Tiết 12. Khái niệm về mặt tròn xoay

CHƯƠNG II : MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
TIẾT 12 : KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
GV : Đào Thị Hương Hoa
Trường : THPT Thái Thuận.


Chương ii : Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Tiết 12: khái niệm về mặt tròn xoay
I. S TO THNH MT TRềN XOAY

Bình hoa

Chi tiết máy

Chiếc nón


Ca me ra


I. SỰ TẠO THÀNH MẶT TRỊN XOAY

Trong khơng gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và
một đường C.Quay C quanh trục ∆ một góc 3600 thì
+ Mỗi điểm M ∈ C sẽ vạch ra
∆
đường tròn tâm O ∈ ∆ và vng
∆
P
góc với ∆
C

+ Đường C sẽ tạo nên một hình
P
C
được gọi là mặt trịn xoay

∆ : Trục của mặt tròn xoay
C : đường sinh của mặt tròn xoay

H·y nêu một số đồ vật
mà mặt ngoài có hình
dạng là các mặt tròn
xoay

ng sinh

O
M

Trc


II. MẶT NĨN TRỊN XOAY
1. Định nghĩa :

d ∩∆ =O
góc (d , ∆) = β , 00 < β < 900

∆ ∆

d

d

Trong mp (P) cho

khi quay mp (P) xung quanh ∆ thì đường
thẳng d sinh ra một mặt trịn xoay được gọi
là mặt nón trịn xoay đỉnh O gọi tắt là mặt
nón.

∆ : là trục của mặt nón
d : là đường sinh của mặt nón
Góc 2β : gọi là góc ở đỉnh của mặt nón
Vậy muốn có mặt trịn xoay ta phải
có các yếu tố cố định nào?

O
O

β

β


2. HÌNH NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN TRỊN XOAY
O
a. Hình nón trịn xoay
o
Cho tam giác OIM vng tại I
Khi tam giác đó quay xung quanh cạnh OI

Thì đường gấp khúc OMI tạo thành một
hình gọi là hình nón trịn xoay, gọi tắt là
hình nón.
+ Cạnh IM quay quanh trục OI to
thnh mt ỏy ca hỡnh nún.

Đáy của hình nón

I
I

M

M

o

+ Cạnh OM quay quanh trục
OI tạo nên mặt xung quanh
của hỡnh nún

Mặt xung quanh
của hình nón

M

I


Như vậy, hình nón sinh bởi tam giác vng OIM khi

quay xung quanh cạnh góc vng OI có

Đỉnh
O

O : là đỉnh của hình nón.
OI : Chiều cao của hình nón
OM : đường sinh của hình nón

Chiều cao

O
I
M

Đường sinh
A

I

B

Hãy phân biệt
với khái niệm mặt tròn xoay?


Cắt mặt nón bởi một mặt phẳng vuông góc
với trục của nó thì thiết diện là hình gì?
Cắt mặt nón bởi mặt phẳng đi qua
đỉnh của nó thiết diện là hình gì?

O
A
B

O

A

B

B

Cắt mặt nón bởi mặt
phẳng đi qua trục của nó
thì thiết diện là hình gì?

B

A

A


b. Khối nón trịn xoay
• Là phần khơng gian được giới hạn bởi
một hình nón trịn xoay kể cả hình nón
đó cịn gọi tắt là khối nón.
• Điểm ngồi của khối nón : là những
điểm khơng thuộc khối nón
• Điểm trong của khối nón : là những

điểm thuộc khối nón nhưng khơng
thuộc hình nón.
• Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của
hình nón theo thứ tự là đỉnh,
mặt đáy, đường sinh của khối
nón tương ứng

O

Đỉnh

đường sinh

Điểm trong

E2
E1

A

I

E3

E4

Điểm ngồi

Mặt đáy

B
M


Phân biệt : Mặt nón trịn xoay, hình nón trịn xoay và khối nón trịn xoay
d

∆

O

O
O
β

I

A

I

M

Mặt nón
trịn xoay

Hình nón
trịn xoay

B

M

Khối nón
trịn xoay


3. Diện tích xung quanh của hình nón trịnS xoay
a. Hình chóp nội tiếp hình nón
b. Cơng thức tính diện tích xung quanh
của hình nón.
A2

S xq = π Rl

A1

R : là bán kính đường trịn đáy
l : là độ dài đường sinh

A3
O

A4

A6

A5
O

Stp = Sxq + Sđáy

π Rl + π R

=

l

2
I
R

M


Ví dụ 1 :
0
·
Trong khơng gian cho tam giác OIM vng tại I, góc IOM = 30và
cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI thì
đường gấp khúc OIM tạo thành một hình nón trịn xoay. Tính Sxq, Stp
của hình nón trịn xoay đó.
O
Lg:
Ta có : OM = 2a
2
30
Sxq = π Rl = π .a.2a = 2π a
0

Stp = Sxq + Sđáy

=

2π a + π a = 3π a
2

2

2
I

a

M

S xq = π Rl


b. Thể tích khối nón trịn xoay

O

1
1
V = Bh = π 2 h
R
3
3

h

l

R : là bán kính đường trịn đáy
I

h : là chiều cao của khối nón
Ví dụ 1 : Tính thể tích khối nón ?
Lg:
a
=a 3
Ta có : h = OI =
0
tan 30
Vậy khối nón trịn xoay có thể tích là :

1 2
π a3 3
V = π a .a 3 =
3
3

R

M

O

300

h

I

a

M


• Nắm được sự tạo thành mặt tròn xoay, mặt nón trịn
xoay, hình nón trịn xoay, khối nón trịn xoay.
• Nắm được các yếu tố có liên quan : đỉnh, trục,
đường sinh, mặt đáy, mặt xung quanh.
• Phân biệt được các khái niệm : mặt nón trịn xoay,
hình nón trịn xoay, khối nón trịn xoay.
• Biết tính diện tích xung quanh của hình nón trịn
xoay và thể tích của khối nón trịn xoay.

S xq = π Rl
1
1
V = Bh = πR 2 h
3
3


Ví dụ
2

Cắt một mặt nón bởi một mặt phẳng đi qua
trục của nó ta được thiết diện là một tam
giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh

của hình nón đó và thể tích của khối nón tư
ơng ứng
O

C
A

B


Cho một đường thẳng d’,điều kiện để d’
thuộc mặt nón là gì ?

∆

Ta phải cm d’cắt đường thẳng cố định tại
một điểm cố định, và tạo với đường cố
định một góc khơng đổi, khi đó d’ là
đường sinh của mặt nón
O

β

d’


Cho hai điểm A,B cố định và AB=20 một
VD1
đường thẳng d di động luôn đi qua A và
cách B một khoảng h=10.C/m d luôn nằm

trên mặt nón tròn xoay
A
Ta phi cm d cắt đường thẳng cố định tại
một điểm cố định, và tạo với đường cố
định một góc khơng đổi, khi đó d là
đường sinh của mặt nón

α
20

BG: Gäi α là góc giữa AB và d
Khi ú ta cú, trong tam giác vuông AHB

BH 10 1
0
sin α =
= = => = 30
AB 20 2

10

H
d

B

Vậy d đi qua A tạo với AB một góc không đổi nên d nằm
trên mặt nón đỉnh A,nhận AB làm trục,góc ở đỉnh 600