Bài tập thực tê nón- trụ -cầu ( mức độ 3)

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 4.2 Bài tập thực tế nón-trụ-cầu.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2H2-4.2-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Một chiếc xô hình nón cụt
đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm có chiều cao 20cm, đường kính hai đáy lần lượt là 10cm và
20cm . Cô giáo giao cho bạn An sơn mặt ngoài của xô (trừ đáy). Tính diện tích bạn An phải sơn
(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 561, 25cm 2 . .
B. 2107, 44cm 2 . .
C. 1942,97cm 2 . .
D. 971, 48cm 2 . .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Chọn C.

.

Ta có S xq = π ( r1 + r2 ) l .
Với r1 = 5 , r2 = 10 .
l = h 2 + ( r2 − r1 ) = 202 + ( 10 − 5 ) = 5 17 .
2

2

Vậy S xq = π ( 5 + 10 ) 5 17 = 75 17π ≈ 971, 48 .

Câu 2.

[2H2-4.2-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Một cốc nước hình trụ có chiều
cao 9cm , đường kính 6cm . Mặt đáy phẳng và dày 1cm , thành cốc dày 0, 2cm . Đổ vào cốc
120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm . Hỏi mặt nước trong cốc cách
mép cốc bao nhiêu cm . (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 3, 28cm .
B. 3,67 cm .
C. 2, 28cm .
D. 2,67 cm .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Chọn D.
Thành cốc dày 0, 2cm nên bán kính đáy trụ bằng 2,8cm . Đáy cốc dày 1cm nên chiều cao hình
3
trụ bằng 8cm . Thể tích khối trụ là V = π . ( 2,8 ) .8 = 197,04 ( cm ) .
2

Đổ 120ml vào cốc, thể tích còn lại là 197,04 − 120 = 77,04 ( cm ) .
3

4
3
3
Thả 5 viên bi vào cốc, thể tích 5 viên bi bằng Vbi = 5. .π .1 = 20,94 (cm ) .
3
3
Thể tích cốc còn lại 77,04 − 20,94 = 56,1( cm ) .

Ta có 56,1 = h '.π . ( 2,8 ) ⇒ h ' = 2, 28 cm .

2

Cách khác: Dùng tỉ số thể tích.
TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

8. ( 2,8 ) .π
VTr
h
8
= coc ⇔
=
⇒ hnuoc+bi = 5,72
.
4
Vnuoc + Vbi hnuoc +bi
h
nuoc +bi
120 + 5. .π
3
Chiều cao còn lại của trụ là 8 − 5,72 = 2, 28 .
Vậy mặt nước trong cốc cách mép cốc là 2, 28cm .
2

Câu 3.

[2H2-4.2-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước
chiều cao 12cm , đường kính đáy 4cm , lượng nước trong cốc cao 8cm . Thả vào cốc nước 4
viên bi có cùng đường kính 2cm . Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm
tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc).
A. 2, 75cm .
B. 2, 67cm .
C. 2,33cm .
D. 2, 25cm .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
4 3 16π
cm 3 .
Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng Vb = 4. π rb =
3
3
16π
cm3 .
Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là
3
16π
4
= π r 2 hd nên hd = cm .
Chiều cao của phần nước dâng lên là hd thỏa mãn:
3
3
4 8
Vậy nước dâng cao cách mép cốc là 12 − 8 − = ≈ 2, 67 cm.
3 3

Câu 4.

[2H2-4.2-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có
thể tích 27cm3 . Vói chiều cao h và bán kính đáy là r . Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.
A. r =

6

36
.
2π 2

B. r =

4

38
.
2π 2

C. r =

4

36
.
2π 2

D. r =

6

38
.
2π 2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
1 2
3V
Ta có: V = π r h => h = 2 suy ra độ dài đường sinh là:
3
πr
3V
81
38
l = h2 + r 2 = ( 2 )2 + r 2 = ( 2 )2 + r 2 =
+ r2 .
2 4
πr
πr
π r
Diện tích xung quanh của hình nòn là: S xq = π rl = π r

38
38
2
+
r
=
π

+ r4 .
2 4
2 2
π r
π r

Áp dụng BDDT Cosi ta được giá trị nhỏ nhất là khi r =
Câu 5.

6

38
.
2π 2

[2H2-4.2-3] [THPT Đặng Thúc Hứa] Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập
phương cạnh 1m chứa đầy nước. Đặt vào trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh
trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện.
Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng.
1
π
π
11
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
11
12
12 − π
12
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Thể tích của chiếc thùng là 1m3 .

TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Từ giả thiết ta thấy khối nón có chiều cao h bằng cạnh hình lập phương, bán kính đáy r bằng
bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh bằng 1m . Suy ra: h = 1m , r =
1 2
π
Thể tích nước trào ra bằng thể tích nón và bằng V1 = π r .h =
3
12
còn lại là V2 = 1 −
Câu 6.

1
m.
2

( m ) . Thể tích lượng nước
3

π 12 − π
V
π
=
⇒ 1 =
.
12
12
V2 12 − π

[2H2-4.2-3] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2] Người ta dự định thiết kế một cống ngầm thoát
nước qua đường có chiều dài 30 m , thiết diện thẳng của cống có diện tích để thoát nước là
4 m 2 (gồm hai phần nửa hình tròn và hình chữ nhật) như hình minh hoạ, phần đáy cống, thành
cống và nắp cống (tô đậm như hình vẽ) được sử dụng vật liệu bê tông. Tính bán kính R (tính
gần đúng với đơn vị m , sai số không quá 0, 01 ) của nửa hình tròn để khi thi công tốn ít vật liệu
nhất?
A. 1, 06 m .
B. 1, 02 m .
C. 1,52 m .
D. 1,15 m .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

.
ta có S = 4 = 2 Rh +

πR

.
2
2

1 
π R2  2 π R
⇔h=
.
4−
÷= −
2R 
2  R 4
P = 2 R + 2h + π R = 2 R +
P′ = 2 −

4 πR
+
.
R 2

4 π
+ .
R2 2

P' = 0 ⇔ R =

8
.
4+π

Bán kính R ≈ 1,52 ( m ) .
Câu 7.

[2H2-4.2-3] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2] Một chi tiết máy có hình dạng như hình vẽ 1,
các kích thước được thể hiện trên hình vẽ 2 (hình chiếu bằng và hình chiếu đứng).

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

10 cm

.

6 cm
10 cm
Hình vẽ 1

Hình vẽ 2
2

Người ta mạ toàn phần chi tiết này bằng một loại hợp kim chống gỉ. Để mạ 1m bề mặt cần số
tiền 150000 đồng. Số tiền nhỏ nhất có thể dùng để mạ 10000 chi tiết máy là bao nhiêu? (làm
tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng).
A. 51239 (nghìn đồng).
B. 51238 (nghìn đồng).
C. 37102 (nghìn đồng).

D. 48238 (nghìn đồng).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích nửa hình trụ trong và ngoài của chi tiết. S3 , S 4 là diện tích hình
vành khăn và diện tích bề mặt trước của chi tiết. Ta có:
S1 = π R1l = π .3.10 = 30π , S 2 = π R2l = π .5.10 = 50π , S3 = π R22 − π R12 = 16π , S 4 = 2.10.2 = 40 .
2
Khi đó, diện tích bề mặt của một chi tiết máy là S = 96π + 40 ( cm ) .

Số

tiền

nhỏ

nhất

cần

dùng

để

96π + 40
×150000 ×10000 ≈ 51238934 ( đồng).
10000

Câu 8.

mạ

10000

chi

tiết

máy

là:

[2H2-4.2-3] [THPT Tiên Lãng] Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều
có chiều cao bằng 4, 2m. Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm, , 6
cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn
10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000 đ/m 2 (kể cả phần thi công) thì người
chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột 10 cây cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn
đồng)?
A. 16.468.000 .
B. 31.688.000 .
C. 15.835.000 .
D. 15.844.000 .
zzzzz.
zzzzz.
TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 9.

[2H2-4.2-3] [CHUYÊN SƠN LA] Từ một nguyên liệu cho trước, một công ti muốn thiết kế
bao bì đựng sữa với thể tích 100ml 3 . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: hình
hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào tiết kiệm nguyên
vật liệu nhất ?
A. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
B. Hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy.
C. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên bằng cạnh đáy.
D. Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi: R là bán kính đáy hình trụ.

l là chiều cao hình trụ.
Khi đó hình trụ có thể tích là: V = π R 2l = 100ml .
2
2
Diện tích toàn phần của hình trụ là : Stp = 2π Rl + 2π R = π Rl + π Rl + 2π R .

Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm : 2π R 2 , π Rl , π Rl ta có:

Stp = π Rl + π Rl + 2π R 2 ≥ 3 3 π Rl.π Rl .2π R 2 = 3 3 2π .π R 2l.π R 2l = 3 3 2π .100.100 ; 119.27

( 1) .

Dấu " = " xảy ra ⇔ π Rl = π Rl = 2π R 2 ⇔ l = 2 R .
Gọi a là độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật.

Gọi h là chiều cao hình hộp chữ nhật.
Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật là: V = a 2 .h = 100ml 3 .
2
2
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: Stp = 2a + 4a.h = 2a + 2a.h + 2a.h .

Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm là: 2a 2 , 2a.h , 2a.h .
Ta có: Stp = 2a 2 + 2a.h + 2a.h ≥ 3 3 2a 2 .2a.h.2a.h ≥ 3 3 8a 2h.a 2h = 3.2. 3 100 2 ; 129.27

( 2) .

Dấu " = " xảy ra ⇔ 2ah = 2ah = 2a 2 ⇔ h = a .
Từ ( 1) , ( 2 ) ⇒ Thiết kế hộp sữa hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kình đáy thì tốn ít nguyên
vật liệu nhất.
Câu 10. [2H2-4.2-3] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Một cốc nước có dạng hình trụ chiều
cao là 15cm , đường kính đáy là 6cm , lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm . Thả vào cốc
nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là 2cm . Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong
cốc cách miệng cốc bao nhiêu cm ? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số).
A. 3,52cm .
B. 4, 26cm .
C. 4, 25cm .
D. 4,81cm .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
r = 3.
Vcoc nuoc = π r 2 .h = π .15.32 = 135π .
Thể tích V1 của cốc nước sau khi thả 5 viên bi :

TRANG 5

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

4
290π
V1 = π .10.32 + 5. π .13 =
.
3
3

290π 115π
=
.
3
3
Gọi h1 là khoảng cách từ mực nước trong cốc đến miệng cốc.
115π
115
π 32.h1 =
⇒ h1 =
≈ 4, 26cm .
3
27
Thể tích của phần còn trống : V2 = V − V1 = 135π −

Câu 11.

[2H2-4.2-3] [THPT Chuyên LHP] Một cái ống hình trụ tròn xoay bên trong rỗng, có chiều cao

bằng 25cm và đường kính đáy bằng 6 cm đặt trên cái bàn nằm ngang có mặt bàn phẳng sao
cho một miệng ống nằm trên mặt bàn. Người ta đặt lên trên miệng ống còn lại một quả bóng
hình cầu có bán kính 5cm . Tính khoảng cách lớn nhất h có thể từ một điểm trên quả bóng tới
mặt bàn nếu coi độ dày của thành ống là không đáng kể.
A. h = 32 cm .
B. h = 34 cm .
C. h = 35cm .
D. h = 30 cm .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi I là tâm mặt cầu.
A là điểm mà mặt cầu chạm vào thành ống.
H là hình chiếu của trên mặt phẳng miệng đáy trên của hình trụ.
Trong tam giác IHA vuông tại H có.

IH = IA2 − HA2 = 52 − 32 = 4 .
Do đó h = 5 + 4 + 25 = 34cm .

.
Câu 12. [2H2-4.2-3] [Cụm 1 HCM] Một khối gỗ có dạng là lăng trụ, biết diện tích đáy và chiều cao
lần lượt là 0, 25 m 2 và 1, 2 m . Mỗi mét khối gỗ này trị giá 5 triệu đồng. Hỏi khối gỗ đó có giá
bao nhiêu tiền?
A. 3000 000 đồng.
B. 750 000 đồng.
C. 500 000 đồng.
D. 1500 000 đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

TRANG 6

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Thể tích của khối gỗ là V = S .h = 0, 25.1, 2 =
Vậy khối gỗ đó có giá : V .5000000 =

3
m3 ) .
(
10

3
.5000000 = 1500000 .
10

Câu 13. [2H2-4.2-3] [SỞ GD-ĐT ĐỒNG NAI] Một lọ trống miệng đựng nước là hình trụ tròn xoay có
chiều cao bằng 1, 6 dm ; đường kính đáy bằng 1 dm ; đáy (dưới) của lọ phẳng với bề dày không
đổi bằng 0,2 dm ; thành lọ với bề dày không đổi bằng 0,2 dm ; thiết diện qua trục của lọ như
hình vẽ; đổ vào lọ 2,5 dl nước (trước đó trong lọ không có nước hoặc vật khác). Tính gần đúng
khoảng cách k từ mặt nước trong lọ khi nước lặng yên đến mép trên của lọ (quy tròn số đến
hàng phần trăm, nghĩa là làm tròn số đến hai chữ số sau dấu phảy).

A. k ≈ 0,52 ( dm ) .

.
C. k ≈ 1,18 ( dm ) .

B. k ≈ 0,53 ( dm ) .

D. k ≈ 0,51( dm ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

.
Thể tích nước có thể chứa của lọ: V = π ( 0,3) .1, 4 = 3,96dm = 3,96l. .
Thể tích nước đổ vào trong lọ là: V ′ = 2,5dl = 0, 25l .
Phần thể tích không nước là ∆ V = V − V ′ = 0,396 − 0, 25 = 0,146l .
∆V
0,146
=
= 0, 52dm .
2
2
Vậy độ cao của phần không chứa nước là h =
π . ( 0,3)
π . ( 0,3)
2

3

Câu 14. [2H2-4.2-3] [CHUYÊN VĨNH PHÚC] Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính r vào một cái
bình hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc
với 8 viên bi xung quanh mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của bình
hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là:
TRANG 7

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. 9π r 2 .

B. 16π r 2 .

PHƯƠNG PHÁP

C. 36π r 2 .
Hướng dẫn giải

D. 18π r 2 .

Chọn A.
Cách giải: + Tính bán kính của diện tích đáy hình trụ: R = r + 2r = 3R .
Diện tích đáy: π R 2 = π ( 3r ) = 9π r 2 .
3

Câu 15. [2H2-4.2-3] [CHUYÊN VĨNH PHÚC] Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám
mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các
cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó:
A.

a3
.
12

B.

a3
.
8

a3
.
6
Hướng dẫn giải
C.

D.

a3
.
4

Chọn C.
Dựng được hình như hình bên.

.
+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình chóp S . ABCD .
+ Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S . ABCD .
+ ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình chiếu của S lên mặt đáy.
a
2
SO = ; BD = cạnh của hình lập phương = a . Suy ra các cạnh của hình vuông ABCD =
a
2
2
.

1
1 1  2   2  3 a3
VS . ABCD = Sh = . . 
÷
÷
÷a = 12 .
3
3 2  2 ÷
2


Vkhôi đa diên = 2.VS . ABCD =

a3
.
6

Câu 16. [2H2-4.2-3] [Cụm 4 HCM] Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có
nắp đậy với dung tích 1000 cm 3 . Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm
được nguyên liệu nhất.
5
10
10 3 5
10 5
A. 3
.
B. 3 .
C.
.
D. 3

.
π
2π
π
π
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Thể tích khối trụ có bán kính R chiều cao h là: V = π R 2 .h .

TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Từ giả thiết suy ra h = 2 R ⇒ 1000 = 2π R 3 ⇔ R 3 =

500
10 3 5
⇒R= 3
.
π
π

Câu 17. [2H2-4.2-3] [Cụm 4 HCM] Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước 1,5 m × 8 m. Tấm
tôn thứ nhất được chế tạo thành một hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện
ngang là một hình vuông (mặt phẳng vuông góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên
của hình hộp theo các đoạn giao tuyến tạo thành một hình vuông) và có chiều cao 1, 5 m; còn
tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình trụ không đáy, không nắp và cũng có chiều cao

1,5 m. Gọi V1 , V2 theo thứ tự là thể tích của khối hộp chữ nhật và thể tích của khối trụ. Tính tỉ
V1
..
số
V2

V1 π
= .
A.
V2 2

.

V1 π
= .
B.
V2 3

C.

V1
=π .
V2

D.

V1 π
= .
V2 4

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Thiết diện ngang của hình hộp chữ nhật là hình vuông ⇒ Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh
8
2
3
là = 2 ( m ) , chiều cao là 1,5 ( m ) ⇒ V1 = 2 .1,5 = 6 ( m ) .
4
4
Hình trụ có đáy là hình tròn có chu vi là 8 ( m ) ⇒ bán kính hình tròn đáy là .

π

2

24
4
Thể tích khối trụ là V2 = π .  ÷ .1,5 =
.
π
π 
V1
6 π
=
=
Vậy V2 24 4 .
π

Câu 18. [2H2-4.2-3] [SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2] Một khúc gỗ hình trụ có chiều cao 3m , đường kính
đáy 80cm . Người ta cưa 4 tấm bìa để được một khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ. Tính

tổng thể tích của 4 tấm bìa bị cưa, xem mạch cưa không đáng kể.

.
A. 0,12(π − 2) m .
3

B. 0, 48(π − 2) m .
C. 1,92(π − 2) m .
Hướng dẫn giải
3

3

D. 0, 4(π − 2) m3 .

Chọn B.
Tổng thể tích của 4 tấm bìa bị cưa bằng hiệu thể tích của khối trụ và khối lăng trụ đều nội tiếp.
Khối trụ có chiều cao h = 3m và bán kính đáy r = 0, 4m .
Khối lăng trụ đều có chiều cao h = 3m và đường chéo đáy d = 0,8m .
Vậy tổng thể tích của 4 tấm bìa bị cưa bằng.
TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

1 

h  π r 2 − d 2 ÷ = 3 ( 0,16π − 0,32 ) = 0, 48 ( π − 2 ) ( m3 ) .

2 

Câu 19. [2H2-4.2-3] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Một cái ly có dạng hình nón như hình
vẽ. Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong
1
ly bằng
chiều cao của ly (không tính chân lý). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi
3
lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao
nhiêu?
1
1
3 - 3 26
3- 2 2
A. .
B.
.
C. .
D.
.
9
6
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1 h
VH 2O = × ×π r 2 .
3 3
h

R.
Mà r 3 1
= = ⇒r=
R h 3
3
2
1 h
R
1 1
 1
⇒ VH 2O = × ×π × =
× ×h.π R 2 ÷ = V .
3 3
9 27  3
 27
26
1
26 1
2
× h ×π R 2 ( *) .
Vậy thể tích khối còn lại: V1 = V ⇔ h1 ×π r1 =
27
3
27 3
2
2
3
r h
h 26 R
26 h

h
26
× 2 =
× 2 ⇔ 1=
Mặt khác 1 = 1 nên ( *) ⇔ 1 =
.
h 27 r1
27 h1
h
3
R h
⇔

hH O 3 − 3 26
h − h1 3 − 3 26
.
=
⇔ 2 =
h
3
h
3

Câu 20. [2H2-4.2-3] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT] Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như
hình vẽ (lỗ khoan dạng hình trụ), tấm kim loại dày 2 ( cm ) , đáy của nó là hình vuông có cạnh
5 ( cm ) . Đường kính của khoan là 8 ( mm.) Thể tích phần còn lại của tấm kim loại là.

A. 5000 − 1280π ( mm ) .
3

3
C. 50000 − 320π ( mm ) .

.
3
B. 50000 − 1280π ( mm ) .
3
D. 5000 − 1280π ( mm ) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Thể tích tấm kim loại khi chưa khoan là: V = 50.50.20 = 50000mm3 . .
2
3
Thể tích của mỗi lỗ thủng là: VT = π .4 .20 = 320π mm .
3
Thể tích phần tấm thép còn lại là: V − 8VT = 50000 − 1280π mm .

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 21. [2H2-4.2-3] [THPT Lý Nhân Tông] Khi sản xuất vỏ lon nước ngọt hình trụ, các nhà thiết kế
luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần
cua hình trụ là nhỏ nhất (với cùng 1 nguyên liệu). Muốn thể tích khối trụ đó là 2 và diện tích
toàn phần nhỏ nhất thì hình trụ đó có bán kính đáy gần số nào nhất?
A. 0, 6 .

B. 0,8 .
C. 0, 7 .
D. 0,5 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
2
.
π R2
1
2
) có GTNN tại R = 3 = 0.6827
Diện tích toàn phần S = 2π R ( R + h) = 2π R ( R +
2
π
πR
.
2
Gọi chiều cao và bán kính đáy là h, R . Từ V = 2 ⇒ π R h = 2 ⇒ h =

Câu 22. [2H2-4.2-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng làm các
chiếc cốc hình nón không nắp bằng nhôm có thể tích là V = 9a 3π . Để tiết kiệm sản suất và
mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất những chiếc cốc hình nón có bán kính miệng
cốc là R sao cho diện tích nhôm cần sử dụng là ít nhất. Tính R ?
3a
3a
A. R = 3 .
B. R = 6 .
C. R = 3 9a .
D. R = 3a .
2

2
Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
1
27a 3
V = 9a π = π R 2 .h ⇒ h = 2 ⇒ l = h 2 + R 2 =
3
R
3

( 3a )

S xq = π R.l = π .R.
=π

( 3a )

6

2R2

+

( 3a )

6

+ R6

R4
6

2R2

( 3a )

=π

6

Dấu bằng xảy ra khi

( 3a )
2R

6

2

6

+ R6

R4

.

+ R6

R2

( 3a ) . ( 3a )
6

+ R4 ≥ π 6

( 3a )

2R2

6

2R2

.R 4 = π 6

( 3a )
4

= R 4 ⇔ ( 3a ) = 2 R 6 ⇔ R =
6

12

=

9π a 2 .
3

2

3a
..
2

6

Câu 23. [2H2-4.2-3] [THPT Lương Tài] Người ta cần sản xuất một lon hình trụ bằng nhôm có thể tích
V . Để tiết kiệm nhôm nhất thì phải sản xuất lon có bán kính đáy là.
A. R =

V
.
3

B. R =

3

V .
2π

C. R = 3 V
π .

D. R = 3 2V .
π
TRANG 11

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: V = Bh = π R 2 h ⇒ h =

V
V
2V
⇒ Stp = S xq + 2π R 2 = 2π R
+ 2π R 2 =
+ 2π R 2 . .
2
2
πR
πR
R

−2V
−2V + 4π R 3
V
⇒ Stp′ = 0 ⇔ −2V + 4π R 3 = 0 ⇒ R = 3
+
4
π
R
=

.
2
2
R
R
2π .
V
Dễ thấy hàm số Stp ẩn R > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại R = 3
.
2π .
Mặt khác: Stp′ =

Câu 24. [2H2-4.2-3] [THPT Tiên Du 1] Khi sản xuất vỏ lon bia hình trụ có chiều cao h và
đường kính đáy d . Các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu chi phí nguyên liệu vỏ lon (bằng

nhôm) là ít nhất khi thể tích của lon bia là V không đổi. Khi đó tỉ lệ
A.

1
.
π

B.

3

C. π .

π2 .

D.

h
là:
d
1
3

π2

.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

.
d
h

d
2

1
4

2
2
Ta có d = 2R Þ R = ; V = pR h = pd h Þ h =

4V

.
pd2

2
1 æ4V ö
æ
ö
d
pd2
÷= 4V .
÷
Sxq = 2pRh = 2. pdç
Sd = 2pR = 2pç
=
;
÷
ç
2÷
ç
÷ pd
ç
÷
ç
2 èpd ø
è2ø
2
2

Stp = Sxq + Sd =
2

pd2 4V pd2 2V 2V
2V 2
.
+
=
+
+
³ 33
2
pd
2
pd pd
p
2

2

2

d2
h
4 Û p= h.
pd
d

2p

pd
2V

pd
2pR h pd
=
Û
=
Û
=
2
pd
2
pd
2
Câu 25. [2H2-4.2-3] [THPT Tiên Du 1] Cho một chiếc cốc hình nón chứa đầy rượu như hình vẽ.
Stp min Û

Người X uống một phần rượu sao cho chiều cao của nó giảm đi

1
so với chiều cao của
3

rượu trong cốc. Người Y uống phần rượu còn lại trong cốc. Khi đó khẳng định nào
đúng.

TRANG 12


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.

A. Người X uống lượng rượu bằng 5, 75 lần lượng rượu của người Y uống.
B. Hai người X và Y uống lượng rượu bằng nhau.
C. Người X uống lượng rượu bằng 2,375 lần lượng rượu của người Y uống.
D. Người X uống lượng rượu bằng một nửa lượng rượu của người Y uống.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
3

Gọi V = π R 2 h là thể tích rượu có trong chiếc cốc hình nón đó ( với R là bán kính đáy
hình nón và h là chiều cao hình nón).
Sau khi người X uống thì lượng rượu còn lại người Y uống là
2

1 2 
VY = π  R ÷
3 3 
VX = V − VY =

2  8
.  h ÷ = π R 2 h . Khi đó người X đã uống một lượng rượu bằng
 3  81

V
19
19
π R 2 h . Vậy X = = 2,375 .

VY
8
81

Câu 26. [2H2-4.2-3] [THPT Thuận Thành] Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao
12 ( cm ) , đường kính đáy 4 ( cm ) , lượng nước trong cốc cao 10 ( cm ) . Thả vào cốc nước 4 viên
bi có cùng đường kính 2 ( cm ) . Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (Làm
tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân).
A. 0,75 ( cm ) .
B. 0,3 ( cm ) .
C. 0, 67 ( cm ) .
D. 0, 25 ( cm ) .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

16π
4π  2  4π
cm3 .
Thể tích 1 viên bi: Vbi =
cm3 ⇒ 4 viên bi có tổng thể tích: 4.Vbi =
 ÷ =
3
3 2
3
3

2

(

)

(

)

4
Diện tích đáy bình: S = π  ÷ = 4π cm 2 .
2

(

)

1
1
=
( cm ) .
S 4π
16π
1 16π 4
⇒ Thêm
cm3 ) bi, bình sẽ cao thêm: h =
.
= ( cm ) .
(
3
4π 3
3
4


⇒ Nước dâng cách mép: 12 − 10 + ÷ ≈ 0, 67 ( cm ) . .
3

⇒ Cứ 1( cm3 ) nước đổ vào bình sẽ cao: h1 =

Câu 27. [2H2-4.2-3] [THPT Thuận Thành] Giả sử viên phấn viết bảng có dạng khối trụ tròn xoay đường
kính đáy bằng 1( cm ) , chiều dài 6 ( cm ) . Người ta làm hộp carton đựng phấn hình dạng hình hộp

TRANG 13


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

chữ nhật có kích thước 6 ( cm ) , 5 ( cm ) , 6 ( cm ) . Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta được kết
quả nào trong các kết quả sau.
A. Không xếp được.
B. Vừa đủ.
C. Thừa 10 viên.
D. Thiếu 10 viên.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Lấy hình vuông 6.6 làm đáy hộp, sẽ xếp vừa đủ 6 viên phấn lên hình vuông đó.
Tiếp tục xếp như vậy thành 5 tầng, cho vừa đủ với chiều cao 5cm còn lại của hộp. ta được tất
cả 30 viên phấn cho 1 hộp.
Vậy, có tất cả 12.30 = 360 viên sẽ được xếp đủ vào 12 hộp.
Câu 28. [2H2-4.2-3] [THPT Thuận Thành 2] Có ba quả bóng với kích thước bằng nhau. Một miếng
tôn hình chữ nhật được cuốn thành hình trụ sao cho chiều cao của hình trụ gấp 3 lần đường

kính quả bóng, đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả quả bóng. Gọi S1 là tổng diện tích
S1
của ba quả bóng, S 2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính tỉ số
.
S2
S1
S1
S1 1
S1
= 2.
= 5.
= .
=1.
A.
B.
C.
D.
S2
S2
S2 2
S2
Hướng dẫn giải
Chọn D.

.
2
2
Ta có: S1 = 3.4.π R = 12π R .

S 2 = 2π .R.h = 12π .R 2 .

S1
=1.
Khi đó:
S2
Câu 29. [2H2-4.2-3] [THPT Quế Võ 1] Người ta cần sản xuất một thùng đựng sơn hình trụ có thể tích
4π . Hỏi cần xác định chiều cao và bán kính đáy như thế nào để tốn ít nguyên vật liệu nhất?
A. R = 3 4; h = 3 4 .
B. R = 3 2; h = 2 3 2 . C. R = 2; h = 1 .
D. R = 2; h = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: thể tích là đại lượng không đổi, ta đặt bán kính đáy là x > 0 . Khi đó h =

V
4
= 2.
2
πR
x

 2 4
2
Diện tích toàn phần của thùng là Stp = 2π R + 2π Rh = 2π  x + ÷.
x

4
2 2
2
2
Áp dụng BĐT Cauchy 3 số ta có: x + = x + + ≥ 3 3 4 .

x
x x
2
2
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = ⇔ x = 3 2 hay R = 3 2; h = 2 3 2 .
x
TRANG 14


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 30. [2H2-4.2-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03] Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 80 cm x
360 cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 80cm, theo hai cách sau
(xem hình minh họa dưới đây):
* Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
* Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung
quanh của một thùng.
3
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và C5 = 10 là tổng thể tích của hai thùng
gò được theo cách 2. Tính tỉ số

V2
..
V1

.

V2 1

= .
A.
V1 2

V2
= 1.
B.
V1

V2
= 2.
C.
V1

D.

V2
= 4.
V1

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Do chiều cao của các thùng là như nhau, nên tỉ số

V1
bằng tỉ số tổng diện tích đáy thùng.
V2

Ta có chu vi đường tròn là C = 2π R và diện tích hình tròn là S = π R 2 , từ đó ta có mối liên
hệ.

S = π R2 = π

S1 C12
V
2S
C2
C2
1
=
⇒
= 2 =4⇒ 2 = 2 = .
2
4π
4π
S 2 C2
V1
S1
2

Câu 31. [2H2-4.2-3] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ] Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
R , người thợ thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình
dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.
4 3π R 3
.
9
A.

B.

3π R 3
.
4

.

TRANG 15


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

C.

4 3π R 3
.
3

D.

2 3π R 3
.
3

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn C.

.
Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0 < x < R ) (xem hình vẽ).

Bán kính của khối trụ là r = R 2 − x 2 .
Thể tích khối trụ là: V = π ( R 2 − x 2 )2 x . Chọn R = 1 .
3
2
Xét hàm số f ( x ) = 2 x ( 1 − x ) , 0 < x < 1 , có f ′ ( x ) = 2(1 − 3 x 2 ) = 0 ⇔ x =
.
3

.
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là
Vmax =

2R 3
;
3

4π R 3 3
.
9

Câu 32. [2H2-4.2-3] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ] Một khối cầu bán kính 6 dm người ta cắt bỏ hai
phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng ( P ) và (Q) song song với nhau (tâm của khối cầu nằm
giữa hai mặt phẳng ( P ) , (Q) ), biết mặt phẳng (P) cách tâm 3 dm và mặt phẳng (Q) cách tâm
4 dm để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích của chiếc lu.
655
665
656
π.
π.
π.

A.
B.
C.
3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.

D.

565
π.
3

TRANG 16


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
Chọn trục Ox như hình vẽ, O là tâm của hình cầu.
Cắt mặt cầu bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được đường tròn tâm I bán kính.
r = R 2 − OI 2 = 36 − x 2 ( x = OI ).
2
2
Diện tích của đường tròn trên là S x = π r = π (36 − x ) .

Thể tích cần tìm là.
3


x3 
665
V = ∫ S x dx = ∫ π (36 − x )dx = π  36 x − ÷ =
π.
3  −4
3

−4
−4
3

3

2

Câu 33. [2H2-4.2-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có
thể tích 27cm3 . Vói chiều cao h và bán kính đáy là r . Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.
A. r =

6

36
.
2π 2

B. r =

4

38
.
2π 2

C. r =

4

36
.
2π 2

D. r =

6

38
.
2π 2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
1 2
3V
Ta có: V = π r h => h = 2 suy ra độ dài đường sinh là:
3
πr

3V
81
38
l = h2 + r 2 = ( 2 )2 + r 2 = ( 2 )2 + r 2 =
+ r2 .
πr
πr
π 2r 4
Diện tích xung quanh của hình nòn là: S xq = π rl = π r

38
38
2
+
r
=
π
+ r4 .
π 2r 4
π 2r 2

Áp dụng BDDT Cosi ta được giá trị nhỏ nhất là khi r =

6

38
.
2π 2

Câu 34. [2H2-4.2-3] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa] Một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng

sữa với thể tích 1( dm ) . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: dạng hình hộp
3

chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc dạng hình trụ và được sản xuất cùng một nguyên vật liệu.
Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó
theo kích thước như thế nào?
A. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy.
B. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy.
C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
D. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy.
TRANG 17


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trường hợp 1 : Hình hộp có cạnh đáy là x ( dm ) , chiều cao là y ( dm ) .
1
2
Khi đó : V = x y = 1 ⇔ y = 2 .
x
4
4
2 2
Stp = 4 xy + 2 x 2 =
+
+ 2x2 = + + 2 x2 ≥ 3 3 8 = 6 .

2x 2x
x x
Trường hợp 2 : Hình trụ có bán kính đáy r , chiều cao h .
1
2
Khi đó V = π r h = 1 ⇒ h = 2 .
πr
1
1
 1

 1

Stp = 2π rh + 2π r 2 = 2π 
+ r 2 ÷ = 2π 
+
+ r 2 ÷ ≥ 6π 3 .
4
πr

 2π r 2π r

2
2
Từ hai trường hợp,tiết kiệm nhất khi là hình hộp và = 2 x ⇒ x = 1 ⇒ y = 1 ⇒ x = y = 1 .
x
Câu 35. [2H2-4.2-3] [THPT Đặng Thúc Hứa] Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập
phương cạnh 1m chứa đầy nước. Đặt vào trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh
trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện.
Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng.

1
π
π
11
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
11
12
12 − π
12
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Thể tích của chiếc thùng là 1m3 .
Từ giả thiết ta thấy khối nón có chiều cao h bằng cạnh hình lập phương, bán kính đáy r bằng
bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh bằng 1m . Suy ra: h = 1m , r =
1 2
π
Thể tích nước trào ra bằng thể tích nón và bằng V1 = π r .h =
3
12
còn lại là V2 = 1 −

1
m.

2

( m ) . Thể tích lượng nước
3

π 12 − π
V
π
=
⇒ 1 =
.
12
12
V2 12 − π

Câu 36. [2H2-4.2-3] [THPT TH Cao Nguyên] Đổ nước vào một thùng hình trụ có bán kính đáy 20cm.
Nghiêng thùng sao cho mặt nước chạm vào miệng cốc và đáy cốc như hình vẽ thì mặt nước tạo
với đáy cốc một góc 450 Hỏi thể tích của thùng là bao nhiêu cm3 ?
.

A. 6000π .

B. 12000π .

C. 16000π .
Hướng dẫn giải

D. 8000π .

Chọn C.

Từ giả thiết ta suy ra h = 2 R = 40 .
2
3
Vậy V = B.h = π .20 .40 = 16000π ( cm ) .
TRANG 18


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 37. [2H2-4.2-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản
phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên
trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo dự
kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là R = 3 3cm. Tìm thể tích lớn
nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích
thu hút khách hàng).

A. 54π cm .
3

B. 45π cm .
3

C. 108π cm .
Hướng dẫn giải
3

.
D. 18π cm3 .

Chọn A.
Xét mặt cắt như hình vẽ.
Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ nằm trong nửa khối cầu.
Ta có r 2 + h 2 = 27 ⇔ r 2 = 27 − h 2 .
2
2
3
Ta có V = h.π r = hπ ( 27 − h ) = −π h + 27π h .
Vậy ta có V ' = −3π h 2 + 27π ;V ' = 0 ⇔ h = 3 .

2
3
Vì hệ số a < 0 nên để Vmax thì h = 3 ⇒ r = 18 ⇒ V = 3.π .18 = 54π ( cm ) .

Câu 38. [2H2-4.2-3] [Cụm 1 HCM] Một khối gỗ có dạng là lăng trụ, biết diện tích đáy và chiều cao
lần lượt là 0, 25 m 2 và 1, 2 m . Mỗi mét khối gỗ này trị giá 5 triệu đồng. Hỏi khối gỗ đó có giá
bao nhiêu tiền?
A. 3000 000 đồng.
B. 750 000 đồng.
C. 500 000 đồng.
D. 1500 000 đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
3
m3 ) .
Thể tích của khối gỗ là V = S .h = 0, 25.1, 2 =
(
10
3

Vậy khối gỗ đó có giá : V .5000000 = .5000000 = 1500000 .
10
Câu 39. [2H2-4.2-3] [Cụm 4 HCM] Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có
nắp đậy với dung tích 1000 cm 3 . Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm
được nguyên liệu nhất.
5
10
10 3 5
10 5
A. 3
.
B. 3 .
C.
.
D. 3
.
π
2π
π
π
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Thể tích khối trụ có bán kính R chiều cao h là: V = π R 2 .h .
500
10 3 5
⇒R= 3
Từ giả thiết suy ra h = 2 R ⇒ 1000 = 2π R 3 ⇔ R 3 =
.
π
π

Câu 40. [2H2-4.2-3] [Cụm 4 HCM] Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước 1,5 m × 8 m. Tấm
tôn thứ nhất được chế tạo thành một hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện
TRANG 19


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

ngang là một hình vuông (mặt phẳng vuông góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên
của hình hộp theo các đoạn giao tuyến tạo thành một hình vuông) và có chiều cao 1,5 m; còn
tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình trụ không đáy, không nắp và cũng có chiều cao
1,5 m. Gọi V1 , V2 theo thứ tự là thể tích của khối hộp chữ nhật và thể tích của khối trụ. Tính tỉ
V1
..
số
V2

A.

V1 π
= .
V2 2

B.

V1 π
= .
V2 3

.
C.

V1
=π .
V2

D.

V1 π
= .
V2 4

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Thiết diện ngang của hình hộp chữ nhật là hình vuông ⇒ Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh
8
2
3
là = 2 ( m ) , chiều cao là 1,5 ( m ) ⇒ V1 = 2 .1,5 = 6 ( m ) .
4
4
Hình trụ có đáy là hình tròn có chu vi là 8 ( m ) ⇒ bán kính hình tròn đáy là .
π
2
24
4
Thể tích khối trụ là V2 = π .  ÷ .1,5 =
.
π

π 
V1
6 π
=
=
Vậy V2 24 4 .
π
Câu 41. [2H2-4.2-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba
kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước
của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5cm bà
bán kính đường tròn đáy là 4cm . Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng
(Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu
bể đầy nước?

A. 282 ngày.

B. 281 ngày.

C. 283 ngày.
Hướng dẫn giải

.
D. 280 ngày.

Chọn B.

3
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là V = 2.3.2 = 12 ( m ) . .

π

m3 ) . .
(
12500
Mội ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức trong một ngày lượng được được lấy ra bằng.
2
3
Thể tích nước đựng đầy trong gáo là Vg = π4 .5 = 80π ( cm ) =

TRANG 20


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Vm = 170.Vg =

17
π ( m3 ) .
1250

V
12
=
; 280,8616643 ⇒
17
Ta có Vm
sau 281 ngày bể sẽ hết nước.
π
1250

Câu 42. [2H2-4.2-3] [THPT Chuyên Bình Long] Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế
luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần
của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ bằng V và diện tích toàn phần nhỏ nhất thì bán
kính đáy R bằng:
A. R =

3

V
.
2π

B. R =

3

27V
V
.
C. R =
.
4π
2π
Hướng dẫn giải

D. R =

3

V

.
π

Chọn A.
V
.
π R2
2V
−2V
V .
= 2π Rh + 2π R 2 =
+ 2π R 2 ⇒ S ' = 2 + 4π R ⇒ S ' = 0 ⇔ R = 3
R
R
2π

2
Ta có V = hπ R ⇒ h =

STP

Lập bảng biến thiên ta có STP min khi R =

3

V
..
2π

Câu 43. [2H2-4.2-3] [THPT Chuyên Phan Bội Châu] Anh Toàn có một cái ao hình elip với độ dài

trục lớn và độ dài trục bé lần lượt là 100m và 80m . Anh chia ao ra hai phần theo một đường
thẳng từ một đỉnh của trục lớn đến một đỉnh của trục bé (Bề rộng không đáng kể). Phần rộng
hơn anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống. Biết lãi nuôi cá lấy thịt và lãi nuôi cá
giống trong 1 năm lần lượt là 20.000 đồng/m2 và 40.000 đồng/m2. Hỏi trong 1 năm anh Toàn
có bao nhiêu tiền lãi từ nuôi cá trong ao đã nói trên (Lấy làm tròn đến hàng nghìn).
A. 176350 000 đồng.
B. 137 080 000 đồng.
C. 139 043000 đồng.
D. 105664 000 đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

π m(
Diện tích toàn bộ ao là Sπ= .40.50 = 2000

2

).

.

Diện tích phần nuôi cá giống là.
S
S1 = − Sπ∆OAB = 500m − 1000 ( 2 ) .
4
Diện tích phần nuôi cá thịt là.
TRANG 21


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

S 2 = S − Sπ
+ 1000 (
1 = 1500 m

PHƯƠNG PHÁP

2

).

Tiền lãi từ nuôi cá là.
40000.S1 + 20000.S 2 ≈ 137 080 000 .
Câu 44. [2H2-4.2-3] [THPT Chuyên SPHN] Một chiếc ly hình nón chứa đầy rượu. Người ta uống đi
một phần rượu sao cho chiều cao phần còn lại bằng một nửa chiều cao ban đầu. Số phần rượu
đã được uống là:
1
2
7
3
A. .
B. .
C. .
D. .
4
2
3
8
Hướng dẫn giải
Chọn D.

Gọi h , r là chiều cao và bán kính ly rượu.
1
2
Thể ly rượu khi đầy là V = hπ r .
3
h
nên thể tích phần rượu còn lại là
2
2
7
1h r 1
1 1
V1 =
π  ÷ = hπ r 2 . = V . Vậy phần rượu được uống đi là V .
8
3 2 2 3
8 8

Sau khi uống phần còn lại có chiều cao là

Câu 45. [2H2-4.2-3] [THPT Chuyên Quang Trung] Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150 m3 .
Đáy bể làm bằng bê tông giá 100 000 đ / m 2 . Phần thân làm bằng tôn giá 90 000 đ / m 2 , nắp
bằng nhôm giá 120 000 đ / m 2 . Hỏi khi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa
chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?
21
22
31
9
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
32
9
22
22
Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
150
.
π R2
2
2
Mà ta có: f ( R ) = 100000π R + 120000π R + 180000π Rh .
150
27000000
f ( R ) = 220000π R 2 + 180000π R
= 220000π R 2 +
.
2
πR
R
2
Ta có: V = 150 ⇔ π R h = 150 ⇒ h =

TRANG 22


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Để chi phí thấp nhất thì hàm số f ( R ) đạt giá trị nhỏ nhất với mọi R > 0 .
30
27000000 440000π R 3 − 27000000
, cho f ′ ( R ) = 0 ⇒ R = 3
.
=
2
2
440π
R
R
30
f ( R ) khi R =
Lập BBT, từ BBT suy ra min
.
3
R >0
440π
h 150 22
=
Nên =
.

R π R3 9
Câu 46. [2H2-4.2-3] [THPT CHUYÊN VINH] Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ
cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với
kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi
hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát).
.
f ′ ( R ) = 440000π R −

13, 2cm
1cm

13, 2cm

1cm

Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau.
A. 1070,8 cm3 .
B. 602, 2 cm3 .
C. 711, 6 cm3 .
D. 6021,3 cm3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
Ta có thể tích của khối trụ là V1 = π .13, 2.6, 6 ≈ 1806, 4 .
Đường kính hình cầu là 13, 2 − 2.1 = 11, 2 cm , suy ra thể tích của hai nửa khối cầu là
4
V2 = π .5, 63 ≈ 735, 619 .
3
Vậy lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ gần nhất với giá trị 1070,8 cm3 . .

TRANG 23