Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————————————

TRẦN THỊ HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Ngành: Toán Giải tích
Code: 9460102

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học
1. PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
2. GS.TS. Nguyễn Bường

Phản biện 1:....................................................................
Phản biện 2:....................................................................
Phản biện 3:....................................................................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường
họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.

Vào hồi ..... giờ ..... ngày ..... tháng ..... năm 2018

Có thể
-

tìm hiểu luận án tại thư viện:
Thư viện Quốc gia Việt Nam
Trung tâm học liệu – Đại học Thái Nguyên
Thư viện trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên


1

MỞ ĐẦU
Nhiều vấn đề của các lĩnh vực khoa học kỹ thuật cũng như kinh tế xã hội
dẫn đến bài toán tìm một đại lượng vật lý x ∈ E chưa biết từ bộ dữ kiện
ban đầu (f0 , f1 , . . . , fN ) ∈ F N +1 , N ≥ 0, ở đây E là không gian Banach,
F = E ∗ -không gian đối ngẫu của E, hoặc E là không gian Hilbert và F = E.
Trên thực tế, bộ dữ kiện (f0 , f1 , . . . , fN ) nhận được bằng việc đo đạc trực
tiếp trên các tham số và thường không được biết chính xác mà chỉ được cho
xấp xỉ bởi fiδ ∈ F thỏa mãn
fiδ − fi ≤ δi ,

i = 0, 1, . . . , N,

(0.1)

với δi > 0 là các sai số cho trước. Bài toán này được mô hình hóa toán học
bởi hệ phương trình
Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,

(0.2)

ở đây Ai : D(Ai ) ⊂ E → F là các toán tử từ không gian Banach E vào
không gian Banach F và D(Ai ) là ký hiệu miền xác định của các toán tử Ai .
Nhiều bài toán thực tế khác, như bài toán khôi phục ảnh, bài toán khôi
phục tín hiệu, bài toán điều khiển tối ưu, một số mô hình của bài toán kinh
tế dẫn đến dạng bài toán bù, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ
ánh xạ không giãn, bài toán chấp nhận lồi, bài toán cực trị không ràng buộc
cũng có mô hình toán học dạng hệ phương trình toán tử (0.2) với Ai là các
toán tử đơn điệu.
Như vậy, hệ phương trình toán tử đơn điệu thường gặp trong nhiều lĩnh
vực. Tuy nhiên, lớp bài toán này lại có một đặc điểm là nếu không có thêm
điều kiện đặc biệt đặt lên các toán tử Ai , chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc
đơn điệu mạnh, thì chúng thường là những bài toán đặt không chỉnh.
Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được nhà toán học Hadamard người
Pháp đưa ra vào năm 1932 khi nghiên cứu ảnh hưởng của bài toán giá trị
biên với phương trình vi phân. Ông là người đầu tiên chỉ ra những bài toán
không ổn định là "bài toán đặt không chỉnh". Trong một thời gian dài người
ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều giải được theo nghĩa bài toán luôn có
nghiệm, nghiệm được xác định duy nhất và nghiệm phụ thuộc liên tục vào


2

dữ kiện ban đầu. Nhưng thực tế chỉ ra quan niệm đó là sai lầm. Trong tính
toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số.
Chính sự làm tròn số đó đã dẫn đến sự sai lệch đáng kể về nghiệm, tức là một

sự thay đổi nhỏ của các dữ kiện đầu vào có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn về
nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta
nói đó là bài toán đặt không chỉnh. Những người có công đặt nền móng cho
lý thuyết bài toán đặt không chỉnh phải kể đến các nhà toán học Tikhonov,
Lavrentiev, Ivanov. Do tầm quan trọng của lý thuyết và ứng dụng của lớp
bài toán này mà nhiều nhà toán học trên thế giới đã đi sâu nghiên cứu các
phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Alber, Bakushinskii,
Baumeister, Engl v.v . . . Các nhà toán học Việt Nam đã có rất nhiều đóng
góp cho việc xây dựng phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh như nhóm
nghiên cứu của Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy,
Đinh Nho Hào, Nguyễn Đông Yên và Phạm Duy Khánh v.v . . .
Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp
nhiều khó khăn, đặc biệt, khi có sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào hoặc trong
quá trình giải số trên máy tính có thể dẫn đến sai lệch rất lớn về kết quả. Vì
vậy, một trong những hướng nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh rất quan
trọng đó là việc xây dựng các phương pháp giải ổn định lớp bài toán này sao
cho khi sai số của các dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ càng gần
với nghiệm chính xác của bài toán ban đầu.
Năm 1943, Tikhonov đưa ra phương pháp chọn, sau đó Ivanov đưa ra
phương pháp tựa nghiệm để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình toán tử đặt
không chỉnh
A(x) = f,

(0.3)

Lavrentiev đề xuất phương pháp thay phương trình đang xét bởi phương trình
xấp xỉ giải được với mọi vế phải f và nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải
A(x) + αx = f,

(0.4)

trong trường hợp A là toán tử tuyến tính xác định không âm trong không
gian Hilbert H. Các phương pháp trên được xét khi thông tin về nghiệm
chính xác của bài toán (0.3) được bổ sung. Trong trường hợp tổng quát khi
không biết thêm thông tin về nghiệm chính xác của bài toán, Tikhonov đã


3

đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng mang tên ông, trên cơ sở xây dựng
toán tử hiệu chỉnh và xác định tham số mới đưa vào. Kể từ đó lý thuyết bài
toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết
các bài toán thực tế. Nội dung của phương pháp là xây dựng nghiệm hiệu
chỉnh cho phương trình toán tử (0.3) trong không gian Hilbert thực H dựa
trên việc tìm cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov
Fαγ,δ (x) := Aγ (x) − f δ

2

+ α x∗ − x 2 ,

(0.5)

trong đó α = α(γ, δ) > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào γ và δ, (Aγ , f δ )
là các đại lượng quan sát được xấp xỉ của (A, f ), x∗ là phần tử cho trước
đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn.
Khi A là toán tử phi tuyến thì Aγ thường là phi tuyến, việc tìm phần
tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov (0.5) sẽ gặp nhiều khó khăn vì hàm
Fαγ,δ (x) nói chung không lồi. Để khắc phục vấn đề này, năm 1966 Browder đã
đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với A là toán

tử phi tuyến đơn điệu từ không gian Banach E vào E ∗ , đó là việc sử dụng
phương trình hiệu chỉnh
Aγ (x) + αM (x) = f δ ,

(0.6)

khi Aγ là toán tử đơn điệu hoặc Aγ ≡ A. Tư tưởng của phương pháp là sử
dụng toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục và thỏa mãn
M (x) − M (y), x − y ≥ (d( x ) − d( y ))( x − y ),
ở đây d(t) là một hàm không âm, không giảm, d(t) → +∞ khi t → +∞ và
d(0) = 0. Các kỹ thuật hiệu chỉnh do Lavrentiev và Browder đề xuất đã được
ứng dụng rất nhiều để giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu.
Trong đó phải kể đến việc sử dụng ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s , s ≥ 2 của
không gian Banach E làm thành phần hiệu chỉnh do ánh xạ này là một dạng
của toán tử M . Bằng cách này, năm 1975 Alber và Ryazantseva đã nghiên
cứu phương trình hiệu chỉnh cho bài toán (0.3) ở dạng
Aγ (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ .

(0.7)

Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệu
chỉnh (0.7) khi Aγ ≡ A đã được Ryazantseva nghiên cứu năm1983, ở đó α(δ)


4

được chọn bởi nguyên lý độ lệch cổ điển, tức là α(δ) được chọn từ hệ thức
A(xδα ) − f δ = Kδ p ,

K > 1,

0 < p ≤ 1,

(0.8)

ở đây xδα là nghiệm của phương trình (0.7). Năm 2004, Nguyễn Bường đã
nghiên cứu việc chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch
suy rộng trên cơ sở giải phương trình
ρ(α) = α−q δ p ,

0 < p ≤ q,

ρ(α) = α xδα ,

(0.9)

cho phương trình toán tử (0.3) khi xét phương trình hiệu chỉnh (0.7) trong
trường hợp Aγ ≡ A. Với cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh thì sự
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác x0 của bài toán (0.3) có
thể chậm tùy ý. Để đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh đến
nghiệm chính xác x0 của bài toán (0.3), nghĩa là đánh giá giá trị xδα − x0 ,
người ta thường cần một số điều kiện bổ sung như: điều kiện nguồn, tức là
tồn tại ω ∈ H sao cho
x0 − x∗ = [A (x0 )]∗ ω,
(0.10)
ở đây [A (x0 )]∗ là toán tử đối ngẫu của A (x0 ) và điều kiện đạo hàm cấp hai
của toán tử A bị chặn địa phương, hay đạo hàm cấp một của toán tử A liên
tục Lipschitz địa phương. Điều kiện về tính Lipschitz địa phương của đạo
hàm cấp một hay tính bị chặn địa phương của đạo hàm cấp hai còn được thay
thế bởi điều kiện nón tiếp tuyến. Năm 2008 Barbara, Neubauer và Scherzer

cũng chỉ ra rằng điều kiện đạo hàm cấp hai bị chặn, hay điều kiện liên tục
Lipschitz của đạo hàm cấp một không chặt hơn điều kiện nón tiếp tuyến.
Một số phương pháp hiệu chỉnh lặp giải phương trình toán tử (0.3) là
sự kết hợp giữa kỹ thuật hiệu chỉnh của Lavrentiev (hoặc Browder) với các
phương pháp số truyền thống đã được Bakushinskii đề xuất. Chẳng hạn,
phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không là sự kết hợp giữa phương pháp hiệu
chỉnh Lavrentiev với phương pháp lặp hiện trong không gian Hilbert thực H
xm+1 = xm − βm A(xm ) − f + αm xm ,
ở đây, αm > 0 là dãy tham số hiệu chỉnh, βm > 0 là dãy tham số lặp. Sự
hội tụ của phương pháp được thiết lập trên cơ sở toán tử A thỏa mãn thêm
một số điều kiện bổ sung và cách lựa chọn các dãy tham số {αm } và {βm }
thích hợp.


5

Luận án của chúng tôi nghiên cứu, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, đưa
ra cách chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu
chỉnh và nghiệm hiệu chỉnh đã được xấp xỉ hữu hạn chiều, đề xuất phương
pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử (0.2), một mở rộng của bài
toán (0.3).
Để giải hệ phương trình toán tử (0.2), ta có thể đưa hệ này về một phương
trình toán tử dạng (0.3), ở đây
N

D(Ai ) =: D(A)

A := (A0 , A1 , . . . , AN ) :

→ (E ∗ )N +1 ,

(0.11)

i=1

và f = (f0 , f1 , . . . , fN ). Những phương pháp cơ bản được sử dụng để giải
hệ phương trình phi tuyến dạng này phải được kể đến là phương pháp kiểu
hiệu chỉnh lặp hoặc phương pháp kiểu hiệu chỉnh Tikhonov. Tuy nhiên, các
phương pháp này sẽ trở nên kém hiệu quả khi N lớn vì nó đã phá hủy cấu
trúc đặc biệt của hệ (0.2) và kết quả trong một phương trình yêu cầu bộ nhớ
lớn để thực hiện các tính toán trung gian. Khi đó, người ta sử dụng phương
pháp lặp xoay vòng kiểu Landweber–Kaczmarz cho mỗi phương trình riêng
biệt trong (0.2). Việc luân phiên giải từng phương trình của hệ chẳng những
không làm tăng điều kiện đặt lên từng toán tử mà còn đơn giản hóa việc
tính toán. Một số cải biên của phương pháp này đã được nghiên cứu để giải
hệ phương trình phi tuyến trong không gian Hilbert H. Sự hội tụ, tốc độ hội
tụ của phương pháp lặp kiểu Landweber–Kaczmarz đòi hỏi ba giả thiết đặt
lên tất cả các toán tử Ai của hệ (0.2), bao gồm điều kiện khả vi Fréchet với
các đạo hàm Fréchet giới nội đều trong lân cận của nghiệm x0 của hệ và điều
kiện nón tiếp tuyến địa phương. Các điều kiện này tương đối chặt. Luận án
của chúng tôi đã góp phần làm nới lỏng các điều kiện đặt lên các toán tử của
hệ (0.2) vừa đề cập ở trên, cụ thể điều kiện khả vi Fréchet và điều kiện nón
tiếp tuyến chỉ cần đặt lên một toán tử của hệ (xem Định lý 2.6, Định lý 3.3).
Một hướng tiếp cận khác được Phạm Kỳ Anh và các đồng nghiệp đề xuất,
đó là các phương pháp hiệu chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử
đơn điệu (0.2) trong không gian Hilbert thực H với các toán tử ngược đơn
điệu mạnh. Các phương pháp này nhằm xây dựng các thuật toán mà ở đó
các bài toán thành phần có thể xử lý một cách đồng thời và độc lập, tức là
song song từ thuật toán. Trên thực tế khi xử lý các phương pháp tuần tự

6

trên máy tính song song, người ta có thể tăng hiệu quả bằng việc song song
trên từng bước tính toán. Cụ thể, tại mỗi bước của phương pháp, ta sẽ xử
lý song song các ma trận xấp xỉ hữu hạn chiều rời rạc của bài toán ban đầu.
Luận án của chúng tôi đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp trong không
gian Hilbert, mà tại mỗi bước của phương pháp ta có thể xử lý song song.
Đồng thời điều kiện liên tục Lipschitz chỉ cần đặt lên một toán tử của hệ khi
nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp. Hơn nữa, chúng tôi đưa ra ví dụ so
sánh hiệu quả đạt được so với phương pháp đề xuất trước đó.
Gần đây, Nguyễn Bường đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–
Tikhonov với các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và thế năng bằng việc kết
hợp các phương trình hiệu chỉnh dạng (0.7) để hiệu chỉnh cho hệ phương
trình toán tử (0.2) trong trường hợp fi = 0 trên cơ sở xây dựng phương trình
phụ thuộc tham số
N

αµi Aγi (x) + αJ(x) = 0,
i=0

µ0 = 0 < µi < µi+1 < 1,

(0.12)

i = 1, 2, . . . , N − 1,

ở đây Aγi là các xấp xỉ của Ai , J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không
gian Banach E. Đồng thời, tác giả cũng đã cải biên kết quả (0.9) để đưa ra
cách chọn tham số hiệu chỉnh trên cơ sở giải phương trình

ρ(α) = α−q γ p ,

p, q > 0,

(0.13)

ở đây ρ(α) = α α0 + xγα , 0 < α0 < α và xγα là nghiệm của phương trình
hiệu chỉnh (0.12). Các cải biên của phương pháp hiệu chỉnh (0.12) được thiết
lập chủ yếu trong không gian Hilbert và chưa đề cập tới bài toán chọn tham
số hiệu chỉnh trong không gian Banach. Trong trường hợp Ai là các toán
tử J-đơn điệu, liên tục Lipschitz, Nguyễn Bường và Nguyễn Đình Dũng đã
nghiên cứu nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh với điều kiện liên
tục đặt lên N toán tử của hệ (0.2). Luận án của chúng tôi đề xuất phương
pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu trong trường hợp có nhiễu
vế phải mang tính kế thừa của phương pháp (0.12), đồng thời đề xuất phương
pháp hiệu chỉnh trong trường hợp các toán tử của hệ không có tính thế năng
và chỉ ra sự hội tụ mạnh của phương pháp đề xuất (xem Phương pháp (2.5),
Phương pháp (2.8), Phương trình xấp xỉ hữu hạn chiều (3.1), Định lý 2.1,


7

Định lý 2.2, Ví dụ 2.1, Ví dụ 2.2, Định lý 3.1, Định lý 3.2). Chúng tôi cũng
nghiên cứu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và
nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho phương trình hiệu chỉnh (2.5), (2.8) kết
hợp việc nới lỏng các điều kiện đặt lên các toán tử của hệ (0.2) trong không
gian Banach (xem Định lý 2.3, Định lý 2.4, Định lý 2.5).
Như vậy có thể khẳng định rằng, bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình
toán tử đặt không chỉnh đơn điệu đã và đang được các nhà toán học trong
và ngoài nước quan tâm nghiên cứu, nhằm xây dựng các phương pháp giải

hữu hiệu cho bài toán này. Tuy đã có rất nhiều kết quả quan trọng đạt được
cho việc nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử
đặt không chỉnh (0.2), song việc cải tiến các phương pháp nhằm gia tăng
hiệu quả của nó luôn là vấn đề thời sự và cấp thiết. Vì những lý do phân
tích ở trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là "Phương pháp
hiệu chỉnh tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong
không gian Banach".
Mục đích chính của luận án nhằm nghiên cứu các phương pháp hiệu chỉnh
cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (0.2) trong không gian Banach
trên cơ sở giải quyết các vấn đề sau:
1. Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh mới hiệu chỉnh hệ phương trình toán
tử đặt không chỉnh (0.2) trong không gian Banach. Nghiên cứu sự hội
tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc chọn
tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và nguyên lý tựa độ lệch
suy rộng.
2. Xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương trình hiệu chỉnh ở trên,
nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều, đồng
thời đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán
tử (0.2).
3. Đưa ra ví dụ áp dụng và kết quả số mang tính chất minh họa cho phương
pháp đã đề xuất.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung của luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1 giới thiệu và


8

trình bày các kiến thức bổ trợ phục vụ cho các chương sau của luận án. Các
kết quả chính của luận án nằm ở Chương 2 và Chương 3.
Chương 1 giới thiệu một số đặc trưng hình học của không gian Banach,

toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, ngược đơn điệu mạnh, toán tử liên tục
Lipschitz, toán tử bức và toán tử thế năng. Trình bày khái niệm về bài toán
đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Phần cuối của chương trình bày
về hệ phương trình toán tử đơn điệu và một số bài toán liên quan.
Chương 2 đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov giải
hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh (0.2) trong trường hợp
các toán tử có tính chất thế năng hoặc ngược đơn điệu mạnh trong không
gian Banach. Chương này cũng đề xuất các quy tắc chọn tham số hiệu chỉnh
theo nguyên lý tựa độ lệch, nguyên lý tựa độ lệch suy rộng và đánh giá tốc
độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Một số ứng dụng cho bài toán cực trị hay
hệ phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại một được trình bày ở
cuối chương cùng một số kết quả tính toán số mang tính chất minh họa cho
các phương pháp đề xuất.
Chương 3 xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của
phương pháp hiệu chỉnh đề xuất ở Chương 2, đánh giá tốc độ hội tụ của
nghiệm hiệu chỉnh khi đã được xấp xỉ hữu hạn chiều. Phương pháp hiệu
chỉnh lặp được đưa ra trong không gian Hilbert cùng một số kết quả tính
toán thử nghiệm được trình bày ở cuối chương.
Các kết quả của luận án đã được công bố trong các bài báo (1)–(4) trong
Danh mục các công trình của tác giả đã công bố có liên quan đến luận án và
được báo cáo tại:
• Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên các năm 2014, 2015, 2016 và 2017.
• Hội thảo quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc về Công nghệ Thông tin và
Truyền thông" lần thứ 16, 14-15/11/2013, Đà Nẵng.
• Hội thảo "Bài toán cân bằng và điểm bất động: Lý thuyết và thuật toán",
25-29/08/2014, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán.
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, 21-23/4/2016, Ba
Vì, Hà Nội.

9

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị quan
trọng phục vụ cho việc trình bày các kết quả chính ở các chương sau của
luận án. Cấu trúc của chương gồm 3 mục:
Mục 1.1 trình bày các khái niệm về không gian Banach phản xạ, lồi đều;
toán tử đơn điệu trong không gian Banach và một số tính chất.
Mục 1.2 giới thiệu một số nét cơ bản về bài toán đặt không chỉnh ở dạng
phương trình toán tử và ví dụ; trình bày lại khái niệm và một số phương
pháp hiệu chỉnh cụ thể hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh.
Trong Mục 1.3 giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu và một số
bài toán liên quan, đồng thời các kết quả hiệu chỉnh hệ phương trình toán
tử đơn điệu cũng được trình bày trong mục này.


10

Chương 2

Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử
đơn điệu trong không gian Banach
Chương này ta nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình
toán tử trong không gian Banach thực phản xạ E với không gian đối ngẫu
E ∗ được giả thiết là lồi chặt
Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,

(2.1)

ở đây Ai : E → E ∗ là các toán tử đơn điệu, fi ∈ E ∗ , N ≥ 0. Trong toàn bộ
chương này ta luôn giả thiết hệ (2.1) có nghiệm, tức là
N

Si = ∅,

S :=

(2.2)

i=0

ở đây Si là tập nghiệm của phương trình thứ i của hệ (2.1). Khi đó, S là tập
con lồi đóng trong E, do đó tồn tại duy nhất phần tử x0 ∈ S có x∗ -chuẩn
nhỏ nhất, nghĩa là
x0 − x∗ = min z − x∗ ,
z∈S

x∗ ∈ E.

(2.3)

Bài toán (2.1), nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa
nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu fi ∈ E ∗ ,
i = 0, 1, . . . , N .
Trong chương này thay cho các giá trị đúng fi ta chỉ được biết các xấp xỉ
fiδ sao cho điều kiện sau đây thỏa mãn

fi − fiδ ≤ δ,

δ → 0.

(2.4)

Nội dung của chương được chia làm ba mục. Mục 2.1 trình bày hai phương
pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử và sự hội tụ mạnh của phương pháp.
Mục 2.2 nghiên cứu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch,


11

nguyên lý tựa độ lệch suy rộng và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu
chỉnh. Mục 2.3 trình bày ứng dụng và thử nghiệm số. Các kết quả của chương
được trích từ các bài báo (1), (2) và (3) trong Danh mục các công trình của
tác giả đã công bố có liên quan đến luận án.
2.1.
2.1.1.

Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử
Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử thế năng

Mục này đưa ra phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt
không chỉnh (2.1) trong trường hợp các toán tử Ai : E → E ∗ đều là toán tử
đơn điệu, hemi-liên tục và có tính chất thế năng. Ý tưởng chính là chuyển
việc giải hệ (2.1) về việc giải hiệu chỉnh một phương trình tổng trên cơ sở
xây dựng một phương trình toán tử phụ thuộc tham số được đề xuất bởi
Nguyễn Bường (năm 2006) trong trường hợp các vế phải của (2.1) được cho
xấp xỉ bởi fiδ với sai số δ > 0 thỏa mãn (2.4).

Ta xét phương trình hiệu chỉnh
N

αµi (Ai (x) − fiδ ) + αJ(x − x∗ ) = 0,

(2.5)

i=0

ở đây µi là các tham số dương thỏa mãn điều kiện
µ0 = 0 < µi < µi+1 < 1,

i = 1, 2, . . . , N − 1,

(2.6)

x∗ là phần tử bất kỳ thuộc E nhưng không thuộc S, α là một tham số dương.
Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (2.5) được phát biểu trong bổ
đề sau đây.
Bổ đề 2.1 Giả sử E là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt, E ∗ không gian đối ngẫu của E cũng lồi chặt, Ai : D(Ai ) = E → E ∗ là các toán
tử đơn điệu, hemi-liên tục, i = 0, 1, . . . , N , J : E → E ∗ là ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc của không gian Banach E. Khi đó, với mỗi α > 0 phương trình
(2.5) có duy nhất nghiệm xδα .
Sự hội tụ của dãy nghiệm {xδα } của phương trình (2.5) được công bố trong
định lý sau.


12

Định lý 2.1 Giả sử E, E ∗ , Ai và J được cho như trong Bổ đề 2.1. Ngoài

ra, giả thiết thêm rằng E có tính chất ES, Ai : D(Ai ) = E → E ∗ là các toán
tử thế năng, fiδ ∈ E ∗ là xấp xỉ của fi ∈ E ∗ thỏa mãn (2.4). Khi đó, nếu
α(δ) và δ/α(δ) → 0

khi δ → 0,

(2.7)

thì dãy nghiệm {xδα } của phương trình hiệu chỉnh (2.5) hội tụ mạnh trong E
đến một nghiệm x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ nhất.
Nhận xét 2.1 (i) Nhờ vào kết quả trên, ta có thể xác định được một toán
tử hiệu chỉnh dựa vào việc giải phương trình (2.5) và một sự phụ thuộc
α = α(δ) để nghiệm của phương trình này hội tụ đến nghiệm của hệ
phương trình (2.1). Vì vậy, phương trình (2.5) được gọi là phương trình
hiệu chỉnh cho hệ phương trình (2.1) và α > 0 là tham số hiệu chỉnh.
(ii) Nếu fi = 0 và δ = 0 thì phương pháp hiệu chỉnh (2.5) được đưa về
phương pháp đề xuất năm 2006 của Nguyễn Bường.
2.1.2.

Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh

Mục này đưa ra phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt
không chỉnh (2.1) trong trường hợp A0 là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục,
còn các toán tử Ai khác đều là toán tử λi -ngược đơn điệu mạnh, i = 1, . . . , N .
Ta biết rằng, mọi toán tử ngược đơn điệu mạnh đều là toán tử demi-đóng,
do đó ta sẽ sử dụng tính chất này để chứng minh định lý hội tụ của phương
pháp hiệu chỉnh trong trường hợp thay thế giả thiết thế năng của các toán
tử Ai bằng giả thiết ngược đơn điệu mạnh.
Ta xét phương trình hiệu chỉnh
N

A0 (x) + α

µ

(Ai (x) − fiδ ) + αJ(x − x∗ ) = f0δ ,

(2.8)

i=1

α > 0 là tham số hiệu chỉnh, µ ∈ (0, 1) là số cố định, A0 : (D(A0 ) = E) → E ∗
là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, Ai : (D(Ai ) = E) → E ∗ , i = 1, . . . , N là
các toán tử λi -ngược đơn điệu mạnh.
Chú ý 2.1 Theo giả thiết ta thấy Ai là các toán tử λi -ngược đơn điệu mạnh
nên Ai là các toán tử 1/λi -liên tục Lipschitz, do đó Ai là các toán tử hemiliên tục. Bởi vậy, hoàn toàn tương tự như Bổ đề 2.1 với mỗi α > 0 phương
trình (2.8) có có duy nhất nghiệm xδα .


13

Định lý 2.2 Giả sử E là không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES,
E ∗ là không gian lồi chặt, J : (D(J) = E) → E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc của E, A0 : (D(A0 ) = E) → E ∗ là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, các
toán tử Ai : (D(Ai ) = E) → E ∗ đều là λi -ngược đơn điệu mạnh, fiδ ∈ E ∗ với
δ > 0, i = 0, 1, . . . , N thỏa mãn (2.4) và tập nghiệm S := ∩N
i=0 Si = ∅. Khi
đó, nếu tham số hiệu chỉnh α(δ) được chọn thỏa mãn
α(δ) → 0 và

δ
→ 0 khi δ → 0
α(δ)

(2.9)

thì dãy nghiệm hiệu chỉnh {xδα } của phương trình (2.8) hội tụ mạnh tới x0 ∈ S
có x∗ -chuẩn nhỏ nhất.
Nhận xét 2.2 Định lý 2.2 góp phần làm giảm nhẹ giả thiết đặt lên các toán
tử Ai của hệ (2.1) so với các kết quả của Phạm Kỳ Anh và các đồng nghiệp
năm 2009, 2011 và Nguyễn Thị Thu Thủy năm 2012.
Đối với việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu
của hệ (2.1) bao gồm hai bước cơ bản là, xây dựng toán tử hiệu chỉnh và
chọn tham số hiệu chỉnh α(δ) dựa vào thông tin của bài toán. Mục tiếp theo
sẽ nghiên cứu cách chọn tham số hiệu chỉnh.
2.2.
2.2.1.

Tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ
Tham số hiệu chỉnh

Mục đích của mục này là đưa ra câu trả lời cho câu hỏi: Có hay không cấu
trúc hàm α
¯ (δ) thỏa mãn điều kiện đủ để phương pháp hiệu chỉnh hệ phương
trình toán tử (2.1) được đề xuất ở Mục 2.1 hội tụ?
Một trong những qui tắc chọn tham số hiệu chỉnh được sử dụng rộng rãi
cho phương trình tuyến tính Ax = f với vế phải được cho xấp xỉ bởi f δ
trong không gian Hilbert thực H là nguyên lý độ lệch. Mở rộng nguyên lý
này ta đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch cho hệ
phương trình toán tử phi tuyến (2.1) khi xét phương trình hiệu chỉnh (2.5),

tức là tìm tham số hiệu chỉnh α = α(δ) từ phương trình
ρ(α) = Kδ p ,
ở đây

K > N + 2,

0 < p ≤ 1,

(2.10)


14

ρ(α) := α xδα − x∗ ,

(2.11)

xδα là nghiệm của phương trình (2.5). Để chỉ ra sự tồn tại của tham số hiệu
chỉnh khi chọn theo nguyên lý tựa độ lệch ta cần có kết quả bổ trợ sau.
Bổ đề 2.2 Giả sử E là không gian Banach thực phản xạ thực có tính chất
ES, E ∗ không gian đối ngẫu của E lồi chặt, Ai : (D(Ai ) = E) → E ∗ là các
toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, i = 0, 1, . . . , N . Khi đó,
(i) Hàm ρ(α) liên tục trên (α0 , +∞) với mọi α0 > 0;
(ii) Nếu toán tử AN liên tục tại x∗ và
AN (x∗ ) − fNδ > 0,

(2.12)

với mọi δ ≥ 0, ở đây fN0 = fN thì lim ρ(α) = +∞.
α→+∞

Định lý sau sẽ chỉ ra sự tồn tại của tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên
lý tựa độ lệch.
Định lý 2.3 Giả sử các điều kiện của Bổ đề 2.2 thỏa mãn. Khi đó, tồn tại
ít nhất một giá trị α = α(δ) sao cho
α ≥ K − (N + 2) δ p / z − x∗ ,

z ∈ S,

(2.13)

0 < p ≤ 1.

(2.14)

và
ρ(α) = Kδ p ,

K > N + 2,

Hơn nữa, nếu δ → 0 và Ai , i = 0, 1, . . . , N − 1 là toán tử đơn điệu chặt thì:
(i) α(δ) → 0;
(ii) nếu p ∈ (0, 1) thì δ/α(δ) → 0 và xδα(δ) → x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ nhất;
(iii) nếu p = 1, S = {x0 } và Ai là các toán tử λi -ngược đơn điệu mạnh với
i = 1, 2, . . . , N thì xδα(δ) hội tụ yếu tới x0 đồng thời δ/α(δ) ≤ C với C là
hằng số dương.
Nhận xét 2.3 Khi xét bài toán tìm nghiệm của phương trình toán tử đơn
điệu, hemi-liên tục, Ryazantseva đã đề xuất nguyên lý độ lệch chọn tham số
hiệu chỉnh khi điều kiện liên tục tại x∗ được đặt lên toán tử. Mở rộng kết
quả trên cho hệ N phương trình thì điều kiện liên tục tại x∗ được đặt lên cả

N toán tử của hệ. Định lý 2.3 đã góp phần giảm thiểu được điều kiện này,
tức là giả thiết liên tục tại x∗ chỉ cần đặt lên một toán tử của hệ.


15

Dưới đây, ta đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ
lệch suy rộng: Tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào δ (α = α(δ)) được xác
định từ phương trình
ρ(α) = α−q δ p ,

p, q > 0,

(2.15)

trong đó hàm ρ(α) được xác định bởi (2.11).
Ta có các kết quả sau.
Bổ đề 2.3 Giả sử E, E ∗ , Ai , i = 0, 1, . . . , N được giả thiết như trong Bổ đề
2.2. Khi đó,
(i) Hàm ρ(α) xác định bởi (2.15) liên tục trên (α0 , +∞) với mỗi α0 > 0;
(ii) Nếu AN liên tục tại x∗ và
AN (x∗ ) − fNδ > 0,

(2.16)

với mọi δ ≥ 0, ở đây fN0 = fN thì lim ρ(α) = +∞.
α→+∞

Định lý 2.4 Giả sử E, Ai và fi được giả thiết như trong Bổ đề 2.2. Khi đó,
với mỗi p, q, δ > 0, tồn tại ít nhất một giá trị α > 0 thỏa mãn (2.15).

Bổ đề 2.4 Giả sử E, Ai và fi được cho như trong Bổ đề 2.2. Hơn nữa, giả
sử N ánh xạ của họ {Ai }N
i=0 đơn điệu chặt. Khi đó,
lim α(δ) = 0.

δ→0

Bổ đề 2.5 Giả sử E, Ai và fi được cho như trong Bổ đề 2.2, nếu q ≥ p thì
lim δ/α(δ) = 0.

δ→0

Định lý 2.5 Giả sử E, Ai và fi như trong Bổ đề 2.2, nếu 0 < p ≤ q thì
lim xδα(δ) = x0 .

δ→0

Nhận xét 2.4 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng (2.15) là mở rộng của nguyên
lý độ lệch suy rộng (0.9). Khi Ai (x) ≡ fi , i = 1, 2, . . . , N ta có
ρ(α) = A0 (xδα ) − f0δ = α−q δ p ,
ở đây xδα là nghiệm của phương trình hiệu chỉnh A0 (x) + αJ(x − x∗ ) = f0δ .
Nếu q = 0 thì (2.15) là nguyên lý độ lệch cổ điển (0.8), nếu q > 0 thì (2.15)
là nguyên lý độ lệch suy rộng (0.9).


16

2.2.2.

Tốc độ hội tụ

Để xác định tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, ta thường cần một số
điều kiện bổ sung. Một trong những điều kiện này được thiết lập dựa trên
tính "trơn" của nghiệm, gọi là điều kiện nguồn (source condition). Trong
mục này, chúng tôi sử dụng một dạng điều kiện nguồn, thường được dùng
cho trường hợp toán tử đơn điệu, chỉ đặt lên một toán tử A0 của hệ: tồn tại
phần tử ω ∈ E sao cho
[A0 (x0 )]∗ ω = J(x0 − x∗ ).

(2.17)

Bên cạnh đó, chúng tôi thay thế điều kiện về tính Lipschitz địa phương của
các đạo hàm Ai (x0 ) (hay tính bị chặn địa phương của các đạo hàm cấp hai
Ai (x0 )) bằng điều kiện nón tiếp tuyến (tangential cone condition) đặt lên
một toán tử A0 của hệ:
A0 (y) − f0 − A0 (x0 )(y − x0 ) ≤ τ A0 (y) − f0 ,

(2.18)

ở đây τ là một hằng số dương, y thuộc một lân cận của x0 ∈ S, A0 (x) là đạo
hàm Fréchet của A0 tại x ∈ E.
Mặc dù điều kiện về tính liên tục Lipschitz của đạo hàm không chặt hơn
điều kiện nón tiếp tuyến nói trên, song việc giảm thiểu các điều kiện đặt lên
N toán tử Ai khác trong hệ, i = 1, . . . , N là việc làm cần thiết và ý nghĩa.
Định lý sau cho ta kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong
trường hợp điều kiện nguồn và điều kiện nón tiếp tuyến chỉ đặt lên một toán
tử A0 trong hệ (2.1).
Định lý 2.6 Giả sử các điều kiện của Bổ đề 2.2 thỏa mãn. Ngoài ra, giả sử
(i) A0 khả vi liên tục Fréchet và thỏa mãn điều kiện nón tiếp tuyến (2.18);
(ii) A0 thỏa mãn điều kiện nguồn (2.17) với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

thỏa mãn
J(x) − J(y), x − y ≥ mJ x − y t ,

t ≥ 2, mJ > 0, ∀x, y ∈ E; (2.19)

(iii) tham số hiệu chỉnh α = α(δ) được chọn theo nguyên lý tựa độ lệch (2.10).
Khi đó với 0 < p < 1 ta có đánh giá
xδα(δ) − x0 = O(δ γ )

khi δ → 0,

γ = min

1 − p µp
,
s−1 s

, s ≥ 2.


17

Chú ý 2.2 Trong trường hợp tham số hiệu chỉnh α = α(δ) được chọn theo
nguyên lý tựa độ lệch suy rộng (2.15) với q > p tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh đạt được là
q − p pµ1
1
min
,
.

xδα(δ) − x0 = O(δ γ ), γ =
1+q
s−1 s
2.3.

Ứng dụng và thử nghiệm số

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số ví dụ nhằm minh họa cho
phương pháp hiệu chỉnh (2.5) và (2.8) để giải hệ phương trình toán tử (2.1)
bằng ngôn ngữ MATLAB 7.0 và đã được thử nghiệm trên máy tính LENOVO
Y430, Ram 504 MB cho các ví dụ sau đây.
2.3.1.

Bài toán tối ưu

Ta xét bài toán: tìm phần tử x0 ∈ H sao cho
ϕi (x0 ) = min ϕi (x),
x∈H

i = 0, 1, . . . , N,

(2.20)

trong không gian Hilbert thực H với ϕi (x) là các hàm lồi chính thường nửa
liên tục dưới yếu trên H được xác định bởi
1
ϕi (x) = Ai x, x ,
2
ở đây Ai : H → H là các toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên
hợp, xác định không âm trên H. Vì ϕi (x) = Ai (x), i = 0, 1, . . . , N nên x0

là nghiệm của (2.20) khi và chỉ khi x0 là nghiệm của hệ (2.1) với fi = 0,
i = 0, 1, . . . , N . Ta có thể sử dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.5) giải hiệu
chỉnh bài toán này với fiδ thỏa mãn fiδ ≤ δ, i = 0, 1, . . . , N .
Mặt khác, do Ai , i = 0, 1, . . . , N là các toán tử ngược đơn điệu mạnh nên
ta có thể sử dụng phương pháp (2.8) giải hiệu chỉnh bài toán (2.20).
Ta tính toán thử nghiệm cho ví dụ sau.
Ví dụ 2.1 Xét bài toán (2.20) trong trường hợp Ai := BiT Bi là các ma trận
vuông cấp M với ma trận Bi = (bilj )M
l,j=1 được xác định bởi
bi1j = cos(i + 1), j = 1, 2, . . . , M,
bi2j = 2 cos(i + 1), j = 1, 2, . . . , M,
bilj = sin((i + 1)l) cos((i + 1)k), l = 3, . . . , M, j = 1, 2, . . . , M,


18

fiδ = (δ, δ, . . . , δ)T ∈ RM là xấp xỉ của fi = (0, 0, . . . , 0)T ∈ RM , δ → 0. Ta
thấy x0 = (0, 0, . . . , 0)T ∈ RM là nghiệm của hệ Ai (x) = 0, i = 0, 1, . . . , N .
Chúng tôi áp dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.5) và (2.8) để tìm nghiệm xấp
δ
xỉ và nhận được đánh giá rα,M
= xδα,M − x0 .
2.3.2.

Hệ phương trình tích phân

Ta xét hệ phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại một: tìm
nghiệm x0 ∈ L2 [a, b] của hệ phương trình
b

Ki (t, s)x(s)ds − fi (t) = 0, t ∈ [a, b], i = 0, 1, . . . , N,

(2.21)

a

trong đó trong đó Ki (t, s) là các hàm hạch tích phân đối xứng, liên tục trong
hình vuông {a ≤ s, t ≤ b}, fi ∈ L2 [a, b] là các hàm liên tục tương ứng. Khi
đó, các toán tử tích phân Ai : L2 [a, b] → L2 [a, b] được xác định bởi
b

Ki (t, s)x(s)ds,

(Ai x)(t) :=

i = 0, 1, . . . , N,

a

là tự liên hợp và hoàn toàn liên tục. Hơn nữa, nếu Ai xác định không âm
trong hình vuông {a ≤ t, s ≤ b} thì Ai là các toán tử ngược đơn điệu mạnh.
Khi đó, ta áp dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.8) để tìm nghiệm xấp xỉ. Ta
thử nghiệm số với ví dụ sau đây.
Ví dụ 2.2 Xét hệ phương trình tích phân Fredholm tuyến tính (2.21) trong
trường hợp N = 2, [a, b] = [0, 1], fi (t) = 0 và các hạch tích phân xác định
như sau
K0 (t, s) = ts,

 s(1 − t), s ≤ t,
K1 (t, s) =

 t(1 − s), s ≥ t,

2 2
2 3
3

(1
−
s)
st
(1
−
s)
t
(1
+
2s)
(t
−
s)


−
+
, t ≥ s,
2
6
6
K2 (t, s) =


s2 (1 − s)(1 − t)2 s2 (1 − t3 )(2s − 3) (s − t)3


+
+
, t ≤ s.
2
6
6
Cho fiδ (t) = δ, t ∈ [0, 1] là xấp xỉ của fi (t) = 0 ∈ L2 [0, 1]. Áp dụng phương
pháp hiệu chỉnh (2.8) để tìm nghiệm xấp xỉ của hệ (2.21).


19

Chương 3

Xấp xỉ hữu hạn chiều và phương
pháp hiệu chỉnh lặp
Chương này nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều bằng phương pháp Galerkin
cho phương trình hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu, đồng thời đề
xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp cùng một số kết quả tính toán minh
họa. Nội dung của chương được chia làm ba mục. Mục 3.1 trình bày xấp xỉ
hữu hạn chiều và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều. Mục
3.2 đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không giải hệ phương trình
toán tử đơn điệu và Mục 3.3 trình bày một số thử nghiệm số minh họa cho
sự hội tụ của phương pháp đã đề xuất.
Các kết quả của chương được viết trên cơ sở bài báo (2) và (4) trong Danh
mục các công trình của tác giả có liên quan đến đề tài luận án.
3.1.

3.1.1.

Xấp xỉ hữu hạn chiều và tốc độ hội tụ
Xấp xỉ hữu hạn chiều

Chúng tôi xấp xỉ hữu hạn chiều phương trình hiệu chỉnh (2.8) bởi
N

An0 (x)

+α

µ

(Ani (x) − finδ ) + αJ n (x) = f0nδ ,

x ∈ En ,

(3.1)

i=1

ở đây Ani = Pn∗ Ai Pn , J n = Pn∗ JPn , finδ = Pn∗ fiδ , Pn : E → En là phép chiếu
tuyến tính từ E lên không gian con hữu hạn chiều En của E được giả thiết
là bị chặn đều trên E, Pn∗ : E ∗ → En∗ là toán tử liên hợp của Pn và
En ⊂ En+1

∀n;

Pn x → x khi n → +∞ ∀x ∈ E.

Không làm mất tính chất tổng quát, ta giả sử Pn = 1.


20

Cũng giống như phương trình (2.8) phương trình (3.1) có duy nhất nghiệm
xδα,n với mỗi δ, α > 0 và n. Chúng tôi sẽ chứng minh dãy nghiệm {xδα,n } hội
tụ đến nghiệm xδα của phương trình (2.8) khi n → ∞.
Định lý 3.1 Giả sử E là không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES,
E ∗ là không gian đối ngẫu của E lồi chặt; A0 : (D(A0 ) = E) → E ∗ là
toán tử đơn điệu và hemi-liên tục, các toán tử Ai : (D(Ai ) = E) → E ∗ là
λi -ngược đơn điệu mạnh; fiδ ∈ E ∗ , δ > 0, i = 0, 1, . . . , N thỏa mãn (2.4);
J : (D(J) = E) → E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Khi đó, nếu n → ∞ thì
dãy nghiệm {xδα,n } của phương trình (3.1) hội tụ tới nghiệm xδα của phương
trình (2.8).
Đặt
γn (z) = (I − Pn )(z) ,

z ∈ S,

ở đây I là toán tử đơn vị trong E. Sự hội tụ của dãy nghiệm hiệu chỉnh hữu
hạn chiều {xδα,n } của bài toán (3.1) đến nghiệm chính xác của bài toán (2.8)
được chứng minh trong định lý sau.
Định lý 3.2 Giả sử E, E ∗ , J, Ai , fi , i = 0, 1, . . . , N được giả sử như trong
Định lý 3.1 và S = ∩N
i=0 = ∅. Khi đó, nếu δ/α, γn (z)/α → 0 và Pn x → x khi
α → 0 và n → ∞ thì dãy {xδα,n } hội tụ mạnh đến x0 ∈ S.
3.1.2.

Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều

Định lý tiếp theo chỉ ra tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn đến
nghiệm chính xác của bài toán (2.1) khi có thêm điều kiện đặt lên toán tử A0 .
Định lý 3.3 Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) A0 là toán tử liên tục và khả vi Fréchet thỏa mãn (2.18) tại x = x0 ;
(ii) tồn tại phần tử ω ∈ E sao cho
[A0 (x0 )]∗ ω = J(x0 ),
ở đây J là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc thỏa mãn (2.19)
(iii) tham số hiệu chỉnh α = α(δ) được chọn bởi α ∼ (δ + γn )ν , 0 < ν < 1 và
γn = max γn (x).
x∈S


21

Khi đó,
xδα,n − x0 = O((δ + γn )h + γnl ),
ở đây
h = min
3.2.

1 − ν µν
,
,
s−1 s

l = min

1 ν

,
,
s s−1

s ≥ 2.

Phương pháp hiệu chỉnh lặp

Trong mục này ta nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương
trình toán tử (2.1) trong không gian Hilbert thực H, một trường hợp đặc
biệt của không gian Banach, với Ai : H → H là các toán tử λi -ngược đơn
điệu mạnh.
3.2.1.

Mô tả phương pháp

Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không giải hệ phương trình toán tử (2.1)
được xây dựng như sau: với z0 ∈ H tùy ý cho trước, các xấp xỉ tiếp theo
được xác định bởi
N

zm+1 = zm − βm A0 (zm ) +

µ
αm

µ+1
Ai (zm ) + αm
(zm − x∗ ) .

(3.2)

i=1

Sự hội tụ của dãy lặp {zm } đến nghiệm x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ nhất khi
m → +∞ được chứng minh với các điều kiện đặt lên các toán tử Ai và cách
chọn dãy tham số {αm } và {βm } thích hợp. Để đạt được kết quả này, trên
cơ sở phương trình hiệu chỉnh (2.8), chúng tôi xét phương trình toán tử
N

A0 (x) +

µ
αm

µ+1
Ai (x) + αm
(x − x∗ ) = 0.

(3.3)

i=1

Ta có các kết quả sau.
Định lý 3.4 Giả sử A0 : (D(A0 ) = H) → H là toán tử đơn điệu, hemi-liên
tục, các toán tử Ai : (D(Ai ) = H) → H khác là λi -ngược đơn điệu mạnh,
i = 1, . . . , N và S := ∩N
i=0 Si = ∅. Khi đó,
(i) Với mỗi αm > 0 phương trình (3.3) có duy nhất nghiệm xm ;

22

(ii) Nếu 0 < αm ≤ 1, αm → 0 khi m → +∞ thì

lim xm = x0 ∈ S có

m→+∞

x∗ -chuẩn nhỏ nhất và
xm+1 − xm = O

| αm+1 − αm |
,
µ+1
αm

ở đây xm+1 là nghiệm của phương trình (3.3) khi αm được thay thế bởi
αm+1 .
3.2.2.

Sự hội tụ

Định lý sau chỉ ra sự hội tụ của dãy lặp (3.2).
Định lý 3.5 Giả sử các dãy tham số {αm }, {βm } và Ai , i = 0, 1, . . . , N thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) A0 là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz các toán tử Ai khác là λi -ngược
đơn điệu mạnh;
(ii) 1 ≥ αm
(iii) lim

m→+∞
∞

(iv)
m=0

0, βm → 0 khi m → +∞;

|αm+1 − αm |
2(µ+1)

βm
µ+1 = 0;
m→+∞ αm

= 0, lim

βm αm

µ+1
βm αm
= +∞.

Khi đó, lim zm = x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ nhất.
m→+∞

Nhận xét 3.1 (i) Các dãy tham số βm = (1 + m)−1/2 và αm = (1 + m)−p ,
0 < 2p < 1/(N + 1) thỏa mãn các điều kiện (ii)-(iv) của Định lý 3.5.
(ii) Khi N = 0, phương pháp (3.2) trùng với phương pháp hiệu chỉnh lặp

bậc không của Bakushinski cho phương trình A(x) = 0.
3.3.

Thử nghiệm số

Trong mục này, chúng tôi sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (3.2) để
giải bài toán (2.20) và (2.21) ở Chương 2 bằng ngôn ngữ MATLAB 7.0 và
đã chạy thử nghiệm trên máy tính Lenovo Y430, 1,73GHz, Ram 504MB.


23

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ
Luận án đã đề cập đến những vấn đề sau:
• Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu
đặt không chỉnh trong không gian Banach trên cơ sở giải phương trình
toán tử phụ thuộc tham số.
• Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh kết hợp với bài toán
xấp xỉ hữu hạn chiều cho hệ phương trình toán tử đơn điệu trên cơ sở
chọn tham số hiệu chỉnh bằng nguyên lý tựa độ lệch và nguyên lý tựa
độ lệch suy rộng.
• Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không tìm nghiệm xấp xỉ
của hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Hilbert
thực H, một trường hợp đặc biệt của không gian Banach, với các toán
tử ngược đơn điệu mạnh.
Các kết quả nhận được trong luận án gồm:
1. Xây dựng được phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh cho hệ phương trình
toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach.
2. Đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và
nguyên lí tựa độ lệch suy rộng. Dựa trên cách chọn này, tốc độ hội tụ

của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá khi sai số δ dần tới không.
3. Đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi đã được xấp xỉ
hữu hạn chiều cho bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn
điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach.
4. Đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử
đơn điệu, sự hội tụ của phương pháp được thiết lập dựa trên cơ sở chọn
dãy tham số thích hợp và điều kiện đơn điệu, liên tục Lipschitz của các
toán tử.
5. Đưa ra một số ví dụ số có tính chất minh họa cho các kết quả đã
nghiên cứu.