BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp a1

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

1


MỤC LỤC

...............................................................................................................114

2


Chương 1: Ma trận - Định thức – Hệ phương trình tuyến tính
1.1 Ma trận
1.1.1 Định nghĩa và ví dụ
a) Định nghĩa :
Một bảng số hình chữ nhật có m hàng và n cột

 a11
a
A =  21
 ...

 am1

... a1n 
... a2 n ÷
÷ (1)
... ... ÷
÷
... amn  m x n

a12
a22
...
am 2

được gọi là một ma trận cấp m × n
Ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ cái : A , B , …, X, Y, … ; còn các phần tử thường
được ký hiệu bằng các chữ thường : a , b , …, x , y , ….
Các phần tử của ma trận được nằm trong dấu [ ---] , hoặc (--- )
aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i cột j,
Ký hiệu: A = ( aij ) m×n , A =  aij  m x n
Ví dụ 1:

 1 2 0
÷ là ma trận cấp 2 × 3 với các phần tử là :
 −2 3 5 
a11 = 1 , a12= 2 , a13 = 0

Bảng số A = 

a21 = −2 , a22 = 3 , a23 = 5
1 
 ÷
Bảng số B =  2 ÷ là ma trận cấp 3 × 1 với các phần tử b11 = 1 , b21 = 2 , b31 = 3
3÷
 
Bảng số C = ( −1 3 5 ) là ma trận cấp 1 × 3 với các phần tử c11 = −1 , c12 = 3 , c13 = 5
b) Ma trận vuông
Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau.

( )

Ký hiệu : A = aij

n

là ma trận vuông cấp n .

 a11
a
A =  21
 ...

 an1

a12
a22
...
an 2

... a1n 
... a2 n ÷
÷
... ... ÷
÷
... ann  n

Ví dụ 2:

2 
13

÷ là ma trận vuông cấp 2.
A= 3

0,75 ÷
2

1


1 − 3 1 
B =  −7 1 −8 ÷
÷ là ma trận vuông cấp 3.
 2 0 0÷

3
Đường chéo chính.
Cho ma trận A vuông cấp n. Khi đó các phần tử a11, a22,…, ann nằm trên một đường thẳng
gọi là đường chéo chính của A, các phần tử a11, a22,…, ann gọi là các phần tử chéo.

( )

Ma trận tam giác. Cho ma trận A = aij

n

- Ma trận tam giác trên: Nếu A có các phần tử phía dưới đường chéo chính đều bằng 0
(Tức là: aij = 0 với mọi i > j).

 a11
 0
A=
 ...

 0

a12
a22
...
0

... a1n 
... a2 n ÷
÷
... ... ÷
÷
... ann  n

1 2 8 − 3 

÷
0 4 −1
2÷

Ví dụ 3: Cho ma trận A =
là ma trận tam giác trên.
0 0 2 1÷


÷
 0 0 0 3 4
- Ma trận tam giác dưới: Nếu A có các phần tử phía trên đường chéo chính đều bằng
0( tức là: aij =0 với mọi i < j).

 a11
a
A =  21
 ...

 an1
1

Ví dụ 4: Cho ma trận B =  6
3


0
4
−4

0
a22
...
an 2

... 0 
... 0 ÷
÷
... ... ÷

÷
... ann  n

0 
0÷
÷ là ma trận tam giác dưới .
2÷
3

Ma trận chéo.
Ma trận A vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử nằm
trên đường chéo chính không đồng thời bằng 0 gọi là ma trận chéo.

 a11
 0
A=
 ...

 0

0
a22
...
0

... 0 
... 0 ÷
÷
... ... ÷
÷

... ann  n

Ma trận đơn vị.
Ma trận đơn vị là ma trận vuông có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng
1,các phần tử còn lại đều bằng 0.
Ký hiệu là In (hoặc En) là ma trận đơn vị cấp n.
2


1
0
In = 
 ...

0

0
1
...
0

0
0÷
÷
... ÷
÷
1 n

...
...

...
...

1 0
÷ là ma trận đơn vị cấp 2
 0 1 2

Ví dụ 5. I 2 = 

1 0 0
I 3 =  0 1 0 ÷
÷ là ma trận đơn vị cấp 3
0 0 1÷

3
c) Ma trận chuyển vị.
Cho A = ( aij ) m×n , ma trận chuyển vị của A là ma trận cấp n x m có được từ A bằng cách
chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng.
Ký hiệu : AT là ma trận chuyển vị của ma trận A.

 a11 a12
a
a22
A =  21
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 
 a11

÷
a
... a2 n ÷
12
T
ma trận chuyển vị A = 
÷

... ...
...
÷

... amn  m x n
 a1n

a21
a22
...
a2 n

... am1 
... am 2 ÷
÷
... ... ÷
÷
... amn  n x m

 1 2 −4
1 0 − 1 3 
 0 4 11÷


÷
T
÷
Ví dụ 6: A =  2 4 7 − 3 ÷ ma trận chuyển vị A = 

−1 7 2 ÷
 4 11 2 − 6 ÷

÷

3×4
 3 − 3 − 6  4×3
d) Ma trận không.
Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu: O hoặc θ.
Như vậy, cỡ hay cấp của ma trận không tuỳ thuộc vào các phép toán cụ thể.
Ví dụ 7 : Các ma trận sau đều là ma trận không:

0 0 0
0 0 0

÷
θ =
÷ ; θ =0 0 0÷
 0 0 0 2 x 3
0 0 0÷

3 x 3
e) Ma trận đối : Cho ma trận A = ( aij ) m×n , ma trận − A = ( −aij ) m×n gọi là ma trận đối của ma trận
A

f) Ma trận bằng nhau. Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và các phần tử tương
ứng ở cùng vị trí thì bằng nhau.

 A =



(a )

ij m x n

(b )

,B =

ij m x n

aij = bij : ∀i, j
3

.

khi đó A = B


8
 −4
÷;
3

−
3



 2a − b
X =
b +1

Ví dụ 8: Cho hai ma trận A = 

c+d

÷
c + 2d − 2 

Tìm các giá trị a, b, c, d để hai ma trận bằng nhau.

 −5 0 
 2m + n − a m + a 
, C
÷
÷
 0 −3 
 a + b − n 3n − b 

Ví dụ 9 : Cho hai ma trận B = 

Tìm các giá trị a, b, m,n để C T = − B .
1.1.2. Các phép toán trên ma trận

a) Phép cộng hai ma trận.
Định nghĩa 1 .
Cho A và B là hai ma trận cùng cấp m × n , A = (aij)m x n, B = (bij)m x n . Tổng của hai ma trận
A và B là ma trận cùng cấp.

(

Ký hiệu: A + B = aij + bij

)

m×n

Như vậy muốn cộng hai ma trận cùng cấp thì ta cộng các phần tử ở các vị trí tương ứng với
nhau
Ví dụ.

3
1
A=
 2 −1

 −1
B=
 2

5
1÷
2×3

0 4
4 0

Suy ra: C = A + B = 

1
1

1
1÷
 2×3

6
2÷
 2×3

Tính chất.
Giả sử A, B, C là các ma trận cùng cấp. Khi đó:
+) A + B = B + A
+) (A + B) + C = A + (B + C)
+)A + θ = θ + A = A
+) A + (-A) = (-A) + A = θ
b) Phép nhân ma trận với số thực.
Định nghĩa 2

( )

Cho A = a i j

m× n

và số thực k. Khi đó, tích của số thực k với ma trận A là một ma trận

cùng cấp đuợc xác định bởi:

kA = ( kaij ) m×n

(Tức là: muốn thực hiện phép nhân ma trận với một số k, ta nhân tất cả các phần tử của ma
trận với k.)
Ví dụ :

 3
2.
 −1

2
 6
=
÷
2  2×2  −2

4
4÷
 2×2

4


1
2

3
5

0

1
3

−2÷
÷ + 2 1
0
2÷
÷

4  4×2
0

4
9

−3÷
÷ = 8
15
1÷
÷

0  4×2  0

11 
− 15 ÷

÷
8 ÷
÷
12  4×2

Bài tập ; Cho ma trận

 5 −2 
1 2 
B=
C
=
và
÷
 6 −3 ÷
4 7 


Tìm ma trận A thỏa mãn 2A = 3B + 2C
Tính chất
Giả sử A, B là các ma trận cùng cấp và k, m là các số thực bất kì. Khi đó:
+) k (A + B ) = k A + k B
+) ( k + m) A = kA + mA
+) k( mA ) = km (A )
+) 1.A = A
+) 0. A = θ
c) Phép nhân hai ma trận.
Định nghĩa 3
Cho hai ma trận A = ( a¹i ) m× p , B = ( b¹i ) p× n ( số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận
B). Khi đó, tích của hai ma trận A và B là ma trận C = ( c¹i ) m×n trong đó:

 b1 j 
b ÷
p
2j ÷

Cij = ( ai1 ai 2 ... aip ) .
= a .b + a .b +...+ aip .bpj = ∑ aik .bkj
 M÷ i 1 1 j i 2 2 j
k =1
 ÷
÷
 bpj 
Ví dụ.

1
2

Tính AB với A = 

 c11
 c21

Giả sử AB = (cij ) 2 x 3 = 
c11 = 1.2 + 3.1 = 5,
c13 = 1.(-3) + 3.4 = 9,
c22 = 2.0 + (-1)(-1) = 1,

1
2

Vậy AB = 

3  2
0
− 1÷
 1 − 1

3
0
2
, B=
÷
− 1 2×2
1 − 1
c12
c22

−3 
4÷
 2×3

c13 
÷ , ta có
c23 
c12 = 1.0 + 3.(-1) = -3,
c21 = 2.2 + (-1).1 = 3,
c23 = 2.(-3) + (-1).4 = -10

− 3  5

=
4 ÷  3

Ví dụ : Cho hai ma trận

5

−3
9
1 − 10 ÷


1 0 
0 1 
0 1 
0 0
A=
,
B
=
⇒
AB
=
≠
BA
=
÷
 0 0÷
0 0÷
0 0÷

 0 1






Phép nhân hai ma trận nói chung không có tính chất giao hoán.
Tính chất.
+) A ( B + C ) = AB + AC
+) ( A + B ) C = AC + BC
+) ( AB )C = A ( BC )
+) ( kA ) B = k ( AB ) = A ( kB )
+) AI = IA = A
+) (AB)T = BT AT
1.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
- Đổi chỗ 2 hàng ( 2 cột ) của ma trận
- Nhân 1 hàng ( 1 cột ) với một số khác 0.
- Cộng vào 1 hàng ( 1 cột ) 1 hàng ( 1 cột ) khác đã nhân với một số .
1. 2 Định thức
1.2.1. Định nghĩa và ví dụ

 a11

 a21
 ...
Xét ma trận vuông cấp n : A = 
 ai1

 ...

a
 n1

a12 ... a1 j ... a1n 
÷
a22 ... a2 j ... a2 n ÷
... ... ... ... ... ÷
÷
ai 2 ... aij ... ain ÷
÷
... ... ... ... ... ÷
an 2 ... anj ... ann ÷
n

Kí hiệu Mij là ma trận con cấp (n – 1) có được từ ma trận A khi bỏ đi hàng i, cột j.
Khi đó Mij được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử aij .
Ví dụ.

 1 −2 5 
 4 −1
 1 −2 

÷
,
M
=
Với A =  3 4 −1÷ thì M 11 = 
23
÷
 0 5 ÷...

5 1 


0 5 1 ÷


Định nghĩa . Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Khi đó, định thức cấp n của ma trận A,
kí hiệu là: det(A) hay A , là một số thực được định nghĩa một cách qui nạp sau:
a) Định thức cấp 1 Giả sử A = (a11) ⇒ det (A) = a11 (1)

b) Định thức cấp 2

6


a
A =  11
 a 21

a12 
÷
a 22 

a
a12
⇒ det (A) = 11
= (-1)i +1a i1det(M i1 )+(-1)i + 2a i 2det(M i 2 )=a 11a 22 − a 12a 21
a 21 a 22

(2)

hoặc

det (A) =

a11 a12
= (-1)1+ j a1 j det(M1 j )+(-1) 2+ j a 2 j det(M 2 j )=a 11a 22 − a 12a 21
a 21 a 22

(3)
Trong đó M i1 , M i 2 , M 1 j , M 2 j là ma trận con của A ứng với các phần tử ai1 , ai 2 , a1 j , a2 j .
Công thức (2) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2.
Công thức (3) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2.

 a11 a12

c) Định thức cấp 3: Giả sử : A =  a21 a22
a
 31 a32

a13 
a23 ÷
÷
a33 ÷


Khi đó, ta có:

a11 a12
det A = a21 a22

a31 a32

a13
i +1
i+2
i +3
a23 = ( −1) a i1det ( M i1 ) + ( −1) a i 2det ( M i 2 ) + ( −1) a i 3det ( M i 3 )
a33

(4)
hoặc det A = ( −1)

1+ j

a1 j det ( M 1 j ) + ( −1)

2+ j

a 2 j det ( M 2 j ) + ( −1)

3+ j

a 3 j det ( M 3 j ) (5)

Trong đó M i1 , M i 2 , M i 3 , M 1 j , M 2 j , M 3 j là ma trận con của A ứng với các phần tử

ai1 , ai 2 , ai 3 , a1 j , a2 j , a3 j .
Công thức (4) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2, 3
Công thức (5) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, 3.
d) Định thức cấp n.

Giả sử ta đã định n ghĩa được định thức cấp (n - 1). Khi đó, định thức cấp n của ma trận A

( )

= aij

nxn

được xác định như sau:

det A = ( −1)

i +1

a i1det ( M i1 ) + ( −1)

i+2

a i 2 det ( M i 2 ) + .... + ( −1)

i+n

a in det ( M in ) (6)

hoặc:

det A = ( −1)

1+ j

a1 j det ( M 1 j ) + ( −1)

2+ j

a 2 j det ( M 2 j ) + .... + ( −1)

m+ j

a mj det ( M mj ) (7)

Trong đó M i1 , M i 2 , M i 3 , ..., M in , M 1 j , M 2 j , M 3 j ..., M nj lần lượt là ma trận con của A ứng
với các phần tử ai1 , ai 2 , ai 3 ,..., ain , a1 j , a2 j , a3 j ,..., anj .
Công thức (6) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2,…, n.
Công thức (7) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, ….,n.
7


Ví dụ . Tính định thức

1 3 0
2 −1 3
4 1 5

Giải
Khai triển định thức theo hàng 1, ta được:

1 3 0
−1 3
2 3
2 −1 3 =1.

−3
+ 0 = − 8 − 3 ( −2 ) = − 2
1 5
4 5
4 1 5
Khai triển định thức theo cột 3, ta được:

1 3 0
1 3
1 3
2+3
2 −1 3 = 0 + ( −1) 3
+5
= 33 − 35 = − 2
4 1
2 −1
4 1 5

Ví dụ . Tính định thức của ma trận

 −2 0 0 3 
 1 −1 2 −2 ÷
÷
A=
 0 3 5 1÷

÷
 1 4 −2 4 

1.2.2. Một số tính chất của định thức

- Giả sử A vuông , khi đó det(A) = det(AT)
Nhận xét : Do vậy, mọi tính chất nếu đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và ngược lại.
- Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu.
- Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng một số k thì định thức được nhân
lên k lần.
Nhận xét : Nếu các phần tử của một hàng (một cột ) có thừa số chung thì có thể đưa thừa số
chung đó ra ngoài dấu định thức.
1 5 156
Ví dụ : Chứng minh D chia hết cho 13, với D = 2 8 286
4 1 416
Giải
Các phần tử trong cột cuối lớn nên ta không tính giá trị d mà nhận xét rằng 156 = 12.13,
286 = 22.13, 416 = 32.13 nên ta rút thừa số chung 13 ra ngoài được

1 5 12
1 5 12.13
1 5 12
D = 2 8 22.13 = 13 2 8 22 chú ý rằng 2 8 22 = A ,
4 1 32.13
4 1 32
4 1 32
do các phần tử ma trận chỉ toàn các số nguyên nên A phải là số nguyên => D chia hết cho 13 ⇒
Đpcm
- Khi tất cả các phần tử của một hàng (một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức
có thể phân tích thành tổng của hai định thức:
8


- Chng hn

a11
a21 + a21'
a31

a12
a22 + a22'
a32

a13
a11
a23 + a23' = a21
a33
a31

a12
a22
a32

a13
a11
a23 + a21'
a33
a31

a12
a22'
a32

a13
a23'

a33

- nh thc ca ma trn s bng khụng nu tho món mt trong cỏc iu kin sau:
+ Cú mt hng (mt ct) gm ton l s khụng.
+ Cú hai hng (hai ct) t l vi nhau.
+ Cú mt hng (mt ct) l t hp tuyn tớnh ca cỏc hng khỏc (ct khỏc).
Vớ d.

a1
a2
a3

b1
b2
b3

a 1 + 2b1
a 2 + 2b 2 = 0 (Vỡ ct 3 = ct 1 + 2.ct 2)
a 3 + 2b 3

- nh thc ca ma trn s khụng thay i nu nhõn k vo mt hng (mt ct) ri em
cng vo mt hng khỏc(ct khỏc).
- nh thc ca ma trn tam giỏc bng tớch cỏc phn t chộo
- Nu A, B l hai ma trn vuụng cp n thỡ det(AB) = det(A). det(B)
1.2.3. Mt s phng phỏp tớnh nh thc
a) Khai triển định thức theo các phần tử của một dòng hoặc một
cột .

( )

Nhc li : Cho ma trn vuụng A = aij

n

. Khi ú ta cú nh thc cp n ca A xỏc nh nh

sau :

det A = ( 1)

i +1

a i1det ( M i1 ) + ( 1)

i+2

a i 2 det ( M i 2 ) + .... + ( 1)

i+n

a in det ( M in ) (6)

hoc:

det A = ( 1)

1+ j

a1 j det ( M 1 j ) + ( 1)

2+ j

a 2 j det ( M 2 j ) + .... + ( 1)

m+ j

a mj det ( M mj ) (7)

Trong ú M i1 , M i 2 , M i 3 , ..., M in , M 1 j , M 2 j , M 3 j ..., M nj ln lt l ma trn con ca A ng
vi cỏc phn t ai1 , ai 2 , ai 3 ,..., ain , a1 j , a2 j , a3 j ,..., anj .
Cụng thc (6) gi l cụng thc khai trin nh thc theo hng th i vi i = 1, 2,, n.
Cụng thc (7) gi l cụng thc khai trin nh thc theo ct th j vi j = 1, 2, .,n.
Ví dụ 1. Tính định thức ca ma trn :

2 0 0 3
1 1 2 2ữ
ữ
1) A =
2
3 5 1ữ

ữ
4 2 4
3

1 4 2
1 4 3
2) B =
1 2 5

3 0 4

Giải :1)
9

5
6ữ
ữ
0ữ
ữ
1


2 0 0 3
1 1 2 2
det( A) =
2
3 5 1
3
4 2 4

= ( 1) .( 2 )
1+1

1
3

2 2
5

4 2

2 2

1

1 + ( 1)

1+ 2

.0 2

5

3 2

4

1 + ( 1)
4

1 1 2
1+ 3

.0 2

3

1 + ( 1)

3

4

4

1 1
1+ 4

2

.3 2

3

5

3

4

2

=-2.14+0+0+3.47=113
2) Nếu một dòng hoặc một cột có nhiều thành phần bằng 0 thì khai
triển theo dòng hoặc cột ấy khá thuận lợi. Có thể đa định thức đã cho về
dạng nh thế bằng cách áp dụng tính chất ca nh thc .
- Cộng dòng thứ nhất vào dòng thứ hai và dòng thứ ba ;
- Nhân dòng thứ nhất với 3 rồi cộng vào dòng thứ t, ta đợc :

1 4 2
1 4 3
det(B) =
1 2 5
3 0 4

5
1 4 2
6
0 0 5
=
0 6 3
0
0 12 10
1

0 5 11
= (-1) (-1) 1+1 6 3 5
12 10 16

5
11
5
16

= -( 300 + 660 + 396 - 480)

=-876.
b) Đnh thc ca ma trn tam giỏc .

a11
0
D1 =
...
0

hoặc

D2 =

a12
a22
....
0

a11
a21
...
an1

.... a1n
.... a2 n
= a 11 a 22 ... a nn. (a ij = 0 nếu j < i)
.... ....
.... ann

0
a22
...
an 2

... 0
... 0
... ...
... ann

i)

Ví dụ 2. Tính định thức

10

= a 11 a 22 ... a nn. (a ij = 0 nếu j >


1 3 2
C=0 2 7
0 0 4
p dụng các tính chất của định thức ta có thể đa định thức về dạng tam
giác.
Ví dụ 3. Tính định thức

1 6
5 9
2 11 13
4
D=
4 22 25 30
0
2

8 7
Giải : Nhân dòng thứ nhất lần lợt với 2, - 4 rồi lần lợt cộng vào dòng thứ
hai và dòng thứ ba, đợc :

1 6
0
1
D=
0 2
0
2
Nhân dòng thứ hai
dòng thứ t, đợc :
1
0
D=
0
0

5
3
5
8

9
22
6
7

lần lợt với 2, -2 rồi lần lợt cộng vào dòng thứ ba và

6 5
9
1 3
22
0 1
38
0 2 51

Nhân dòng thứ ba với -2 rồi cộng với dòng thứ t, đợc :

1
0
D=
0
0

6 5
9
1 3
22
= (-1).1.1.(-127) = 127.
0 1
38
0 0 127

Ví dụ 4 . Tính định thức sau
E=

a x x
x a x

x x a

Ví dụ 5 . Tính định thức sau

11


1
2
F=
3
4

2
3
4
1

3
4
1
2

4
1
2
3

Giải : Cộng ba cột cuối vào cột thứ
của định thức :

1+ 2 + 3 + 4 2 3 4
1 2 3
2 + 3 + 4 +1 3 4 1
1 3 4
F=
= 10
3 + 4 +1+ 2 4 1 2
1 4 1
4 +1+ 2 + 3 1 2 3
1 1 2

nhất và áp dụng các tính chất khác
4
1 2
3
4
1
0 1
1 3
= 10
2
0 2 2 2
3
0 1 1 1

1
1 3
1 1 3
1 1 3
1 = 20 0 2 2

F = 10 2 2 2 = 10(-2)(-1) 1 1
1 1 1
1 1
1
0 0
4
F = 20

2 2
= 20.8 = 160.
0
4

1.3.Ma trn nghch o
1.3.1. Ma trn nghch o v ma trn khụng suy bin
nh ngha 1. Ma trn vuụng A c gi l ma trn kh nghch nu tn ti mt ma trn vuụng
B sao cho
AB = I = BA.
Khi ú ma trn B c gi l ma trn nghch o ca ma trn A v c kớ hiu bi A 1 , tc l
B = A 1
Theo nh ngha ny A l ma trn nghch o ca B, ngha l A = B 1 .
(A 1 ) 1 = A.

Nh vy

Mnh : Nu ma trn A kh nghch thỡ ma trn nghch o ca nú l duy nht.
Chng minh. Gi s A' v A'' l hai nghch o ca A.
Khi ú :
A' = A'I = A'(AA'') = (A'A)A'' = IA'' = A''.
Vớ d : Vi

1 2
1 2
ta cú A 1 =
.
A =
1
0 1
0
Tht vy
1 2


0 1

1 2 1 2+2

=
1 0
1
0


1 0
=
= I

0 1

1 2 1 2 1 22 1 0

=
=
= I.
1 0 1 0
1 0 1
0
B . nh thc ca ma trn tớch AB bng tớch ca cỏc nh thc ca A v ca B
AB

=

A

B.

Chng minh . gi s A = (aij)n , B =(bij)n l nhng ma trn vuụng cp n. Xột nh thc cp 2n :

12


a
a
... a 
 0 0 ... 0

11
12
1n 
a

a
... a 
 0 0 ... 0
21
22
2n

 ..........

..........
..........
..........
..........
......


a
a
... a 
 0 0 ... 0
nn
n1
n2

D= 
 b11 b21 ... b1n − 1 0 ... 0 
 b
b
... b
0 − 1 ... 0 

 21 22

2n
 ..........

..........
..........
..........
..........
.......


 b
b
... b
0 0 ... − 1 
nn
 n1 n2

áp dụng định lí Laplaxơ, khai triển định thức theo n dòng đầu ta được :
2
D = (-1) n+1n+2+...+2n+1+2+...+ n A . B = (-1) n A . B .

Nhân lần lượt các dòng thứ n+1, n+2, ..., 2n với rồi cộng vào các dòng thứ i ta được :
c
... c
0
0 ... 0 
 c
 11 12


1n
c
... c
0
0 ... 0 
 c
2n
 21 22

 ..........

..........
..........
..........
..........
.....


0 ... 0 
 cn1 cn2 ... cnn 0

D= 
 b11 b21 ... b1n − 1 0 ... 0 
 b
b
... b
0 − 1 ... 0
 21 22


2n
 ..........
..........
..........
..........
..........
....... 

 b
b
... b
0
0 ... − 1
nn
 n1 n2

Trong đó
n
c ik = ∑ a bjk
j=1 ij
Đặt C là ma trận ta có C = AB.
áp dụng định lí laplaxơ, khai triển định thức D theo n dòng đầu ta được :
− 1 0 ...
0
0 − 1 ...
0
2(1+2+...+ n)
C ....................... = (-1) n( n+1) . C . (-1) n
D = (-1)
0

0 ... − 1
2
2
= (-1) n + 2n C = (-1) n C .

Vậy

=

C

Hay AB

=

A
A

B.
B.

Định nghĩa 2. Ma trận vuông A được gọi là ma trận không suy biến nếu A ≠ 0. Trái lại, ta nói
A suy biến.
Ví dụ : 1) Ma trận
13


 1 2 0 



A=  0 2 2 
 0 0 3


là ma trận không suy biến vì A = 6.
2) Ma trận
 1 2 2


B =  0 −1 3 
 1 1 5


là một ma trận suy biến vì B = 0.
1.3.2. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
1.3.2.1 Phương pháp định thức:
Giả sử
a
.... a
a

m1 
 11 21
a

a
.... a
12
22
m2



A=
 ..........
..........
..........
... 


a

a
.... a
mn
 1n 2n

Là một ma trận vuông không suy biến

Nhớ lại rằng định thức con bù M ij của phần tử a ij là định thức của ma trận thu được từ A bằng
cách xoá đi dòng thứ i và cột thứ j, phần bù đại số của a ij là : A ij = (-1) i+ j M ij .
A
Đặt

kj
A

b jk =

k,j = 1, 2, ..., n.

và ma trận vuông cấp n :

B = (b ij ).

Ta tính AB. Ta có :
A
n
n
n
kj = 1 ∑ a A
c ik = ∑ a bjk = ∑ a
A j=1 ij kj
j=1 ij
j=1 ij A
1
 A A = 1 nÕu i = k
= 1
 . 0 = 0 nÕu i ≠ k
 A
Nghĩa là ma trận (c ik ) = I.
Vậy
AB = I.
Tương tự, tính BA ta cũng có :
Vậy

B

BA = I .

= A −1

Tóm lại, nếu A = (a ij ) là ma trận không suy biến thì

14


A
.... A
 A

m1 
 11 21
1  A 12 A 22 .... A m2 
−
1


A =
A  ................
..........
..........
... 


 A

A
.... A
mn
 1n 2n

Ngược lại, cũng dễ thấy rằng một ma trận khả nghịch thì không suy biến.
*)Mệnh đề . Một ma trận là khả nghịch khi và chỉ khi nó không suy biến.
Chứng minh.
''⇒ '' : giả sử ma trận A khả nghịch. Ta có :

A A −1 = I
−1
Theo bổ đề A . A
= I .Do đó A ≠ 0.
Vậy A không suy biến.
''⇐'' : Đã chứng minh ở trên.
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của
 1 2 3


A =  0 −1 2 
 3 2 5


Giải :
1 2 3
−1 2
2 3
A = 0 −1 2 =
+3
= -9 +3.7 = 12.
2 5
−1 2
3 2 5
 3

 −
7 
 −9 −4
 4


1
 1
A −1 =
 6 −4 −2  = 
12 
2
4 − 1 
 1
 3

 4
1.3.2.2 Phương pháp biến đổi sơ cấp
Lập ma trận n dòng 2n cột

1
7
3
12
1
1
−
−
3
6

1
1
−
3
12
−




.





a
... a
 a
1 0 ... 0 
1n
 11 12

 a21 a22 ... a2n 0 1 ... 0 
A' = 
...
... ... ... ... ... ... ... 




 a
a
... a
0
0
...
1
nn

 n1 n2
Dùng hai phép biến đổi :
1. Nhân một dòng với k ∈ K,
2. Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính các dòng còn lại, ta biến được ma trận trên thành
ma trận

15





B' = 




1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1

b
b
11
12
b
b
21
22
...
...
b
b
n1
n2

... b
1n
... b
2n
...
...
... b
nn










thì ma trận

B=









b
b
11 12
b
b
21 22
...
...
b
b
n1 n2

... b
1n
... b

2n
... ...
... b
nn




 là ma trận nghịch đảo của A.




 1 2 3


Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  0 − 1 2 
 3 2 5


Giải :
 1 2 3 1 0 0 1 2
3 1 0 0 1 2
3 1
0

 
 
1
 0 −1 2 0 1 0 →  0 −1 2 0 1 0 →  0 −1 2 0

 3 2 5 0 0 1   0 − 4 − 4 − 3 0 1   0 0 − 12 − 3 − 4

 
 

−3
−3
1  
 
−1

 
4  1 0 0 4
0  1 2 0 4
1 2 3 1 0
1 −1 −1 
1

 
→ 0 1 − 2 0 −1 0  → 0 1 0
→ 0 1 0


2
3
6
2
 0 0 1 1 1 − 1   0 0 1 1
1 −1 0 0 1 1
4 3 12  

 

4
3 12  
4


0

0
1 
−1
3
−1
3
1
3

7 

12 
−1
6 
−1

12 

1
7 
 3

−
 −

3
12 
 4
1
1
1
−
− 
Vậy A-1 = 
2
3
6 
 1
1
1 
−


3
12 
 4
1. 4. Hệ phương trình tuyến tính
1.4.1. Hệ phương trình tuyến tính
a)Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ gồm m phương trình bậc nhất đối
với n ẩn số có dạng:
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
 a x + a x + ... + a x = b

 21 1
22 2
2n n
2

 ............................................
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
Trong đó
x1, x2, …, xn là các ẩn số cần tìm

(

(I)

)

aij là hệ số của phương trình thứ i gắn với ẩn x j i =1, m, j =1, n .

bi , i =1, m , vế phải của phương trình thứ i.
16


 n
∑ aij x j = b i
Ta có thể viết hệ phương trình (I) dưới dạng  j =1
(Dạng viết thu gọn )
i = 1, 2,..., m

Ví dụ 1 :
2 x1 − x2 = 3

1) 
4 x1 + 3x2 = 1
(m=n=2)

là hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình đối với hai ẩn

 x1 − 2 x2 + x3 = 4

2)  2 x1 + x2 − x3 = 0 là hệ phương trình tuyến tính gồm ba phương trình đối với ba
− x + x + x = −1
2
3
 1
ẩn(m=n=3)

2 x1 − x2 + 3x3 − 2 x4 = 0

3)  4 x1 − 2 x2 + 5 x3 + x4 = 0 là hệ phương trình tuyến tính gồm ba phương trình đối với
2 x − x + x + 8 x = 0
 1 2 3
4
bốn ẩn.(m=3,n=4)
4x1 + 2x2 + x3 = 7
x
 1 − x2 + x3 = − 2
4) 
là hệ phương trình tuyến tính gồm bốn phương trình đối
2x1 + 3x2 − 3x3 = 11
4x1 + x2
− x3 = 7

với ba ẩn. (m=4,n=3)
Nhận xét : Như vậy ta thấy rằng ở bậc học phổ thông ta chi thường gặp những hệ phương
trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau . Tuy nhiên qua đây ta thấy rằng có
những hệ phương trình tuyến mà số phương trình và số ẩn ở trong hệ là không bằng nhau.
b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính :
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
 a x + a x + ... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2
Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát: 
 ............................................
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm

 a11 a12
a
a22
21
Đặt A = 
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 
... a2 n ÷
÷- A gọi là ma trận hệ số của hệ (I).
... ... ÷
÷
... amn 

 x1 
 
x 
X =  2  - gọi là ma trận ẩn ( cột ẩn)

 
x 
 n

17

(I)


 b1 
 
b 
B =  2  - gọi là ma trận vế phải (cột hệ số tự do)

 
b 
 m

 a11

a21
A = [ A B] = 
 ...


 a m1

a12
a22
...
am 2

... a1n b1 
... a2 n b2 ÷
÷ - gọi là ma trận hệ số mở rộng( ma trận mở
... ... ... ÷
÷
... amn bm 

rộng) .
Bằng phép nhân ma trận, hệ phương trình (I) được viết ở dạng ma trận như sau:
AX = B
(II)
Dạng (II) gọi là dạng ma trận của hệ (I).
- Nếu B = θ (tức là: bi = 0, i =1, m ) thì hệ (II) gọi là hệ thuần nhất. Ngược lại thì hệ (II) gọi là
hệ không thuần nhất.
- Nếu A là ma trận vuông (tức số phương trình bằng số ẩn) thì hệ (I) và (II) gọi là hệ vuông.
- Nghiệm của hệ (I) là một bộ gồm n số thực (x1, x2, …,xn) sao cho thoả mãn tất cả các phương
trình của hệ.
Nhận xét:
Hệ thuần nhất AX = θ luôn có nghiệm không: (x1, x2, …,xn) = (0, 0, …, 0). Nghiệm này gọi
là nghiệm tầm thường của hệ. Các nghiệm khác nghiệm tầm thường gọi là nghiệm không tầm
thường.
Ví dụ 2 : Viết dạng ma trận của các hệ phương trình tuyến tính trong ví dụ 1 .
2

1) 
4

 1 − 2 1   x1   4 
 ÷  ÷

1 − 1÷
2)  2
÷ x2 ÷ =  0 ÷
 −1
 ÷  ÷
1 1÷

  x3   −1 

− 1   x1   3 
÷ ÷ =  ÷
3   x2   1 

c) Hệ phương trình dạng tam giác : Hệ gồm n phương trình , n ẩn có dạng

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a22 x2 + ... + a2 n xn = b2


....


ann xn = bn

(với a11 , a22 , ...., ann ≠ 0 )
 a11 a12
 0 a
22
Ma trận hệ số A = 
 ... ...

0
 0

(III )được gọi là hệ phương trình dạng tam giác

... a1n 
... a2 n ÷
÷ là ma trận tam giác .
... ... ÷
÷
... ann 

Hệ (III) có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3 : Cho hệ phương trình
18


 x1 + 4 x2 − 3x3 = 5

2 x2 + x3 = −1


3 x3 = 9



là hệ phương trình dạng tam giác.

Hệ có nghiệm duy nhất x1 = 22, x2 = −2, x3 = 3
d) Hệ phương trình dạng hình thang: Hệ gồm r phương trình , n ẩn ( với r
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr + a1r +1 xr +1 + ... + a1n xn = b1

a22 x2 + ... + a2 r xr + a2 r +1 xr +1 + ... + a 2 n xn = b2

được gọi là hệ phương trình dạng

...


arr xr + arr +1 xr +1 + ... + arn xn = br
hình thang. (với a11 , a22 , ...., arr ≠ 0 ).
 a11

0
Ma trận hệ số A = 
 ...

0

a12 ... a1r ... a1n 
÷
a22 ... a 2 r ... a 2 n ÷
... ... ... ... ... ÷

÷
0 ... arr ... arn 
Để giải hệ hình thang ta giữ lại vế trái các ẩn x1 , x2 , ...., xr (gọi là ẩn chính ) chuyển sang vế
phải các ẩn còn lại là xr +1 , xr + 2 , ...., xn ( gọi là ẩn tự do ). Khi đó ta có hệ

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr = b1 − a1r +1 xr +1... − a1n xn

a22 x2 + ... + a2 r xr = b2 − a2 r +1 xr +1... − a2 n xn


...


arr xr = br − arr +1 xr +1... − arn xn
Cho các ẩn tự do nhận một bộ giá trị tùy ý .Khi đó hệ mới nhận được là hệ có dạng tam giác ,
giải hệ này ta có nghiệm . Tuy nhiên mỗi bộ giá trị của ẩn tự do ta lại có một bộ giá trị của ẩn
chính , nên hệ ban đầu có vô số nghiệm.
Ví dụ 4 : Cho hệ phương trình

 x1 + 4 x2 − 3x3 + x4 = 5
là hệ phương trình dạng hình thang

2
x
+
x
−
2
x
=

−
1
2
3
4

1 4 − 3 1 
Ma trận hệ số A = 
÷
0 2 1 − 2
Giải : Ẩn chính là x1 , x2

 x1 + 4 x2 − 3x3 + x4 = 5
 x1 + 4 x2 = 5 + 3x3 − x4
⇔

2 x2 + x3 − 2 x4 = −1 
2 x2 = −1 − x3 + 2 x4

Gán cho ẩn x3 = α , x4 = β ta thu được hệ phương trình tam giác :
19


−1 − α + 2 β
x2 =
 x1 + 4 x2 = 5 + 3α − β
suy ra
với ∀α , β ∈ R
2


2 x2 = −1 − α + 2β

x1 = 7 + 5α − 5β
Vậy hệ ban đầu có vô số nghiệm .
1.4.2. Hệ phương trình Cramer

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1 22 2
2n n
2
Xét hệ phương trình 
(1)
 ............................................
an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
 a11 a12 ... a1n 
a
a22 ... a2 n ÷
21

÷ là ma trận vuông cấp n.
với ma trận hệ số A =
 ... ... ... ... ÷

÷
 an1 an 2 ... ann 
 b1 
 x1 
b ÷
x ÷

2÷
2

B=
và X =  ÷
 M÷
 M÷
 ÷
 ÷
 bn 
 xn 
Dạng ma trận của hệ (1) là AX = B (2)
Hệ (1) là hệ Cramer nếu det (A) ≠ 0.
Nhận xét :
Một hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer nếu thỏa mãn hai điều kiện:
- Ma trận hệ số A là ma trận vuông (số phương trình trong hệ bằng số ẩn ở trong hệ )
- det(A) ≠ 0
Ví dụ: Chỉ ra hệ Cramer trong các hệ phương trình sau:

 x1 + 2 x2 = 2
2 x1 − x2 = 3

1) 

2 x1 − x2 + 3x3 − 2 x4 = 4

2)  4 x1 − 2 x2 + 5 x3 + x4 = 7
2 x − x + x + 8 x = 3
 1 2 3
4

 x 1 + 2x 2 − x 3 = 2

3) 2 x 1 − x 2 + x 3 = 3
− 2 x − 3x + 4 x = 4
1
2
3

 x1 + 3x2 + 4 x3 = 2

4)  2 x1 − 2 x2 − 3 x3 = 3
 3x + x + x = 4
1
2
3

Hệ số 1 và hệ số 3 là hệ Cramer. Hai hệ còn lại không phải là hệ Cramer.
20


Phương pháp giải hệ Cramer
Định lí: (Cramer) Hệ Cramer AX = B có nghiệm:

 x1 
 
det(A i )
x 
, i = 1.n
X =  2  với các thành phần ẩn xi được xác định bởi công thức: x i =
det(A)


 
x 
 n
Với Ai là ma trận có được từ A bằng cách thay cột thứ i của A bởi cột ma trận vế phải B.

 x 1 + 2x 2 − x 3 = 2

Ví dụ : Giải hệ phương trình 2 x 1 − x 2 + x 3 = 3
− 2 x − 3x + 4 x = 4
1
2
3

1 2 −1
Giải : Có det A = 2 −1 1 = –13
−2 −3 4
1 2 −1
det A2 = 2 3 1 = –26
−2 4 4

2 2 −1
det A1 = 3 −1 1 = –13
4 −3 4

1 2 2
det A3 = 2 −1 3 = - 39
−2 −3 4

Do đó nghiệm của hệ đã cho là

x1 =

det A3
det A1
det A2
= 1, x2 =
= 2, x3 =
= 3.
det A
det A
det A

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x1, x2, x3) = (1, 2, 3)

Ví dụ2 : Giải hệ phương trình

 x1 − 2 x2 + x3 = 4

a)  2 x1 + x2 − x3 = 0
− x + x + x = −1
2
3
 1
− 3 x3 + x4 = 2
 x1
2 x − x
− x4 = 0
 1 2
b) 

2 x2 − 5 x3 + 2 x4 = 5


3x2
− x4 = 4
Giải.
a)

1 −2 1
det A = 2 1 −1 = 7.
−1 1 1

4 −2 1
det A1 = 0 1 −1 = 7.
−1 1 1

21


1 −2 4
det A3 = 2 1 0 = 7.
−1 1 −1

1 4 1
det A2 = 2 0 −1 = −7.
−1 −1 1

x1 =

det A1

det A2
det A3
= 1, x2 =
= −1, x3 =
=1
det A
det A
det A

b) Ta có:
1
2
det A =
0
0

0 −3 1
1 0 −3 1
−1 6 −3
−1 0 −1 h1( −2)+ h 2 0 −1 6 −3
 ======
= 1× 2 −5 2
2 −5 2
0 2 −5 2
3 0 −1
3 0 −1
0 3 0 −1

= −5 + 36 – 45 + 12 = −2
2 0 −3 1

1 0 −3 2
1 0 −3 2
h1+ h2
0 −1 0 −1 c1↔ c 4
−1 −1 0 0 h1( −2 ) + h3 0 −1 −3 2
det A1 =
======−
======−
5 2 −5 2
2 2 −5 5 h1+ h4
0 2 1 1
4

3

0

−1

−1

3

0

4

0

3

−1 −3 2
= −1× 2 1 1 = − ( −6 − 9 − 12 − 6 − 3 + 36 ) = 0
3 −3 6
1
2
det A2 =
0
0

2 −3 1
1 2 −3 1
−4 6 −3
0 0 −1
0 −4 6 −3
h1(−2) + h2
= 1× 5 −5 2
5 −5 2
0 5 −5 2
4 0 −1
4 0 −1
0 4 0 −1

= −20 + 48
1
2
det A3 =
0
0

– 60 + 30 = −2
0 2 1
1 0 2 1
−1 −4 −3
−1 0 −1 h1( −2) + h 2 0 −1 −4 −3
======
= 1× 2 5 2
2 5 2
0 2 5 2
3 4 −1
3 4 −1
0 3 4 −1

= 5 – 24 – 24 + 45 + 8 – 8 = 2
1 0 −3 2
1 0 −3 2
−1 6 −4
2 −1 0 0 h1( −2) + h 2 0 −1 6 −4
det A 4 =
======
= 1× 2 −5 5
0 2 −5 5
0 2 −5 5
3 0 4
0 3 0 4
0 3 0 4
=  20 + 90 − 60 − 48 = 2
Vì D ≠ 0 nên hệ đã cho là Cramer và có nghiệm duy nhất:

22

−3 6


det A1
0

 x1 = det A = − 2 = 0

 x = det A2 = −2 = 1
 2 det A −2

 x = det A3 = − 2 = −1
 3 det A
2

det A4
2
 x4 =
= − = −1
det A
2

1.4.3. Phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss
a). Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình :
1) Nếu đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau thì được hệ phương trình mới tương
đương với hệ đã cho.
2) Nếu nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số thực k ≠ 0 thì được một hệ
tương đương với hệ đã cho .
3) Nếu nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số thực k ≠ 0 rồi cộng vào một

phương trình của hệ (vế với vế) thì được một hệ tương đương với hệ đã cho.
Nhận xét: Việc thực hiện các phép biến đổi tương đương hệ phương trình , thực chất là làm trên
các hệ số . Do đó tương ứng với các phép biến đổi tương đương hệ phương trình chúng ta có ba
phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận hệ số mở rộng A như sau :
- Đổi chổ 2 hàng của ma trận
-Nhân một hàng với một số khác 0.
-Cộng vào một hàng của ma trận một hàng khác đã nhân với một số.

3 x − 4 y = 5
x + 2 y = 6

Ví dụ : Cho hệ phương trình 

3 x − 4 y = 5  x + 2 y = 6
x + 2 y = 6
⇔
⇔
x + 2 y = 6
3 x − 4 y = 5 0 − 10 y = −13

Ta biến đổi 

Tương ứng với biến đổi ma trận hệ số là:

 3 − 4 5  1
A= 
÷→  3
1
2
6


 

2 6  1 2 6 
→
÷
−45 ÷
  0 − 10 −13 
Chú ý Trong quá trình bến đổi ma trận A ta chỉ dùng các phép biến đổi trên hàng.
b) Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B.
Để giải một hệ phương trình tuyến tính chúng ta sẽ sử dụng các phép biến đổi tương đương hệ
phương trình để đưa hệ ban đầu về hệ phương trình có dạng tam giác hoặc dạng hình thang ( hay
ma trận hệ số A có dạng tam giác hoặc dạng hình thang ). Cụ thể xét hệ phương trình sau :
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
 a x + a x + ... + a x = b

a '22 x2 + ... + a2 n xn = b2
 21 1 22 2

2n n
2
⇔
…..

 ............................................
 ............................................
 am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm

a 'm 2 x2 + ... + amn xn = bm

Ở đây ta đã khử ẩn x1 , tiếp theo bằng cách tượng ta khử ẩn x2 từ phương trình thứ 3 trở đi của
hệ mới . Sau đó lại khư ẩn x3 từ phương trình tư trở đi ( nếu có) ...Qúa trình khử ẩn như cách
23