Chuyen de toan THCS

Phòng Giáo dục & Đào tạo Long Hồ
Trờng THCS Long An

Chuyên đề:
NG DUNG PHNG PHP TAM GIC ễNG DANG
VAO GII TON HèNH HC LP 8
------

Cấu trúc chuyên đề

1

2

3

4

Khái
niệm
chung
về phơng
pháp
tam giác

Tóm
tắt
kiến
thức
liên
quan

Các dạng
toán cụ
thể

Tiết
dạy
minh
họa

Dạng

Dạng
1
Tính
độ
dài,
tỉ số,
diện
tích

Dạng
2
Chứn
g
minh
hệ
thức

Dạng

3
Chứng
minh
song
song

Dạng
4
Chứn
g
minh
đồng
dạng

1

Dạng 5
Chứng
minh
đoạn
thẳng
bằng
nhau,
góc
bằng
nhau

Dạng
6
Toán

ứng
dụng
thực
tế


Phần A. Mở đầu
I. Lý do chọn chuyên đề:
Trong chơng trình hình học phẳng cấp THCS, đặc biệt là hình học 8, nội
dung có liên quan đến định lý Ta-lét và hệ quả của nó chiếm khá nhiều. Tuy
nhiên, đây là một kiến thức khó đối với học sinh. Việc giải bài tập liên quan
đến chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh các tỉ lệ thức liên quan các
cạnh tơng ứng của tam giác đồng dạng luôn gây cho học sinh một số khó
khăn nhất định. Phơng pháp Tam giác đồng dạng là một công cụ không thể
thiếu để giải quyết các bài toán dạng này.
Phơng pháp Tam giác đồng dạng là phơng pháp ứng dụng tính chất đồng dạng
của tam giác, tỉ lệ các đoạn thẳng, các góc bằng nhau trên tam giác đồng
dạng để trên cơ sở đó tìm ra hớng giải phù hợp cho từng dạng toán.
Trên thực tế, việc áp dụng phơng pháp Tam giác đồng dạng trong giải toán,
chúng ta có thể gặp các thuận lợi và khó khăn nh sau:
* Thuận lợi:
+ Phơng pháp Tam giác đồng dạng là công cụ chính giúp ta giải quyết
nhanh chóng các dạng toán đặc trng về tính tỉ lệ, chứng minh hệ thức và
các bài tập ứng dụng khác.
+ Với một số dạng toán quen thuộc nh chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc
bằng nhau, chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, phơng pháp Tam
giác đồng dạng có thể cho ta những cách giải quyết gọn gàng hơn các phơng
pháp truyền thống khác.
+ Phơng pháp Tam giác đồng dạng giúp hình thành khả năng t duy logic của
học sinh, rèn luyện tính chủ động, sáng tạo của học sinh, từng bớc nâng cao hiệu

quả học tập.
* Khó khăn:
+ Phơng pháp Tam giác đồng dạng còn lạ lẫm với học sinh. Các em cha quen
với việc sử dụng một phơng pháp mới để giải toán thay cho các cách chứng
minh truyền thống, đặc biệt là với các học sinh lớp 8.
+ Việc sử dụng các tỉ số cạnh rất phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn trong tính
toán, biến đổi vòng quanh, không rút ra ngay đợc các tỉ số cần thiết;
không có kỹ năng chọn cặp tam giác phù hợp và ghi cha đúng đỉnh tơng
ứng cũng khiến cho học sinh gặp nhiều trở ngại, lúng túng.
II. Mục đích của việc thực hiện chuyên đề:
Từ những nhận định trên, chuyên đề này giải quyết giúp cho giáo viên dạy
lớp 8 và các em học sinh một số vấn đề cụ thể là :
- Hệ thống lại các kiến thức thờng áp dụng trong phơng pháp.
- Hệ thống các dạng toán hình học thờng áp dụng phơng pháp Tam giác đồng
dạng.
- Định hớng giải quyết các dạng toán này bằng phơng pháp này
- Hệ thống một số bài tập luyện tập.
- Minh họa một số tiết dạy luyện tập.

2


Trong chuyên đề này nhóm tác giả đã có rất nhiều cố gắng nhằm làm rõ
thêm một số phơng pháp hình học đặc trng, tuy nhiên do hạn chế về kiến thức,
về thực tế giảng dạy chắc chắn chuyên đề còn nhiều thiếu sót. Kính mong quý
thầy, cô giáo có nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy, các bạn đồng nghiệp
tham gia góp ý bổ sung làm cho chuyên đề trở nên hoàn chỉnh hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Phần B. Nội dung

I. Kiến thức cơ bản
1. Định lý Talet trong tam giác
a) Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ.
b) Nếu một đờng thẳng cắt 2 cạnh của tam giác
và nó định ra trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng
tơng ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn lại.
c) Hệ quả:
ABC có MN// BC

AM AN
MN
=
=
AB AC
BC

2. Khái niệm tam giác đồng dạng
Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:
à'= B
à; C
à '=C
à và A ' B ' = B ' C ' = A ' C '
à
A ' = àA ; B
AB
BC
AC

3. Các trờng hợp đồng dạng của tam giác

a) Trờng hợp thứ nhất (c.c.c):
Nếu 3 cạnh của tam giác này tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam
giác đó đồng dạng.
b) Trờng hợp thứ hai (c.g.c):
Nếu 2 cạnh của tam giác này tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo
bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng.
c) Trờng hợp thứ ba (g.g):
Nếu 2 góc của tam giác này lần lợt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai
tam giác đó đồng dạng.
d) Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông (học sinh sẽ đợc học sau):
+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông
kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của
tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
+ Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền
và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
II. Các dạng toán cụ thể
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số, diện tích

3


*Loại 1. Tính độ dài đoạn thẳng
Ví dụ 1: (có hình vẽ sẵn)
ABCD là h.thang (AB // CD)
GT
AB = 12,5cm; CD = 28,5cm
ã
ã
= DBC

DAB
KL
x =?
Giải
ã
ABD và BDC có: DAB
=
à1 =
B
ABD : BDC (g.g)

ã
(gt)
DBC
à 1 (so le trong do AB // CD)
D

x
AB
BD
12,5
=
hay
=
28,5
BD
DC
x
2
x = 12,5 . 28,5 x = 12,5 . 28,5 18,9 (cm)

Ví dụ 2: (có hình vẽ sẵn)
ABC; AB = 12cm; AC = 15cm
GT BC = 18cm; AM = 10cm; AN = 8cm
KL
MN = ?

Giải
Xét ABC và ANM ta có :
AM
10
2
=
=
AC
15
3
AN
2
8
=
=
12
AB
3

AM
AN
=
AC
AB

Mặt khác, có àA chung
Vậy ABC : ANM (c.g.c)
Từ đó ta có:

AB
BC
12 18
=
=
hay
8 MN
AN
NM

MN=

8.18
= 12(cm)
12

Ví dụ 3:
à ; AB = 4cm; BC = 5cm.
à = 2C
a) Tam giác ABC có B

Tính độ dài AC?
à biết rằng số đo các cạnh là 3
à = 2C
b) Tính độ dài các cạnh của ABC có B
số tự nhiên liên tiếp.
A
B

Giải
a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC
ACD và ABC có:

4


+ àA chung;

D

1 ã
à = D
à =
+ C
ABC
2
ACD : ABC (g.g)

C

AC
AD
=
AC2 = AB. AD
AB
AC

= 4 . 9 = 36 AC = 6 (cm)
b) Gọi số đo của cạnh BC, AC, AB lần lợt là a, b, c.
Theo câu (a) ta có.
AC2 = AB . AD = AB . (AB + BC) b2 = c . (c + a) = c2 + a.c (1)
Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên chỉ có 2 khả năng là:
b = c + 1 hoặc b= c + 2
* Nếu b = c + 1 thì từ (1) (c + 1)2 = c2 + a.c 2c + 1 = a.c
c . (a - 2) = 1 (loại) vì c = 1 ; a = 3; b = 2 không là các cạnh của 1
tam giác
* Nếu b = c + 2 thì từ (1) (c + 2)2 = c2 + a.c 4c + 4 = ac
c . (a 4) = 4
Xét c = 1, 2, 4 chỉ có c = 4; a = 5; b = 6 thỏa mãn bài toán.
Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm.
Bài tập đề nghị:
Cho ABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đờng trung trực của BC cắt
BC, BA, CA lần lợt ở M, E, D. Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD.
*Loại 2. Tính góc
Ví dụ: Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB
lấy điểm C sao cho AC =

5
ã
AH. Tính BAC

.
3

à = 900 ; AB = 20cm
ABH; H

GT

5
AH
3

ã
=?
BAC

KL
B 12 H

BH = 12cm; AC =

C

Giải:
AB 20 5 AC
=
= =
BH 12 3 AH
AB BH
=

AC AH

Ta có


Xét ABH và CAH có :
ã
ãAHB = CHA
= 900
AB BH
=
(chứng minh trên)
AC AH
ã
ABH : CAH (CH cạnh gv) CAH
= ãABH
ã
ã
ã
ã
Lại có BAH
+ ãABH = 900 nên BAH
+ CAH
= 900 Do đó: BAC
= 900

5


Bài tập đề nghị:

Cho hình thoi ABCD cạnh a, có Â = 60 0. Một đờng thẳng bất kỳ đi qua C
cắt tia đối của các tia BA, DA tơng ứng ở M, N. Gọi K là giao điểm của BN
và DM. Tính số đo góc BKD?
*Loại 3. Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số chu vi, tỉ số diện tích
ã
Ví dụ: Cho ABC, D là điểm trên cạnh AC sao cho BDC
= ãABC .
BD
BA

Biết AD = 7cm; DC = 9cm. Tính tỉ số
GT

ã
ABC; D AC : BDC
= ãABC ;
AD = 7cm; DC = 9cm

KL

Tính

BD
.
BA

Giải:
à chung ;
CAB và CBD có: C
ãABC = BDC

ã
(gt)
CB CA
=
CAB : CBD (g.g)
. Do đó, ta có:
CD

CB

CB = CA.CD
Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm)
Do đó CB2 = 9.16 = 144 CB = 12 (cm)
2

DB CB 3
=
=
Mặt khác, ta lại có: CAB : CBD (cmt) =>
BA

Bài tập đề nghị:

CA

4

Bài tập 1. Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của
AB, BC; CE cắt DF ở M. Tính tỉ số

SCMD
S ABCD

?

Bài tập 2. Cho ABC và hình bình hành AEDF có E AB; D BC; F AC.
Tính diện tích hình bình hành biết rằng: SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2;
-------------------Dạng 2. Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng
Ví dụ 1:
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2 đờng chéo AC
và BD
a) Chứng minh rằng: OA . OD = OB . OC.
b) Đờng thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K.
CMR:

AB
OH
=
OK
CD

+ Tìm hiểu bài toán:
Cho những dữ kiện gì?
Chứng minh gì?
+ Xác định dạng toán:

6


? Để chứng minh hệ thức trên ta cần chứng minh điều gì?

TL:

OA
OC

=

OB
OD

? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào.
TL: Chứng minh tam giác đồng dạng
a) OA . OD = OB . OC



OA
OC

OB
OD

=


OAB : OCD
b)

OH
AB

=
OK
CD

Để chứng minh

OH
AB
=
ta cần chứng minh điều gì.
OK
CD

Sơ đồ phân tích:
OH
OK

OH
OK

=

OA
OC

=

AB
CD

AB
OA
=
CD
OC


OAH : OCK


OAB : OCD

Ví dụ 2:
Cho hai tam giác vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD.
Đờng thẳng qua P vuông góc với AB tại I. CMR: AB2 = AC . AP + BP . BD
*Định hớng:
- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB? (AB = AI + IB)
AB2 = ?

AB.(AI + IB) = AB . AI + AB . IB
- Việc chứng minh bài toán trên đa về việc chứng minh
- Các hệ thức: AB . AI = AC . AP và AB . IB = BP . PD
- HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức (trong
tam giác đồng dạng).
Sơ đồ phân tích:
AB2 = BP . BD + AC . AP


7

AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP



AB . IB + AB . AI

= BP . PD + AC . AP

AB.BI = PB . DB



AB . AI = AC . AP


AB
PB

=


DB
IB

AB
AP

ADB : PIB

=

ACB :

AC
AI



AIP

Bài tập đề nghị:
Cho ABC, phân giác AD (AB < AC). Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao
ã
cho ãACI = BDA
.

CMR:

a) AD . DI

= BD . DC
b) AD2 = AB . AC - BD . DC
--------------------

Dạng 3. Chứng minh quan hệ song song
Ví dụ:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M là trung điểm của CD, E là giao
điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC.
Chứng minh rằng EF // AB.

GT

KL

ABCD (AB // CD)
DM = MC
MA DB = E
MB AC = F
EF // AB

Định hớng giải:
- Sử dụng trờng hợp đồng dạng của tam giác;
- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng;
- Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song (định lý Ta-lét đảo).
Sơ đồ phân tích:
EF // AB


8


ME
EA

MF
FB

=


ME
EA

MD
; MD
AB

=



= MC ;

MF
MC
=
FB
AB



MED : AE

;

MFC : BFA

Bài tập đề nghị:
Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng đi qua A song song với BC cắt BD ở E. Đờng
thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G. Chứng minh rằng EG // DC.
-------------------Dạng 4. Chứng minh tam giác đồng dạng
Ví dụ 1:
Cho ABC; AB = 4,8cm; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm. Trên AB lấy điểm D sao cho
AD = 3,2cm; trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm. Kéo dài ED cắt CB ở F.
a) CMR: ABC : AED
b) FBD : FEC
c) Tính ED; FB?
Bài toán cho những dữ kiện gì? Thuộc dạng toán nào?
Để chứng minh 2 tam giác đồng dạng có những phơng pháp nào?
Bài này sử dụng trờng hợp đồng dạng thứ mấy?
Sơ đồ phân tích:
a)
ABC : AED



àA chung
AB
AC
=
=2
AE
AD

b)

FBD :

FEC
ả
à = D
C
2

à chung
F

c) Từ câu a, b hớng dẫn học sinh thay vào tỉ số đồng dạng để tính ED và
FB.
Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC. Lấy các
ã
à .
điểm D và E trên AB; AC sao cho DME
= B
a) CMR: BDM : CME
b) DME : DBM
c) BD . CE không đổi
? Để chứng minh BDM : CME ta cần chứng minh điều gì.

9


? Từ GT nghĩ đến 2 tam giác có thể đồng dạng theo trờng hợp nào.
? GT đã cho yếu tố nào về góc.

à )

à = C
(B

? Cần chứng minh thêm yếu tố nào.
a) Lời giải sơ lợc:
GT
Góc ngoài DBM


ả ;
ả + M
ả ; DMC
ả + à
ã
ã
à = M
= M
= D
DMC
B
B
1
1
2
1
ABC cân


ả = M
ả

à
à = C
;
D
B
1
2

:
BDM
CME (g.g)
Câu a
GT


b)

DM
ME

=

DM
ME

=

à = M
ả (gt)
B

1
1



BD
; CM = BM
CM
BD
BM



;

DM ME
=
BD BM



DME : DBM (c.g.c)
c) Từ câu a: BDM : CME (g.g)
BD BM
=

BD . CE = CM . BM
CM CE
BC
Mà CM = BM =

= a BD . CE = a2 (không đổi)
2
Lu ý: Gắn tích BD . CB bằng độ dài không đổi;
Bài đã cho BC = 2a không đổi;
Nên phải hớng cho học sinh tính tích BD . CE theo a.
Bài tập đề nghị:
Bài tập 1. Cho ABC, AD là phân giác àA ; AB < AC. Trên tia đối của DA lấy
ã
điểm I sao cho ãACI = BDA
. Chứng minh rằng:
a) ADB : ACI; ADB : CDI
b) AD2 = AB. AC - BD . DC
Bài tập 2. Cho ABC; Gọi H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3
đờng trung trực của tam giác. Gọi E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và
AC. Chứng minh:
a) OED : HCB
b) GOD : GBH
c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG
-------------------Dạng 5: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau
Ví dụ 1:

10


Cho hình thang ABCD (AB// CD). Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đờng thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên
AD, BC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng: OE = OF
B

A

E

F

O
C

D

Sơ đồ phân tích:
OE



OE
DC

= OF
OF
DC

=


OE
AO OF
BO
=
;

=
;
DC
AC DC
BD


AEC


BOF
:

AO BO
=
AC BD

:


AOB

:

ADC

BDC
COD

EF // DC
;
AB // CD

GT
H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đa về chứng
minh điều gì?
TL:

EO
DC

=

OF
DC

(1)

H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (AEO; ADC, các tam giác này
đã đồng dạng cha? Vì sao?).
H: Đặt câu hỏi tơng tự cho OF, DC.
EO
OF
và
DC
DC
EO
AO
OF

BO
TL:
=
;
=
DC
AC
DC
BD

H: Lập tỉ số

H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì?
TL:

AO
BO
=
AC
BD

H: Đây là tỉ số có đợc từ cặp tam giác đồng dạng nào?
TL: AOB; COD
H: Hãy chứng minh điều đó.
Ví dụ 2:
Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm
ã
ã
Chứng minh : BAD
= DBC

Xét BAD và DBC có AB // CD do đó :

11


ãABD = BDC
ã
(so le trong )
AB 4 1
= =
BD 8 2
BD 8 1
=
=
DC 16 2
AB BD
1
=

(cùng bằng )
BD DC
2
:
BAD
DBC (c.g.c)
ã
ã
BAD
= DBC

A

4

B

8

D

16

C

-------------------Dạng 6. Toán ứng dụng thực tế
Đề bài nh sách giáo khoa, đợc thực hiện ở các tiết thực hành ngoài trời.
Phần III. Kết luận
Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán. Khi ứng dụng để
chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phơng pháp thờng dùng ở đây là :
* Đa 2 đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau về là tử của 2 tỉ số bằng
nhau có cùng mẫu.
* Chứng minh các đoạn thẳng cùng bằng một độ dài nào đó.
* Đa 2 góc cần chứng minh bằng nhau về là 2 góc tơng ứng của 2 tam
giác đồng dạng.
* Chứng minh 2 tỉ số bằng nhau sau đó chứng minh tử bằng nhau (hoặc
mẫu bằng nhau) suy ra 2 đoạn thẳng ở mẫu (hoặc ở tử) bằng nhau.
Trên đây là một số dạng toán cơ bản về tam giác đồng dạng ở chơng trình
hình học lớp 8 mà nhóm toán 8 của Trờng THCS Long An lựa chọn và giới
thiệu. Chắc chắn rằng không thể thỏa mãn đợc yêu cầu của các thầy, cô dạy
toán trong khối. Rất mong đợc sự góp ý xây dựng của quý thầy cô để

chuyên đề đợc hoàn thiện hơn và thực hiện có hiệu quả hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Long An, ngày 09
tháng 03 năm 2017
Nhóm Toán

12