Phương pháp dykstra lai ghép cho hai toán tử đơn điệu

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN
TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N THÀ HOÀNG NGUYÊN

PHƯƠNG PHÁP DYKSTRA LAI GHÉP CHO
HAI TOÁN TÛ ĐƠN ĐI›U

LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC

Thái Nguyên - 2015


Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN
TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N THÀ HOÀNG NGUYÊN

PHƯƠNG PHÁP DYKSTRA LAI GHÉP CHO
HAI TOÁN TÛ ĐƠN ĐI›U

Chuyên ngành: Toán ùng döng
Mã sè:

60 46 01 12

LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC

NGƯÍI HƯÎNG DˆN KHOA HÅC

GS.TS. NGUY™N BƯÍNG

Thái Nguyên - 2015


i

Mửc lửc

Lới cÊm n

ii

Danh sỏch ký hiằu

iii

M Ưu

1

1

Mởt số vĐn ã c bÊn

3

1.1

Khụng gian Hilbert v cỏc vĐn ã liờn quan . . . . . . . .

3

1.2

Mởt số vĐn ã vã giÊi tớch lỗi . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

Toỏn tỷ n iằu, nghiằm cừa phng trỡnh toỏn tỷ n
iằu v cừa bĐt ng thực bián phõn trong khụng gian Hilbert 19

2

Phng phỏp Dykstra lai ghộp cho hai toỏn tỷ n iằu
2.1

Bi toỏn tỡm giao im cừa hai khụng gian con úng v
thuêt toỏn Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

27

27

Phng phỏp Dykstra tỡm khụng im cừa tờng hai toỏn tỷ
n iằu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Kát luên

40

Ti liằu tham khÊo

41


ii

Lới cÊm n
hon thnh ủc luên vn mởt cỏch hon chnh, tụi luụn nhên ủc
sỹ hợng dăn v ch bÊo tên tỡnh cừa GS.TS. Nguyạn Bớng (Viằn Cụng
nghằ Thụng tin - Viằn Hn lõm Khoa hồc v Cụng nghằ Viằt Nam). Tụi
xin chõn thnh by tọ lũng biát n v xin gỷi lới tri õn sõu sc nhĐt án
thƯy.
Tụi xin chõn thnh cÊm n Ban lónh Ôo khoa Toỏn - Tin, phũng o
tÔo, quý thƯy cụ giÊng dÔy lợp cao hồc toỏn K7Y (01/201401/2016)
trớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc Thỏi Nguyờn ó tên tỡnh truyãn Ôt
nhỳng kián thực quý bỏu v tÔo iãu kiằn cho tụi trong quỏ trỡnh hồc têp v
nghiờn cựu.
Tụi xin gỷi lới cÊm n chõn thnh nhĐt tợi gia ỡnh, bÔn bố, ỗng
nghiằp nhỳng ngới ó luụn ởng viờn, hộ trủ v tÔo mồi iãu kiằn cho
tụi trong suốt quỏ trỡnh hồc têp v thỹc hiằn luên vn.
Trong quỏ trỡnh thỹc hiằn, mc dự ó rĐt cố gng luên vn khụng trỏnh
khọi nhỳng thiáu sút. Tụi rĐt mong nhên ủc sỹ gúp ý cừa cỏc ThƯy, cỏc
Cụ v cỏc ởc giÊ quan tõm luên vn ủc hon thiằn hn.

Xin trõn trồng cÊm n!
Thỏi Nguyờn, 2015

Nguyạn Th Hong Nguyờn
Hồc viờn Cao hồc Toỏn Khúa 01/201401/2016,
Trớng H Khoa hồc - H Thỏi Nguyờn


iii

Danh sỏch ký hiằu
Trong ton luên vn, ta dựng nhỳng ký hiằu vợi cỏc ý ngha xỏc nh
trong bÊng dợi õy:
R

khụng gian số thỹc

H

khụng gian Hilbert thỹc

X

khụng gian ối ngău cừa X

PC (x)

phộp chiáu trỹc giao cừa im x trờn têp C

hx, yi

tớch vụ hợng cừa hai vect x v y

kxk

chuân cừa vect x

xn x

xn hởi tử mÔnh án x

xn * x

xn hởi tử yáu x

x := y

x ủc gỏn bơng y

spanC

tờ hủp tuyán tớnh cừa C



mồi



tỗn tÔi

têp rộng

Id

ỏnh xÔ n v.


1

M Ưu
Toỏn tỷ n iằu l mởt trong nhỳng cụng cử ủc sỷ dửng nhiãu v rĐt
cú hiằu quÊ trong lnh vỹc toỏn ựng dửng chng hÔn nh bĐt ng thực
bián phõn. Nú giỳp ớch cho viằc nghiờn cựu ỏnh xÔ dợi gradient v
gradient, chựng minh sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cho rĐt nhiãu cỏc lợp
bi toỏn cõn bơng, bi toỏn bĐt ng thực bián phõn v bi toỏn tối u. Tứ
bi toỏn tỡm giao im cừa hai khụng gian con úng ó ủc chựng minh
bi nh toỏn hồc Neumann trong thuêt toỏn chiáu luõn hợng cờ in vo
nm 1933. V sau ny nh toỏn hồc Dykstra sỷ dửng phộp chiáu lờn hai têp
úng lỗi cừa khụng gian Hilbert xõy dỹng phộp chiáu lp lờn giao cừa
chỳng.
ã ti cừa luên vn l trỡnh by cỏch tiáp cên ối ngău m rởng thuêt
toỏn cừa Dykstra nhơm xõy dỹng toỏn tỷ giÊi cho toỏn tỷ tờng hai toỏn tỷ
n iằu cỹc Ôi tứ cỏc toỏn tỷ giÊi n iằu.
Nởi dung cừa luên vn ủc trỡnh by trong hai chng. Chng 1 giợi
thiằu mởt số kián thực c bÊn vã khụng gian Hilbert thỹc, giÊi tớch lỗi,
phộp chiáu trong khụng gian Hilbert, toỏn tỷ n iằu, nghiằm cừa phng
trỡnh toỏn tỷ n iằu v nghiằm cừa bĐt ng thực bián phõn trong khụng

gian Hilbert. Chng 2 gỗm hai mửc chớnh. Mửc 2.1 nờu bi toỏn tỡm giao
im cừa hai khụng gian con úng. Mửc 2.2 trỡnh by vã phng phỏp
Dykstra lai ghộp cho hai toỏn tỷ n iằu cỹc Ôi.
Qua quỏ trỡnh hon thnh luên vn, tỏc giÊ nhên thĐy rơng luên vn ch
th hiằn ủc mởt phƯn nhọ cỏc vĐn ã ủc ã cêp trong luên vn. Tuy


2
nhiờn, thụng qua viằc trỡnh by luên vn tỏc giÊ ủc trau dỗi nhỳng kián
thực khi Ưu nh hợng cho sỹ tiáp cên cỏc vĐn ã sau ny.
Thỏi Nguyờn, thỏng 11 nm 2015
Nguyạn Th Hong Nguyờn

Hồc viờn cao hồc toỏn khúa 01/2014 01/2016
Chuyờn ngnh Toỏn ựng dửng
Trớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc Thỏi Nguyờn


3

Chng 1

Mởt số vĐn ã c bÊn
Trong chng ny chỳng tụi nhc lÔi mởt số kián tực c bÊn cừa giÊi
tớch hm, giÊi tớch lỗi, toỏn tỷ n iằu v bi toỏn bĐt ng thực bián
phõn, cú liờn quan án nởi dung nghiờn cựu cừa ã ti. Cỏc kián thực trong
chng ủc tham khÊo trong cỏc ti liằu [1], [2], [3], [4], [6].

1.1 Khụng gian Hilbert v cỏc vĐn ã liờn quan
Trong ton bở ã ti, chỳng tụi ch ã cêp án khụng gian Hilbert thỹc,

vợi tớch vụ hợng h., .i v chuân ||.||. Phộp chiáu lờn têp con U úng lỗi
khỏc rộng cừa H kớ hiằu l PU v xn x cú ngha l dóy xn hởi tử mÔnh
án x.

1.1.1. nh ngha v vớ dử
nh ngha 1.1. Cho khụng gian tuyán tớnh H trờn trớng số thỹc R, ta gồi
tớch vụ hợng trờn khụng gian H l mởt ỏnh xÔ i tứ tớch Descartes H ì H
vo trớng R ký hiằu h., .i thọa món cỏc iãu kiằn sau:
a) hx, yi = hy, xi, x, y H .
b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, x, y, z
H . c) hx, yi = hx, yi, x, y H,
R.


4
d) hx, xi > 0 n¸u x = 0 và hx, xi = 0 n¸u x = 0.
Nhªn xét 1.1. Tø đành nghĩa ta suy ra
1) hx, λyi = λhy, xi, ∀x, y ∈ H ;
2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi, ∀x, y, z ∈ H ;
Đành nghĩa 1.2. Không gian tuy¸n tính H cùng vîi mët tích vô hưîng trên
nó đưñc gåi là mët không gian ti·n Hilbert.
Đành lí 1.1. (B§t đ¯ng thùc Schwarz) Trong không gian ti·n Hilbert H ,
vîi måi x, y ∈ H ta luôn có b§t đ¯ng thùc sau:
|hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi
Chùng minh. Vîi måi sè thüc α ta có
0 ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy,
yi
Nên ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ 0. Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi.
D§u đ¯ng thùc trong b§t đ¯ng thùc x£y ra khi và ch¿ khi x và y phö
thuëc tuy¸n tính.

Đành lí 1.2. Cho H là mët không gian ti·n Hilbert, khi đó H cũng là mët
không gian tuy¸n tính đành chu©n vîi chu©n đưñc xác đành bði
p
||x|| = hx, xi vîi måi x ∈ H.

(1.1)

Chu©n này đưñc gåi là chu©n c£m sinh tø tích vô hưîng. Ta d¹ dàng chùng
p
minh đưñc hàm sè ||x|| = hx, xi vîi måi x ∈ H, là mët chu©n trên H .
Thªt vªy, tø đi·u ki»n d) ta có ||x|| > 0 n¸u x = 0, ||x|| = 0 n¸u x = 0.


Tứ iãu kiằn a), c) ta suy ra ||x|| = ||.||x||. Tứ bĐt ng thực Schwarz
v cỏch nh ngha chuân ta cú
|hx, yi| ||x||.||y||.

(1.2)

Tứ ú
hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi
||x||2 + 2||x||.||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2 .
Suy ra ||x + y|| ||x|| + ||
y||.
nh ngha 1.3. Náu H l mởt khụng gian tiãn Hilbert thỹc v Ưy ừ ối
vợi chuân cÊm sinh tứ tớch vụ hợng xỏc nh bi (1.1) thỡ H ủc gồi l
khụng gian Hilbert thỹc.
Vớ dử 1.1. Rn l khụng gian Hilbert thỹc vợi tớch vụ hợng
hx, yi =
yk

n
X

xk

k=1

trong ú x = (x1 , x1 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) Rn v chuân cÊm
sinh
n
X
p
1
||x|| = hx, xi = (
xk2 ) 2 .
k=1

Vớ dử 1.2. Khụng gian

X

2

l = {x = {xn }n R :

|xn |2 < +}

n=1

l khụng gian Hilbert vợi tớch vụ hợng

X
hx, yi =
xn y n
n=1

1

trong ú x = (xn )nN , y = (yn )nN 2 v chuân cÊm sinh
l
v
u
t
n
n
p
uX
|xk | 2
||x|| = hx, xi =


k=1

=(

X
k=1

|xk |2 ) 2 .

Vớ dử 1.3. Gồi C[a,b] l têp tĐt cÊ cỏc hm giỏ tr thỹc liờn tửc trờn khoÊng
úng hỳu hÔn [a, b] R. Trong C[a,b] xột tớch vụ hợng
Z b
hx, yi =
x(t)y(t)dt, x(t), y(t) C[a,b] .
a

Khi ú, khụng gian C[a,b] vợi chuân
Z b
1
|x(t)|2 dt) 2
||x|| = (
a

l khụng gian tiãn Hilbert.

1.1.2. Mởt số tớnh chĐt
nh lớ 1.3. GiÊ sỷ (xn )nN , (yn )nN l hai dóy lƯn lủt hởi tử mÔnh
án
x0 , y0 trong khụng gian tiãn Hilbert thỹc H , khi ú
lim hxn , yn i = hx0 , y0 i.

n

Chựng minh. GiÊ sỷ lim xn = x0 , lim yn = y0 trong khụng gian H . Ta
n

n

s chựng minh cho lim hxn , yn i = hx0 , y0 i trong R. Thêt vêy, ta cú
n

|hxn , yn i hx0 , y0 i| = |hxn , yn i + hxn , y0 i hxn , y0 i hx0 , y0 i|
|hxn , yn y0 i| + |hxn x0 , y0 i|
||xn ||.||yn y0 || + ||xn x0 ||.||y0 ||.
Vỡ dóy (xn )nN hởi tử trong H nờn tỗn tÔi M > 0 sao cho ||xn || M vợi
mồi n N . Khi ú,
lim hxn , yn i = hx0 , y0 i.

n

Nhên xột 1.2. Tứ nh lý trờn cho thĐy tớch vụ hợng l mởt hm số liờn
tửc trờn H ì H , nú cng l mởt phiám hm song tuyán tớnh b chn v hn
nỳa phiám hm ny cng liờn tửc.


nh lớ 1.4. Vợi mồi x, y thuởc khụng gian tiãn Hilbert H ta luụn cú ng
thực hỡnh bỡnh hnh sau
||x + y||2 + ||x y||2 = 2(||x||2 + ||y||
2
).
Chựng minh. Vợi mồi x, y H , ta cú
||x + y||2 = hx + y, x + yi = ||x||2 + ||y||2 + 2hx,
yi
v
||x y||2 = hx y, x yi = ||x||2 + ||y||2 2hx, yi.
Cởng hai ng thực trờn ta ủc ng thực cƯn chựng minh.
p dửng ng thực hỡnh bỡnh hnh cho hai vộc t x y, x z ta cú hằ

quÊ sau
Hằ quÊ 1.1. Cho H l mởt khụng gian tiãn Hilbert v x, y, z H . Khi
ú, ta cú ng thực Apollonius
y+ z 2
2(||x y||2 + ||x z||2 ) = 4||x
|| + ||y
2
2
z|| .
Nhên xột 1.3. (í ngha cừa ng thực hỡnh bỡnh hnh)
1) ng thực trờn núi lờn mởt tớnh chĐt hỡnh hồc: tờng bỡnh phng cỏc
cÔnh cừa hỡnh bỡnh hnh bơng tờng bỡnh phng hai ớng chộo.
2) Tứ nh lý trờn ta thĐy, muốn a ủc tớch vụ hợng vo mởt
khụng gian nh chuân thỡ khụng gian ny phÊi thọa món iãu kiằn
hỡnh bỡnh hnh. Ngủc lÔi náu H l mởt khụng gian nh chuân
trong ú ng thực hỡnh bỡnh hnh ủc thọa món vợi mồi phƯn tỷ
thuởc H thỡ trờn H s tỗn tÔi mởt tớch vụ hợng h., .i sao cho chuân
ny ủc xỏc nh nhớ tớch vụ hợng. iãu ny ủc th hiằn qua


đành lý sau.


nh lớ 1.5. GiÊ sỷ (H, ||.||) l mởt khụng gian nh chuân trờn R trong ú
ng thực hỡnh bỡnh hnh nghiằm ỳng vợi mồi x, y H . V khi ú ta t
1
hx, yi = p(x, y) = (||x + y||2 ||x y||2)
4

(1.3)

thỡ h., .i l mởt tớch vụ hợng trờn H v ta cú hx, xi = ||x||
2
.
Chựng minh. Ta chựng minh h., .i xỏc nh nh trờn thọa món cỏc iãu
kiằn trong nh ngha vã tớch vụ hợng. iãu kiằn a) - d) hin nhiờn ủc
thọa món (theo [2]). ý rơng h., .i : H ì H R l mởt hm liờn tửc
v
p(x, 0) = 0, p(x, y) = p(x, y), x, y
H.
Vợi mồi x, y, z H ta
cú
4(p(x, z) + p(y, z)) = (||x + z||2 ||x z||2 + ||y + z||2 ||y
z||2
x+y
p(x, z) + p(y, z) = 2p(
, z).
2
Trong ng thực trờn lĐy y = 0 ủc p(x, z) = 2p(2 x , z). Nh vêy ta
cú
x+y
2p(
, z) = p(x + y, z). Ngha l p(x, z) + p(y, z) = p(x + y, z).
2 Vêy
iãu kiằn b) ủc chựng minh. Thay thá x bơng 2x ta ủc
2p(x, z) = p(2x, z), x, y, z
H.
Bơng quy nÔp ta kim tra ủc
p(nx, z) = np(x, z), n N
v bơng lêp luên nh trờn ta cú

p(rx, z) = rp(x, z), r Q v x, z


H.
Nhí tính liên töc cõa chu©n ||.|| suy ra hàm p(., z) liên töc, qua giîi h¤n ta
có
p(ax, z) = ap(x, z), ∀x, z ∈ H và a ∈ R.


Vêy p(x, y) l mởt tớch vụ hợng trờn H v hin nhiờn
hx, xi = p(x, x) = ||x||2 .
nh lý ủc chựng minh.
nh lớ 1.6. Vợi mồi khụng gian tiãn Hilbert H ãu tỗn tÔi mởt khụng gian
Hilbert H1 chựa H sao cho H l khụng gian con trự mêt trong H1 .
Chựng minh. Dựng phộp bờ sung Ưy ừ cừa mởt khụng gian nh chuân
ta ủc mởt khụng gian nh chuân Ưy ừ H1 chựa H sao cho H l khụng
gian nh chuân trự mêt trong H1 [4, nh lý 2.8]. Vợi mồi x, y H1
s tỗn tÔi cỏc dóy (xn )n , (yn )n H sao cho
lim xn = x, lim yn = y

n

n

trong H1 . Theo ng thực hỡnh bỡnh hnh ta cú
||xn + yn ||2 + ||xn yn ||2 = 2(||xn ||2 + ||yn ||2 ).
Cho n , do tớnh liờn tửc cừa hm chuân ta suy ra
||x + y||2 + ||x y||2 = 2(||x||2 + ||y||
2
).

Theo nh lý trờn s tỗn tÔi mởt tớch vụ hợng trong H1 cÊm sinh ra
chuân cừa H1 v ta cú
lim hxn , yn iH1 = hx, yiH1 .

n

nh lý ủc chựng minh .
Tớnh chĐt khỏc biằt cừa khụng gian Hilbert so vợi khụng gian nh
chuân l ú khỏi niằm tớch vụ hợng bao hm cỏc khỏi niằm vã tớnh trỹc
giao, trỹc chuân, gúc giỳa cỏc vect.... Trong phƯn sau chỳng ta nhc lÔi
nh ngha, tớnh chĐt cừa cỏc khỏi niằm ú v mởt số vớ dử minh hồa.


nh ngha 1.4. Cho H l khụng gian tiãn Hilbert thỹc.
1) Hai phƯn tỷ x, y H ủc gồi l trỹc giao vợi nhau náu hx, yi = 0
v ủc kớ hiằu l xy.
2) Hằ S H ủc gồi l hằ trỹc giao náu cỏc phƯn tỷ cừa S trỹc giao
vợi nhau tứng ụi mởt, tực l x, y S, x = y ta cú hx, yi = 0.
3) Hằ E = {e1 , e2 , ..., } H ủc gồi l hằ trỹc chuân náu E l hằ trỹc
giao v ||ej|| = 1 ei E . Mởt cỏch tng ng, hằ E ủc gồi
l hằ trỹc chuân náu


0 náu i = j
hei , ej i = ij =
1 náu i = j.

4) PhƯn tỷ x H ủc gồi l trỹc giao vợi M H náu y M ta
cú
hx, yi = 0 v ủc kớ hiằu l xM .

5) PhƯn bự trỹc giao cừa M H ủc kớ hiằu M l têp hủp
M = {x H : xy, y M }.
nh lớ 1.7. Cho M l mởt khụng gian con úng cừa khụng gian Hilbert
H . Khi ú mồi phƯn tỷ x H ãu biu diạn mởt cỏch duy nhĐt dợi dÔng
x = y + z, y M, z M


trong ú y thọa món
||x y|| = ||z|| = inf {||x u||} = d(x, M ).
uM

Nhên xột 1.4. Tứ nh lý ny ta cú th viát
H = M M
v y ủc gồi l hỡnh chiáu trỹc giao cừa x lờn khụng gian con M .


nh ngha 1.5. Dóy (xn )nN H ủc gồi l
(i) Hởi tử mÔnh án x0 H náu nú hởi tử theo chuân, ngha l
lim ||xn x0 || = 0,

n

kớ hiằu xn x0 hay lim xn = x0 .
n

(ii) Hởi tử yáu án x H náu y H ta cú
lim hxn , yi = hx, yi.

n
w

Ký hiằu l {xn } x hoc {xn } * x, khi n .
Chỳ ý 1.1. Náu dóy {xn } hởi tử mÔnh vã x thỡ nú cng hởi tử yáu vã x,
nhng iãu ngủc lÔi khụng ỳng.

1.2 Mởt số vĐn ã vã giÊi tớch lỗi
Trợc hát ta nhc lÔi mởt số khỏi niằm v tớnh chĐt c bÊn cừa giÊi tớch
lỗi nh têp lỗi, hm lỗi, dợi vi phõn,...

1.2.1. Têp lỗi, bao lỗi v nún lỗi
GiÊ sỷ X l khụng gian tuyán tớnh, R l têp số thỹc.
nh ngha 1.6. Têp A X, x, y A, ta cú
1) A ủc gồi l lỗi x + (1 )y A, vợi mồi [0, 1].
2) [x1 , x2 ] = {x A : x = x1 + (1 )x2 , 0 1}, l oÔn
nối
x1 , x2 .
3) Giao cừa tĐt cÊ cỏc têp lỗi chựa A ủc gồi l bao lỗi cừa A v ký hiằu
l coA.


Vớ dử 1.4. cho A = {(x, y) R| y x2 }. Dạ thĐy A l têp
lỗi.
Cho têp A X , khi ú, ta cú nhên xột sau:
1) coA l têp lỗi nhọ nhĐt chựa A.
2) Têp A l lỗi náu vợi mồi x1 , x2 A suy ra [x1 , x2 ] A.
3) A l têp lỗi khi v ch khi A coA.
mP
m
P
4) coA = {

i xi |xi
i = 1; i > 0 i = 1, 2, ..., m}.
n=1
A;
n=1

nh ngha 1.7. Cho têp A X khi ú,
i) Giao tĐt cÊ cỏc têp con úng cừa X chựa A ủc gồi l bao úng cừa
A v ký hiằu l A.
ii) Giao tĐt cÊ cỏc têp con lỗi úng cừa X chựa A ủc gồi l bao lỗi úng
cừa A v ký hiằu l coA.
Nhên xột 1.5. Ta cú coA l têp lỗi úng v l têp lỗi úng nhọ nhĐt chựa
A.
Chỳ ý 1.2. Bao lỗi úng cừa têp A trựng vợi bao lỗi cừa A tực l ta cú
co A = coA.
nh ngha 1.8. Cho têp K X ta cú cỏc nh ngha
1) Têp K ủc gồi l nún cú nh tÔi 0 náu vợi mồi x K v mồi
> 0 suy ra x K.
2) Têp K X ủc gồi l nún cú nh tÔi x0 náu K x0 l nún cú
nh tÔi 0.
3) Nún K cú nh tÔi 0 ủc gồi l nún lỗi náu K l mởt têp lỗi, cú ngha
l vợi mồi x, y K v vợi mồi , à > 0 suy ra x + ày K.


nh lớ 1.8. Tõp K X l nún lỗi cú nh tÔi 0 khi v ch khi vợi
mồi
x, y K, vợi mồi > 0 suy ra x + y K, x K.
nh ngha 1.9. Cho A Rn , ta cú:
1) A ủc gồi l têp affine náu:
(1 )x + y A, x, y A, R.

2) Giao cừa tĐt cÊ cỏc têp affine chựa A Rn ủc gồi l bao affine cừa
A v ký hiằu l affA. Ngha l
aff A := {

m
X

i xi |xi A;
n=1

m
X

i = 1; i = 1, 2, ..., m.}

n=1

1.2.2. Hm lỗi v dợi vi phõn
nh ngha 1.10. GiÊ sỷ X l khụng gian lỗi a phng, D X v
f : D R {, +}. Ta cú cỏc nh ngha:
1) Trờn ỗ th (epigraph) cừa hm f , ký hiằu l epif v
epif = {(x, r) D ì R : f (x)
r}.
2) Hm f ủc gồi l hm lỗi náu epif l têp lỗi trong X ì R. Hm f
ủc gồi l hm lừm náu f l hm lỗi.
3) Miãn hỳu dửng (miãn xỏc nh) cừa hm f ký hiằu l domf v:
domf = {x D : f (x) <
+}.
4) Hm f xỏc nh trờn X ủc gồi l thuƯn nhĐt dng (positively homogeneous), náu vợi mồi x X v vợi mồi (0, +) ta ãu cú:
f (x) = f (x).

Vớ dử 1.5. Dạ thĐy f (x) = |x|, x R l mởt hm lỗi.
nh lớ 1.9. GiÊ sỷ D l têp lỗi, khỏc rộng trong khụng gian X , hm
f : D (, +]. Khi ú, f lỗi trờn D khi v ch khi:
f (x + (1 )y) f (x) + (1 )f (y), [0, 1] v x, y
D.
nh ngha 1.11. Hm f ủc gồi l chớnh thớng (proper) náu f thọa
món hai iãu kiằn sau:
i) domf = 0;
ii) f (x) > vợi mồi x D.
Mằnh ã 1.1. Hm thuƯn nhĐt dng f : X (, +] l lỗi khi v
ch khi vợi mồi x, y X ta luụn cú:
f (x + y) f (x) + f
(y).
nh ngha 1.12. Cho f l hm lỗi, phiám hm (vect) x X ủc
gồi
l dợi gradient cừa f tÔi
x

náu:

f (x) f (x) hx , x x i vợi mồi x
X.
Têp tĐt cÊ cỏc dợi gradient cừa f tÔi x ủc gồi l dợi vi phõn cừa f
tÔi
x. Ký hiằu l: f (x). Nh vêy:
f (x) = {x X : f (x) f (x) hx , x xi vợi mồi x
X }.
Hm f ủc gồi l khÊ dợi vi phõn tÔi x náu f (x) = .

Vớ dử 1.6. Cho C l têp lỗi khỏc rộng cừa H . Xột hm ch cừa têp C cú


d¤ng
δC (x) :=


0

n¸u x ∈ C

+∞

n¸u x ∈/ C.


Khi ú dợi vi phõn cừa C (x) tÔi x0 C l nún phỏp tuyán ngoi cừa C
tÔi x0 . Thêt vêy, khi x0 C thỡ
C (x0 ) = {x H : hx , x x0 i C (x), x
C }.
Vợi x
/

C thỡ C (x) = + nờn bĐt ng thực hx , x x0 i C (x)
luụn

ỳng. Do ú
C (x0 ) = {x H : hx , x x0 i 0, x C } = NC
(x0 ).
Vớ dử 1.7. Cho f : H R l hm lỗi thuƯn nhĐt dng, (tực l f lỗi v

f (x) = f (x), > 0, x H .) Khi ú
f (x) = {z H : hz; xi = f (x), hz, xi f (x), x C
}.
Thêt vêy, náu z f (x) thỡ
hz, x xi f (x) f (x), x
C.
Thay x = 2x, ta cú
hz, xi f (2x) f (x) = f
(x).
Cũn náu thay x = 0, ta cú
hz, xi f (x).
Tứ kát quÊ trờn suy ra
hz, xi = f (x).
Hn nỳa,


Do đó,

hz, x − xi = hz, xi − hz, xi = hz, xi − f
(x).

hz, xi ≤ f (x), ∀x ∈
C.