CHuyên đề về mặt tròn xoay

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2018
CHỦ ĐỀ MẶT TRÒN XOAY
MẶT NÓN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1) Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và  cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc  với
0
0    900. Khi quay mp (P) xungquanh  thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt
nón tròn xoay đỉnh O. Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 2  gọi là góc ở đỉnh của mặt nón
2) Hình nón tròn xoay: Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc
vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.
Diện tích xung quanh của hình nón: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện
tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Công thức tính diện tích xung quanh, toàn phần của hình nón:
Sxq = rl

Stp   rl   r 2
3) Khối nón tròn xoay: Hình nón và phần không gian được giới hạn bởi hình nón là khối nón tròn xoay
hay khối nón
Thể tích khối nón tròn xoay: Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội
tiếp hình nón khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
1
Công thức tính thể tích khối nón: V = B.h
3
II. PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD
Đề thi tham khảo THPT QG 2018_BGD
MỨC ĐỘ ĐÁNH GIÁ

CHỦ ĐỀ

Nhận biết

MẶT TRÒN XOAY

Thông hiểu

VD

Câu 14

Câu 33

TỈ LỆ

VDC

4%

Câu 14. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a 2 và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh
của hình nón đã cho bằng
3a
.
A. 2 2a.
B. 3a.
C. 2a.
D.
2
Câu 14.1. Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
9 . Đường cao h của hình nón bằng:
A. h 

3 6
.
2

B. h  3.

C. h 

3
.
2

D. h 

3
.
3

Câu 14. 2. Một hình nón có chiều cao bằng a 3 , bán kính đáy bằng a . Tính diện tích xug quanh S xq
của hình nón
2
A. S xq  2 a .

2
B. S xq  3 a .

2
C. S xq   a .

2
D. S xq  2a .

Câu 14.3. Cho khối nón có chiều cao h, bán kính đường tròn đáy bằng R. Thể tích khối nón là:


A. V   R 2 h .

1 2
B. V   R h .
3

C. V  2 R 2 h .

1 3
D. V   R h .
3

Lời giải
Chọn B.
Câu 14.4. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h  20 , bán kính đáy r  25 . Diện tích toàn phần của
hình nón là:
A. 125 ( 41  5) .

B. 25 205  625 .

C. 25 ( 205  25) .

D. 125 41  5 .

Lời giải
Chọn A.
2
l  h 2  r 2  202  252  5 41 , Stp   rl   r  125 ( 41  5)

Câu 14.5. Một hình nón có bán kính đáy bằng R, đường cao

4R
. Khi đó, góc ở đỉnh của hình nón là 2
3

mà
A. cos  

3
.
5

B. tan  

3
.
5

C. cot  

3
.
5

D. sin  

3
.
5

Lời giải
Chọn D.
Câu 33. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh S xq của hình trụ có một
đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD .
A. S xq 

16 2
.
3

C. S xq 

B. 8 2 .

16 3
.
3

D. 8 3 .

Câu 33.1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Diện tích xung quanh của hình trụ có đáy là đường tròn
nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD là:
A.

 a2 3
2

B.

 a2 2
3

C.

 a2 3
3

D.

 a2 2
2

Lời giải
Chọn B.
Câu 33.2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Diện tích xung quanh của hình trụ có đáy là đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD là:
2 a 2 2
 a2 2
 a2 3
B.
C.  a 2 3
D.
3
3

2
Câu 33.3. Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và đáy bằng 600. Tính diện
tích xung quanh S xq của hình nón đỉnh S và có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A.

A. S xq 

 a2 3
.
3

B. S xq 

 a 2 10
.
8

C. S xq 

 a2 7
.
4

D. S xq 

 a2 7
.
6

Lời giải

Chọn D.
Câu 33.4. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bằng a 2. Tính thể tích V của khối nón có
đỉnh S và có đáy là hình tròn nội tiếp tứ giác ABCD.


A. V 

 a3
.
2

B. V 

2 a 3
.
6

C. V 

 a3
.
6

2 a 3
.
2

D. V 

III. Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích
xung quanh của hình nón đó là :
B. 2 a 2

A.  a 2

C.

1 2
a
2

D.

3 2
a
4

Lời giải
Chọn C.

Câu 2: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. Thể
tích của khối nón là:
 a3
A.
6 2

B.

 a3
6 3

C.

 a2
6 2

D.

 a3
6

Lời giải
Chọn A.

Câu 3: Cho hình nón có đường sinh l  4r , với r là bán kính đường tròn nội tiếp đáy. Khai triển hình
nón theo một đường sinh, ta được một hình quạt tròn có bán kính bằng l và góc của hình quạt là
 . Lựa chọn phương án đúng
A.  


6

B.  


4

C.  


3

D.  


2

Lời giải
Chọn D.
Câu 4: Trong mp (P) cho điểm O cố định. Xét những đường thẳng  thay đổi luôn đi qua O và tạo với
mp (P) một góc không đổi  (00    900 ) . Khi đó
A.  luôn nằm trên một hình nón xác định.
C.  luôn nằm trên một mặt nón xác định.

B.  luôn nằm trên một khối nón xác định
D.  luôn nằm trên một mặt trụ xác định.

Lời giải
Chọn C.

Câu 5: Trong một mặt nón:
A. Góc ở đỉnh lớn hơn góc giữa hai đường sinh bất kỳ.
B. Góc ở đỉnh lớn hơn hoặc bằng góc giữa hai đường sinh bất kỳ.
C. Góc ở đỉnh bằng góc giữa hai đường sinh bất kỳ.
D. Góc ở đỉnh bé hơn góc giữa hai đường sinh bất kỳ.
Lời giải
Chọn B.

Câu 6: Hình nón có chiều cao h, góc giữa đường sinh và chiều cao là 30 0. Diện tích xung quanh của
nón là:

2 2
A. S xq  h .
5

3 2
B. S xq  h .
2
Lời giải

Chọn D.

3 2
C. S xq  h .
2

2 2
D. S xq  h .
3


Câu 7: Thể tích của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có diện tích s = 8cm2 là:
A. V 

16 2cm3
.
3

B. V  16 cm3 .

C. V 

16 3
cm .
3

D. V 

8cm 3
.
3

Lời giải
Chọn A.

Câu 8: Tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5 . Cho tam giác ABC quay quanh AB và AC ta được
2 hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh là S1 và S 2 . Hãy chọn kết quả đúng trong các
kết quả sau:
S1 3
S1 4
S1 4
S1 3
 .
 .
 .
 .
A.
B.

C.
D.
S2 5
S2 3
S2 5
S2 4
Lời giải
Chọn B.

Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó quanh trục là cạnh AB thì có bao nhiêu hình nón
khác nhau được tạo thành.
A. Một
C. Ba.

B. Không có hình nón nào.
D. Hai.
Lời giải

Chọn D.

Câu 10: Cho hai điểm A, B cố định, một đường thẳng  thay đổi luôn đi qua A và cách điểm B một
khoảng d (d < AB). Khi đó:
A.  luôn nằm trên một mặt nón.
C.  luôn nằm trên một mặt cầu.

B.  luôn nằm trên một mặt trụ.
D.  luôn nằm trên một hình nón.
Lời giải

Chọn A.

Câu 11: Thiết diện qua trục của mặt nón là một tam giác đều cạnh a. Thể tích của hình nón đó là:
A.

a 3 3
24

B.

3 3
a
16

C.

3 3
a
12

D. a 3

3
8

Lời giải
Chọn A.

Câu 12: Tứ diện OABC vuông tại O có OA  OB  OC . Khi quay các cạnh của tứ diện đó xung quanh
trục OA thì số hình nón tạo thành là
A. 3 .

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Lời giải
Chọn C.

Câu 13: Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là :
A.

1 2
a 3
2

B.

1 2
a 2
3

C.

1 2
a 3
3

D.  a 2 3

Câu 14: Người ta cắt một tấm bìa hình tròn ra làm 3 miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó quấn 3 miếng
bìa để được 3 mặt xung quanh của 3 hình nón; gọi 2 là góc ở đỉnh của nón. Khẳng định nào
sau đây sai:

2
B. sin   .
3
1
D. sin  
3

A. Độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của quạt
C.  60 0

Câu 15: Cho hai điểm cố định A, B và một điểm M di động trong không gian luôn thỏa mãn điều kiện
R MAB   với 00    900 . Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau:

A. mặt nón

B. mặt trụ

C. mặt cầu

D. mặt phẳng

Câu 16: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Khai triển hình nón theo một đường sinh,
ta được một hình quạt có góc ở tâm là  . Lựa chọn phương án đúng.
A.  


2

B.  

2
3

C.  

3
4

D.   

Câu 17: Cho tứ diện ABCD có DA  ( ABC ), DB  BC , AD  AB  BC  a . Ký hiệu V1 ,V2 ,V3 lần lượt
là thể tích của hình tròn xoay sinh bởi tam giác ABD khi quay quanh AD, tam giác ABC khi
quay quanh AB, tam giác DBC khi quay quanh BC. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. V1  V2  V3

B. V1  V3  V2

C. V2  V3  V1

D. V1  V2  V3

Câu 18: Một hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên của hình hộp bằng 2a. Thể tích
khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp một đáy hình hộp và đỉnh là tâm của đáy còn lại của
hình hộp bằng:

A.

 a3
3

B.

 a3
2

C.  a 3

D. 2  a 3

Câu 19: Một hình hộp chữ nhật có đáy là là hình vuông cạnh a, cạnh bên của hình hộp bằng 2a. Diện
tích xung quanh của hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp một đáy hình hộp và đỉnh là tâm
của đáy còn lại của hình hộp là:
A.

 a 2 17
2

B.

 a 2 17
4

C.

3 a 2

2

D. 3 a 2

Câu 20: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h  20 , bán kính đáy r  25 . Một thiết diện đi qua đỉnh
của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện
tích của thiết diện đó:
A. 125.

B. 500.

C. 1000.

D. 250.

Lời giải
Chọn B.
MẶT TRỤ
I.
Kiến thức cần nhớ.
1. Mặt trụ tròn xoay: Trong mp (P) cho hai đường thẳng song song l và  cách nhau một khoảng
bằng R. Khi quay mp (P) xung quanh  thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là
mặt trụ tròn xoay (hay mặt trụ)
, l, R lần lượt là trục, đường sinh, bán kính của mặt trụ.


2. Hình trụ tròn xoay: Ta xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh một
cạnh nào đó, thì hình chữ nhật ABCD sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay (hay hình
trụ)
Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy,

bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ, độ dài CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ,
phần mặt tròn xoay sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh
của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai đáy gọi là chiều cao của hình trụ
Diện tích xung quanh của hình trụ: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới
hạn của diện tích xung quanh hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô
hạn.
Công thức tính diện tích xung quanh, toàn phần của hình trụ: S xq  2 Rl ,
 STP  2 Rl  2 R 2

3. Khối trụ tròn xoay: Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn
xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó.
Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao,
đường sinh, bán kính của một khối trụ tương ứng.
Thể tích khối trụ tròn xoay: Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ
đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Công thức tính thể tích khối trụ: V   R 2 h
Trong đó: R: bán kính đáy của khối trụ, h: chiều cao của khối trụ.
II.
Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 21: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. Thể tích của khối
trụ là:
A. 175

B.

175
2

C.

175
3

D. 350

Lời giải
Chọn A.

Câu 22: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h   r 3 . Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần
của hình trụ lần lượt là:
2
A. r 3 ;





2
C. r 2 3 ; 2




3 ; 2 

2
B. r 2 3 ; 2

3 1  r2



3 1  r2

3
D. r 2


3  1  r

3 1  r2
3

Lời giải
Chọn B.

Câu 23: Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 4, AD = 2 . Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và CD.
Cho hình chữ nhật quay quanh MN, ta được hình trụ tròn xoay có thể tích bằng
A. V = 4π .

B. V = 8π .
Lời giải

Chọn B.

C. V = 16π .

D. V = 32π

Câu 24: Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 4, AD = 2 . Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh
AD và AB, ta được 2 hình trụ tròn xoay có thể tích V1 ,V2 . Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. V1  V2 .

B. V2  2V1 .

C. V1  2V2 .

D. 2V1  3V2

Lời giải
Chọn C.

Câu 25: Một hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao R 3 . Thiết diện song song và cách trục hình trụ
một khoảng
A.

R 3
có diện tích là
2

R2 3
4

B.

R2 3
3

C.

R2 3
2

D. R 2 3

Lời giải
Chọn D.

Câu 26: Cho hình trụ có bán kính R  a , mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện
tích bằng  6a 2 . Diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ là:
A. 8 a 2 ;3 a 3

B. 6 a 2 ; 6 a 3

C. 6 a 2 ;3 a 3

D. 6 a 2 ;9 a 3

Lời giải
Chọn C.

Câu 27: Hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a. Thể tích của hình trụ bằng
A. a3

B.

a 3
4

C.

a 3
2

D. a 3

Lời giải
Chọn C.

Câu 28: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ tròn xoay với đường kính đáy bằng 1 cm, chiều dài
6 cm. Người ta làm những hình hộp cacton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật kích thước
6 �5 �6 cm . Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp đó, ta được kết quả nào trong 4 kết quả là
A. vừa đủ.
C. thừa 10 viên khi hộp đã đầy.

B. thiếu 10 viên thì các hộp đầy.
D. thiếu 5 viên thì hộp đầy
Lời giải

Chọn B.

Câu 29: Một hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều với tất cả các cạnh bằng a có diện tích xung
quanh bằng bao nhiêu ?

2pa 2 3
A.
3

pa 2 3

B.
3

4pa 2 3
C.
3

D. pa 2 3

Lời giải
Chọn A.

Câu 30: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4  , thiết diện qua trục là hình vuông. Một mp ( )
song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB ' A ' , biết một cạnh của thiết diện là một dây
của đường tròn đáy hình trụ và căng một cung 1200 . Diện tích thiết diện ABB ' A ' là:


A.

B. 2 3

3

C. 2 2

D. 3 2

Lời giải
Chọn B.

Câu 31: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3 với AB là đường kính của
đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc �
ABM  600 .Tính thể tích của khối tứ
AB sao cho �
diện ACDM:
A. 3

B. 6

C. 1,5

D. 12

Lời giải
Chọn A.

Câu 32: Một hình trụ có bán kính đáy r  5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi
một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Diện tích của thiết diện được tạo nên là:
A. 40

B. 56

C. 28

D. 112

Lời giải
Chọn B.

Câu 33: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ nhất và

C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy của hình trụ
một góc 450. Tính thể tích khối trụ:
A.

3 a 3 2
16

B.

 a3 2
16

C.

3 a3
8

D.

3 a 2
8

Lời giải
Chọn A.

Câu 34: Cho hình trụ (T) có 2 đáy là các đường tròn tâm O và O’. ABB’A’ là thiết diện của (T) song
song với OO’ ( A, B thuộc đường tròn tâm O). Biết AB  6; AA’  4 . thể tích của khối trụ (T)
bằng 100  . Khoảng cách d từ O đến (ABB’A’) là:
A. d  3.

B.

d  4.

C. d  0. 

D. d  5.

Lời giải
Chọn B.

Câu 35: Một hình trụ có thể tích V không đổi, để diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất thì
bán kính đáy R bằng
A. R 

3

V


B. R 

3

V
2

C. R 

3

V
3

D. R 

3

2V


Lời giải
Chọn B.

Câu 36: Một hình trụ có thể tích V không đổi, để diện tích xung quanh cộng diện tích một đáy của hình
trụ đạt giá trị nhỏ nhất thì chiều cao h bằng
A. h 
h

3

2V
.


3

V
.


B. h  2 3

V
.
2

C. h 

3

V
.
3

D.


Lời giải
Chọn B.
V   R 2 .h � h 

V
 R2

S xq  S1d   Rh   R 2 

V
  R2
R

V
V
  R 2 � f '( R)   2  2 R
R
R
V
V
f '( R )  0 � R  3
� h  23
2
2

Xét hàm f ( R) 

Câu 37: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h   r 3. Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai
đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30 0. Khoảng cách
giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ là
A.

r 2
.
2

B. r 3 .

C.

r 3
.

2

D.

r 3
.
3

Câu 38: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2a, BC  3a. Gọi M , N là các điểm trên các cạnh AD, BC
sao cho M A  2MD, NB 2 NC . Khi quay quanh AB các đường gấp khúc AM NB, ADCB sinh
S1
.
S2
S1 4
 .
C.
S2 9

ra các hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là S1 , S2 . Tính tỉ số
A.

S1 12
 .
S 2 21

B.

S1 2
 .
S2 3

D.

S1 8
 .
S 2 15

Lời giải
Chọn D.
S1  2 . AM .M N  2 . AM 2  16 a 2 .
S 2  2 . AD.DC  2 . AD 2  30 a 2 .
�

S1 8
 .
S 2 15

Câu 39: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' coa AD  8, CD  6, AC '  12. Tính diện tích toàn
phần của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp của hai hình chữ nhật
ABCD và A ' B ' C ' D ' .
A. Stp  576 .
B. Stp  10(2 11  5) .
C. Stp  26 . D. Stp  5(4 11  5) .
Lời giải
Chọn B.
AC '2  AB 2  AD 2  AA '2 � AA '  AC '2  AB 2  AD 2  2 11
AC  AD 2  CD 2  10
AC
 5.
2

Chiều cao hình trụ là h  AA '  2 11 , Bán kính hình trụ là R  5.
� Stp  2 Rh  2 R 2  10(2 11  5) .
Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là R 

Câu 40: Một hình trụ có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường
tròn tâm O. Dựng các đường sinh AA’ và BB’. Góc của mp(A’B’CD) với đáy hình trụ là 600.
Thể tích của khối đa diện ABCDB'A' là:


A. R 3 6

B. R 3 3

C. R 3 2

D.

R3 6
3

MẶT CẦU
1. Khái niệm mặt cầu
a) Định nghĩa: Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng
không đổi bằng R ( R  0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R.
Ký hiệu S (O; R ) hay viết tắt ( S )
b) Dây cung, đường kính của mặt cầu

Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên mặt cầu. Dây cung đi qua tâm mặt cầu
gọi là đường kính của mặt cầu.
2. Vị trí tương đối của điểm đối với mặt cầu

Cho điểm M và mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R
 M nằm ngoài mặt cầu (S) � IM  R
 M nằm trên mặt cầu(S) � IM  R
 M nằm trong trong mặt cầu(S) � IM  R
3 . Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu
Cho đường thẳng  và mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R


 không có điểm chung với mặt cầu (S) � d ( I , )  R



 tiếp xúc mặt cầu (S) (  là tiếp tuyến của (S)) � d ( I , )  R . Khi đó hình chiếu H của

điểm I trên  là tiếp điểm của  với (S)
cắt mặt cầu (S) theo dây cung AB � d ( I , )  R . Khi đó hình chiếu H của điểm I trên 
 
là trung điểm AB và R 2  d 2 ( I ; ) 

AB 2
4

3. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu
Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R
 (P) không có điểm chung với mặt cầu (S) � d ( I , ( P))  R
 (P) tiếp xúc mặt cầu (S)( (P) là tiếp diện của(S)) � d ( I , ( P ))  R . Khi đó hình chiếu
H của điểm I trên (P) là tiếp điểm của (P)với (S)
 (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) � d ( I , ( P))  R . Khi đó hình chiếu H của điểm I
trên (P) là tâm của (C) và R 2  d 2 ( I ;( P))  r 2 ( r là bán kính của (C))
4. Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu

Cho mặt cầu (S1) có tâm I1 và bán kính R1 và mặt cầu (S2) có tâm I2 và bán kính R2
 Mặt cầu (S1) và mặt cầu (S2) ngoài nhau I1 I 2  R1  R2
 Mặt cầu (S1) và mặt cầu (S2) tiếp xúc ngoài tại H I1I 2  R1  R2
 Mặt cầu (S1) và mặt cầu (S2) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn
R1  R2  I1 I 2  R1  R2


 Mặt cầu (S1) và mặt cầu (S2) tiếp xúc trong I1I 2  R1  R2


Mặt cầu (S1) và mặt cầu (S2) đựng nhau I1I 2  R1  R2

uuur uuur

Câu 41: Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA.MB  0 là:
A. Mặt cầu bán kính AB
C. Đường tròn đường kính AB

B. Mặt cầu đường kính AB
D. Khối cầu.

Câu 42: Trong mặt phẳng cho nửa đường tròn đường kính AB . Quay nửa đường tròn này
xung quanh AB ta được
A. Khối cầu
B. Mặt cầu.
C. Hình cầu
D. Hình tròn.
Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh cùng bằng a. Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp là:
A.

a 2
2(1  3)

B.

a 2
4(1  3)

C.

a 3
2(1  3)

D.

a 3
4(1  3)

Câu 44: Cho đoạn thẳng AB và số k dương khác 1. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho
MA
 k là một:
MB
A. Mặt trụ

B. Mặt nón

C. Mặt cầu

D. Hình cầu

Câu 45: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp
B. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
C. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

Câu 46: Lựa chọn phương án đúng.
A. Hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = SB , SC = SD luôn có hình cầu ngoại tiếp.
B. Mọi hình hộp đứng đều có hình cầu ngoại tiếp.
C. Mọi tứ diện luôn có cả hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp.
D. Mọi hình trụ đều có hình cầu nội tiếp.

Câu 47: Lựa chọn phương án đúng.
A. Trong mọi hình chóp tứ giác đều, thì tâm hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.
B. Trong mọi hình chóp tam giác đều, thì tâm hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.
C. Trong hình tứ diện gần đều (tức là hình tứ diện có các cặp cạnh đối diện bằng nhau) thì tâm
hình cầu nội và ngoại tiếp trùng nhau.
D. Cả ba phương án trên đều sai.

Câu 48: Cho điểm A và đường thẳng d không đi qua A. Xét các mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua điểm
A. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Các mặt cầu đó luôn đi qua một điểm cố định
B. Các mặt cầu đó luôn đi qua hai điểm cố định
C. Các mặt cầu đó luôn đi qua một đường tròn cố định.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai

Câu 49: Cho một mặt cầu bán kính R, tâm O. Xét mp (P) thay đổi sao cho (P) cắt mặt cầu theo một
đường tròn có bán kính không đổi. Gọi H là hình chiếu của O trên (P) thì:
A. H thuộc mặt cầu cố định
C. H thuộc mặt nón cố định

B. H thuộc đường tròn cố định
D. H thuộc mặt trụ cố định


Câu 50: Cho mặt cầu ( S1 ) , bán kính R1 , mặt cầu ( S2 ) , bán kính R2 , mà R2  2 R1 . Tỉ số diện tích của
mặt cầu ( S 2 ) và mặt cầu ( S1 ) bằng:
1
2
Lời giải
Chọn D
A.

B. 2

C. 3

D. 4

S1  4 R12 ; S2  4 R22  4 (2 R1 ) 2  4 .4.R12

S2
 4.
S1

Câu 51: Một hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao bằng 2a. Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình hộp là:
B. 8a 2

A. 16a 2

D. 6a 2

C. 12a 2

Câu 52: Cho tứ diện ABCD,  DA  5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và
AB  3a, BC  4a . Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D có tâm là:
A. Trung điểm cạnh AB
C.Trung điểm cạnh DC

B.Trung điểm cạnh DB
D. Trung điểm cạnh BC

Câu 53: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a. Gọi O là giao của AC và
BD. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.Trung điểm của cạnh SA
C. O

B. Trung điểm của cạnh AB
D. Trung điểm SO

Câu 54: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Diện tích của mặt
cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:
A.

7 a 2
6

B. 28 a 2

C.

7 a 2
4

D.

7 a 2
3

�  CDA
�  900 . Một đường
Câu 55: Cho bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt cầu và �
ADB  BDC
kính của mặt cầu là:
A. AB

B. BC
uuuur uuur
D. DD’, trong đó DD '  3DG với G là trọng tâm tam giác ABC

C. AC

Câu 56: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA  a .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.

a
2

B.

a 2
2

C. a

D.

a 3
2

Câu 57: Cho hình lăng đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Đường chéo tạo với đáy một góc 450 .
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:
A.

3 a 3
2

4 a 3
B.
3

C.

3 3a 3
2

D.

4 a 3 3
3


Câu 58: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy. Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
a3
A.
3

a 6
. Thể tích khối chóp là:
2

a3 6
B.
3

2a 3
D.
3

3

C. 2a

Câu 59: Trong số các hình hộp nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước, hình hộp nào có tổng các kích
thước lớn nhất
A. Hình lập phương có cạnh bằng

R 3
3

B. Hình lập phương có cạnh bằng

2R 2
3

C. Hình lập phương có cạnh bằng

R 3
2

D. Hình lập phương có cạnh bằng

2R 3
3

Lời giải
Ta có hình hộp nội tiếp mặt cầu bán kính R nên nó là hình hôp chữ nhật và các kích thước lần
lượt là a, b, c của nó liên hệ với bán kính mặt cầu bởi công thức a 2  b 2  c 2  4 R 2
Tổng các kích thước của hình hộp là 4(a  b  c)
Mặt khác (a  b  c) 2 �3(a 2  b 2  c 2 )  12R 2 � a  b  c �2 R 3
Dấu “=” xảy ra � a  b  c 

2R 3
.
3

Khi đó hình hộp cần tìm là hình lập phương có cạnh bằng

2R 3
.
3

Câu 60: Cho một mặt cầu bán kính R cố định. Hình chóp tứ giác đều có thể tích lớn nhất nội tiếp trong
mặt cầu thì chiều cao và cạnh đáy của hình chóp là:
4R
B. Bằng nhau và bằng R
3
2R
R
C. Bằng nhau và bằng
D. Bằng nhau và bằng
3
3
Lời giải
Giả sử S . ABCD là hình chóp đều nội tiếp mặt cầu bán kính R Thì đường cao SH đi qua tâm
mặt cầu.
A. Bằng nhau và bằng

Gọi a, h lần lượt là cạnh đáy, chiều cao của hình chóp thì R 

2h 2  a 2
với 0  h  2 R
4h

� a 2  2h(2 R  h)
1
2

VS . ABCD  a 2 .h  h 2 (2 R  h)
3
3
Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức:
VS . ABCD

�h h
�
  2R  h �
�
2
8 h h
8
64 R 2
 h 2 (2 R  h)  . . (2R  h) � �2 2

�
3
3 2 2
3�
3
� 81
�
�

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Cách 2. Phương pháp hàm số

h
4R

4R
 2R  h � h 
. Khi đó a 
. Đáp án A.
2
3
3


Xét hàm f ( h) 

2 2
h (2 R  h) trên (0; 2 R)
3
CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP

Câu 61: Một hình nón có bao nhiêu mặt cầu ngoại tiếp:
A. Một

B. Vô số

C. Không có

D. Hai

Câu 62: Cho mặt cầu tâm O, bán kính R, S là điểm cố định nằm trong mặt cầu. Xét hình nón đỉnh S, trục
là đường thẳng đi qua O. Khi đó giao của mặt cầu và mặt nón là:
A. 1 đường tròn

B. Một hình tròn

C. 2 đường tròn

D. 2 hình tròn

Câu 63: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4, diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính
bằng 1. Thể tích khối trụ đó là:
A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

Câu 64: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng 2. Một mặt cầu có diện tích
bằng diện tích toàn phần của hình nón sẽ có bán kính là:
A. 2 3

B. 2

C.

D.

3

3
2

Câu 65: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích xung quang bằng 4 . Diện tích
mặt cầu ngoại tiếp hình trụ là:
A. 12

C. 8

B. 10

D. 6

Câu 66: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 1, Thiết diện qua trục là một hình vuông. Thể tích của khối
cầu ngoại tiếp hình trụ là:
B. 3 3

A. 6 3

C.

4 2
3

D.

8 2
3

Câu 67: Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AD   , đáy nhỏ AB   , đáy lớn CD  2 . Cho
hình thang quay quanh CD, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:
A. V  2 4

B. V 

4 4
3

C. V 

4 3
3

D. V 

4 2
3

Câu 68: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp
và khối cầu nội tiếp khối nón là:
A. 8

B. 6

C. 4

D.2

Câu 69: Trong các hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước, hình nón có thể tích lớn nhất khi
chiều cao của hình nón và bán kính đáy của hình nón lần lượt là:
A.

4R

R 2
và
3
3

B.

4R
2R 2
và
3
3

C.

2R
2R 2
và
3
3

D.

4R
2R 3
và
3
3

Câu 70: Cho hình trụ (T) có 2 đáy là các đường tròn tâm O và O’. Gọi (N) là nón đỉnh O đáy là đường

tròn tâm O’. Thiết diện qua trục của hình trụ (T) là hình vuông cạnh 2a. Khẳng định nào sau
đây là đúng
A. Thiết diện qua trục của nón (N) là tam giác đều
B. Thiết diện qua trục của nón (N) là tam giác vuông cân
C. diện tích xung quanh của nón (N) bằng nửa diện tích xung quang của (T)


D. Tỉ số độ dài đường sinh và chiều cao của nón (N) bằng

5
2

Câu 71: Người ta bỏ vào một chiếc hộp hình trụ ba quả bóng hình cầu, biết rằng đáy của hình trụ bằng
hình trò lớn trên quả bóng và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả bóng. Gọi S1
là tổng diện tích của ba quả bóng, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích
là:
A. 2.
B. 5
Lời giải
Chọn D
Đặt bán kính của quả bóng Tennis bằng R
� S1  3.4. .R 2  12 R 2

C. 3.

S1
S2

D. 1.

S 2  (3.2.R )(2 R )  12 R 2
�

S1
 1.
S2

Câu 72: Một hình trụ có chiều cao bằng 6 nội tiếp trong hình cầu có bán kính bằng 5. Thể tích của khối
trụ là:
A. 96 .
Lời giải
Chọn A

B. 36 .

C. 192 .

D. 48 .

2

�h �
Ta có R  � � r 2 � r  4 � V  96 .
�2 �
Câu 73: Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn đường kính AB như hình vẽ. Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của AB, CD . Biết AB  4, AD  6 . Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay
mô hình trên quanh trục MN là
2

A.

56
.
3

B.

104
.
3

88
.
3
Lời giải
Chọn D
2
Thể tích khối trụ là : V1  MN .( . AM )  24
1 4
16
3
Thể tích nửa khối cầu là: V2  .  AM  
2 3
3
16 88

. Đáp án D.
Suy ra V  V1  V2  24 
3
3

Đáp án nhiễu

C.

40
.
3

D.


56
.
3
4
32
32 104
3

.
- Đáp án B do HS tính sai V2   AM   � V  V1  V2  24 
3
3
3
3
4
32
32 40
3


.
- Đáp án C do HS tính sai V2   AM   � V  V1  V2  24 
3
3
3
3
Câu 74: Người ta đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao là 200cm , độ dày của thành ống là
15cm, đường kính của ống là 80cm . Lượng bê tông cần đổ có thể tích là:
A. 0,195 m3 .
B. 0,18 m3 .
C. 0,14 m3 .
D.  m3 .
Lời giải
Chọn A.
Lượng bê tông cần đổ có thể tích là:
V    .0, 42   (0, 4  0,15)2  .2  0,195 (m3 )
-

Đáp án A do HS tính sai V  V1  V2 

Câu 75: Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối
cầu có thể tích bằng thể tíchcủa khối nón thì có diện tích bề mặt bằng:
a 2 3 9
a 2 3 12
a 2 3 12
A.
B.
C.
D. a 2 3 12.
.

16
4
16
Lời giải
Chọn B
Hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao thì sẽ có chiều cao
bằng chiều cao của tam giác đó, tức là h 

a 3
. Đường kính đáy bằng cạnh tam giác
2

a
� 2r  a � r  .
2
3
1
a 3
VN   r 2 .h 
3
24
Gọi R là bán kính khối cầu có cùng thể tích với khối nón trên thì ta có
a 2 3 12
4
a 3 3
a3 3
3
� Scau  4 R 2 
VCau   R 3 
� R3 

� R  a3
4
3
24
32
32
Câu 76: Cho một hình trụ có tâm 2 đáy là O, O ' , độ dài trục OO '  2 7 . ABCD là hình vuông cạnh
bằng 8 có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho tâm của hình vuông là trung điểm của
OO ' . Thể tích của khối trụ là:
50
 7.
A. 25 7.
B. 50 7.
C.
D. 50 2.
3
Lời giải
Chọn B
Giả sử A, B �(O) và C , D �(O ') . Gọi H , K , M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
AB, CD, OO '

IO  �
7 4 IH O H
IOH và OHA là các tam giác vuông lần lượt tại O và H
IOH vuông tại O có OH  IH 2  OI 2  3

OHA vuông tại H có r  OA  OH 2  H A2  5
VTru   r 2 h   .52.2 7  50 7

Câu 77: Bạn A có một cốc nước hình trụ cao 15cm , đường kính đáy 6cm , lượng nước trong cốc cao
9cm. Bạn A thả hai viên bi đá hình lập phương có độ dài cạnh là 3cm vào trong cốc. Hỏi độ
cao của nước trong cốc sau khi thả hai viên bi đá vào là bao nhiêu?
3
6
� 3�
� 6�
9 �
cm
9 �
cm
cm
A.
B. �
C. cm.
D. �


� �
� �
Lời giải
Chọn D
Thể tích của viên đá hình lập phương là 33  27cm3
Sau khi thả hai viên đá vào trong cốc thì thể tích chiếm chỗ của 2 viên đá là 54cm3
Thể tích nước tăng chính là thể tích 2 viên đá chiếm chỗ nên mực nước trong cốc tăng
thêm là h 

54
6
 (cm)

2
 .3 

� 6�
9 �
cm
Độ cao của nước trong cốc sau khi thả hai viên bi là: �
� �
Phương án nhiễu
- HS đọc nhầm là tính lượng nước tăng nên chọn ngay C.
- HS chỉ tính thể tích một viên đá và đọc nhầm là tính lượng nước tăng nên chọn ngay A.
� 3�
9 �
cm nên
- HS tính thể tích một viên đá và lượng nước trong cốc sau khi thả viên đá là: �
� �
chọn B.
Câu 78: Cho khối cầu ( S ) tâm O , bán kính R ngoại tiếp khối lập phương ( P) và nội tiếp khối trụ (T )
. Gọi V( P ) ,V(T ) lần lượt là thể tích của khối lập phương ( P ) và khối trụ (T ) . Giá trị của tỉ số
V( P )
V(T )
A.

là:
4 3
.
6

B.

4 3
.
9

C.

4 3
.
9

D.

2 3
.
9

Lời giải
Chọn C
Ta có đường chéo của hình lập phương chính là đường kính của khối cầu. Gọi cạnh hình lập
phương là a , ta có đường chéo của hình lập phương là a 3.
Do đó, (2 R )2  3a 2 � a 

2R 3
3

3

V(T )

�2 3 � 8 3 3

�
� 3 R�
� 9 R .
�
�

Vì khối cầu có bán kính R nên bán kính và chiều cao của khối trụ ngoại tiếp khối cầu lần lượt
là R và 2R
� V(T )   R 2 .2 R  2 R 3


V( P )
V(T )

8 3 3
R
4 3
 9 3 
.
2 R
9

Câu 79: Vỏ quả tạ của một chiếc đồng hồ cổ của Đức có dạng hình nón rỗng bên trong với chiều cao
9cm; bán kính đáy 6cm. Người ta đặt vào trong quả tạ này một quả nặng bằng sắt đặc hình trụ
sao cho trục của quả nặng hình trụ và trục của chiếc vỏ hình nón trùng nhau. Biết khối lượng
riêng của sắt là 8g/cm3. Khối lượng lớn nhất M của quả nặng là:
A. 384 ( g )
Lời giải
Chọn A

B. 432 ( g )

C. 288 ( g )

D. 324 ( g )

h1 r
3
3
 � h1  r � h2  9  h1  9  r
9 6
2
2
3
V(T )   r 2 .h2   .r 2 (6  r )
2

Khảo sát hàm số f ( r )  r 2 (6  r )
max f (r )  32 � r  4 � max V(T )  48 (cm3 )

trên

(0;6)

hoặc

đánh

giá

ta

tìm

được

(0;6)

Khối lượng quả nặng là: M  V(T ) .D  48 .8  384 ( g )

Câu 80: Một chiếc đồng hồ cát có dạng hình trụ bị khoét 2 hình nón ở bên trong có chung đỉnh là trung
điểm của trục hình trụ các đáy của nón là các đáy của hình trụ. Biết lượng cát chảy trong 1s của
3
đồng hồ được tính theo công thức: v 0  50 .cos  ( mm ); 2 là góc ở đỉnh của nón. Biết bán

kính của khối trụ và chiều cao của nó là 3cm và 8cm. Số giây mà đồng hồ cát mỗi lần chạy là
A. 300s
Lời giải
Chọn A

B. 200s

C. 100s

D. 60s