CHỦ đề 23 LIÊN hệ GIỮA THỨ tự PHÉP CỘNG PHÉP NHÂN

BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

CHỦ ĐỀ 23: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG.
LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN.
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1/ Với ba số a, b, c ta có:
Nếu a < b thì a + c < b + c
Nếu a > b thì a + c > b + c
Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c
Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c
Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức
mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
2/ Với ba số a, b, c mà c > 0 ta có:
Nếu a < b thì a.c < b.c

Nếu a ≤ b thì a.c ≤ b.c

Nếu a > b thì a.c > b.c

Nếu a ≥ b thì a.c ≥ b.c

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng
thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
3/ Với ba số a, b, c mà c < 0 ta có:
Nếu a < b thì a.c > b.c

Nếu a ≤ b thì a.c ≥ b.c

Nếu a > b thì a.c < b.c

Nếu a ≥ b thì a.c ≤ b.c

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức
mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
B/ CÁC DẠNG TOÁN.
DẠNG 1: THỨ TỰ CÁC SỐ.
a < b : đọc là a nhỏ hơn b
a ≤ b : đọc là a nhỏ hơn hoặc bằng b
Chú ý đến quy tắc cộng và nhân hai vế bất đẳng thức cho cùng một số.
Bài 1: Bất đẳng thức nào biểu thị đúng thứ tự số? vì sao?
a) (-2) + 3 ≥ 2

b) – 6 ≤ 2.(-3)

c) 4 + ( - 8) < 15 + (- 8)

d) x2 + 1 ≥ 1

Hướng dẫn
a) (-2) + 3 ≥ 2 sai vì 1 ≥ 2 là bất đẳng thức sai


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

b) – 6 ≤ 2.(-3) đúng vì – 6 = 6
c) 4 + ( - 8) < 15 + (- 8) đúng vì 4 < 15 cộng hai vế của bất đẳng thức cho – 8
d) x2 + 1 ≥ 1 đúng vì x2 ≥ 0 đúng với mọi x

Bài 2: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a) (−6).5<(−5).5
b) (−6).(−3)<(−5).(−3)
c) (−2003).(−2005)≤(−2005).2004
d) −3x2 ≤0
Hướng dẫn
a) (-6).5 < (-5).5 Vì -6 < -5 và 5 > 0 => (-6).5 < (-5).5
Vậy khẳng định (-6).5 < (-5).5 là đúng
b) -6 < -5 và -3 < 0 => (-6).(-3) > (-5).(-3)
Vậy khẳng định (-6).(-3) < (-5).(-3) là sai.
c) -2003 ≤ 2004 và -2005 < 0 => (-2003).(-2005) ≥ (-2005).2004
Vậy khẳng định (-2003).(-2005) ≤ (-2005).2004 là sai.
d) x2 ≥ 0 và -3 < 0 => -3x2 ≤ 0
Vậy khẳng định -3x2 ≤ 0 là đúng
Bài 3: Số a là số âm hay dương nếu:
a) 12a < 15a?
b) 4a < 3a?
c) -3a > -5a
Hướng dẫn
a) Ta có: 12 < 15. Để có bất đẳng thức 12a < 15a ta phải nhân cả hai vế của bất đẳng
thức 12 < 15 với số a. Để được bất đẳng thức cùng chiều thì a > 0
b) Vì 4 > 3 và 4a < 3a trái chiều. Để nhân hai vế của bất đẳng thức 4 > 3 với a được bất
đẳng thức trái chiều thì a < 0
c) Từ -3 > -5 để có -3a > -5a thì ta phải nhân cả hai vế của bất đẳng thức đó với số a
dương.
Bài 4: Cho tam giác ABC . Các khẳng định sau đúng hay sai ?
B
 C
 > 180o
a) A

BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

B
 < 180o
b) A
 C
 < 180o
c) B

B
 ≥ 180o
d) A

Hướng dẫn
B
 C
 > 180o là bất đẳng thức sai
a) A

b) và c) là các bất đẳng thức đúng.
d) là bất đẳng thức sai.
Bài 5:
a) So sánh (-2).3 và -4,5.
b) Từ kết quả câu a) hãy suy ra các bất đẳng thức sau: (-2).30 < -45; (-2).3 + 4,5 <0.
Hướng dẫn
a) So sánh (-2).3 và -4,5. Ta có: -2 < -1,5 và 3 > 0 =>(-2).3 < (-1,5).3 =>(-2).3 < -4,5

b) Từ bất đẳng thức: (-2).3 < -4,5 ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 10 > 0 thì
được: (-2).30 < -45
Từ bất đẳng thức: (-2).3 < -4,5 ta cộng vào cả hai vế với 4,5 thì được:
( − 2 ) .3 + 4 , 5 < − 4 , 5 + 4 , 5 =>(-2).3 + 4,5 < 0
DẠNG 2: SO SÁNH HAI SỐ.
* Dùng quy tắc cộng và nhân hai vế bất đẳng thức cho cùng một số
* Dùng tính chất bắc cầu
a  b
ac

b  c

a  b
ac

b  c

a  b
ac

b  c

a  b
ac

b  c

Bài 1: Cho x  y hãy so sánh :
a) 2 x  1 và 2 y  1

b) 2  3x và 2  3y

c)

x
y
 5 và  5
3
3

Bài giải
a) x  y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
 2 x  2 y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 1 ”
 2x  1  2 y  1.
b) x  y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm 3 ”


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

 3 x  3 y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2 ”
 2  3x  2  3 y .
c) x  y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương

1
”
3



x y

“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”
3 3



x
y
5 5.
3
3

Bài 2: So sánh hai số x , y nếu :
a) 3 x  5  3 y  5
b) 7  4 x  7  4 y
Bài giải
a) 3 x  5  3 y  5 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”
 3 x  5  5  3 y  5  5  3x  3 y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương
1
3

1
3

 .3x  .3 y  x  y .
b) 7  4 x   7   7  4 y   7  “cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7”
 4 x  4 y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm 
1

4

1
4

  . 4  x   . 4  y  x  y .
Bài 3: Cho a < b, hãy so sánh: 2a và 2b; 2a và a + b;

-a và -b.

Hướng dẫn
+) a < b và 2 > 0 => 2a < 2b
+) a < b cộng hai vế với a => a + a < a + b => 2a < a + b
+) a < b và -1 < 0 => -a > -b
Bài 4: So sánh a và b nếu:
a) a + 5 < b + 5

b) -3a > -3b

c) 5a – 6 ≥ 5b – 6

d) -2a + 3 ≤ -2b + 3.

Hướng dẫn

1
”
4

1

3


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

a) Ta có: a + 5 < b +5 =>a + 5 + (-5) < b + 5 + (-5) (cộng hai vế với -5) => a < b.
b) Ta có : -3a > -3b => − 3 a . (−

1
1
1
) < − 3 b . (− ) (nhân cả hai vế với − < 0 )
3
3
3

=> a < b
c) Ta có: 5a – 6 ≥ 5b – 6 => 5a – 6 + 6 ≥ 5b – 6 + 6 (cộng hai vế với 6) => 5a ≥ 5b
=> 5 a . 1 5 ≥ 5 b . 1 5 (nhân cả hai vế với 1 5 > 0 ) => a ≥ b.
d) -2a + 3 ≤ -2b + 3 => -2a ≤ -2b (cộng hai vế với -3)
=> − 2a.( −

1
1
1
) ≥ − 2b . ( − ) (nhân cả hai vế với − < 0 ) => a ≥ b
2
2

2

DẠNG 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC <Mức độ cơ bản>
Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta sử dụng một số phương pháp cơ bản sau:
+ Từ bất đẳng thức đúng, cộng hoặc nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số
+ Lập hiệu A – B và chứng minh A – B ≥ 0
+ Chú ý:
A2  0

với A. Dấu “=” xảy ra  A = 0

|A|  A với A. Dấu “=” xảy ra  A  0
C2 + D2 + …+ F2 ≥ 0 vì C2 ≥ 0, D2 ≥ 0, …, F2 ≥ 0
+ Dùng phép biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng
thức đúng.
* Từ bất đẳng thức đúng, cộng hoặc nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số.
Bài 1: Cho m bất kỳ, chứng minh :
a) m  3  m  4
b) 2m  5  2m  1
c) 7  3m  3  3  m 
Hướng dẫn
a) Vì 3  4 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số m bất kỳ ”
Ta được m  3  m  4 .
b) Vì 5  1 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2m bất kỳ ”
Ta được 2m  5  2m  1 .
c) Vì 7  9 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 3m bất kỳ ”


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

Ta được 7  3m  9  3m  7  3m  3  3  m  .
Bài 2: Cho a  b  0 chứng minh
1) a 2  ab
2) ab  b2
3) a 2  b2
Hướng dẫn
1) a  b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số a  0 ”
 a.a  ab  a 2  ab , (1).
2) a  b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số b  0 ”
 a.b  b.b  ab  b2 , (2).
3) Từ (1) và (2) ta có a 2  b2 .
Bài 3 : Cho a  b chứng minh :
a) 2a  3  2b  3
b) 2a  5  2b  8
c) 7  3a  3  3  b 
Hướng dẫn
a) a  b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
 2a  2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số :  3 ”
 2a   3  2b   3   2a  3  2b  3 .
b) a  b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
 2a  2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số :  5 ”
 2a   5   2b   5   2a  5  2b  5
Vì 5  8 nên 2b  5  2b  8 , theo tính chất bắc cầu ta có 2a  5  2b  8
c) a  b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm : 3 ”
 3a  3b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7 ”
 7  3a  7  3b
Vì 7  9 nên 7  3b  9  3b theo tính chất bắc cầu ta có 7  3a  3  3  b  .
* Phương pháp xét hiệu A – B

BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

Bài 4. Chứng minh a2 + b2 + c2  ab + bc + ca với mọi a, b, c.
Hướng dẫn: Xét hiệu:
A

=

(a2 + b2 + c2) − (ab + bc + ca)

=


1 2
(a − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2)
2


=


1
(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
2




0

a, b, c.

Vì A  0 nên a2 + b2 + c2  ab + bc + ca
Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
Bài 5. Cho các biểu thức sau:
A = (a + b)(a4 + b4) và

B = (a2 + b2)(a3 + b3)

với a, b  0

So sánh A và B.
Hướng dẫn: Xét hiệu
A − B = (a + b)(a4 + b4) − (a2 + b2)(a3 + b3)
= (a5 + b5 + a4b + ab4) − (a5 + b5 + a3b2 + a2b3)
= a4b − a3b2 − a2b3 + ab4
= a3b(a − b) − ab3(a − b)
= ab(a − b)(a2 − b2)
= ab(a + b)(a − b)2 

0

vì a, b  0

Do đó A  B.
Dấu “=” xảy ra  a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b.

Bài 6. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b:
Hướng dẫn

(a+b)2−4ab (a−b)2
1 1
4
a+b
4
Xét hiệu + −
=
−
=
=
0
a b a+b ab a+b
ab(a+b)
ab(a+b)
 VT  VP. Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra  a = b.
Bài 7: Cho

0abc

Chứng minh rằng:

a b c b c a
    
b c a a b c

1 1

4
+ 
a b
a+b


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

Hướng dẫn
Xét hiệu:

a b c b c a
1
     
(a 2c  b 2 a  c 2b  b 2c  c 2 a  a 2b)
b c a a b c abc


1
(a 2c  b 2c)  (b 2 a  a 2b)  (c 2b  c 2 a ) 
abc

1
c(a 2  b 2 )  ab(b  a )  c 2 (b  a ) 
abc
1

(b  a )(ca  cb  ab  c 2 )

abc
1

(b  a )(c  b)(c  a )  0
abc


Vì

0  a  b  c.
a b c b c a
    
b c a a b c

Vậy

* Phương pháp biến đổi tương đương.
Bài 8: Cho a, b bất kỳ, chứng minh :
1) a 2  b2  2ab  0
2)

a 2  b2
 ab
2

3) a 2  b2  ab  0 .
Hướng dẫn
2

1) Với a, b bất kỳ ta có  a  b   0  a 2  b2  2ab  0 .

2) a 2  b2  2ab  0  a 2  b2  2ab 
2

a 2  b2
 ab .
2
2

2

b b
b  3b 2
b

2
3) a  b  ab  0  a  2.a.     b     0   a   
 0.
2 2
2
4
 2

2

2

2

Bài 9. Với a, b  0, chứng minh rằng: a + b  a+b
Hướng dẫn

Ta có: a + b  a+b
 a + 2 ab + b  a + b  ab  0 (đúng với mọi a, b  0)
Vậy bất đẳng thức xuất phát cũng đúng.


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

Dấu “=” xảy ra  a = 0 hoặc b = 0.
a2  b2  c 2  a  b  c 
Bài 10. Cho a, b, c là ba số thực bất kì. Chứng minh bất đẳng thức:


3
3



2

Hướng dẫn
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
2

a 2  b2  c 2  a  b  c 
2

 3  a 2  b2  c 2    a  b  c 
3

9
2
2
2
 3  a  b  c   a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca 
 2  a 2  b2  c 2   2  ab  bc  ca 
2

2

2

  a  b   b  c    c  a   0

Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng.
Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
Bài 11: Chứng minh rằng: |a| + |b|  |a + b|

a, b.

Hướng dẫn
Nhận xét: |x|2 = x2 với x

và

|x|.|y| = |xy|

x, y.

Ta có:

|a| + |b|  |a + b| 

(|a| + |b|)2  (|a + b|)2



|a|2 + 2|a|.|b| + |b|2  (a + b)2



a2 + 2|ab| + b2  a2 + 2ab + b2



|ab|  ab

(đúng với mọi a, b).

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Dấu “=” xảy ra  ab  0.
Chú ý: Ngoài ra, ta còn có một bất đẳng thức khác cũng liên quan tới dấu giá trị tuyệt
đối: |a| − |b|  |a − b|

(Dấu “=” xảy ra  ab  0).

Bài 12: Với a , b, c  0 chứng minh:
Hướng dẫn

a
b

c
1 1 1
 
 2(   )
bc ca ab
a b c

a
b
c
1 1 1
 
 2(   )
bc ca ab
a b c


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

 a 2  b 2  c 2  2(bc  ac  ba ) (do abc  0)
 a 2  b 2  c 2  2bc  2ac  2ab  0

 (a  b  c)2  0 HiÓn nhiªn ®óng.
Vậy

a
b
c

1 1 1
 
 2(   ) .
bc ca ab
a b c
2

2

2

2

Bài 13: Chứng minh rằng mọi a,b,c,d thì: a  b  c  d  1  a  b  c  d

(1)

Hướng dẫn

(1)  a 2  b 2  c 2  d 2  1  (a  b  c  d )  0
  a 2  a   (b 2  b )  ( c 2  c )  ( d 2  d )  1  0
1
1
1
1
 ( a  ) 2  (b  ) 2  ( c  ) 2  ( d  ) 2  0
2
2
2
2

Vậy :

a2  b2  c2  d 2  1  a  b  c  d

Bài 14: Chứng minh rằng nếu:

a  b  2 thì a 3  b 3  a 4  b 4

(1)

Hướng dẫn

(1)  a 4  b 4  a 3  b3  0
 a 3 (a  1)  b3 (b  1)  0

 a 3 (a  1)  b3 (b  1)  ( a  1)  (b  1)  (a  1)  (b  1)  0
 ( a  1)( a 3  1)  (b  1)(b3  1)  a  b  2  0
 ( a  1) 2 ( a 2  a  1)  (b  1) 2 (b 2  b  1)  a  b  2  0
Suy ra điều phải chứng minh.
Vì:

(a  1) 2  0

 (a  1) 2 ( a 2  a  1)  0

(b  1) 2  0

 (b  1) 2 (b 2  b  1)

a b  2

 a b2  0

DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
* Giả sử f(x) ≤ k (k là hằng số) và dấu bằng xảy ra  x = a
=> Giá trị lớn nhất của f(x) là k khi x = a, kí hiệu max f(x) = k khi x = a
* Giả sử f(x) ≤ k (k là hằng số) và dấu bằng xảy ra  x = a


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

=> Giá trị nhỏ nhất của f(x) là k khi x = a, kí hiệu min f(x) = k khi x = a
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A  4 x 2  4 x  11
b) B = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c) C  x 2  2 x  y 2  4 y  7
Hướng dẫn
2

a) A  4 x 2  4 x  11  4 x 2  4 x  1  10   2 x  1  10  10
1
 Min A = 10 khi x   .
2

b) B = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = (x - 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36  -36
 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.

c) C  x 2  2 x  y 2  4 y  7
= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2  2
 Min C = 2 khi x = 1; y = 2.

Bài 2: Tìm GTNN của:
a) M  x  1  x  2  x  3  x  4
2

b) N   2 x  1  3 2 x  1  2
Hướng dẫn
a) M  x  1  x  2  x  3  x  4
x  1  x  4  x 1  4  x  x 1  4  x  3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)  0 hay 1  x  4
x  2  x  3  x  2  3 x  x  2  3 x 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)  0 hay 2  x  3
Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2  x  3 .
2

2

b) N   2 x  1  3 2 x  1  2  2 x  1  3 2 x  1  2
Đặt t  2 x  1 thì t  0
Do đó N = t2 – 3t + 2 = (t  32 )2 

1
1
N  .
4

4


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

3
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t   0  t 

3
2

3
5


2
x

1

x


1
3
3

2 
4
Do đó N   khi t   2 x  1   

4
2
2
2x 1   3
x   1


2
4
1
4

Vậy min N    x 

5
1
hay x   .
4
4

Bài 3: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Hướng dẫn
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2


x 2 y 2 x2

y2 1 2
y 
 x

  xy 
 ( x  y2 )  


2
2
2
2 2
2
 2

2

1
 M  ( x2  y 2 )
2

Ngoài ra: x + y = 1  x2 + y2 + 2xy = 1  2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó x 2  y 2 

1
1
1
và x 2  y 2   x  y 
2

2
2

1
2

1
2

1 1
2 2

Ta có: M  ( x 2  y 2 ) và ( x 2  y 2 )   M  . 
Do đó M 

1
4

1
1
và dấu “=” xảy ra  x  y 
4
2
1
4

1
2

Vậy GTNN của M   x  y 

Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của: y 

4x  3
.
x2 1

Hướng dẫn
* Cách 1: y 

4x  3
ax 2  4 x  3  a

a

x2 1
x2  1

Ta cần tìm a để ax 2  4 x  3  a là bình phương của nhị thức.
 a  1
a  4

Ta phải có:  '  4  a (3  a )  0  
- Với a = -1 ta có: y 

4x  3
x 2  4x  4
( x  2) 2
 1 



1

x 1
x2  1
x2  1


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

 y  1. Dấu “=” xảy ra khi x = -2.

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
- Với a = 4 ta có: y 

4x  3
-4x 2  4 x  1
(2 x  1)2
 4

4

4
x 1
x2 1
x2  1

Dấu “=” xảy ra khi x =

1
.
2

Vậy GTLN của y = 4 khi x =

1
.
2

* Cách 2: Vì x2 + 1  0 nên: y 

4x  3
 yx 2  4 x  y  3  0 (1)
2
x 1

y là một giá trị của hàm số  (1) có nghiệm
- Nếu y = 0 thì (1)  x  

3
4

- Nếu y  0 thì (1) có nghiệm

  '  4  y ( y  3)  0  ( y  1)( y  4)  0
 y 1  0
 y 1  0
hoặc 
 1  y  4


y  4  0
y  4  0

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
Vậy GTLN của y = 4 khi x =

1
.
2

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của: A 

x2  x  1
.
x2  x 1

Giải
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
a

x2  x  1
x2  x 1

(1)
2

1 3
1
3

1
Do x + x + 1 = x + 2. .x +    x     0
2
4 4 
2 4
2

2

Nên (1)  ax2 + ax + a = x2 – x + 1  (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
+ Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
+ Trường hợp 2: Nếu a  1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là   0 , tức là:
(a  1)2  4(a  1)(a  1)  0  (a  1  2a  2)( a  1  2a  2)  0
 (3a  1)(a  3)  0 

1
 a  3(a  1)
3


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

Với a 

(a  1)
a 1
1


hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x 
3
2(a  1) 2(1  a )

Với a 

1
thì x = 1
3

Với a = 3 thì x = -1
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
GTNN của A 

1
khi và chỉ khi x = 1
3

GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1
C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Cho a, b, c, d, e  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2  b2  c2  ab  bc  ca

b) a2  b2  1  ab  a  b

c) a2  b2  c2  3  2(a  b  c)

d) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca)

e) a  b  c  1  2a(ab  a  c  1)

a2
f)
 b2  c2  ab  ac  2bc
4

g) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1 a2 )  6abc

h) a2  b2  c2  d 2  e2  a(b  c  d  e)

4

4

2

2

Hướng dẫn:
a)  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  0

b)  (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  0

c)  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2  0

d)  (a  b  c)2  0
2

2

2 2

2

a

f)    (b  c)   0
2


2

e)  (a  b )  (a  c)  (a  1)  0
g)  (a  bc)2  (b  ca)2  (c  ab)2  0
2

2

2

2

a
 a  a
 a 
h)    b     c     d     e  0
2
 2  2
 2 

Bài 2: Cho a, b, c  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2

3

 a b
a2  b2
a) ab  
 
 2 
2

a3  b3  a  b 
b)

 ; với a, b  0
2
 2 

c) a4  b4  a3b  ab3

d) a4  3  4a

e) a3  b3  c3  3abc , với a, b, c > 0.

f) a4  b4 

a6
b2



b6
a2

; với a, b  0.


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

g)

1
2

1 a

1



2

1 b



Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

2

; với ab  1.
1  ab

h) (a5  b5 )(a  b)  (a4  b4 )(a2  b2 ) ; với ab>0

Hướng dẫn
2

2

 a b
(a  b)2
a2  b2  a  b 
(a  b)2
a) 
 0;

0
  ab 
 
 2 
4
2
 2 
4

b) 

3
(a  b)(a  b)2  0

8

c)  (a3  b3 )(a  b)  0
d)  (a  1)2 (a2  2a  3)  0
e) Chú ý: a3  b3  (a  b)3  3a2b  3ab2 .
BĐT  (a  b  c)  a2  b2  c2  (ab  bc  ca)  0 .
f)  (a2  b2 )2 (a4  a2b2  b4 )  0
g) 

(b  a)2 (ab  1)
(1  ab)(1  a2 )(1  b2 )

0

h)  ab(a  b)(a3  b3 )  0 .
Bài 3: Cho a, b, c, d  R. Chứng minh rằng a2  b2  2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng
thức sau:
a) a4  b4  c4  d 4  4abcd
b) (a2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc
c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d2  4)  256abcd
Hướng dẫn:
a) a4  b4  2a2b2; c2  d2  2c2d 2 ; a2b2  c2d2  2abcd
b) a2  1  2 a ; b2  1  2 b ; c2  1  2 c
c) a2  4  4 a ; b2  4  4 b ; c2  4  4 c ; d 2  4  4 d
Bài 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) ab  bc  ca  a2 +b2  c2 <2(ab  bc  ca)
b) abc  (a  b  c)(b  c  a)(a  c  b)


BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

c) 2a2b2  2b2c2  2c2a2  a4  b4  c4  0
d) a(b  c)2  b(c  a)2  c(a  b)2  a3  b3  c3
Hướng dẫn
a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a  b  c  a2  b2  2bc  c2 .
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b) Ta có: a2  a2  (b  c)2  a2  (a  b  c)(a  b  c) .
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
c)  (a  b  c)(a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  0 .
d)  (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  0 .
Bài 5: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 5 – 8x – x2
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Hướng dẫn
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21  21
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7  7
Bài 6: Tìm GTLN của hàm số: y 

1
.
x  x 1
2

Hướng dẫn: Ta có thể viết: y 

1
1


2
x  x 1 
1 3
x 2  4


2

Bài 7: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: f (t )  t 

1
.
4t

Hướng dẫn
1 4t 2  1 (2t  1)2  4t (2t  1)2
Ta có thể viết: f (t )  t  


1
4t
4t
4t
4t

Vì t > 0 nên ta có: f (t )  1
Dấu “=” xảy ra  2t  1  0  t 
1
2

1
2

Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại t  .