BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp a2

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2

1


Chng 1. Hm s nhiu bin s
1.1. Khỏi nim m u
1.1.1. Khỏi nim hm nhiu bin
1.1.1.1. Tp hp trong khụng gian Rn
Xét không gian Ơclit n chiều Rn (n>1):
Rn={x=(x1,x2,,xn): xiR, i= 1, n }
Nh vậy mỗi phần tử x=(x 1,x2,,xn) là một bộ có sắp thứ tự gồm n số thực.
Ta cũng gọi mỗi phần tử của Rn là một điểm trong Rn.
Trong tài liệu này chúng ta xét với n=2 hoặc n=3. Mọi khái niệm và kết
quả thu đợc đều mở rộng đợc cho n hữu hạn tuỳ ý.
a. Khoảng cách giữa hai điểm: Giả sử M(x1,x2,,xn), N(y1,y2,,yn) là hai
điểm trong Rn, ta gọi khoảng cách giữa hai điểm đó, ký hiệu d(M,N), là số
đợc xác định bởi:
d(M,N)=

n

(x
i =1

i

yi ) 2

(1)

Từ (1) dễ dàng chứng minh đợc bất đẳng thức tam giác, với ba điểm A,
B, C bất kỳ trong Rn luôn có:
d(A,C) d(A,B)+d(B,C)
b. Lân cận: Cho M0Rn và >0 đủ bé, ta gọi _lân cận của M0 là tập hợp,
ký hiệu u(M0), xác định bởi:
u(M0)={MRn:d(M0,M)< }
Ngời ta gọi mọi tập hợp chứa một _lân cận nào đó của M0 là một lân cận
của M0.
c. Tập mở: Cho E là một tập trong Rn.
- Điểm ME đợc gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một _lân cận nào
đó của M nằm trong E.
- Tập E đợc gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong.
- Cho điểm M0 và số r>0, khi đó tập E xác định bởi:
E={M: d(M0,M)gọi là quả cầu mở bán kính r chứa M0.
Hiển nhiên E là một tập mở. Thật vậy, giả sử M là một điểm bất kỳ thuộc
E, hay d(M0,M)nếu M u(M0) thì d(M0,M)< , khi đó theo bất đẳng thức tam giác ta có:
d(M0M) d(M0,M)+d(M,M)d. Biên của tập hợp: Ta gọi M0 là điểm biên của tập E nếu mọi u(M0) vừa
chứa những điểm thuộc E vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên
của E có thể thuộc E mà cũng có thể không thuộc E. Tập tất cả các điểm
biên của E gọi là biên của E.
e. Tập đóng: Tập E đợc gọi là đóng nếu E chứa mọi điểm biên của nó.
Cho điểm M0 và số r>0, khi đó tập E xác định bởi:
E={M: d(M0,M) r}
2


gọi là quả cầu đóng bán kính r chứa M0, còn tập:

={M: d(M0,M)=r}
là biên của quả cầu đó.
f. Tập bị chặn: Tập E đợc gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó
chứa nó.
g. Tập liên thông và tập đơn liên:
- Tập E đợc gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳ của E bằng
một đờng liên tục nằm trong E.
Tập E đợc gọi là đơn liên nếu biên của E là một tập liên thông, E đợc gọi
là tập đa liên nếu biên của E là tập không liên thông.
1.1.1.2. nh ngha hm s nhiu bin s
Định nghĩa: Cho D là một tập con trong Rn. Ta gọi ánh xạ:
f: DR
cho ứng mỗi x=(x 1,x2,,xn)D với một số thực xác định u là một hàm số n
biến xác định trên D và ký hiệu:
u=f(x1,x2,,xn)
Nếu xem (x1,x2,,xn) là toạ độ của điểm MRn thì ta cũng có thể viết
u=f(M).
Nếu n=2 hay n=3 ta thờng dùng ký hiệu: z=f(x,y) hay u=u(x,y,z).
Ta gọi D là miền xác định và f(D) là miền giá trị của hàm f.
Nếu hàm hai biến cho bởi:
z=f(x,y)
trong đó f(x,y) là một biểu thức của x,y thì ta nói hàm hai biến cho dới dạng
hiện.
Nếu từ biểu thức:
(x,y,z)=0
với mỗi (x,y)D ta xác định đợc z tơng ứng để biểu thức trên thoả mãn thì
ta nói biểu thức xác định một hàm ẩn hai biến z=z(x,y).
Trong các biểu thức trên x,y là các biến độc lập, còn z là biến phụ thuộc.
Nếu từ hệ thức:
F ( x, y , z , u , v ) = 0

G ( x, y, z , u , v ) = 0
với mỗi (x,y,z) ta xác định đợc u, v tơng ứng để hệ thức thoả mãn thì
ta nói hệ thức xác định một hệ hai hàm ẩn ba biến:
u=u(x,y,z) v=v(x,y,z)
1.1.1.3. Min xỏc nh ca hm s mt bin s
Nếu hàm z cho bởi biểu thức z=f(x,y) thì miền xác định của z là tập tất
cả những điểm M(x,y)R2 sao cho biểu thức f(x,y) có nghĩa, nó thờng là
một tập liên thông trong R2.
Nếu z=f(x,y) có miền xác định D thì tập hợp:
={(x,y,z): x,yD}R3
3


đợc gọi là đồ thị của hàm z=f(x,y). Khi (x,y) chạy trên D, thì điểm M(x,y,z)
vẽ lên một mặt trong không gian, nh vậy là một mặt trong không gian mà
hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng Oxy là miền xác định D.
Ví dụ 1.1: Tìm và biểu diễn hình học miền xác định của hàm số:
x
2

a. z = arcsin + xy
Miền xác định đợc xác định từ bất đẳng thức kép:
x

1 1
2

xy 0

Vậy ta đợc:
2 x 2

x 0, y 0

b. u= 1

hoặc

2 x 2

x 0, y 0

x2 y2 z2


a2 b2 c2

x2 y2 z 2
+
+
1 , đó là một elipxôi
a2 b2 c2
1.1.2. Gii hn ca hm s mt bin s
Trong mặt phẳng, khi cho xx0, yy0 thì điểm M(x,y) dần đến điểm
M0(x0,y0), điều này tơng đơng với khoảng cách:
Miền xác định

( M 0 , M ) = ( x x0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 0

Cho z=f(x,y)=f(M) xác định trên tập D và M0(x0,y0) là một điểm có thể
thuộc D hoặc không thuộc D.
Định nghĩa 1: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi MM0 nếu >0,
>0 sao cho MD, 0<(M0,M)<:f(M)-a<. Ký hiệu:
lim f ( M ) = a

M M 0

hoặc
hoặc

lim f ( x, y ) = a

x x0
y y0

lim

( x , y ) ( x0 , y0 )

f ( x, y )

Ngời ta chứng minh đợc định nghĩa 1 tơng đơng với định nghĩa sau:
Định nghĩa 2: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi MM0 nếu với mọi dãy
điểm Mn(xn,yn) (MnD) dần đến M0(x0,y0) ta đều có:
lim f ( x n , y n ) = a

n +

Chú ý:

1. Theo định nghĩa, giới hạn của hàm số không phụ thuộc cách thức
điểm M dần đến M0, do đó nếu M dần đến M0 theo những cách thức khác
nhau mà hàm có giới hạn khác nhau thì hàm số không có giới hạn khi M dần
đến M0.
2. Cũng nh hàm một biến số ta cũng có các định nghĩa tơng tự dới đây:
4


lim f ( x, y ) =

x x0
y y0

lim f ( x, y ) = a

,

x
y

,

lim f ( x, y ) =

x
y

3. Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích , thơng đối với hàm một
biến cũng đúng với hàm nhiều biến và đợc chứng minh tơng tự.
Ví dụ 1.2: Tìm giới hạn:

a.

lim

x 0
y 0

sin( xy )
x2 + y2

Ta thấy hàm số f(x,y)=

sin xy
xác định với mọi (x,y) (0,0).
x2 + y2

Cho (x,y)(0,0) theo phơng của đờng thẳng y=kx ta có:
lim

x 0
y 0

sin( xy )
sin kx 2
kx 2
k
=
lim
=
2

2 = lim
2
2
2
2
x +y
x 0 (1 + k ) x
x 0 (1 + k ) x
1+ k 2

Vậy khi (x,y)(0,0) theo những phơng khác nhau ta đợc những giới hạn
khác nhau, nên hàm đã cho không có giới hạn khi (x,y)(0,0).
b.

lim

x 0
y 0

xy
x2 + y2

Hàm số f(x,y)=
Do

x
x2 + y2

xy

1, ( x, y ) (0,0) nên:
xy
x2 + y2

Vậy

xác định với mọi (x,y) (0,0).

x + y2
2

lim

x 0
y 0

=

xy
x2 + y2

x
x2 + y2

y y

=0

1.1.3. Tớnh liờn tc ca hm s nhiu bin s
Định nghĩa : Giả sử hàm số f(x,y)=f(M) xác định trong miền D và

M0(x0,y0) là điểm thuộc D. Ta nói rằng f(M) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn:
lim f ( M ) = f ( M 0 )

M M 0

Cho x0 và y0 các số gia tơng ứng x và y , khi đó biểu thức:
f = f ( x 0 + x, y 0 + y ) f ( x0 , y 0 )

gọi là số gia toàn phần của f(x,y) tại (x 0,y0). Ta thấy, f(x,y) liên tục tại (x 0,y0)
khi và chỉ khi:
lim f = 0

x 0
y 0

Nếu f(M) không liên tục tại M 0 thì ta nói nó gián đoạn tại M 0. Hiển nhiên
M0 là điểm gián đoạn của f(M) khi:
(i) Hoặc f(M) không xác định tại M0.
(ii) Hoặc f(M) xác định tại M 0 nhng không tồn tại giới hạn của f(M) khi
MM0.
5


(iii) Hoặc f(M) xác định tại M 0 và tồn tại giới hạn khi MM0 nhng giới hạn đó
khác f(M0).
Hàm f(M) đợc gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.
Nếu D là miền đóng và f(M) liên tục trên D thì cũng giống nh hàm một
biến, khi đó f(M) bị chặn trên D, nó đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên
miền ấy.
Ví dụ 1.3: Khảo sát tính liên tục của hàm số:

xy

khi ( x, y ) (0,0)
f(x,y)= x 2 + y 2

khi ( x, y ) = (0,0)
0

Trong đó là một số dơng.
Ta thấy, f(x,y) liên tục với mọi (x,y) (0,0) vì nó là thơng của hai hàm liên
tục có mẫu số khác không. Xét tại điểm (0,0), theo bất đẳng thức Côsi ta
có:
xy

1 2
(x + y 2 )
2
1
( x 2 + y 2 ) 1
2
lim f ( x, y ) = 0

f ( x, y )

Do đó
Nếu >1 ta có

x 0
y 0

, hay f(x,y) liên tục tại (0,0).

Nếu 1 ta có:
f(x,x)=

x 2
1
= 2(1 )
2
2x
2x

không dần đến không khi x0, do đó f(x,y) không liên tục tại (0,0).
1.2. o hm v vi phõn
1.2.1. o hm riờng
Định nghĩa : Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D và điểm
M0(x0,y0)D. Cho y=y0 cố định, nếu hàm số một biến số z=f(x,y 0) có đạo
hàm tại x=x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của f(x,y) đối với x tại
(x0,y0) và ký hiệu là:
fx(x0,y0) hay zx(x0,y0),
f ( x 0 , y 0 )
z ( x 0 , y 0 )
hay
x
x
Nếu cho x0 số gia x = x x 0 , khi đó:

Hoặc

f x = f ( x 0 + x, y 0 ) f ( x 0 , y 0 )

gọi là số gia riêng tơng ứng của x tại x0. Khi đó ta có:
f ( x 0 , y 0 )
f
f ( x 0 + x, y 0 ) f ( x 0 , y 0 )
= lim x = lim

x

0
x

x
x
x
x
0

Tơng tự, nếu cho x=x0 cố định, nếu f(x0, y) có đạo hàm tại y0 thì đạo
hàm đó gọi là đạo hàm riêng của f(x,y) tại (x 0,y0) theo y. Ta cũng ký hiệu đạo
hàm riêng theo y là:
fy(x0,y0) hay
zy(x0,y0),
6


f ( x 0 , y 0 )
z ( x 0 , y 0 )
hay
y

y

Hoặc

Nếu cho y0 số gia y = y y 0 , khi đó:
f y = f ( x 0 , y 0 + y ) f ( x0 , y 0 )

gọi là số gia riêng tơng ứng của y tại y0. Khi đó ta có:
f y
f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 , y 0 + y ) f ( x0 , y 0 )
= lim
= lim

y

0
y

y
y
y
y
0

Chú ý:
1. Các đạo hàm riêng của hàm số n biến (n 3) đợc định nghĩa tơng tự.
Hiển nhiên các đạo hàm riêng của hàm n biến trên D cũng là hàm của n biến
trên D.
2. Khi tính đạo hàm riêng của hàm n biến theo một biến nào đó ta coi

hàm chỉ phụ thuộc biến đó, các biến còn lại coi nh không đổi, rồi áp dụng
mọi quy tắc đạo hàm cho hàm một biến số.
Ví dụ 1.4: Cho hàm
u= ln
Chứng tỏ rằng: x

1
x2 + y2 + z2

u
u
u
+y
+z
= 1 .
x
y
z
1
r

Đặt r = x 2 + y 2 + z 2 , khi đó u= ln . Do r ' x =

x
nên:
r

r'
u
x

1
= r 2 r ' x = x = 2
x
r
r
r
Vì u(x,y,z) là hàm đối xứng đối với x,y,z nên ta có:
u
y
= 2 ,
y
r

z
u
= 2
z
r

Do đó:
x

2
2
2
2
u
u
u
+y

+z
= x y z = r = 1
x
y
z
r2 r2 r2
r2

1.2.2 Vi phõn ton phn
a. nh ngha
Định nghĩa : Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D và điểm
M0(x0,y0)D. Hàm số z=f(x,y) đợc gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu số gia toàn phần
tại (x0,y0) có thể biểu diễn dới dạng:
f = Ax + By + o( x, y )

Trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc (x 0,y0) mà không phụ thuộc x ,
y , còn o( x , y ) là một vô cùng bé cấp cao hơn
= (x) 2 + (y ) 2 khi x , y dần tới không.

Biểu thức A x +B y gọi là vi phân toàn phần của f(x,y) tại (x 0,y0), ký
hiệu:
df=A x +B y
7


Nếu z=f(x,y) khả vi tại mọi điểm của miền (mở) D thì ta nói f(x,y) khả vi
trên D.
Mệnh đề: Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì nó liên tục tại đó.
Thật vậy, nếu f(x,y) khả vi, từ biểu thức:
f = Ax + By + o( x, y )

Khi x , y dần đến không ta có f cũng dần đến không, hay f(x,y) liên tục tại
(x0,y0).
b. iu kin kh vi ca hm s
Định lý 1.1: (Điều kiện cần) Nếu z=f(x,y) khả vi tại (x 0,y0) thì nó có các
đạo hàm riêng hữu hạn tại điểm đó và
dz =

z
z
x +
y
x
y

Ví dụ 1.5: Xét hàm:
sin xy
khi ( x, y ) (0,0)
2
2
f(x,y)= x + y
0
khi ( x, y ) = (0,0)

Tại (x0,y0)=(0,0) ta có:
fx(0,0) = lim

x 0

f ( x,0) f (0,0)

=0
x

Tơng tự có: fy(0,0)=0.
Theo vớ d 1.2 f(x,y) khụng liờn tc ti (0,0) nờn khụng kh vi ti ú. Nh vy khỏc vi hm s
mt bin s iu kin kh vi l mnh hn iu kin hm cú o hm riờng ti mt im . Tuy
nhiờn nh lý sau õy s cho ta thy hm cú o hm riờng ti mt im thỡ cng kh vi ti ú.
Định lý 1.2: (Điều kiện đủ để hàm khả vi)
Nếu hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M 0(x0,y0) và nếu
các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0(x0,y0) thì f(x,y) khả vi tại đó.
Chứng minh: Ta có:
z = f ( x 0 + x, y 0 + y ) f ( x 0 , y 0 )

= [ f ( x 0 + x, y 0 + y ) f ( x0 , y 0 + y )]
+ [ f ( x 0 , y 0 + y ) f ( x 0 , y 0 )]
áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến ta đợc:
f ( x 0 + x, y 0 + y ) f ( x0 , y 0 + y ) = f ' x ( x 0 + 1 x, y 0 + y )x
f ( x 0 , y 0 + y ) f ( x 0 , y 0 ) = f ' y ( x 0 , y 0 + 2 y ) y

trong đó 0<1,2<1. Do đó:
z = f ' x ( x 0 + 1 x, y 0 + y ) x + f ' y ( x 0 , y 0 + 2 y )y

Do fx và fy liên tục tại M0(x0,y0) nên khi cho x0, y0
ta có:
f ' x ( x 0 + 1 x, y 0 + y ) = f ' x ( x 0 , y 0 ) + 1 (x, y )
f ' y ( x 0 , y 0 + 2 y ) = f ' y ( x 0 , y 0 ) + 2 (x, y )
trong đó 1 (x, y ) 0 , 2 (x, y ) 0 khi x, y 0 .
8

Do đó:
z = f ' x ( x 0 , y 0 )x + f ' y ( x0 , y 0 ) y + o( x, y )

Hay z=f(x,y) khả vi tại (x0,y0).
Chú ý: Cũng nh trờng hợp hàm một biến, nếu x,y là các biến độc lập thì
x=dx, y=dy do đó ta có thể viết:
dz = z ' x dx + z ' y dy

và các công thức trên cũng đợc mở rộng cho hàm n biến.
Ví dụ 1.6: Tính vi phân toàn phần của
z = arctg
z' x =

Do

y
,
x + y2
2

x
y
z' y =

x
x + y2
2

Nên với (x,y) (0,0) ta có:
dz =

y
x
dx 2
dy
2
x +y
x + y2
2

c. ứng dụng vi phân tính gần đúng
Tơng tự nh hàm một biến số, từ định nghĩa vi phân toàn phần ta có
công thức tính gần đúng:
f ( x 0 + x, y 0 + y ) f ( x0 , y 0 ) + f ' x ( x0 , y 0 ) x + f ' y ( x 0 , y 0 ) y

Ví dụ 1.7: Tính gần đúng arctg
Chọn
z' x =

z= arctg

y
,
x + y2
2

arctg

1,02
0,95

x
, (x0,y0)=(1,1), x=0,02, y=-0,05. Theo ví dụ 1.7 ta có:
y

z' y =

x
, nên:
x + y2
2

1,02
1
1

arctg 1 + 0,02 ( 0,05) = + 0,035 0,82
0,95
2
2
4

1.2.3. o hm ca hm s hp
a. Hm hp ca hm hai bin
Giả sử z=f(u,v), trong đó u, v là hàm của hai biến độc lập x,y:
u = u ( x, y )

v = v( x, y )

Khi đó ta nói z là hàm hợp của hai biến x,y và viết:

z=f(u(x,y),v(x,y))
Chúng ta có công thức tính đạo hàm của hàm hợp từ định lý sau:

9


Định lý1. 3: Nếu f có các đạo hàm riêng
và nếu u, v có các đạo hàm riêng

f
f
,
liên tục trong trên miền
u v

u u v v
,
,
,
liên tục trong miền D,
y x y
x

u(D) và v(D) thì khi đó trên D tồn tại các đạo hàm riêng
z f u f v
x = u x + v x
z f u f v
=
+
y u y v y

z z
,
và:
x y

(2)

Công thức (2) có thể viết dới dạng sau:
z u

x x
z = u

y y

v f

x u
v f

y v

(3)

Ma trận:
u

x
u

y

v

x
v

y

và gọi là ma trận Jacôbi của u,v đối với x,y còn định thức của nó gọi là
định thức Jacôbi, ký hiệu:
u
D (u , v)
x
=
D( x, y ) u
y

v
x
v
y

(4)

Ví dụ 1.8: Tính các đạo hàm riêng của hàm hợp cho bởi:
z=euln(u+v)
u = 2 xy

2
2
v = x + y

với
Ta có:

zu=eu[ln(u+v)+
zv=eu

1
,
u+v

1
]
u+v

ux=2y,

vx=2x

Vậy ta có:
z f u f v
=
+
x u x v x

1

1
2 y +eu
=eu ln(u + v ) +
2x

u+v
u + v


2
4
y ln( x + y ) + ( x + y )


Do tính đối xứng của x,y trong biểu thức, tơng tự ta có:
=e

2 xy

10



∂z
2 
= e 2 xy  x ln( x + y ) 4 +
∂y
( x + y ) 

b. Hàm hợp của hàm một biến

XÐt trêng hîp z=f(x,y), trong ®ã x,y ®Òu lµ hµm cña biÕn ®éc lËp t:
 x = x(t )

 y = y (t )

Khi ®ã z=f(x(t),y(t)) lµ hµm hîp mét biÕn t, nªn nã cã ®¹o hµm theo t.
§©y còng chÝnh lµ trêng hîp riªng cña trêng hîp trªn víi u=x, v=y cßn x=y=t.
¸p dông c«ng thøc ta cã:
dz ∂f dx ∂f dy
=
+
dt ∂x dt ∂y dt

(5)

VÝ dô 1.9: Cho z=sin(x2+y2) víi:
 x = a cos 3 t

 y = a sin 3 t

Ta cã:

∂z
= 2 y cos( x 2 + y 2 )
∂y

∂z
= 2 x cos( x 2 + y 2 ) ,
∂x
x' t = −3a sin t cos 2 t

y 't = 3a cos t sin 2 t
dz ∂z dx ∂z dy
=
+
dt ∂x dt ∂y dt

(

)

= 3a 2 cos a 2 cos 6 t + a 2 sin 6 t . sin 2t.[sin 4 t − cos 4 t ]
XÐt trêng hîp z=f(x,y), trong ®ã x lµ biÕn ®éc lËp, cßn y=y(x) lµ hµm
cña x, khi ®ã z=f(x,y(x)) lµ truêng hîp riªng cña trêng hîp trªn víi t=x, nªn ta
cã:
dz ∂f ∂f dy
=
+
dx ∂x ∂y dx

VÝ dô 1.10: Cho z = arcsin

Ta cã:

∂z
=
∂x

1
y 1−

∂z
=−
∂y

x2
y2

=

x
y2 1−

2

x
y2

(6)

x
x
, − 1 ≤ ≤ 1 vµ
y
y

y=x2

1
y2 − x2

=−

x
2

y y − x2

Do y’x=2x nªn:
dz ∂f ∂f dy
=
+
=
dx ∂x ∂y dx

 2x 2 
1−
 =−
2
2 
y
y −x 


1

1

1.2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao
a. Đạo hàm riêng cấp cao

11

x − x2
4


Cho hàm số z=f(x,y), các đạo hàm riêng cấp một z x, zy của nó hiển nhiên
cũng là các hàm của hai biến x,y. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng
cấp một này, nếu tồn tại, sẽ đợc gọi là các đạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn
đạo hàm riêng cấp hai với ký hiệu là:
f 2 f
= f " x2 ,
=
x x x 2

f 2 f
= f " xy
=
y x xy

f 2 f
=
= f " yx ,
x y xy

f 2 f
=
= f " y2
y y y 2

Tơng tự, các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu có, gọi là
các đạo hàm riêng cấp ba.
Trong các đạo hàm riêng cấp hai f " x 2 , f " y 2 gọi là các đạo hàm vuông, còn
f " xy , f " yx gọi là các đạo hàm chữ nhật. Thông thờng, các đạo hàm riêng cấp

cao không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, điều đó đợc chỉ ra bằng
định lý sau.
Định lý 1.4: ( Định lý Schwartz) Nếu trong một lân cận nào đó của điểm
M0(x0,y0) hàm f(x,y) có các đạo hàm cấp hai f " xy , f " yx và nếu các đạo hàm ấy
liên tục tại M0(x0,y0) thì f " xy (x0,y0)= f " yx (x0,y0).
Định lý cũng đúng cho hàm n biến bất kỳ.
x
y

Ví dụ 1.11: Cho hàm z = f ( xy ) + g với f, g tuỳ ý có đạo hàm riêng cấp hai.
Chứng tỏ rằng:
x 2 z" xx y 2 z" yy + xz ' x yz ' y = 0

Ta có:

z ' x = yf '+

z" xx = y 2 f "+

Do

xz ' x yz ' y =

1
x

g ' , z ' y = xf ' 2 g '
y
y

1
g" ,
y2

2x
g' ,
y

z" yy = x 2 f "+

x2
2x
g"+ 3 g '
4
y
y

x 2 z" xx y 2 z" yy =

2x
g'
y

nên ta có đẳng thức cần chứng minh.
b. Vi phõn ton phn cp cao
Vì vi phân toàn phần cấp một:

dz=fxdx+fydy
cũng là một hàm của hai biến x,y nên nếu nó khả vi thì vi phân toàn phần
của nó đợc gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z và đợc ký hiệu d2z. Nh
vậy:
d2z=d(dz)=d(fxdx+fydy)
Tơng tự, vi phân toàn phần cấp ba:
d3z=d(d2z)

dnz=d(dn-1z)
12


và chúng đợc gọi là các vi phân toàn phần cấp cao của z.
Giả sử z=f(x,y) thoả mãn định lý Schwartz, khi đó:
d2z=d(fxdx+fydy)
= f " x 2 dx2+ f " xy dxdy+ f " xy dydx+ f " y 2 dy2
= f " x 2 dx2+2 f " xy dxdy+ f " y 2 dy2
Ngời ta thờng dùng ký hiệu tợng trng:


f
f
dx + f =
dx +
dy
dy
x
y
dx

dz=

Khi đó với các vi phân toàn phần cấp cao ta có:
2




d z= dx + dy f
y
x
2

.
n




dx +
dy f
y
x

dnz=

Ví dụ 1.12: Cho z=arctg
Ta có:

zx=

y
,
x + y2
2

zxx=
zxy=

x
, tính
y

zy=

d2z và d2z(0,1).
x
x + y2
2

2 xy
2 xy
2 2 , zyy=
2
(x + y )
(x + y 2 ) 2
2

1
2y2

x2 y2

=
x 2 + y 2 (x 2 + y 2 )2
(x 2 + y 2 )2

Do vậy:
d2z=

2 xy
2 xy
x2 y2
2
dx
+2
dy2
2
2 2
2
2
2 2 dxdy+
(x + y )
(x + y 2 ) 2
(x + y )

d2z(0,1)=-2dxdy
1.2.5 Hm s thun nht
Cho D l mt tp hp trong Rn cú tớnh cht sau: nu im M(x1,x2,,xn) D, thỡ t > 0 im
(tx1,tx2,,txn) D, tc l D cha im M thỡ D cng cha tia ni O vi M.
Hm s f(x1,x2,,xn) xỏc nh trờn D c gi l hm thun nht bc k nu.

f(tx1,tx2,,txn)=tkf(x1,x2,,xn) t > 0
Nu f l mt hm s thun nht bc k thỡ cỏc o hm riờng cp mt ca nú l nhng hm s
thun nht bc k-1
n
f
= kf
Hm s l hm thun nht bc k khi v ch khi xi
xi
i =1
Cụng thc trờn c gi l cụng thc Euler
1.2.6 Cụng thc Taylor
Công thức Taylo cho hàm nhiều biến cũng đợc mở rộng từ hàm một biến
bằng định lý sau:

13


Định lý 1.5: Giả sử hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên
tục trong một lân cận nào đó của điểm M 0(x0,y0). Nếu điểm
M(x0+x,y0+y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có:
f ( x 0 + x, y 0 + y ) = f ( x 0 , y 0 ) + df ( x 0 , y 0 ) +

d 2 f ( x0 , y0 )
+
2!

d n f ( x 0 , y 0 ) d n +1 f ( x 0 + x, y 0 + y )
... +
+
n!

(n + 1)!
Trong đó: (0<<1), dx=x, dy=y.
Nếu (x0,y0)=(0,0) ta có công thức Maclôranh.
Ví dụ 1.13: Tìm công thức xấp xỉ chính xác đến bậc hai của hàm:
f(x,y)= arctg

1+ x + y
1 x + y

Ta thấy f(x,y) có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục. Ta có:

4
2(1 + y ) dx 2 xdy
df=
(1 x + y ) 2 + (1 + x + y ) 2

f(0,0)=arctg1=

df(0,0)=dx
d2f=

4[(1 + y )dx xdy][(1 x + y )( dx + dy ) + (1 + x + y )(dx + dy )]

[(1 x + y)

2

+ (1 + x + y ) 2

]

2

d2f(0,0)=-2dxdy
Sử dụng công thức Maclôranh:
1
2

f(x,y)=f(0,0)+df(0,0)+ d2f(0,0)+
với dx=x, dy=y ta đợc:
arctg

1+ x + y
xy
+x
1 x + y 4
2

1.3. Cc tr
1.3.1. Cc tr ca hm s nhiu bin s
Định nghĩa : Cho hàm z=f(x,y) xác định trong miền D và điểm
M0(x0,y0)D. Ta nói rằng f(x,y) đạt cực trị tại M0(x0,y0), nếu tồn tại một lân
cận nào đó của M0(x0,y0), mà f(M)-f(M0) có dấu không đổi với mọi điểm
M(x,y) khác M0 thuộc lân cận.
Nếu f(M)-f(M0)>0 ta có điểm cực tiểu, nếu f(M)-f(M 0)<0 ta có điểm cực
đại.
Các điểm cực trị theo định nghĩa là cực trị địa phơng. Nh vậy trên D
hàm f(x,y) có thể có nhiều cực trị.
Định lý 1.6:( Điều kiện cần để hàm đạt cực trị)
Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M0(x0,y0) mà tại đó có các đạo hàm riêng

fx(x0,y0), fy(x0,y0) thì các đạo hàm đó bằng không.

14


Thật vậy, vì f(x,y) đạt cực trị tại (x 0,y0) nên các hàm một biến f(x,y 0) và
f(x0,y) cũng đạt cực trị tại x0 và y0 vì vậy theo định lý Fecma ta có
fx(x0,y0)=0 và fy(x0,y0)=0.
Nh vậy, nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng trên D, thì các điểm cực trị trên
D phải thoả mãn hệ phơng trình:
f ' x ( x, y ) = 0

f ' y ( x, y ) = 0

Những điểm thoả mãn hệ trên gọi là các điểm dừng, hay điểm tới hạn,
nó giúp ta thu hẹp việc tìm các điểm cực trị.
Định lý 1.7: (Điều kiện đủ để hàm đạt cực trị)
Giả sử hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên tục
trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0,y0) và:
f ' x ( x0 , y 0 ) = 0

f ' y ( x0 , y0 ) = 0
"
"
Khi đó, đặt A= f xx" ( x 0 , y 0 ) , B= f xy ( x 0 , y 0 ) , C= f yy ( x 0 , y 0 ) thì:

(i) Nếu B2-AC<0 thì M0(x0,y0) là điểm cực trị, khi đó:
+ Nếu A<0 thì M0(x0,y0) là điểm cực đại.
+ Nếu A>0 thì M0(x0,y0) là điểm cực tiểu.
(ii) Nếu B2-AC>0 thì M0(x0,y0) không là điểm cực trị.

(iii) Nếu B2-AC=0 thì cha thể kết luận về M0(x0,y0).
Chứng minh: Giả sử M ( x 0 + x, y 0 + y ) thuộc lân cận M0(x0,y0). Đặt
f(M0), theo công thức Taylo ta có:
=

=f(M)-

1
( Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 ) + o( x, y )
2

Ta thấy khi x, y khá nhỏ thì cùng dấu với:
G= Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2
Nếu y 0, đặt u=

x
xét tam thức bậc hai:
y

Au2+2Bu+C
Giả sử B2-AC<0, tam thức bậc hai Au2+2Bu+C luôn cùng dấu với A, do đó
cũng luôn cùng dấu với A.
Nếu y=0 ta có G=Ax2 cũng luôn cùng dấu với A. Nh vậy ta luôn có f(M)f(M0) luôn cùng dấu với A, vậy nếu A<0 ta có cực đại, nếu A>0 ta có cực tiểu.
Giả sử B2-AC>0, tam thức bậc hai Au 2+2Bu+C đổi dấu khi u biến thiên,
do đó đổi dấu nên f(x,y) không có cực trị tại M0.
Giả sử B2-AC=0, tam thức bậc hai Au2+2Bu+C có nghiệm kép u0. Ta không
xét trờng hợp này.
Ví dụ 1.14: Tìm cực trị của hàm số
z = xy 1 x 2 y 2

15


Hàm số xác định trên hình tròn x 2+y2 1. Đặt u= 1 x 2 y 2 ta có ux=


x
y
, uy= , do đó:
u
u
y 2

2
z ' x = u (u x ) = 0

z ' = x (u 2 y 2 ) = 0
y u

có các nghiệm:
1

1

1

1

M1(0,0), M2 , , M3 , ,
3

3 3
3


M4

1



3

,

1
1
1
, M5

,
3
3
3


Vì z là hàm lẻ với từng biến nên ta chỉ cần xét các điểm M1, M2.
z "xx =

x 3 y 3 xy

u
u3

z "yy =

y 3 x 3 xy

u
u3

z "xy = u

x2 + y2 x2 y2
3
u
u

Tại M1 ta có:
A=C=0, B=1. B2-AC>0
nên không là điểm cực trị,
Tại M2 ta có:
4
2
A=C=
, B=
3
3
4 16
= 4 < 0
và

B2-AC=
3 3
Vậy M2 là điểm cực đại với
zmax=

1
3 3

zmax=

1
3 3

. Tơng tự M5 là điểm cực đại với
zmin=

, M3, M4 là điểm cực tiểu với

1
3 3

.

1.3.2. Giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s nhiu bin s trong mt min úng b
chn
Cũng nh hàm một biến số, nếu hàm hai biến f(x,y) liên tục trên miền đóng
D thì nó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. Vì giá trị lớn nhất và
bé nhất của f(x,y) trong miền D cũng là những điểm tới hạn bên trong D
hoặc nằm trên biên của D. Vì vậy, để tìm những điểm có giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất trên miền D ta đi tìm các điểm tới hạn của f(x,y) nằm

trong D, tính giá trị của hàm tại các điểm đó, đồng thời tìm cực trị trên
biên của D, rồi so sánh chúng với nhau.

16


Ta thấy rằng các điểm tới hạn bên trong D là các điểm tới hạn không điều
kiện, nó là nghiệm của hệ:
f ' x ( x, y ) = 0

f ' y ( x, y ) = 0

Nếu biên của D có phơng trình:
(x,y)=0
thì các điểm tới hạn trên biên của D là các điểm tới hạn có điều kiện, ta có
thể dựa vào phép tìm cực trị có điều kiện để tìm nó.
Ví dụ 1.15: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
z=8x2+3y2+1-(2x2+y2+1)2
trên miền đóng xác định bởi: x2+y2 1.
Xét trên miền: x2+y2<1 ta có:
f ' x = 16 x 2(2 x 2 + y 2 + 1) 4 x = 8 x(1 2 x 2 y 2 ) = 0

2
2
2
2
f ' y = 6 y 2( 2 x + y + 1) 2 y = 2 y (1 4 x 2 y ) = 0

Các điểm tới hạn nằm trong miền D:

1



1

1





1



, M2 0,
, M3
,0 , M4
,0
M0(0,0), M1 0,
2
2
2


2

Ta có:

z(M0)=0,

1
4

z(M1)=z(M2)= ,

z(M3)=z(M4)=1

Tìm các điểm tới hạn với ràng buộc: x2+y2=1.
Ta có: y2=1-x2, thay vào hàm z ta có:
z = 8x2+3(1-x2)+1-[2x2+(1-x2)+1]2
= -x4+x2=x2(1-x2)
Ta phải tìm cực trị với: -1 x 1. Ta thấy hàm đạt trị nhỏ nhất bằng
không khi x= 1, và đạt giá trị lớn nhất bằng

1
1
khi x=
.
2
4

So sánh các giá trị tìm đợc ta thấy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất
m=0 khi (x,y)=( 1,0) hoặc (x,y)=(0,0), và giá trị lớn nhất M=1, tại (x,y)=
1
,0 .

2

1.4. Hm s n. Cc tr cú iu kin
1.4.1. Khỏi nim hm s n
Ta thấy, biểu thức:
F(x,y)=0
(7)
có thể xác định một hoặc nhiều hàm ẩn y=y(x). Biểu thức:
F(x,y,z)=0
(8)
có thể xác định một hoặc nhiều hàm ẩn hai biến z=z(x,y). Hệ thức:
F ( x, y , z , u , v ) = 0
(9)

G ( x, y, z , u , v ) = 0
có thể xác định một hoặc nhiều cặp hàm ẩn u=u(z,y,z), v=v(x,y,z).
17


Ta thừa nhận các định lý sau về sự tồn tại, tính liên tục và khả vi của các
hàm số ẩn.
Định lý 1.8: Giả sử F(x0,y0)=0, nếu hàm số F(x,y) có các đạo hàm riêng liên
tục ở lân cận của điểm M0(x0,y0) và nếu Fy(M0) 0 thì hệ thức F(x,y)=0 xác
định một hàm ẩn y=y(x) trong một lân cận nào đó của x 0, hàm số đó có
giá trị y0 khi x=x0, liên tục và có đạo hàm liên tục tại lân cận nói trên.
Định lý 1.9: Giả sử F(x0,y0,z0)=0, nếu hàm số F(x,y,z) có các đạo hàm riêng
liên tục ở lân cận của điểm M 0(x0,y0,z0) và nếu Fz(M0) 0 thì hệ thức
F(x,y,z)=0 xác định một hàm ẩn z=z(x,y) trong một lân cận nào đó của
(x0,y0), hàm số đó có giá trị z 0 khi (x,y)=(x0,y0) liên tục và có các đạo hàm
riêng liên tục tại lân cận nói trên.
Định lý 1.10: Giả sử:

F ( x0 , y 0 , z 0 , u 0 , v 0 ) = 0

G ( x 0 , y 0 , z 0 , u 0 , v0 ) = 0
Nếu các hàm số F(x,y,z,u,v) và G(x,y,z,u,v) có các đạo hàm riêng liên tục ở
lân cận của điểm M0(x0,y0,z0,u0,v0) và nếu tại các điểm ấy định thức
Jacôbi:
D( F , G ) F 'u F 'v
=
0
G 'u G 'v
D(u , v)

(10)

thì hệ thức:
F ( x, y , z , u , v ) = 0

G ( x, y, z , u , v ) = 0
xác định hai hàm ẩn u=u(x,y,z) và v=v(x,y,z) trong lân cận nào đó của
điểm (x0,y0,z0), chúng có giá trị tơng ứng là u=u0, v=v0 khi (x,y,z)=(x0,y0,z0),
chúng liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận đó.
1.4.2 o hm ca hm s n
Giả sử các điều kiện của các định lý trên đợc thoả mãn.
(i) Từ biểu thức (7) lấy đạo hàm riêng hai vế theo x:
F F dy
+
=0
x y dx

Từ đó ta đợc:

F ' ( x, y )
dy
= x
dx
F ' y ( x, y )

(11)

(ii) Từ biểu thức (8) lần lợt lấy đạo hàm riêng hai vế theo x, y ta đợc:
F F z
+
=0
x z x
F F z
+
=0
y z y

Từ đó ta đợc:

18


F ' ( x, y , z )
z
= x
x
F ' z ( x, y , z )

(12)

F ' y ( x, y , z )
z
=
y
F ' z ( x, y , z )

(13)

(iii) Từ hệ thức (9) lần lợt lấy các đạo hàm riêng theo các biến x của hệ ta
đợc:
F F u F v
x + u x + v x = 0

G + G u + G v = 0
x u x v x

(14)

Hệ (14) là hệ tuyến tính với các đạo hàm riêng
D( F , G ) F 'u F 'v
=
0
G 'u G 'v
D(u , v)

u v
,
. Do định thức Jacôbi:
x x

(x,y,z)D

Hệ phơng trình sẽ cho nghiệm duy nhất:
D( F , G )
D( F , G )
v
D ( x, u )
u
D ( x, v )
=
=
,
, (15)
D( F , G ) x
D( F , G )
x
D (u , v )
D (u , v )
Thay x bởi y, hoặc z ta có các đạo hàm riêng theo y và theo z.
1.4.3. nh lý hm s ngc
nh lý: Ga s U l mt tp hp m trong R2 .Cho

ỏnh

x

T

:

U R 2 , ( x, y ) (u ( x, y ), v( x, y )) l cỏc hm s u(x,y) , v(x,y) cú cỏc o hm riờng liờn tc
trờn U .Ga s (x0,y0) U, u0 = u(x0,y0),
v0 =v(x0,y0). Nu ti (x0,y0) , nh thc Jacobi
D(u , v) u 'x u ' y
=
0 thỡ :
D ( x, y ) v ' x v ' y
1) Cú mt lõn cn V ca (x0,y0) sao cho W = T(V) l mt lõn cn ca (u 0,v0) , ỏnh x T hn ch
trờn V (kớ hiu T

) l mt song ỏnh t V lờn W .

V

2) ỏnh x ngc T-1 t W lờn V c xỏc nh bi (u, v) ( x(u, v), y (u, v)) , x(u,v), y(u,v) l cỏc
o hm riờng liờn tc trờn W.
D(u , v) D( x, y )
.
=1
3)
D( x, y ) D(u , v)
1.4.4. Cực trị có điều kiện
Ta gọi cực trị của hàm số
z=f(x,y)
(16)
trong đó (x,y) bị ràng buộc bởi hệ thức
(x,y)=0
(17)
là cực trị có điều kiện.

19


Ta thấy (17) là phơng trình của đờng cong trong mặt phẳng, nh vậy
cực trị có điều kiện chính là cực trị của hàm (16) trên một đờng cong.
Nếu từ (17) ta rút đợc y theo x để có hàm hiện y=y(x), khi đó (16) trở
thành z=f(x,y(x)) là hàm một biến số, do đó ta có thể dùng cực trị hàm một
biến để tìm cực trị có ràng buộc.
Trong trờng hợp chung ta có thể dùng phơng pháp nhân tử Lagrange dựa
vào định lý sau.
Định lý 1.11: ( Điều kiện cần của cực trị có điều kiện)
Gỉa sử M0(x0,y0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm (16) với điều
kiện (17). Nếu
(i) ở lân cận M0 các hàm số f(x,y) và (x,y) có các đạo hàm riêng cấp một
liên tục.
(ii) các đạo hàm riêng x, y không đồng thời bằng không tại M0.
Khi đó tại M0 có:
f 'x

f 'y

'x

'y

=0

(18)

Chứng minh: Vì hệ thức (23) xác định một hàm ẩn y=y(x) khả vi ở lân

cận x0. Thay y=y(x) vào (22), hàm một biến z=f(x,y(x)) đạt cực trị tại x0 nên:
fx(x0,y0)+fy(x0,y0)y(x0)=0
hay
fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy=0
Lấy vi phân hai vế của (23) ta đợc:
x(x0,y0)dx+y(x0,y0)dy=0
Ta đợc hệ tuyến tính thuần nhất đối với dx, dy và hệ có nghiệm không tầm
thờng, do đó nó có định thức bằng không:
f 'x

f 'y

'x

'y

=0

Chú ý: Hệ thức (24) có thể biểu diễn dới các dạng:
1.

f 'y
f 'x
=
'x ' y

(19)

2. Hệ thức (18) là điều kiện cần và đủ để hệ
f ' x ( x 0 , y 0 ) + ' x ( x0 , y 0 ) = 0

f ' y ( x0 , y 0 ) + ' y ( x 0 , y 0 ) = 0

có nghiệm không tầm thờng (1, ). Nh vậy, hệ:
f ' x ( x, y ) + ' x ( x, y ) = 0

f ' y ( x, y ) + ' y ( x, y ) = 0

( x, y ) = 0

(20)

cho phép ta tìm và điểm tới hạn (x 0,y0). Số đợc gọi là nhân tử
Lagrange, còn phơng pháp tìm điểm tới hạn (x 0,y0) nh trên gọi là phơng
pháp nhân tử Lagrange.
3. Để xét xem điểm tới hạn M0(x0,y0) có là điểm cực trị có điều kiện hay
không ta dựa vào ý nghĩa thực tế của bài toán, hoặc dựa vào hàm bổ trợ:
20


F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

(21)

Trong đó là nhân tử Lagrange. Nếu ' x ( x 0 , y 0 ) 0 ta có:
=

f ' x ( x0 , y0 )
' x ( x0 , y 0 )

Tính:
2F 2
2F
2F 2
dx
+
2
dxdy
+
dy ( x0 , y0 )
d F(x0,y0)= 2
(22)
xy
y 2
x

Khi đó:
(i) Nếu:
d2F(x0,y0)<0
(23)
thì M0(x0,y0) là điểm cực đại có điều kiện.
(ii) Nếu:
d2F(x0,y0)>0
(24)
thì M0(x0,y0) là điểm cực tiểu có điều kiện.
(iii) Nếu:
d2F(x0,y0)=0
(25)
thì cha có kết luận.
Ví dụ 1.16: Tìm cực trị của hàm

z=x2+y2
với điều kiện:
ax+by+c=0
(c 0)
Theo điều kiện (25) ta có:
2

x y
=
a b

Giải hệ phơng trình:
x y
=
a b
ax + by + c = 0
ac
bc

, 2
.
2
2
a + b2
a +b

ta đuợc điểm tới hạn M0

Theo ý nghĩa hình học, biểu thức z=x 2+y2 là khoảng cách từ M(x,y) đến
gốc toạ độ, nên bài toán của chúng ta là tìm khoảng cách ngắn nhất từ gốc

toạ độ đến đờng thẳng ax+by+c=0. Do đó, M 0 chính là chân đờng
vuông góc hạ từ O xuống đờng thẳng, vậy M0 là điểm cực tiểu (Hình 7).
Ta cũng có thể dùng hàm bổ trợ:
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
=x2+y2+(ax+by+c)
Khi đó:
Fx=2x+a, Fxx=2,
Fxy=0,
Fyy=2
Do đó d2F=2(dx2+dy2)>0 nên M0 là điểm cực tiểu.
Bi tp chng 1
1) Tỡm cỏc gii hn sau:
21


( 1 + xy )
a) lim
x →0

x2 + ( y − 2) + 1 − 1
2

2
x 2 + xy

b) lim

x2 + ( y − 2)

x →0

y →2

y →2

2

x4 + y4
c) lim
x →0
x2 + y2
y →0
2) Khảo sát sự tồn tại của các giới hạn sau
a) lim
x →0
y →0

sin x − shy
shx − sin y
y →0

xy
x2 + y 2

b) lim
x →0

(1 + x 2 + y 2 )(1 − cos y )
c) lim
x →0
y2

y →0
3) Khảo sát sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm tại điểm cho trước
a) f ( x, y ) = ( x + y )sin
b) f ( x, y ) =

1
1
sin , M o (0,0)
x
y

xy
, M o (0,0) .
x + y2
2

(

(

)

lim
lim
f ( x, y ) = −1, trong khi đó
y →0
x →0

)

x− y
ta có: lim lim f ( x, y ) = 1 ;
x →0
y →0
x+ y
lim
f ( x, y )
x →0

4) Chứng minh rằng đối với hàm f ( x, y ) =

không tồn tại.

y →0

5) Khảo sát sự liên tục của các hàm số sau và của các đạo hàm riêng cấp một của chúng.

 2
 1 
2
khi ( x, y ) ≠ (0,0).
( x + y )sin  2
2 ÷
x
+
y
a) f ( x, y ) = 


 0

khi ( x, y ) = (0,0)

 x3 − y 3
 2
2
b) f ( x, y ) =  x + y
0


khi ( x, y ) ≠ (0,0).
khi ( x, y ) = (0,0)

6) Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau.
a) f ( x, y ) =

x− y
x3 − y 3

b) f ( x, y ) =

1
x2 + y 2

.

7) Khảo sát tính liên tục đều của hàm f ( x, y ) = 2 x − 3 y + 5 trong mặt phẳng ¡ 2 .
8) Hàm f ( x, y ) = sin

π
x 2 + y 2 < 1 hay không.

2
2 có liên tục đều trong miền
1− x − y

9) Khai triển hàm f ( x, y ) = 2 x − xy − y − 6 x − 3 y + 5 theo công thức Taylorr trong lân
2

2

cận điểm A(1, −2) .
22


2
2
10) Tìm số gia của hàm f ( x, y ) = x y + xy − 2 xy khi chuyển từ giá trị x = 1, y = −1 tới các

giá trị x1 = 1 + h, y1 = −1 + k .
11) Tìm cực trị của các hàm số sau.
a) f ( x, y ) = x + y − 3 xy
3

b) f ( x, y ) = e − ( x

3

2

+ y2 )

(2 x 2 + 3 y 2 )

12) Tìm cực trị của hàm số
a) z = 1 − x 2 − y 2 với điều kiện x + y − 1 = 0 .
b) f ( x, y ) = 6 − 4 x − 3 y với điều kiện x và y liên hệ với nhau bởi phương trình

x2 + y2 = 1 .
13) Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số
2
2
a) f ( x, y ) = x + y − xy + x + y trong miền D =

{ ( x, y ) : x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3} .

b) z = sin x.sin y.sin( x + y ) trong hình vuông 0 ≤ x ≤ π ; 0 ≤ y ≤ π .

23


Chương 2. Tích phân bội
2.1. Tích phân phụ thuộc tham số
2.1.1. Tích phân xác định
2.1.1.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số.
Giả sử f(x, y) là hàm số xác định với trên [a, b] x [c, d] sao cho f(x, y) khả tích theo x trên
[a, b] với mỗi y ∈ [c, d]. Đặt
b

I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx

(2.1)

a

Khi đó I(y) là một hàm số xác định trên [c, d] và được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của
hàm f(x, y) trong đoạn [a, b]
Giả sử f(x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật
D = [a, b] x [c, d] = {(x, y) , a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}.
Ví dụ 2.1: Cho hàm số f(x, y) = e xy , x ∈ [a, b], y ∈ R.
b

Ta có với y = 0, thì I (0) = ∫ dx = b − a .
a

Với y ≠ 0 thì

eby − e ay
I ( y ) = ∫ e dx =
a
y
b

xy

Vậy tích phân phụ thuộc tham số

khi y = 0
b − a

I ( y ) = ∫ e xy dx =  1 by
ay

a
 y (e − e ) khi y ≠ 0

b

Định lý 2.1 (Tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số)
Nếu f(x, y) là hàm số xác định và liên tục trong hình chữ nhật D thì tích phân phụ thuộc
b

tham số I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx là một hàm số liên tục trên [c, d].
a

Định lý 2.2 (Tính khả tích của tích phân phụ thuộc tham số)
Nếu hàm số f(x, y) là hàm số liên tục trong hình chữ nhật D = [a, b] x [c, d] = {(x, y) , a ≤ x ≤
b; c ≤ y ≤ d}.
thì ta có:
d

d

c

c

(

b

)

b

(

d

)

∫ I ( y )dy = ∫ ∫ f ( x, y )dx dy = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx
a

a

c

(2.2)

Hay là:
d

b

b

d

c

a

a

c

∫ dy ∫ f ( x, y )dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy

Định lý 2.3 (Tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số)

24

(2.2’)


Giả sử hàm số f(x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D liên tục theo
y cố định thuộc [c, d]. Hơn nữa f(x, y) có đạo hàm riêng

x ∈ [a, b] với mỗi

∂f
( x, y ) là một hàm liên tục trong
∂y
b

hình chữ nhật D. Khi đó tích phân phụ thuộc tham số I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx là một hàm khả vi
a

trên [c, d] và

∂f
( x, y )dx,

a ∂y

b

I '( y ) = ∫

y ∈ [c, d ]

(2.3)

xb − x a
Ví dụ 2.2. Tính tích phân I ( y ) = ∫
dx , (0 < a < b)
0
ln x
xb − x a 1 y
Vì
= ∫ x dy và hàm f(x, y) = xy thỏa mãn các giả thiết của định lý nên :
0
ln x
1 xb − x a
1 b
b 1
I =∫
dx = ∫ ∫ x y dy dx = ∫ ∫ x y dx dy
0
0 a
a 0
ln x
b  x y +1 x = 1 

b
1
b +1
dy = ln
= ∫
÷dy = ∫
a
a y +1
a +1
 y +1 x = 0
1

(

)

(

)

2.1.1.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số
Cho D = [a, b] x [c, d] = {(x, y) , a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}, và C1, C2 là hai đường cong trơn nằm
trong hình chữ nhật D, tương ứng có các phương trình:
x=
trong đó

α (y) và x = β (y), y ∈ [c, d]

α (y) và β (y) là các hàm xác định trong [c, d].

Giả sử f(x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D, khả tích theo x ∈ [a,b] với mỗi y cố định
thuộc [c, d]. Đặt
β ( y)

I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx
α ( y)

Khi đó I(y) là một hàm số xác định trên đoạn [c, d]
Ký hiệu D = [a, b] x [c,d] = {(x, y) , a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}.
Định lý 2.4. Giả sử f(x, y) là hàm số liên tục trong hình chữ nhật D, α (y) và

β (y) là các hàm số

liên tục trong đoạn [c, d] thì tích phân phụ thuộc tham số:
β ( y)

I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx , y ∈ [c; d]
α ( y)

là một hàm liên tục trong đoạn [c, d].
Định lý 2.5. Giả sử:
a) Hàm số f(x, y) xác định trong hình chữ nhật D, liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi y cố
định thuộc [c, d];
b) Hàm số f(x, y) có đạo hàm riêng

∂f
( x, y ) liên tục (theo cả hai biến) trong hình chữ
∂y

nhật D;

25