HINH HOC KHONG GIAN HAYCO LOI GIAI CHI TIET

Trang 1


VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I.

CÁC ĐỊNH NGHĨA


Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0.
a  b � (a, b)  900





Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. a  ( ) � b �( ) : a  b
Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0.
( )  (  ) � (( ),( ))  900 .



Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.



Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường
thẳng a và mặt phẳng (α) bằng 90 0. Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì

góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt
phẳng (α).



Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
mặt phẳng đó.



Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng
(α) (trên đường thẳng ∆).



Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng
cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).



Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.



Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng đó.

II.

CÁC ĐỊNH LÝ THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG
Trang 2


a �b

�
�
1) a, b �( P) �� d  ( P)
d  a, d  b �
�

2)

d  ( P) �
�� d  a
a �( P ) �

3)

d  ( P) �
�� d '  ( P)
d '/ / d �

4)

( P ) / /(Q) �
�� d  (Q)
d  ( P) �

5)

d / /( P ) �
�� d '  d
d '  ( P) �

6)

d  ( P) �
�� ( P )  (Q )
d �(Q ) �

( P) �(Q)   �
�
8) ( P)  ( R)
��   ( R)
�
(Q)  ( R)
�

( P)  (Q)
�
( P) �(Q)   �
�
7)
�� d  (Q)
d �( P)
�
�

d 
�

a kh�
ng vu�
ng g�
c v�
i ( P)

9)

�
�
b �( P)
�
�� b  a
a ' l�h �
nh chi�
u c�
a a tr�n (P)�
�
b  a'
�

(ĐL ba đường vuông góc )

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng.
1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA  ( ABC )

a) Chứng minh rằng: BC  ( SAC )
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE  ( SBC )
c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB  ( P).
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: AF  ( SAB)
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. M và N lần lượt là hình
chiếu của A lên SB, SD.
a) CMR: AM  ( SBC ); AN  ( SCD );
b) CMR: BD  ( SAC )
Trang 3


c) CMR: MN / / BD; MN  ( SAC )
d) Gọi K là giao của SC với (AMN), CMR: tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.
3) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều, ( SAB)  ( ABCD ) .
Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: FC  ( SID )
4) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA  ( ABCD) , AD=2a,
AB=BC=a. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông.
5) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: MN  BD
6) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều, ( SAD )  ( ABCD) . Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng: AM  BP
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD  a 2 , SA  ( ABCD ) . Gọi M
là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: ( SAC )  ( SMB)
8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= a, BC = a 3 . Mặt bên SBC vuông tại B, SCD
là tam giác vuông tại D, SD= a 5
a) CM: SA  (ABCD)
b) Đường thẳng đi qua A và  AC, cắt các đt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là h/c của A
lên SC. Xđ các giao điểm K, L của SB, SD với mp (HIJ). CMR: AK  (SBC), AL
(SCD)
9) Cho tứ diện ABCD có SA  (ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC và SBC. CMR:

a) AH, SK, BC đồng quy
b) SC  (BHK); (SAC)  (BHK)
c) KH  (SBC); (SBC)  (BHK)
Dạng 2. Bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng
10)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( SAB)  ( ABCD), H là trung điểm của
AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD
11) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA  a 6 . Tính sin của góc giữa:
a) SC và (SAB)
b) AC và (SBC)
12)Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
Trang 4

2a 3
. Tính góc giữa SA và mp(ABC)
3


13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a,
SA  a, SB  a 3,( SAB )  ( ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính cosin của góc
giữa hai đường thẳng SM và DN?
14) Cho hình chóp S.ABC, SA  ( ABC )
a) Xác định góc giữa (ABC) và (SBC)
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B xác định góc giữa hai mp (ABC) và (SBC)

15)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và SA = SB = SD =

a 3
2

a) CMR: (SAC)  (ABCD)
b) CMR SB  BC
c) Tính tan của góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)
16)Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuông góc, ABCD là hình vuông
cạnh a, tam giác SAB cân tại S. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC
a) Chứng minh DC  (SMN)
b) Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)
c) Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)
17)Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA và CD. Cho biết MN tạo với (ABCD) góc 600.
a) Tính MN và SO
b) Tính góc giữa MN và (SBD)

Dạng 3. Bài toán xác định khoảng cách từ một điểm điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song, khoảng cách giưa hai đường thẳng chéo nhau.
18) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD ) , SA=2a,
a) Tính d ( A,( SBC ))
b) Tính d ( A,( SBD ))
19) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, ( SAB)  ( ABCD) .
Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính d ( I ,( SFC ))
Trang 5


20) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, AB  a, AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc
của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính d ( B ',( A ' BD))
21) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, �
ABC  300 , SBC là tam giác đều
cạnh a, ( SBC )  ( ABC ) . Tính d (C ,( SAB ))

22) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a,

SD  ( ABCD ) , SD=a.
a) Tính d ( D,( SBC ))
b) Tính d ( A,( SBC ))
23) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a,

�  300 . Tính d ( B,( SAC ))
( SBC )  ( ABC ), SB  2a 3, SBC
24) Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a. Tính d ( AB, CD)
25) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, SH  ( ABCD), SH  a 3 . Tính d ( DM , SC )
26) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA ' 

a 2
. Tính
2

d ( AB, CB ')
27) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a 2 . Tính

d ( AD, SB )
28) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD)
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính d ( SA, BD )
29) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và
song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0. Tính d ( AB, SN )
30) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a. Gọi M là
trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính d ( A,( IBC ))

�  1200 . Tính d ( A,( SBC ))
31) Cho hình chóp SABC, SA  3a, SA  ( ABC ), AB  2a, ABC

Trang 6


�  900 , BA=BC=a, AD=2a,
32) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , �
ABC  BAD
SA  ( ABCD) , SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD
vuông và tính d ( H ,( SCD ))
33) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA=BC=a,

AA '  a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính d ( AM , B ' C )
34) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, E là điểm đối xứng với D
qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng: MN  BD
. Tính d ( MN , AC )

Phần 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN GHI NHỚ
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CẦN GHI NHỚ LÀM CƠ SỞ ĐỂ TÍNH TOÁN
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Khi đó ta có:
 AB2  AC 2  BC 2

 AB2  BC.BH , AC 2  BC.CH



1
1
1



2
2
AH
AB
AC 2

b) Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c.
 Định lý cosin: a2=b2  c2 �2bc.cosA; b2  c2  a2  2ca.cosB; c2  a2  b2  2ab.cosC
 Định lý sin:

a
b
c


2 R
sin A sin B sin C

 Công thức trung tuyến: ma2 

b2  c2 a2
c2  a2 b2
a2  b2 c2
 ; mb2 
 ; mc2 

2
4
2

4
2
4

2. Công thức diện tích
a) Tam giác:
1
2
abc
 S
4R

1
2

1
2

1
2

 S  a.ha  b.hb  c.hc
 S  pr

 ABC vuông tại A:

1
2

1

2

 S  bc sin A  ca. sin B  ab sin C
 S  p p  a  p  b  p  c

2S  AB.AC  BC.AH
Trang 7


 ABC đều cạnh a:

S

a2 3
4

b) Hình vuông:
S = a2
c) Hình chữ nhật: S = a.b
�
d) Hình bình hành:S = AB.AD.sinBAD
e) Hình thoi:
f) Hình thang:

(a: cạnh hình vuông)
(a, b: hai kích thước)

1
�
S  AB.AD.sinBAD

 AC.BD
2
1
S   a  b .h
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1
2

g) Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc: S  AC.BD
3. Thể tích khối chóp
1
V  S�a�
.h (trong đó S�a�
y là diện tích đáy, h là chiều cao)
3 y
B. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 CẦN NHỚ ĐỂ HỌC HÌNH
KHÔNG GIAN LỚP 12.
§1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa

Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song
với nhau nếu chúng không có điểm nào
chung.

a

a/ /(P) � a�(P)  �

(P)

II.Các định lý
ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên
mp(P) và song song với đường thẳng a nằm
trên mp(P) thì đường thẳng d song song với
mp(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với
mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P)
thì cắt theo giao tuyến song song với a.

d

�d �(P)
�
�d/ /a � d/ /(P)
�a �(P)
�

a
(P)

(Q)

�a/ /(P)
�
� d/ /a
�a �(Q)
�(P) �(Q)  d
�

Trang 8

a
d

(P)


ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng
song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng song song với đường thẳng
đó.

�(P) �(Q)  d
�
� d/ /a
�(P)/ /a
�(Q)/ /a
�

d
a
Q

P

§2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là song song với

nhau nếu chúng không có điểm nào chung.

(P)/ /(Q) � (P) �(Q)  �

P
Q

II. Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b
cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.

ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong
hai mặt phẳng song song thì song song với
mặt phẳng kia.

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song
song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì
phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng
song song.

�a,b �(P)
�
� (P)/ /(Q)
�a�b  I
�a/ /(Q),b/ /(Q)
�

a
P b I

Q

a

�
(P) / /(Q)
� a/ /(Q)
�
a
�
(P)
�

P
Q

R

�
(P) / /(Q)
�
(R) �(P)  a � a/ /b
�
�
(R) �(Q)  b
�

§3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:

Trang 9

P
Q

a
b


Một đường thẳng được gọi là vuông góc
với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.

a  mp(P) � a  c,c �(P)

a

c

P

II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm
trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc
với mp(P).

d

�d  a ,d  b

�
�a ,b �mp(P) � d  mp(P)
�a,b ca�
t nhau
�

a

P

ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường
thẳng a không vuông góc với mp(P) và
đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều
kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b
vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

b

a

a  mp(P),b �mp(P)
b  a � b  a'
a'

P

b

§4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường
thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác
thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Q
a

�a  mp(P)
� mp(Q)  mp(P)
�
a
�
mp(Q)
�

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông
góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào
nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến
của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt
phẳng (Q).

P

P

�(P)  (Q)
�
�(P) �(Q)  d � a  (Q)
�a �(P),a  d

�

Trang 10

a

d

Q


ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông
góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì
đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc
với (Q) sẽ nằm trong (P)

P
a
A

�
(P)  (Q)
�
A �(P)
�
� a �(P)
�
A �a
�
�

a  (Q)
�

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba.

Q

P

�(P) �(Q)  a
�
�(P)  (R) � a  (R)
�(Q)  (R)
�

R

§5. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1 mặt
phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt
phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là
hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

O
H

a

O

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

H

P

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
a

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là
khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).

P

O

H

d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

O

P

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt

phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
d(a;b) = AB

Q

a

b

§6. GÓC
Trang 11

H

A

B

a

Q


a

1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần

lượt cùng phương với a và b.

a'

b'

b

2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P)

a

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc
giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.

a'

P

3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng
vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

Q

P

a

P

4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong
mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì

b

a

b

Q

S

S'  Scos
(trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’))

A

C


B

Phần 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP CỤ THỂ
Dạng 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY (Với khối chóp loại này đường cao
chính là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy)

1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với

đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp.
Trang 12


2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt

bên (SCD) hợp với đáy một góc 60 o.Tính thể tích hình chóp SABCD và khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SCD).
3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với

đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình chóp .
4. Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a. Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với

(SBC). Tính thể tích hình chóp.
5. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC=2a, �
BAC  120o , biết SA  (ABC) và

mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC.
6. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a ,
SA  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD.
7. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60 o và SA  (ABCD).

Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD.
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với

�  300 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
đáy, SA = AB = a, góc SDA
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông với đáy, góc giữa SC và (SAB) bằng

450. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.Tính thể tích khối chóp G.ABCD.
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD),

góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 45 0. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
(THPT QG 2015)
11. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B , �
ABC  1200 , AB  a , SB vuông góc với

mặt phẳng  ABC  , góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  ABC  bằng 450 . Gọi M là trung điểm của
AC và N là trung điểm của SM . Tính theo a thể tich khối chóp S . ABC và khoảng cách từ C đến
mặt phẳng  ABN  .

(dự bị THPT QG 2015)

12. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là

trung điểm của BC và CD, góc giữa (SMN) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
13. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và có độ dài là a 3 , cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp và diện
tích toàn phần của hình chóp.
14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA ( ABCD) và SA=a.

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) với M là
trung điểm của CD.
Trang 13

15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a. AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với

đáy, góc giữa SB và mặt đáy là 450.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AHKD.
16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a biết SA vuông góc

với đáy và SC hợp với (SAB) một góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB  BC  a , CD  2a , SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA  a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ

điểm D đến mặt phẳng (SBC).
18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = AC = a, AD = 2a,

SA vuông góc với đáy và (SCD) hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
19. Cho hình chóp S.ACB có đáy ABC là tam giác vuông cân ( BA  BC ) , cạnh SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và có độ dài bằng a 3 , cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp
S.ABC và diện tích toàn phần của hình chóp.
20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. Đường SD tạo với mặt phẳng ( SAB) một góc 300 . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo a .
� = 300, SA = AC = a và SA vuông góc với
21. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC

mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và

(SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
23. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a, SB
hợp với đáy một góc 300 .Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA  (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN).
25. Hình không gian Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC) ,

SA=AB=a; BC=a 3 . Gọi I là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối
tứ diện GSIC.
26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SB = a 3 , gọi M là trung điểm

AD. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AB.
27. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 450 và SC  2a 2 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD
và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SCD  theo a .

Trang 14


28. Hình không gian Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC) ,

SA=AB=a; BC=a 3 . Gọi I là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối
tứ diện GSIC.
29. Cho hình chóp S . ABCD có SC  ( ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và �
ABC  1200.

Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và ( ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp
S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD.
30. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , BC  3a , AC  a 10 . Cạnh bên SA vuông

góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng  SBC  và mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a , biết M là điểm trên đoạn BC
sao cho MC  2MB .

31. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC đều cạnh

bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN).
32. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc

giữa SC và mặt đáy bằng 450 . Gọi E là trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng DE và SC theo a.
�  600 , cạnh bên SA vuông
33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  2a , BAC

góc với mặt phẳng đáy và SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,CM.
34. Trong không gian cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BC = 3a, AC  a 10 , cạnh

bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích
khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a, biết M là điểm trên đoạn
BC sao cho MC = 2MB.
35. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật có

AD

= 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 0. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC).

Trang 15


36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a , AD  2a , SA  ( ABCD ) . Tính

theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung
điểm của CD biết góc giữa SC và mặt phẳng chứa đáy là  với tan  

1
5

Dạng 2: KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY.
Chú ý: Đối với khối chóp này thì đường cao của tam giác nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hạ từ
đỉnh của khối chóp) chính là chiều cao của khối chóp.
37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với
trung điểm cạnh AB. Tính thể tích khối chóp SABCD.
38. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)  (BCD) và

AD hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD.
39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cóBC = a. Mặt bên SAC vuông góc

với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Chứng minh rằng chân đường cao khối
chóp trùng với trung điểm cạnh AC. Tính thể tích khối chóp SABC.
40. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45 o. Tính thể
tích của SABC.
�  90o ;ABC
�  30o ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB)  (ABC). Tính
41. Cho hình chóp SABC có BAC

thể tích khối chóp SABC.
42. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , D SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông

góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD.
43. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB  (ABCD) , hai mặt

bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD.
44. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a; AB =2a, D SAB

đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD .
45. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và D SAD vuông cân tại S ,

nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD.
46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và

vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên

mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng
Trang 16


(ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BD.
48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB là điểm H
thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Gọi I là giao điểm của HC và BD. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a, góc �BAD  1200 .Mặt bên (SAB)

có SA  a, SB  a 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích

hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAB).
50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết SD  2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng
(ABCD) bằng 300 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SAC).
51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng (ABCD). Biết AC 2a, BD 4a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AD và SC.
52. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  a 2 , tam giác SAB cân

tại S và mặt phẳng ( SAB) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Biết góc giữa mặt phẳng ( SAC ) và
mặt phẳng ( ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD . Gọi H là trung điểm cạnh AB tính
góc giữa hai đường thẳng CH và SD.
53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy,
tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.
54. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng
  600 . Xác định rõ góc  và tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
55. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; AC = 2a. Mặt bên (SBC) là tam

giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc giữa hai mặt (SAB) và (ABC)
bằng 300. Tính thể tích khối chóp SABC và khoáng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a.
56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , hình chiếu vuông góc của S

lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB . Góc tạo bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy bằng
450 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) .

Trang 17


3a
. Hình chiếu vng góc H của đỉnh
2
S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Tính theo
a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD .

57. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SD 

58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a. Góc

giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung điểm của AD, M là trung điểm của
SC, biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD).

Dạng 3: KHỐI CHĨP ĐỀU
Chú ý: Đối với khối chóp này thì chiều cao chính là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của mặt đáy.
59. Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường

cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
60. Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Tính thể tích khối chóp SABCD.
61. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.

Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC), Suy ra thể tích hình chóp MABC.
62. Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a và cạnh bên hợp với đáy ABC một góc 60 o. Tính thể

tích khối chóp.
63. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60 o. Tính thể tích

khối chóp SABC.
64. Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45 o và khoảng cách từ chân đường cao
của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chóp.
65. Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác
3
đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng V  9a 2 .

2

66. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

2a, cạnh bên SA = a 5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với
mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C và D. Tính thể tích của khối đa
diện ADD.BCC.
67. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là
trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN  BD và
tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
68. (Dự bị D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 5a.
Trang 18


Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của
SH đến mặt phẳng (SBC) bằng a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
69. Cho hình chóp đều A.BCD có AB  a 3; BC  a . Gọi M là trung điểm của CD. Tính thể tích khối

chóp A.BCD theo a và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, AD.
70. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60�. Gọi

M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt
phẳng (SMN).
Vấn đề 4. BÀI TẬP TỔNG HỢP (Về khối chóp trong các đề thi đại học, thi thử đại học)
�  600 , hình chiếu vng góc
71. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vng tại B, AB  a 3 , ACB

của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết SE  a 3 . Tính
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
�  600 , hình chiếu vng góc
72. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAC

của S trên mặt ( ABCD ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng  SAC  hợp với mặt
phẳng ( ABCD ) góc 600. Tính thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ B đến ( SCD ) theo a.
73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc , SO   ABCD  và SO 

3a
.
4

Gọi E là trung điểm CD, I là trung điểm DE. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ O
đến mp(SCD).
74. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a ,AD=a .Hình chiếu của S lên mặt

phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng 45 0. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD).
75. Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vng tại A , AB  AC  a , I là trung điểm của SC , hình

chiếu vng góc của S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của BC , mặt phẳng  SAB  tạo với đáy
1 góc bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S . ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SAB 
theo a .

76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 2a. Hình chiếu vng góc của S trên

mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng
(ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BD.
Trang 19


77. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên

mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD. Biết SA  a 2, AC  2a, SM 

5
a,
2

với M là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM và AC.
78. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng (ABCD). Biết AC 2a, BD 4a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AD và SC.
79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =

3a
, hình chiếu vuông góc của S
2

trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). (A-2014)

80. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a

và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA, BC. (D-2014)
81. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt

phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45°, SA = SB. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AC và SB. (A-2010)
82. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30°. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính
thể tích của khối chóp S.ABM theo a. (D-2011)
83. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a 2 , SA = SB = SC. Góc giữa

đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu
ngoại tiếp của khối chóp S.ABC theo a.
(D2012)
84. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy

một góc bằng 45°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
(SCD).
(D2013)
85. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC
theo a.
(A2010)
Trang 20

86. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB)

và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và
song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°. Tính thể tích
khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
(A-2011)
87. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)
bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
theo a.
(A2012)
88. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30°. SBC là tam giác đều cạnh a và

mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C
đến mặt phẳng (SAB).
(A-2013)
89. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a.
(B-2012)
90. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SCD).
(B-2013)

VẤN ĐỀ 2. THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1. Hình lăng trụ
Trang 21


Hình hợp bởi các hình bình hành A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2,…, AnA1A’nA’1 và hai miền đa giác A 1
A2…An, A’1A’2…A’n nằm trong hai mặt phẳng song song đươc goi là hình lăng trụ.
 Các hình bình hành A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2,…, AnA1A’nA’1 là các mặt bên.
 Hai miền đa giác A1A2…An, A’1A’2…A’n là hai mặt đáy.
 Các đoạn thẳng A1A1′,…, AnA’n là các cạnh bên.
 Các đoạn thẳng A1A2,…, A’1A’2 là các cạnh đáy.
 Ký hiệu hình lăng trụ: A1A2…An. A’1A’2…A’n .
Gọi tên lăng trụ theo tên các đa giác đáy: Lăng trụ tam giác (có đáy là tam giác), lăng trụ tứ giác (có đáy là
tứ giác),…

2. Hình lăng trụ đứng: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Suy ra: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
3. Hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ngoài ra, hình lăng trụ đều có
các tính chất của hình lăng trụ đứng.
4. Hình hộp

Hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
Nhận xét:
 Sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành.
 Mỗi mặt có một mặt song song với nó, hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
5. Hình hộp đứng: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Nhận xét: Trong hình hộp đứng có bốn mặt bên là hình chữ nhật.
6. Hình hộp chữ nhật: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Trang 22

Nhận xét: Tất cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
7. Hình lập phương: Hình lập phương là hình hộp có tất cả sáu mặt là hình vuông.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
I.

KHỐI LĂNG TRỤ, HÌNH HỘP CÓ CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY (LĂNG
TRỤ ĐỨNG, HỘP ĐỨNG).

1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và
biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối
lăng trụ này.

3. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích
và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.

4. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD'  a 6 . Tính thể tích
của lăng trụ.

5. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao
lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.

6. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a,
biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.
�  600
7. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a, ACB

biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.

8. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng
trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .
o
9. Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và �
BAD = 60 biết AB' hợp

với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích của hình hộp.

10. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên
(AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.
Trang 23


11. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy
(ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.

12. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và �
ACB  60o biết BC' hợp
với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o .Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'.

13. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA'
hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ .

14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD)
một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o .Tính thể tích của khối hộp chữ nhật.

15. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a,
biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.

16. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD)
một góc 60o. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một
góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

18. Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30 o
và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 .Tính thể tích hộp chữ nhật.

19. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt
(ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ.

20. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và �
BAC  120o
biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.

21. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các
trường hợp sau đây:
a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o.
b) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600.
c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a.

22. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính thể tích lăng trụ trong
các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
b) Tam giác BDC' là tam giác đều.
c) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450.
Trang 24

II.

KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN

Ví dụ 1. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3
và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A'
xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB =

3 AD = 7 .Hai mặt bên

(ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45 0 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh
bên bằng 1.
Bài 1. Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD
một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 2. Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với
đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ.
�  30o và biết cạnh bên AA' hợp với
Bài 3. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và BAD
đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.

Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều A,B,C
biết AA' =

2a 3
.Tính thể tích lăng trụ.

3

Bài 5. Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm
trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60 o .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'.
Bài 6. Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC 1
góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'.
Bài 7. Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên
ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
Trang 25