. Ta có lim

÷ = −1 , y = −1 là tiệm cận ngang.
2

x →∞
 1− x

2
 x − 3x + 2 
 x−2  1
Câu 20. lim

÷ = lim

÷= ;
2
x →1
x
→
1
 −1 − x  2
 1− x

 x 2 − 3x + 2 
 x−2 
lim+ 
= lim+ 
÷
÷ = +∞ x = −1 là tiệm cận đứng.
2
x →−1
 1− x
 x →−1  −1 − x 
Câu 22. Có 2 đường tiệm cận.

Câu 21.

x2 + 2x
Câu 23. [2D1-4.2-2] [THPT Lương Tài] Đồ thị hàm số y = 2
có mấy đường tiệm cận.
x −4
A. 3 .
B. 4 .
C. 1.
D. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có y =

x2 + 2 x
x
. Có TCN y = 1 , TCĐ x = 2 .
=
2
x −4 x−2

Câu 24. [2D1-4.2-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Tổng số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số
y=

x2 − 2x − 3
.
x−2

A. 3 .

B. 1.

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 4 .

Chọn C.

lim

x →−∞

x2 − 2x − 3
= lim
x →−∞
x−2

2 3
−
x x 2 = −1 .
x−2

−x 1−

TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

x − 2x − 3
= lim
x →−∞
x−2
2

lim

x →+∞

Không tồn tại lim±
x →2

PHƯƠNG PHÁP

2 3
−
x x 2 = 1 ⇒ Hàm số có 2 tiệm cận ngang.
x−2

x 1−

x2 − 2 x − 3
nên hàm số không có tiệm cận đứng.
x−2

Vậy tổng có 2 tiệm cận.
x−2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 − 9

C. 4 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải

Câu 25. [2D1-4.2-2] [THPT Thuận Thành 2] Đường cong y =
A. 3 .

B. 2 .

Chọn A.
Câu 26. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng: x = ±3 .
Câu 27. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang: y = 0 .
Câu 28. [2D1-4.2-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y = f(x)=

2x − 3
x2 + 1

A. 1.

là:
C. 0 .
Hướng dẫn giải

B. 2 .

D. 3 .

Chọn B.
y = −2; lim y = 2 nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.

Vì xlim
→−∞
x →+∞
Câu 29. [2D1-4.2-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Cho hàm số y =
của đồ thị hàm số bằng:
A. 3 .
B. 1.

x2 + x + 1
. Số đường tiệm cận
x−2
D. 0 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
lim y = 1; lim y = −1; lim+ y = +∞; lim− y = −∞ .
x →+∞

x →−∞

x→2

x →2

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
f ( x) = 3 và
Câu 30. [2D1-4.2-2] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Cho hàm số y = f ( x) có limx →+∞
lim f ( x) = −3 . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG ?

x →−∞

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 3 và y = −3 .
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 3 và x = −3 .
D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Theo định nghĩa về tiệm cận ngang : Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) = y0 ; lim f ( x ) = y0 .
f ( x ) = 3 và lim f ( x ) = −3 .
Theo đề bài ta có xlim
→+∞
x →−∞

x →+∞

x →−∞

TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Nên đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 3 và y = −3 .
Câu 31. [2D1-4.2-2] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Đồ thị của hàm số y =
nhiêu đường tiệm cận.
A. 0 .

B. 3 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

x +1
có bao
x + 2x − 3
2

D. 1.

Chọn B.
Tập xác định D = ¡ \{1; −3} .
x +1
lim 2
= 0 ⇒ TCN : y = 0 .
x →±∞ x + 2 x − 3
x +1
x +1
lim− 2
= −∞; lim+ 2
= +∞ ⇒ TCĐ : x = 1
x →1 x + 2 x − 3
x →1 x + 2 x − 3
.
x +1
x +1
lim 2

= −∞; lim+ 2
= +∞ ⇒ TCĐ : x = −3
x →−3− x + 2 x − 3
x →−3 x + 2 x − 3
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
Câu 32. [2D1-4.2-2] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên
sau. Hỏi đồ thị hàm số đó có mấy tiệm cận.

Câu 33.
A. 3 .

B. 1.

.
C. 4 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn D.
Câu 34. Ta có.
y = 2 Þ y = 2 là tiệm cận ngang.
Câu 35. • xlim
®- ¥
y =- 2 Þ y =- 2 là tiệm cận ngang.
Câu 36. • xlim
®+¥
y =- ¥ , lim+ y = +¥ Þ x = 2 lả tiệm cận đứng.
Câu 37. • xlim
® 2x® 2

Câu 38. [2D1-4.2-2] [THPT Nguyễn Thái Học(K.H)] Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số : y =
là :
A. 1.

B. 4 .

3x + 1
x2 − 4

D. 3 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Đồ thị hàm số y =

3x + 1
có hai tiệm cận đứng là x = ±2 và một tiệm cận ngang y = 0 .
x2 − 4

Do đó số tiệm cận của đồ thị hàm số là 3 .
Câu 39. [2D1-4.2-2] [THPT Chuyên NBK(QN)] Đồ thị hàm số y =
A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .

x+4
x2 − 4

có bao nhiêu tiệm cận?
D. 2 .
TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đồ thị ( C ) của hàm số đã cho nhận x = ±2 là tiệm cận đứng.
4
1+
x+4
x = 1 =1 ⇒ y =1
y = lim
= lim
Ta có xlim
là một tiệm cận ngang của ( C ) . .
2
→+∞
x →+∞
1
x − 4 x →+∞ 1 − 4
x2
4

−1 −
x+4
x = −1 = −1 ⇒ y = −1
lim y = lim
= lim
là một tiệm cận ngang của ( C ) . .
2
x →−∞
x→−∞
x →−∞
4
1
x −4
1− 2
x
Tóm lại ( C ) có tất cả 4 tiệm cận.
Câu 40. [2D1-4.2-2] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y=

x+3
x2 + 1

.

A. 2.

B. 0.

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 3.

Chọn A.
Câu 41. Ta có xlim
→±∞

x+3
x2 + 1

= ±1 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = ±1 .
x −1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x − 3x + 2
C. 3 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải

Câu 42. [2D1-4.2-2] [BTN 175] Đồ thị hàm số y =
A. 1.

B. 4 .

2

Chọn D.
TCD x = 2 và TCN : y = 0 .
Câu 43. [2D1-4.2-2] [BTN 171] Đồ thị hàm số y =
A. 2 .

B. 4 .

x + 2016

có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 − 5
C. 1.
D. 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
y = lim
Ta có: xlim
→±∞
x →±∞

y =1
= ±1 ⇒ 
là 2 tiệm cận ngang.
x2 − 5
 y = −1

x + 2016

 lim+ y = +∞ 
x= 5
 x→ 5
⇒
Lại có: 
là tiệm cận đứng.

y
=
+∞
x
=
−
5

 xlim
−

→ 5
x4 − 2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận.
x2 − 4
C. 1.
D. 4 .
Hướng dẫn giải

Câu 44. [2D1-4.2-2] [BTN 169] Đồ thị hàm số y =
A. 2 .

B. 3 .

Chọn B.

TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

lim

x →±∞

PHƯƠNG PHÁP

x4 − 2
= 1 suy ra đường thẳng y = 1 là TCN.
x2 − 4


x4 − 2
=
+∞

x →−2

x2 − 4
 ⇒ đường thẳng x = −2 là TCĐ.
x4 − 2

lim+ 2
= −∞ 
x →−2
x −4

lim−



x4 − 2
=
−∞

x →2

x2 − 4
 ⇒ đường thẳng x = 2 là TCĐ. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 TC.
x4 − 2

lim+ 2
= +∞ 
x →2
x −4

lim−

Câu 45. [2D1-4.2-2] [BTN 166] Cho hàm số y =

f ( x)
f ( x ) = 1 và
với f ( x ) ≠ g ( x ) ≠ 0 , có xlim
→+∞
g ( x)

lim g ( x ) = −1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

x →+∞

A. Đồ thị hàm số có thể có nhiều hơn một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = −1 .
C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
lim f ( x )
1
x →+∞
lim
y
=
=
= −1 suy ra y = −1 là tiệm cận ngang. Rõ ràng đồ thị hàm số có
Ta có: x →+∞
lim g ( x ) −1
x →+∞

thể nhiều hơn một tiệm cận.
Câu 46. [2D1-4.2-2] [THPT – THD Nam Dinh] Cho hàm số y =

x

(

x2 − 2x + x

) có đồ thị ( C ) .

x −1
n

Kí hiệu là số tiệm cận ngang, d là số tiệm cận đứng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. n < d .
B. n + d = 4 .
C. n > d .
D. n + d = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
2

 x 2 − 2 x ≥ 0
⇔ x ∈ ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ ) \ { −1} .
Ta có điều kiện  2
 x − 1 ≠ 0
lim

x

(

x →+∞

lim−

x

(

x2 − 2x + x
x2 −1

) = 2; lim x (
x →−∞

x2 − 2x + x

x2 − 2x + x

) = −∞; lim x (

x2 −1

) =0;

x2 − 2x + x

) = +∞ .

x →−1
x −1
x −1
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = 2; y = 0 , có 1 tiệm cận đứng là đường
thẳng x = −1. .
2

x →−1

+

2

Câu 47. [2D1-4.2-2] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình)] Số tiệm cận của đồ thị hàm số
f ( x) =

1
x − 2x
2

−

1
x −x
2

là:
TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. 5 .

PHƯƠNG PHÁP

B. 3 .

C. 4 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn B.
 x 2 − 2 x > 0
x > 2
⇔
..
Điều kiện:  2
 x − x > 0
x < 0
1

f ( x) =

x2 − 2x

1

−

x2 − x

lim f ( x ) = 0 ⇒ y = 0

x →±∞

=

x2 − x − x2 − 2x
x2 − x. x2 − 2x

=

x2 − x. x2 − 2x

(

x

)

x2 − x + x2 − 2x .

.

f ( x ) = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang,.
Ta có: +) xlim
→±∞
+)

lim− f ( x ) = lim−

x →0

= lim−
x→0

x2 − x. x2 − 2x

x →0

1 − x. 2 − x

(

(

x
x2 − x + x2 − 2x

−1

)

x2 − x + x2 − 2x

= −∞

).

.

⇒ x = 0 là tiệm cận đứng.
+)

lim+ f ( x ) = lim+

x →2

x→2

x2 − x. x2 − 2x

(

x
x2 − x + x2 − 2x

)

= +∞ ⇒ x = 2

là tiệm cận đứng.

Câu 48. [2D1-4.2-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Tổng số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số
y=

x2 − 2x − 3
.
x−2

A. 3 .

B. 1.

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 4 .

Chọn C.

lim

x − 2x − 3
= lim
x →−∞
x−2

lim

x − 2x − 3
= lim
x →−∞
x−2

2

x →−∞

2

x →+∞

Không tồn tại lim±
x →2

2 3
−
x x 2 = −1 .
x−2

−x 1−

2 3
−
x x 2 = 1 ⇒ Hàm số có 2 tiệm cận ngang.
x−2

x 1−

x2 − 2 x − 3
nên hàm số không có tiệm cận đứng.
x−2

Vậy tổng có 2 tiệm cận.
Câu 49. [2D1-4.2-2] [BTN 176] Đồ thị hàm số y =
A. 4 .

B. 2 .

2x − 3

có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 −1
C. 3 .
D. 1.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

TRANG 10

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

y=

PHƯƠNG PHÁP

2x − 3

TXĐ: D = (−∞;1) ∪ (1; = ∞) .
x2 −1
y = −2 suy ra đường thẳng y = −2 là TCN của đồ thị hàm số.
Ta có: xlim
→−∞
lim y = −2 suy ra đường thẳng y = 2 là TCN của đồ thị hàm số.

x →+∞

lim y = −∞ suy ra đường thẳng x = 1 là TCN của đồ thị hàm số.

x →1+

Vậy đồ thị của hàm số đã cho có tổng cộng 4 đường tiệm cận.
Câu 50. [2D1-4.2-2] [BTN 168] Đồ thị hàm số y =
đứng ?
A. 1 .

B. 0 .

x 2 − 3x + 2
3

x4 −1

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Chọn A.
Hàm số có TXĐ: D = ¡ \ { −1;1} .
x 2 − 3x + 2

x →−1

3

= +∞; lim+

x 2 − 3x + 2

= −∞ .
3 4
x →−1
x4 −1
x −1
x 2 − 3x + 2

x 2 − 3x + 2
3
= lim+
=− .
Và lim− 3 4
3
4
x →1
x →1
4
x −1
x −1
Nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x = −1 .
Ta có: lim−

Lưu ý: Một số bạn nhìn vào hàm số, xem số điểm mà tại đó hàm số không xác định để kết luận
ngay số đường tiệm cận đứng là sai lầm.
Câu 51. [2D1-4.2-2] [BTN 168] Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x+5
.
x2 + 1

A. x = 1 và x = −1 .
B. x = 1 .
C. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
D. x = −1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
TXĐ: D = ¡ suy ra đồ thị hàm số không TCĐ.

Câu 52. [2D1-4.2-2] [Cụm 8 HCM] Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 0 .

B. 3 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

3
+ x là.
3x + 1
D. 1.

Chọn A.
x ≥ 0
3

+ x là 
Điều kiện xác định của hàm số y =
1 ⇔ x≥0.
3x + 1
 x ≠ − 3
Ta có lim+ y = 3; lim y = +∞ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận.
x →0

x →+∞

TRANG 11