Giáo án ôn thi THPT quốc gia Toán Chủ đề 10 đ biến, NB,Cực trị

Chủ đê: ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
( 6 tiết : 2 buổi)
Buổi 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm sô
1. Mục tiêu
- Kiến thức: Học sinh nắm được khái niệm đồng biến, nghịch biến của
hàm sô và mối liên hệ giữa khái niệm này với đạo hàm. Nắm được quy tắc
xét tính đơn điệu của hàm số.
- Kỹ năng: Biết vận dụng quy tắc, biết cách đọc bảng biến thiên, đồ thị.
Dùng MTCT.
2. Các dạng toán cơ bản:
3. Thời gian: 3 tiết
4. Tiến trình thực hiện:
Tiết 1: Hàm bậc 3
I. Lý thuyết: Cho hàm số y =

f ( x) xác định trên K
a) Nếu f '( x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K
b) Nếu f '( x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K

II. Bài tập:
Dạng 1: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến từ bảng biến thiên
hoặc đồ thị hàm sô đã cho.
- Từ BBT hoặc đồ thị học sinh nhận ra khoảng đạo hàm mang dấu (-) hoặc
mang dấu (+).
VD1: Cho hàm số
X
y′
Y

Hàm số

y = f ( x) có bảng biến thiên:

−∞
+

2
0

−

4
0

+∞
+
+∞

3
−∞

−2

y = f ( x) , nghịch biến trên khoảng nào dưới dây?

A. ( −∞; 2 )
Đáp án: B

B. ( 2; 4 )

C. ( 4; +∞ )

D. ( −∞; 4 )


- Từ đồ thị HS nhận ra được khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số. Phần này khó nhận biết hơn vì HS phải nhìn vào hình và biết
khoảng x tăng, y tăng và khoảng nào x tăng, y giảm. Do đó nên dựa
vào đường đi của đồ thị: Từ trái sang phai đi từ dưới lên là đồng
biến, đi từ trên xuống là nghịch biến. Tuy nhiên rất nhiều HS dựa
vàoÅ đồ thị và vẽ bảng BT từ đó kết luận.
VD2: Cho đồ thị hàm số bậc ba y = f ( x) như hình sau. Chọn đáp án
đúng?
y
2

O

1

x

-1

-2

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;0) .
B. Hàm số đồng biến trên đoạn (−2;1) và (1; 2) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng từ (−∞;0)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
- Ở VD này cần yêu cầu HS giải thích cụ thể.

Dạng 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm sô dựa vào quy tắc:
Quy tắc :
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Tính đạo hàm f '( x) . Tìm các điểm xi (i = 1, 2,..., n) mà tại đó đạo hàm
bằng 0 hoặc không xác định
+ Lập bảng biến thiên
+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

VD1:

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y =

x3
− 3x 2 + 5 x − 2 ?
3

- Yêu cầu học sinh làm tự luận, áp dụng quy tắc trên.
- Cho HS lên bảng trình bày
- Các sai lầm của học sinh là: Đạo hàm sai, xác đinh sai dấu của đạo
hàm, Sắp xếp nghiệm trên BBT sai...
- Do đó GV nhắc lại cách xác định dấu tam thức bậc hai, hoặc chọn
khoảng...


Kết quả: ( −∞;1) va ( 5; +∞ )
VD2: Hỏi hàm số y =

x3
− 3x 2 + 5 x − 2 đồng biến trên khoảng nào?

3
B. ( 1; +∞ )
C. ( −∞;5 )
D. ( 1;5)

A. (5; +∞)
- Chọ kết quả từ VD 1
- Hướng dẫn HS sử dụng máy tính: Tính giá trị của đạo hàm tại 1
điểm cụ thể.

Tiết 2. Hàm trùng phương

y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) .

Tiến trình giống tiết 1

Dạng 1: Dựa vào BBT hoặc đồ thị để kết luận khoảng đồng biến nghịch
biến của hàm số:
VD1: Cho bảng biến thiên sau, xác định câu trả lời đúng:
x
y’
Y

−∞

-1
-

0

0

+

+∞

0
2

+∞

1
-

0

+
+∞

1
1
A. Hàm số đồng biến trên (-1; 0) ∪ (1;+∞)
B. Hàm số nghịch trên (-1;1)
C. Hàm số đồng biến trên (0;1)
D. Hàm số nghịch biến trên (1,+ ∞ )
VD2 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như sau:

Hãy cho biết khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.?

Dạng 2: áp dụng quy tắc để tính

VD 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số sau:
y = −2x 4 + 4x 2

Phương pháp tự luận:
- Gọi học sinh lên bảng trình bày.
- GV hướng dẫn cách xét dâu đạo hàm:


- Cho HS khác nhận xét bài làm của bạn
VD 2 : Cho hàm số y = 2x 4 − 4x 2 . Hãy chọn mệnh đề sai trong bốn phát biểu sau:
A. Trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) , y ' < 0 nên hàm số nghịch biến
B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1)

C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) và ( 1; +∞ )

D. Trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) , y ' > 0 nên hàm số đồng biến

Tiết 3: Luyện tập và làm bài kiểm tra 10 phút
- Chú ý: Cho Hs nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
y=

ax + b
.
cx + d

- Hàm này luôn luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định của nó.
- Chú ý cho học sinh trong trường hợp hàm bị suy biến:

+ Đối với hàm bậc 3, khi , có một nghiệm hoặc vô nghiệm thi hàm số hoặc
đồng biến, hoặc nghịch biến trên R.

+ Hàm bậc 4 trùng phương khi đạo hàm chỉ có một nghiệm thì một khoảng
đồng biến và một khoảng nghịch biến.
BT1: cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây.
−∞
x
-3
-2
f’(x
+
0
+
0
)
5
f(x)
0

+∞

-

−∞

I. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −3; −2 ) .
II. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;5 ) .
III. Hàm số nghịch biến trên khoản ( −2; +∞ ) .
IV. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −2 ) .
Số mệnh đề sai trong các mệnh đề trên là
A. 2.
B. 3.

C. 4.

D. 1.

−∞


BT2 Cho hàm số y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị là
đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f ( x) đồng biến
trên các khoảng nào?
A. (−1;1).
B. (−∞; −1) và (1; +∞).
C. (−∞;1)
D. (−1; +∞).
x −1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
x +1
A. Hàm số đồng biến trên R\ { −1} .

BT3 : Cho hàm số y =

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và ( 1; +∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) .

3
2
BT4:Hàm số y = − x + 6 x − 9 x có các khoảng nghịch biến là:

A. (−∞; +∞)

C. ( 1;3)

B. (−∞; −4) vµ (0; +∞)

D. (−∞;1) vµ (3; +∞)

BT5 :Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x 3 − 3x − 1 là:
A. ( −∞; −1)
B. ( 1; +∞ )
C. ( −1;1)

D. ( 0;1) .

2x +1
(C) Chọn phát biểu đúng?
−x +1
A. Hàm số nghịch biến trên R\ { −1} ;

BT6: Cho sàm số y =

B. Hàm số đồng biến trên R\ { −1} ;
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞);
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).
x+2
nghịch biến trên các khoảng:
x −1
A. ( −∞;1) va ( 1; +∞ )
B. ( 1; +∞ )

C. ( −1; +∞ )

BT7 . Hàm số y =

D. R \ { 1} .

BT8: Hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây:
A. (−∞; −1);(0;1)

B. (−1; 0);(0;1)

C. (−1; 0);(1; +∞) D. Đồng biến trên R

Bài kiểm tra 10 phút:
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Nhận xét nào sau đây là sai:
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1)
B. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x = 0 và x = 1
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) và ( 1; +∞ )
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;3) và ( 1; +∞ )
Câu 2: Nhìn bảng biến thiên sau đây, hãy điền từ còn thiếu vào các câu hỏi sau
−∞
−1
0
1
+∞
x
y’

−

0

+

0

−

0

+


+∞

y

+∞

3
-4

-4

Câu 1: Hàm số có....................cực đại và.........................cực tiểu.
Câu 2: Hàm số đồng biến trên khoảng..........................................................,
nghich biến trên khoảng.................................................................
Câu 3: Đây là bảng biến thiên của hàm số bậc.........................
Câu 4: Ghi lại ba điểm cực trị: A(....;......), B(....;......), C(....;......)

3
2
Câu 3: Hàm số y = − x + 6 x − 9 x có các khoảng nghịch biến là:
A. (−∞; +∞)

B. (−∞; −4) vµ (0; +∞)

C. ( 1;3)

D. (−∞;1) vµ (3; +∞)

−2 x − 3

Câu 4 : Cho sàm số y = x + 1 (C) Chọn phát biểu đúng :
A. Hs luôn nghịch biến trên miền xác định B. Hs luôn đồng biến trên R
C. Đồ thị hs có tập xác định D = R \ { 1} D. Hs luôn đồng biến trên miền xác định
Câu 5: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến trên R khi nào ?
a = b = 0, c > 0
a = b = 0, c > 0
A. 
B. 
2
2
a > 0, b − 3ac ≤ 0
a > 0, b − 3ac ≥ 0
a = b = 0, c > 0
a = b = c = 0
C..  2
D. 
2

 b − 3ac ≤ 0
a > 0, b − 3ac < 0
4
2
Câu 6 : Cho hàm số y = − x + 4 x + 10 và các khoảng sau:

(I): ( −∞; − 2 ) ;
(II): ( − 2;0 ) ;
(III): ( 0; 2 ) ;
Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A. Chỉ (I).
B. (I) và (II).
C. (II) và (III). D. (I) và (III).

Buổi 2:

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Mục tiêu
− Kiến thức: Mô tả được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm
cực trị của hàm số.
− Mô tả được các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị.
− Kỹ năng: Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm cực trị.

.2. Các dạng toán cơ bản:
3. Thời gian: 3 tiết
4. Tiến trình thực hiện:
Tiết 1. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số bậc 3.
Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f ¢(x) . Tìm các điểm tại đó f ¢(x) bằng 0 hoặc
không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên
Bước 4.Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

f ¢(x)

Quy tắc 2:

Bước 1.Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f ¢(x) . Giải phương trình f ¢(x) và ký hiệu xi (i = 1,2, 3,...) là
các nghiệm.
Bước 3.Tính f ¢¢(x) và f ¢¢(xi ) .
Bước 4. Dựa vào dấu của f ¢¢(xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm
xi .
- Cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số: y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đạo hàm y ' = 3ax 2 + 2bx + c
1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0
2. Để hàm số có không cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép ⇔ ∆ ≤ 0
3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba
y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ¹ 0).
Ta có y¢= 3ax2 + 2bx + c
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y¢= 0 có hai
nghiệm phân biệt Û b2 - 3ac > 0.
II. Bài tập: Cực trị của hàm bậc 3

A. Bài tập:Tự luận nhằm cho học sinh nhớ công thức và quy tắc để tìm
cực trị từ đó đưa ra kết luận về cực trị.
Câu 1. Cho hàm số y = − x3 + 3x 2 − 1 tìm các điểm cực trị của hàm số đã cho.
Câu 2. Cho hàm số y = 2 x 3 − 3x 2 − 3 tìm các điểm cực trị của hàm số đã cho.
1
3

Câu 3. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 4 x − 1 tìm các điểm cực trị củ hàm số
đã cho.

(có thể làm câu 1 và câu 3)
-Những lỗi có thể mắc phải trong quá trình làm bài như tính sai nghiệm xét
dấu sai đặc biệt là y’ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.
B. Bài tập:Trắc nghiệm.
Dang 1. Xác định cực trị của hàm số thông qua đồ thị và bảng biến thiên.
Xác định cực trị của hàm sô y = f ( x) từ đồ thị hàm sô đã cho hoặc bảng biến
thiên.


- Từ đồ thị hoặc BBT học sinh học sin nhận ra số điểm cực trị,điểm cực
tiểu điểm cực đại,giá trị cực tiểu giá trị cực đại,điểm cực trị của đồ thị hàm
số .
Câu 1. Cho hàm số

y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số y = f ( x) có mấy điểm cực trị?
A. 2.
B. 1.
C. 0.

Đáp án: A

D. 3.

- Từ đồ thị HS biết được cực trị số điểm cực của hàm số.
Câu 2.Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên:
x24y′ 00y3

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại
x = 3.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 . D. Hàm số đạt cực đại tại
x = −2 .
Đáp án.A
Học sinh thường mắc lỗi ở cực đại và giá trị cực đại
Dạng 2. Cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ,
( a ¹ 0).
- Dùng các quy tắc để giải.
- Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y¢= 0 có hai
nghiệm phân biệt Û b2 - 3ac > 0(giải nhanh)
1
3

Câu1. Hàm số y = x3 − 2 x 2 + 4 x − 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.1.
B. 0.
C.2.
Đáp án.B
Câu2. Hàm số y = x3 − 3x + 1 đạt cực đại tại x bằng :
A. 2 .

B. 1 .
C. 0 .

D. 3.

D. −1.


Đáp án.D
Câu3. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 . Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0 .
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = −2 và cực tiểu tại x = 0 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = −2 .
Tiết 2 . Cực trị hàm trùng phương(dùng các quy tắc như
hàm bậc 3)
Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c ( a ¹ 0) có đồ thị là (C ) .
Ta có
(C )

éx = 0
ê
y¢= 4ax + 2bx; y¢= 0 Û ê 2
êx = - b
ê
2a
ë
3

có ba điểm cực trị

y¢= 0

có 3 nghiệm phân biệt Û

-

b
>0
2a

A. Bài tập : Tự luận nhằm cho học sinh nhớ công thức và quy tắc
để tìm cực trị từ đó đưa ra kết luận về cực trị.
Câu 1. Hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 3 tìm các điểm cực trị của hàm số đã cho.
Câu 2. Hàm số y = x 4 + 2 x 2 + 1 tìm các điểm cực trị của hàm số đã cho.
(Học sinh có thể mắc sai lầm khi giải câu 2).

B. Bài tập :Trắc nghiệm.
Dạng 1. Xác định cực trị của hàm số thông qua đồ thị và bảng biến thiên.
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) như hình vẽ.

Đồ thị hàm số y = f ( x) có mấy điểm cực trị?
A.1
B,2
D.4

C.3

Câu 2. . Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên:

x
−∞
0
−1
1
+∞
y'
−
−
+
+
0
0
0


y

+∞

0

+∞

1

0

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 . B. Hàm số đạt cực đại tại

x = −1 .
C. Hàm số đạt cực đại tại y = 1 .
D. Hàm số đạt cực đại
tại x = 0 .
Dạng 2. Câu 1. Cho hàm số y = 3 x 4 − 6 x 2 + 1 . Kết luận nào sau đây
là đúng?
A. yCD = −2.
B. yCD = 1.
C. yCD = −1.
D. yCD = 2.
Đáp án.B
Câu 2. Cho hàm số y = 3x 4 − 4 x 3 + 2 . Khẳng định nào sau
đây là đúng:
A. Hàm số không có cực trị.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
Đáp án.B
Tiết 3. Cũng cố kiến thức
A. Một số bài tập trắc nghiệm về hàm bậc ba và bậc bốn.
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) như hình vẽ. Chọn khẳng

định đúng về hàm số f ( x ) :

A.
Hàm số f ( x ) có ba cực trị.
B.
Hàm số f ( x ) có một cực trị.
C.
Hàm số f ( x ) có hai cực trị.

D.
Hàm số f ( x ) không có cực trị.
Câu 2.. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên :


x -∞
y’
+
y

-1
0
4

1
0

-

+∞
+
+∞

-∞
0
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 . B. Hàm số đạt cực đại tại
x = −1 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 . D. Hàm số đạt cực đại tại
x =0.

Câu 3.Cho hàm số y = x3 + 17 x 2 − 24 x + 8 . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. xCD = 1.

2
3

C. xCD = −3.

B. xCD = .

D. xCD = −12.

Câu 4. Cho hàm số y = 3x 4 − 6 x 2 + 1 . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. yCD = −2.
B. yCD = 1.
C. yCD = −1.
D. yCD = 2.
Câu 5 . Hàm số y = − x 4 + 4 x 2 + 3 có giá trị cực đại là:
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 7.
4
2
Câu 6. Đồ thị hàm số y = x − 3x + 5 có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
B. Bài kiểm tra10 phút

Å

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) như hình vẽ.

y

2
1
x

O
1

Đồ thị hàm số y = f ( x) có mấy điểm cực trị?
A.1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R có bảng biến thiên .


Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 .
B. Hàm số đạt

(

)

cực tiểu tại x = 3 .

1
3

C. Hàm số có giá trị cực tiểu là − .

D. Hàm số không có

cực trị.
Câu 3. Cho hàm số y = x3 + 17 x 2 − 24 x + 8 . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. xCD = 1.

2
3

B. xCD = .

C. xCD = −3.

D. xCD = −12.

Câu 4. Điểm cực tiểu của hàm số y = − x 3 + 3x + 4 là:
A. x = −1.
B. x = 1.
C. x = −3.

D. x = 3.
1 3
Câu 5.Hàm số y = x − 2 x 2 + 4 x − 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?
3
A.1.

B. 0.
C.2.
Câu 6. Giá trị cực tiểu của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 5 là:
A. 5.
B. 4.
C. 0.

D. 3.
D. 1.