Bài tập tổng hợp nón- trụ -cầu ( mức độ 3)

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 4.1 Bài tập tổng hợp nón-trụ-cầu.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2H2-4.1-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn
đường kính AB như hình vẽ. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD . Biết
AB = 4; AD = 6 Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục IJ là:

A. V =

56
π.
3

.
104
40
π.
B. V =
C. V = π .
3
3
Hướng dẫn giải

D. V =

88
π.
3

Chọn D.
Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có R = 2 ; hình
chữ.
nhật ABCD tạo thành hình trụ có r = 2; h = 6 .
1 4
16π
2
⇒ Thể tích nửa khối cầu là V1 = . π R 3 =
. Thể tích khối trụ là V2 = π r h = 24π .
2 3
3
88π
⇒ V = V1 + V2 =
.
3
Câu 2.

[2H2-4.1-3] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a .
Một mặt cầu tiếp xúc với các đường sinh của hình trụ và hai đáy của hình trụ. Tỉ số thể tích của
khối trụ và khối cầu là.
4
1
3
A. .
B. 2 .
C. .

D. .
3
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.

.
Do thiết diện đi qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh 2a nên bán kính đáy, chiều cao của
hình trụ lần lượt là và mặt cầu nội tiếp khối trụ có bán kính là a. .
2
3
Thể tích khối trụ là: VT = h.π .R = 2.π .a . .
4
4 3
3
Thể tích khối cầu là: VC = π R = π a . .
3
3
TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

VT 3
= ..
VC 2

Tỉ số thể tích là
Câu 3.

PHƯƠNG PHÁP

[2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cắt hình nón đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng đi
qua trục SO của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh bên độ dài bằng a . Tính diện tích
của mặt cầu nội tiếp hình nón đã cho.
4 2
2
2
A. 2π 3 − 2 2 a .
B. π a .
C. 2π 3 + 2 2 a .
D. 2π a 2 .
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.

(

(

)

Ta thấy ∆SIH : ∆SAO ( g - g ) .
SI IH
SO − IO IO
⇒
⇔
=
=

SA AO
SA
AO

)

.

( Vì IO = IH )

(1).

AB a 2
Vì ∆SAB vuông cân tại S và O là trung điểm của AB ⇒ SO = AO =
(2).
=
2
2
a 2
− IO
IO
a 2− 2
=
⇔ IO =
Từ (1) và (2) ⇒ 2
.
a
a 2
2
2

2
2
Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón là S = 4π .IO = 2π 3 − 2 2 a .

(

)

(

Câu 4.

)

[2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn

( O; R ) , ( O′; R )

với OO′ = R 3 và một hình nón có đỉnh O′ và đáy là hình tròn ( O; R ) . Kí hiệu

S1 , S2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. Tính k =

1
A. k = .
3

B. k =

1
.

2

C. k = 2 .

S1
.
S2

D. k = 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
Ta có SπR
1 =R
SπR
2 =
Câu 5.

3 =πR
2 3

.

2
R3 R
+

2

πR
=2

2

2

.

. Vậy

S1
= 3 .
S2

[2H2-4.1-3] [BTN 164] Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp
hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của

TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

quả bóng bàn. Gọi S1 và tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của
hình trụ. Tỉ số

S1
bằng:

S2

A. 1 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

B. 4 .

D. 2 .

Chọn A.
Gọi R là bán kính của quả bóng.
2
Diện tích của một quả bóng là S = 4π .R 2 , suy ra S1 = 3.4π R .
Chiều cao của chiếc hộp hình trụ bằng 3 lần đường kính quả bóng bàn nên h = 3.2r .
S1
=1.
Suy ra S 2 = 2π R.3.2 R . Do đó
S2
Câu 6.

[2H2-4.1-3] [BTN 163] Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Diện tích xung
quanh của phễu là:

A. S xq = 360π cm .
2

B. S xq = 960π cm .
2

.
2
C. S xq = 296π cm .

2
D. S xq = 424π cm .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
S xq = 2.π .8.10 + π .8.17 = 296π cm 2 .
Câu 7.

[2H2-4.1-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán
kính đáy bằng r = 2m , chiều cao h = 6m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc
gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi
chế tác. Tính V .

.
A. V =

32π 3
(m ).
9

B. V =

32π 3
(m ).
3

C. V =

32 3
(m ) .
3

D. V =

32π 2
(m ) .
9

Hướng dẫn giải
Chọn D.

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là r , h ' ( 0 < x < 2;0 < h′ < 6 ) .
h′ 2 − x
⇔ h′ = 6 − 3 x .
Ta có: =
6
2

2
2
2
3
Thể tích khối trụ: V = π x h′ = π x ( 6 − 3 x ) = 6π x − 3π x .
4
V ′( x ) = 12π x − 9π x 2 , V ′( x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = .
3
4
32π 2
m .
Khi đó ta có thể suy ra được với x = thì V đạt giá trị lớn nhất bằng V =
3
9

( )

Câu 8.

[2H2-4.1-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Trong mặt phẳng cho một hình lục giác đều
cạnh bằng 2 . Tính thể tích của hình tròn xoay có được khi quay hình lục giác đó quanh đường
thẳng đi qua hai đỉnh đối diện của nó.
A. 2π .
B. 6π .
C. 8π .
D. π .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

.

Thể tích V của hình tròn xoay bao gồm thể tích của khối trụ ACFD và 2 khối nón BAC , DEF .
1
3
Có : R = AC = 2.
= 3.
2
2
Chiều cao h của khối trụ là h = 2 .
2
Chiều cao h′ của khối nón h′ = = 1 .
2
Thể tích của khối tròn xoay :
1
V = π R 2 .h + 2. π R 2 h′ .
3
2
2
2
= π 3 .2 + π 3 .1 = 8π .
3

( )

( )

TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 9.

PHƯƠNG PHÁP

[2H2-4.1-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
( O, R ) và ( O ', R ) ; OO ' = a 3 Một hình nón có đỉnh là O ' và đáy là hình tròn ( O, R ) . Gọi S1
S1
, S 2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. Tính tỉ số
.
S2
A.

S1
= 3.
S2

B.

S1 1
= .
S2 3

C.

S1
= 3.
S2

D.

S1
3
=
.
S2
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.

.
S1 2π Rh
=
=
S2
π Rl

2OO '
R + OO '
2

2

=

2R 3
= 3
2R
.

Câu 10. [2H2-4.1-3] [THPT Thuận Thành] Cho hình nón tròn xoay ( N ) có đỉnh S và đáy là hình
tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng ( P ) , đường cao SO = h. Điểm O′ thay đổi trên
đoạn SO sao cho SO′ = x ( 0 < x < h ) . Hình trụ tròn xoay ( T ) có đáy thứ nhất là hình tròn tâm
O bán kính r ′ ( 0 < r ′ < r ) nằm trên mặt phẳng ( P ) , đáy thứ hai là hình tròn tâm O′ bán kính
r ′ nằm trên mặt phẳng ( Q ) , ( Q ) vuông góc với SO tại O′ (đường tròn đáy thứ hai của ( T )
là giao tuyến của ( Q ) với mặt xung quanh của ( N ) ) . Hãy xác định giá trị của x để thể tích
phần không gian nằm phía trong ( N ) nhưng phía ngoài của ( T ) đạt giá trị nhỏ nhất.
1
A. x = h .
3

B. x =

1
h.
2

2
h.
3
Hướng dẫn giải
C. x =

D. x =

1
h.
4

Chọn C.

Vlt = ( h - x ) pr ¢2 .
Áp dụng Talet vào D SOA có O ¢B //OA. .
O ¢B SO ¢ r ¢ x
rx
=
Û
= Þ r ¢= .
OA
SO
r
h
h
2
pr
Þ Vlt = ( h - x ) x 2 . 2 .
h
Để thể tích phần trong ( N ) ngoài ( T ) nhỏ nhất.
Þ Vlt : lớn nhất Þ ( h - x) x 2 lớn nhất.
Xét hàm số y = f ( x ) = ( h - x ) x 2 .

TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

y ¢= 2 xh - 3 x 2 = x ( 2h - 3 x )
éx = 0
ê

y ¢= 0 Þ ê 2h .
êx =
ê
3
ë

.

.
Câu 11. [2H2-4.1-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn
đường kính AB như hình vẽ. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD . Biết
AB = 4; AD = 6 Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục IJ là:

56
A. V = π .
3

104
π.
B. V =
3

.
40
C. V = π .
3
Hướng dẫn giải

D. V =

88
π.
3

Chọn D.
Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có R = 2 ; hình
chữ.
nhật ABCD tạo thành hình trụ có r = 2; h = 6 .
1 4
16π
2
⇒ Thể tích nửa khối cầu là V1 = . π R 3 =
. Thể tích khối trụ là V2 = π r h = 24π .
2 3
3
88π
⇒ V = V1 + V2 =
.
3
Câu 12. [2H2-4.1-3] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa] Cho hình trụ có bán kính đáy r1 nội
tiếp trong hình cầu bán kính r không đổi. Xác định bán kính r1 theo r để hình trụ có thể tích
lớn nhất.
6
6
2
6
A. r1 =
B. r1 =
C. r1 =
D. r1 =

r.
r.
r.
r.
6
3
3
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.

TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
Chiều cao hình trụ h = 2 IH = 2 r

2

− r12

Thể tích khối trụ V = 2π r12 r 2 − r12
Xét f ( r1 ) = r12 r 2 − r12
f ′ ( r1 ) =

2r1r 2 − 3r13

1 − r12

.

( 0 < r1 < r ) ( ∗) .

( 0 < r1 < r ) .

= 0 ⇔ r1 =

(Có thể thử chọn vào ( ∗) ).

 6
6
r ( 0 < r1 < r ) ⇒ Max f ( r1 ) = f 
 3 ÷
÷.
3



Câu 13. [2H2-4.1-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước
vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng
ba lần đường kính quả bóng bàn Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S 2 là diện tích
xung quanh của hình trụ Tỉ số
A. 1,2.

B. 1.

S1

bằng :
S2
D. 1,5.

C. 2.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Gọi R là bán kính quả bóng bàn thì hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao h = 6 R nên.
S1 3.4π R 2 12π R 2
=
=
= 1.
S2
2π Rh 2π R.6 R
Câu 14. [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cắt hình nón đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng đi
qua trục SO của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh bên độ dài bằng a . Tính diện tích
của mặt cầu nội tiếp hình nón đã cho.
4 2
2
2
A. 2π 3 − 2 2 a .
B. π a .
C. 2π 3 + 2 2 a .
D. 2π a 2 .
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.

(

)

(

)

TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Ta thấy ∆SIH : ∆SAO ( g - g ) .
SI IH
SO − IO IO
⇒
⇔
=
=
SA AO
SA
AO

.

( Vì IO = IH )

(1).

AB a 2
Vì ∆SAB vuông cân tại S và O là trung điểm của AB ⇒ SO = AO =
(2).
=
2
2
a 2
− IO
IO
a 2− 2
2
=
⇔ IO =
Từ (1) và (2) ⇒
.
a
a 2
2
2
2
2
Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón là S = 4π .IO = 2π 3 − 2 2 a .

(

)

(

)

Câu 15. [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
( O; R ) , ( O′; R ) với OO′ = R 3 và một hình nón có đỉnh O′ và đáy là hình tròn ( O; R ) . Kí hiệu
S1 , S2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. Tính k =

1
A. k = .
3

B. k =

1
.
2

C. k = 2 .

S1
.
S2

D. k = 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
Ta có SπR
1 =R
SπR

2 =

3 =πR
2 3

.

2
R3 R
+

2

πR
=2

2

2

.

. Vậy

S1
= 3 .
S2

Câu 16. [2H2-4.1-3] [BTN 164] Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp
hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của

quả bóng bàn. Gọi S1 và tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của
hình trụ. Tỉ số
A. 1 .

S1
bằng:
S2

B. 4 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn A.
Gọi R là bán kính của quả bóng.
2
Diện tích của một quả bóng là S = 4π .R 2 , suy ra S1 = 3.4π R .
Chiều cao của chiếc hộp hình trụ bằng 3 lần đường kính quả bóng bàn nên h = 3.2r .
S1
=1.
Suy ra S 2 = 2π R.3.2 R . Do đó
S2
TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 17. [2H2-4.1-3] [BTN 163] Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Diện tích xung
quanh của phễu là:

A. S xq = 360π cm .
2

B. S xq = 960π cm .
2

.
2
C. S xq = 296π cm .

2
D. S xq = 424π cm .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
S xq = 2.π .8.10 + π .8.17 = 296π cm 2 .
Câu 18. [2H2-4.1-3] [BTN 161] Có một hộp nhựa hình lập phương, người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng
đá. Tính tỉ số

V1
, trong đó V1 là thể tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng
V2

bóng. Biết các mặt của hình lập phương tiếp xúc với quả bóng.
A. V1 = π .
B. V1 = π

C. V1 = π .
V2 8
V2 4 .
V2 2

D. V1 = π
V2 6 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của hình lập phương là 2R .
Ta được.
Thể tích hình lập phương là V2 = 8R , thể tích quả bóng là V1 =
3

4π R3
V π
⇒ 1 = .
3
V2 6

Câu 19. [2H2-4.1-3] [THPT Kim Liên-HN] Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 2 17 nội tiếp trong
5 2
. Tính thể tích khối cầu.
4
8p
C.
.
D. 2p .
3

Hướng dẫn giải

một hình cầu. Biết thể tích khối nón bằng
A.

2p
.
3

B.

32p
.
3

Chọn B.

.
TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Thiết diện qua trục như hình sau:
uuu
r r
éMA; u ù
ê

ú
52 + 52
5 2 5 3
ë
û
é
ù
=
=
=
Vì góc ở đỉnh là d ëM ; ( d ) û=
nên D ABC là tam
r
2
3
6
u
1 + 22 +( - 1)
giác đều.
Ta có: AD = BC.
V = 3p Þ
Þ

3
3
= DC. 3 Þ DC =
AD .
2
3

1
pDC 2 . AD = 3p .
3

1 1
p. . AD3 = 3p Þ AD = 3 .
3 3

2
AD = 2 .
3
4 3 32p
Thể tích khối cầu là: VC = pR =
.
3
3
Từ đó: Bán kính khối cầu là R =

Câu 20. [2H2-4.1-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Thiết diện qua trục của một hình nón là tam
giác đều cạnh bằng 2. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón.
Tính bán kính của mặt cầu.
A. 2 3 .

B. 2 .

C.

3.

D.

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
 Vì thiết diện qua trụ là tam giác đều cạnh bằng 2 nên hình nón có bán kính r = 1 , độ dài
đường sinh l = 2 .
 Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = π r ( l + r ) = 3π .
 Mặt cầu có bán kính R thì có diện tích S mc = 4π R 2 .
 Theo đề bài thì 4π R 2 = 3π ⇒ R =

3
.
2

Câu 21. [2H2-4.1-3] [THPT Hùng Vương-PT] Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có AB = a ,
AB′ = 2a . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Biết rằng một
mặt đáy của khối trụ nằm trên mặt phẳng ( ABC ) .

π a3 3
A. V =
.
3

π a3
B. V =
.
3

π a3
C. V =
.
9
Hướng dẫn giải

D. V =

π a3 3
.
9

Chọn A.
Gọi F , G lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm ∆ABC .
∆ABB′ vuông tại B , có: BB′ = AB′2 − AB 2 = 4a 2 − a 2 = 3a .
3
3
∆ABC đều cạnh a nên AF =
a ⇒ AG =
a.
2
3
Gọi h , R lần lượt là chiều cao và bán kính của hình trụ.
3
Ta có h = BB′ = 3a , R =
a = GA .
3
Vậy thể tích khối trụ ngoại tiếp ABC. A′B′C ′ là:

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

2

 3 
3π a 3
V = hπ R = π 3a. 
a÷
=
.
÷
3
 3 
2

Câu 22. [2H2-4.1-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Trong mặt phẳng ( P ) cho hình vuông MNPQ có
cạnh bằng 7 và hình tròn ( C ) có tâm M , đường kính bằng 14 . Tính thể tích V của vật thể
tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng PM .

A. V =
C. V =

(

)

343 7+ 2 π

(

6

)

.

343 4 + 3 2 π
6

B. V =
.

D. V =

(

.

)

343 6+ 2 π

(

6

)

.

343 12+ 2 π
6

.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có thể tích khối tròn xoay gồm chỏm cầu sinh bởi
cung lớn NQ khi quay quanh Ox và khối nón đỉnh P , đường kính đáy là NQ .
Vậy thể tích được tính bằng:
7

∫ (

V=π
−

7 2
2

2

(

)

1 7 2  7 2  343 4 + 3 2 π
49 − x dx + π .
.
÷ =
.
3
2  2 ÷
6

2

)

TRANG 11