Các phương pháp hiệu chỉnh lặp newton kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
............***............

NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN

CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP
NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN
KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 9 46 01 12

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công
nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Nguyễn Bường
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS. Đỗ Văn Lưu

Phản biện 1: . . . . . .
Phản biện 2: . . . . . .

Phản biện 3: . . . . . .

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại
Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam vào hồi .... giờ ...’, ngày .... tháng .... năm 2018

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


Mở đầu

Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái như
quá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong
địa chất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp xỉ sóng, bài toán
quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải các bài toán dạng phương trình
toán tử sau (A. Bakushinsky và A. Goncharsky, 1994; F. Natterer, 2001;
F. Natterer và F. W¨
ubbeling, 2001):
A(x) = f,

(0.1)

trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào không
gian mêtric E và f ∈ E. Tuy nhiên, tồn tại một lớp bài toán trong số các
bài toán này mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu,
tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất
lớn của nghiệm. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Vì vậy,
yêu cầu đặt ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không

chỉnh sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được
càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Nếu E là không gian
Banach với chuẩn . thì trong một số trường hợp của ánh xạ A, bài toán
(0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn
Tikhonov:
Fαδ (x) = A(x) − fδ

2

+ α x − x+ 2 ,

(0.2)

cùng với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > 0 thích hợp, ở đây fδ
là xấp xỉ của f thỏa mãn fδ − f ≤ δ
0 và x+ là phần tử được chọn
trong E nhằm giúp cho ta tìm một nghiệm của (0.1) theo ý muốn. Nếu
A là một ánh xạ phi tuyến thì phiếm hàm Fαδ (x) nói chung là không lồi.
Do đó, không thể áp dụng những kết quả đã đạt được trong việc cực tiểu
phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu của Fαδ (x). Vì vậy, để giải bài
toán (0.1) với A là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đã đưa ra
một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên là phương


2

pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Năm 1975, Ya.I. Alber đã xây dựng
phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải bài toán (0.1) khi A là
ánh xạ phi tuyến đơn điệu như sau:
A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ .

(0.3)

Ta thấy, trong trường hợp E không phải là không gian Hilbert thì J s
là ánh xạ phi tuyến và do đó, (0.3) là bài toán phi tuyến, ngay cả khi
A là ánh xạ tuyến tính. Đây là lớp bài toán khó giải trong thực tế. Hơn
nữa, một vài thông tin của nghiệm chính xác, ví dụ như độ trơn, có thể
sẽ không được giữ nguyên trong nghiệm hiệu chỉnh vì ánh xạ J s xác định
trên toàn không gian nên ta không thể biết được nghiệm hiệu chỉnh nằm
đâu trong E. Vì vậy, vào năm 1991, Ng. Bường đã thay ánh xạ J s bằng
ánh xạ tuyến tính và đơn điệu mạnh B để đưa ra phương pháp:
A(x) + αB(x − x+ ) = fδ .

(0.4)

Trường hợp E ≡ H là không gian Hilbert thì phương pháp (0.3) có dạng
đơn giản nhất với s = 2. Khi đó, phương pháp (0.3) trở thành:
A(x) + α(x − x+ ) = fδ .

(0.5)

Năm 2006, Ya.I. Alber và I.P. Ryazantseva đã đưa ra sự hội tụ của
phương pháp (0.5) khi A là một ánh xạ J-đơn điệu trong không gian
Banach E dưới điều kiện ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của E liên tục yếu
theo dãy. Rất tiếc là lớp không gian Banach vô hạn chiều có ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy là quá nhỏ (chỉ có không gian lp ).
Năm 2013, Ng. Bường và Ng.T.H. Phương đã chứng minh được sự hội tụ
của phương pháp (0.5) mà không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Tuy nhiên, ta thấy, nếu A là ánh xạ phi
tuyến thì (0.3), (0.4) và (0.5) là các bài toán phi tuyến. Chính vì lí do đó,

một phương pháp ổn định khác để giải bài toán (0.1), có tên là phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đã được quan tâm nghiên cứu.
Phương pháp này được đề xuất bởi A.B. Bakushinskii vào năm 1976 để
giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu. Đây
là phương pháp hiệu chỉnh được xây dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng
trong giải tích số là phương pháp Newton-Kantorovich. Năm 1987, dựa
trên cơ sở phương pháp của A.B. Bakushinskii, để tìm nghiệm của bài


3

toán (0.1) trong trường hợp A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach
E vào không gian đối ngẫu E ∗ , I.P. Ryazantseva đã đưa ra phương pháp
hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich:
A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn .

(0.6)

Tuy nhiên, do phương pháp (0.6) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm thành
phần hiệu chỉnh nên nó có những hạn chế giống như phương pháp hiệu
chỉnh Browder-Tikhonov (0.3). Trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên
không gian Banach E, để tìm nghiệm của bài toán (0.1), cũng dựa trên
tư tưởng của phương pháp của A.B. Bakushinskii, năm 2005, Ng. Bường
và V.Q. Hùng đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich:
A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ ,

(0.7)

dưới các điều kiện

A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ ) , ∀x ∈ E
(0.8)
và
A (x∗ )v = x+ − x∗ ,

(0.9)

ở đây τ > 0, x∗ là nghiệm của bài toán (0.1), A (x∗ ) là đạo hàm Fréchet
của ánh xạ A tại x∗ , J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và v là phần
tử nào đó trong E. Ta thấy, các điều kiện (0.8) và (0.9) sử dụng đạo hàm
Fréchet của ánh xạ A tại nghiệm chưa biết x∗ nên chúng là hết sức chặt
chẽ. Năm 2007, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova đã chứng minh sự hội
tụ của phương pháp (0.7) đến nghiệm của bài toán (0.1) khi A là ánh xạ
đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert, khái
niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) dưới điều kiện là
A (x) ≤ 1, A (x) − A (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H, L > 0.

(0.10)

Nội dung thứ nhất của luận án này trình bày các kết quả mới về phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với
toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J-đơn điệu) trong không gian Banach
mà chúng tôi đạt được, trong đó đã khắc phục được các hạn chế của các
kết quả đã nêu ở trên.


4

Tiếp theo, ta xét bài toán:
Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗ ),

(0.11)

trong đó H là không gian Hilbert, A : H → 2H là ánh xạ đa trị và đơn
điệu cực đại. Một trong những phương pháp đầu tiên để tìm nghiệm của
bài toán (0.11) phải kể đến phương pháp điểm gần kề do B. Martinet giới
thiệu vào năm 1970 để tìm cực tiểu của một phiếm hàm lồi và được tổng
quát hóa bởi R.T. Rockafellar vào năm 1976 như sau:
xk+1 = Jk xk + ek , k ≥ 1,

(0.12)

trong đó Jk = (I + rk A)−1 được gọi là toán tử giải của A với tham số
rk > 0, ở đây ek là vectơ sai số và I là ánh xạ đơn vị trên H. Vì A là ánh
xạ đơn điệu cực đại nên Jk là ánh xạ đơn trị (F. Wang và H. Cui, 2015).
Do vậy, ưu điểm nổi bật của phương pháp điểm gần kề là đã đưa bài toán
đa trị về bài toán đơn trị để giải. R.T. Rockafellar đã chứng minh được
rằng phương pháp (0.12) hội tụ yếu tới một không điểm của ánh xạ A
dưới giả thiết tập không điểm của ánh xạ A khác rỗng,

∞
k=1

ek < ∞ và

rk ≥ ε > 0, với mọi k ≥ 1. Năm 1991, O. G¨
uler đã chỉ ra rằng phương pháp
điểm gần kề chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không
gian vô hạn chiều. Với mục đích đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên
của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực

đại trong không gian Hilbert (O.A. Boikanyo và G. Morosanu, 2010, 2012;
S. Kamimura và W. Takahashi, 2000; N. Lehdili và A. Moudafi, 1996; G.
Marino và H.K. Xu, 2004; Ch.A. Tian và Y. Song, 2013; F. Wang và H.
Cui, 2015; H.K. Xu, 2006; Y. Yao và M.A. Noor, 2008) cũng như của ánh
xạ J-đơn điệu trong không gian Banach (L.C. Ceng và đồng tác giả, 2008;
S. Kamimura và W. Takahashi, 2000; X. Qin và Y. Su, 2007; Y. Song,
2009) đã được nghiên cứu. Sự hội tụ mạnh của tất cả các cải biên này đều
được đưa ra dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số của toán tử giải của
ánh xạ A không khả tổng, tức là ∞
k=1 rk = +∞. Vì vậy, một câu hỏi đặt
ra là: có tồn tại một cải biên của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ
mạnh của nó được đưa ra dưới điều kiện dãy tham số của toán tử giải là
khả tổng, tức là ∞
k=1 rk < +∞? Để trả lời câu hỏi này, nội dung thứ hai
của luận án giới thiệu các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà
chúng tôi đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại


5

trong không gian Hilbert, trong đó sự hội tụ mạnh của các phương pháp
được đưa ra dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng.
Các kết quả thu được trong luận án là:
1) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của một cải biên mới của phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.6) của I.P. Ryazantseva để
giải bài toán (0.1) với A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào
không gian đối ngẫu E ∗ , trong đó đã khắc phục được các hạn chế như đã
nêu của phương pháp (0.6).
2) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich (0.7) để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường

hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E với việc đã loại bỏ
được các điều kiện (0.8), (0.9), (0.10) và không đòi hỏi tính liên tục yếu
theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J.
3) Đưa ra hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề để tìm không
điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, trong đó sự
hội tụ mạnh của các cải biên này được chúng tôi chứng minh dưới giả thiết
dãy tham số của toán tử giải là khả tổng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được bố cục
gồm ba chương. Chương 1 có tính chất bổ trợ, trình bày một số khái niệm
và tính chất trong không gian Banach, khái niệm về bài toán đặt không
chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Chương này cũng trình bày phương pháp
Newton-Kantorovich và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề để
tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert.
Chương 2 trình bày về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich
để giải phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến loại đơn điệu trong
không gian Banach, bao gồm: đưa ra các phương pháp và định lí về sự hội
tụ của các phương pháp này. Cuối chương đưa ra ví dụ số minh họa cho
kết quả nghiên cứu đạt được. Chương 3 trình bày các cải biên của phương
pháp điểm gần kề mà chúng tôi đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ
đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, bao gồm: giới thiệu các phương
pháp cũng như các kết quả về sự hội tụ của các phương pháp này. Một ví
dụ số được đưa ra ở mục cuối của chương này nhằm minh họa cho các kết
quả nghiên cứu đạt được.


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cần thiết nhằm phục vụ cho việc
trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận án ở các chương sau.

1.1.

Không gian Banach và các vấn đề liên quan

1.1.1.

Một số tính chất trong không gian Banach

Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất trong không gian
Banach.
1.1.2.

Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh

• Mục này đề cập đến khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương
pháp hiệu chỉnh.
• Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình
A(x) = f,

(1.1)

với A là một ánh xạ từ không gian Banach E vào không gian Banach E.
Nếu (1.1) là bài toán đặt không chỉnh thì yêu cầu đặt ra là phải sử dụng
các phương pháp giải (1.1) sao cho khi δ
0 thì nghiệm xấp xỉ tìm được
càng gần với nghiệm của (1.1). Như đã trình bày trong phần Mở đầu, trong
trường hợp A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian
đối ngẫu E ∗ , bài toán (1.1) có thể được giải bằng phương pháp hiệu chỉnh
dạng Browder-Tikhonov (0.3) (xem trang 2) hoặc (0.4) (xem trang 2).
Trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E, một

trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi để giải bài toán (1.1) là
phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.5) (xem trang 2). Ng.
Bường và Ng.T.H. Phương (2013) đã chứng minh được kết quả sau cho sự
hội tụ mạnh của phương pháp (0.5):
Định lí 1.17. Cho E là một không gian Banach thực, phản xạ, lồi chặt,
có chuẩn khả vi Gâteaux đều và A là ánh xạ m-J-đơn điệu trên E. Khi đó,
với mỗi α > 0 và fδ ∈ E, phương trình (0.5) có nghiệm duy nhất xδα . Hơn


7

nữa, nếu tham số α được chọn sao cho δ/α → 0 khi α → 0 thì dãy {xδα }
hội tụ mạnh tới phần tử x∗ ∈ E là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến
phân sau
x∗ ∈ S ∗ : x∗ − x+ , j(x∗ − y) ≤ 0, ∀y ∈ S ∗ ,

(1.2)

ở đây S ∗ là tập nghiệm của (1.1) và S ∗ khác rỗng.
Ta thấy, Định lí 1.17 đưa ra sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm hiệu chỉnh
{xδα } sinh bởi phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.5) đến nghiệm
x∗ của bài toán (1.1) mà không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh
xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Kết quả này là một sự cải tiến đáng kể so với
kết quả của Ya.I. Alber và I.P. Ryazantseva (2006) (xem phần Mở đầu).
Do khi A là ánh xạ phi tuyến thì (0.3), (0.4) và (0.5) là các bài toán
phi tuyến nên để khắc phục hạn chế này, trong Chương 2, chúng tôi sẽ
trình bày một phương pháp hiệu chỉnh khác, có tên là phương pháp hiệu
chỉnh lặp Newton-Kantorovich. Đây là phương pháp hiệu chỉnh được xây
dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là phương pháp
Newton-Kantorovich sẽ được trình bày khái quát lại ở Mục 1.2.

1.2.

Phương pháp Newton-Kantorovich

Mục này trình bày phương pháp Newton-Kantorovich và định lí hội tụ
của phương pháp này.
1.3.

Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên

Trong mục này, ta xét bài toán:
Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗ ),

(1.3)

trong đó H là không gian Hilbert và A : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực
đại. Ký hiệu Jk = (I + rk A)−1 là toán tử giải của A với tham số rk > 0, ở
đây I là ánh xạ đơn vị trên H.
1.3.1.

Phương pháp điểm gần kề

Mục này trình bày phương pháp điểm gần kề của R.T. Rockafellar (1976)
để tìm nghiệm của bài toán (1.3) và khẳng định của O. G¨
uler (1991) rằng
phương pháp điểm gần kề chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ
mạnh trong không gian vô hạn chiều.


8

1.3.2.

Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề

Mục này trình bày một số cải biên của phương pháp điểm gần kề cũng
như sự hội tụ mạnh của các cải biên này để tìm nghiệm của bài toán
(1.3) bao gồm các kết quả của N. Lehdili và A. Moudafi (1996), H.K. Xu
(2006), O.A. Boikanyo và G. Morosanu (2010; 2012), Ch.A. Tian và Y.
Song (2013), S. Kamimura và W. Takahashi (2000), G. Marino và H.K.
Xu (2004), Y. Yao và M.A. Noor (2008), F. Wang và H. Cui (2015).
Nhận xét 1.6. Sự hội tụ mạnh của các cải biên của phương pháp điểm
gần kề nêu ở trên đều sử dụng một trong các điều kiện
(C0) exists constant ε > 0 such that rk ≥ ε for every k ≥ 1.
(C0’) lim inf k→∞ rk > 0.
(C0”) rk ∈ (0; ∞) for every k ≥ 1 and limk→∞ rk = ∞.
Các điều kiện này đều dẫn tới dãy tham số {rk } của toán tử giải là không
∞

rk = +∞. Trong Chương 3, chúng tôi sẽ đưa ra hai

khả tổng, tức là
k=1

cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ mạnh của các
phương pháp này được đưa ra dưới điều kiện về dãy tham số của toán tử
giải hoàn toàn khác so với các kết quả đã biết. Cụ thể, chúng tôi sử dụng
∞

rk < +∞.

điều kiện dãy tham số của toán tử giải là khả tổng, tức là
k=1


Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich cho phương
trình phi tuyến với toán tử loại đơn
điệu
Chương này trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich
để tìm nghiệm của phương trình phi tuyến với ánh xạ loại đơn điệu. Các
kết quả của chương này được trình bày dựa vào các công trình [2 ], [3 ] và
[4 ] trong danh mục các công trình đã công bố.
2.1.

Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi
tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach

Xét phương trình toán tử phi tuyến
A(x) = f, f ∈ E ∗ ,

(2.1)

trong đó A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối
ngẫu của nó là E ∗ , với D(A) = E. Giả sử tập nghiệm của (2.1), ký hiệu
là S, khác rỗng và thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδ thỏa mãn
fδ − f ≤ δ

0.

(2.2)

Nếu A không có thêm tính chất đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều thì
phương trình (2.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Do khi A là
ánh xạ phi tuyến thì các phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov
(0.3) (xem trang 2) và (0.4) (xem trang 2) là các bài toán phi tuyến nên
để giải (2.1), trong mục này, ta xét một phương pháp hiệu chỉnh khác,
có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich. Phương pháp
hiệu chỉnh này được đề xuất bởi A.B. Bakushinskii (1976) dựa trên phương


10

pháp Newton-Kantorovich để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân sau trong không gian Hilbert H: Tìm phần tử x∗ ∈ Q ⊆ H sao cho
A(x∗ ), x∗ − w ≤ 0, ∀w ∈ Q,

(2.3)

trong đó A : H → H là ánh xạ đơn điệu, Q là tập lồi và đóng trong H.
A.B. Bakushinskii đã đưa ra phương pháp lặp để giải bài toán (2.3) như
sau:

z ∈ H,
0
 A(z ) + A (z )(z
n
n

n+1 − zn ) + αn zn+1 , zn+1 − w ≤ 0, ∀w ∈ Q.

(2.4)

Dựa trên cơ sở phương pháp của A.B. Bakushinskii, để tìm nghiệm của
phương trình (2.1) khi A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào
H, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova (2007) đã chứng minh được sự hội
tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich:
z0 = x+ ∈ H, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ ,

(2.5)

với việc sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng
≤ τ δ < A(zn ) − fδ 2 , 0 ≤ n < N = N (δ),

(2.6)

A (x) ≤ 1, A (x) − A (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H.

(2.7)

A(zN ) − fδ

2

và điều kiện

Nhận xét 2.1. Phương pháp (2.5) có ưu điểm nổi bật bởi tính chất tuyến
tính của nó. Phương pháp này là một công cụ quan trọng để giải bài toán
(2.1) trong trường hợp A là ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert.

Tuy nhiên, ta thấy điều kiện (2.7) là khá chặt và cần khắc phục để phương
pháp (2.5) có thể áp dụng với lớp các ánh xạ rộng hơn.
Khi E là không gian Banach, để giải phương trình (2.1) trong trường
hợp thay cho f , ta chỉ biết xấp xỉ của nó fδn ∈ E ∗ , thỏa mãn (2.2), trong
đó δ được thay thế bởi δn , I.P. Ryazantseva (1987, 2006) cũng đã phát
triển phương pháp (2.4) để đưa ra phương pháp hiệu chỉnh lặp:
z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn .

(2.8)

Sự hội tụ của phương pháp (2.8) đã được I.P. Ryazantseva đưa ra với giả
thiết E là không gian Banach có tính chất ES, không gian đối ngẫu E ∗ là


11

lồi chặt và ánh xạ A thỏa mãn điều kiện
A (x) ≤ ϕ( x ), ∀x ∈ E,

(2.9)

ở đây ϕ(t) là hàm không âm và không giảm.
Nhận xét 2.2. Ta thấy ngay các không gian lp và Lp (Ω) (1 < p < +∞)
là các không gian Banach có tính chất ES và không gian đối ngẫu là lồi
chặt. Tuy nhiên, do phương pháp (2.8) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm
thành phần hiệu chỉnh nên nó có những nhược điểm giống như phương
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.3) đã nêu ở trên.
Để khắc phục các hạn chế này, trong [3 ], chúng tôi đưa ra phương pháp
hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich mới như sau:
z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn B(zn+1 − x+ ) = fδn ,

(2.10)

ở đây B là ánh xạ tuyến tính và đơn điệu mạnh.
Trước hết, để tìm nghiệm của phương trình (2.1) trong trường hợp không
có nhiễu cho f , ta có phương pháp lặp sau:
z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn B(zn+1 − x+ ) = f.

(2.11)

Sự hội tụ của phương pháp (2.11) được đưa ra bởi định lí sau:
Định lí 2.4. Cho E là không gian Banach thực, phản xạ, B là ánh xạ
tuyến tính, mB -đơn điệu mạnh với D(B) = E, R(B) = E ∗ và A là ánh xạ
đơn điệu, L-liên tục Lipschitz và hai lần khả vi Fréchet trên E thỏa mãn
điều kiện (2.9). Giả sử dãy {αn } và điểm xuất phát z0 trong (2.11) thỏa
mãn các điều kiện sau:
a) {αn } là dãy đơn điệu giảm với 0 < αn < 1 và tồn tại số σ > 0 sao cho
αn+1 ≥ σαn , với mọi n = 0, 1, ...;
b)
ϕ0 z0 − x0
≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d + γ),
2mB σα0
d ≥ max

(2.12)

B(x+ − x∗ ) /mB + x∗ , L B(x+ − x∗ ) /m2B ,

trong đó số dương γ được tìm từ bất đẳng thức
2mB σα0 /ϕ0 ≤ γ,

x∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
x∗ ∈ S, B(x+ − x∗ ), x∗ − y ≥ 0, ∀y ∈ S

(2.13)


12

và x0 là nghiệm của phương trình sau với với n = 0:
A(x) + αn B(x − x+ ) = f.
c)
2mB σ 3
αn − αn+1
2
≤
c(q
−
q
),
c
=
.
αn3
ϕ0 d
Khi đó, zn → x∗ , ở đây zn được xác định bởi (2.11).
Bây giờ, ta có kết quả sau cho sự hội tụ của phương pháp (2.10):
Định lí 2.5. Cho không gian E và các ánh xạ A, B như trong Định lí 2.4
và fδn là phần tử trong E ∗ thỏa mãn (2.2), trong đó δ được thay thế bởi δn .
Giả sử dãy {αn }, số thực d và điểm xuất phát z0 trong (2.10) thỏa mãn
các điều kiện a), b) trong Định lí 2.4 và

c)
mB σ 3 δn
m2B σ 2
αn − αn+1
2
2
≤ c1 (q − q ), c1 =
,
≤ c2 (q − q ), c2 =
. (2.14)
αn3
ϕ0 d αn2
ϕ0
Khi đó, zn → x∗ , ở đây zn được xác định bởi (2.10).
Nhận xét 2.3. Ta thấy, (2.10) và (2.11) là các bài toán tuyến tính. Việc
đưa ra các phương pháp này đã khắc phục được tính chất "phi tuyến"
của các phương pháp trước đây để tìm nghiệm của phương trình không
chỉnh phi tuyến với ánh xạ đơn điệu trong không gian Banach. Về sự hội tụ
mạnh, phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.8) chỉ áp
dụng đối với không gian Banach E có tính chất ES và không gian đối ngẫu
E ∗ là lồi chặt, trong khi các phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng NewtonKantorovich (2.10) và (2.11) có thể sử dụng trong không gian Banach
thực và phản xạ bất kỳ. Tuy nhiên, các phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng
Newton-Kantorovich (2.10) và (2.11) đòi hỏi điều kiện A là ánh xạ liên tục
Lipschitz.
2.2.

Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi
tuyến với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình phi tuyến

A(x) = f, f ∈ E,

(2.15)


13

trong đó A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E. Giả sử tập
nghiệm của (2.15), ký hiệu là S ∗ , khác rỗng và thay cho f ta chỉ biết xấp
xỉ của nó là fδ ∈ E thỏa mãn (2.2).
Nếu A không có thêm tính chất J-đơn điệu mạnh hoặc J-đơn điệu
đều thì bài toán (2.15), nói chung, là bài toán đặt không chỉnh. Một trong
những phương pháp được sử dụng rộng rãi để giải bài toán (2.15) là phương
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.5) (xem trang 2). Tuy nhiên, nếu
A là ánh xạ phi tuyến thì (0.5) là bài toán phi tuyến. Để khắc phục hạn
chế này, Ng. Bường và V.Q. Hùng (2005) đã nghiên cứu sự hội tụ của
phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich sau để tìm nghiệm
của bài toán (2.15) trong trường hợp thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó
là fδn ∈ E thỏa mãn điều kiện (2.2), trong đó δ được thay thế bởi δn :
z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδn .

(2.16)

Sự hội tụ mạnh của phương pháp (2.16) đã được Ng. Bường và V. Q. Hùng
đưa ra dưới giả thiết E cùng với không gian đối ngẫu E ∗ là các không gian
lồi đều, E có tính chất xấp xỉ và ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện
A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ ) , ∀x ∈ E
(2.17)
và
A (x∗ )v = x+ − x∗ ,

(2.18)

ở đây τ là hằng số dương nào đó, x∗ ∈ S ∗ được xác định duy nhất bởi
(2.17), J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và v là phần tử nào đó
trong E.
Nhận xét 2.4. Ta thấy, (2.16) có ưu điểm là bài toán tuyến tính. Tuy
nhiên, sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng NewtonKantorovich này cần thỏa mãn các điều kiện (2.17) và (2.18). Đây là các
điều kiện tương đối chặt bởi vì chúng sử dụng đạo hàm Fréchet của ánh
xạ A tại nghiệm chưa biết x∗ .
Gần đây, trong [2 ], để giải phương trình (2.15), chúng tôi đã chứng
minh sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich
sau:
z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ ,

(2.19)


14

mà không cần sử dụng các điều kiện (2.7), (2.17) và (2.18). Các kết quả
của chúng tôi được chứng minh dựa trên Định lí 1.17. Do đó, sự hội tụ
mạnh của phương pháp (2.19) cũng không cần sử dụng giả thiết liên tục
yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J.
Trước hết, xét phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich
cho trường hợp không có nhiễu cho f :
x0 ∈ E, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn (xn+1 − x+ ) = f.

(2.20)

Định lí 2.7. Cho E là không gian Banach thực, phản xạ, lồi chặt với
chuẩn khả vi Gâteaux đều, A là ánh xạ m-J-đơn điệu và hai lần khả vi
Fréchet trên E với điều kiện (2.9). Giả sử dãy {αn }, số thực d và điểm
xuất phát x0 thỏa mãn các điều kiện sau:
a) {αn } là dãy đơn điệu giảm với 0 < αn < 1 và tồn tại σ > 0 sao cho
αn+1 ≥ σαn , với mọi n = 0, 1, ...;
b)
ϕ0 x0 − xα0
≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d + γ),
2σα0
số dương γ được tìm từ bất đẳng thức
2σα0 /ϕ0 ≤ γ, d ≥ 2 x∗ − x+ + x+ ,

(2.21)

trong đó x∗ ∈ S ∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (1.2) và
xα0 là nghiệm của phương trình sau với n = 0:
A(x) + αn (x − x+ ) = f.

(2.22)

c)
αn − αn+1
q − q2
ϕ0 d
≤
; c1 = 2 .
2
αn
c1

2σ
Khi đó, xn → x∗ , ở đây xn được xác định bởi (2.20).
Định lí 2.8. Cho không gian E và ánh xạ A như trong Định lí 2.7. Ánh
xạ A thỏa mãn thêm tính chất L-liên tục Lipschitz. Giả sử dãy {αn } thỏa
mãn điều kiện a) của Định lí 2.7. Số τ > 1 trong (2.6) được chọn sao cho
ϕ˜ z0 − xα0
3dL
≤ q, 0 < q < 1 −
,
2σα0
τ˜σ
√
ϕ˜ = ϕ0 + 2L2 /˜
τ , τ˜ = ( τ − 1)2 ,

(2.23)


15

trong đó d được xác định như trong Định lí 2.7, số dương γ được tìm từ
bất đẳng thức (2.21) với ϕ0 được thay thế bởi ϕ˜ và
αn − αn+1 d
2Lσ
+
≤
q.
αn2
τ˜
ϕ˜

˜τ

(2.24)

ϕ˜ zn − xαn
≤ q,
2σαn

(2.25)

Khi đó,
1. Với n = 0, 1, ..., N (δ),

ở đây zn là một nghiệm của (2.19) và N (δ) được chọn bởi (2.6).
2. lim zN (δ) − y = 0, ở đây y ∈ S ∗ . Nếu N (δ) → ∞ khi δ → 0 thì y = x∗ ,
δ→0

trong đó x∗ ∈ S ∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (1.2).
Nhận xét 2.5. Ngoài việc không cần sử dụng các điều kiện (2.7), (2.17),
(2.18) và tính chất liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
J, giả thiết về không gian Banach E trong các kết quả của chúng tôi cũng
nhẹ hơn so với kết quả của Ng. Bường và V.Q. Hùng (2005). Cụ thể, trong
các Định lí 2.7 và Định lí 2.8, chúng tôi chỉ cần giả thiết E là không gian
phản xạ, lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều thay vì E cùng với không
gian đối ngẫu E ∗ là các không gian lồi đều và E có tính chất xấp xỉ như
trong kết quả của N. Bường và V.Q. Hùng. Tuy nhiên, sự hội tụ mạnh của
phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.19) cần bổ sung
thêm điều kiện liên tục Lipschitz của ánh xạ A.
2.3.

Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu
chỉnh lặp Newton-Kantorovich

Để giải phương trình (2.1), ta có thể sử dụng phương pháp hiệu chỉnh
dạng Browder-Tikhonov (0.4) hoặc phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng
Newton-Kantorovich (2.10). Tuy nhiên, để có thể sử dụng được (0.4) và
(2.10) cho việc giải các bài toán thực tế bằng máy tính thì nhiệm vụ trước
tiên là phải xấp xỉ (0.4) và (2.10) bởi các phương trình tương ứng trong
các không gian hữu hạn chiều. Ng. Bường (1996; 2001) đã đưa ra phương
pháp xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm xδα của (0.4) như sau:
An (x) + αBn (x − x+ ) = fnδ ,

(2.26)


16

với An = Pn∗ APn , Bn = Pn∗ BPn , fnδ = Pn∗ fδ , Pn là phép chiếu tuyến tính từ
E lên không gian con En của E thỏa mãn En ⊂ En+1 , với mọi n, Pn ≤ c,
với c là hằng số và Pn∗ là ánh xạ liên hợp của Pn . Ta có kết quả sau cho sự
hội tụ của dãy nghiệm {xδαn } của (2.26) đến nghiệm xδα của (0.4):
Định lí 2.9. (Ng. Bường, 2001) Giả sử Pn∗ BPn x → Bx, với mọi x ∈ D(B).
Điều kiện cần và đủ để với mỗi α > 0 và fδ ∈ E ∗ , dãy nghiệm {xδαn } của
(2.26) hội tụ mạnh đến nghiệm xδα của (0.4) là Pn x → x khi n → ∞, với
mọi x ∈ E.
Áp dụng phương pháp (2.26) cho (2.10) với αn = α cố định, ta được
An (zn ) + An (zn )(zn+1 − zn ) + αBn (zn+1 − x+ ) = fnδn .

(2.27)

Cho k(t, s) là hàm số thực hai biến số liên tục, không suy biến và không
âm trên hình vuông [a, b] × [a, b] thỏa mãn: tồn tại một hằng số q = 2,
1 < q < ∞ sao cho
b

b

|k(t, s)|q dsdt < +∞.
a

(2.28)

a

Khi đó, ánh xạ A được xác định bởi
b

k(t, s)x(s)ds, x(s) ∈ Lp [a, b],

(Ax)(t) =

(2.29)

a

1 1
+ =1
p q
và liên tục (S. Banach, 1932). Vì k(t, s) là hàm số liên tục và không âm

là ánh xạ đi từ không gian Lp [a, b] vào không gian Lq [a, b] với

trên hình vuông [a, b] × [a, b] nên A là ánh xạ đơn điệu trên Lp [a, b].
Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày việc áp dụng phương pháp (2.27) để giải
phương trình tích phân kiểu Hammerstein sau:
b

(Ax)(t) =

k(t, s)x(s)ds = f (t),

(2.30)

a

với f (t) ∈ Lq [a, b]. Giả sử rằng nghiệm x(t) của (2.30) hai lần khả vi Fréchet
và thỏa mãn điều kiện biên x(a) = x(b) = 0. Lấy Bx(t) = x(t) − x (t),
với x(t) ∈ D(B) là bao đóng của tất cả các hàm trong C 2 [a, b] theo metric
của Wq2 [a, b], thỏa mãn x(a) = x(b) = 0. Cho {tn0 = a < tn1 < · · · < tnn = b}
là một phân hoạch đều của đoạn [a, b]. Xấp xỉ không gian E bởi dãy các
không gian con tuyến tính En = L{ψ1 , ψ2 , ..., ψn }, trong đó
ψi (t) =

1, nếu t ∈ (tni−1 , tni ]
0, nếu t ∈
/ (tni−1 , tni ].


17

Chọn phép chiếu
n

x(tni )ψi (t).

Pn x(t) =

(2.31)

i=1

Xét phương trình (2.30) với a = 0, b = 1, k(t, s) = |t − s|. Rõ ràng
1

1

1
3/2

|k(t, s)|
0

|t − s|3/2 dsdt < +∞.

dsdt =
0

0

1

(2.32)

0

Vì vậy, ta xét q = 3/2 và p = 3. Với nghiệm chính xác là x∗ (s) = s(1 − s),
ta tính được f (t) = −(1/6)t4 + (1/3)t3 − (1/6)t + 1/12. Sau đây là kết quả
tính toán với việc lấy x+ (t) = 2,22 và fδn = f + δn , ở đây δn = 1/(1 + n)2 :
Bảng 2.1. Kết quả tính toán với α = 0,5.
n
zn+1 − x∗ 3
n
zn+1 − x∗ 3
4

0,2689666069

64

0,0424663883

8

0,1620043546

128

0,0298464819

16 0,1003942097

256

0,0230577881

32 0,0640826159 1024 0,0203963532
Bảng 2.2. Kết quả tính toán với α = 0,1.
n
zn+1 − x∗ 3
n
zn+1 − x∗ 3
4

0,2600031372

64

0,0388129413

8

0,1534801504

128

0,0269295563

16 0,0936525099

256

0,0204623013

32 0,0591546836 1024 0,0176684288
Bảng 2.3. Kết quả tính toán với α = 0,01.
n
zn+1 − x∗ 3
n
zn+1 − x∗ 3
4

0,1948813288

64

0,0295640389

8

0,1176798737

128

0,0196621910

16 0,0739066898

256

0,0138863679

32 0,0461148835 1024 0,0099425015
Qua các kết quả trên, ta thấy, việc áp dụng phương pháp (2.27) cho kết
quả hội tụ tới nghiệm của phương trình (2.30) là khá tốt. Đặc biệt, với α
càng nhỏ và tiến tới 0 thì zn+1 càng tiến gần tới nghiệm chính xác x∗ .


Chương 3

Phương pháp lặp để tìm không
điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại
trong không gian Hilbert
Chương này trình bày các cải biên của phương pháp điểm gần kề mà
chúng tôi đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại
trong không gian Hilbert. Nội dung của chương này được trình bày dựa
vào các công trình [1 ] và [4 ] trong danh mục các công trình đã công bố.
3.1.

Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại

• Mục này giới thiệu bài toán:
Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗ ),

(3.1)

trong đó H là không gian Hilbert và A : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực
đại.
• Một trong những phương pháp được đưa ra đầu tiên để tìm nghiệm của
bài toán (3.1) phải kể đến phương pháp điểm gần kề (0.12). Tuy nhiên,
phương pháp điểm gần kề (0.12) chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội

tụ mạnh trong không gian vô hạn chiều. Với mục đích đạt được sự hội tụ
mạnh, một số cải biên của phương pháp điểm gần kề đã được đưa ra (xem
Mục 1.3.2). Như Nhận xét 1.6 trong Mục 1.3.2, sự hội tụ mạnh của các
cải biên này đều được chứng minh dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số
∞

của toán tử giải của ánh xạ A không khả tổng, tức là

rk = +∞.
k=1

• Để tìm p∗ ∈ H là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
p∗ ∈ C : F p∗ , p∗ − p ≤ 0, ∀p ∈ C,

(3.2)

với C = ZerA là tập các không điểm của ánh xạ A, F là ánh xạ L-liên tục
Lipschitz và η-đơn điệu mạnh trên H, S. Wang (2012) đã đề xuất phương


19

pháp lặp:
xk+1 = Jk [(I − tk F )xk + ek ], k ≥ 1,

(3.3)

ở đây Jk là toán tử giải của A và ek là vectơ sai số (xem Mục 1.3).
Tác giả đã chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (3.3) dưới điều
kiện (C0’) lim inf k→∞ rk > 0 đã nêu ở Mục 1.3.2. Đây là điều kiện dẫn tới

dãy tham số {rk } của toán tử giải của ánh xạ A không khả tổng.
• Để trả lời câu hỏi ở phần Mở đầu (xem trang 4), trong mục tiếp theo,
chúng tôi sẽ giới thiệu hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề để
tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert
H với sự hội tụ mạnh được đưa ra dưới điều kiện dãy tham số của toán
tử giải là khả tổng, tức là ∞
k=1 rk < +∞. Các cải biên mới thu được là
các trường hợp riêng của một sự mở rộng của phương pháp (3.3) để tìm
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (3.2).
3.2.

Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham
số của toán tử giải khả tổng

Trong [1 ], chúng tôi đưa ra hai cải biên mới của phương pháp điểm gần
kề tương ứng với dãy {xk } và {z k } được xác định bởi:
xk+1 = J k (tk u + (1 − tk )xk + ek ), k ≥ 1,

(3.4)

z k+1 = tk u + (1 − tk )J k z k + ek , k ≥ 1,

(3.5)

và

ở đây J k = J1 J2 · · · Jk là hợp của k toán tử giải Ji = (I + ri A)−1 , i =
1, 2, ..., k của ánh xạ A. Trước hết, chúng tôi đề xuất phương pháp lặp:
xk+1 = J k [(I − tk F )xk + ek ], k ≥ 1,

(3.6)

để tìm nghiệm p∗ ∈ H của bài toán bất đẳng thức biến phân (3.2) với
C = ZerA, F : H → H là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt. Sau
đó, từ (3.6), bằng cách chọn ánh xạ F thích hợp, chúng tôi thu được các
phương pháp (3.4) và (3.5). Ký hiệu |Ax| = inf{ y : y ∈ Ax}, x ∈ D(A).
Gọi A0 là ánh xạ xác định bởi A0 x = {y ∈ Ax : y = |Ax|}, x ∈ D(A).
Do A là ánh xạ đơn điệu cực đại nên A0 là ánh xạ đơn trị (Ya.I. Alber và
I.P. Ryazantseva, 2006).


20

Định lí 3.2. Cho A là ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert
H thỏa mãn D(A) = H, C := ZerA = ∅, ánh xạ A0 là giới nội, F là ánh
xạ η-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1. Giả sử tk , ri và ek thỏa
mãn các điều kiện (C1), (C5’) và
(C0” ’) ri > 0, với mọi i ≥ 1 và

∞
i=1 ri

< +∞.

Khi đó, dãy {xk }, được xác định bởi phương pháp (3.6), hội tụ mạnh tới
phần tử p∗ khi k → ∞, ở đây p∗ là nghiệm duy nhất của (3.2).
Chú ý 3.1. Chú ý này trình bày cách biến đổi cũng như chọn ánh xạ F
để từ phương pháp (3.6) ta thu được các phương pháp (3.4) và (3.5). Thật
vậy, trong (3.6), đặt z k = (I − tk F )xk + ek , sau đó ký hiệu lại tk := tk+1
và ek := ek+1 , ta thu được

z k+1 = (I − tk F )J k z k + ek .

(3.7)

Tiếp theo, lấy F = I − f , trong đó f = aI + (1 − a)u, với a là một số cố
định thuộc (0; 1) và u là một điểm cố định thuộc H. Với ánh xạ F được
chọn như trên, (3.6) và (3.7) tương ứng trở thành
xk+1 = J k (tk (1 − a)u + (1 − tk (1 − a))xk + ek ),

(3.8)

z k+1 = tk (1 − a)u + (1 − tk (1 − a))J k z k + ek .

(3.9)

Khi đó, trong (3.8) và (3.9), ký hiệu lại tk := (1 − a)tk , ta thu được các
phương pháp (3.4) và (3.5) tương ứng.
Chú ý 3.2. Điều kiện dãy tham số của toán tử giải khả tổng, tức là điều
kiện (C0” ’) được thỏa mãn, dẫn tới limk→∞ rk = 0. Kết quả trong mục
này là một gợi mở cho hướng nghiên cứu sự hội tụ mạnh của các cải biên
của phương pháp điểm gần kề dưới điều kiện dãy tham số của toán tử giải
thỏa mãn limk→∞ rk = 0.
3.3.

Ví dụ số minh họa

Xét bài toán tối ưu lồi sau: tìm phần tử p∗ ∈ R2 sao cho
f (p∗ ) = inf2 f (x).

(3.10)

x∈R

Ta đã biết, nếu f (x) là phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục
dưới thì dưới vi phân ∂f là một ánh xạ đơn điệu cực đại và bài toán (3.10)


21

tương đương với bài toán tìm một không điểm của ∂f (H.H. Bauschke và
P.L. Combettes, 2017; R.T. Rockafellar, 1966). Sau đây, ta sẽ áp dụng các
phương pháp (3.4) và (3.5) để tìm nghiệm của bài toán (3.10) với hàm
f (x) cho cụ thể như sau:

0,
nếu x2 ≤ 1,
f (x) =
(3.11)
x − 1, nếu x > 1.
2
2
Với r > 0, ta có

(x , x ),
nếu x2 ≤ 1,
1 2
−1
(I + r∂f ) (x) =
(x , x /(1 + r)), nếu x > 1.
1 2

2

(3.12)

Lấy a = 1/2 và u = (0; 2). Khi đó, nghiệm của bài toán (3.10) thỏa
mãn bất đẳng thức biến phân (3.2) với A = ∂f là p∗ = (0; 1). Sử dụng
tk = 1/(k + 1), ri = 1/(i(i + 1)) và ek = (0; 0), ta thu được các bảng kết
quả sau:
a) Trường hợp điểm xuất phát là (2,0; 6,0):
Bảng 3.1. Kết quả tính toán khi áp dụng phương pháp (3.4) với thời
gian tính toán là 2,745 giây
k
xk+1
xk+1
k
xk+1
xk+1
1
2
1
2
1

1,5000000000 3,3333333333

2000

0,0504468881 0,9999996953

10

0,6727523804 0,9982716570

5000

0,0319113937 0,9999999357

20

0,4895426850 0,9997219609

8000

0,0252293542 0,9999999775

50

0,3152358030 0,9998464349 10000 0,0225661730 0,9999999803

100

0,2242781046 0,9999270505 12000 0,0206002179 0,9999999883

500

0,1007993740 0,9999960565 15000 0,0184255869 0,9999999946

1000 0,0713204022 0,9999986543 20000 0,0159571926 0,9999999954
Bảng 3.2. Kết quả tính toán khi áp dụng phương pháp (3.5) với thời
gian tính toán là 2,730 giây

22

k

z1k+1

z2k+1

k

z1k+1

z2k+1

1

1,5000000000 3,5000000000

2000

0,0504468881 1,0002497795

10

0,6727523804 1,0367234670

5000

0,0319113937 1,0000999281

20

0,4895426850 1,0225868918

8000

0,0252293542 1,0000624662

50

0,3152358030 1,0092381210 10000 0,0225661730 1,0000499833

100

0,2242781046 1,0048024836 12000 0,0206002179 1,0000416476

500

0,1007993740 1,0009925330 15000 0,0184255869 1,0000333306

1000 0,0713204022 1,0004981392 20000 0,0159571926 1,0000249980
b) Trường hợp điểm xuất phát là (10; 20):
Bảng 3.3. Kết quả tính toán khi áp dụng phương pháp (3.4) với thời
k

xk+1
1

gian tính toán là 2,699 giây
xk+1
k
xk+1
2
1

xk+1
2

1

7,5000000000 10,3333333333

2000

0,2522344403 0,9999996174

10

3,3637619019

0,9837468002

5000

0,1595569687 0,9999999232

20

2,4477134250

0,9999068009

8000

0,1261467712 0,9999999725

50

1,5761790149

0,9997667170

10000 0,1128308650 0,9999999996

100

1,1213905229

0,9998979723

12000 0,1030010894 0,9999999861

500

0,5039968702

0,9999947597

15000 0,0921279346 0,9999999932

1000 0,3566020110

0,9999983305

20000 0,0797859628 0,9999999946

Bảng 3.4. Kết quả tính toán khi áp dụng phương pháp (3.5) với thời
gian tính toán là 2,683 giây
k
z1k+1
z2k+1
k
z1k+1
z2k+1
1

7,5000000000 10,5000000000

2000

0,2522344403 1,0002497442

10

3,3637619019

1,0343656695

5000

0,1595569687 1,0000999239

20

2,4477134250

1,0224448516

8000

0,1261467712 1,0000624636

50

1,5761790149

1,0091958993

10000 0,1128308650 1,0000499805

100

1,1213905229

1,0047946859

12000 0,1030010894 1,0000416627

500

0,5039968702

1,0009920670

15000 0,0921279346 1,0000333302

1000 0,3566020110

1,0004979605

20000 0,0797859628 1,0000249977

Qua các bảng trên, ta thấy, việc áp dụng các phương pháp (3.4) và (3.5)
cho kết quả hội tụ khá tốt tới nghiệm của bài toán (3.10).


23

KẾT LUẬN CHUNG

Kết quả chính đạt được trong luận án bao gồm:
- Đưa ra và chứng minh các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp
hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm của phương trình
phi tuyến với ánh xạ đơn điệu trong không gian Banach.
- Đưa ra và chứng minh các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp
hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm của phương trình
phi tuyến với ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach.
- Đưa ra và chứng minh định lí về sự hội tụ mạnh của các cải biên mới

của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu
cực đại trong không gian Hilbert, với một cách tiếp cận khác về điều kiện
của dãy tham số của toán tử giải, đó là sự hội tụ của các cải biên trước
đó được đưa ra dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là không khả
tổng, trong khi sự hội tụ mạnh của các cải biên mới này được chứng minh
dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng.
Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo:
• Tiếp tục nghiên cứu việc xấp xỉ hữu hạn chiều với dãy tham số hiệu
chỉnh {αn } và đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm của các phương pháp hiệu
chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa ra ở Chương 2 để giải phương trình với
toán tử loại đơn điệu.
• Phát triển các phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa
ra ở Chương 2 để xây dựng các phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương
trình với toán tử loại đơn điệu.
• Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm của các phương pháp lặp để tìm
không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert đã đạt
được ở Chương 3.
• Đề xuất và nghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp lặp mới để tìm
không điểm của ánh xạ loại đơn điệu trong không gian Hilbert và không
gian Banach.