BÀI TẬP THỦY KHÍPHƯƠNG TRÌNH BECNULI

BÀI TẬP

PHẦN 1: BÀI TẬP LẦN 1
1. PHÂN BIỆT CÁC CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA PHẦN TỬ:
1.1. Chuyển động ổn định và chuyển động không ổn định:
(còn gọi là chuyển động dừng và không dừng)
Chuyển động không ổn định là chuyển động trong đó các thông số dòng chảy
(u, p, ρ, T, μ) được biểu diễn bằng hàm số phụ thuộc vào không gian và thời gian.
u
u = f1 (x, y, z, t) ;
0
(1.1)
t
p
p = f 2 (x, y, z, t) ;
0
(1.2)
t
Chuyển động ổn định là chuyển động trong đó các thông số dòng chảy (u, p,
ρ, T, μ) tại mỗi điểm không phụ thuộc vào thời gian, chỉ phụ thuộc vào tọa độ
không gian.
u
u = f3 (x, y, z) ;
=0
(1.3)
t
p
p = f 4 (x, y, z) ;
=0
(1.4)
t

Thực tế là không có dòng chảy nào hoàn toàn ổn định, nhưng vì nghiên cứu
dòng chảy ổn định đơn giản hơn nên trong kỹ thuật ta cố gắng tạo điều kiện cho
dòng được ổn định.
Dòng chất lỏng chảy qua lỗ và vòi khi có cột áp tác dụng của lỗ hoặc vòi
không thay đổi theo thời gian cho ta hình ảnh về chuyển động ổn định. Ngược lại,
khi cột áp tác dụng qua lỗ của lỗ hoặc vòi thay đổi theo thời gian thì cho ta hình ảnh
chuyển động không ổn định.
Ví dụ: chuyển động của một dòng nước chảy từ một bình nước qua lỗ nhỏ
trên thành bình (hình 1.1) là một dòng không ổn định nếu ta để mực nước hạ thấp
dần theo thời gian từ mức 1 đến mức 2, mức 3, … ; vận tốc của dòng nước tại lỗ và
tầm xa của nó giảm dần.

Trang 1


BÀI TẬP

1
2
3

u3

u2

3 2
Hình 1.1

u = const

u1

1
Hình 1.2

Ngược lại, nếu ta giữ cho mực nước trong bình không đổi thì vận tốc u của
dòng nước tại lỗ và tầm xa của tia nước không đổi (hình 1.2).
Đối với các dòng chảy trong kỹ thuật, công nghiệp, các thông số dòng chảy
trên phụ thuộc vào không gian và thời gian, nhưng khi ta xét giá trị trung bình trong
một thời gian T đủ dài thì chúng gần như không đổi, ta gọi đó là chuyển động ổn
định trung bình thời gian.
Trong chuyển động ổn định được phân ra làm hai loại:
1. Chuyển động đều: Dòng chảy chuyển động đều là dòng chảy trong đó có
sự phân bố vận tốc trên mọi mặt cắt ướt dọc theo dòng chảy đều giống
nhau.
2. Chuyển động không đều: Dòng chảy chuyển động không đều là dòng chảy
có sự phân bố vận tốc vận tốc u trên các mặt cắt ướt dọc theo dòng chảy
không giống nhau.
1.2. Chuyển động không xoáy và chuyển động xoáy:
Chuyển động quay của mỗi phần tử chất lỏng xung quanh một trục quay tức
thời đi qua nó được gọi là chuyển động xoáy.
1
(1.5)
 = rotu
2
Thực nghiệm chỉ ra rằng, trong tất cả các trường hợp của chuyển động chất
lỏng thực, toàn bộ các miền dòng chảy hoặc các bộ phận cục bộ của nó đều có thể
xảy ra chuyển động xoáy. Ở những vùng không tồn tại chuyển động xoáy thì vùng
đó được gọi là chuyển động thế.
Vậy chuyển động thế là chuyển động không xoáy của phần tử chất lỏng.

Trong trường hợp này, chuyển động của mỗi phần tử chất lỏng có thể chịu biến
dạng nhưng không thực hiện chuyển động quay xung quanh trục tức thời đi qua bản
thân nó.
2 = rotu = 0
(1.6)
Việc nghiên cứu chuyển động thế có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết
nhiều vấn đề thủy khí động lực kỹ thuật. Chẳng hạn như vấn đề động lực của các
Trang 2


BÀI TẬP

máy thủy khí có cánh, máy bay, tên lửa được giải quyết dựa trên giả thuyết về dòng
chảy thế bao quanh chúng.
1.3. Chuyển động một chiều, chuyển động nhiều chiều:
Dòng chuyển động một chiều là dòng chuyển động trong đó các thông số
dòng chảy chỉ phụ thuộc vào một yếu tố của không gian.
− u = u(x, t) : chuyển động một chiều không ổn định.
− u = u(x) : chuyển động một chiều ổn định.
Dòng chuyển động nhiều chiều là dòng chuyển động trong đó các thông số
dòng chảy phụ thuộc vào hơn một yếu tố của không gian.
− u = u(x, y, t) : chuyển động hai chiều không ổn định.
− u = u(x, y) : chuyển động hai chiều ổn định.
− u = u(x, y, z, t) : chuyển động ba chiều không ổn định.
− u = u(x, y, z) : chuyển động ba chiều ổn định.
Ví dụ:
1.4. Dòng chảy có áp và không có áp:
Dòng chảy đầy ống thì ta gọi là dòng có áp.
Dòng chảy không đầy ống thì ta gọi là dòng không có áp.
(a)

(b)

Hình 1.3: Dòng chảy có áp (a) và dòng chảy không có áp (b)

Trang 3


BÀI TẬP

2. CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA DÒNG CHẢY:
2.1. Vận tốc, áp suất, khối lượng riêng, nội năng, nhiệt độ:
2.1.1. Vận tốc:
Vận tốc của một phần tử chất lỏng đo tại một vị trí nhất định trong dòng chất
lỏng, ở mỗi thời điểm nhất định, gọi là vận tốc điểm tức thời, ký hiệu là u. Trong
dòng chảy rối, vận tốc điểm tức thời này luôn luôn thay đổi về hướng và giá trị.
Việc đo vận tốc điểm tức thời rất khó, đòi hỏi thiết bị rất tinh vi, nên thường người
ta thay vận tốc điểm tức thời bằng giá trị trung bình của nó trong một thời gian nhất
T
1
định T, gọi là vận tốc điểm trung bình thời gian, ký hiệu u ; u =  udt. Khi không
T0
cần nghiên cứu những hiện tượng đặc biệt của chuyển động, người ta thường lấy
vận tốc điểm trung bình thời gian thay cho vận tốc điểm tức thời, nhưng vẫn dùng
ký hiệu u.
Trong kỹ thuật, thông thường người ta hay dùng khái niệm vận tốc trung
bình trên tiết diện ướt.
Vận tốc trung bình trên tiết diện ướt là một giá trị tưởng tượng, mà mỗi phần
tử chất lỏng phải chảy theo vận tốc đó để đảm bảo cho lưu lượng đi qua tiết diện
ướt được giữ nguyên như trong trường hợp mỗi phần tử chảy theo vận tốc điểm

thực tế u.
Q
Từ Q =  ud = v ta suy ra: v =
(2.1)


Khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, có thể dùng phương pháp của
Lagrăngjơ hoặc phương pháp của Ơle.

z
M(t)

z

M0(t0)
c

z
y

O
b

a
y

x

O

u x
u 
u y

u z
M(x,y,z)

y

0

y

Hình 2.1
Hình 2.2
Phương pháp Lagrăngjơ khảo sát chuyển động của từng phần tử chất lỏng
riêng biệt. Nếu dùng hệ tọa độ vuông góc Oxyz bất kỳ đặt trong môi trường chất

Trang 4


BÀI TẬP

lỏng, thì một phần tử chất lỏng ở thời điểm ban đầu (to) có vị trí Mo và tọa độ
( a, b, c ) sẽ di chuyển đến vị trí M, tọa độ (x, y, z) ở thời điểm t (hình 2.1). Ta có:
x = x(a, b, c, t)

y = y(a, b, c, t)
z = z(a, b, c, t)
Các tọa độ x, y, z của phần tử chất lỏng ở thời điểm t gọi là biến số

Lagrăngjơ. Có thể biết được chuyển động của phần tử và quỹ đạo của nó nếu biết
được x, y, z.
Trong thực tế, trừ vài trường hợp đặc biệt như nghiên cứu chuyển động của
sóng, việc biết chuyển động riêng biệt của từng phần tử chất lỏng không quan trọng.
Hơn nữa, nó dẫn đến những tính toán phức tạp cho nên trong thủy lực học, phương
pháp Lagrăngjơ được dùng ít hơn phương pháp Ơle.
Trong phương pháp Ơle, ta nghiên cứu vận tốc của các phần tử chất lỏng tại
nhiều điểm trong dòng chảy ở những thời điểm khác nhau. Ví dụ ta xét một điểm M
có tọa độ x, y, z cố định trong không gian chứa chất lỏng chuyển động, và một phần
tử chất lỏng chuyển động với vận tốc u qua điểm M tại thời gian t: các hình chiếu
ux, uy, uz của vận tốc u lên các trục tọa độ gọi là biến số Ơle (hình 2.2).
Trong thực tế, phương pháp Ơle tiện hơn phương pháp Lagrăngjơ vì những
lẽ sau đây:
− Đối với một số dòng chảy thường nghiên cứu trong thủy lực, gọi là dòng
chảy ổn định, thì ux, uy, uz không phụ thuộc thời gian.
− Toàn bộ các vectơ vận tốc của các phần tử chất lỏng chuyển động qua các
điểm cố định tạo thành một trường vận tốc có những tính chất của những
trường vectơ, do đó việc tính toán được thuận tiện hơn.
− Tiện lợi cho việc nghiên cứu thực nghiệm.
2.1.2. Áp suất:
Áp suất thủy động có hướng khác nhau tùy theo chất lỏng ta nghiên cứu là
chất lỏng lý tưởng hay chất lỏng thực. Trong chất lỏng lý tưởng, áp suất thủy động
hướng theo pháp tuyến của mặt chịu tác dụng; còn trong chất lỏng thực áp suất thủy
động vẫn hướng vào mặt tác dụng, nhưng không hướng theo pháp tuyến, vì nó là
tổng hợp của thành phần ứng suất pháp tuyến và thành phần ứng suất tiếp tuyến do
lực nhớt gây ra.
Có thể chứng minh rằng nếu tại một điểm ta biết các áp suất pháp tuyến px ,
py , pz lên ba mặt phẳng vuông góc với ba trục Ox, Oy, Oz của một hệ tọa độ vuông
góc bất kỳ trong dòng chất lỏng, ta tính được giá trị của áp suất thủy động p tại
điểm đó như sau:

px + p y + pz
p=
(2.2)
3
2.1.3. Nhiệt độ tuyệt đối:
Nhiệt độ là một thông số trạng thái biểu thị mức độ nóng lạnh của vật, nó thể
hiện mức độ chuyển động của các phân tử và nguyên tử. Theo thuyết động học phân
Trang 5


BÀI TẬP

tử thì nhiệt độ của chất khí là một đại lượng thống kê, tỉ lệ thuận với động năng
trung bình chuyển động tịnh tiến của các phân tử.
m
(2.3)
T=
3k
Trong đó:
− T: là nhiệt độ tuyệt đối của vật.
− m: là khối lượng phân tử.
−  : là vận tốc trung bình chuyển động tịnh tiến của các phẩn tử.
− k: là hằng số Bonzman, bằng 1,3805.10-23 j/K.
Như vậy tốc độ chuyển động tịnh tiến
của các phân tử càng lớn thì nhiệt độ của vật
 , St
Chất khí
càng cao.
Nhiệt độ ảnh hưởng rất lớn đến tính
nhớt  thông qua đồ thị bên (hình 2.3).

Đối với chất nước thì  phụ thuộc vào
lực liên kết giữa các phân tử chất lỏng nên
nhiệt độ tăng thì lực liên kết giảm dẫn đến 
giảm xuống.
Chất nước
Ngược lại, đối với chất khí thì  phụ
thuộc
vào
chuyển động nhiệt của phân tử chất
o
t
,
C
khí. Khi nhiệt độ tăng lên, chuyển động nhiệt
Hình 2.3
càng mạnh dẫn đến  tăng lên.
2.1.4. Khối lượng riêng và trọng lượng riêng:
Khối lượng là một thuộc tính của vật chất. Chất lỏng có khối lượng; khối
lượng của chất lỏng được đặc trưng bởi khối lượng của một đơn vị thể tích, gọi là
khối lượng riêng hay khối lượng đơn vị, ký hiệu là .
Chất lỏng có khối lượng M, chiếm một thể tích V thì khối lượng riêng của
chất lỏng được xác định như sau:
M
 kg / cm3 
=
(2.4)
V
Chất lỏng ta khảo sát thường ở trong không gian trái đất, nghĩa là chịu trọng
lượng của trường trọng lực. Vì thế chất lỏng có trọng lượng; trọng lượng của chất
lỏng được đặc trưng bởi trọng lượng của một đơn vị thể tích, gọi là trọng lượng

riêng hay trọng lượng đơn vị, ký hiệu là γ. Chất lỏng có khối lượng M chiếm một
thể tích V, chịu sức hút của quả đất với gia tốc trọng trường g thì sẽ có trọng lượng :
G = M.g  N 
(2.5)
Trọng lượng riêng của chất lỏng được xác định như sau:
G
 =  N / m3 
(2.6)
V
Từ các biểu thức (2.4), (2.5), (2.6) ta suy ra liên hệ giữa trọng lượng riêng và
khối lượng riêng như sau:

Trang 6


BÀI TẬP

 = .g  N / m 3 
Trong thực tế người ta còn dùng khái niệm tỷ trọng, chẳng hạn đối với chất
lỏng là tỷ số giữa trọng lượng riêng của chất lỏng và trọng lượng riêng của nước
thường ở nhiệt độ 4oC và ký hiệu:

=
(2.7)
n
Tính nén được là tính giảm thể tích chất lỏng khi thay đổi áp suất. Tính nén
được đặc trưng bởi hệ số nén p , là sự thay đổi thể tích tương đối khi áp suất thay

đổi đi một đơn vị. Ta có biểu thức xác định hệ số nén như sau:
1 V

 m 2 / N 
p = −

P Vo

(2.8)

− Vo  m 3  : thể tích ban đầu của chất lỏng.
− V = ( V − Vo )  m 3  : lượng thay đổi thể tích của chất lỏng.

− p = ( p − p o )  N / m 2  : lượng thay đổi áp suất.
Ta thấy rằng sự thay đổi áp suất và thể tích luôn ngược chiều nhau.
Từ công thức trên, ta suy ra thể tích của chất lỏng ở áp suất p:
V = Vo (1 − p )  m 3 
Kết hợp với (2.1), ta suy ra khối lượng riêng của chất lỏng:
o
 kg / m 2 
=
1 −  p p

(2.9)

(2.10)

Trong đó:  và o là khối lượng riêng của chất lỏng tương ứng với áp suất p
và p o .
Thông thường trong kỹ thuật, ta hay dùng đại lượng nghịch đảo của hệ số
nén, gọi là môđun đàn hồi của chất lỏng, ký hiệu là E:
1
 N / m 2 

E=
(2.11)
p 
Hệ số nén của chất lỏng nói chung phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ. Chẳng
hạn tính trung bình đối với nước ở nhiệt độ và áp suất bình thường E = 2.108 N / m2 .
1
Do đó khi áp suất tăng lên 1N / m2 thì thể tích của nước giảm đi
lần. Từ đó ta
1.108
có thể suy ra rằng khi áp suất tăng đến 4000at thì khối lượng riêng chỉ tăng lên 2%.
Vì vậy, trong thực tế có thể xem nước là loại chất lỏng không nén được.
Sự giản nở là tính chất của chất lỏng thay đổi thể tích khi nhiệt độ thay đổi.
Sự giản nở vì nhiệt được đặc trưng bởi hệ số giản nở  t , là sự thay đổi của thể tích
khi nhiệt độ thay đổi một độ. Theo đó ta có biểu thức xác định hệ số giản nở của
chất lỏng:

Trang 7


BÀI TẬP

t =

Trong đó:

1 V

1/ K 
T Vo

(2.12)

V = V − Vo  m 3 
T = T − To  K 
V = Vo (1 +  t T )  m 3 

Ta suy ra:
=

o
 kg / m 2 
1 − p T

(2.13)

Đối với các chất lỏng nén được (các chất khí lý tưởng) thì sự liên hệ khối
lượng riêng  , áp suất p và nhiệt độ T được biểu diễn bằng phương trình trạng thái:
pv = RT
(2.14)
Trong đó:
− v: thể tích riêng (thể tích của một đơn vị trọng lượng chất khí).
R [mol/K]: hằng số chất khí.
Từ trên ta có thể rút ra:
p
 kg / m3 
(2.15)
=
g.R.T
Nếu ta biết khối lượng riêng o ứng với trạng thái ( po , To ) thì có thể xác
định được khối lượng riêng  ở trạng thái ( p, T ) nhờ biểu thức trên và rút ra:


p T
= 
(2.16)
0 p o To
2.1.5. Các thông số đặc trưng khác của dòng chảy:
2.2. Các khái niệm về dòng chất lỏng không xoáy:
Chuyển động không xoáy của phần tử chất lỏng được gọi là chuyển động thế.
Trong trường hợp này, khi chuyển động mỗi phần tử chất lỏng có thể chịu biến
dạng nhưng không thực hiện chuyển động quay xung quanh trục tức thời đi qua bản
thân nó.
2 = rotu = 0
u z u y u x u z u y u x
=
;
=
;
=
Nghĩa là ta có:
(2.17)
u y u z u z u x u x u y
Dựa vào biểu thức trên ta có thể xác định được các thành phần vận tốc ux, uy,
uz.
Tuy nhiên có thể giải quyết vấn đề đó một cách đơn giản hơn khi dựa vào
biểu thức trên, chuyển bài toán về tìm một hàm số đặc trưng φ(x, y, z) nào đó thõa
mãn điều kiện:



ux = ; uy = ; uz =

(2.18)
x
y
z

Trang 8


BÀI TẬP

Như vậy trường vận tốc trong trường hợp chuyển động không xoáy (chuyển
động thế) có các tính chất tương tự như trường lực có thế (ví dụ như trường trọng
lực). Vì thế hàm φ(x, y, z) thõa mãn điều kiện trên gọi là hàm thế vận tốc.
Nếu φ(x, y, z) = const, thì ta có họ mặt đẳng thế. Trong điều kiện bài toán
phẳng, điều kiện Côsi - Riman về sự trực giao của đường dòng và đường thế vận tốc
trong dòng thế phẳng:
   
(2.19)

+

=0
x x y y
Và tại mọi điểm trên mặt đẳng thế, thế vận tốc là một hằng số và các đường
dòng luôn luôn hướng vuông góc với mặt đẳng thế (hình 2.4)
4

3

( x , y, z) = c1

2

( x, y, z) = c 2

1
5

1 2

3

4

Hình 2.4
2.3. Cách mô tả dòng xoáy:
Việc nghiên cứu động học của chuyển động xoáy trong môi trường chất lỏng
là một việc rất cần thiết. Vì nó đóng một vài trò rất quan trọng trong khi xét quan hệ
tương tác về lực (lực nâng và lực cản) của chất lỏng đối với vật thể rắn chuyển động
trong đó.
Những yếu tố đặc trưng cho dòng xoáy là: đường xoáy, ống xoáy, sợi xoáy,
cường độ xoáy v.v…
Nếu trong trường vectơ xoáy ta vẽ các đường cong sao cho tại mỗi điểm trên
đường cong đó tiếp tuyến của đường cong trùng với hướng của vectơ xoáy tại điểm
đó. Đường cong có tính chất đó gọi là đường xoáy. Về bản chất có thể xem đường
xoáy như là một trục quay tức thời của các phần tử chất lỏng nằm trên nó.
Phương trình đường xoáy có dạng:
dx dy dz
=
=
(2.20)

 x  y z
Tổ hợp các đường xoáy tựa lên một vòng kín vô cùng nhỏ đặt trong môi
trường chất lỏng chuyển động có xoáy cho ta hình ảnh một ống xoáy nguyên tố.
Chất lỏng chảy đầy trong ống xoáy nguyên tố cho ta hình ảnh một sợi xoáy.
Định lý Hemhôn 2 về cường độ xoáy: Tại mỗi thời điểm đã cho thông lượng
của vectơ vận tốc xoáy (rot u ) dọc theo ống xoáy là một số không đổi
Trang 9


BÀI TẬP

Cường độ của ống xoáy:
 = F (rotu) =  rot n ud

(2.21)



Định lý Stốc: Cường độ xoáy bằng lưu số vận tốc theo một đường cong kín
bao quanh ống xoáy.
(2.22)
 =  =  u s ds =  (u x dx + u y dy + u z dz)
s

s

du

dl

Hình 2.5

M

Vận tốc cảm ứng gây ra do đoạn sợi xoáy dl đối với một điểm M(x, y, z)
trong chất lỏng có vectơ xoáy rot u , nằm cách điểm tâm của dl một khoảng là r
(hình 2.5) được xác định theo công thức Biôxava:
 r  dl
 sin(r, dl)dl

du =

hoặc dưới dạng vectơ: du =
(2.23)
2
4 r 3
4
r
Vectơ cảm ứng gây ra do toàn bộ sợi xoáy L đối với điểm M trong môi
trường chất lỏng bao quanh được xác định như là tổng đại số các giá trị vận tốc cảm
ứng d u gây ra do các đoạn phân tố xoáy dl, nghĩa là:
 r  dl
(2.24)
u =  du =

4 L r 3
L
Công thức Biôxava để xác định trường vận tốc cảm ứng gây ra do một hệ
thống xoáy gồm nhiều xoáy thẳng:
(2)

(n)
1u (1)
x + 2 u x . . . . + n u x = 0
(2.25)
 (1)
(2)
(n)
1u y +  2 u y . . . . +  n u y = 0

Trang 10


BÀI TẬP

3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN, Ý NGHĨA CÁC PHƯƠNG TRÌNH:
3.1. Phương trình quá trình.
Quá trình chuyển hóa có thể là đẳng nhiệt, đoạn nhiệt, đẳng entrôpi… Việc
xét luật chuyển hóa này chỉ quan trọng đối với chất khí (nén được), còn đối với chất
lỏng (coi như không nén được), thông thường sự biến đổi nhiệt độ không đáng kể.
T v
− Đẳng áp: p = const → quan hệ thông số: 2 = 2
T1 v1
p
v
− Đẳng nhiệt: pv = const → quan hệ thông số: 2 = 1
p1 v2
T p
− Đẳng tích: v = const → quan hệ thông số: 2 = 2
(3.1)
T1 p1

T p 
− Đoạn nhiệt: pv = const → quan hệ thông số: 2 =  2 
T1  p1 
k

k −1
k

v 
= 1 
 v2 

k −1

3.2. Phương trình liên tục.
Phương trình liên tục biểu hiện dưới dạng toán học là một trong những
nguyên lý quan trọng nhất của vật lý học: nguyên lý bảo toàn khối lượng.
3.2.1. Phương trình liên tục cho chuyển động không ổn định của chất lỏng nén
được.
 v x v y v z
+
+
+
=0
t
x
y
z


+ div(v) = 0
Hay:
(3.2)
t
3.2.2. Phương trình liên tục cho chất lỏng nén được chuyển động ổn định.

=0
t
v x v y v z
+
+
=0
x
y
z
Hay:

(3.3)

div(v) = 0

3.2.3. Phương trình liên tục cho chất lỏng chuyển động ổn định không nén được.

= 0 ;  = const
t
v x v y v z
+
+
=0
(3.4)

x
y
z
Hay:

div(v) = 0

Trang 11


BÀI TẬP

3.2.4. Phương trình liên tục cho dòng một chiều có tiết diện thay đổi.
S Sv
+
=0
t
l
1 v1S1 = 2 v2S2
Suy ra:

(3.5)

3.2.5. Phương trình liên tục cho 2 tiết diện của dòng nguyên tố.
v1S1 = v2S2

(3.6)

3.2.6. Phương trình liên tục cho toàn dòng chất lỏng thực.
v1tbS1 = v 2tbS2

(3.7)
Trong dòng chảy ổn định, lưu lượng qua mọi mặt cắt ướt đều bằng nhau, và
vận tốc trung bình vtb tỷ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ướt.
3.3. Phương trình chuyển động chất lỏng thực.
1
1
dv
R − gradp +   graddivv +  v =
(3.8)

3
dt
So với phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng, thì phương trình
1
Navie-Stokes có thêm hai số hạng biểu thị ảnh hưởng của lực nhớt:   graddivv
3
và  v .
Biểu thức (3.8) biểu diễn định luật biến thiên động lượng của một đơn vị
khối lượng chất lỏng chuyển động. Trong đó, vế trái của phương trình biểu diễn các
lực tác dụng lên một đơn vị khối lượng chất lỏng gồm có: lực khối đơn vị R , áp lực
1
1
gradp và lực ma sát gây ra do tính nhớt   graddivv +  v ; vế phải của phương
3

trình đó biểu diễn biến thiên động lượng của một đơn vị khối lượng chất lỏng.
Việc giải hệ phương trình Navie-Stokes cần kết hợp thêm phương trình liên
tục và phương trình trạng thái, lúc đó sẽ cho phép ta xác định được năm ẩn số u x , uy
, uz , p, và  là những đại lượng phụ thuộc vào x, y, z, và t.
Tuy nhiên việc giải chính xác hệ phương trình đó ngay cả đối với trường hợp

chất lỏng không nén được cũng là một bài toán rất phức tạp và khó khăn.
Cho đến nay phương trình đó chỉ được giải đúng cho một số trường hợp đơn
giản. Ví dụ dòng chất lỏng thực chuyển động trong ống tròn thẳng (bài toán Poazơ),
dòng chất lỏng thực trong khe hẹp tạo nên giữa hai bản phẳng song song cố định
hoặc một bản cố định, bản kia chuyển động (bài toán Cuét-Poazơ) v.v…
Những bài toán thủy động khác thường được giải bằng phương pháp gần
đúng. Nghĩa là người ta đơn giản bớt các điều kiện của bài toán, bỏ bớt một vài số
hạng có ảnh hưởng không đáng kể đối với các số hạng còn lại, tức là tuyến tính hóa
phương trình Navie-Stokes.
3.4. Phương trình chuyển động xoáy Hemholtz.v
rotv = 2

Trang 12


BÀI TẬP

d
=  gradv + 
(3.9)
dt
Nếu chất lỏng lý tưởng  = 0 , xuất hiện xoáy sẽ tồn tại vĩnh viễn.
d
=  gradv
dt
Đối với chất lỏng thực, xoáy sẽ bị triệt tiêu dần theo ma sát. Xoáy chỉ gồm
các phần tử nhất định, chỉ xuất hiện và kết thúc trên mặt phân cách hoặc tạo thành
các mặt xoáy khép kín. Và khi xoáy xuất hiện, bao giờ cũng kéo theo các phần tử
rắn (tâm xoáy là rác rưởi).

3.5. Chứng minh phương trình Becnuli là tích phân bậc nhất (tích phân
đường) của phương trình chuyển động.
Phương trình vi phân chuyển động của Ơle (chất lỏng lý tưởng):
1
du
F − gradp =

dt
Chiếu lên các trục tọa độ, phương trình trên thành:
1 p du x

X −  x = dt


1 p du y
(3.10)
=
Y −
 y dt


1 p du z
=
Z −


z
dt

Nhân lần lượt hai vế của phương trình (3.10) cho dx, dy, dz rồi cộng lại, sẽ

được:
1  p
p
p 
Xdx + Ydy + Zdz −  dx + dy + dz  =
  dx
dy
dz 
u y
u
u
= x dx +
dy + z dz
(3.11)
dt
dt
dt
Vì lực khối chỉ có trọng lực, nên X = Y = 0; Z = - g. Mặt khác, do giả thuyết
chuyển động ổn định nên p = f (x, y, z), tức là:
p
p
p
dp = dx + dy + dz
x
y
z
Vế phải của phương trình có thể biến đổi thành:
 u2 
u x dx + u y dy + u z dz = d  
 2 

Thay các kết quả trên đây vào phương trình (3.11):

Trang 13


BÀI TẬP

 u2 
1
−gdz − dp = d  

 2 

(3.12)

=0

Các phương trình (3.11), (3.12) đều tính cho một đơn vị khối lượng chất lỏng; vì
vậy, nếu ta chia phương trình (3.12) cho gia tốc trọng trường g, ta sẽ được một
phương trình tính cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng:
 u2 
1
(3.13)
dz + dp + d   = 0

2g
 
Tích phân phương trình (3.13) sẽ được
p u2
z+ +

= const  (đpcm)
 2g
 u2
1
gdz + dp + d 

 2

3.6. Chứng minh phương trình động lượng là tích phân bậc hai (tích phân mặt)
của phương trình chuyển động.

Trang 14


BÀI TẬP

4. DÒNG MỘT CHIỀU, CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG CỦA NÓ.
4.1. Định nghĩa:
Chuyển động một chiều là chuyển động của dòng chảy phụ thuộc vào một
yếu tố không gian.
− Dòng một chiều ổn định v = v(x).
− Dòng một chiều không ổn định v = v(x, t).
Chuyển động nhiều chiều là chuyển động của dòng chảy phụ thuộc vào hai
hoặc ba yếu tố không gian.
− Dòng hai chiều ổn định v = v(x, y, t).
− Dòng hai chiều không ổn định v = v(x, y).
− Dòng ba chiều ổn định v = v(x, y, z).
− Dòng ba chiều không ổn định v = v(x, y, z, t).
4.2. Phương trình liên tục cho dòng một chiều.
v1tbS1 = v 2tbS2

Trong đó:
− S1, S2: là diện tích mặt cắt ướt tại mặt cắt 1-1 và 2-2.
− v1tb, v2tb: là vận tốc trung bình của chất lỏng tại mặt cắt 1-1 và 2-2.

(4.1)

4.3. Phương trình Becnuli.
Phương trình Becnuli ứng với dòng chất lỏng thực có kích thước hữu hạn,
biến đổi chậm, được dùng rộng rãi để giải các bài toán trong thủy khí động lực,
nhưng khi dùng cần chú ý các điều kiện lập phương trình.
2
2
p1 1 v1tb
p 2  2 v2tb
z1 + +
= z2 + +
+ h t1,2 [m cột chất lỏng]
(4.2)

2g

2g
Trong đó:
− 1, 2: là hệ số hiệu chỉnh động năng cho toàn dòng chảy (gọi là hệ số
Coriolit).  phụ thuộc vào sự phân bố vận tốc trên tiết diện ướt.
+ Dòng chảy tầng,  = 2.
+ Dòng chảy rối,  = 1.
− ht1,2: là tổn thất cột áp khi chất lỏng di chuyển giữa hai mặt cắt.
− z1, z2: là độ cao hình học của mặt cắt 1-1 và 2-2.
4.4. Phương trình tổn thất năng lượng (dọc đường, cục bộ).

Tổn thất năng lượng của dòng ổn định được phân làm hai loại: tổn thất dọc
đường hd và tồn thất cục bộ hc.
h t = hd + hc
(4.3)
Tổn thất dọc đường hd tỉ lệ thuận với chiều dài dòng chảy.
l v2
(4.4)
hd =   
d 2g
Trong đó:
− l: là chiều dài ống [m]
Trang 15


BÀI TẬP

− d: là đường kính ống [m]
− v: là vận tốc trung bình trên tiết diện ướt [m/s]
− λ: là hệ số ma sát của chất lỏng và thành ống
− g: là gia tốc trọng trường, g = 9,81 m/s2
Tổn thất cục bộ hc xuất hiện ở một vài nơi trên dòng chảy (nơi có cường độ
dòng chảy thay đổi, hoặc nơi mà phương của dòng chảy thay đổi).
v2
(4.5)
hc =  
2g
Trong đó:
−  : là hệ số tổn thất cục bộ, ít phụ thuộc vào trạng thái dòng chảy, nhưng
phụ thuộc vào đặc trưng hình học của vật cản.
− v: là vận tốc trung bình trên tiết diện ướt [m/s]

− g: là gia tốc trọng trường, g = 9,81 m/s2
Hệ số tổn thất đột mở:

đm

S

=  2 − 1
 S1


2

(4.6)

Hệ số tổn thất đột thu:

 S 
(4.7)
đt = 0,5 1 − 2 
S

1 
Trong đó: S1, S2 lần lượt là diện tích mặt cắt ướt ở phía trước và phía sau vật
cản.
4.5. Phương trình động lượng.
Biến thiên động lượng theo thời gian bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên
hệ.
(4.8)
 Fi = Q 2 v2tb − 1 v1tb

(

)

Trong đó:
− β: là hệ số hiệu chỉnh động lượng (Butximet), β phụ thuộc vào sự phân bố
vận tốc trên tiết diện nhưng thường chọn β = 1.
− , Q: là khối lượng riêng và lưu lượng của chất lỏng.
− Fi : là ngoại lực thứ i.

Trang 16


BÀI TẬP

5. CHO VÍ DỤ GIẢI MỘT BÀI TOÁN TRONG HỆ THỐNG NHIÊN LIỆU CỦA
ĐỘNG CƠ CÓ ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ HỌC.
5.1. Bài toán tính phao của bộ chế hòa khí.
Xăng (  = 0, 7 ) dưới áp suất p = 2,94N/cm2 chảy vào chế hòa khí có phao
theo đường ống d = 4 mm. Phao cầu trọng lượng 0,245N và kim (có trọng lượng ở
trong xăng 0,118N) đóng mở xăng được gắn vào đòn bẩy (a = 40mm, b = 15mm);
đòn bẩy này quay quanh trục O (hình 5.1).
Xác định kích thước phao (bán kính R) với điều kiện làm sao giữ được mức
xăng không đổi và khi mở lỗ thì phao chìm một nửa. Bỏ qua ma sát của quả cầu và
trọng lượng đòn bẩy.
pa

Pp
R

Ft

O

Pk

p

Pb

Tới vòi phun
Hình 5.1
Xét tại thời điểm kim vừa chớm mở, thì phương trình cân bằng momen lấy
đối với điểm tâm quay O:
(1)
(Ft − Pp )  a = (Pb − Pk )  b

1 4
Mặt khác: Ft =   R 3 n
2 3

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

  pd 2


− pk   b



3 Ft
3 1  4

R=3 
=3 

+ Pp 


2  n
2  n
a




Thay số vào (3)

(3)

  2,94.104.3,1415.(4.10−3 )2


− 0,118  15


4
3
1




R=3 

+ 0, 245


2 3,1415.0, 7.9810
40




Trang 17


BÀI TẬP

R = 0,02869m = 28,69mm
5.2. Bài toán tính toán hệ thống nhiên liệu động cơ dùng bộ chế hòa khí.
l 2 , d 2 , c 2
pa
l2,d2,
2
2
h

L l
l1,d1

pa
0

1
B 1
pa
pa
c 0

Trang 18


BÀI TẬP

PHẦN 2: BÀI TẬP LẦN 2.
1. TẬP CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH ỐNG PHUN:
− Phân tích ống phun hình học (đặc điểm thủy lực của ống phun hình học).
− Phân tích ống phun hình học ảnh hưởng do ma sát.
2. PHÂN TÍCH ĐIỂM GIỐNG NHAU VÀ KHÁC NHAU CỦA MẶT TĂNG
VỌT NÉN THẲNG VÀ MẶT TĂNG VỌT NÉN XIÊN:

Trang 19