Vấn đề 1 hệ phương trình không chứa tham số 1

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

VDC PT-HPT CHỨA CĂN
VẤN ĐỀ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG THAM SỐ
Các phương pháp được dùng đến gồm:
 Phương pháp thế
 Phương pháp đặt ẩn phụ
 Phương pháp ép tích
 Phương pháp đánh giá
Email:
Email:

Câu 1.

Biết hệ phương trình:

( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 )

 y − 3x + 4 + y + 5 x + 4 = 4

 5 y + 3 − 7 x − 2 = 2 x − 1 − 4 y

A.

với

có hai nghiệm

S = 3 x1 + 4 y2

. Tính

27
32

x, y ∈ ¡

.

.

B.

13
4

.

C.

27 + 6 17
32

.

D.

33 + 6 17
32

.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Bích,Tên FB: Bich Nguyen
Chọn B

Điều kiện xác định :
y − 3x + 4 −

 y − 3x + 4 ≥ 0
 y + 5x + 4 ≥ 0


2

x≥
7


3
 y≥−
5

y + 5x + 4

=

y − 3x + 4 − y − 5 x − 4
−8 x
=

= −2 x
4
y − 3x + 4 + y + 5 x + 4

Ta có:

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

1


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

 y − 3x + 4 + y + 5 x + 4 = 4
⇒ 2 y − 3x + 4 = 4 − 2 x

 y − 3x + 4 − y + 5 x + 4 = −2 x

thu được hệ
x ≤ 2
⇔
2
y = x − x

.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
5x − 5x + 3 − 7 x − 2 + 4 x − 6 x + 1 = 0
2

⇔

2

(điều kiện

)

(

2
≤x≤2
7

)

5 x 2 − 5 x + 3 − ( x + 1) + (2 x − 7 x − 2) + 4 x 2 − 7 x + 2 = 0



1
1
⇔ ( 4x2 − 7 x + 2) 
+
+ 1÷ = 0
 5 x 2 − 5 x + 3 + ( x + 1) 2 x + 7 x − 2
÷



Do

2
≤x≤2
7

1
5 x − 5 x + 3 + ( x + 1)
2

Suy ra

Với
x=

Với

7 ± 17
8

7 + 17
5 + 3 17
⇒y=
8
32
7 − 17
5 − 3 17
⇒y=
8

32

Hệ phương trình có hai nghiệm
13
S = 3 x1 + 4 y2 =
4
Vậy
.

Câu 2.

Hệ phương trình
1

A. .

1
+1 > 0
2x + 7x − 2

nên

4 x2 − 7 x + 2 = 0 ⇔ x =

x=

+

(TM) .

(TM).

(TM).

 7 + 17 5 + 3 17 
;

÷
32 ÷
 8


và

 7 − 17 5 − 3 17 
;

÷
32 ÷
 8


 y 3 − x 3 + 3x 2 = 6 y 2 − 16 y + 7 x + 11

2
( y + 2) x + 4 + ( x + 9) 2 y − x + 9 + x + 9 y + 1 = 0
2

B. .

3

C. .

.

có bao nhiêu nghiệm thực?

4
D. .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Phu,Tên FB: Nguyễn Văn Phu
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

2


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Chọn A

ĐK

 x ≥ −4
(*)

2 y − x + 9 ≥ 0

( y − 2)3 + 4( y − 2) = ( x − 1)3 + 4( x − 1)

Cách 1 ( Lớp 10) PT thứ nhất tương đương với

(1)

⇔ ( y − x − 1)[ ( y − 2) 2 + ( y − 2)( x − 1) + ( x − 1) 2 + 4] = 0 ⇔ y = x + 1
1444442444443
≥0

f (t ) = t 3 + 4t ⇒ f '(t ) = 3t 2 + 4 > 0, ∀t ∈ ¡
Cách 2 ( Lớp 12) Xét hàm số
f (t )

Suy ra hàm số

đồng biến trên

¡

. PT (1) có dạng

f ( y − 2) = f ( x − 1) ⇔ y − 2 = x − 1 ⇔ y = x + 1

( x + 3) x + 4 + ( x + 9) x + 11 + x 2 + 9 x + 10 = 0
Thay vào phương trình thứ hai ta được:

⇔ ( x + 3)( x + 4 − 3) + ( x + 9)( x + 11 − 4) + x 2 + 2 x − 35 = 0

⇔ ( x − 5)[

x+3
x+9
+
+ ( x + 7)] = 0
x
+
4
+
3
x
+
11
+
4
1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43

x+3
x+9
⇔ ( x − 5)[ (
+ 1) +
+ ( x + 6)] = 0 ⇔ x = 5
x
+
4
+
3
x
+
11

+
4
1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 43
> 0, ∀x ≥−4

( x0 ; y0 ) = (5;6)

x=5⇒ y =6

Với

. (t/m đk (*). Vậy HPT có 1 cặp nghiệm

Email:

Câu 3.

Số giá trị nguyên của tham số
4
A. .

m

để hệ phương trình

3
B. .

 x + 1 + y + 1 = m


 x + y = 2m + 1

2
C. .

có nghiệm là :

1
D. .

Lời giải
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

3


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Tác giả:Mai Ngọc Thi,Tên FB: Mai Ngọc Thi
Chọn B
Điều kiện :

Đặt

x ≥ −1 y ≥ −1
;
.


u = x + 1


v = y + 1

,

u ,v ≥ 0

khi đó ta có hệ phương trình

u + v = m

u
+
v
=
m


u + v = m
⇔

m 2 − 2m − 3
⇔
2
 2 2
uv
=


( u + v ) − 2uv = 2 m + 3

2
u + v − 2 = 2m + 1

Đặt

S = u + v

 P = uv

,

S 2 ≥ 4P

Theo yêu cầu bài toán :

Vậy ta có

khi đó ta có hệ

S = m


m2 − 2m − 3
P =

2


m ≥ 0
 2
 m − 2m − 3
⇔
≥0
S ≥ 0
2


P ≥ 0
 2
m 2 − 2m − 3 ⇔ m ≥ 3
S 2 ≥ 4 P
m
≥
4.
2


m − 4 m − 6 ≤ 0 ⇔ 3 ≤ m ≤ 2 + 10

2

3 ≤ m ≤ 2 + 10

và

m ∈ ¢⇒ m ∈ { 3,4,5}

.

Email:
Câu 4.

Hệ phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm

 x 3 − y 3 + 3 x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0

2
( x + 1) y + 1 + ( x + 6 ) y + 6 = x − 5 x + 12 y

0
A. .

1
B. .

2
C. .

( 1)
( 2)
3
D. .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phượng,Tên FB:Nguyễn Thị Phượng

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

4


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Chọn B
Lớp 10

( 1)
Phương trình

( x + 1)

3

của hệ tương đương với

+ 3 ( x + 1) = y 3 + 3 y

2
⇔ ( x + 1 − y ) ( x + 1) + ( x + 1) y + y 2 + 3 = 0



 x +1− y = 0
x +1 = y
⇔

⇔
 2
2
2
2
( x + 1) + ( x + 1) y + y + 3 = 0
x + ( 2 + y) x + y + y + 4 = 0 ⇔ y = x +1
∆ = ( 2 + y ) − 4 ( y 2 + y + 4 ) = −3 y 2 − 12 < 0, ∀y
2

( phương trình dưới vô nghiệm do có

)

( 2)
Thế vào pt

( x + 1)

của hệ ta được:

x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 = x 2 + 7 x + 12

⇔ ( x + 1)

(

)

x + 2 − 2 + ( x + 6)

(

)

x + 7 − 3 = x2 + 2 x − 8

x+6 
 x +1
⇔ ( x − 2) 
+
÷= ( x − 2) ( x + 4)
x+7 +3
 x+2 +2
x − 2 = 0
⇔  x +1
x+6

+
= x+4
 x + 2 + 2
x+7 +3
x = 2

⇔
− ( x + 2)

2


(

x+2
x+2+2

)

− ( x + 6)

2

(

x + 7 +1
x+7 +3

)

−

1
=0
x+2+2
x = 2; y = 3

Phương trình dưới vô nghiệm do vế trái luôn âm. Vậy hệ có nghiệm duy nhất

.

Lớp 12.

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

5


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

( 1)
Phương trình

( x + 1)

3

của hệ tương đương với

+ 3 ( x + 1) = y 3 + 3 y
f ( t ) = t 3 + 3t

Xét hàm số

¡

trên

.

f ′ ( t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t

¡

nên hàm số đồng biến trên

.

( 1) ⇔ x + 1 = y
Suy ra phương trình

( 2)
Thế vào pt

( x + 1)

của hệ ta được:

x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 = x 2 + 7 x + 12

⇔ ( x + 1)

(

)

x + 2 − 2 + ( x + 6)

(

)

x + 7 − 3 = x2 + 2 x − 8

x+6 
 x +1
⇔ ( x − 2) 
+
÷= ( x − 2) ( x + 4)
x+7 +3
 x+2+2
x − 2 = 0
⇔  x +1
x+6

+
= x+4
x+7 +3
 x + 2 + 2

x = 2

⇔
− ( x + 2)

2


(

x+2

x+2 +2

)

− ( x + 6)

2

(

x + 7 +1
x+7 +3

)

−

1
=0
x+2+2
x = 2; y = 3

Phương trình dưới vô nghiệm do vế trái luôn âm. Vậy hệ có nghiệm duy nhất

.

( có thể dùng máy tính để chứng minh phương trình dưới vô nghiệm).
Email:

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

6


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Câu 5.

Biết hệ phương trình

 x x 2 + y + y = x 4 + x3 + x
( 1)


9
 x + y + x − 1 + y ( x − 1) = ( 2 ) ( x, y ∈ ¡
2


các phân số tối giản. Tính

A.

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

25
.
16

)

có nghiệm

a c 
 ; ÷,
b d 

với

a
b

và

c
d

là

a+c
.
b+d

B.

25
.
8

C.

5
4

D.

25
.
4

Lời giải
Tác giả:

Nguyễn Đắc Tuấn,Tên FB: Đỗ Đại Học

Chọn A

Điều kiện:

x ≥ 1

y ≥ 0

(1) ⇔ x x 2 + y + y = x x 2 + x + x ⇔ x ( x 2 + y − x 2 + x) + ( y − x ) = 0
⇔x

y−x
x +y+ x +x
2

2

+ ( y − x ) = 0 ⇔ ( y − x )( x 2 + y + x 2 + x + x ) = 0

x 2 + y + x 2 + x + x > 0, ∀x ≥ 1; y ≥ 0)

⇔ y=x

(Vì
x + x + x − 1 + x( x − 1) =

Thay vào phương trình (2), ta có:
t=

9
2

x + x − 1(t ≥ 0) ⇒ t 2 = 2 x − 1 + 2 x ( x − 1)

Đặt

Phương trình trở thành:

Với t = 2, ta có:

t = 2 ( tm )
t 2 + 1 + 2t = 9 ⇔ t 2 + 2t − 8 = 0 ⇔ 
t = −4 ( l )

5


25
x ≤
⇔ 2 x( x − 1) = 5 − 2 x ⇔ 
⇔x=
2
16
4 x 2 − 4 x = 25 − 20 x + 4 x 2
x −1 + x = 2


Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

7


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

 25 25 
a + c 2.25 25
=
= .
 ; ÷
16
16


b + d 2.16 16
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là:

. Suy ra:

Phản biện :Với cách hỏi như trên, học sinh dễ dàng nhận ra hệ pt có nghiệm duy nhất và sử dụng
máy tính cho kết quả nhanh chứ không cần giải, nên thay đổi câu hỏi như : Số nghiệm của hệ là….
Email:

Câu 6.


3
3
(x + y + 2020) + x + y + 2020 = 4


2
2
 x + (y + 2018) + (y + 2016) x + 1 = 0

Biết rằng hệ phương trình:
Khi đó, giá trị của biểu thức
0
A. .

B.

x1.x2

−8

có hai nghiệm

(x1; y1)

và

(x2; y2 )

.

bằng:
4
C. .

.

D.

−2

.

Tác giả: Đỗ Thị Hồng Anh,Tên FB: Hong Anh
Lời giải
Chọn B


3
3
(1)
(x + y + 2020) + x + y + 2020 = 4



2
2
 x + (y + 2018) + (y + 2016) x + 1 = 0 (2)

t = x + y + 2020

Đặt

3
t4 + 3
t + = 4⇔
=4
t
t
3

, phương trình (1) trở thành:

Áp dụng AM-GM cho 4 số dương

111
t3; ; ;
t t t

, ta có:

. Suy ra

t> 0

.

3
1 1 1
t3 + = t3 + + + ≥ 4
t
t t t

1
pt (1) ⇔ t3 = ⇔ t = 1
x + y + 2020 = 1⇔ y = − x − 2019
t
Nên
. Do đó:
.
x2 + 3x + 1− (x + 3) x2 + 1 = 0

y = − x − 2019

Thay

vào pt (2), ta có:

.

t2 − (x + 3)t + 3x = 0 ⇔ t = x ∨ t = 3
t = x2 + 1, t ≥ 1
Đặt

, ta có phương trình:
.
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

8


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

t = x ⇔ x2 + 1 = x ⇔ x∈ ∅
t = 3 ⇔ x2 + 1 = 3 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ±2 2

Vậy,

x1.x2 = −8

.

Email:

Câu 7.

Hệ


1− y
x
−

+ x + y =1
(1)

1 + 1 − x 1 + y


1 3 2
 2
8 x + 7 x + 20 y − 13 = 1 + 1 − y ÷ 3 x − 2




0
A. .

1
B. .

(2)
có bao nhiêu nghiệm thực?
2
C. .

D.Vô số.

Lời giải
Tác giả: Đỗ Minh ĐăngTên FB: Johnson Do
Chọn B

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y < 1

+ Điều kiện:

(1) ⇔

1− y
x
+x=
+ 1− y
1+ 1− x
1+ 1− ( 1− y)

+

.

f (t ) =
+ Xét hàm số

1
f '(t ) = 2

t
+t
1+ 1− t

[ 0;1]

trên

( 1+ 1− t ) + 2
t
( 1+ 1− t )
2

t
1 − t + 1 > 0, ∀t ∈ 0;1
( )

+ Ta có

Mà

.

( 0;1)
. Suy ra hàm số đồng biến trên

 f (t ) > f (0)
, ∀t ∈ ( 0;1)

 f (t ) < f (1)

[ 0;1]
. Suy ra hàm số đồng biến trên

f ( x) = f (1 − y )

+ Mặt khác

.

.
x = 1− y ⇔ y = 1− x

. Suy ra nghiệm duy nhất của (1) là

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

.
9


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

+ Khi đó

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

 1
(2) ⇔ 8 x 2 − 13x + 7 = 1 + ÷ 3 3x 2 − 2
 x

x ∈ ( 0;1]

+ Với

thì

(2) ⇔ 8 x 3 − 13 x 2 + 7 x = ( x + 1) 3 3 x 2 − 2 ⇔ ( 2 x − 1) − ( x 2 − x − 1) = ( x + 1)
3

+ Đặt

u = 2 x − 1

3
2
v = 3x − 2

Ta có hệ

u 3 − ( x 2 − x − 1) = ( x + 1) v

 3
2
v − ( x − x − 1) = ( x + 1) u

3

( x + 1) ( 2 x − 1) + ( x 2 − x − 1)

. Trừ vế theo vế của hệ ta được:

u = v

( u − v ) ( u 2 + uv + v 2 + x + 1) = 0 ⇔ 

2
2
u + uv + v + x + 1 = 0 (*)

.

∆ v = u 2 − 4u 2 − 4 x − 4 = −3 ( 2 x − 1) − 4 x − 4 = −12 x 2 + 8 x − 7 < 0, ∀x ∈ ¡
2

+ Nhận xét thấy

. Suy ra
2

phương trình (*) vô nghiệm.( Cách 2:
nghiệm.)

. Suy ra (*) vô

1

x = − (l )

u = v ⇔ 2 x − 1 = 3 x − 2 ⇔ 8 x − 15 x + 6 x + 1 = 0 ⇔
8

 x = 1 ( n)
3

+

v 3

VT(*) =  u + ÷ + v 2 + x + 1 > 0, ∀x ∈ ( 0;1]
2 4


2

3

2

x =1⇒ y = 0

+ Với

.

( 1; 0 )
+ Vậy hệ có nghiệm duy nhất
x ∈ ( 0;1]

Cách 2 để giải phương trình (2): Với

thì

(2) ⇔ 8 x3 − 13 x 2 + 7 x = ( x + 1) 3 3 x 2 − 2 ⇔ 8 x3 − 10 x 2 + 7 x − 2 = ( x + 1) 3 3 x 2 − 2 + 3 x 2 − 2
⇔ ( 2 x − 1) + ( x + 1) ( 2 x − 1) = ( x + 1) 3 3 x 2 − 2 + ( 3 x 2 − 2 )
3

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

10


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

2

⇔ ( 2 x − 1) − 3 3x 2 − 2  ( 2 x − 1) − ( 2 x − 1) 3 3x 2 − 2 +



( 2 x − 1) − 3 3 x 2 − 2 = 0
⇔ 
2
3
2
( 2 x − 1) − ( 2 x − 1) 3x − 2 +
VT(*) =

(

3

3x 2 − 2

1
2
( 2 x − 1) − ( 2 x − 1) 3 3x 2 − 2 +
4

(

3

)

2

(

3

3x2 − 2

)

2


+ ( x + 1)  = 0


+ ( x + 1) = 0 (*)

3x 2 − 2

)

2

+

3
2
( 2 x − 1) + ( x + 1)
4

2

2
1
 3
VT(*) ==  ( 2 x − 1) − 3 3 x 2 − 2  + ( 2 x − 1) + ( x + 1) > 0, ∀x ∈ ( 0;1]
2
 4

. Suy ra (*) vô nghiệm.

( 2 x − 1) − 3 3 x 2 − 2 = 0
Vậy

( Trở lại giải như trên)

Email:

Câu 8.

 x + y 2 − x 2 = 12 − y

 x y 2 − x 2 = 12

Giải hệ phương trình

( x1 ; y1 )
ta được hai nghiệm

( x2 ; y2 )
và

. Tính giá trị biểu

T = x12 + x22 − y12
thức
A.

.

T = −25

.

B.

T =0

.

C.

T = 25

.

D.

T = 50

.

Lời giải
Tác giả:: Lê Anh Dũng,Tên FB: Dũng Lê.
Chọn B

y2 ≥ x2
Điều kiện

.

Từ phương trình
x + y 2 − x 2 = 12 − y ⇒ x 2 + 2 x y 2 − x 2 + y 2 − x 2 = 144 − 24 y + y 2 ⇔ x y 2 − x 2 = 144 − 24 y

. (1)
x y 2 − x 2 = 12

Thay

y=5

vào phương trình (1) ta được:

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

.

11


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x y 2 − x 2 = 12

y=5

Thay

vào phương trình

và giải ra ta được

x=3

hoặc

x=4

.

{(3;5), (4;5)}

Thử lại điều kiện ta được tập nghiệm của hệ là
Ta có

T = 32 + 4 2 − 52 = 0

.

.

Email:

( x0 ; y0 )
Câu 9.

Gọi

y0 > 0
với

là nghiệm của hệ phương trình

P = t 2 − x0t + y0
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
m Î ( - 1;1)

A.

 32 x − x 2 − 2 y 2 + 1 − 2 = y 2
3
 48 x 2 − 2 x 3 + 20 y 2 + 1 − 60 = 2 y 2

với

t ∈¡

m Î ( - 15; - 12)

.

B.

m

là

. Khẳng định nào sau đây đúng?

m Î ( - 62; - 60)

.

. Gọi

C.

m Î ( - 98; - 95)

.

D.

.

Lời giải
Tác giả:: Nguyễn Lương Thành,Tên FB: Luong Thanh Nguyen
Chọn C
x ∈ [ 0;32] .

Điều kiện:

Ta có:

 32 x − x 2 − 2 y 2 + 1 − 2 = y 2

3
 48 x 2 − 2 x 3 + 20 y 2 + 1 − 60 = 2 y 2

( 1)
( 2)

( 1) + ( 2 )
Lấy

ta được:

32 x − x 2 + 3 48 x 2 − 2 x3 + 18 y 2 + 1 − 62 = 3 y 2
.
⇔

⇔

32 x − x 2 + 3 48 x 2 − 2 x3 = 3 ( y 2 + 1) − 18 y 2 + 1 + 59

32 x − x 2 + 3 48 x 2 − 2 x 3 = 3

(

)

2

y 2 + 1 − 3 + 32 ( I )

Vì:
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

12


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

32 x − x 2 = x ( 32 − x ) ≤

+

3

x + 32 − x
= 16
2

48 x 2 − 2 x3 = 3 x.x. ( 48 − 2 x ) ≤

+

x + x + 48 − 2 x
= 16
3

VT ( I ) ≤ 32

nên:

và dấu “=” xảy ra khi
3

Mặt khác:

(

)

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x = 16

2

y 2 + 1 − 3 + 32 ≥ 32

.

VP ( I ) ≥ 32

nên

y2 +1 = 3

và dấu bằng xảy ra khi

.

 x = 16

 x = 16
⇔
 2
2
 y + 1 = 3  y = 8

( I ) ⇔ 
Do đó:

.

( 1)
Thay vào phương trình

ta thấy thỏa mãn.
P = t 2 − 16t + 2 2 = ( t − 8 ) − 64 + 2 2 ≥ −64 + 2 2
2

x0 = 16, y0 = 2 2

Suy ra
⇒ m = −64 + 2 2

và
.

m ∈ ( −62; −60 )

Vậy

.

* Cách khác:

a = y2 +1 ≥ 1

Đặt

( 1)

. Khi đó hệ phương trình trở thành:

⇔ a 2 − 2a + 1 =

x ( 32 − x ) ≤

 32 x − x 2 = a 2 − 2a + 1
( 1)

3
 48 x 2 − 2 x3 = 2a 2 − 20a + 58 ( 2 )

x + 32 − x
= 16 ⇔ a ∈ −5;3
[
]
2

( 2 ) ⇔ 2a 2 − 20a + 58 = 3 x.x ( 48 − 2 x )

≤

.

x + x + 48 − 2 x
= 16 ⇔ a ∈ 3; 7
[ ]
3

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

13

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Suy ra:

 a = 3 ⇒  x = 16


 y = 2 2
 x = 16

.
P = t 2 − 16t + 2 2 = ( t − 8 ) − 64 + 2 2 ≥ −64 + 2 2
2

x0 = 16, y0 = 2 2

Do đó:

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

và

⇒ m = −64 + 2 2

.

m ∈ ( −62; −60 )

Vậy

.

Email:

( x; y )

Câu 10. Giả sử

là nghiệm của hệ phương trình

2 xy − y + x + y = 5

 5− x + 1− y = 1

.Khi đó giá trị của biểu thức

P = y x 2 + 1 − x y 2 + 1 − xy + 2x

thuộc khoảng nào dưới đây?
(−17; −15)

A.

( −3; −1)

.

B.

(4;6)

.

C.

(18; 20)

.

D.

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc DiệpTên FB: Nguyễn Ngọc Diệp
Chọn C
x ≤ 5, y ≤ 1, xy − y ≥ 0

Điều kiện của hpt:

.

Xét 2 trường hợp:

TH1
: Nếu

x < 1

1 − x > 0
⇔

 y < 0 − y > 0

.

2 xy − y + x + y = 5 ⇔ − x − 2 xy − y − y = −5 ⇔ 1− x − 2 (− y)(1− x) + (− y) = −4

Khí đó:
2
⇔ ( 1− x − − y) = −4 < 0 ⇒

Hệ pt đã cho vô nghiệm.

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

14


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

TH 2
: Nếu

x ≥ 1
 x −1 ≥ 0
⇔

y ≥ 0 y ≥ 0

. Khí đó:

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

2 xy − y + x + y = 5 ( x − 1) + 2 (x − 1)y + y = 4
⇔

 5− x + 1− y = 1
 5− x + 1− y = 1

( x − 1+ y)2 = 4  x − 1+ y = 2
⇔
⇔
 5− x + 1− y = 1  5− x + 1− y = 1
 x − 1 = 2 − y
 x = 5− 4 y + y
⇔
⇒
⇒ 1− y + 2 y = 1⇔ 4 y − y2 = −3y
 5− x = 1− 1− y − x = −3− 2 1− y − y

−
 3y ≥ 0
⇔
⇔ y= 0
2
2
16(y− y ) = 9y

y = 0⇒ x = 5

. Với

x = 5, y = 0

. Thử lại với

vào hpt đã cho thấy thõa mãn.

x = 5, y = 0 ⇒ P = 5

. Chọn câu C.
Email:
Ý kiến phản biện: các giải trên quá dài, nếu ta để ý khi bình phương phương trình thứ hai của hệ
ta sẽ có được biểu thức của phương trình thứ nhất, nên ta biến đổi
5− x + 1− y = 1 ⇔

(

5− x + 1− y

)

2

= 1⇔ 5− x − y + 2 (5− x)(1− y) = 0

 xy = y
 x = 5; y = 0

⇔ 2 xy − y + 2 (5− x)(1− y) = 0 ⇔ 
⇔
(5− x)(1− y) = 0  x = y = 1(loai )
 x + 1 + ( x + 1) ( y − 2 ) + x + 5 = 2 y + y − 2

( x, y ∈ ¡
 ( x − 8 ) ( y + 1)
= ( y − 2) x + 1 − 3
 2
 x − 4x + 7

(

Câu 11. Biết rằng hệ phương trình

( x ; y ) ,( x ; y )
1

1

2

x1 < x2

2

nghiệm

)

x2 + y1 =

với
. Biểu diễn
a + b+ c = ?
là số nguyên tố. Khi đó,
A.

42.

B.

36

.

C.

41

a+ b
c

.

)
có hai

a, c
trong đó

D.

là các số nguyêndương, b

48

.

Lời giải
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

15


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Tác giả: Ngô Gia Khánh,Tên FB: Khánh Ngô Gia

 x + 1 + ( x + 1) ( y − 2 ) + x + 5 = 2 y + y − 2

 ( x − 8 ) ( y + 1)
= ( y − 2) x + 1 − 3
 2
 x − 4x + 7

(

)

(1)
(2)

x ≥ −1; y ≥ 2

Điều kiện

.

x + 1 = u; y − 2 = v ( u , v ≥ 0 )

Đặt

, khi đó (1) trở thành:

u + uv + u 2 − 1 + 5 = 2 ( v 2 + 2 ) + v ⇔ u − v + uv − v 2 + u 2 − v 2 = 0
⇔ ( u − v ) ( 1 + 2u + v ) = 0
⇔u=v

u, v ≥ 0 ⇒ 1 + 2u + v > 0

(do

⇒ x +1 =

)
y−2 ⇔ y = x+3
.

Thế vào (2) ta được:

( x − 8) ( x + 4)
x − 4x + 7
2

= ( x + 1)

x = 8
⇔  x+4
 2
=
 x − 4 x + 7

(

)

x +1 − 3 ⇔

( x − 8) ( x + 4 ) ( x + 1) ( x − 8)
x2 − 4 x + 7

=

x +1 + 3

x +1
( 3)

x +1 + 3

x = 8 ⇒ y = 11

+

+

( thỏa mãn điều kiện)

( 3) ⇔ (

⇔

(

)

x + 1 + 3 ( x + 4 ) = ( x + 1) ( x 2 − 4 x + 7 )

)(

x +1 + 3 


x +1

)

2

2
+ 3 = ( x − 2 ) + 3 . ( x − 2 ) + 3




f ( t ) = ( t + 3) ( t 2 + 3)
Xét hàm số

với

(4)

t∈¡

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

16


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

f ( t)

f ' ( t ) = 3 ( t + 1) ≥ 0 ∀t ∈ ¡
2

Có

nên

( 4) ⇔

f

(

đồng biến trên

Do đó

( x; y )
Hệ đã cho có nghiệm

( thỏa mãn điều kiện)

Theo giả thiết

 5 + 13 11 + 13 
;

÷
÷
2
 2


( 8;11)
là

x2 = 8; y1 =

.

x ≥ 2
x +1 = x − 2 ⇔ 
2
 x + 1 = x − 4x + 4

)

x +1 = f ( x − 2) ⇔

x ≥ 2
5 + 13
⇔ 2
⇔x=
2
 x − 5x + 3 = 0

¡

và

11+ 13
27+ 13
⇒ x2 + y1 =

2
2

.Chọn A

Email:
( x0 ; y0 ) = ( a + b c ; d + e c )

Câu 12. Gọi

c
(với là số nguyên tố) là nghiệm của hệ phương trình

 x 3 + 2 y 3 + x ( y 2 + 1) + 2 y ( x 2 + 1) = 0
 2
 y = (1 − x + 3 y )( x + 3 y − 2 y + 2)

Tính gía trị của biểu thức
A.

P = −16.

(1)
(2)
.

P = a + b − e.

B.

P = −6 ×

C.

P = −2 ×

D.

P = 1.

Lời giải
Tác giả: Hồ Minh TườngTên FB:Hồ Minh Tường
Chọn C

Điều kiện:

Ta có

x + 3y ≥ 0

y ≥ 0

.

 x2 + y2 + 1 = 0
<=>

(1) <=> x 2 ( x + 2 y ) + y 2 ( x + 2 y ) + ( x + 2 y ) = 0 <=> ( x + 2 y )( x 2 + y 2 + 1) = 0
 x = −2 y

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

17


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x2 + y 2 + 1 = 0
* Xét

vô nghiệm.
2

 y 
y
y = (1 − y )( y − 2 y + 2) <=> 
+2
÷ =
1
−
y
1
−
y


2

x = −2 y

* Xét

thế vào (2) ta được

y =1

(

không là nghiệm)

 y
 1 − y = −1 <=> y − y + 1 = 0 (vn)

<=> 
 y = −1 − 3 (vn)
y

= 2 <=> 
1 − y
 y = −1 + 3 => y0 = 4 − 2 3 → x0 = 4 3 − 8 → P = −2

Chọn C

Email:

Câu 13. Cho hệ phương trình

( x + y ) x − y + 2 = x + 3 y + 2

( 1)

( x − y ) x − y + 2 = ( x + y + 1) x + y − 2 ( 2 )

( x0 ; y0 )
Biết hệ trên có nghiệm duy nhất
A.

1

B.

x0 + y0
khi đó tổng

2

C.

3

bằng
D.

4

Fb: Lê hoA.
Lời giải.
Chon C

Điều kiện:

x − y + 2 ≥ 0 x ≥ y − 2
⇔
( *)

x + y − 2 ≥ 0 x + y ≥ 2

.

Ta có

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

18


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

( 1) ⇔ ( x + y ) (

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x− y−2
= − ( x − y − 2)
x− y+2+2

)

x − y + 2 − 2 = −x + y + 2 ⇔ ( x + y )



x+ y
⇔ ( x − y − 2) 
+ 1÷ = 0
 x− y+2+2 ÷



x+ y
+ 1 > 0 ∀x, y
x− y+2+2

⇔ x= y+2
(do

thoả mãn (*)).

4 = ( 2 y + 3) 2 y
Thay vào (2) ta được :

t = 2y ≥ 0
. Đặt

, ta có

4 = t 3 + 3t ⇔ ( t − 1) ( t 2 + t + 4 ) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ 2 y = 1 ⇔ y =

Vậy hệ có nghiệm

5 1
 ; ÷.
2 2

1
5
⇒x= .
2
2

x0 + y0 = 3
Ta có

suy ra chọn C

Email:
Câu 14. ( đã xóa do trùng bài)
Câu 15. ( đã xóa do trùng bài)
Email:

Câu 16. Biết rằng hệ

 1 + x1 + 1 + x2 + L + 1 + x2018 = 2018.2019

 1 − x1 + 1 − x2 + L + 1 − x2018 = 2017.2018

ai
, i = 1, 2018
bi

các
A.

S =0

S=

có một nghiệm là

B.

S =1

.

C.

với

a1 a2
a
+ + L + 2018
b1 b2
b2018

là các phân số tối giản. Tính tổng
.

 a1 a2

a2018 
 ; ;..;
÷
b2018 
 b1 b2

S = 2018

?
.

D.

S = 2019

.

Lời giải
Tác giả:: Nguyễn Thanh Dũng,Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng
Chọn B
−1 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2018

Điều kiện

. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

19

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

2018.2019 =

(

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

1 + x1 + 1 + x2 + L + 1 + x2018

)

2

≤ ( 1 + 1 + L + 1) ( 1 + x1 + 1 + x2 + L + 1 + x2018 )
+)
⇔ 2018.2019 ≤ 2018 ( 2018 + x1 + x2 + L + x2018 )

⇔ x1 + x2 + L + x2018 ≥ 1
(1)
1 + x1 = 1 + x2 = L = 1 + x2018 ⇔ x1 = x2 = L = x2018
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2017.2018 =

(

1 − x1 + 1 − x2 + L + 1 − x2018

)

2

≤ ( 1 + 1 + L + 1) ( 1 − x1 + 1 − x2 + L + 1 − x2018 )
+)
⇔ 2017.2018 ≤ 2018  2018 − ( x1 + x2 + L + x2018 ) 

⇔ x1 + x2 + L + x2018 ≤ 1
(2)
1 − x1 = 1 − x2 = L = 1 − x2018 ⇔ x1 = x2 = L = x2018
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x1 + x2 + L + x2018 = 1
Từ (1) và (2) cho ta

. Do đó hệ đã cho tương đương với hệ sau

 x1 + x2 + L + x2018 = 1
1
⇔ x1 = x2 = L = x2018 =

2018
 x1 = x2 = L = x2018

Vậy

S =1

.

Ý kiến phản biện: Với câu hỏi như trên không nhất thiết phải giải bước cuối tìm nghiệm. mặt khác
trong chương trình lớp 10 không trình bày BĐT Bunhia tổng quát
GV: PHẠM HỮU ĐẢO - FB: Hữu Hữu Đảo

(

Câu 17. Cho hệ phương trình:

)(

)

 x + x 2 + 1 2 y + 4 y 2 + 1 = 1 (1)


 x 2 − 6 x − 2 = 8 − 2 y
(2)

( x1; y1 )
có 2 cặp nghiệm

( x2 ; y2 )
và

. Tính

T = x1 + x2 + y1 + y2
.

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

20


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

T=

A.
T=

C.

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

12 + 3 5 − 41
4

T=

12 + 3 5 + 41
4

T=

12 − 3 5 + 41
4

B.

12 − 3 5 − 41
4

D.

y≤4

LG:ĐK

( x+

)(

)

x2 + 1 2 y + 4 y 2 + 1 = 1 ⇔ x + x2 + 1 =

⇔ x + x2 + 1 =

4 y2 +1 − 2 y

(

4 y2 +1 + 2 y

⇔ x + x 2 + 1 = ( −2 y ) +

)(

( −2 y )

2

4 y2 +1 − 2 y

1
2 y + 4 y2 + 1

)

+1

Đặt: t=-2y

Ta được

⇔ x + x2 + 1 = t + t 2 + 1

CáCh 1: (Lớp 10)
x + x2 + 1 = t + t 2 + 1 ⇔ ( x − t ) +

(

)

x2 + 1 − t 2 + 1 = 0





x2 − t 2
⇔ ( x −t) + 
= 0 ⇔ ( x − t ) 1 +
÷
2
2
 x +1 + t +1 



=0
x2 + 1 + t 2 + 1 
x+t

 ( x 2 + 1 + x) + ( t 2 + 1 + t ) 
⇔ ( x −t) 
=0
x2 + 1 + t 2 + 1


⇔ x=t

x 2 + 1 > x ≥ x ∀x ∈ R ⇒ x 2 + 1 + x > 0; TT : t 2 + 1 + t > 0)

( do

x = t ⇔ x = −2 y

.

CáCh 2: (Lớp 12)
x + x 2 + 1 = t + t 2 + 1 ⇔ f ( x) = f (t )

Xét hàm số: f(z)=

z + z2 +1

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

21


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

1+
f '(z)=

z
z2 +1

=

z2 +1 + z
z2 +1

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

> 0 ∀z ∈ R
. Suy ra hàm số f(z) đồng biến trên R

f ( x) = f (t ) ⇔ x = t ⇔ x = −2 y

do đó:
y=−

Thay:

x
2

vào pt(2) ta được

x2 − 6x − 2 = x + 8

(*)

CáCh 1: Casio dùng shift solve 2 lần nhẩm 2 nghiệm và gán vào 2 biến, Tính y theo x.
CáCh 2:

x2 − 6x − 2 = x + 8

(*)

⇔ ( x 2 − 5 x − 4) − ( x − 2) + x + 8  = 0
Xét: để nhân liên hợp
 x ≥ 2
x ≥ 2
5 + 41
( x − 2) − x + 8 = 0 ⇔ x + 8 = x − 2 ⇔ 
⇔x=

2 ⇔  2
2
 x − 5x − 4 = 0
 x + 8 = ( x − 2 )
Thử vào phương trình (*) không thỏa mãn.

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

22


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

( x − 2) − x + 8 ≠ 0 ⇔ x ≠

Xét:

5 + 41
2

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

thì trình (*)

( x − 2) + x + 8  ( x − 2) − x + 8 

 =0
⇔ ( x 2 − 5 x − 4) − 
( x − 2) − x + 8
x2 − 5x − 4

⇔ ( x − 5 x − 4) −
=0
( x − 2) − x + 8
2



1
⇔ ( x 2 − 5 x − 4) 1 −
=0
 ( x − 2) − x + 8 
 x −3− x +8 
⇔ ( x 2 − 5 x − 4) 
=0
(
x
−
2)
−
x
+
8



5 − 41
5 − 41
5 + 41
⇒ y1 = −
(loai x =

)
2
 x1 =
 x − 5x − 4 = 0
2
4
2
⇔
⇔

7+3 5
7+3 5
 x − 3 − x + 8 = 0
⇒ y2 = −
 x2 =

2
4

T=

12 + 3 5 − 41
4

chọn đáp án A

Ý kiến phản biện: Các trình bày trên quá dài, có thể trình bày liên hợp ngược cho đơn giản

⇔ ( x 2 − 5 x − 4) − ( x − 2) + x + 8  = 0 ⇔ ( x − 2) 2 − ( x + 8)  − ( x − 2) + x + 8  = 0
 x +8 = 2− x

⇔
 x + 8 = x − 3
…………
Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Nga
Email:

Câu 18. Tìm số nghiệm của hệ phương trình
A. 0

FB: nguyennga

 x + y − xy = 1
 2
2
 x + 3 + y + 3 = 4

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

23


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

xy ≥ 0

ĐK

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

⇒ x+ y >0

, ta thấy từ pt thứ nhất

u=

x ≥ 0, v =

x ≥ 0, y ≥ 0

, do đó

. Từ đó ta đặt

y ≥0

thay vào hệ ta được
2
u 2 + v 2 − uv = 1
( u + v ) = 1 + 3uv
⇔
 4
4
 u + 3 + v + 3 = 4

u 4 + v 4 + 6 + 2 3u 4 + 3v 4 + u 4 v 4 + 9 = 16

( u + v ) 2 = 1 + 3uv

⇔
2
2
2
2
 ( u + v ) − 2uv  − 2u 2v 2 + 2 u 4v 4 + 3 ( u + v ) − 2uv  − 6u 2v 2 + 9 = 10




1 + 3uv = ( u + v ) ≥ 4uv ⇒ uv ≤ 1
2

t = uv ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

Đặt
(vì
vào phương trình thứ hai ta được

). Thế từ phương trình thứ nhất của hệ trên

(

) (

4 t 4 − 3t 2 + 6t + 12 = t 2 − 2t + 9

2 t − 3t + 6t + 12 = t − 2t + 9 ⇔ 
t 2 − 2t + 9 ≥ 0
4

2

2

⇔ 3t 4 + 4t 3 − 34t 2 + 60t − 33 = 0 ⇔ ( t − 1) ( 3t 3 + 7t 2 − 27t + 33) = 0

+) Nếu

t = 1 ⇔ uv = 1

ta có

)

2

.

u + v = 2
u = 1  x = 1
⇔
⇔

uv = 1
v = 1
y = 1

3t 3 + 7t 2 − 27t + 33 = 0 ⇔ 3t 3 + 7t 2 + 6 + 27 ( 1 − t ) = 0

+) Nếu

vô lí vì

0 ≤ t ≤1

( x; y ) = ( 1;1)
Kết luận nghiệm của hệ là
Câu 19. ( đã xóa do trùng bài)
Họ tên: Đinh Thị Duy Phương

Email:

FB : Đinh Thị Duy Phương

Câu 20. Tìm số nghiệm của hệ phương trình:

 x 12 − y + y ( 12 − x 2 ) = 12 ( 1)


 x3 − 8 x − 1 = 2 y − 2
( 2)

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

.
24

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

A.

1

B.

2

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

C.

3

D.

0

Lời giải
Chọn A

Điều kiện:

( 1)
2 ≤ y ≤ 12
2

⇒
12
−
y
12
−
x
≥
0
⇒
x≥0
(
)

2
0
≤
12
−
x
≤
12


Khi đó

( 1) ⇔ 12 ( x 2 + y ) − 2 x 2 y + 2

Đặt

x 2 y 144 − 12 ( x 2 + y ) + x 2 y  = 144

2

x + y = u
 2

x y = v

Ta có:

12u − 2v + 2 v ( 144 − 12u + v ) = 144
⇔ v ( 144 − 12u + v ) = 72 − 6u + v
⇔ 144v − 12uv + v 2 = 722 + 36u 2 + v 2 − 72.12u − 12uv + 144v

72 − 6u + v ≥ 0 ( * )
với

⇔ 36u 2 − 72.12u + 722 = 0
⇔ u 2 − 24u + 144 = 0 ⇔ u = 12

(thỏa (*))

y = 12 − x 2
Khi đó

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

25